高中数学必修一函数教案

函数教案
教材分析：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型 ．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依
赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重 函数模型化的思想．
教学目的：
（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖 关系的重要数学模型，在此
基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中 的作用；（2）
了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“ 区
间”的符号表示某些函数的定义域；
教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
一、与函数相关的概念
（一）函数的有关概念
1．函数的概念：
设A、 B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在
集合B中都有唯 一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．
记作：y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与 x的值相对应的y值叫做函数值，
函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：
1
“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○
2
函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． ○
2． 构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
3．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论.
判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
（1）f ( x ) = (x－1)
0
；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) =
（3）f ( x ) = x
2
；f ( x ) = (x + 1)
2
（4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) =
（二）课堂练习
求下列函数的定义域
（1）
f(x)?
x
2

x
2

1
（2）
f(x)?
x?|x|
1
1?
1
x
（3）
f(x)??x
2
?4x?5

（4）
f(x)?
4?x
2
（5）
f(x)?x
2
?6x?10
（6 ）
f(x)?1?x?x?3?1

x?1
（三）函数的复合型

设y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=g(x) ,设M表示u=g(x)的值域,N是函数y=f(u)
的定义域,当M?N,则y成为x的函数,记为 y=f[g(x)].这个函数叫做由y=f(u)及u=g(x)复合而成的
复合函数,u叫做中间变 量,f称为外层函数,g称为内层函数.

二、函数的表达方式
函数的表达方式：解析法、图像法、列表法
（一）解决函数问题
【例1】某种笔记 本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表
示法表示 函数y=f(x).
【例2】将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的函数关系式,并 求定义域和值域,
作出函数的图象.
【例3】向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V与水深h的函数关系的图象如图所示,
那么水瓶的形状是
( )

【例4】求下列函数的值域:
24
(1)y=x-2x(-1≤x≤2);(2)y=x+1.
注意：分段函数的 解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左
大括号括起来，并分别注明 各部分的自变量的取值情况．
三、函数的映射
1． 对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；
2． 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；
3． 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
4． 函数的概念．
新课教学
1、函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个
非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射．
2、什么叫做映射？
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f， 使对于集合A中的任意
一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A< br>?
B为从集合A到集
合B的一个映射、记作“f：A
?
B”
注意：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示 具体的对
应法则，可以用汉字叙述．
（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有 一个；二是只有一个，也就是说有且只
有一个的意思。
例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体
系中的点与它的坐标对应；
（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

四、函数的单调性
教学目的：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何 意义；学会运用函数图象
理解和研究函数的性质；能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．
教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
一、引入课题
1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

y y y


1 1 1

-1 -1
1 x 1 x 1 x

-1
-1 -1 -1

1
随x的增大，y的值有什么变化？ ○
2
能否看出函数的最大、最小值？ ○
3
函数图象是否具有某种对称性？ ○
二、新课教学
（一）函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)2< br>)，
那么就说f(x)在区间D上是增函数．
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．
注意：
1
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○
2
必须是对于区间 D内的任意两个自变量x
1
，x
2
；当x
1
2
时，总有f(x
1
)2
) ． ○
2．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说 函数y=f(x)在这一区间具有（严
格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
1
任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
； ○
2
作差f(x
1
)－f(x
2
)； ○
3
变形（通常是因式分解和配方）； ○
4
定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）； ○
5
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． ○
提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，
1
求f(0)、f(1)的值； ○
2
若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集． ○
五、函数的奇偶性
教学 目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3） 学会判断函数的奇偶性．
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．
一、新课教学
（一）函数的奇偶性定义
图象关于y轴对称的函数即是偶函数，图象关于原点对称的函数即是奇函数．

1．偶函数：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)= f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
2．奇函数：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都 有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
注意：
1
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○
2
由函数 的奇偶性定义可知，○函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，
则－x也一定是 定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
（二）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
（三）典型例题
1．判断函数的奇偶性：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
3．函数的奇偶性与单调性的关系
例1．已知f(x)是奇 函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数
规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
作业：判断下列函数的奇偶性：
2x
2
?2x
3
1

f(x)?
2

f(x)?x?2x
；○
3

f(x)?a
（
x?R
） ○；○
x?1
4

f(x)?
?
○
?
x(1?x)
x?0,

x(1?x)
x?0.
?
思考：
已知
f(x)
是定义在R上的函数，
设
g(x)?
f(x )?f(?x)f(x)?f(?x)
，
h(x)?

