高中数学教学设计——函数的奇偶性

高中数学教学设计——函数的奇偶性
函数的奇偶性是函数的重要性质，是对函数概念的 深化．它把自变量取相反数时函数值
间的关系定量地联系在一起，反映在图像上为：偶函数的图像关于ｙ 轴对称，奇函数的图像
关于坐标原点成中心对称．这样，就从数、形两个角度对函数的奇偶性进行了定量 和定性的
分析．教材首先通过对具体函数的图像及函数值对应表归纳和抽象，概括出了函数奇偶性的准确定义．然后，为深化对概念的理解，举出了奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数的
函数和非 奇非偶函数的实例．最后，为加强前后联系，从各个角度研究函数的性质，讲清了
奇偶性和单调性的联系 ．这节课的重点是函数奇偶性的定义，难点是根据定义判断函数的奇
偶性．
教学目标
1. 通过具体函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论，体验数学概念的建立过程，培
养 其抽象的概括能力．
2. 理解、掌握函数奇偶性的定义，奇函数和偶函数图像的特征，并能初步应用 定义判断一
些简单函数的奇偶性．
3. 在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、抽象概括能力，体验数学既是抽象的又是具
体的．
任务分析
这节内容学生在初中虽没学过，但已经学习过具有奇偶性的具体的函数：正比例函数 y
＝kx，反比例函数 ，（k≠0），二次函数y＝ax
2
，（a≠0），故可在此 基础上，引入奇、偶
函数的概念，以便于学生理解．在引入概念时始终结合具体函数的图像，以增加直观 性，这
样更符合学生的认知规律，同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔．对于概念可从代
数特征与几何特征两个角度去分析，让学生理解：奇函数、偶函数的定义域是关于原点对称
的非空数集 ；对于在有定义的奇函数y＝f（x），一定有f（0）＝0；既是奇函数，又是偶
函数的函数有f（x ）＝0，x∈R．在此基础上，让学生了解：奇函数、偶函数的矛盾概念———
非奇非偶函数．关于单调 性与奇偶性关系，引导学生拓展延伸，可以取得理想效果．
教学设计
一、问题情景
1. 观察如下两图，思考并讨论以下问题：
（1）这两个函数图像有什么共同特征？
（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
可以看到两个函数的图像都关于y轴 对称．从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相
反数时，相应的两个函数值相同．
对于 函数f（x）＝x
2
，有f（－3）＝9＝f（3），f（－2）＝4＝f（2），f（－1） ＝1＝f（1）．事
实上，对于R内任意的一个x，都有f（－x）＝（－x）
2
＝x
2
＝f（x）．此时，称函数y＝
x
2
为偶函数．
2. 观察函数f（x）＝x和f（x）＝ 的图像，并完成下面的两个函数值对应表，然后说出这
两个函数有什么共同特征．

可以看到两个函数的图像都关于原点对称．函数图像的这个特征，反映在解析式上就是：当
自变量ｘ 取一对相反数时，相应的函数值f（x）也是一对相反数，即对任一x∈R都有f（－
x）＝－f（x） ．此时，称函数y＝f（x）为奇函数．
二、建立模型
由上面的分析讨论引导学生建立奇函数、偶函数的定义
1. 奇、偶函数的定义
如 果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就
叫作奇 函数．如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函
数f（x）就 叫作偶函数．
2. 提出问题，组织学生讨论
（1）如果定义在R上的函数f（x）满足f（－2）＝f（2），那么f（x）是偶函数吗？
（f（x）不一定是偶函数）
（2）奇、偶函数的图像有什么特征？
（奇、偶函数的图像分别关于原点、y轴对称）
（3）奇、偶函数的定义域有什么特征？
（奇、偶函数的定义域关于原点对称）
三、解释应用
［例 题］
1. 判断下列函数的奇偶性．
注：①规范解题格式；②对于（5）要注意定义域x∈（－1，1］．
2. 已知：定义在R上的函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（1＋x），求f（x）
的表达式．
解：（1）任取x＜0，则－x＞0，∴f（－x）＝－x（1－x），
而f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）．∴f（x）＝x（1－x）．
（2）当x＝0时，f（－0）＝－f（0），∴f（0）＝－f（0），故f（0）＝0．
3. 已知：函数f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上是减函数，判断f（x）在（0，＋∞）上< br>是增函数，还是减函数，并证明你的结论．
解：先结合图像特征：偶函数的图像关于y轴对称， 猜想f（x）在（0，＋∞）上是增函数，
证明如下：
任取x
1
＞x
2
＞0，则－x
1
＜－x
2
＜0．
∵f（x）在（－∞ ，0）上是减函数，∴f（－x
1
）＞f（－x
2
）．
又f（x）是偶函数，∴f（x
1
）＞f（x
2
）．
∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．
思考：奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系？
［练 习］
1. 已知：函数f（x）是奇函数，在［a，b］上是增函数（b＞a＞0），问f（x）在［－b，
－a］上的单调性如何．
2. f（x）＝－x
3
｜x｜的大致图像可能是（ ）
3. 函数f（x）＝ax2
＋bx＋c，（a，b，c∈R），当a，b，c满足什么条件时，（1）函数f
（x） 是偶函数．（2）函数f（x）是奇函数．

4. 设f（x），g（x）分别是R上的 奇函数和偶函数，并且f（x）＋g（x）＝x（x＋1），
求f（x），g（x）的解析式．
四、拓展延伸
1. 有既是奇函数，又是偶函数的函数吗？若有，有多少个？
2. 设f（x），g（x）分别是R上的奇函数，偶函数，试研究：
（1）F（x）＝f（x）·g（x）的奇偶性．
（2）G（x）＝｜f（x）｜＋g（x）的奇偶性．
3. 已知a∈R，f（x）＝a－ ，试确定a的值，使f（x）是奇函数．
4. 一个定义在Ｒ上的函数，是否都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和的形式？