高中数学教学设计大赛中

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高中数学教学案例设计汇编
（中 部）
10、直线与平面平行的判定
一、教学内容分析:

本节教材选自人 教A版数学必修②第二章第一节课，本节内容在立几学习中
起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位 。本节课是在前面已学空间点、线、
面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直 观感知、操
作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学
习 对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平
行的判定的学习作用重大。
二、学生学习情况分析：
任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，但学习立几所具 备的语
言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。
三、
设计思想
本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手< br>段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与
平面平行的判定定理，将 合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分
析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行 的判定、理解数
学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的
学习方 式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维
能力。
四、教学目标 通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平
行的判定定理，掌握直线与 平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语
言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力 和空间想象能力、逻辑思维
能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学 习
的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。
五、教学重点与难点
重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间
观念的形成与逻辑思 维能力的培养。
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六、教学过程设计
（一）知识准备、新课引入
提问1：根据 公共点的情况，空间中直线a和平面
?
有哪几种位置关系？并
完成下表：(多媒体幻灯 片演示)

位置关系
公共点
符号表示
图形表示
为a
?
?

提问2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判 定直线与平面平行你认
为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。
[设计意图： 通过提问，学生复习并归纳空间直线与平面位置关系引入本节课
题，并为探寻直线与平面平行判定定理作 好准备。]
（二）判定定理的探求过程
1、直观感知
提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的
具体事例吗？
生1：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。
生2：门转动到离开门框的任何位置时， 门的边缘线始终与门框所在的平面
平行(由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示。 < br>[学情预设：此处的预设与生成应当是很自然的，但老师要预见到可能出现的
情况如电线杆与墙面 可能共面的情形及门要离开门框的位置等情形。]
2、动手实践
教师取出预先准备好的直角 梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台
桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以平行的感 觉，而当把直角腰放在
桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则< br>大家会感觉到老师（视为线）与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师
(视为线)与左、 右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师(视为线)与前、后
墙面平行(老师也可用事先准备的木 条放在讲台桌上作上述情形的演示)。
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我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号 表示

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[设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自
己身边的数学，领悟 空间观念与空间图形性质。]
3、探究思考
(1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如 此的不同？关键是什么因素起
了作用呢？通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：①平面外 一条
线 ②平面内一条直线 ③这两条直线平行
(2)如果平面外的直线a与平面< br>?
内的一条直线b平行，那么直线a与平面
?
平行吗？
4、归纳确认：（多媒体幻灯片演示）
直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面 内的一条直线平行，
则该直线和这个平面平行。
简单概括：（内外）线线平行
?
线面平行

a?
?
?
?
符号表示：
b?
?
?
?a||
?

a||b
?
?
温馨提示：
作用：判定或证明线面平行。
关键：在平面内找（或作）出一条直线与面外的直线平行。
思想：空间问题转化为平面问题
（三）定理运用，问题探究（多媒体幻灯片演示）
1、想一想：
(1)判断下列命题的真假？说明理由：
①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行( )
②过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行( )
③一直线上有二个点到平面的距离相等，则这条直线与平面平行( )
(2)若直线a 与平面
?
内无数条直线平行，则a与
?
的位置关系是( )
A、a ||
?
B、a
?
?
C、a ||
?
或a
?
?
D、
a?
?

[学情预设：设计这组问题目的是强调定理中三个条件的重要性，同时预设(1)
中的③学生可能认为 正确的，这样就无法达到老师的预设与生成的目的，这时教
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师要引导学 生思考，让学生想象的空间更广阔些。此外教师可用预先准备好的羊
毛针与泡沫板进行演示，让羊毛针穿 过泡沫板以举不平行的反例，如果有的学生
空间想象力强，能按老师的要求生成正确的结果则就由个别学 生进行演示。]
2、作一作：
设a、b是二异面直线，则过a、b外一点p且与a、b都平 行的平面存在吗？
若存在请画出平面，不存在说明理由？
先由学生讨论交流，教师提问，然后 教师总结，并用准备好的羊毛针、铁线、
泡沫板等演示平面的形成过程，最后借多媒体展示作图的动画过 程。
[设计意图：这是一道动手操作的问题，不仅是为了拓展加深对定理的认识，
更重要的是 培养学生空间感与思维的严谨性。]
3、证一证：
例1(见课本60页例1)：已知空间四 边形ABCD中，E、F分别是AB、AD
的中点，求证：EF || 平面BCD。
变式一 ：空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA
中点，连结EF、FG、G H、HE、AC、BD请分别找出图中满足线面平行位置关
系的所有情况。(共6组线面平行)
变式二：在变式一的图中如作PQ
?
EF，使P点在线段AE上、Q点在线段
FC上 ，连结PH、QG，并继续探究图中所具有的线面平行位置关系？(在变式一
的基础上增加了4组线面平 行)，并判断四边形EFGH、PQGH分别是怎样的四边
形，说明理由。
[设计意图：设计 二个变式训练，目的是通过问题探究、讨论，思辨，及时巩
固定理，运用定理，培养学生的识图能力与逻 辑推理能力。]
例2：如图，在正方体ABCD—A
1
B
1
C1
D
1
中，E、F分别是棱BC与C
1
D
1
中
点，求证：EF || 平面BDD
1
B
1

A1
D1
F
C1

B1


D
E

A
B
C

分析：根据判定定理必须在平面BDD
1
B
1
内找(作)一条线与EF平行，联想到
中点问题找中点解决的方法，可以取BD或 B
1
D
1
中点而证之。
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思路一：取 BD中点G连D
1
G、EG，可证D
1
GEF为平行四边形。
思路 二：取D
1
B
1
中点H连HB、HF，可证HFEB为平行四边形。
[知识链接：根据空间问题平面化的思想，因此把找空间平行直线问题转化为
找平行四边形或三角形中 位线问题，这样就自然想到了找中点。平行问题找中点
解决是个好途径好方法。这种思想方法是解决立几 论证平行问题，培养逻辑思维
能力的重要思想方法]
4、练一练：
练习1：见课本6页练习1、2
练习2：将两个全等的正方形ABCD和ABEF拼在一起， 设M、N分别为
AC、BF中点，求证：MN || 平面BCE。
变式：若将练习2中M、N改为AC、BF分点且AM = FN，试问结论仍成立
吗？试证之。
[设计意图：设计这组练习，目的是为了巩固与深化定理 的运用，特别是通过
练习2及其变式的训练，让学生能在复杂的图形中去识图，去寻找分析问题、解决问题的途径与方法，以达到逐步培养空间感与逻辑思维能力。]
（四）总结
先由学生口头总结，然后教师归纳总结（由多媒体幻灯片展示）：
1、线面平行的判定定理： 平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则
该直线与这个平面平行。
a?
??
?
2、定理的符号表示：
b?
?
?
?a||
?

a||b
?
?
简述：（内外）线线平行则线面平行
3 、定理运用的关键是找（作）面内的线与面外的线平行，途径有：取中点
利用平行四边形或三角形中位线 性质等。
七、教学反思
本节“直线与平面平行的判定”是学生学习空间位置关系的判定与性 质的第
一节课，也是学生开始学习立几演泽推理论述的思维方式方法，因此本节课学习
对发展学 生的空间观念和逻辑思维能力是非常重要的。
本节课的设计遵循“直观感知——操作确认——思辩论证 ”的认识过程，注
重引导学生通过观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理等活动，从多角度
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认识直线和平面平行的判定方法，让学生通过自主探索、合作交流，进一步认识< br>和掌握空间图形的性质，积累数学活动的经验，发展合情推理、发展空间观念与
推理能力。 本节课的设计注重训练学生准确表达数学符号语言、文字语言及图形语言，
加强各种语言的互译。比 如上课开始时的复习引入，让学生用三种语言的表达，
动手实践、定理探求过程以及定理描述也注重三种 语言的表达，对例题的讲解与
分析也注意指导学生三种语言的表达。
本节课对定理的探求与认 识过程的设计始终贯彻直观在先，感知在
先，学自己身边的数学，感知生活中包涵的数学现象与数学原理 ，体验数
学即生活的道理，比如让学生举生活中能感知线面平行的例子，学生会举
出日光灯与天 花板，电线杆与墙面，转动的门等等，同时老师的举例也很
贴进生活，如老师直立时与四周墙面平行，而 向前、向后倾斜则只与左右
墙面平行，而向左、右倾斜则与前后黑板面平行。然后引导学生从中抽象概括出定理。
本节课对定理的运用设计了想一想、作一作、证一证、练一练等环节，能从
易到难，由浅入深地强化对定理的认识，特别是对“证一证”中采用一题多解，
一题多变的变式教学，有 利于培养学生思维的广阔性与深刻性。
本节课的设计还注重了多媒体辅助教学的有效作用，在复习引入 ，定理的探
求以及定理的运用等过程中，都有效地使用了多媒体。
福建省宁德第一中学 叶洪康
点评
本节课教师利用教室现有实物，如日光灯管、地面、教师个人、
门等做 教具，让学生认识和理解直线和平面平行的理由和条件。学生
在应用观察、猜想等手段探索研究判定定理 时，能获得视觉上的愉悦，
增强探求的好奇心。学生经过思维活动，从中找出一类事物的本质属
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性，最后通过概括得出新的数学概念。创设的问题情景有效，能遵循
认识 规律，从感性到理性，从具体到抽象。
本节课的设计符合新课程立几中“直观感知——操作确认——思
辩论证”的教学理念。整体设计中规中矩，自然流畅。教师对问题、
例题的设计都别具匠心，考 虑到学生的实际，有意地设计了一些铺垫
和引导，既巩固已有知识，又为新知识提供了附着点，充分体现 学生
的主体地位。
本节课蕴涵着化归思想，设计中注重对学生进行思想方法的训
练， 通过一题多解、一题多变，渗透了联系与转化的思想，使学生学
会思考、掌握方法，有利于培养学生思维 的广阔性与深刻性。







11、循环结构

一、教学内容分析
《循环结构》是人民教育出版社课程 教材研究所编著的《普通高中课程标准
试验教科书数学3（必修）》（A版）中§1。1。2的第二课时 的内容。（1）算法是
高中数学课程中的新内容，算法的思想是非常重要的，算法思想已逐渐成为每个< br>第 7 页
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现代人所必须具备的数学素养。（2）本节课的内容是循环结构，它与顺序结构、
条件分支结构是算法的三种基本逻辑结构，可以表示任何一个算法。并且循环结
构是算法这一部 分的重点和难点，它的重要性就是充分体现计算机的优势，也即
能以极快的速度进行重复计算。
二、学生学习情况分析
学生已经学习了有关算法和框图的基础知识。绝大多数同学对算法和< br>框图的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力，应用数学的意
识等方面发展不够均衡， 尚有待加强。
三、设计思想
建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般 是引导学生
从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所
学的 旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成
知识点，把知识点按照逻辑线 索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形
成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因 果等关系组成综合的知识
体。也就是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所
学知识意义的主动建构。基于以上理论，本节课遵循引导发现，循序渐进的思路，
采用问题探究 式教学，运用多媒体，投影仪辅助，倡导“自主、合作、探究”的
学习方式。具体流程如下：
创设情景（课前准备、引入实例）→授新设疑（自主探索形成概念→理解概
念能识别框图）→质疑问难、 论争辩难（进一步加深对概念的理解→突破难点）
→沟通发展（反馈练习→归纳小结）→布置作业。
四、教学目标
理解循环结构，能识别和理解简单的框图的功能，通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达，解决问题的过程，发展有条理的思考与表达的能力，提
高逻辑思维能力；能 运用循环结构设计程序框图解决简单的问题，感受和体会算
法思想在解决具体问题中的意义，增强学生的 创新能力和应用数学的意识。
五、教学重点与难点
重点：理解循环结构，能识别和画出简单的循环结构框图。
难点：循环结构中循环条件和循环体的确定。
六、教学过程设计
（一）创设情境
引例：德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题
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让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋?＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都 在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
（课本例6）你能否写出求
算法。
此例由学生动手完成，投影展示学生的做法，师生共同点评。鼓励学生一题多解。
【设计意图 】通过高斯求和的故事，复习顺序结构，提出递推求和的方法，
导入新课。此环节旨在提升学生的求知欲 、探索欲，使学生保持良好、积极的情
感体验。
（二）授新设疑
1．循序渐进，理解知识
（1）引进“计数变量” 、“累加变量”。借助“计数变量”和 “累加变量”
使学生经历把“递推求和”转化为“循环求和”的过程，同时经历初始化变量，
确 定循环体，设置循环终止条件3个构造循环结构的关键步骤。
①将“递推求和”转化为“循环求和”的缘由及转化的方法和途径
引例“求
1?2? 3?
的值”这个问题的自然求和过程可以表示为：
??100
S
2
? S
1
?2,S
3
?S
2
?3,S
4
?S< br>3
?4?S
i
?S
i?1
?i(i?2,3,?,100)< br>
的值的一个算法，并用框图表示你的
?
S
1
?1
(i?2,3,
?
100)

用递推公式表示为：
?
S ?S?i
i?1
?
i
直接利用这个递推公式构造算法在步骤
S
i
?S
i?1
?i
中使用了
S
1
,S
2
,S
3
?S
100
共100
个变量，计算机执行这样的算法 时需要占用较大的内存。为了节省变量，充分体
现计算机能以极快的速度进行重复计算的优势，需要从上 述递推求和的步骤
S
i
?S
i?1
?i
中提取出共同的结构 ，即第
i
步的结果＝第（
i
－1）步的结果＋
i
。若
引进一个计数变量
i
来表示计算到第几步，一个累加变量
sum
来表示每一 步的计
算结果，则第
i
步可以表示为赋值过程
i?i?1,sum?sum? i
。
②“
i?i?1
”、“
umsums?i
行强调说明
1）
i?i?1
的作用是将赋值号右边表达式
i?1
的值赋给赋值号 左边的变量
i
。
2）赋值号“＝”右边的变量“
i
”表示前一步累 加所得的和，赋值号“=”
左边的“
i
”表示该步累加所得的和，含义不同。
3）赋值号“＝”与数学中的等号意义不同。
i?i?1
在数学中是不成立的。
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?
”的含义
利用多媒体动画展示计算机中计数器的工作原理，借助形象直观对知识点进

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4）
sum?sum?i
的作用是将赋值号右边表达式
sum?i
的值赋给赋值号左边的
变量
sum
。（类比
i?i?1< br> 理解）
借助“计数变量”、“累加变量”既突破了难点，同时也使学生理解了
“i?i?1
”、“
umsums?i?
”的含义。
③初始化变量，设置循环终止条件
由
sum
的初始值为0，
i的值由1增加到100，可以初始化循环变量和设置循
环终止条件。
（2）循环结构的概念
开始
i=1
循环变量初始化
sum=0
i=i+1
sum=sum+i
i≤100?
否
输出sum
结束
是
循环条件
循环体

从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的结构称为循环结构。
教师学生一起共同 完成引例的框图表示，并由此引出本节课的重点知识循环结构
的概念(循环变量、循环体、循环终止的条 件)。
【设计意图】这样讲解既突出了重点又突破了难点，同时学生在教师引导下，
在已有探 索经验的基础上，借助多媒体的形象直观，共同完成问题的抽象过程和
算法的构建过程。体现研究问题常 用的“由特殊到一般”的思维方式。
2．类比探究，掌握知识
例1：改造引例的程序框图表示
①求
2?4?6???100
的值
②求
1?
1
2
?
1
3
???
1
50
的值
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③求
1?2?3???200
的值
此例可由学生独立思考、回答，师生共同点评完成。
【设计意图】通过对引例框图的反复改造 逐步帮助学生深入理解循环结构，
体会用循环结构表达算法，关键要做好三点：
① 确定循环变量和初始值 ② 确定循环体 ③ 确定循环终止条件。
例2：根据程序框图回答下面的问题
开始
i=1
①
sum=0
②
i=i+1
sum=sum+i
i>5?
是
输出sum
结束
否
开始
i=1
sum=0
sum=sum+i
i=i+1
i>5?
是
输出sum
结束
否

图A 图B
（1） 图中箭头指向①时，输出
sum
＝______;指向②时输出
su m
＝_____。
（2）该程序框图的算法功能是_______________________。
（3） 去掉条件“
i?5
”按程序框图所蕴含的算法，能执行到底吗，若能执
行到底，最后输 出的结果是什么？
对比练习：
（1）图B输出
sum
＝_____。
（2）图A指向②时与图B有何不同？你能得到什么结论？
（3）对比“引例”与“例2”的程序框图，试说明二者的区别和联系？
可由学生小组讨论，教师巡视，加强对学生的个别指导，再由学生分析。
例2是写出程序框图的运算结果，及其功能。
【设计意图】设计此例的目的是让学生通过类比意识到：
①循环结构不能是永无终止的死循环，一定要在某个条件下终止循环，这就
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需要条件结构来做出判断，因此，循环结构一定包含条件结构。
②循环结构中语句的顺序对算法的影响。
③当型循环结构与直到型循环结构的区别。
（三）质疑问难、论争辩难
例3 图（1），图（2），图（3），图（4）是为计算而绘制的程序框图。根据
程序框图回答下面的问题：
开始
i=4
2

s=2
2

i=i+1
s=s+i
i>100?
是
输出s
结束
否
开始
i=4
s=2
2

s=s+i

i>100?
是
否
输出s
结束

图(1) 图(2)
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开始
i=2
s=0
i=i+1
s=s+i
2

i>100?
是
输出s
结束
否
开始
i=4
s=2
2

i=i+1
s=s+i
2

i>100?
是
输出s
结束
否

图(3) 图(4)
①其中正确的程序框图有哪几个？错误的要指出错在哪里。
②错误的程序框图中，按该程序框 图所蕴含的算法，能执行到底吗？若能执行到
底，最后输出的结果是什么？
③根据上面的回答总结出应用循环结构编制程序框图应该注意哪几方面的问
题？
【设 计意图】通过类比，自主探究，帮助学生深入理解知识，完善知识结构，
提升认知水平。通过小组讨论， 实现生生互动，师生互助，丰富情感体验，活跃
课堂气氛。
（四）沟通发展、归纳小结
1．沟通发展
仿照本节课例题，同桌俩人一人编题一人解答。
【设计意图】通过练 习进一步巩固所学知识，培养和提升学生的认知水平。
沟通发展，有助于及时查漏补缺，保持学生学习的 热情和信心。
2．课后小节
①理解循环结构的逻辑。
②明确条件结构与循环结构的区别，联系。
③当型循环结构与直到型循环结构的区别。
④数学思想方法：算法思想，类比方法。
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【设计意图 】通过小结使学生对本节课的知识有一个全面的认识，掌握知识。
为今后学习其它知识打基础。
（五）布置作业
①课本P11 习题1－1 A组 2
②课外拓展：写出一个求满 足1×2×3×?×n＞5000的最小正整数的算法
并画出相应的程序框图。
【设计意图】 书面作业第一个层次要求所有学生完成，第二个层次，只要求
学有余力的同学完成。体现了差异发展教学 。
七、教学反思
循环结构这部分内容在算法中起着承上启下的作用。本节施教过程
中，基本完成设计构思，教学效果良好，但仍发现一些不足之处：
1、学生对循环终止条件的确定还存 在一定困难，尤其循环体中
“
i?i?1
”、“
umsums?i?
”的顺序对终止条件的影响。
2、教学过程中对循环体“
i?i?1
”、“
umsums?i?
”中滲透的函数
思想（数学本质）体现不够。
对算法教学的思考 ：教材将“算法与程序框图”和“基本算法语句”
分开处理。是否将这两部分内容结合起来处理，在讲基 本结构的时候，通
过基本算法语句在计算机上演示计算结果，是否会更生动，效果会更好。
强调 基本结构，适当降低程序框图和算法语句的难度（学生反映其中的一
些例题结构太复杂，理解比较吃力） 。
算法作为数学与计算机技术的桥梁，体现了数学研究的一个新的方
向，其作用是勿庸质疑的 ，但作为高中数学课程中的新内容，如何将其更
完美地展现给学生，还需大家共同努力！

龙岩第一中学章杨
点评
本节是概念课，是算法初步这一章节的重点与难点。概念的 建构
应该是多元的，但无论采用何种方式建构新的知识，都要关注课堂上
一些显现因素和课堂教 学的内在因素，以教材为“生长点”，在师生、
生生互动中，不断创造出新的教学资源，使师生的思维和 情感在和谐
的“共振”中得到升华，让学生对学习保持良好、积极的情感体验，
提升求知欲、探 索欲。本设计以循环结构的典型模型“写出求
1?2?3???100
的值的一个算法”作为引 入，并以它为核心进行剖析，
表达概念的含义，从中抽象出循环结构的概念。设计中能够紧紧围绕
如何确定循环变量和初始值及如何确定循环终止条件，通过变式训
练、正反例判断，抓住重点，突破难 点。
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循环结构是三种结构中的一种结构，教材中只安排了一个例题
“设计一个 计算
1?2?3???100
的值的一个算法，并画出程序框图”。设
计中能够充分发 挥例题的功能，通过例题讲清概念，通过例题的引伸，
让学生掌握本节知识。
当型与直到型的 两种循环结构是本节课的重要知识点，教学中要
讲清两种结构的异同点。设计中已经注意到了这一点，但 重视的程度
还略显不够。




12、任意角的三角函数（1）
一、教学内容分析：
高一年《普通高中课程标准教 科书·数学（必修4）》（人教版A版）第12页
1.2.1任意角的三角函数第一课时。
本 节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通
过问题引导学生自主探究任意角 的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的
三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初 等函数，它是描述周期
现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要< br>求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
在本模块中，学生将 通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在
解决具有变化规律的问题中的作用。
二、学生学习情况分析

我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽 略了知识的发
生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，
泯灭了学生学习的兴趣。我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕
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迹，若为了 新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之
味。所以如何进行《普通高中数学课 程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学
设计就很值得思考探索。如何让学生把对初中锐角三角函 数的定义及解直角三角
形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？
《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关
注以下两点： < br>第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一
点的运动，以及音乐、 波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广
泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函 数是刻画周期现象的重要模型以
及三角函数模型的意义。
第二、注重三角函数模型的运用即运 用三角函数模型刻画和描述周期变化的
现象（周期振荡现象），解决一些实际问题，这也是《课程标准》 在三角函内容
处理上的一个突出特点。
根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决
好两个问题：
其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；
其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符
号。
三、设计理念：
本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图像，让学生感受到数< br>学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣。并通过问题的探究，
体验“数学是过程 的思想”，改变课程实施过程于强调接受学习，死记硬背，机
械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探 究，勤于动手，培养学生学生收集和
处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交 流合作的能
力。
四、教学目标：
1.借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角 函数的定义，也能很好入在
直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，从通< br>过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意
角的三角函数的定义；
2.从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号；
3.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。
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五、教学重点和难点：
1.教学重点：任意角三角函数的定义.?
2.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域.
具体设计如下：
O
P
A
六、教学过程

第一部分——情景引入
问 题1:如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为
h
o
，它的直径为2R，逆时 针方向匀速转动，转动一周需要360
图1
秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发（ 如图1所示），
过了30秒后，你离地面的高度
h
为多少？过了45秒呢？过了
t
秒呢？
【设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此
选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知
识的发生发展的理解。 这个数学模型很好融合初中对三角函数的定交，也能放在
直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向 任意角三角函数过渡，揭示函数
的本质。
第二部分——复习回顾锐角三角函数
让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？”
【分析】：作图 如图2很容易知道：从起始位置OA运
动30秒后到达P点位置，由题意知
?AOP?300
，作PH垂
直地面交OA于M，又知MH＝
h
o
，所以本问题 转变成求PH
再次转变为求PM。
要求PM就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐
角的三角函数。
问题2：锐角
?
的正弦函数如何定义？
【学生自主探究】：学生很容易得到
sin
?
?
|MP|
|OP|
?
|MP|
R
BN
O
M
P
A
?
|MP|?Rsin
?
?
图2
H
|PH|?h
0
?Rsin
?

?
h
?h
0
?Rsin
?

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P
O
a
M

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所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒,你离地面的高度
h
为多少？”
h
1
?h
0
?Rsin30
0

h
2
?h
0
?Rsin45

0
Y
【教师总结】：
t
0
在锐角的范围中，
h?h
0
?Rsi nt
0

O
P
MA
X
第三部分——引入新课 问题3：请问
t
的范围呢？随着时间的推移，你
离地面的高度
h
为多少？能不能猜想
h?h
0
?Rsint
0
？
B
【分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今天
我们就要来学习任意角的三 函数角函数。
问题4：如图建立直角坐标系，设点
P(x
P
,y
P
)
，能你用直角坐标系中角的终
边上的点的坐标来表示锐角
?
的正弦 函数的定义吗？能否也定义其它函数（余
弦、正切）？
【学生自主探究】：
sin< br>?
?
|OM|
|OP|
x
P
R
|MP||OP|
?
y
P
R
?

y
P
x
P
cos
?
??
，
tan
?
?
|MP|
|OM|

问题5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？
【分析】：先由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得
具体认识，并由相似 三角形的性质证明。
【设计意图】：让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边上的点的位置
的改变而改变，只与角有关系。
通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义
一样。
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问题6：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的
定义呢？
【学生自主探究】：学生通过上面已知知识
得到
sin
?
?
|MP|
|OP|
?
y
P
R
y

P
x学生定义好第二象限角后，让学生自己算
出摩天轮座舱在第150秒时，离地面的高度
h< br>？
通过摩天轮知道：
h?h
0
?Rsin150
0
?h
1
?h
0
?Rsin30
0

O
图3
由此得到：
sin150
0
?
1
2

|M P|
|OP|
?
y
P
R
【设计意图】：通过这个，让学生检 验
sin
?
?
正确？
问题7：
sin
?
?
|MP|
|OP|
在第二象限角是否
在第三象限角或第四象限能成立吗？
【设计意图】：让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发现
正、负符号的偏差。
（可以让学生取
t?210
，从而
h?h
0
?Rsin21 0
0
,
得到
sin210
0
＝
?
这与sin
?
?
|MP|
|OP|
1
2
，发现不相符，实际上是
sin
?
?
?|MP|
|OP|
）
【教师总结】：我们通过个模型知道如何在某些范围内如何计算自已此时离
地面的高度，用数学 模型
h?h
0
?Rsint
0
来表示，当摩天轮转动，角度的概念也
不知不觉地推广到任意角，对于任意角的正弦不能只是依赖于角所在的直角三角
形中的对边的长 度比斜边长度了，我更应该用点P的横坐标来代替
|MP|
或
?|MP|
，那 么这样就能够很好表示出正弦的函数任意角的定义。
第三部分——给出任意角三角函数的定义
如图3,已知点
P(x,y)
为角
?
终边上的点，点
P
到 顶点
O
的距离为R，则
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sin?
?
cos
?
?
tan
?
?
y
R
x
R
y
x
（
?
?R
）
（
?
?R
）
（
?
?
?
2
?k
?
）
【分析】：让学生 通过刚才的模型进一步体验任意角三角函数的定义要点：
点、点的坐标、点到顶点的距离。
问题8：当摩天轮的半径R＝1时，三角函数的定义会发生怎样的变化。
【学生自主探究】：
sin
?
?y
，
cos
?
?x
，
tan
?
?
y
x
。
教师引导学生进行对比，学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使
表达式简化。
教师进一步给出单位圆的定义
给出下列表格，让学生自己补充完整。
三角函数
sin
?

定义一：
|OP|?1

y

定义二：
|OP|?R

y
R
x
R
y
x
定义域
?
?R




cos
?

tan
?

x

y
x
?
?R

?
?
?
2
?k
?

及时归纳总结有利学生对所学知识的巩固和掌握。
第三部分——例题讲解
例1.（ 课本P14例2）已知角
?
终边经过点
P
0
(?3,?4)
，求角
?
的正弦、余弦
和正切值。
【分析】：让学生现学现卖，得用上面的定义二就可以得到答案。
5
?
例2 .（课本P14例1）求的正弦、余弦
y
3
和正切值。
【学生自主探究】： 让学生自己思考并独立
完成。然后与课本的解答相对比一下，发现本题
的难点。
O
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M
x
P
图4

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【教师讲解 】：本题题意很简单，但是如何入手却是难点，关键是对本节课
的三角函数定义的要点有没有领会清楚（ 任意角三角函数的定义要点：点、点的
坐标、点到顶点的距离），因此本题的重点之处是如何利用单位圆 找到这个点P，
如图4可以知道
?POM?
很容易得到本题答案。
不妨让学 生取
R?|OP|?4
，能否也得到点P的坐标，得到的三角函数值是否
与单位圆的一 样。这样可以让学生更深刻体验三角函数的定义。
第四部分——巩固练习
练习1.例2变式 求
7
?
6
?
3
，又点P在第四象限，得到
P(,?
2
13
2
)
，这样就可以
的正弦、余弦和正切值。
练习2.问题9：通过观察摩天轮的旋转，三角函数的角的终边所在象限不同，
请说说三角函数在各个 象限内的三角函数值的符号?独立完成课本P15的“探究”。
【设计意图】：练习1、练习2的设计 与例2、例3衔接，主要目的是帮助学
生巩固三角函数的本质特征，引导学生从定义出发利用坐标平面内 的点的坐标特
征自主探究三角函数的有关问题的思想方法。并在特殊情形中体会数形结合的思
想 方法。
第五部分——小结与作业
学生自我总结
作业：P23习题1.2A组 1,2,3

七、教学反思
上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：
1. 教学设计紧扣课程标准的要 求，重点放在任意角的三角函数的理解上。
背景创设是学生熟悉的摩天轮，认知过程符合学生的认知特点 和学生的身心发展
规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。
2. 情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入
在直角坐标系中， 很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能
够揭示函数的本质。
3. 通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情
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境中活动， 在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体
验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵 在知识中的思想方法和研究性学习的策略，
使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等 多方面得到进步和
发展。这和课程标准的理念是一致的。
4. 《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一, 在教
学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间, 促进学生在
学习和实践 过程中形成和发展数学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、
数学地提出、分析、解决问题的能力 , 发展学生的数学应用意识和创新意识,使
其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数 学模式作出思考和判
断。在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略, 使学生认识到数学
原来就来自身边的现实世界, 是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器,
同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力。增进了他们对数学的理解和应用
数学的信心。
南安侨光中学 苏飞文
点评

本节课以新颖背景“摩天轮”引课，从直角 三角形的锐角入手，
引导学生尝试探究，逐次深入引出任意角的三角函数的定义，以问题
形式巩 固深化任意角三角函数值的计算，结合平位图直观作用，使学
生经历了由浅入深，由易到难，清楚展现了 任意角三角函数的生成过
程，加深了对任意角三角函数的认识。
新课程教材强调了学生的探究 能力的培养，但不意味着每个知
识点都需要人为创设情景加以探究，现实的教学由于受教学时数限
制，总是希望课堂教学效率高些，任意角的三角函数的定义是否一定
要创设情景让学生探究？只要让学 生理解有必要引入任意角三角函
数概念，然后直接下定义，从课堂教学效率而言，可能会更好些。
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13、
任意角的三角函数（2）



一、教学内容分析
本节课的教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（4）》（人教A
版）。三角函数是 描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用.
直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐 标系为工具进行自然地推广而得
到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉 ，自然
地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图
象和性质 。三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直
接影响到后续内容的学习，由三角 函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节
教材的重点就是定义本身.

二、学生学习情况分析
在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有比 较厚
实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的
概念推广了 ，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角
呢？通过这个问题，让学生体会到新知 识的发生是可能的，自然的。

三、设计思想
教学中注意用新课程理念处理教材，采 用学生自主探索、动手实践、合作交
流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用 ，引导学生
主体参与、揭示本质、经历过程.
根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课 采用“启发探索、讲练结合”
的方法组织教学.

四、教学目标
1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和
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函数值在各象限的符号）；
2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公 式一；树立
映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
3、通过单位圆和角的终 边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三
角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别 探讨各三角函数的定义域以及这
三种函数的值在各象限的符号.借助有向线段进一步认识三角函数.
4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，
加深特殊与一般 关系的理解。
5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展
思维空间。通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测
的能力，从中感悟数学概 念的严谨性与科学性。

五、教学重点和难点
重点
:
任意角的正 弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和
函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一 三角函数值相等（公式一）.
难点
:
任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和
函数值在各象限的符号）；

六、教学过程设计
教学过程
一、复习引入、回想再认
（情景1）我们在 初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余
弦、正切等三个三角函数. 请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？
学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：



设计意图：
学生在初中学习了锐角的 三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是
一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展 ）. 温故知新，要让学生
体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始， 对
锐角三角函数的复习就必不可少.
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α 邻边
对
边
sinα=
对边
斜边
，conα=
邻边
斜边
，tanα=
对边
邻边

（图1）

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二、引伸铺垫、创设情景
（情景2）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也 能推广
到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！
留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引
导.
能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答. 用角的对边、临
边、斜边比值的说法 显然是受到阻碍了，由于1.1节已经以直角坐标系为工具来
研究任意角了，学生一般会想到（否则教师 进行提示）继续用直角坐标系来研究
任意角的三角函数.
设计意图：
从学生现有 知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲
突，进行必要的启发，将学生思维引上自主 探索、合作交流的“再创造”征程.
教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角 坐标系重新
研究锐角三角函数定义！
师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）：
把锐角α安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴
重合）在直角坐标系中，在 角α终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，构造一个
RtΔOMP，则∠ MOP=α（锐角），设P（x,y）（x＞0、y＞0），α的临边OM =x、
对边MP=y，斜边长|OP∣=r.
根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角α 的正弦、余弦、正切三个比
值，并补充对应列出三个倒数比值：
y




O

·
P(x,y)
M
x
sinα=
对边
斜边
=
y
r
r
y
，conα=
邻边
斜边
=
对边
y
x
，tanα==
邻边
x
r


?= ?=

（图2）
设计意图：
x
r


?=
y
x
此处做法简单，思想重要. 为了顺利实现推广， 可以构建中间桥梁或公共
载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形. 由于前一 节
已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生自然能想到仍然以直角坐标系为
工具来研究任 意角的三角函数. 初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函
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数，现在要 用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中
锐角三角函数定义. 这是一个认识 的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之
一，也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识,能 够形成迁移能力,为学
生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础.
（情景3）思 考：对于确定的角
?
，这三个比值是否会随点
P
在
?
的终边 上
的位置的改变而改变呢？
显然，我们可以将点取在使线段
OP
的长
r?1
的
特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的
坐标表示锐角三角函数 ：
MP
OP
b
a
OM
OP
a的终边
P(x,y
y
sin
?
??b
;
cos
?
??a
;
O
x
tan
?
?
MP
OM
?
.
思考：上述锐 角
?
的三角函数值可以用终边上一
点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该 如何对初中的三角函数的定义
进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角 函
数.


先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同 时作好解释
说明：引导学生观察图3，联系相似三角形知识，
探索发现：对于锐角α的每一个确定值，三个比值都是
确定的，不会随P在终边上的移动而变化.



三、探究新知
1.探究:结合上述锐角
?
的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三
角函数值呢?
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就
可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直
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α
y
P
·
O
P′
M
M′
x

（图3）

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角坐标系中,我们称以原点
O
为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
如图,设
?
是一 个任意角,它的终边与单位圆交于点
P(x,y)
,那么:
(1)
y
叫做
?
的正弦(sine),记做
sin
?
,即
sin< br>?
?y
；
（2）
x
叫做
?
的余弦(cos sine),记做
cos
?
,即
cos
?
?x
；
y
（3）叫做
?
的正切(tangent),记做
tan
?
,即
tan
?
?
x
y
x
(x?0)
.
注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；
当α不是 锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边
就必然与单位圆有交点
P (x,y)
，从而就必然能够最终算出三角函数值.
设计意图：
初中学生对函数理 解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中
学过的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次 ，扣准函数概念的内涵，突出变
量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要 依据，
是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结
构的关键 . 这样做能够使学生有效地增强函数观念.

四、探索定义域
（情景4）1、函数概念的三要素是什么？
函数三要素：对应法则、定义域、值域.
正弦函数sinα的对应法则是什么？
正弦函数sinα的对应法则，实质上就是sinα的 定义：对α的每一个
确定的值，有唯一确定的比值yr与之对应，即α→ yr= sinα.
2、布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出三个三角函数的定义
域，填写下表：
三角函数
定义域

引导学生自主探索：
如果没有特别说明，那 么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定
义域，三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的 角α的取值范围.
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sinα

cosα

tanα

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关于sinα=yr、cosα=xr，对于任意角α（弧度数），r＞0，yr 、xr恒
有意义，定义域都是实数集R.
对于tanα=yx，α= kπ+π2 时x=0，yx无意义，tanα的定义域是：{α
|α∈R，且α≠kπ+π2 }. ? ? ?
教师指出: sinα、cosα、tanα的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的
基础上记熟。
设计意图：
定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域. 指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对
三角函数概念的掌握 .
五、符号判断、形象识记
（情景5）能判断三角函数值的正、负吗？试试看！
引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r＞0,三角函数值的符号决定于x、
y值的正负，根据终边 所在位置总结出形象的识记口诀：






sinα= yr：上正下负横为0 cosα=xr：左负右正纵为0
tanα=yx：交叉正负
设计意图：
判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求. 要
引导学生抓住定义 、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象
的识记口诀，这也是理解和记忆的关键.
六、练习巩固、理解记忆
5
?
3
＋
－
y
＋
－
x
－
－
y
＋
＋
x
－
＋
y
＋
－
x
1、 自学 例1：求的正弦、余弦和正切值。
2、角α的终边经过点P（－3，-4），求α的正弦，余弦及正切值.

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课堂练习：

p17题1、2、3
处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义.
强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、π2 、π、3π2 等，今后经
常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值.
设计意图： < br>及时安排自学例题、自做教材练习题，一般性与特殊性相结合，进行适量的
变式练习，以巩固和加 深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动
进行思维训练，把“培养学生分析解决问题的能 力”贯穿在每一节课的课堂教学
始终.
七、回顾小结、建构网络
要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：
1．你是怎样把锐角三角函 数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数
具体是怎样定义的？（建立直角坐标系，使角的顶点与坐 标原点重合，---，在
终边上任意取定一点P，---）
2．你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？（根据定义，------）
3．你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？（根据定义，想象坐标位
置， -----）
设计意图：
遗忘的规律是先快后慢，回顾再现是记忆的重要途径，在课堂内及时总结识
记主要内容是上策. 此处以问题形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容，抓
住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化 知识结构，培养认知能力.
八、布置课外作业
1．书面作业：习题1.2第1、2题.
2．认真阅读p20“阅读与思考：三角学与天文学”，了解三角学在天文学中
的重要作用。
七、教学反思
新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程，这节《任意 角三
角函数》的教案，主要围绕这一点来设计。
到底应该怎样去合理定义任意角的三角函数呢 ？让学生提出自己的想法，同
时让学生去辨证这个想法是否是科学的？因为一个概念是严谨的，科学的， 不能
随心所欲地编造，必须去论证它的合理性，至少这种概念不能和锐角三角函数的
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定义有所冲 突。在这个立－破的过程中，让学生去体验一个新的数学概念可能是
如何形成，在形成的过程中可以从哪 些角度加以科学的辩思。这样也有助于学生
对任意角三角函数概念的理解。
再次，让学生充分 体会在任意角三角函数定义的推广中，是如何将直角三角
形这个“形”的问题，转换到直角坐标系下点的 坐标这个“数”的过程的。培养
数形结合的思想。

上杭县明强中学 范福
太


点评

“任意角的三角函数的定义”这一节 ，是三角函数这一章的重要
概念。本课从概念的生成发展及建构过程入手，通过几个积极主动的
数学活动进行有目的地概念建构和思维训练，以严谨的、科学、理性
的思考把“培养学生分析解决问题的 能力”贯穿在课堂教学始终。本
设计由复习直角三角形中的锐角三角函数开始，到以象限角为载体的锐角三角函数，再到象限角为载体的任意角的三角函数，从中展开问
题教学，引导学生从已知到未知 、从易到难、由浅入深地进行思维，
探究得任意角的三角函数的生成过程。
课程安排自学例题 、自做教材练习题，一般性与特殊性相结合，
使得学生很好地理解了任意角的三角函数的定义。学生通过 教师设计
的变式练习，巩固和加深了对三角函数定义的理解。同时此处以问题
形式让学生自己归 纳识记本节课的主体内容，抓住要害，人人参与，
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及时建构知 识网络，优化知识结构，培养认知能力.这种设计，有效
地展示了知识的发生与发展过程，加深了对函数 一般概念的理解，体
现了学生是学习主体的理念。
不足之处；各教学环节的阶段性目标、重、 难点内容的突出、入
微的分析、突破难点的重要环节的思考分析不够。





14、函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象

一、教学内容分析
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版）必修4 《§1.5函
数
y ?Asin(
?
x?
?
)
的图象》。它是在前面学习了正弦函数和余 弦函数的图象和性质
的基础上对正弦函数图象的深化和拓展，由此进一步理解
y?Asin(< br>?
x?
?
)
与
通过学习
y?Asin(
?< br>x?
?
)
的图象变换的学习有助于
y?sinx
的图象间的变 换关系，
学生进一步理解正弦函数的图象和性质，加深学生对其他函数图象变换的理解和认
识， 加深数形结合在数学学习中的应用的认识，同时也为相关学科的学习打下扎实
的基础。
同时本 节的课标要求是结合具体实例，了解
y?Asin(
?
x?
?
)的实际意义，
能借助计算机画出函数
y?Asin(
?
x?
?< br>)
的图象，并观察参数
A,
?
,
?
对函数图象
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变化的影响，同时结合具体函数图象的变化，使学生领会由简单到复杂，特殊到一般的化归思想。
本节知识是学习函数图象变换综合应用的基础，在教材地位上显得十分重要。
因此这节课的内容是本章的重点、难点之一。
二、学生学习情况分析

学 生在已经学习了作正弦曲线
y?sinx
的图象和五点画简图法,以及函数
y?sin x
的性质和函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的周期 等性质的求法，并且有了一定的读
图能力，能根据图象抽象概括出一些简单的性质。但对于给出的两个同 类函数的
变换关系要多次的变换让他们晕头转向，例如必修4第63页的几个函数间的关
系，他 们的判断方向颠倒，长度混乱。为了帮助学生很好的理解其中的内在联系，
我在这块内容中加进了我的探 索，我发现学生对初一学习代数式的意义认识比较
深刻，我就把代数式的另一面：几何形式展现出来，以 形代数，以数现形。使
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象变 换的更加直观，容易理解，函数的形式可以多种多样，
可以先伸缩再平移，也可以先平移再伸缩，任意的 变换，畅通无阻。
三、设计理念
根据“诱思探究教学”中提出的教学模式，设计的教学 过程，遵循“探索
—研究—运用”亦即“观察—思维—迁移”的三个层次要素，侧重学生的“思”
“探”“究”的自主学习，由旧知识类比得新知识，自主探究图象与图象之间
的变换关系，让学生动脑 思，动手探，教师的“诱”要在点上，在精不用多。
整个教学过程始终贯穿“体验为主线，思维为主攻” ，学生的学习目的要达到
“探索找核心，研究获本质”。
四、教学目标

本 节课将借助计算机的Flash软件辅助功能，探究参数
A,
?
,
?
对函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象变化的影响，领会 由简单到复杂、特殊到一般的化归思想。
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在教学中让 学生会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的简图，并结合具体实
例，了解y=Asin( ωx+φ)的实际意义。使学生掌握从特殊到一般，从具体到抽象
的思维方法，从而达到从感情认识到理 性认识的飞跃。通过对曲线的伸缩、平移
等变换，体会三角形函数曲线的平滑，流畅美。
五、教学重点和难点
教学重点：考察参数
A,
?
,
?对函数图象变化的影响，理解函数
y?sinx
图象
到
y?Asin(< br>?
x?
?
)
的图象变化过程。
教学难点：
?
对
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象的影响规律的概括。
六、教学过程设计
教学
设 计 意 图 环节 教 学 程 序




演示课件《弹簧振子位移——时① 从学生已熟悉的弹簧振子的
间的图象》通过联想类比，去发现它位移——时间的图象去明确研
创 与前面学过的正弦曲线、余弦曲线的究
设 联系，去揭示该函数图象与我们即将
情
要学的函数
y?Asin(
?
x?
?
)
，
景
表
明
意
图


例1、 利用五点法在同一坐标系①说明五点法作图如何取到关键
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函数
y?Asin(
?< br>x?
?
)
，
（
A?0,
?
?0
）的 图象的目的，
使新课
引入显得自然、易于接受.
② 让学生明确理论是从实践中
来，又回到实践中去。使学生
学习研究目的性更加明确.
（A>0, ω>0）的图象之间联系.

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举
例
分
析

演
示
归
纳


引
导
探
索

观
察
规
律


中作出
y?2sinx
与
的
y?
1
2
s inx
的简图.并指出
五点的坐标，并结合正弦曲线
的特点指出如何成图.
它们的图象与
y?sinx
的
②从例1、例2、例3,通过演示
关系. 图象的伸缩、左、右、上、下平
例2、 利用五点法在同一坐标系移，引导学生观察、分析，从特
中作出
y?sin2x
与
殊到一般，从具体到抽象，去总
y?sin
1
2
x
的简图.并指出
结出
y?Asinx
、
y ?sin
?
x
、
y?sin(x?
?
)
、
它们的图象与
y?sinx
的
关系.
与
y?sinx
的图象之间的联系.
例3、 利用五点法在同一坐标系
?
中作出
y?sin(x?)
与

3
y?sin(x?
?
4
)
的简图并指


出它们的图象与
y?sinx

③在前四个例子的基础上作出例
?
例4、 作出函数
y?3sin(2x?)
3
4的图象，并演示出其变化过程，
引导学生观察、分析图象，归纳
出不同的 伸缩、平移变化次序及
变化的量之间的联系，从而总结
的图象，并指出它的图象
与y?sinx
的关系.
例题的完成过程是指导学生利用
五点法作图并引导学生如 何选取
五点.并利用课件演示变化过程，
通过观察、分析从而揭示规律.
?
出函数
y?3sin(2x?)
的图象与
3
y?sinx
的图象的关 系及不同的
变换方法.

归

数学
① 总结出函数
y?Asin(
?
x?
?
)
，
① 引导 学生对所学的知识、
（
A?0,
?
?0
）的图象与
思想方法 进行小结.
② 引导学生对学习过程进行反
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纳

小

结

y?sinx
的图象的关系.
思，为今后的学习中进行有效
调控打下良好的基础.
② 指明
③
y?Asin(
?
x?
?
)
（
A?0,
?
?0
）
中
A,
?
,
?
相应的名称及由
A,
?
,
?
引
起的变化的名称.
④ 让学生认真总结，在探索与交流
中去体会不同的变化顺序对变化
的影响.
布置
作业
巩固
提高
课本：
题组1：课本P65 2题；3题.
题组2：作
y
＝2sin（＋
2
1
x
① 布置作业有弹性，避免一刀
切.
?
）、
y
＝
② 使学有余 力的学生进一步训
4
?
sin(2
x
－)的图象，并说明与
y
2
2
练逆向思维，使知识掌握更加
深刻.
＝sin
x
图象关系.
（一）创设情境，揭示课题
首先，本人通过Flash软件的动画功能很直观反映物理中的简谐振动（弹簧
振子的摆动） 通过以上设计能够使学生通过Flash的动画功能，形象、直观的
把弹簧振子的摆动演示给学生，这样 的设计意图能激发学生原有的知识和经验，
为其运用作好准备；设置悬念，引出课题。同时通过这样创设 问题情景，使学生
能够感受大众数学的意义，使学生明白数学其实就发生在我们的身边，使学生在
学习过程中感受数学的和谐美，激发学生学习数学的兴趣，提高学生学习数学的
积极性，更好地促进学 生的发展，体现了新课标的要求。
（二）探究新知，突破难点
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其次在讲解 新课前，先提出数学问题，然后让学生在用Flash进行数学实验
时能抓住本课要点,明确本节课的重 要内容，带着问题集中注意力探索问题，激发
学生的求知欲望。设计如下数学问题：
1、如何 由函数
y?sinx
的图象经过变换得到函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象？
2、函数
y?Asin(
?
x?< br>?
)
的图象与字母
A,
?
,
?
的关系是怎样 的？
?
3、如何由函数
y?sinx
的图象经过变换得到函数
y? 3sin(2x?)
的图象？
3
这样设计一系列问题，层层解剖，层层推进，引导学 生研究问题要从具体的函数
到抽象的一般函数的科学态度和方法。提出问题后，设法引导学生动手探究函 数
y?sinx
的图象经过怎样的变换得到函数
y?3sin(2x?
?3
那么Flash课件是较好
)
，
的数学教学软件工具，通过Flash 的动态演示功能可以很形象直观的观察到三角
?
函数的图象的变化。函数的图象
y?3 sin(2x?)
一节内容已经上了一课时,第二
3
?
课时主要的问题是用五 点法画函数
y?3sin(2x?)
的图象,并由此总结出由函数
3
y?si nx
的图象到函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图 象的变化规律,这样就必然涉及到大
量的图象,在以往的教学中对这个问题的处理总是不能达到很好的效 果,于是采
自制的Flash课件，
采用计算机辅助教学就成为必然的选择，本人认为,计算 机辅助教学必须充分体现“以学
生发展为本”。以学生为主体,让学生积极参与,自行探索,获得亲身体 验,对数学的概念和内涵有
更为深入的理解,从而达到可持续发展的要求。所以
运用
F lash
的动画功能将函数
y?sinx
的图象经过怎样的变换得到函数
y? Asin(
?
x?
?
)
的图象，很直观形象的演示出
来，并 且课堂上学生通过
Flash
功能可以动手
自行探索,获得亲身体验,对数学的概念和 内
涵有更为深入的理解,从而达到可持续发展的要求。以下是学生用Flash探索
y?sin x
图象
得到
函数
y?Asin(
?
x?
?
)
图象的变化过程：
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1. 探究
A
对函数
y?sinx
的影响
例1画出函数
y?2sinx

x?R
；
y?sinx

x?R
的图象（简图）
2
1

探究与归纳：与
y?sinx
的图象作比较，结论：
1．
y?Asinx
，
x?R
(
A?0
0且A?1
)的图象可以看作把正数曲线上
的所有点的纵坐标伸长(
A?1
) 或缩短(
0?A?1
)到原来的
A
倍得到的
2．它的值域[-
A
,
A
] 最大值是
A
, 最小值是-
A

3．若
A
<0 可先作
y??Asinx
的图象 ，再以
x
轴为对称轴翻折
A
称为振幅，这一变换称为振幅变换
2.探究
?
对函数
y?sinx
的影响：
例2 画出函数
y?sin2x

x?R
；
y?sin
1
2
x

x?R
的图象（简图）

探究与归纳：与
y?sinx
的图象作比较 ：
1．函数
y?sin
?
x
,
x?R
(
?
?0
且
?
?1
)的图象，可看作把正弦曲线上所
有点的横 坐标缩短(
?
?1
)或伸长(
0?
?
?1
)到原来 的
1
?
倍（纵坐标不变）
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2．若
?
?0
则可用诱导公式将符号“提出”再作图
?
决定了函数的周期，这一变换称为周期变换
3.探究
?
对函数
y?sinx
的影响：
画出以下两个函数的图象：
y?sin(x?
?
3
)
，
x?R

y?sin(x?
?
4
)
，
x?R
的简图






探究与归纳：
一般地，函数
y?sin(x?
?
)
，
x?R
( 其中
?
≠0)的图象，可以看作把正弦曲
线上所有点向左(当
?
＞0 时)或向右(当
?
＜0时＝平行移动｜
?
｜个单位长度而
得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)
y?sin(x?
?
)
与< br>y?sinx
的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这
一变换称为相位变换
对以上的图象的六种变化先让学生猜想，然后让学生通过Flash的软件亲
自动手 探索图象的变化过程,获得亲身体验，验证三角函数图象变化的规律，使
学生获得成功的喜悦感，培养学 生学习、探索数学问题的兴趣，增强学生探索几
何问题的信心，培养学生的创新和勇于探究问题的能力。 以下是我用Flash设计
好动画的图象，让学生按照自己的思路，利用Flash的动画功能进行三角 函数变
换,观察三角函数的图象，将会得到怎样的结果.通过电脑的演示,让学生在错误
的结果 与正确的结果之间进行比较，转变了学生的思维.在此基础上，最后给出
问题：
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?
4、如何由
y?sinx
变换得到
y?3sin(2x?)

3
引导学生自行画出草图，老师并在此基础上用课件演示整个变化过程

两种方法殊途同归
⑴
y?sinx
相位变换
y?sinx?(?
)
周期变换
y?sin(
?
x?
?
)
振幅变换
y?Asin(?x??)

⑵
y?sinx
周期变换
y?sin
?
x
相位变换
y?sin(
?
x?
?
)
振幅变换
y?Asin(?x??)





作y=sinx（长度为2?的某闭区间）
沿x轴平 移|φ|个单位
得y=sin(x+φ)
横坐标伸 长或缩短
得y=sin(ωx+φ)
横坐标 伸长或缩短
得y=sinωx
沿x轴平 移|
?
|个单位
?
得y=sin(ωx+φ)
纵坐标伸 长或缩短


纵坐标伸 长或缩短
得y=Asin(ωx+
?
)的图象
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巩固练习
?
1、
y?sin(x?)
，则原来的函数表达式为( )
4
A
y?sin(x?
3
?
4
4
)< br>) B
y?sin(x?
?
2
)

??
?
C
y?sin(x?)
D
y?sin(x?)
－
44
答案：A
?
2、
y?sinx
如何变换得
y?2sin(3x?)?2

6
?
3、
y?sin(2x?)
如何变换得
y?sinx
. 详细的过程！
4
让学生观察，通过 分组演示，观察
A,
?
,
?
的变化是如何影响三角函数图象的，然后由学生概括出函数
y?sinx
的图象变换到函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象的变化
规律，并且掌握函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象与字母
A,
?
,
?
的关系是怎样的，借助计
算机Flash 软件的动态播放功能,在课堂教学中,很容易地 得到丰富的三角函数图
象.这样,学生就很容易通过自己的参与、探索与归纳,深刻理解
A,< br>?
,
?
这三个系数
对三角函数
y?Asin(
?x?
?
)
图象的影响，大大地增加了教学容量,活跃了课堂气氛,
提高了 教学效率,为进一步研究其他函数图象的性质,打下了坚实的基础,从而培养
学生掌握从特殊到一般，从 具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认
识的飞跃；又从一般到特殊，从抽象到具体的辨证 思维方法；运用Flash 软件的动
画功能提供学生思考问题和探索问题的空间。特殊到一般的学习方 法比较符合学生
的认知规律，同时也培养了学生抽象概括能力。这“形”中的直观和“数”中的严
谨，让学生在“一惊一喜”中达到一悟皆通的效果。
我们的教学不能总是：先学原理，再举例总结运 算步骤，也不一定是“讲清
——总结——练习”的程序。虽然提出一定的运算程式，便于学生模仿操作， 但
过分强调程序，就会造成学生思维的呆板化。长期这样学生就产生了一种很强的
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依赖性。可 以是“情景——诱导——猜想——探索——总结”教学过程模式，以
学生发展为本，让学生站到第一线来 ，打破传统观念。所以上课时我主要采用了
“引导探究式教学法”，“引导探究式教学法”主要以问题为 中心，通过不断提
出问题、探索问题、分析问题、解决问题，使学生掌握新知识，并形成一定的探
究和创新等能力。在本节课中设计三个函数图象变化的数学问题,通过
Flash
软件的动 画功能,带着问题不断的探索函数图象的变化，激发学生对数学的
求知欲望,探索多种函数图象变化的方 法,开阔学生的新视野, 使学生掌握本节课的
重要知识，并形成一定的探究数学问题的创新能力.而本 节课中主要的教学主线是：
“积极前进，循环上升；淡化形式，注重实质；开门见山，适当集中；先做后 说，师
生共做”.上课所在的班学生的成绩普遍较好,学生在课堂上表现出了很高的参与的热
情 ,学生在回答教师提问时用不着教师刻意指名回答，而是学生随意的主动地站起来
回答。本课知识相对集 中复杂，由于课时的压缩，节余的时间用来进行巩固深化，
函数图象变化较复杂，那么通过设计问题启发 学生能够用
Flash
从千变万化的变式
中寻找到三角函数变化规律本质，从而使学生 能够很好掌握函数从
y?sinx
图象到
y?Asin(
?
x??
)
的图象六种变化过程的方法。
学生的主体地位得到了较好的体现，既加深了对知识的透彻理解，又培养了学生研究问题的科学方法，
这是的引导探究式教学法优势
所在。
利用几何画板动态测量、跟踪轨迹和快速作图功能进行数学实验,使学生体会到做数学的乐
趣。“以学生发展为本”是我们进行课件设计时的重要指导思想.也是课改的重要指导思想。
七、教学反思
这节课用简谐振动中的位移与时间的图象引入新课,创设情境，激发学生学习< br>新知的情意；操作上，每次不是让电脑代替学生去作图，而是让学生先动手通过计
算机实验作图， 树立起数形结合的思想，然后利用电脑动态演示图象的变换过程，
学生直观的看到各参数对函数图象的影 响，突破传统教学上的难点；图象变换的根
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本原因加深 了学生对已有知识和经验的认识和理解。通过实践练习，整个教学过程
中，让学生动手探究，教师点拨， 使学生的学习达到“探索得资料，研究获本质”。
同时学生认识到数学来源于生活并应用于生活，起到了 良好的效果。体现了新课标
的理念：每个知识都应该由学生通过活动、探究、体验来获得。但是这样一来 ，使
得课堂上时间明显不够，训练量不够，学生的知识的巩固程度令人放心不下，这也
是实施新 课程中我们应该着力去研究的问题。另外，从新课程的理念：改变学生的
学习方式这一角度来看，运用F lash的动画功能提供学生思考问题和探索问题的空
间。观察函数中的参数的变化带来的图象的变化， 从而根本上改变学生的学习方式，
使计算机的信息技术能够很好的运用于新课程改革，使学生真正成为学 习课程的主
体。
惠安一中 孙经
点评
函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象这一单元的重点是用参数思想讨论函
数< br>y?Asin(
?
x?
?
)
的图象变换过程，难点是图象变换 与函数解析式变换
的内在联系的认识。孙老师在设计中从一个物理问题《弹簧振子位移
——时间 的图象》引入，根据从具体到抽象的原则，通过参数赋值，
从具体函数的讨论开始，把从函数
y ?sinx
的图象到函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象的变换过程，分解为先分别考察参数
?
,
?
,A
对函数图象 的影响，
然后整合为对
y?Asin(
?
x?
?
)
的整体考察。鉴于作函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象有一定的复杂性，孙老师在设计中自已制作了Flash课件，让计
算机动态地演示参数
?
,
?
,A
对函数
y?Asin(
?
x?
?
)
图象的影响，这对学
生认识函数
y?Asin(
?
x ?
?
)
图象特点非常有好处。当然培养学生的作图
能力，特别是用五点法作函 数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象，也是这一单元不第 42 页
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可缺少的一个环节，孙老师在教学设计中也注意到了这一点。
从函数< br>y?Asin
?
(?x
?
y?sinx
的图象出发，经过图象 变换得到函数
图象，其变换途径不唯一，教学中可以提出不同变换途
)
径的问题，让学 生自己去研究。

15、向量的加法及其几何意义

一、教材分析 < br>《普高中课程标准数学教科书
?
数学（必修（4））》(人教（版）)。第二章2．2< br>平面向量的线性运算的第一节“向量的加法及其几何意义”（89--94页）。《向量》
这一章 是前一轮教材中新增的内容。高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向
量是数学的重要概念之一，在高 考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本
概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后 学习复数的三角形式与
向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学< br>以及力学、电学等学科的重要工具。 教材的第2．1节通过物理实例引入了向量
的概念，介绍了 向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概
念。而本节课是继向量基本概念的第一节 课。向量的加法是向量的第一运算，是
最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元 的教学中起着
承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言
中 所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无
限。
二、学生学习情况分析
学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的 合成，而物理学中的
矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。

三、设计理念
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教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断 指导
学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、
系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中
的主体作用 ，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思
维活动，通过比较、分析 、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使
学生的智力、能力和其他心理品质得到 发展。

四、教学目标
根据新课标的要求: 培养数学的应用意识是当今数学 教育的主题，本节课的
内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。及本< br>节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点，我把本节课的教学目的确定为：

1、 理解向量加法的意义，掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的运算律。
2、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。
3、培养类比、迁移、分类、归纳等能力。
4、进行辩证唯物主义思想教育，数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。

五、教学重点与难点
1、教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义。（两个向量的 和的概念是
向量加法的基础，而向量加法是向量运算的基础，向量的线性运算的另一个特点
是它 有深刻的物理背景和几何意义，因此在引入一种向量运算后，总是要考察一
下它的几何意义，正因为向量 的几何意义，使得向量在解决几何问题时可以发挥
很好的作用。）2、教学难点：向量加法的运算律。（ 设计让学生先猜想后验证来
学习运算律，需要利用类比的思想进行猜测，还要在猜测的基础上加以验证， 有
一定难度。）
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六、教学过程设计
1、问题引入（约5分钟）
引例：有 两条拖轮牵引一艘驳船，它们的牵引力分别是＝3000牛，＝2000
牛，牵绳之间的夹角θ＝60° 。如果只用一条拖轮来牵引，而产生的效果跟原来的
相同，试求出这条拖轮的牵引力下的大小和方向。

在物理中，我们已知道，两个不在一条直线的共点力
为邻边的平行四边形OACB的 对角线
与相加所得到的和。
与的合力是以、
是所表示的力。这就是说，
[设计说明] 引导学生利用物理中合力的 概念，来解决这个实际问题,以现有的知识
为出发培养学生的知识类比、迁移能力。
[学情预设] 把实际问题抽象为数学概念是学生的认知难点。
2、概念形成（约5分钟）
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一般地，把以
与
、为邻边的平行四边形OACB的对角线
＋
，叫做
两个向量的和，记作。求两个不平行向量的和可按平行四边形
法则进行。
问题1：如何求两个平行向量的和向量？
问题2：任意一个向量与一个零向量的和是什么？
求两个向量的和的运算叫做向量的加法。
[设计说明] 补充说明两个向量和的概念，同时让学生体验分类的思想。
3、概念深化（约15分钟）
练习 根据图中所给向量画出向量
（1）； （2）。

解法1：将两个向量起点重合，应用平行四边形法则画出两个向量的和向量。
解法2：将一个向量的起点与另一向量的终点重合，也可以画出两个向量的和向
量。
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[设计说明] 1、学生通过练习题（1）可加深对向量加法概念的理解。另 外，可
由此引出向量加法的三角形法则。2、通过对比的方式让学生了解向量的加法既
可以按照 平行四边形法则进行，也可以按照三角形法则进行。在向量加法运算中，
通过向量的平移使两个向量首尾 相接，可使用三角形法则。
引申 求个向量的和向量。

[设计说明] 求个向量的和向量时，让
学生进一步体会应用首尾相接的三角形法则的优越性。
[学情预设] 学生对从特殊到一般的理解较抽象。 结论：求
量可应用多边形法则。
个向量的和向
运算律的归纳
问题：向量的加法既然是一种运算，它应该具有哪些运算律？如何进行验证呢？
[设计说明] 引导学生类比实数加法的运算律，得出向量加法的运算律，培养学
生的类比、迁移归纳能力。
4、应用举例（约10分钟）
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（1）已知 平面内有三个非零向量
两的夹角都是120°，求证：
个非零向量、、，使＋
＋
、
＋
、， 它们的模都相等，并且两
＝；（2）在平面内能否构造三
＋＝； （3）能否说出（2）的实际模型？
[设计说明] 题（1）是基本的例题；题（2）是题（1）的拓 展；题（3）能体现数
学来源于实际又应用于实际的思想。
5、研究讨论（约5分钟） 已知
么关系？
、是非零向量，则|＋|与||＋||有什
[设计说明] 设置这一研讨题可以将本节课与上节课的知识联系起来，并进一步渗
透分类的思想。
6、小结归纳：（约4分钟）
让学生自主回顾和归纳本节的内容。
[设计说明]1 、向量加法的意义；2、理解实际问题数学化的思想，增强数学的应
用意识；3、理解分类讨论等数学思 想，培养类比、迁移等能力
[学情预设] 要求学生不仅对知识体系进行归纳，还要对本节课中所体 现的数学
思想方法及数学能力进行总结有一定的难度。
7、作业布置：（约1分钟） 练习册P.21的6、10、19。
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[设计说明]1、巩固所学的内容。2、对所学内容的检测、反馈与及时补充不

足。
七．教学反思
在本节课中我采用“探究----讨论”教学法。“探究---- 研讨”教学法是美国哈佛大
学教育专家兰本达所倡导的。“探究----研讨”教学法把教学过程分为两 个步骤：第
一步骤是“探究”。我所设计的问题引入、概念形成及概念深化都是采用探究的方
法 ，将有关材料有层次地提供给学生，让学生独立地支配它，进而探索，研究它。
学生通过对这些“有结构 ”的材料进行探究，获得对向量加法的感性认识和形成各
自对向量加法概念的了解。 第二步骤是“研讨 ”，即在探究的基础上，组织学生研
讨自己在探究中的发现，通过互相交流、启发、补充、争论，使学生 对向量加法
的认识从感性的认识上升到理性认识，获得一定水平层次的科学概念。这节课主
要是 教给学生“动手做，动脑想；多训练，勤钻研。”的研讨式学习方法。这样做，
增加了学生主动参与的机 会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考
问题的方法。使学生真正成为教学的主体。也只有 这样做，才能使学生“学”有新
“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”。学生才会逐步感到数学 美，会产生一种成功感，
从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新 型”
人才的需要。
永安市第一中学 黄卫华
点评：
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本节课采用 “探究——讨论”的模式，强调概念形成及概念的递
进，学生通过探究，获得对向量加法的感性认识和对 向量加法概念的
了解。在探究的基础上，通过互相交流、启发、补充、争论，使学生
对向量加法 的认识从感性的认识上升到理性认识，获得一定水平层次
的科学概念。增加了学生主动参与的机会，增强 了参与意识，使学生
成为教学的主体。
但是，教案较粗糙，如图表的编号，数学符号、公式的输入不规
范。设置的目标不够具体。






16、平面向量数量积的物理背景及其含义（1）

一 .教学内容分析：
本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4（人教A版）§2.4
平面向量的数量 积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律,
本节课让学生了解从特殊到一般再由一般 到特殊的这种认识规律和体会概念法
则的学习过程.
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二.学生学习情况分析：
学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的 概念及
其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。
在功的 计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上,学生基本上能类比得到数
量积的含义和运算律,对于运算 律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存
在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断.
三.设计思想：


遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建 构主义理论为指导，
采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，
引导学生积极将知识融入自己的知识体系。

四.教学目标：
1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
2、体会平面向量的 数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运
算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运 算；
3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能
力。
五.教学重点和难点:
重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角 ；难
点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。

六.教学过程设计：
活动一：创设问题情景，引出新课
1、提出问题1：请同学们 回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些
运算的结果是什么？
答：向量的加法、减法及数乘运算。这些运算的结果是向量。
2、提出问题2：请同学们 继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我
们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
答：物理模型→概念→性质→运算律→应用
3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路 来研究向量的另外一种运
算。导入课题：平面向量数量积的物理背景及其含义
［设计意图］：1.明白新旧知识的联系性。2.明确研究向量的数量积这种运
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算的途径。
活动二：探究数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3：
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
那么力F所做的功：W
=
|F| |S| cos
?
。
（2）这个公式有什么特点？请完成下列填空：
①W（功）是 量，②F（力）是 量，
③S（位移）是 量，④α是 。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
（4）如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？
答：两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
2、明晰数量积的定义
（1） 数量积的定义：
已知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角为θ，我们 把数量︱
a
︱·︱
b
︱cos
θ叫做
a
与
b
的数量积（或内积），记作：
a
·
b
，即：
a
·
b
= ︱
a
︱·︱
b
︱cos
θ
（2）定义说明：
①记法“
a
·
b
”中间的“·”不可以 省略，也不可以用“
?
”代替。
② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
［设计意图］：1.认识向量的数量积的实际背景。2. 使学生在形式上认识数
量积的定义。3.从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白为什么研究这种运算,从而产生强烈的求知欲望
3、提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什 么不同？影响数量
积大小的因素有哪些？
答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则 是数量，这个数量的大小不
仅和向量
a
与
b
的模有关，还和它们的夹 角有关。
4、学生讨论，并完成下表：
θ的范围
a
·
b
的符号
α
S
F
0°≤θ<90°

θ=90°


90°<θ≤180°


［设计意图］：引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数
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量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义。
5、研究数量积的几何意义
（1）给出向量投影的概念：
如图，我们把│
b
│cosθ（│
a
│cosθ）
叫做向 量
b
在
a
方向上（
a
在
b
方向上）的投影 ，
记做：OB
1
=│
b
│cosθ
（2）提出问题5：数量积的几何意义是什么？
答：数量积
a
·
b
等于
a
的长度︱
a
︱与
b
在
a
的 方向上的投影︱
b
︱cosθ的乘积。
［设计意图］：这里将数量积的几何意义提前 ，使学生从代数和几何两个方
面对数量积的特征有了更加充分的认识
6、研究数量积的物理意义
（1）请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。
（2）尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：①、竖直下降10米；
②、竖 直向上提升10米；③、在水平面上位移为10米； ④、沿倾角为30度的
斜面向上运动10米；分别求重力做功的大小。
［设计意图］：通过 尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，巩固对定义的理
解；另一方面使学生理解数量积的物理意义， 明白学科间的联系，同时也为数量
积的性质埋下伏笔。
活动三：探究数量积的运算性质
1、提出问题6：
（1）将尝试练习中的① ② ③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？
（2）比较︱
a
·
b︱与︱
a
︱︱
b
︱的大小，你有什么结论？
2、请证明上述结论。
3、明晰：数量积的性质


设
a
和
b
都是非零向量，则


1、

a
⊥
b

a

〃
b
=0

2、当
a
与
b
同向时，︱
a
〃
b
︱=︱
a
︱︱
b
︱；当
a
与
b
反向时，


︱
a
〃
b
︱= -︱
a
︱︱
b
︱， 特别地，
a
〃
a
=︱
a
︱
2
或︱
a
︱=
a
?
a


a
3、︱
a
〃
b
︱︱︱︱
b
︱
第
≤
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［设计意图］：
［设计意图］：将尝试练习的结论推广得到数量积的运 算性质，使学生感到
亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。
活动四：探究数量积的运算律
1、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是
否也适用？
答:①交换律：ab=ba ②结合律：(ab)c=a(bc)
③分配律：(a+b)c=ac+bc
猜想：
a
·
b
=
b
·
a

② （
a
·
b
）
c
=
a
(
b
·
c
)
③（
a
+
b
）·
c
=
a
·
c

+
b

·
c

2、分析猜想：
猜想①的正确性是显而易见的。
关于猜想②的正确性，请同学们先讨论：猜测②的左右两边的结果各是什
么？它们一定相等吗？
答：左边是与向量
c
共线的向量，而右边则是与向量
a
共线的向量， 显然在
向量
c
与向量
a
不共线的情况下猜测②是不正确的。
［设计意图］：要求学生通过对过去所学过的运算律的回顾类比得出数量积
的运算律。通过讨论纠错来 理解不同运算的运算律不尽相同，看到数学的法则与
法则间的相互联系与区别，体会法则，学习研究的重 要性。
3、明晰：数量积的运算律：

a
、
b
、
c
和实数λ，则： 已知向量


（1）
a
〃
b
=
b
〃
a
（2）（λ
a
）〃
b
=λ（
a
〃
b
)=< br>
a
〃（λ
b
）

（3）（
a
+
b
）〃
c
=
a
〃
c

+
b

〃
c


4、学生活动：证明运算律2
在证明时，学生可能只考虑到λ>0的情况,为了帮助学生完善 证明，提出以
下问题：当λ<0时，向量
a
与λ
a
，
b与λ
b
的方向的关系如何？此时，向量λ
a
与
b
及a
与λ
b
的夹角与向量
a
与
b
的夹角相等吗？
5、师生活动：证明运算律（3）
［设计意图］：学会利用定义证明运算律（1）(2)，运 算律(3)的图形构造有
些困难，先让学生讨论，后根据学生的情况加以指导或共同完成。
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活动五：应用与提高
1、学生独立完成：已知︱
a
︱=5,︱
b
︱=4,
a
与
b
的夹角θ=120°，求
a
·

b
。
［设计意图］：通过计算巩固对定义的理解。

2、师生共同完成：已知︱
a
︱=6，︱
b
︱=4,
a< br>与
b
的夹角为60°，求
（
a
+2
b

）·（
a
-3
b
），并思考此运算过程类似于哪种实数运算？
3、学生独立完成：对任意向量
a
，
b
是否有以下结论：
（1）(
a
+
b
)
2
=
a
2
+ 2
a
·
b
+
b
2

（2）(
a
+
b
)·(
a
-
b
)=

a
2
—
b
2
［设计意图］：让学生体会解题中运算律的作用，比较向量运算与数运算的
异同。
4、师生共同完成：已知︱
a
︱=3，︱
b
︱=4, 且
a
与
b
不共线，
k
为何值时，
向量
a
+k
b
与
a
-k
b
互相垂直？并讨论：通过本题， 你有什么体会？
［设计意图］：学会利用数量积来解决垂直问题，体会用数量积将几何问题
转 化为方程求解，体现向量的工具性。
5、反馈练习
（1）判断下列各题正确与否：
①、若
a
≠0，则对任一非零向量
b
，有
a
·
b
≠0．
②、若
a
≠0，
a
·
b
＝
a
·
c
，则
b
＝
c
．
（2） 已知△ABC中，
AB
=
a
,
AC
=
b
，当
a
·
b
<0或
a
·
b
＝0时，试判
断△ABC的形状。
［设计意 图］：1.加强学生的练习。2.通过观察、问答等方式对学生的掌握
情况有了进一步的了解和把握。
活动六：小结
1、本节课我们学习的主要内容是什么？
2、平面向量的数量积有哪些应用？
3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的 探究？在运算律的
探究过程中，渗透了哪些数学思想？
4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？
［设计意图］：通过学生讨论总结，加强了学 生概念法则的理解和掌握，体
会整个内容的研究过程，明白了为什么要学这些内容，学了这些内容可以做
什么，这对以后的学习有什么指导意义。
活动七：布置作业
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1、课本P
119
习题2.4A组1、2、3。
2、拓展与提高：
已知
a
与
b
都是非零向量，且
a
+3
b

与7
a
-5
b
垂直，
a
-4
b
与
7
a
-2
b
垂直，求
a
与
b
的夹角。（本题供学有余力的同学选 做）
［设计意图］：通过设计不同层次的作业既使学生掌握基础知识，又使学有
余力的学生有 所提高，从而达到激发兴趣和“减负”的目的。
七.教学反思：
本节课从总体上说是一节概念 教学，从数学和物理两个角
度创设问题情景来引入数量积概念能激发学生的学习兴趣，。通过安排学生讨 论
影响数量积结果的因素并完成表格和将数量积的几何意义提前有助于学生更好
理解数量积的结 果是数量而不是向量。数量积的性质和运算律是数量积概念的
延伸，这两方面的内容按照创设一定的情景 ，让学生自己去探究、去发现结论,
教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。这样能更清楚地看到数 学法则与
法则间的联系与区别,体会法则学习研究的重要性,例题和练习的选择都是围绕
数量积 的概念和运算律展开的,这能使学生更好在掌握概念法则.


