高中数学人教版选修2-2全套教案.

第一章 导数及其应用
§1.1.1变化率问题
教学目标：
1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
教学难点：平均变化率的概念．
教学过程：
一．创设情景
为了描述现实 世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生
了微积分，微积分的 创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快 慢、最大（小）值等问题最一般、最有效
的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
二．新课讲授
（一）问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过 气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增
加越来越慢.从数学 角度,如何描述这种现象呢?
? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系 是
V(r)?
4
3
?
r

3
h
? 如果将半径r表示为体积V的函数,那么
r(V)?
3
3V

4
?
分析:
r(V)?
3
3V
，
4
?
o
t
⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了
r( 1)?r(0)?0.62(dm)
气球的平均膨胀
率为
r(1)?r(0)
?0.62(dmL)

1?0
⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了
r(2)?r(1)?0.16(dm)

气球的平均膨胀率为
r(2)?r(1)
?0.16(dmL)

2?1
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V
1
增加到V
2
时,气球的平均膨胀率是多少?
r(V
2
)?r(V
1
)

V
2
?V
1

问题2 高台跳水
在高台跳 水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函
数关系h(t )= -4.9t
2
+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速
v度粗略地描述其运动状态?
思考计算：
0?t?0.5
和
1?t?2< br>的平均速度
v

h(0.5)?h(0)
?4.05(ms)
；
0.5?0
h(2)?h(1)
??8.2(ms)
在
1?t?2
这段时间里，
v?
2?1
65
探究：计算运动员在
0?t?
这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
49
在
0?t?0.5
这段时间里，
v?
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t
2
+6.5t+10的图像，结合图形可知，
h(
65
) ?h(0)
，
49
65
)?h(0)
所以
v?
4 9
?0(sm)
，
65
?0
49
65
虽然运动员 在
0?t?
这段时间里的平均速度为
0(sm)
，但实际情况是运动员仍然运 动，并非
49
h(
静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
（二）平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子
f(x
2< br>)?f(x
1
)
表示,
x
2
?x
1

称为函数f(x)从x
1
到x
2
的平均变化率
2．若设
?x?x
2
?x
1
,
?f?f(x
2
)?f(x
1
)
(这里
?x看作是对于x
1
的一个“增量”可用x
1
+
?x
代替< br>x
2
,同样
?f??y?f(x
2
)?f(x
1)
)
3． 则平均变化率为
f(x
2
)?f(x
1< br>)f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
??
?
?x?x
x
2
?x
1
?x
思考： 观察函数f(x)的图象
平均变化率





直线AB的斜率





f(x
1
)
O
△x= x
2
-x
1

x
1
x
2
x
?f
f(x
2
)?f(x
1
)
?
表示什么 ?
?x
x
2
?x
1
y
y=f(x)
f(x
2
)
△y =f(x
2
)-f(x
1
)

三．典例分析
例1．已知函数f(x)=
?x?x
的图象上 的一点
A(?1,?2)
及临近一点
B(?1??x,?2??y)
,则2
?y
?
．
?x
?y?(?1??x)< br>2
?(?1??x)?2
??3??x
解：
?2??y??(?1??x)?(?1??x)
， ∴
?x?x
2
例2． 求
y?x
2
在
x?x
0
附近的平均变化率。
解：
?y?(x
0
??x)
2
?x
0
，所以
22
x
0
?2x
0
?x??x
2
?x
0< br>?y
(x
0
??x)
2
?x
0
???2x< br>0
??x

?x?x?x
2
2
所以
y ?x
2
在
x?x
0
附近的平均变化率为
2x
0??x

四．课堂练习
1．质点运动规律为
s?t?3
，则在 时间
(3,3??t)
中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s (t)=3t
2
+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
25?3?t
3.过曲线y=f(x)=x
3
上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
五．回顾总结：1．平均变化率的概念；2．函数在某点处附近的平均变化率
六．布置作业




2
导数与导函数的概念
教学目标：
1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法；
理解导数的几何意义；
理解导函数的概念和意义；
2、过程 与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化
问题的能力；最后求 切线方程，培养转化问题的能力
3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。
教学重点： 1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用
教学难点： 1、导数概念的理解；2、导函数的理解、认识和运用
教学过程：
一、情境引入
在前面我们解决的问题：
1、求函数
f(x)?x
在点（2，4）处的切线 斜率。
2
?yf(2??x)?f(x)
??4??x
，故斜率为4 ?x?x
2
2、直线运动的汽车速度V与时间t的关系是
V?t?1
，求
t?t
o
时的瞬时速度。

?V
v(t
o< br>??t)?v(t
o
)
??2t
o
??t
，故斜率为 4
?t?t
二、知识点讲解
上述两个函数
f(x)
和V(t)
中，当
?x
(
?t
)无限趋近于0时，
数。
归纳：一般的，定义在区间（
a
，
b
）上的函数
f(x)< br>，
x
o
?(a，b)
，当
?x
无限趋近于0时，?V?V
()都无限趋近于一个常
?t?x
?y
f(x
o
??x)?f(x
o
)
?
无限趋近于一个固定的常数A，则称
f( x)
在
x?x
o
处可导，并称A为
?x?x
f(x)
在
x?x
o
处的导数，记作
f'(x
o
)
或f'(x)|
x?x
o
，上述两个问题中：（1）
f'(2)?4
，
（2）
V'(t
o
)?2t
o

三、几何意义 ：我们上述过程可以看出
f(x)
在
x?x
0
处的导数就是
f(x)
在
x?x
0
处的切线斜率。
四、例题选讲
例1、求下列函数在相应位置的导数
2
（1）
f(x)?x?1
，
x?2
（2）
f(x)?2x?1
，
x?2
（3）
f(x)?3
，
x?2

例2、函数
f(x)
满足
f'(1)?2
，则当x无限趋近于0时，
（1）
f(1?x)?f(1)f(1?2x)?f(1)
?
（2）
?

2xx
变式: 设f(x)在x=x
0
处可导，（3）
f(x
0
?4?x)?f(x
0
)
无限趋近于1，则
f
?
(x
0
)=___________
?x
（4）
f(x
0
?4?x)? f(x
0
)
无限趋近于1，则
f
?
(x
0
)
=________________
?x
f(x
0
?2?x) ?f(x
0
?2?x)
所对应的常数与
f
?
(x
0
)
的关系。
?x
（5）当△x无限趋近于0，
总结：导数等于纵坐 标的增量与横坐标的增量之比的极限值。
2
例3、若
f(x)?(x?1)
，求
f'(2)
和
(f(2))'
注意分析两者之间的区别。 例4：已知函数
f(x)?x
，求
f(x)
在
x?2
处 的切线。
导函数的概念涉及：
f(x)
的对于区间（
a
,
b
）上任意点处都可导，则
f(x)
在各点的导数也随x
的变化而变化，因而 也是自变量x的函数，该函数被称为
f(x)
的导函数，记作
f'(x)
。
五、小结与作业

§1.1.2导数的概念
教学目标：
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；
教学难点：导数的概念．
教学过程：
一．创设情景
（一）平均变化率
65
（二）探究：计算运动员在
0?t?
这段时间里的平均速度，并思考以下 问题：
49
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
h
h(
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t
2
+6.5t+10的图 像，结合图形可知，
65
)?h(0)
，
49
t
65
)?h(0)
49
o
所以
v??0(sm)
，
65
?0
49
65
虽然运动员在
0?t?
这段时间 里的平均速度为
0(sm)
，但实际情况是运动员仍然运动，并非
49
h(< br>静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
二．新课讲授
1．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某 一时刻的瞬时速
度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，
t?2
时的瞬时速度是 多少？考察
t?2
附近的情况：
思考：当
?t
趋近于0时，平均速度
v
有什么样的变化趋势？ 结论：当
?t
趋近于0时，即无论
t
从小于2的一边，还是从大于2的一 边趋近于2时，平均速
度
v
都趋近于一个确定的值
?13.1
． < br>从物理的角度看，时间
?t
间隔无限变小时，平均速度
v
就无限趋近于 史的瞬时速度，因此，
运动员在
t?2
时的瞬时速度是
?13.1ms

为了表述方便，我们用
lim
h(2??t)?h(2)
??13.1< br>
?t?0
?t

表示“当
t?2
，
? t
趋近于0时，平均速度
v
趋近于定值
?13.1
”
小结 ：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过
渡到瞬时速 度的精确值。
2 导数的概念

从函数y=f(x)在x=x
0
处的瞬时变化率是:
lim
? x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?f
?li m

?x?0
?x?x
我们称它为函数
y?f(x)
在x?x
0
出的导数，记作
f
'
(x
0
)
或
y
'
|
x?x
，即
0

f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)

?x
说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x
0
处的瞬时变化率
（2）
?x?x?x
0
，当
?x?0
时，
x?x
0
，所以
f
?
(x
0
)?lim
三．典例分析
2
例1．（1）求函数y=3x在x=1处的导数.
?x?0
f(x)?f(x
0
)

x?x
0
?f?f
2
?6??x
再求
lim?6
分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f( １)=6Δx+(Δx)再求
?x
?x?0
?x
解：法一（略）
3 x
2
?3?1
2
3(x
2
?1
2
)
?lim?lim3(x?1)?6
法二：
y
?
|
x? 1
?lim
x?1x?1x?1
x?1x?1
（2）求函数f(x)=
?x?x
在
x??1
附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
2< br>?y?(?1??x)
2
?(?1??x)?2
??3??x
解：< br>?x?x
?y?(?1??x)
2
?(?1??x)?2
??lim( 3??x)?3

f
?
(?1)?lim
?x?0
? x
?x?0
?x
例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品， 需要对原油进行冷却和加热，
2
如果第
xh
时，原油的温度（单位：
C
）为
f(x)?x?7x?15(0?x?8)
，计算第
2h
时和 第
6h
时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第
2h时和第
6h
时，原油温度的瞬时变化率就是
f
'
(2)
和
f
'
(6)

f(2??x)?f(x
0
)(2??x)
2
?7(2??x)?15?(2
2
?7?2?15)?f
?
???x?3
根据导数定义，
?x?x
?x
?f
?lim(?x?3)??3
同理可得:
f
?
(6)?5

?x?0
?x
?x? 0
在第
2h
时和第
6h
时，原油温度的瞬时变化率分别为
? 3
和5，说明在
2h
附近，原油温度大约以
3Ch
的速率下降，在第
6h
附近，原油温度大约以
5Ch
的速率上升．
注：一般地，f
'
(x
0
)
反映了原油温度在时刻
x
0附近的变化情况．
2
四．课堂练习 1．质点运动规律为
s?t?3
，求质点在
t?3
的瞬时速度为．
2．求曲线y=f(x)=x
3
在
x?1
时的导数．
3． 例2中，计算第
3h
时和第
5h
时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意 义．
所以
f
?
(2)?lim
五．回顾总结：1．瞬时速度、瞬时 变化率的概念；2．导数的概念
六．布置作业

§1.1.3导数的几何意义

教学目标：
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；
教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；
教学难点：导数的几何意义．
教学过程：
一．创设情景
（一）平均变化率、割线的斜率
（二）瞬时速度、导数
我们知道，导数表示函数y =f(x)在x=x
0
处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x
0
附近的变化
情况，导数
f
?
(x
0
)
的几何意义是 什么呢？
二．新课讲授
（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当
P< br>沿着曲线
f(x)
趋近于
)(n1?,2,3,4)
n
(x< br>n
,f(x
n
)
点
P(x
0
,f(x
0
))
时，割线
PP
n
的变化趋势是什么？














图3.1-2

我们发现,当点
P
这个确定 位置
n
沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线
PP
n
趋近于确定 的位置，
的直线PT称为曲线在点P处的切线.
问题：⑴割线
PP
n
的斜率
k
n
与切线PT的斜率
k
有什么关系？
⑵切线PT的斜率
k
为多少？
容易知道，割线
PP
n
的斜 率是
k
n
?
于切线PT的斜率
k
，即
k?lim< br>f(x
n
)?f(x
0
)
,当点
P
n
沿着曲线无限接近点P时，
k
n
无限趋近
x
n
?x
0
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?f
?
(x
0
)