22
1
试判断
g(x)与h(x)
的奇偶性； ○
2
试判断
g(x),h(x)与f(x)
的关系； ○
3
由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由． ○
六、函数的最值问题
教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
利用函数的单调性判断函数的最值问题
一、新课教学
（一）函数最大（小）值定义
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x
0
∈I，使得f(x
0
) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值．
注意：
1
函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x
0
∈I，使得f(x
0
) = M； ○

2
函数最大（小）应该是所有函数值中最 大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)○
≥M）．
2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
1
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○
2
利用图象求函数的最大（小）值 ○
3
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 ○
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f( x)在x=b处有最大
值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在 区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小
值f(b)；
（二）典型例题
求函数
y?
2
在区间[2，6]上的最大值和最小值．
x?1
七、方程的根和函数的零点
一元二次方程及其相应的二次函数
22
①方程
x-
2
x-
3
=
0的解为 ,函数
y=x-
2
x-
3的图象与
x
轴有 个交点,坐标
为
.

22
②方程
x-
2
x+
1
=
0的解为 ,函数
y=x-
2
x+
1的图象与
x
轴有 个交点,坐标
为
.

根据以上观察结果,可以得到:
结论:一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与
x
轴交点的
.< br>若一元二次方程无实
数根,则相应的二次函数图象与
x
轴无交点
.

函数零点的概念：
对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使f(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的 零点．
函数零点的意义：
函数
y?f(x)
的零点就是方程
f( x)?0
实数根，亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标 ．
即：方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)< br>的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点．
函数零点的求法：
求函数
y?f(x)
的零点：
1
（代数法）求方程
f(x)?0
的实数根； ○
2
（几何法）对于不能用求 根公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利用○
函数的性质找 出零点
二次函数的零点：
二次函数：
y?ax?bx?c(a?0)
．
2
（1）△＞０，方程
ax?bx?c?0
有两不等实根，二次函数 的图象与
x
轴有两个交点，二次函
2
数有两个零点．

（2）△＝０，方程
ax
2
?bx?c?0
有两相等实根（二重根），二次函数的图象与
x
轴有一个交点，
二次函数有一个二重 零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程
ax
2
?bx?c?0
无实 根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二次函数无零点．
1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1）
?x
2
?3x?5?0
；（2）
2x(x?2)??3
；（3）
x
2?4x?4
；（4）
5x
2
?2x?3x
2
?5
．
2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）
f(x)? ?x
3
?3x?5
；（2）
f(x)?2xln(x?2)?3
；（ 3）
f(x)?e
x?1
?4x?4
；
（4）
f(x)?3(x?2)(x?3)(x?4)?x

3． 当
a?R
时，函数
f(x)
的零点是怎样分布的？
（1）研究y?ax
2
?bx?c
，
ax
2
?bx?c?0
，
22
（2）
ax?bx?c?0
，
ax?bx?c?0
的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用
一种系统的、简洁的方式总结表达．
函数二分法及步骤：
对于在区间
[a
，
b]
上连续不断， 且满足
f(a)
·
f(b)
?0
的函数
y?f(x)
，通过不断地把函数
f(x)
的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法叫
做二分法．
给定精度
?
，用二分法求函数
f(x)
的零点近似值的步骤如下：
1．确定区间
[a
，
b]
，验证
f(a)
·
f(b)
?0
，给定精度
?
；
2．求区间
(a
，
b)
的中点
x
1
；
3．计算
f(x
1
)
：
二分法的一般步骤：
1
若
f(x)
=
0
，则
x
就是函数的零点； ○
11
2
若
f(a)
·
f(x)
<
0< br>，则令
b
=
x
（此时零点
x?(a,x)
）； ○
11
01
3
若
f(x)
·
f(b)
<
0
，则令
a
=
x
（此时零点
x?(x,b)
）； ○
11
01
4．判断是否达到精度
?
；
即若|a?b|?
?
，则得到零点零点值
a
（或
b
）；否则 重复步骤2~4．

八、指数函数
1． 整数指数幂的运算性质；
a
m
?a
n
?a
m?n
(a
m
)
n
?a
mn
(ab)
n
?an
b
n
2． 根式的概念；
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做 a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这
个数叫做a的立方根；
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念
一般地，如果
x
n
?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根，其中< br>n
>1，且
n
∈
N
．当
n
是奇数时，正数< br>*

的
n
次方根是一个正数，负数的
n
次方根是一个 负数．此时，
a
的
n
次方根用符号
n
a
表示．式子
n
a
叫做根式，这里
n
叫做根指数，
a
叫做被开方 数．
当
n
是偶数时，正数的
n
次方根有两个，这两个数互为相反数 ．此时，正数
a
的正的
n
次方根用
符号
n
a
表示，负的
n
次方根用符号－
n
a
表示．正的
n
次方根与负的
n
次方根可以合并成±
n
a
（
a
>0 ）．
由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
n
0?0
．
结论：当
n
是奇数时，
n
a?a

当
n< br>是偶数时，
n
a
n
?|a|?
?