点评：

泉州市泉港五中 林文财
本节课是概念数学课，教师设计了从物理和数学两个角度创设情景，注重概念产生背景及概念深化的过程，使学生认识了数量积的
数学模形。通过问题形式引导学 生自主探究数量积的性质及运算律，
培养了学生类比、从特殊到一般的归纳概括能力，通过练习使学生掌
握了数量积的计算，最后教师通过知识技能、思维方法两个方面加以
总结，使学生深化对数量积 的认识，形成了良好的认知结构。
数量积的性质在解题中有许多应用，同时也应是本节课的重、难?
点，如何突破，教师在教学设计中似乎“单薄”些。如重要性质
ab
?
?
?
?ab
应配备练习来加以巩固。
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17、平面向量数量积的物理背景及其含义（2）
一、教学内容分析
以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量
的夹角对数量积符号的影 响及有关的性质、几何意义和运算律。
本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》 （A版）
第二章、第4节第1课时。它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关
系是向量间 最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重
要数量特征，向量的数量积恰好是解决问 题的一个重要工具。
本节的知识结构：






二、学生学习情况分析
本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积。但 是，学生作
为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当
然，以及 对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。通过情景创设、
探究和思考引导学生认知、理解并掌握 相关的内容。利用向量数量积运算讨
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论一些几何 元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）
之间度量关系的基本量学生容易混淆。利 用数量积运算来反映向量的长度和
两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点 。由
向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅
出、符合学生的 认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学
习兴趣和求知欲望。
三、设计思想
《高中数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，
动手实践、自 主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，转变学生的学习方式，
激发学生的学习积极性，让学生 乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来，这是新课
程数学教学的基本要求。《高中数学课程标准》还 明确提出了提高学生的知识与技能、
重视学生的学习过程与方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目 标。为此，结合本
节课的教学内容，教学中注重过程、方法，注重引导学生自觉去看书，不断提出问题，
研究问题，并解决问题。重视在师生，生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观。
四、教学目标
通过师生互动、学生的自主探究，（1）理解平面向量数量积的含义及其
物理意义；（2）掌握向量数量积的性质和运算律，会进行平面向量数量积的
运算；（3）能运用数量 积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的
垂直关系；（4）通过向量的线性运算及多项式乘法 运算的对照，强化学生的
类比思想；通过数量积的性质、运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。
五、教材重点和难点
重点是平 面向量的数量积的概念和性质；用平面向量数量积表示向量的
模及向量的夹角；平面向量数量积的运算律 的探究及应用。
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难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解；平面向量数
量积的灵活应用。
六、教学过程设计
[情景1]
问题 回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有
关？
结合向量的学习你有什么想法？若一个物体在力
F
的作用下
产
生的位移为
S
，那么力
F
所做的功
W
等于多少？
[设计意图]
以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的
概念做铺垫。
[师生互动]
生：
W?Fscos
?
（其中
?
是
F
和
S
的夹角）。
师：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量来确定？
显然功是一个标量，它由力和位移两 个向量来确定。从中我们得到一个
启发：能否将功看成是两个“向量相乘”的一种运算的结果呢？从而得 出平
面向量的“数量积”的概念。
[情景2]
1、定义向量数量积。弄清定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运
算结果是向量还是数量？
2、如何确定两个非零向量的数量积的符号，什么情况下值为零？
[设计意图]
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使学生从感 性到理性去认知数量积的定义。通过对概念的认识、分析和
探究，使学生加深理解，并掌握相关的性质及 几何意义。同时加深对投影的
认识。
[师生互动]
1、仿照物理问题建构“数学模 型”。引入“向量数量积”的概念：已知
??
????
两个非零向量
a
与
b
，把数量
abcos
?
叫做
a
与
b
的数量积（或内积），记作：
????
??
??
。
a?b< br>，即
a?b?
abcos
?
（其中
?
是
a< br>与
b
的夹角）
??
????
acos
?
(b cos
?
)
叫做向量
a
在
b
方向上（
b< br>在
a
方向
上）的投影。
2、规定：零向量与任何向量的数量积为
0
。
??
3、（1）数量 积运算结果的符号取决于
a
与
b
的夹角
?
（
??
?
0,
?
?
）的大
小；（2）两个向量的数量积是一 个数量，它与两个向量的长度及其夹角有关；
??
????
（3）符号
a?b
不能写成
ab
或
a?b
的形式；（4）找向量的夹角时，应将两向< br>量的起点平移到同一个点上。
4、探究其性质：
??????
（1）
a?b?a?b?0
（
a
与
b
都是非零向量）；
??? ?
设置情景：若
a?b?0
，则向量
a
与
b
至少有 一个是零向量？类比
a,b?R
时，
若
ab?0?a?0
或
b?0
。而且此性质在解决有关线段垂直问题时具有很好
的作用。
????
????
（2）当向量
a
与
b
共线同向时，
a?b?ab< br>；当向量
a
与
b
共线反向时，
????
???
2
?
2
?
a?b??ab
。特别地
a?a?a?a
或
a?
???
2
a?a?a
（与二次根式性质：
a
2
?a
进行类比）。这是求向量长度的又一重要方法。
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[情景3]
由学生自主学习来完成书本例题1。
[设计意图]
????
通过计算巩固 对数量积定义的理解。进一步引导学生对
a?b
和
ab
的
大小关系进 行一般的研究比较。
[师生互动]
????
a?b?ab
和数量积的几何意义。 从例1容易得出性质
[情景4]
给学生
2~3
分钟时间，阅读教材，并对前 面所学的内容及研究方法作一
个归纳小结。
[设计意图]
培养学生的阅读能力和及 时进行归纳小结的学习习惯。把课堂还给学
生，体现师生间的合作探究，不管是老师还是课件，都是为学 生服务的，都
在同步配合学生的学习和探索。
[师生互动]
学生通过自主阅读、总 结并发表自己的看法，老师可以有针对性进行学
习方法点拨并指出对学习过程进行及时反思的重要性。
[情景5]
运算律和运算是紧密相联的，类比实数运算中的运算律，探究平面向量
数量积的运算律。
[设计意图]
通过类比、探究使学生得出数量积的运算律，进一步培养学生的逻辑思
维和研究问题的能力。
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[师生互动]
1、回顾实数运算中有关乘法的运算律 。类比数量积的运算律，体会不
同运算的运算律不尽相同，需要研究。
???
已知向 量
a
、
b
、
c
和实数
?
，则
????
(1)a?b?b?a
??

(2)
?
(a?)b?
?
???
(3)a(?b?)c?
?
a(?
?
a?
???
b?)a?
?
(

b)
?? ?
c?b?c
??????
2、对向量数量积的运算律进一步研究，（1）
a (b?c)?(a?b)c
成立吗？
????
显然，等式左边与向量
a
共线，右边与向量
c
共线，而向量
a
与
c
不一定共线，< br>因此结论不一定成立；
??????
????
（2）由
a?b?b? c
能否推出
a?c
？（反例：当
a?0,b?c
时，有
??
????
a?b?b?c?0
。但不能得到
c?0
）。结合实数a,b,c(b?0)
，有
ab?bc?a?c
进行类比，辩析。
3、 老师可以通过学生的讨论进行纠错，理解不同的运算具有不同的运
算律，体会到数学的法则与法则之间的 区别与联系。同时注意利用学生错误
这一重要的资源，让学生更容易找到易错点和易混点，从而更清晰、 准确地
掌握知识。
[情景6]
例2、例3、例4的教学。
[设计意图]
1、要求学生体会实际解题中运算律的作用，比较向量运算与多项式乘
法运算的异曲同工；
2、学会利用数量积来解决有关垂直问题，体会运算律带来的优越性。
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3、上面几 个例题，层层递进，都是把较难的问题转化为已经解决的较
易的标准问题，体现了知识和方法上的转化。
[师生互动]
1、老师可以将例题内容与多项式乘法运算进行类比；
2、让学生自 己体会用数量积将“几何问题”化归为方程问题来求解的
简练，进一步体现向量的工具作用。
[情景7]
课后反思：让学生回顾总结本节课的学习内容及探究、解决问题的方法。
[设计意图]
让学生整理相关的学习内容，使得“知识系统性、技能熟练性”得到更
加充分体现，体会所学知识的引入基础及探究、解决问题时用到的数学思想
和数学方法，培养学生思考问 题、分析问题、解决问题的能力。
七、教学反思
本节课教学效果不错，主要是把学习的主动 权交还给学生，注意学生的
主动探索、思考及师生互动，还以物理知识为背景，建立了数学的平面向量< br>数量积的概念和运算。使得学习内容直观、生动，抓住重点。使学生懂得对
已有的知识进行迁移、 采用类比的方法让学生主动学习合作交流，体验数学
的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力 。在课堂中会体现自我，
学会自己寻找解题的突破口，在探究中学会思考，在合作中学会推进，在观察中学会比较，进而推进整个教学程序的展开。但自我感觉 “讲”的还是
偏多了一点，对于学生解 题中出现的错误这一资源展开、分析得不够，以后
应该更加注意引导。
龙岩二中苏元东
点评：
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平面向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系。教材中以物体
受力做功 为背景，引出向量数量积的概念。功是一个标量，它用力和
位移两个向量来定义，反映在数学上就是向量 的数量积。苏老师在教
学设计中，注重知识的发生和发展过程的展现，从数学和物理两个角
度创 设问题情景，通过数量积的几何意义使学生从代数和几何两个方
面对数量积的“质变”特征有了更充分的 认识。以问题设计为导向，
以知识为载体，引导学生积极思维，循循善诱，发展学生的思维能力。
以探究的方式概括出平面向量数量积的性质和运算律，体会其是实数
乘积概念的延伸，培养了学生由特 殊到一般的思维品质和类比创新的
意识。
平面向量数量积概念的引入和运用是本节的两个知识 点，苏老师
在设计中对前半部分的设计具体到位，但在获得“数量积”的概念后，
如何探究数量 积的运算率，例题与习题如何进行教学，在设计中显得
粗糙了点。





18、正弦定理（1）

一、教学内容分析：
《普 通高中课程标准数学教科书·数学(必修5)》(人教A版)第一章《解三角
形》：
1?1“正弦定理和余弦定理”的第1课。“解三角形”既是高中数学的基本
内容，又有较强的应用性，在 这次课程改革中，被保留下来，并独立成为一章。
解三角形作为几何度量问题，应突出几何的作用和数量 化的思想，为学生进一步
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学习数学奠定基础。本课“正弦定理”，作为单元的起始课，为后续内容作知识< br>与方法的准备，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边
角关系作量化探究 ，发现并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），解决简单的
三角形度量问题。教学过程中，应发挥学生 的主动性，通过探索发现、合情推理
与演绎证明的过程，提高学生的思辨能力。
二、学生学习情况分析：
由于本课内容和一些与测量、几何计算有关的实际问题相关，教学中 若能注
意课程与生活实际的联系，注重知识的发生过程，定能激起学生的学习兴趣。当
然本课涉 及代数推理，定理证明中可能涉及多方面的知识方法，综合性强，学生
学习方面有一定困难。
三、设计思想：
定理教学中有一种简陋的处理方式：简单直接的定理呈现、照本宣科的定理< br>证明，然后是大剂量的“复制例题”式的应用练习。本课采用实验探究、自主学
习、合作交流的研 究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本
应用上，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价 值。从实际问题出发，引入数学课题，
最后把所学知识应用于实际问题。
四、教学目标： < br>让学生从已有的知识经验出发,通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发
现正弦定理；再由特 殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对
角的关系，引导学生通过观察，猜想，比较， 推导正弦定理，由此培养学生合情
推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力，探索 的精神与
创新的意识，同时通过三角函数、向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初
步树立 事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。
五、教学重点与难点：
本节课的重点是正 弦定理的探索、证明及其基本应用；难点是正弦定理应用
中“已知两边和其中一边的对角解三角形，判断 解的个数”，以及逻辑思维能力
的培养。
六、教学过程设计：
（一）创设情境:
问题1、在建设水口电站闽江桥时,需预
先测量桥长AB,于是在江边选取一个测量
点C,测得CB=435m,∠CBA=
88
0
,∠
BCA=
42
0
。由以上数据，能测算出桥长AB
A
88
0

42
0

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B
435m
C

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吗？这是一个什么数学问题?
引出：解三角形——已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程。
[设计意图：从实际问题出发，引入数学课题。]

师：解三角形，需要用到许多三角形的知识，你对三角形中的边角知识知
多少？
生：······，“大角对大边，大边对大角”
师：“a＞b＞c ←→ A＞ B＞C”，这是定性地研究三角形中的边角关系，
我们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角 关系？
引出课题：“正弦定理
[设计意图：从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学 生对于过去的知
识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识
结构。]
（二）猜想、实验：
1、发散思维，提出猜想：从定量的角度考察三角形中的边角关系，猜想可
能存在哪些关系？
[学情预设：此处，学生根据已有知识“a＞b＞c ←→ A＞B＞C”，可能
出现以
下答案情形。如
aA=bB=cC,asinA=bsinB=csinC,
acosA=bcosB=ccosC,atanA=btanB=ctanC，〃〃〃〃〃〃等等。]
[设计意图：培养学生的发散思维，猜想也是一种数学能力]
2、研究特例，提炼猜想：考察 等边三角形、特殊直角三角形的边角关
系，提炼出asinA=bsinB=csinC。

3、实验验证，完善猜想：这一关系式在任一三角形中是否成立呢？
请 学生以量角器、刻度尺、计算器为工具，对一般三角形的上述关系式进
行验证，教师用几何画板演示。在 此基础上，师生一起得出猜想，即在任意三
角形中，有asinA=bsinB=csinC。
[设计意图：着重培养学生对问题的探究意识和动手实践能力]
（三）证明探究：

对此猜想，据以上直观考察，我们感情上是完全可以接受的，但数学需要
理性思维。如何通过严 格的数学推理，证明正弦定理呢？
1、 特殊入手，探究证明 ：

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形
中，角与边的等式关系。 在Rt
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
?C?90
0
， 根据
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a
b
c
?sin
A
?sin
B
sin
C
??1
c
, 则锐角的正弦函数的定义，有
c
，
c
，又
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
?
c
a
，从 而在直角三角形ABC中，
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
。
2、推广拓展，探究证明 ：
问题2
：
在锐角三角形ABC中，如何构造、表示 “a与
sinA
、 b与sinB”
的关系呢？


探究1：能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？
[学情预设：此处，学生可能 出现以下答案情形。学生对直角三角形中证明
定理的方法记忆犹新，可能通过以下三种方法构造直角三角 形。
生1：如图1，过 C作BC边上的线CD，交BA的延长线于D，得到直
角三角形DBC。
生2：如图2，过A作BC边上的高线AD，化归为两个直角三角形问题。
生3：如图3，分 别过B、C作AB、AC边上的垂线，交于D，连接AD，
也得到两个直角三角形〃〃〃〃〃〃]
经过师生讨论指出：方法2，简单明了，容易得到“c与
sinC
、 b与
sinB”的关系式。
[知识链接：根据化归——这一解决数学问题的重要思想方法，把 锐角三角
形中正弦定理的证明归结为直角三角形问题是自然不过的。而方法3将把问题延
a伸到四点共圆，深究下去，可得
sin
A
考解决]
?
b
sin
B
?
c
sin
C
=2R，对此，可留做课后思
图1
图2
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_(acos(D
_a

?

-

B

),

asin

(

?

-

B

))


_b
_(bcosA,bsinA)C
_a


_c

_(c,0)B



图3 图4

探究2：能否引入向量，归结为向量运算？
（1）图2中蕴涵哪些向量关系式？
学生探究，师生、生生之间交流讨论，得
?
AB?BC?AC,AB?BC?CA?0,AB? CB?CA,
（这三个式子本质上是相同的）,
AD?BC?0
等,
（2）如何将向量关系转化为数量关系？(施以什么运算?)
生：施以数量积运算
（3）可取与哪些向量的数量积运算？
[学情预设：此处，学生可能会做如下种种尝试，如两 边自乘平方、两边同
AC
）时点乘向量
AB
（或
BC、
，均 无法如愿。此时引导学生两边同时点乘向量
AD
,
并说出理由：数量积运算产生余弦， 垂直则实现了余弦与正弦的转换。]
?
[知识链接：过渡教材中，证明方法所引用的单位向量
j
就是与向量
AD
共
线的单位向量。过去，学生常对此感到费解，经如此铺垫方显自然]

探究3：能否引入向量的坐标形式，把向量关系转化为代数运算？
（1）如图4，建立直角坐 标系，可得：A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),
（2）向量
BC
的坐标=？ （bcosA-c，bsinA）
（3 ）哪一点的坐标与向量
BC
的坐标相同？由三角函数的定义，该点的坐
标又为多少？
根据平行四边形法则，D（
acos(180
0
?B),asin(180< br>0
?B)
），从而建立等量
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关系：bcosA－c=
acos(180
0
?B),
bsinA=
asin(180
0
?B)
, 整理，得c= bcosA+
acosB（这其实是射影定理），asinA=bsinB，同理可得asinA=csinC。 < br>[知识链接：向量，融数与形于一体，是重要的数学工具，我们可以通过向量
的运算来描述和研究 几何元素之间的关系（如角与距离等），这里学生已经学过
向量，可根据学生素质情况决定是否采用探究 2与3]
问题3：钝角三角形中如何推导正弦定理？（留做课后作业）

（四）理解定理、基本应用：
1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sinA< br>?
b
sinB
?
c
sinC

问题4、定理结构上有什么特征，有哪些变形式？
（1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学
的和谐美。
（2）从方程的观点看：每个方程含有四个量，知三求一。 从而知正弦定
理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如
a?
bsinA
sinB
；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
sinA
?
a
sin
B
b
。
2、例题分析 例1．在
?ABC
中，已知
A?32.0
，
B?81.8
，
a?42.9
cm，解三角形。
评述：定理的直接应用，对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在
?AB C
中，已知
a?20cm,b?28cm,A?40
0
，解三角形（角度精< br>确到
1
，边长精确到1cm）。
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情
形。
课后思考：已知三角形的两边一角，这个三角形能唯一确定吗？为什
么？
3、课堂练习：
（1）、引题（问题1）
（2）、在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
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C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[设计意图：设计二 个课堂练习，练习（1）目的是首尾呼应、学以致用；
练习（2）则是将正弦定理、简易逻辑与平面几何 知识整合，及时巩固定理，
运用定理。]
（五）课堂小结：
问题5：请同学们用一句话表述学习本课的收获和感受。
生1：原来我只会解直角三角形，现在我会解一般三角形了
师：通过本课学习，你发现自己更强大了。
生2：原来我以为正弦定理的证明，只有书上一种方法，今天我们学到了
课本以外的众多方法。
师：我们学习过两个重要数学工具，即三角函数与平面向量，正弦定理
的证明充分展示了它们的 妙用。
生3：公式很美。
师：美在哪里？
生3：体现了公式的对称美，和谐美······
在同学们的热烈讨论的基础上，用课件展示小结：
1、在正弦定理的发现及其证明中，蕴涵了 丰富的思想方法，既有由特殊
到一般的归纳思想，又有严格的演绎推理。在定理证明中我们从直观几何角
度、向量运算角度探求了数学工具的多样性。
2、正弦定理反映了边与其对角正弦成正比的规 律,据此，可以用角的正
弦替代对边，具有美学价值
3、利用正弦定理解决三类三角形问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而求出其他的边
和角。
（3）实现边与角的正弦的互化。
[设计意图： 通常，课堂小结均由老师和盘托出，学生接受现成的结论。本
设计充分发挥学生思维参与的主动性和创造 性，师生合作，让课堂小结成为点
睛之笔。]
（六）作业布置：
1、书面作业：P10习题1.1 1、2
2、研究类作业：
1）在钝角三角形中探求证明定理的不同方法。
a
2）在△ABC中，
si nA
?
b
sinB
?
c
sinC
?k
，研 究k的几何意义
3）已知三角形的两边一角，这个三角形能唯一确定吗？
[设计意图：对问 题3），根据分散难点，循序渐进原则，在例2中初步涉
及，在课后让学生先行思考，在“正、余弦定理 ”第三课时中予以下图的剖析
阐述。]
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已知边a,b

和


A

C

b

A

H

a
=

bsinA
无解
a

A

b

C

a

H

a

=

CH

=

bsinA
仅有一个解

b

A

a

C

a

B

2

b

A

?

a

b

C

a

H

B

1

H

B

CH

=

bsinA
有两个解

仅有一个解

七、教学反思：
1、本课就新课程理念下定理教学课的课堂模式，做了一些探索。以问题解< br>决为中心，通过提出问题，完善问题，解决问题，拓展问题，采用实验探究、自
主学习的研究性学 习方式，重点放在定理的形成与证明的探究上，努力挖掘定理
教学中蕴涵的思维价值，培养学生的思辨能 力。改变了定理教学中简陋的处理方
式（简单直接呈现、照本宣科证明，大剂量的“复制例题”式的应用 练习）。
2、“用教材教，而不是教教材”，尽管教材中对本课知识方法的要求并不
高，只介 绍了通过作高将一般三角形变换为直角三角形，再将三角比变换得到
等式的化归方法，但教学不仅是忠实 执行课程标准，而且是师生共同开发课
程，将教材有机裁剪，并融入个性见解的过程。如在正弦定理的证 明探究中，
学生完全可能围绕“如何构造直角三角形？”，八方联系，广泛联想，分别应
用平面 几何四点共圆、向量的数量积运算、向量的坐标运算等知识方法。本课
设计充分预设各种课堂生成，尽量 满足不同思维层次学生的需求。
3、突出数学的本质。正弦定理的本质是“定量地描写三角形边角之间 的关
系”，是“大角对大边，小角对小边”的定量化。但量、算、猜不能代替数学
思考与逻辑证 明，而定理的证明实质是：用垂直做媒介，将一般三角形化为直
角三角形处理。本课设计既讲类比联想， 又讲逻辑推理，让学生知其然，知其
所以然。
4、来源于生活实际，又回到生活中，强调了数学应用意识。
福建省周宁第一中学 张徐生
点评：
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本课通过精心设计“发现和解决问题”的过程，注重讲背景、讲
过程、讲 应用，引导学生主动学习、勇于探索。首先从具体问题情境
出发，在教师的指导下，结合学生的已有知识 经验，通过自主学习，
进行发散式猜想与探究判断，去伪存真，提炼猜想，并通过实验验证，
完 善猜想。其次，在定理证明阶段，通过新旧知识的连接点设问，搭
建知识脚手架，让学生展开联想，力求 引导学生寻找合理的知识方法
（如本课知识生长点：三角函数与平面向量两大工具），进行自主性
的活动与尝试，进一步拓展学生知识链。
整节课的设计体现从特殊到一般再回到特殊的研究方法。定 理教学体现了教
师指导下的学生再创造，充分发挥了学生学习的主动性，让学生在自主探究、实
验、猜测、推理中感受和体验，较好地培养与提高了学生发现问题与解决问题、
类比与猜想、联想与引申 等能力以及探索精神与创新意识。此外，本节课的设计
还关注多媒体辅助教学的适当运用，在定理的探求 中充分使用了几何画板给予直
观演示，强调培养学生应用数学的意识和动手实践的能力；引导学生注意学 自己
身边的数学，感知生活中包涵的数学现象与数学原理。



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