?x
说明：（1）设切线的倾斜角为 α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在
x?x
0
处的导数.
（2）曲线在某点处的切线 :1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.
如有极限,则在此点有切线, 且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与

曲线只有 一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
（二）导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0
处的导数等于在该点
(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率，
即
f
?
(x
0
)?lim
? x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?k
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
?x
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?k
，得到曲线在点
(x
0
,f(x
0
))
?x
①求出 P点的坐标;
②求出函数在点
x
0
处的变化率
f
?
(x
0
)?lim
的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
（二）导函数：
由函数f(x)在x=x
0
处求导数的过程可以看到,当时 ,
f
?
(x
0
)
是一个确定的数，那么,当x变化时,< br>便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：
f
?
(x)
或
y
?
，
即:
f
?
(x)?y
??lim
?x?0
?x?0
f(x??x)?f(x)

?x
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
（三）函数
f(x)在点
x
0
处的导数
f
?
(x
0
)、导函数
f
?
(x)
、导数 之间的区别与联系。
1）函数在 一点处的导数
f
?
(x
0
)
，就是在该点的函数的改变量与 自变量的改变量之比的极限，它是
一个常数，不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数
3）函数
f(x)
在点
x
0
处的导数
f
'
(x
0
)
就是导函数
f
?
(x)
在
x? x
0
处的函数值，这也是 求函数在点
x
0
处的导数的方法之一。
三．典例分析
22
例1:（1）求曲线y=f(x)=x+1在点P(1,2)处的切线方程. （2）求函数y=3x在点
(1,3)
处的导数.
[(1??x)
2
?1]?(1
2
?1)2?x??x
2
?lim?2
, 解：（1 ）
y
?
|
x?1
?lim
?x?0?x?0
?x? x
所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为
y?2?2(x?1)
即2x?y?0

3x
2
?3?1
2
3(x
2< br>?1
2
)
?lim?lim3(x?1)?6

（2）因为< br>y
?
|
x?1
?lim
x?1x?1x?1
x?1x ?1
所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为
y?3?6(x?1)
即< br>6x?y?3?0

2
（2）求函数f(x)=
?x?x
在< br>x??1
附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
?y?(?1??x)
2
?(?1??x)?2
??3??x
解：
?x?x
?y?(?1??x)
2
?(?1??x)?2
f
?
(?1)?lim??lim(3??x)?3
x?0
?x
x?0
?x
例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的
函数
h (x)??4.9x?6.5x?10
，根据图像，请描述、比较曲线
h(t)
在t
0
、
t
1
、
t
2
附近的变化情况．
解：我们用曲线
h(t)
在
t
0
、
t
1< br>、
t
2
处的切线，刻画曲线
h(t)
在上述
2

三个时刻附近的变化情况．
（1） 当
t?t
0
时，曲线
h(t)
在
t
0
处的切线
l
0
平行于x
轴，所以，在
t?t
0
附近曲线比较平坦，几
乎没有升降．
（2） 当
t?t
1
时，曲线
h(t)
在
t
1
处的切线
l
1
的斜率
h
?
(t
1)?0
，所以，在
t?t
1
附近曲线下降，即
函数
h( x)??4.9x
2
?6.5x?10
在
t?t
1
附近单调 递减．
（3） 当
t?t
2
时，曲线
h(t)
在
t
2
处的切线
l
2
的斜率
h
?
(t
2
)?0
，所以，在
t?t
2
附近曲线下降，即
函数h(x)??4.9x
2
?6.5x?10
在
t?t
2
附近单调递减．
从图3.1-3可以看出，直线
l
1
的倾斜程度小于直线< br>l
2
的倾斜程度，这说明曲线在
t
1
附近比在
t2
附近下降的
缓慢．
例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药 物浓度
c?f(t)
(单位：
mgmL
)随时间
t
（单位：
min
）变化的图象．根据图像，估计
t?0.2,0.4,0.6,0.8
时，血管中药物浓度的瞬时变化率
（精确到
0.1
）．

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度
f(t)
在此时刻的导数，从图像上 看，
它表示曲线
f(t)
在此点处的切线的斜率．
如图3.1-4，画出曲 线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度
瞬时变化率的近似值． < br>作
t?0.8
处的切线，并在切线上去两点，如
(0.7,0.91)
，
(1.0,0.48)
，则它的斜率为：
k?
0.48?0.91
??1.4
所以
f
?
(0.8)??1.4

1.0?0.7
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：
t

药物浓度瞬时变化率
f
'
(t)

四．课堂练习
0.2
0.4
0.4
0
0.6
-0.7
0.8
-1.4
1．求曲线y=f(x)=x
3
在点
(1,1)
处的切线； 2．求曲线
y?
六．布置作业

x
在点
(4,2)
处的切线．
五．回顾总结 1．曲线的切线及切线的斜率； 2．导数的几何意义

§1.2.1几个常用函数的导数
教学目标：
2
1．使学生应用由定义求 导数的三个步骤推导四种常见函数
y?c
、
y?x
、
y?x
、
y?
1
的导数公式；
x

2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
1
的导数公式及应用
x
1
教学难点： 四种常见函数
y? c
、
y?x
、
y?x
2
、
y?
的导数公式
x
教学重点：四种常见函数
y?c
、
y?x
、
y? x
2
、
y?
教学过程：
一．创设情景
我们知道，导数的 几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的
瞬时速度．那么，对于函数< br>y?f(x)
，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法， 但由于导数是用极限来定义的，所以求导数
总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了 能够较快地求出某些函数的导数，这
一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的 函数的导数．
二．新课讲授
1．函数
y?f(x)?c
的导数
根据导数定义，因为
?yf(x??x)?f(x)c?c?y
???0
所以
y
?
?lim?lim0?0

?x?0
?x?x?x?x
?x?0
函数 导数
y?c

y
?
?0

y
?
?0
表示函数
y ?c
图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若
y?c
表示路程关于时
间的函数，则
y
?
?0
可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物 体一直处于静止状态．
2．函数
y?f(x)?x
的导数
?yf(x??x)?f(x)x??x?x?y
???1
， 所以
y
?
?lim?lim1?1
因为
?x?0
?x
?x?0
?x?x?x
函数 导数
y?x

y
?
?1

y
?
?1< br>表示函数
y?x
图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若
y? x
表示路程关于时
间的函数，则
y
?
?1
可以解释为某物体 做瞬时速度为1的匀速运动．
3．函数
y?f(x)?x
2
的导数
?yf(x??x)?f(x)(x??x)
2
?x
2
x
2
?2x?x?(?x)
2
?x
2
????2x??x
因为
?x?x?x?x
?y
?lim(2x??x)?2x

?x? 0
?x
?x?0
y
?
?2x
表示函数
y?x
2
图像（图3.2-3）上点
(x,y)
处的切
线的斜率都为
2x
，说明随着
x
的变化，切线的斜率也在变
所以
y
?
?lim
2
函数 导数
y?x
2

2
y
?
?2x

2
化．另一方面，从导数作为函数 在一点的瞬时变化率来看，表明：当
x?0
时，随着
x
的增加，函数
y?x
间的函数，则
y
?
?2x
可以解释为某物体做变速运动，它在 时刻
x
的瞬时速度为
2x
．
减少得越来越慢；当
x?0< br>时，随着
x
的增加，函数
y?x
增加得越来越快．若
y?x< br>表示路程关于时
11
?
1
?yf(x??x)?f(x)
x? ?xx
4．函数
y?f(x)?
的导数因为
??
x
?x?x?x
?
?y11
x?(x??x)1
?lim(?
2)??
2

??
2
所以
y
?< br>?lim
?x?0
?x
?x?0
x?x??xx
x(x??x )?xx?x??x

函数 导数
11
y
?
??
2

xx
（2）推广：若
y?f(x)?x
n
(n?Q
*
)
，则
f
?
(x)?nx
n?1

y?
三．课堂练习：1．课本P
13
探究1 2．课本P
13
探究2
四．回顾总结
五．布置作业






3．求函数
y?x
的导数
导数 函数
y?c

y?x

y?x
2

1
y?

x
y
'
?0

y
'
?1

y
'
?2x

1
y
'
??
2

x
y
'
?nx
n?1

y?f(x)?x
n
(n?Q
*
)


§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
教学目标：
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；
2．掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用
教学过程：
一．创设情景
2
四种常见函数
y?c
、
y?x
、
y?x
、
y?
函数 导数
1

x
y?c

y
'
?0

y
'
?1

y?x

的导数公式及应用


二．新课讲授
（一）基本初等函数的导数公式表

函数
y?x
2

y?
1

x
y
'
?2x

y
'
??
1

2
x
y?f(x)?x
n
(n?Q
*
)

导数
y
'
?nx
n?1

y?c

y
'
?0

y
'
?nx
n?1

y?f(x)?x
n
(n?Q
*
)

y?sinx

y?cosx

y
'
?cosx

y
'
??sinx

y
'
?a
x
?lna(a?0)

y?f(x)?a
x

y?f(x)?e
x

f(x)?log
a
x

y
'
?e
x

f(x)?log
a
xf< br>'
(x)?
1
(a?0且a?1)

xlna

f(x)?lnx











（二）导数的运算法则
导数运算法则
'
f
'
(x)?
1

x
''''
1．
?
f(x)?g(x)
?
?f(x)?g(x)
2．
?
f(x)?g(x)
?
?f(x)g(x)?f(x)g(x)

'
?
f(x)
?
f
'
(x)g(x)?f(x )g
'
(x)
?(g(x)?0)
3．
??
2
?
g(x)
?
?
g(x)
?
（2）推论：
?
cf(x)
?
?cf(x)
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
三．典例分析
例1．假设某国家在20 年期间的年均通货膨胀率为
5%
，物价
p
（单位：元）与时间
t（单位：年）
有如下函数关系
p(t)?p
0
(1?5%)
t< br>，其中
p
0
为
t?0
时的物价．假定某种商品的
p< br>0
?1
，那么在
第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到 0.01）？
解：根据基本初等函数导数公式表，有
p
'
(t)?1.05
t
ln1.05
所以
p
'
(10)?
（元年） < br>1.05
10
ln1.050.08?
因此，在第10个年头，这种商品的价格 约为0.08元年的速度上涨．
例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
'
'
'
（1）
y?x
3
?2x?3
（2）y ＝
x
11
?
； （3）y ＝x · sin x · ln x； （4）y ＝
x
；
4
1?x1?x
（5）y ＝
1?lnxsinx?xcosx
． （6）y ＝（2 x
2
－5 x ＋1）e
x
（7） y ＝
1?lnxcosx?xsinx
【点评】
① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．
例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯 净度的提高，所需净化费用不断增加．已
5284
(80?x?100)

1 00?x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）
90%
（2）
98%

知将1吨水净化到纯净度为
x%
时所需费用（单位：元）为
c(x)?
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
5284
'
5284
'
?(100?x)?5284?(100?x)
'
< br>c(x)?()?
2
100?x(100?x)
'
?
0?(1 00?x)?5284?(?1)5284
?

22
(100?x)(100 ?x)
（1）因为
c(90)?
'
5284
?52.84
， 所以，纯净度为
90%
时，费用的瞬时变化率是52.84元吨．
(100?90)
2

（2）因为
c(98)?
'
5284
?1 321
，所以，纯净度为
98%
时，费用的瞬时变化率是1321元吨．
(100?90)
2
函数
f(x)
在某点处导数的大小表示函 数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，它
c
'
(98)?25c
'(90)
．
表示纯净度为
98%
左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯 净度为
90%
左右时净化费用的瞬时变化率的25
倍．这说明，水的纯净度越高，需要 的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
四．课堂练习
1．课本P
92
练习
2．已知曲线C：y ＝3 x
4
－2 x
3
－9 x
2
＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8）
五．回顾总结 （1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则
六．布置作业
§1.2.2复合函数的求导法则
教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．
教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等 于已知函数对中间变量的导数乘
以中间变量对自变量的导数之积．
教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．
一．创设情景
（一）基本初等函数的导数公式表

函数 导数

'
y?c

y?0


y?f(x)?x
n
(n?Q
*
)

y
'
?nx
n?1



y?sinx

y
'
?cosx


'
y?cosx

y??sinx


y
'
?a
x
?lna(a?0)

y?f(x)?a
x



y?f(x)?e
x

y
'
?e
x


1
'

f(x)?logx
f(x)?logxf(x)?(a?0且a?1)


a
a
xlna

1

f(x)?lnx

f
'
(x)?

x

（二）导数的运算法则
导数运算法则
''
1．
?
f(x)?g(x)
?
?f(x)?g(x)

'
'
''
2．
?
f(x) ?g(x)
?
?f(x)g(x)?f(x)g(x)

?
f(x)
?
f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)
?( g(x)?0)
3．
??
2
?
g(x)
?
?g(x)
?

（2）推论：
?
cf(x)
?
?cf(x)
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
二．新课讲授
复合函数的概念 一般地，对于两个函数
y?f(u)
和
u?g(x)
，如果通过变量
u
，
y
可以表示
成
x
的函数，那么称这个函数为函数
y?f(u)
和
u?g(x)
的复合函数，记作
y?f
?
g(x)
?
。
'
'
'

复合函数的导数 复合函数
y?f
?
g(x)
?
的导数和函数
y?f(u)< br>和
u?g(x)
的导数间的关系为
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?
，即
y
对
x
的导 数等于
y
对
u
的导数与
u
对
x
的导数的乘 积．
?
若
y?f
?
g(x)
?
，则
y< br>?
?
?
?
f
?
g(x)
?
?
?
?f
?
?
g(x)
?
?g
?
(x)< br>
三．典例分析
例1求y ＝sin（tan x
2
）的导数．
【点评】
求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层 逐层求导，
直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
例2求y ＝
x?a
x?2ax
2
的导数．
【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．
例3求y ＝sin
4
x ＋cos
4
x的导数．
【解法一】y ＝sin
4
x ＋cos
4
x＝(sin
2
x ＋cos
2
x)
2
－2sin
2
cos
2
x＝1－
＝1－
1
2
sin2 x
2
131
（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x．
444
【解法二】y′＝(sin

4

x)′＋(cos

4

x)′＝4 sin

3

x(sin x)′＋4 cos

3
x (cos x)′＝4 sin

3

x cos x ＋4 cos

3

x
(－sin x)＝4 sin x cos x (sin

2

x －cos

2

x)＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x
【点评】
解法 一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应
注意不漏步．
例4曲线y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线y ＝x的切线，求此二切线之间的距离．
【解】y ＝－x
3
＋x
2
＋2 x y′＝－3 x
2
＋2 x ＋2
令y′＝1即3 x
2
－2 x －1＝0，解得 x ＝－
于是切点为P（1，2），Q（－
1
或x ＝1．
3
114
，－），
327
过点P的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．
114
|???1|
16
327
2
． 显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为＝
27
2
四．课堂练习
1．求下列函数的导数 (1) y

=sinx
3
+sin
3
3x；（2）
y?
2.求
ln(2x?3x?1)
的导数
五．回顾总结
六．布置作业
2
sin2x
;(3)< br>log
a
(x
2
?2)

2x?1

§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）
教学目标：
1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；
教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
教学过程：
一．创设情景
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减 、增减的快与慢以
及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对 数量的变化
规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的 作用．
二．新课讲授
1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度
h
随时间
t
变化的函数
h(t)??4.9t
2
?6.5t? 10
的图
像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度
v
随时间
t
变化的函数
v(t)?h
'
(t)??9.8t?6.5
的图像 ．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：
（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度
h< br>随时间
t
的增加而增加，即
h(t)
是增函数．相
应地，v(t)?h
'
(t)?0
．
（2） 从最高点到入水，运动员离水面 的高度
h
随时间
t
的增加而减少，即
h(t)
是减函数．相
'
应地，
v(t)?h(t)?0
．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
如图3.3-3，导数
f
'
(x
0
)
表示函数
f(x)
在点
( x
0
,y
0
)
处的切线的斜率．
在
x?x
0
处，
f
'
(x
0
)?0
，切线是“左下右上” 式的，时，函数
f(x)
在
x
0
附近单调递增；
在
x?x
1
处，
f
'
(x
0
)?0
，切线 是“左上右下”式的，这时，函数
f(x)
在
x
1
附近单调递减．
'
结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间
(a,b)
内，如果
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这
'
个区间内单调递增；如 果
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递减．
'
说明：（1）特别的，如果
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内是常函数．
3．求解函数
y?f(x)
单调区间的步骤：
''
（1）确定函数
y?f(x)
的定义域； （2）求导数
y?f(x)
；
（3）解不等式
f(x)?0
，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式
f(x)?0
，解集在定义域内的部分为减区间．
三．典例分析
例1．已知导函数
f
'
(x)
的下列信息：
当
1?x?4
时，
f
'
(x)?0
；当
x ?4
，或
x?1
时，
f
'
(x)?0
；当
x?4
，或
x?1
时，
f
'
(x)?0

试画出函数
y?f(x)
图像的大致形状．
'
解：当
1? x?4
时，
f(x)?0
，可知
y?f(x)
在此区间内单调递增；
'
当
x?4
，或
x?1
时，
f(x)?0
；可知
y?f(x)
在此区间内单调递减；
'
当
x?4
， 或
x?1
时，
f(x)?0
，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．
综上，函数
y?f(x)
图像的大致形状如图3.3-4所示．
例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
32
（1）
f(x)?x?3x
； （2）
f(x)?x?2x?3

32
（3）
f(x)?sinx?xx?(0,
?
)
； （4）
f(x)?2x?3x?24x?1

3'22
解：（1）因为
f(x)?x?3x
，所以，
f(x)?3x?3?3(x?1)?0

3
因此，
f(x)?x?3x
在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．
'
2'
（2）因为
f(x)?x?2x?3
，所以，
f( x)?2x?2?2
?
x?1
?
，当
f(x)?0
，即x?1
时，函
'
'

数
f(x)?x
2< br>?2x?3
单调递增；
当
f
'
(x)?0
，即x?1
时，函数
f(x)?x
2
?2x?3
单调递减；
函数
f(x)?x
2
?2x?3
的图像如图3.3-5（2）所示．
（3）因为
f(x)?sinx?xx?(0,
?
)
，所以，
f
'
(x)?cosx?1?0

因此，函数
f(x)?si nx?x
在
(0,
?
)
单调递减，如图3.3-5（3）所示． < br>（4）因为
f(x)?2x
3
?3x
2
?24x?1
，所以 ．
当
f
'
(x)?0
，即 时，函数
f(x)?x
2
?2x?3
；
当
f
'
(x)?0
，即 时，函数
f(x)?x
2
?2x?3
；
函数
f(x)?2x
3
?3x
2
?24x?1
的图像如图3 .3-5（4）所示．
注：（3）、（4）生练
例3 如图3.3-6，水以常速（即单位 时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器
中，请分别找出与各容器对应的水的高度h
与时间
t
的函数关系图像．
分析：以容器（2）为例，由于容器上细 下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以
后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A） 符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．
解：
?
1?
?
?
B
?
,
?
2
?
??
A
?
,
?
3
?
?
?
D?
,
?
4
?
?
?
C
?
思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，
你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 ，那么函数在这个范围内变化的快，这时，
函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一 些．
如图3.3-7所示，函数
y?f(x)
在
?
0,b
?
或
?
a,0
?
内的图像“陡峭”，
在
?
b,??
?
或
?
??,a
?
内的图像“平缓”．
32
例4 求证：函数
y?2x?3x?12x?1
在区间
?
?2,1
?
内是减函数．
'22
证明：因为
y?6x?6x?1 2?6x?x?2?6
?
x?1
??
x?2
?

' 32
当
x?
?
?2,1
?
即
?2?x?1
时，
y?0
，所以函数
y?2x?3x?12x?1
在区间
?
?2,1
?
内是减函数．
说明：证明可导函数
f
?
x< br>?
在
?
a,b
?
内的单调性步骤：
（1）求导函数
f
'
?
x
?
； （2）判断
f
'
?
x
?
在
?
a,b
?
内的符号；
''
（3）做出结论：
f
?
x
?
?0
为增函数，
f
?
x
?
?0
为减函数．
2
32
例5 已知函数
f(x)?4x?ax?x(x?R)
在区 间
?
?1,1
?
上是增函数，求实数
a
的取值范围． 3
'2'
解：
f(x)?4?2ax?2x
，因为
f
?
x
?
在区间
?
?1,1
?
上是增函数，所以
f(x)?0
对
x?
?
?1,1
?
恒
2
成立，即
x?ax?2?0
对
x?
?
?1,1
?
恒 成立，解之得：
?1?a?1

所以实数
a
的取值范围为
?
?1,1
?
．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即
''
“若函数单调递增，则
f(x)?0
；若函数单调递减，则
f(x)?0”来求解，注意此时公式中的等
号不能省略，否则漏解．
四．课堂练习
1．求下列函数的单调区间
??
1.f(x)=2x
3
－6x
2
+7 2.f(x)=
2．课本 练习
五．回顾总结
（1）函数的单调性与导数的关系
（2）求解函数
y?f(x)
单调区间
1
+2x 3. f(x)=sinx , x
?[0,2
?
]

4. y=xlnx
x
（3）证明可导函数
f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的单调性
六．布置作业

§1.3.2函数的极值与导数（2课时）
教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
3.掌握求可导函数的极值的步骤；
教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.
教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.
教学过程：
一．创设情景
观察图3.3-8，我们发现，
t?a
时，高台跳水运动员距 水面高度最大．那么，函数
h(t)
在此
点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特 点？相应地，导数的符号有什么变化规律？
放大
t?a
附近函数
h(t)< br>的图像，如图3.3-9．可以看出
h
?
(a)
；在
t?a< br>，当
t?a
时，函数
h(t)
单调递增，
h
?
(t)?0
；当
t?a
时，函数
h(t)
单调递减，
h< br>?
(t)?0
；这就说明，在
t?a
附近，函数
值先增（t?a
，
h
?
(t)?0
）后减（
t?a
，< br>h
?
(t)?0
）．这样，当
t
在
a
的附近 从小到大经过
a
时，
h
?
(t)
先正后负，且
h< br>?
(t)
连续变化，于是有
h
?
(a)?0
．

对于一般的函数
y?f
?
x
?
，是否也有这样的性质呢？
附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一
点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导
数异号
二．新课讲授
2
1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度
h
随时间
t
变化的函数
h(t)??4.9t?6.5t?10
的图
'
像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度
v
随时间
t< br>变化的函数
v(t)?h(t)??9.8t?6.5
的图像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：
（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度
h随时间
t
的增加而增加，即
h(t)
是增函数．相应地，
v(t )?h
'
(t)?0
．
（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度
h
随时间
t
的增加而减少，即
h(t)
是减函数．相应地，
v(t)?h
'
(t)?0
．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
如图3.3-3，导数
f
'
(x
0
)
表示函数
f(x)
在点
( x
0
,y
0
)
处的切线的斜率．在
x?x
0
处，
f
'
(x
0
)?0
，
'
切线是“左 下右上”式的，这时，函数
f(x)
在
x
0
附近单调递增；在
x?x
1
处，
f(x
0
)?0
，切线
是“左上右 下”式的，这时，函数
f(x)
在
x
1
附近单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系
''
在某个区间
(a,b)
内， 如果
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递增；如果f(x)?0
，
那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递减．
'
说明：（1）特别的，如果
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内是常函数．
3．求解函数
y?f(x)
单调区间的步骤：

（1）确定函数
y?f(x)
的定义域； （2）求导数
y
'
?f
'
(x)
；
（3）解不等式
f
'
(x)?0
，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式
f
'
(x)?0
，解集在定义域内的部分为减区间．
三．典例分析
例1．已知导函数
f
'
(x)
的下列信息：
当
1?x?4
时，
f
'
(x)?0
；
当
x?4
，或
x?1
时，
f
'
(x)?0
；
当
x?4
，或
x?1
时，
f
'
(x)?0

试画出函数
y?f(x)
图像的大致形状．
解：当
1? x?4
时，
f
'
(x)?0
，可知
y?f(x)
在 此区间内单调递增；
当
x?4
，或
x?1
时，
f
'
(x)?0
；可知
y?f(x)
在此区间内单调递减；
当
x?4
，或
x?1
时，
f
'
(x)?0
，这两点 比较特殊，我们把它称为“临界点”．
综上，函数
y?f(x)
图像的大致形状如图3.3-4所示．
例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）
f(x)?x
3
?3x
； （2）
f(x)?x
2
?2x?3

（3）
f(x)?sinx?xx?(0,
?
)
； （4）
f(x)?2x
3
?3x
2
?24x?1

解：（1）因为
f(x)?x
3
?3x
，所以，
f
'
(x)?3x
2
?3?3(x
2
?1)?0

因此，
f(x)?x
3
?3x
在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．
（2）因为
f(x)?x
2
?2x?3
，所以，
f
'
(x)?2x?2?2
?
x?1
?

当
f
'
(x)?0
，即
x?1
时，函数
f(x)? x
2
?2x?3
单调递增；
当
f
'
(x)?0< br>，即
x?1
时，函数
f(x)?x
2
?2x?3
单调 递减；
函数
f(x)?x
2
?2x?3
的图像如图3.3-5（2）所示．
（3） 因为
f(x)?sinx?xx?(0,
?
)
，所以，f
'
(x)?cosx?1?0

因此，函数
f(x)?s inx?x
在
(0,
?
)
单调递减，如图3.3-5（3）所示．
（4） 因为
f(x)?2x
3
?3x
2
?24x?1
，所以 ．
'2
当
f(x)?0
，即 时，函数
f(x)?x?2x?3
；
'2
当
f(x)?0
，即 时，函数
f(x)?x?2x?3
；
32
函数< br>f(x)?2x?3x?24x?1
的图像如图3.3-5（4）所示．
注：（3）、（4）生练
例6 如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同 ）注入下面四种底面积相同的容器
中，请分别找出与各容器对应的水的高度
h
与时间< br>t
的函数关系图像．
分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入 时，开始阶段高度增加得慢，以
后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理 可知其它三种容器的情况．
解：
?
1
?
?
?
B< br>?
,
?
2
?
?
?
A
?
,< br>?
3
?
?
?
D
?
,
?
4< br>?
?
?
C
?

思考：例3表明，通过函数图像，不仅 可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，
你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，< br>函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数
y? f(x)
在
，在
?
b,??
?
或
?
??, a
?
内的图像“平缓”．
?
0,b
?
或
?
a,0
?
内的图像“陡峭”
32
例7 求证：函数
y?2x?3x ?12x?1
在区间
?
?2,1
?
内是减函数．
'22< br>证明：因为
y?6x?6x?12?6x?x?2?6
?
x?1
??< br>x?2
?

'32
当
x?
?
?2,1
?
即
?2?x?1
时，
y?0
，所以函数
y?2x?3x ?12x?1
在区间
?
?2,1
?
内是减函数．
说明：证 明可导函数
f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的单调性步骤：
'
（1）求导函数
f
?
x
?
；
'
（2）判断
f
?
x
?
在
?
a,b
?内的符号；
''
（3）做出结论：
f
?
x
?
?0
为增函数，
f
?
x
?
?0
为减函数．
??

例8 已知函数
f(x)?4x?ax?x(x?R)
在区间
?
?1,1
?
上是增函数，求实数
a
的取值范围．
3
'2'
解：
f(x)?4?2ax?2x
，因为
f
?
x
?
在区间
?
?1,1
?
上是增函数，所以< br>f(x)?0
对
x?
?
?1,1
?
恒
成立， 即
x
2
?ax?2?0
对
x?
?
?1,1
?
恒成立，解之得：
?1?a?1

所以实数
a
的取值范围为
?
?1,1
?
．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即
“若 函数单调递增，则
f
'
(x)?0
；若函数单调递减，则
f
'
(x)?0
”来求解，注意此时公式中的等
号不能省略，否则漏解．
四．课堂练习
1．求下列函数的单调区间
23
2
1.f(x)=2x
3
－6x
2
+7 2.f(x)=
1
+2x 3. f(x)=sinx , x
?[0,2
?
]

4. y=xlnx
x
2．课本P101练习
五．回顾总结
（1）函数的单调性与导数的关系
（2）求解函数
y?f(x)
单调区间
（3）证明可导函数
f?
x
?
在
?
a,b
?
内的单调性
六．布置作业



§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）
教学目标：
⒈使学生理解函数 的最大值和最小值的概念，掌握可导函数
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上所有点
（包括端点
a,b
）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条 件；
⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤
教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．
教学过程：
一．创设情景
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义 域内的性质．也就是
说，如果
x
0
是函数
y?f
?
x
?
的极大（小）值点，那么在点
x
0
附近找不到比
f?
x
0
?
更大（小）的值．但
是，在解决实际问题或研究函数的 性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如
果
x
0
是函数的最大（小）值，那么
f
?
x
0
?
不小（大）于函数
y?f
?
x
?
在相应区间上的所有函数值．
二．新课讲授
观察图中一个定义在闭区间
?
a,b
?
上的函数
f(x)< br>的图象．图中
y
f(x
1
)
与
f(x
3)
是极小值，
f(x
2
)
是极大值．函数
f(x)在
?
a,b
?
上
的最大值是
f(b)
，最小值 是
f(x
3
)
．
1．结论：一般地，在闭区间
?
a,b
?
上函数
y?f(x)
的图像是一条
连续不断的曲线，那么函 数
y?f(x)
在
?
a,b
?
上必有最大值与最小值． < br>说明：⑴如果在某一区间上函数
y?f(x)
的图像是一条连续不
断的曲线，则 称函数
y?f(x)
在这个区间上连续．（可以不给学生
讲）
a
x
1
O
x
2
x
3
b
x
⑵给定函数的 区间必须是闭区间，在开区间
(a,b)
内连续的函数
f(x)
不一定有最大 值与最小
值．如函数
f(x)?
1
在
(0,??)
内连续， 但没有最大值与最小值；
x

⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，
⑷函数< br>f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上连续，是
f(x)< br>在闭区间
?
a,b
?
上有最大值与最小值的充分条件而非
必要 条件．（可以不给学生讲）
2．“最值”与“极值”的区别和联系
⑴最值”是整体概念，是 比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概
念，是比较极值点附近函数值得 出的，具有相对性．
⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的
未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
3．利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数
f(x)
的图象可以看出，只 要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比
较，就可以得出函数的最值了．一般地，求函数
f(x)
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求
f(x)
在
(a,b)
内的极值；
⑵将
f( x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
、
f(b)
比较，其中最大 的一个是最大值，最小的
一个是最小值，得出函数
f(x)
在
?
a, b
?
上的最值
三．典例分析
例1．（课本例5）求
f
?
x
?
?
1
3
x?4x?4
在
?
0 ,3
?
的最大值与最小值
3
解： 由例4可知，在
?
0,3
?
上，当
x?2
时，
f(x)
有极小值，并且极小值 为
f(2)??
4
，又由于
3
14
f
?
0
?
?4
，
f
?
3
?
?1
，因此， 函数
f
?
x
?
?x
3
?4x?4
在
?
0,3
?
的最大值是4，最小值是
?
．
33
1
3
上述结论可以从函数
f
?
x
?
?x?4x?4
在
?
0,3
?
上的图象得到直观验证．
3
四．课堂练习
1．下列说法正确的是( )
A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) ( )
A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能
1
4
1
3
1
2
x?x?x
，在［－1，1］上的最小值为( )
432
13
A.0 B.－2 C.－1 D.
1 2
42
4．求函数
y?x?2x?5
在区间
?
?2,2?
上的最大值与最小值．
3．函数y=
12
10
8
6
4
2
y
5．课本 练习
-4
-2
五．回顾总结
O
2
4
1．函数在闭区间 上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；
2．函数
f (x)
在闭区间
?
a,b
?
上连续，是
f(x)
在 闭区间
?
a,b
?
上有最大值与最小值的充分条件而
非必要条件；
3．闭区间
?
a,b
?
上的连续函数一定有最值；开区间
( a,b)
内的可导函数不一定有最值，
若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值
4．利用导数求函数的最值方法．
六．布置作业
y=x
4
-2x
2
+5
x

§1.4生活中的优化问题举例（2课时）
教学目标：
1． 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中 的作用，提高将
实际问题转化为数学问题的能力
教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
教学过程：
一．创设情景：生活 中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问
题．通过前面的学习，我 们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，
解决一些生活中的优化问题．
二．新课讲授：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有
以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有
关 的最值问题；4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系， 建立适当的函数关系，并
确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立 适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是 一个有力的
工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题
建立数学模型
用函数表示的数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
作答
用导数解决数学问题

三．典例分析
例1．汽油的使用效率何时最高
我们知道，汽油的消耗量
w
（单位：L） 与汽车的速度
v
（单位：kmh）之间有一定的关系，
汽油的消耗量
w
是汽车速度
v
的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：
（1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？
（2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？
分析：研究汽油的使用效率（单位：Lm）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用
Gw
，其中，
w
表示汽油消耗量（单位：L），
s
表示汽油
s
行驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求
G
的最小值的问题．
表示每千米平均的汽油消耗量，那么
G?
通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，
人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率
g

（即每小时的汽油消耗量，单位：Lh）与汽车行驶的
平均速度
v
（单位：kmh）之间有
如图所示的函数关系
g?f
?
v
?
．
从图中不能 直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消
耗率
g
（即每小时的汽油消耗量，单位：Lh）与汽车行驶的平均速度
v
（单位：kmh）之间关系

的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．


w
wg
解：因为
G??
t
?

s
vs
t
gg
这样 ，问题就转化为求的最小值．从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进
vv
一步 发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90
kmh
．
因此， 当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车
速约为90< br>kmh
．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即
f
?
?
90
?
，约为 L．
例2．磁盘的最大存储量问题
计 算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和
扇区。磁道是 指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定
长弧段可作为基本存 储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比
特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于
m
，每比特所占用的磁道长度不得小于
n
。
为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题： 现有一张半径为
R
的磁盘，它的存储区是半径介于
r
与
R
之 间的环形区域．
（1） 是不是
r
越小，磁盘的存储量越大？
（2）
r
为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于
r
与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于
m
，且最外面的磁道不存储任
R?r
。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条
m
2
?
r
磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量
n
R?r2
?
r2
?
?r(R?r)
×
f(r)?
mmn
n
（1） 它是一个关于
r
的二次函数 ，从函数解析式上可以判断，不是
r
越小，磁盘的存储量越大．
何信息，故磁道数最多可达
（2） 为求
f(r)
的最大值，计算
f
?
(r)?0
．
f
?
(r)?
R
2
?
?
R?2r
?
令
f
?
(r)?0
，解得
r?

2
mn
当
r?
RR
时，
f
?
(r)?0< br>；当
r?
时，
f
?
(r)?0
．
22R
2
?
R
2
因此
r?
时，磁盘具有最大存储量 。此时最大存储量为
2
mn4
例3．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
2
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是
0.8
?
r
分，其中
r
是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制
造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
解：由于瓶子的半径为
r
，所以每瓶饮料的利润是
4
< br>y?f
?
r
?
?0.2?
?
r
3
? 0.
?
8r
2
?
3
?
r
3
?2
?
0.8?r
??
?
3
?
?r,?0

6
令
f
?
?
r
?
?0.8
?
(r
2
?2r)?0
解得
r?2
（
r?0
舍去）
当
r?
?
0,2
?
时，
f
?
?
r
?
?0
；当r?
?
2,6
?
时，
f
?
?
r
?
?0
．
当半径
r?2
时，
f
?
?< br>r
?
?0
它表示
f
?
r
?
单调递增 ，即半径越大，利润越高；
当半径
r?2
时，
f
?
?r
?
?0
它表示
f
?
r
?
单调递减，即半径越大，利润越低．
（1） 半径为
2
cm 时，利润最小，这时
f
?
2
?
?0
，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，
此时利润是负值．
（2） 半径为
6
cm时，利润最大．
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？
有图像知： 当
r?3
时，
f
?
3
?
?0
，即瓶子的半 径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；
当
r?3
时，利润才为正值．
当
r?
?
0,2
?
时，
f
?
?< br>r
?
?0
，
f
?
r
?
为减函数，其 实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶
子的半径越大，利润越小，半径为
2
cm 时，利润最小．
说明：


四．课堂练习
1．用总长为14. 8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边
长0.5m,那么高为 多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m，最大容积
1.8m
）
5．课本 练习


五．回顾总结
1．利用导数解决优化问题的基本思路：
建立数学模型
3
优化问题
用函数表示的数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
作答
用导数解决数学问题

2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与 其相应的数学模型，再通过研究相
应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数 往往是一个有利的工具。
六．布置作业

§1.5.3定积分的概念
教学目标：
1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；
2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定
积分；
3.理解掌握定积分的几何意义．
教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．
教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．
教学过程：
一．创设情景
复习：
1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：
分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）
2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．
二．新课讲授
1．定积分的概念
a
,
b
]
上连续，用分点 一般地，设 函数
f(x)
在区间
[
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
x
i
-1
<
x
i
x
n
=
b

b
-
a
将区间
[a,b]
等分成
n
个小区间，每个小区间长 度为
D
x
（
D
x
=
），在每个小区间
[< br>x
i
-1
,
x
i
]
n
上任取一点< br>x
i
(
i
=1,2,L,
n
)
，作和式：
S
n
=
如果
D
x
无限接近于
0
（ 亦即
n
?
其中
邋
f
(x
i
)D
x
=
i
=1
n
b
-
a
f
(x
i
)

n
i
=1
n
函数
f(x)
在区间
[a,b]
上的定积分。记为：
S
=
?
）时，上述 和式
S
n
无限趋近于常数
S
，那么称该常数
S
为< br>b
x
)
dx
－被积式。 分区间，
f
(
说明 ：（1）定积分
ò
-
积分号，
b
－积分上限，
a
－ 积分下限，
f(x)
－被积函数，
x
－积分变量，
[a,b]
－积
ò
a
f
(
x
)
dx
，
d x
是一个常数，即
S
ò
a
f
(
x
)
b
n
无限趋近的常数
S
（
n
??
时）记为
ò
a
b
f
(
x
)
dx
，而不是
S
n
．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：
n
等分区间
[
a
,
b
]
；②近似代替：取点
bb
-
a
f
(x
i
)
；④取极限：
ò< br>f
(
x
)
dx
=lim
x
i
?[
x
i
-1
,
x
i
]
；③求和：?
n
a
n
i
=1
n
?
i
n< br>f
(
x
i
)
=1
b
-
a

n
（3）曲边图形面积：
S
=
ò
a
f
(< br>x
)
dx
；变速运动路程
S
=
ò
b
t
2
t
1
v
(
t
)
dt
；变力做 功
W
=
ò
a
b
F
(
r
)
dr

2．定积分的几何意义

从几何上看，如果在区间
[< br>a
,
b
]
上函数
f
(
x
)
连续且恒有
f
(
x
)?0
，那么定积分
直线
x=
a
,
x
=
b
(
a
?
b),
y
积，这就是定积分
b
ò
a
f
(
x
)
dx
表示由
b
0
和曲线
y
=
f
(
x
)
所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面
ò
a
f
(
x
)
dx
的几何意义。
dx
的几何 意义是介于
x
轴、函数
f(x)
的图形以及直线
ò
a
f
(
x
)
b
说明：一般情况下，定积分
x
=a
,
x
=
b
之间各部分面积的代数和，在
x
轴 上方的面积取正号，在
x
轴下方的面积去负号。
分析：一般的，设被积函数
y
=
f
(
x
)
，若
y
=
f
(
x
)
在
[a,b]
上可取负值。
考察和式
f
(
x
1
)
D
x
+
f
(
x
2
)
D
x
+L+
f
(
x
i
)D
x
+L+
f
(
x
n
)
D
x

不妨设
f
(
x
i
),
f
(x
i
+1
),L,
f
(
x
n
)<0< br>
于是和式即为
f
(
x
1
)
D
x< br>+
f
(
x
2
)
D
x
+L+
f
(
x
i
-1
)D
x
-{[-
f
(
x
i
)D
x
]+L+[-
f
(
x
n
)
D
x
]}


ò
a
b
f
(
x
)
dx
=
阴影
A
的面积—阴影< br>B
的面积（即
x
轴上方面积减
x
轴下方的面积）
思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面
积S吗？
3．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
ò
a
b
kdx
=
k
(
b
-
a< br>)
；
bb
a
性质2
质）；
蝌
kf
(
x
)
dx
=
k
a
f
(
x)
dx
(
k
为常数)
（定积分的线性性
b
a< br>b
性质3
性质4
性）
(1)
[
f
(x
)?
f
(
x
)]
dx
蝌
a
12
b
f
1
(
x
)
dx
?
； < br>?
a
f
(
x
)
dx
（定积分的线性性质）< br>2
f
(
x
)
dx
=
蝌
a
a
b
bc
a
f
(
x
)
dx
+
?
c
b
f
(
x
)
dx
(其中
a
<
c
<
b
)
（定积分对积分区间的可加
f
(
x
)
dx
=-
蝌
a
b
f
(x
)
dx
； (2)
ò
a
f
(
x
)
dx
=0
；
b
a
a
说明：①推广：
[
f
(
x)北
f
(
x
)
蝌
a
12
b
L ?
f
m
(
x
)]
dx
c
1
af
1
(
x
)
dx
北
蝌
f
2< br>(
x
)
dx
a
b
L?
b
a
f
m
(
x
)

②推广:
f
(< br>x
)
dx
=
蝌
a
b
f
(
x
)
dx
+
f
(
x
)
dx
+L+< br>蝌
c
1
c
2
b
c
k
f
(< br>x
)
dx

③性质解释：

y
性质4
性质1
y=1
M
Oa
P
y
A
C
B
O
a
b
x
N
b
x

S
曲边梯形
AMNB
=
S
曲边梯形
AMPC
+
S
曲边梯形
CPNB
三．典例分析
例 1．利用定积分的定义，计算
分析：令
f
(
x
)=
（１）分 割
把区间
[
0,1
]
n等分，则第i个区间为：
犏
1


ò
0
x
3
dx
的值。
x
3
；
轾
i
-1
i
,(
i=1,2,L,
n
)
，每个小区间长度为：
犏
臌
nn< br>V
x
=
ii
-11
-=
；
nnn
i
(
i
=1,2,L,
n
)
，则
n
（２） 近似代替、求和
取
x
i
=
ò
ò
1
0x
3
dx
?
S
n
i
f
()?V
x
邋
n
i
=1
n
i
1
()?
n
i
=1
n
2
n
3
11
2
1
骣
1
÷
2
3
?
i
=
nn
+1= 1+
()
÷
（３）
?
?
桫
n
÷
n
4
i
=1
n
4
44
?
1
n
2
取极限
1
0
1
骣
1
÷
1
x dx
=lim
S
n
=lim
?
1+
÷
=< br>.
?
÷
?
nn
4
桫
n
4
3
例2．计算定积分
ò
2
1
(
x
+1)
d x

分析：所求定积分是
x
=1,
x
=2，
y=0与
y
=
2
55
dx
=
面积，面积为。 即：
ò
(
x
+1)
1
22
x
+1
所围成的梯形面积，即为如图阴影部分
y
思考：若改为计算定积分
ò
2-2
(
x
+1)
dx
呢？改变了积分上、下限，
-2,2]
上 被积函数在
[
出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）
O
1 2
x

例３．计算定积分
ò
1< br>0
(2
x
-
x
2
)
dx

(2
x
-
x
)
dx
=2
蝌
0
1< br>2
1
0
分析：利用定积分性质有，
利用定积分的定义分别求出
四．课堂练习
计算下列定积分
1．
2．
xdx
-
?1
0
x
2
dx

1
ò
1
0
dx
的值。
xdx
，
ò
xdx
，就能得到
ò
(2
x
-
x
2)
2
00
1
ò
ò
5
0
1
(2
x
-4)
dx

ò
(2
x
-4)
dx
=9-4=5

0
5
-1
xdx

ò
xdx
=
-1
1
11
创11+创11=1

22
3．课本练习：计算
ò
2
0
x
3
dx
的值，并从几何上解释这个值表示什么？
五．回顾总结
1．定积分的概念、用定义法求简单的定积分、定积分的几何意义．
六．布置作业： P50 3、5

第二章 推理与证明
合情推理
掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
●教学重点：归纳推理及方法的总结。
●教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。
●教具准备：与教材内容相关的资料。
●课时安排：1课时
●教学过程：
一.问题情境
(1)原理初探
①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”
②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？
③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？
从而引入两则小典故：（图片展示- 阿基米德的灵感）
A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？
B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？
正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大
的“杠杆原理”。
④思考：整个过程对你有什么启发？
⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜
想和证明”。
观察 猜想
归纳推理的发展过程
证明

(2)皇冠明珠
追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。
链接:

哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690

世界近代三大数学难题之一。

年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。174 2年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的

偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数 ）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742

年6月7日哥德巴赫(Goldb ach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何

一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个

奇质数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但

他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引

起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成
当 然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7,

功。
14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 =

5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的

数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年 过去

了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了 20世纪20年代，才

有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法 证明，得出了一个结论：每一个比大的

偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很 管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数

里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。

思考：其他偶数是否也有类似的规律？
③讨论：组织学生进行交流、探讨。
④检验：2和4可以吗？为什么不行？
⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。
3.数学建构
●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
注:归纳推理的特点;
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
●归纳推理的一般步骤：
4.师生活动
例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用 肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是
用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.
结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
例2 前提：三角形的内角和是180
0
，凸四边形的内角和是360
0
，凸五边形的内角和是40
0
，……
结论：凸n 边形的内角和是（n—2）×180
0
。
例3
22?122?222?3
?,?,?,?

33?133?233?3bb+m
由此我们猜想：?(a,b,m均为正实数)。
aa+m
探究：上述结论 都成立吗？
强调：归纳推理的结果不一定成立！ —— “ 一切皆有可能！”
5.提高巩固
?
a
n
?
的第一项a
1
? 1,且a
n?1
?例4：已知数列
数列的通项公式。
a
n
( n?1,2,......),试归纳出这个

1?a
n
①探索：先让学生独立进行思考。
②活动：“千里走单骑” — 鼓励学生说出自己的解题思路。
③活动：“圆桌会议” — 鼓励其他同学给予评价，对在哪里？错在哪里？还有没有更好的方法？
【设计意图】：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生
的荣誉感，培养学生独立分析问题和解 决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学
生敢想、敢说、敢做的能力。
【一点 心得】：在“千里走单骑”和“圆桌会议”的探究活动中，教师一定要以“鼓励和表扬”为主，面
带微笑 ，消除学生的恐惧感，提高学生的自信心．
⑵能力培养（例2拓展）
例4拓展:a
1
?2,a
2
?1,a
3
?
21
,a
4< br>?,求a
n
??

32
①思考：怎么求
a
n
？组织学生进行探究，寻找规律。

②归纳：由学生讨论，归纳技巧，得到技巧②和③。
技巧②:有整数和分数时,往往将整数化为分数.
技巧③:当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找另一部分的变化规律.
6.课堂小结
(1)
归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个 体数目越多，越具有代表性，
那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
(2)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一
个明确表述的一般命题（猜想）
证明






类比推理
●教学目标：
通过对已学知 识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现
中去。
类比推 理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，
相似的性质与推 测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
正确认识合情推理在数学中的重要作用 ，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之
间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探 求新知识。
认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。
●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。
●教具准备：与教材内容相关的资料。
●课时安排：1课时
●教学过程：
一．问题情境
从一个传说说起：春秋 时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树
时被一株齿形的茅草割破了手 ，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.
这个推理过程是归纳推理吗？
二．数学活动：我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质： 猜想不等式的性质：
(1) a=b?a+c=b+c; (1) a＞b?a+c＞b+c;
(2) a=b? ac=bc; (2) a＞b? ac＞bc;
(3) a=b?a
2
=b
2
;等等。 (3) a＞b?a
2
＞b
2
;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.

球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
圆的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
球的性质
球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距 离不等的两弦与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两
不等，距圆心较近的弦较长 截面圆不等，距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切球的切面垂 直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面
线的直线必经过切点 的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
☆上述两 个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面
也相似或相同 ；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推
理（简称类比）． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。即
观察、比较 联想、类推 猜想新结论

例3.在平面上,设h
a
,h
b
,h
c
是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应 三边的距离分
别为p
a
,p
b
,p
c
,我们可以得 到结论:
p
a
p
b
p
c
???1

h
a
h
b
h
c

试通过类比,写出在空间中的类似结论.
巩固提高
1．(2001年上海)已知两 个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴
方程. 将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应
成为所推广 命题的一个特例,推广的命题为-----------------------------
2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形

3个面两两垂直的四面体

∠C＝90° ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
3个边的长度a，b，c 4个面的面积S1，S2，S3和S
2条直角边a，b和1条斜边c 3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S
3．（2004，北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如 果每一项与它的后一项的和都为同一个常
数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列
{a
n
}
是等和数列，且
a
1< br>?2
，公和为5，那么
a
18
的值为______________， 这个数
列的前n项和
S
n
的计算公式为________________
课堂小结
1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性 质相似性越多，
相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
2． 类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或者一致性。
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）


演绎推理
教学目标：1. 了解演绎推理 的含义。
2. 能正确地运用演绎推理 进行简单的推理。
3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学重点：正确地运用演绎推理 进行简单的推理
教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学过程：
一．复习:合情推理
归纳推理 从特殊到一般
类比推理 从特殊到特殊
从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。类比――提出猜想
二．问题情境。 观察与思考
1所有的金属都能导电
铜是金属, 所以，铜能够导电
2.一切奇数都不能被2整除, (2100+1)是奇数， 所以， (2100+1)不能被2整除.
3.三角函数都是周期函数, tan
?
是三角函数, 所以，tan
?
是 周期函数。
提出问题 ：像这样的推理是合情推理吗？
二．学生活动 ：
1.所有的金属都能导电 ←————大前提 铜是金属, ←-----小前提
所以，铜能够导电 ←――结论
2.一切奇数都不能被2整除 ←————大前提 (2100+1)是奇数，←――小前提
所以， (2100+1)不能被2整除. ←―――结论
3.三角函数都是周期函数, ←——大前提
tan
?
是三角函数, ←――小前提 所以，tan
?
是 周期函数。←――结论

三，建构数学
演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
１．演绎推理是由一般到特殊的推理；
２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括
⑴大前提---已知的一般原理；
⑵小前提---所研究的特殊情况；
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三段论的基本格式
M—P（M是P） （大前提）
S—M（S是M） （小前提）
S—P（S是P） （结论）
3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
四，数学运用

例1、把“函数y?x
2
?x?1的图象是一条抛 物线”恢复成完全三段论。
解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）
2
是二次函数（小前提）

函数y?x?x?1
2
y?x?x?1的图象是一条抛物线（结论）

所以，函数
例2.已知lg2=m,计算lg0.8
解 （1） lgan=nlga(a>0)---------大前提
lg8=lg23————小前提
lg8=3lg2————结论
lg(ab)=lga- lgb(a>0,b>0)——大前提
lg0.8=lg(810)——－小前提
lg0.8=lg(810)——结论
例3.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC, D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离
相等
解： (1)因为 有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提，在△ABC中,AD⊥BC,即∠
ADB=9 0°——-小前提 所以△ABD是直角三角形——结论
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提，因为 DM是直角三角形斜边上的中
线,——小前提 ，所以 DM=
1
AB——结论
2
同理 EM= AB 所以 DM=EM.
练习：第35页 练习第 1，2，3，4，题
五 回顾小结：演绎推理具有如下特点:课本第33页 。 演绎推理错误的主要原因是
1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的条件。
作业：第35页 练习 第5题 。习题2。1 第4题。

推理案例赏识
课型：新授课
教学目标：
1. 了解合情推理和演绎推理 的含义。
2. 能正确地运用合情推理和演绎推理 进行简单的推理。
3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学重点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别
教学难点：了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的。
教学过程：
2 复习 合情推理和演绎推理的过程
3 案例：
例一 正整数平方和公式的推导。
提出问题
我们知道，前n个正整数的和为
1
S
1
(n)=1+2+3+…….+n=
2
n(n+i) ①
那么，前n 个正整数的平方和

S
2
（n）＝
1
2
?2
2
?3
2
?........?n
2
＝？ ②
三，数学活动
n(n?1)(2n?1)
6
思路1 （归纳的方案） 参照课本 第36页 －37页 三表 猜想
S
2
（n）＝
思考 ：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？
提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？
思路2 （演绎的方案）
尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和。
2 把正整数的平方和表示出来，参照课本棣37页
左右两边分别相加，等号两边的
S
2
（n）被消去了，所以无法从中求出
S
2
（n）的值，尝试失败了。
（2）从失败中吸取有用信息，进行新的尝试
（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式。左右两边相加，
终于导出了公式。
思考： 上面的数学活动是由哪些环节构成的？ 在这个过程中提出了哪些猜想？
提出猜想时使用了哪些推理方法？ 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用。
四，数学理论：
上面的案例说明：
（1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是 一个不断地提出猜想验证猜想的过程，合情推理
和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的 进程。
（2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向 ，
具有提出猜想、发现结论，提供思路的作用。
（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理 ，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，
它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作 出“判决”和证明，从而为调控探索活动
提供依据。
五，巩固练习： 阅读课本第39页
棱台体积公式的探求

通过阅读或查资料，寻找合情推理和演绎推 理在数学推理在数学活动中的作用的案例，并回答问题：
1 。案例中的数学活动是由哪些环节构成的？ 2 。在上这个过程中提出了哪些猜想？
3 ， 提出猜想时使用了哪些推理方法？ 4， 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？
六，教学小结：
（1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想 的过程，合情推理
和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程。
（2）合情 推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，
具有提出猜想、发 现结论，提供思路的作用。
（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有 类似于“实验”的功能，
它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调 控探索活动
提供依据。
七，作业：
八，教后感：


直接证明--综合法与分析法
1．教学目标：
知识与技能：结合已经学过的数学实 例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了
解分析法和综合法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题
的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点
3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点
4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式
分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
6．教学过程:
学生探究过程：证明的方法
（1）、分析法和综合法是思 维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证
结论或需求问题出发，一步一步地 探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条
件出发，经过逐步的逻辑推理，最后 达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果
索因，综合法表现为由果导因，它们是 寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
（2）、例1．设a、b是两个正实数， 且a≠b，求证：a
3
+b
3
＞a
2
b+ab
2< br>．
证明：(用分析法思路书写)
要证 a
3
+b
3
＞a
2
b+ab
2
成立，
只需证(a+b)(a
2
-ab+b
2
)＞ab(a+b)成立，
即需证a
2
-ab+b
2
＞ab成立。(∵a+b＞0)
只需证a
2
-2ab+b
2
＞0成立，
即需证(a-b)
2
＞0成立。
而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)
2
＞0显然成立，由此命题得证。
(以下用综合法思路书写)
∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0 亦即a2-ab+b2＞ab
由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证
2422
3(1?x?x)?(1?x?x).

x?1
例2、若实数，求证：
证明：采用差值比较法：
3(1?x
2
?x
4
)?(1?x?x
2
)
2

=
3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x

=
2(x?x?x?1)
=
2(x?1)(x?x?1)

432 2
242423
13
2(x?1)
2
[(x?)
2
?].
24
=
13
?x?1,从而(x?1)
2
?0,且 (x?)
2
??0,
24

13
2(x?1)
2< br>[(x?)
2
?]?0,
2422
3(1?x?x)?(1?x?x) .

24
∴ ∴
?
a,b?R,
求证
a
a
b
b
?a
b
b
a
.
例3、已知
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于
a,b
对称，不妨设
a?b?0.
< br>?a?b?0
?a
a
b
b
?a
b
b
a
?a
b
b
b
(a
a?b
?b
a?b)?0
，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设
a?b?0,
a
a
a
b
b
a
?
?1,a?b?0,
?
ba
?()
a?b
?1.
b
b

ab
故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比 较法证明不等式的步骤是：作
差（或作商）、变形、判断符号。
讨论：若题设中去掉
x?1
这一限制条件，要求证的结论如何变换？
巩固练习：第81页练习1 , 2 , 3 , 4
课后作业：第84页 1，2, 3
教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一
步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

间接证明--反证法
1．教学目标： 知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证
法的思 考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题
的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点
3. 教学难点：反证法的思考过程、特点
4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称 的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已
知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定 矛盾等各种情况。
6．教学过程:
学生探究过程：综合法与分析法
(1)、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设， 然后，从这个假设出发，经
过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种 方法。反证法可以分
为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反 证法证明一个命题
的步骤，大体上分为：
(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，
例如：是 不是；存在不存在；平行于不平行于；垂直于不垂直于；等于不等于；大(小)于不大(小)
于；都是不 都是；至少有一个一个也没有；至少有n个至多有(n一1)个；至多有一个至少有两
个；唯一至少有两 个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源
之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、
定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
(2)、例子
例1、求证：
2
不是有理数

nn
例2、已知
a ?b?0
，求证：
a?b
（
n?N
且
n?1
）

33
a?b?2
，求证
a?b?2.
例3、设
证明：假设
a?b?2
，则有
a?2?b
，从而
a
3
?8?12b?6b
2
?b
3
,
3322a?b?6b?12b?8?6(b?1)?2.

2
6(b? 1)?2?2
，所以
a
3
?b
3
?2
，这与题设条 件
a
3
?b
3
?2
矛盾，所以，原不 因为
等式
a?b?2
成立。

1
f(1) ,f(2),f(3)
例4、设二次函数
f(x)?x?px?q
，求证：中至少有一 个不小于
2
.
2
1
f(1),f(2),f(3)
证明： 假设都小于
2
，则

f(1)?2f(2)?f(3)?2.
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
f(1)?2f(2)?f(3)?f(1)?2f(2)?f(3)

?(1?p?q)?2(4?2p?q)?(9?3p?q)?2
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
注意：诸如本例中的问题，当要 证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证
法进行。
议一议：一般来说 ，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已
知公理、定义、定理或已 知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，
讨论寻找矛盾的手段、方法有 什么特点？
1
例5、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于
4

111
证：设(1 ? a)b >
4
, (1 ? b)c >
4
, (1 ? c)a >
4
,
1
则三式相乘：ab < (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <
64
①
1
?
(1?a)?a
?
0?(1?a)a?
?
?
?
24

??
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
(1?b)b?
同理：< br>2
11
(1?c)c?
4
,
4

1
以上三式相乘： (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤
64
与①矛盾 ∴原式成立
例6、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c = ?a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾
又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
巩固练习：第83页练习3、4、5、6
课后作业：第84页 4、5、6

教学反思：
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论 相反的假设，然后，从这个假设出发，
经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命 题正确的一种方法。反证法可以
分为归谬反证法
(
结论的反面只有一种
)与穷举反证法
(
结论的反面不只一种
)
。用反证法证明一个命
题 的步骤，大体上分为：
(1)
反设；
(2)
归谬；
(3)
结 论。


反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为 否定的表述形式是有必要的，
例如：是

不是；存在

不存在；平行于< br>
不平行于；垂直于

不垂直于；等于

不等于；大
(小
)
于

不大
(
小
)
于；都是

不都是；至少有一个

一个也没有；至少有
n
个

至多 有
(n
一
1)
个；至多有一个

至少有两
个；唯一< br>
至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须 从反设出发，否则推导将成为无源
之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知 条件矛盾；与已知的公理、
定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。




数学归纳法
一、教学目标：
1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法。
3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
二、教学重点：
掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。
难点：
能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

三、教学过程：
【创设情境】
1．华罗庚的“摸球实验”。 2．“多米诺骨牌实验”。

问题：
如何保证所摸的球都是红球？多米诺骨牌全部倒下 ？处了利用完全归纳法全部枚举之
外，是否还有其它方法？
数学归纳法：数学归纳法实际上是 一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷
的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是 处理自然数问题的有力工具。
【探索研究】
1．
数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）

2．
数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n取第一个值n
0
结论正确；
（2）（递推归纳） ：假设当n=k(k∈N
*
，且k≥n
0
)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n
0
开始的所有正整数n都正确。

【例题评析】
例1：
以知数列{a
n
}的公差为d ，求证：
a
n
?a
1
?(n?1)d


说明：
①归纳证明时，利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系，是解题的
关键。
②数学归纳法证明的基本形式；
（1）（递推奠基）：当n取第一个值n
0
结论正确；
（2）（递推归纳） ：假设当n=k(k∈N
*
，且k≥n
0
)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n
0
开始的所有正整数n都正确。
EX:
1.判断下列推证是否正确。
P88 2,3
2. 用数学归纳法证明
1?4?2?7?3?10???n(3n?1)?n(n?1)
2


例2：
用数学归纳法证明
111
??????1
(n∈N,n≥2)
n?1n?23n?1
说明：
注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。
EX:1.
用数学归纳法证明:
1?
111
???
234
?
1111
????
2n?12nn?1n?2
?
1

2n
(1)当n=1时,左边有_____项,右边有_____项；
(2)当n=k时,左边有_____项,右边有_____项；
(3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项；
(4)等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同?

变题:
用数学归纳法证明
111
?
2
????
n
?1
(n∈N
+
)

222
111
例3：
设f(n)= 1+
?????
,求证n+f(1)+f(2)+…f(n-1)=nf(n) (n∈N,n≥2)
23n
说明：
注意分析f(k)和f(k+1)的关系。

【课堂小结】
1．
数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n取第一个值n
0
结论正确；
（2）（递推归纳） ：假设当n=k(k∈N
*
，且k≥n
0
)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n
0
开始的所有正整数n都正确。

2.
注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。利用归纳假设创造递推条 件，寻求f(k+1)与f(k)的递推
关系.

【反馈练习】
1．用数 学归纳法证明3
k
≥n
3
(n≥3,n∈N)第一步应验证( )
A n=1 B n=2 C n=3 D n=4
2．
用数学归纳法证明
1?
左端增加的项数是( )
A. < br>11
??
23
?
1
2
n
?1
?n< br>?
n?N且n?1
?
第二步证明从“k到k+1”，
2
k?1
B
2
k
?1
C
2
k
D
2
k?1

11113

??
?
??
n?1n?22n24
11713
证明 (1)当n=2时，
???
2?12?21224
11113
(2)假设当 n=k时成立，即

??
?
??
k?1k?22k24
11 11111
则当n?k?1时,????????
k?2k?32k2k?12k?2k?1k ?1
131111311
???????

242k?12k?2k?124 2k?12k?2
13113
???
242(2k?1)(k?1)24
3． 若n为大于1的自然数，求证
4．
用数学归纳法证明
?
n?1
? ?
n?2
?

【课外作业】 《课标检测》




?
n?n
?
?2
n
?1?3???
2n?1
?
,
?
n?N
?
?

数学归纳法
一、教学目标：
1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。
二、教学重点：
能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
难点：
归纳→猜想→证明。

三、教学过程：
【创设情境】
问题1：
数学归纳法的基本思想？
以数学归纳法原 理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有
限步骤的演绎过程。（递推 关系）
问题2：
数学归纳法证明命题的步骤？
（1）递推奠基：当n取第一个值n
0
结论正确；
（2）递推归纳：假设当 n=k(k∈N
*
，且k≥n
0
)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n
0
开始的所有正整数n都正确。
数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、
不等式；数 的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n项和等问题。
【探索研究】
问题：
用 数学归纳法证明：
(3n?1)7
n
?1
能被9整除。
法一：配凑递推假设：
法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。

说明：
①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。
②注意从“n=k到n=k+1”时项的变化。
【例题评析】
例1：
求证: a
n?1
?(a?1)
2n?1
能被
a
2
?a ?1
整除（n∈N
+
）。


例2：
数列{an
}中，
a
n?1
?a
n
,a
1
=1
且
(a
n?1
?a
n
)
2
?2(a
n
?a
n?1
)?1?0

（1）求
a
2
,a
3
,a
4
的值；
（2）猜想{a
n
}的通项公式，并证明你的猜想。

说明：
用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明


变 题：
（2002全国理科）设数列{a
n
}满足
a
n?1
? a
n
2
?na
n
?1
，n∈N
+
,
(1)当a
1
=2时，求
a
2
,a
3< br>,a
4
，并猜想{a
n
}的一个通项公式；
（2）当a
1
≥3时，证明对所有的n≥1,有
①a
n
≥n+2 ②
11
??
1?a
1
1? a
2
11
?

1?a
n
2

例3：
平面内有
n
条直线，其中任何两条不平行， 任何三条直线不共点，问：这n条直线将
平面分成多少部分？


变题：< br>平面内有n个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：
这n个圆把 平面分成n+n+2个部分。


2
例4：
设函数f(x)是满足 不等式
log
2
x?log
2
(32
k?1
?x) ?2k?1
,(k∈N
+
)的自然数x的
个数；
（１）求f(x)的解析式；
（２）记S
n
=f(1)+f(2)+…+f (n),求S
n
的解析式；
（３）令Ｐ
n
=n
2
+n-1 (n∈N
+
),试比较Ｓ
n
与Ｐ
n
的大小。
【课堂小结】
1.猜归法是发现与论证的完美结合
数学归纳法证明正整数问题的一般方法：归纳→猜想→证明。
2.两个注意：
（1）是否用了归纳假设？ （2）从n=k到n=k+1时关注项的变化？

【反馈练习】
1 观察下列式子
1?
131151117
?,1?
2
?
2
?,1?
2
?
2
?
2
?
… 则可归纳出____
2234
23234
答案
:1?
1112 n?1
??
?
??
(n∈N
*
)
222
n?1
23(n?1)
n
2
1．
用数学归纳法证明
2
?
n
?
n?4,n?N
?
?


2．已知数列
1111
，，，...，，...，
计算
S
1
，S
2
，S
3
，S
4
根据计算结
，
1?44?77?10（3n?）（23n?）1
果，猜想
S
n
的表达式， 并用数学归纳法证明。
?
1
?
?
?
2
?
?
?
3
?
3.是否存在常数a、b、c，使等式
??????
?
n
??
n
??
n
?
对一切
n?N都成立？并证明你的结论.
【课外作业】 《课标检测》


?
333
?
?
n
?
?
??
?
n
?
3
an
2
?bn?c
?

n

复习课
一、教学目标：
1．了解本章知识结构。
2．进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。
3．认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力。
二、教学重点：
进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。
难点：
认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力

三、教学过程：
【创设情境】
一、知识结构：
归纳推理

合情推理

推理 类比推理

演绎推理
推

理

与
综合法

证
分析法
直接证明

明
数学归纳

证明


间接证明 反证法

【探索研究】
我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎 的推理形式及特点；揭示了分析法、综合法、数学归纳
法和反证法的思维过程及特点。通过学习，进一步 感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对
数学的完整认识。

【例题评析】 < br>例1：
如图第n个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。则第n－2< br>个图形
中共有
______
__个顶
点。

变题：黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：









第1个
第2个
第3个
则第n个图案中有白色地面砖 块。
例2 ：
长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为
?
,
?
，则cos
2
?
?sin
2
?

=1，将长方形与 长方体进行类比，可猜测的结论为：_______________________;
变题1：
已知，m是非零常数，x∈R,且有
f(x?m)
=
数？若是，求出它的一个周期，若不是，说明理由。


1?f(x),问f(x)是否是周期函
1?f(x)
变题2：
数列
{a
n< br>}
的前n项和记为S
n
，已知
a
1
?1,a
n?1
?
（Ⅰ）数列
{

n?2
S
n
(n
?
1,2,3
?
).
证明：
n
S
n
}
是等比数列； （Ⅱ）
S
n?1
?4a
n
.

n
例3：< br>设f(x)=ax
2
+bx+c(a≠0),若函数f(x+1)与函数f(x)的图象 关于y轴对称，求证：
f(x?
1
)
为偶函数。
2
11 1n
例4：
设S
n
=1+
++...+
(n>1,n∈N),求证：
S
2
n
?1?
（
n?2,n?N
）
23n2
n(n?1)
(an
2
+bn+c) 对于一切正整
12
评析：数学归纳法证明不等式时，经常用到“放缩”的技巧。
变题 ：是否存在a、b、c使得等式1·2
2
+2·3
2
+…+n(n+1)2
=
数n都成立？证明你的结论。
解 假设存在a、b、c使题设的等式成立，

1
?
4?(a? b?c)
?
6
?
a?3
?
1
??
?
?
b?11
这时令n=1,2,3,有
?
22?(4a?2b?c)
2
??
c?10
?
?
70?9a?3b?c
??
于是，对n=1,2,3下面等式成立
1·2
2
+2·3
2
+…+n(n+1)
2
=
n(n?1)
(3n
2
? 11n?10)

12
记S
n
=1·2
2
+2·3
2
+…+n(n+1)
2

（1）n=1时，等式以证，成立。 < br>（2）设n=k时上式成立，即S
k
=
那么S
k+1
=Sk
+(k+1)(k+2)
2
=
k(k?1)
(3k
2
+11k+10)
12
k(k?1)
(k+2)(3k+ 5)+(k+1)(k+2)
2

2
(k?1)(k?2)(k?1)(k?2)
= (3k
2
+5k +12k+24)=［3(k+1)
2
+11(k+1)+10］
1212
也就是说，等式对n=k+1也成立
综上所述，当
a
=3,
b
=11,
c
=10时，题设对一切自然数
n
均成立

【课堂小结】体会常用的思维模式和证明方法。
【反馈练习】
1．（2 005辽宁）在R上定义运算
?:x?y?x(1?y).
若不等式
(x?a)?(x ?a)?1
对任意
实数
x
成立， 则
A．
?1?a?1
B．
0?a?2
C．
?
13
?a?

22
D．
?
31
?a?

22
2．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形




（1） （2） （3） （4）

那么下列图形中




（1） （2） （3） （4）

可以表示A*D，A*C的分别是 ( )
A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（2）、（4） D．（1）、（4）
3 已知 f(n)=(2n+7)·3
n
+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n )，则最大的m的
值为( )
A 30 B 26 C 36 D 6

解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除
证明 n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，
f(k)=(2k+7)·3
k
+9能被36整除，则n=k+1时，
f( k+1)－f(k)=(2k+9)·3
k+1
(2k+7)·3
k
=(6k +27)·3
k
－(2k+7)·3
k

－
=(4k+20 )·3
k
=36(k+5)·3
k2
(k≥2)
?
f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36
4 已知数列{b< br>n
}是等差数列，b
1
=1,b
1
+b
2
+ …+b
10
=145
(1)求数列{b
n
}的通项公式b
n
;
(2)设数列{ a
n
}的通项a
n
=log
a
(1+
1
) (其中a＞0且a≠1)记S
n
是数列{a
n
}的前n项和，试比较S
n
b
n
与
1
log
a
b
n+1
的大小，并证明你的结论
3
解 (1) 设数列{b
n
}的公差为d,
?
b
1
?1
?
b?1
?
?
?1
由题意得
?
,∴b
n
=3n－2
10(10?1)
d?3
10b?d?145
?
1
?
2
?
( 2)证明 由b
n
=3n－2知S
n
=log
a
(1+1 )+log
a
(1+
11
)+…+log
a
(1+) 4
3n?2
=log
a
［(1+1)(1+
而
11)…(1+ )］
4
3n?2

11
log
a
b
n+1
=log
a
3
3n?1
,于是，比较S
n
与log
a
b
n+1
33
11
)与
3< br>3n?1
的大小
?
比较(1+1)(1+)…(1+
4
3n?2
取n=1，有(1+1)=
3
8?
3
4?
3
3?1?1

取n=2，有(1+1)(1+
)?
3
8?
3
7?
3
3?2?1

推测 (1+1)(1+
1
4
11
)…(1+)＞
3
3n?1
(
*
)
4
3n?2
①当n=1时，已验证(
*
)式成立
②假 设n=k(k≥1)时(
*
)式成立，即(1+1)(1+
11
)…(1+) ＞
3
3k?1

4
3k?2
则当n=k+1时，
1111
(1?1)(1?)
?
(1?)(1?)?
3
3k?1(1 ?)

43k?23(k?1)?23k?1
?
3k?2
3
3k?1

3k?1
3k?2
3
(3k?1)
3
? (
3
3k?4)
3
3k?1
(3k?2)
3
?(3 k?4)(3k?1)
2
9k?4
???0
22
(3k?1)(3k ?1)

3
?
3k?1
(3k?2)?< br>3
3k?4?
3
3(k?1)?1

3k?1
111
从而
(1?1)(1?)
?
(1?)(1?)?
3
3(k? 1)?1
,
43k?23k?1
即当n=k+1时，(
*
)式成立
由①②知，(
*
)式对任意正整数n都成立
于是，当
a
＞1时，
S
n
＞
1
log
a
b
n
+1
3
,当 0＜
a
＜1时，
S
n
＜
1
log
a
b
n
+1
3

【课外作业】 《课标检测》


第3章 数系的扩充与复数的引入
§3.1数系的扩充和复数的概念
§3.1.1数系的扩充和复数的概念
教学目标：
1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i
2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实
部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念
教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚 数)和复数相等等概念是本节课
的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用 < br>教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时< br>规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立
教具准备：多媒体、实物投影仪
教学设想：生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次 扩充，对数学学科本身来说，也解决
了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整 数集中不能整除的矛盾，负数
解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.
教学过程：
学生探究过程：
数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社 会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于
计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没 有”的数0.自然数的全体构成自然数集N
随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展
为 了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有
相反意义的量 以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.
如果把自然数集 (含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整
数看作分母为1的 分数，那么有理数集实际上就是分数集
有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线 所得的结果，无法用有理数表
示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循 环小数.有理数集与无理
数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有 限小数)，无理数都是
无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集
因生产和科学发展的需 要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在
原有数集中某种运算不是永远可以 实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决
了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数 解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，
像x
2
=－1这样的方程还 是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入
了一个新数
i，叫做虚数单位.并由此产生的了复数
讲解新课：

1.虚数单位
i
:
2
(1)它的平方等于-1，即
i??1
;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2.
i
与－1的关系:
i
就是－1的一个平方根，即方程x
2
=－1的一个根，方程x
2
=－1的另一个
根是－
i
!
3.
i
的周期性：
i
4n+1
=i,
i
4n+2
=-1,
i
4n+3
=-i,
i
4n
=1
4.复数的定义：形如
a?bi(a,b?R)
的数叫复数，
a
叫复数的实部，
b
叫复数的虚部全体复数
所成的集 合叫做复数集，用字母C表示*
3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即
z? a?bi(a,b?R)
，把复数表示成a+bi的形
式，叫做复数的代数形式
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数
a?bi(a,b?R)
，当且仅当b=0时 ，复
数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0 时，z=bi叫做纯虚
数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.
6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di
?
a=c，b=d
复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或
不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可
以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

例1请说出复数
2?3i,?3?
11
i,?i,?3?5i
的实部 和虚部，有没有纯虚数？
23
1
1
3
;虚部分别是3，，－，－< br>5
;
2
3
答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－－
1
i是纯虚数.
3
例2 复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？
答：实部是3.14，虚部是－2. 易错为：实部是－2，虚部是3.14！
例3（课本例1）实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是:
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
［分析］因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，由复数z=a +bi是实数、虚数和纯虚数的条
件可以确定m的值.
解：(1)当m－1=0，即m=1时，复数z是实数；
(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；

(3)当m+1=0，且m－1≠0时，即m=－1时，复数z 是纯虚数.
例4 已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.
?
2x?1?y,
5
解：根据复数相等的定义，得方程组
?
，所以x=，y=4
2
?
1??(3?y)
巩固练习：
1.设集合C=｛复数｝，A=｛实数｝，B=｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确的是( )
A.A∪B=C B.

C
S
A=B C.A∩
C
S
B=
?
D.B∪
C
S
B=C
2.复数(2x
2
+5x+2)+( x
2
+x－2)i为虚数，则实数x满足( )
A.x=－
11
B.x=－2或－ C.x≠－2 D.x≠1且x≠－2
22
3.已知集合M=｛1，2，(m
2
－3m－1 )+(m
2
－5m－6)i｝，集合P=｛－1，3｝.M∩P=｛3｝，则实
数m的 值为( )
A.－1 B.－1或4 C.6 D.6或－1 < br>4.满足方程x
2
－2x－3+(9y
2
－6y+1)i=0的实数对 (x，y)表示的点的个数是______.
5.复数z
1
=a+｜b｜i，z2
=c+｜d｜i(a、b、c、d∈R)，则z
1
=z
2
的充 要条件是______.
6.设复数z=log
2
(m
2
－3m－ 3)+ilog
2
(3－m)(m∈R)，如果z是纯虚数，求m的值.
7.若方程 x
2
+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.
8 .已知m∈R，复数z=
m(m?2)
+(m
2
+2m－3)i，当m为何值 时，
m?1
1
+4i.
2
(1)z∈R; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=
答案：1.D 2.D 3. 解析：由题设知3∈M，∴m
2
－3m－1+(m
2
－5m－6)i=3 < br>?
m
2
?3m?1?3
?
m?4或m??1
∴
?
，∴
?
∴m=－1，故选A.
2
?
m?6或m??1
?
m?5m?6?0
?
x?3或x??1
?
x
2< br>?2x?3?0,
?
4. 解析：由题意知
?
∴
?

1
2
y?
?
9y?6y?1?0,
?
3
?
∴点对有(3，
11
)，(－1，)共有2个.答案：2
33
?< br>a?c
?
a=c且b
2
=d
2
.答案：a=c且b< br>2
=d
2

?
|b|?|d|
5. 解析：z
1
=z
2
?
?
2
?
m?3m?3?1
?
log
2
(m
2
?3m?3)?0,
?
6.解：由 题意知
?
∴
?
3?m?1

?
log
2< br>(3?m)?0,
?
3?m?0
?

?
m
2
?3m?4?0
?
m?4或m??1
∴
?
∴
?
，∴m=－1.
?
m?3且m?2
?
m?2且m?3< br>2
?
x?mx?2?0
2
7. 解：方程化为(x+mx+2)+(2x+m)i=0.∴
?
，
?
2x?m ?0
m
m
2
m
∴x=－，∴
??2?0,
∴m2
=8，∴m=±2
2
.
2
42
?
m
2
?2m?3?0,
8. 解：(1)m须满足
?
解之得：m=－3.
?
m?1?1.
(2) m须满足m
2
+2m－3≠0且m－1≠0，解之得：m≠1且m≠－3.
?
m(m?2)
?0,
?
(3)m须满足
?
m?1
解之得： m=0或m=－2.
?
m
2
?2m?3?0.
?
?
m(m?2)1
?
?
(4)m须满足
?
m?12
解之得： m∈
?

?
m
2
?2m?3?4.
?
课后作业：课本第106页 习题3.1 1 , 2 , 3
教学反思：
这节课我们学习了虚数单位i及它的两条 性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复
数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用 复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复
数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问 题转化为实数问题
复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时 ，我们采用讲
解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数 学学科
自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中
之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类


§3.1.2复数的几何意义

教学目标：
知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系
过程与方法：了解复数的几何意义 < br>情感、态度与价值观：画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪
解题思路的作用
教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．
教学难点：复数的几何意义。
教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何 一个复数
z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一 确定.
教学过程：
学生探究过程：
1.若
A(x,y)
，O(0,0)
，则
OA?
?
x,y
?

2. 若
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2,y
2
)
，则
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
3. 若
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
即
AB
=
OB
?
OA
=( x
2,
y
2
) ? (x
1
,y
1
)= (x
2
? x
1
, y
2
? y
1
)
讲授新课：
y
复平面、实轴、虚轴：
Z(a，b)
b
复 数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这
是因为对于任何一个复数z= a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义
可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z= 3+2i可以
由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，
x< br>a
1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是
o
一一 对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，
横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一 对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集
之间可以建立一一对应的关系.
点 Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴
实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0
表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
在 复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示
纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i
非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2， 3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，
－3)在第三象限等等.
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数
z?a?bi
?????
复平面内的点
Z(a,b)

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有
惟 一的一个复数和它对应.
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.
一一对应
?
平面向量
OZ
１．复平面内的点
Z(a,b)
????
?
平面向量
OZ
2. 复数
z?a?bi
????
例1．（2007年辽宁卷）若
?
?
?
内所对应的点在（ ）

一一对应
一一对应
?
35
?
π
，
π
?
，则复数
(cos
?
?sin
?
)?(sin
?
?cos
?
)i< br>在复平面
44
??

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：选B .
例2．（2003上海理科、文科）已知复 数z
1
=cosθ
－
i，z
2
=sinθ+i，求| z
1
·z
2
|的最大值和最小值.
[解]
|z
1
?z
2
|?|1?sin
?
cos
?
?(co s
?
?sin
?
)i|

?(1?sin
?
cos
?
)
2
?(cos
?
?sin
?
)
2

1
2
?2?sin
?
cos
??2?sin2
?
.
4
3
故
|z
1
? z
2
|
的最大值为
,
最小值为
2
.
2< br>22
例3．（2004北京理科）满足条件
|z?i|?|3?4i|
的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）
A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 解：选C.

巩固练习：课后作业：课本第106页 习题3. 1 A组4，5，6 B组1,2
教学反思：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数
z?a?bi
?????
复平面内的点
Z(a,b)

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有
惟 一的一个复数和它对应.
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.

1 ．（2000广东，全国文科、理科，江西、天津理科）在复平面内，把复数
3?3i
对
应的向量按顺时钟方向旋转
一一对应
?
，所得向量对应的复数是：（ B ）
3
（A）2
3
（B）
?23i
（C）
3
?3i
（D）3+
3i


2． (1992全国理科、文科)已知复数z的模为2,则│z-i│的最大值为：( D )
(A)1 (B)2 (C) (D)3
3．（2003北京理科）若
z?C
且
|z?2?2i|?1,则|z?2?2i|
的最小值是（ B ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2007年上海卷）若
a,b
为非零实数，则下列四个命题都成立：
①
a?
1
2
?0
②
?
a?b
?
?a
2
?2ab?b
2
③若
a?b
，则
a??b

a
2
④若
a? ab
，则
a?b
则对于任意非零复数
a,b
，上述命题仍然成立的序 号是
_____
。
4．②，④
5．(2005上海文科)在复数范围内解 方程
|z|?(z?z)i?
2
3?i
（
i
为虚数单位）。
2?i