2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义
规定：
n
?
a(a?0)

?
?a(a?0)
a?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)

a
?
m
n
m
n
?
1
a
m
n
?
1
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n ?1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．有理指数幂的运算性质
rr?s
r
（1）
a
·
a?a

(a?0,r,s?Q)
；
（2）
(a)?a

（3）
(ab)?aa

指数函数的一般形式
（一）指数函数的概念
rrs
rsrs


(a?0,r,s?Q)
；

(a?0,b?0,r?Q)
．

一般地，函数
y?a
x
(a?0,且a ?1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
函数一般性质
图象特征 函数性质
a?1

0?a?1

a?1

0?a?1

非奇非偶函数
向x、y轴正负方向无限延伸
图象关于原点和y轴不对称
函数图象都在x轴上方
函数图象都过定点（0，1）
自左向右看，
图象逐渐上升
在第一象限内的图
象纵坐标都大于1
在第二象限内的图
象纵坐标都小于1
图象上升趋势是越
来越陡
九、对数函数
（一）对数函数性质和运算
（1）对数的定义：
a
b
?N?log
a
N?b
；
（2）对数恒等式：
a
log
a
N
?N,log< br>a
a
b
?b
；


1．对数的运算性质
运算性质：
如果
a?0
，且
a?1
，
M?0
，
N?0
，那么：
1

log(M
·
N)?
logM
＋
logN
； ○
a
aa
2

log
○
a
函数的定义域为R
函数的值域为R
+

a
0
?1

增函数 减函数
自左向右看，
图象逐渐下降
在第一象限内的图
象纵坐标都小于1
在第二象限内的图
象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越
来越缓
x?0,a
x
?1

x?0,a
x
?1

函数值开始增长较
慢，到了某一值后
增长速度极快；
x?0,a
x
?1

x?0,a
x
?1

函数值开始减小极
快，到了某一值后
减小速度较慢；
M
?
log
a
M
－
log
a
N
；
N
n
3

logM
○
a
?n
log
a
M

(n?R)
．
2. 换底公式
log
a
b?
log
c
b
（
a?0，且
a?1
；
c?0
，且
c?1
；
b?0）．
log
c
a
3．对数函数一般变形
n
（ 1）
log
a
m
b?
n
1
log
a
b
；（2）
log
a
b?
．
m
log
b
a
思考题：
设正整数
a
、< br>b
、
c
（
a
≤
b
≤
c
）和 实数
x
、
y
、
z
、
?
满足：

a
x
?b
y
?c
z
?3 0
?
，
1111
???
，
xyz
?
求
a
、
b
、
c
的值．
（二）对数函数的图象和性质
内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
（1）在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；
（1）
y?log
2
x

（2）
y?log
1
x

2
（3）
y?log
3
x

（4）
y?log
1
x

3


（2）对数函数的性质如下表格：
图象特征 函数性质
a?1

0?a?1

a?1

0?a?1

非奇非偶函数
函数的值域为R
函数图象都在y轴右侧
图象关于原点和y轴不对称
向y轴正负方向无限延伸
函数图象都过定点（1，1）
自左向右看，
图象逐渐上升
第一象限的图象
纵坐标都大于0
第二象限的图象
纵坐标都小于0
作业练习：
（1）已知函数
f(x)?
自左向右看，
图象逐渐下降
第一象限的图象
纵坐标都大于0
第二象限的图象
纵坐标都小于0
函数的定义域为（0，＋∞）
1
?
?1

增函数 减函数
x?1,log
a
x?0

0?x?1,log
a
x?0

0?x?1,log
a
x?0

x?1,log
a
x?0

11?x
?log
2< br>，求函数
f(x)
的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性
x1?x
（ 2）求函数
f(x)y?log
0.2
(?x
2
?4x?5)
的单调区间
十、幂函数．
一般地，形如
y?x
(a?R)
的函 数称为幂函数，其中
?
为常数．
2
（1）
y?x
； （2）
y?x
；（3）
y?x
；
?
1
2
（4）
y?x
；（5）
y?x
．
?13

幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）
?
?0
时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是增函数．特 别地，当
?
?1
时，幂
函数的图象下凸；当
0?
?
?1
时，幂函数的图象上凸；
（3）
?
?0
时，幂函数的图象在区 间
(0,??)
上是减函数．在第一象限内，当
x
从右边趋向原点时，
图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋于
??
时，图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴．