人教版高中数学《不等式》全部教案

人教版高中数学《不等式》全部教案

第一教时
教材：不等式、不等式的综合性质
目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质
ⅠⅡ。
过程：
一、引入新课
1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。
2．过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题
二、几个与不等式有关的名称 （例略）
1．“同向不等式与异向不等式”
2．“绝对不等式与矛盾不等式”
三、不等式的一个等价关系（充要条件）
1．从实数与数轴上的点一一对应谈起
a?b?a?b?0

a?b?a?b?0

a?b?a?b?0

2．应用：例一 比较
(a?3)(a?5)
与
(a?2)(a?4)
的大小
解：（取差）
(a?3)(a?5)

(a?2)(a?4)


?(a
2
?2a?15)?(a
2
?2a?8)??7?0

∴
(a?3)(a?5)
<
(a?2)(a?4)

例二 已知
x
0, 比较
(x
2
?1)
2
与
x< br>4
?x
2
?1
的大小
(x
4
?x
2
?1)
解：（取差）
(x
2
?1)
2

?x
4
?2x
2
?1?x
4
?x
2
?1?x< br>2

∵
x?0
∴
x
2
?0
从而
(x
2
?1)
2
>
x
4
?x
2
?1

小结：步骤：作差—变形—判断—结论
例三 比较大小1．
1
3?2
1
3?2
和
10

解：∵
?3?2

1 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
∵
(3?2)
2
?(10)
2
?26?5?24?25?0

∴
2．
1
3?2
<
10

bb?m
和
(a,b,m?R
?
)

aa?m
b
a
b?m
m(b?a)
?
∵
(a,b,m?R
?
)

a?m
a(a?m)
解 ：（取差）
bb?mbb?mbb?m
>；当
b?a
时=；当
b?a
时<
aa?maa?maa?m
1t?1
3．设
a?0
且
a?1
，
t?0
比较
log
a
t
与log
a
的大小
22
∴当
b?a
时
t?1( t?1)
2
t?1
?t??0
∴解：
?t

22
2
1t?11t?1
当
a?1
时
log
a
t
≤
log
a
；当
0?a?1
时
log
a
t
≥
log
a

2222
四、不等式的性质
1．性质1：如果
a?b
，那么
b?a
；如果
b?a
，那么
a?b
（对称性）
证：∵
a?b
∴
a?b?0
由正数的相反数是负数

?(a?b)?0

b?a?0

b?a

2．性质2：如果
a?b
，
b?c
那么
a?c
（传递性）
证：∵
a?b
，
b?c
∴
a?b?0
，
b?c?0

∵两个正数的和仍是正数
∴
(a?b)?(b?c)?0

a?c?0
∴
a?c

由对称性、性质2可以表示为如果
c?b
且
b? a
那么
c?a

五、小结：1．不等式的概念 2．一个充要条件
3．性质1、2
六、作业：P5练习 P8 习题6.1 1—3
补充题：1．若
2x?4y?1
，比较
x< br>2
?y
2
与
1?4y
解：
x?

x
2
?y
2
2
1
的大小
20
(5y?1)
2
11
?0
∴
x
2
?y
2
≥
=……=
5
2020< br>2．比较2
略解：2
当
2
与2
=2
的大小(0<<2
(1
(1
)
)
≥
2(0,)时2)
≥
0 2
2 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
当(,2)时2(1)
<
0 2<2
3．设
a?0且
a?1
比较
log
a
(a
3
?1)
与
log
a
(a
2
?1)
的大小
解：
( a
3
?1)?(a
2
?1)?a
2
(a?1)
< br>当
0?a?1
时
a
3
?1?a
2
?1
∴
log
a
(a
3
?1)
>
log
a
(a
2
?1)

当
a?1
时
a
3
?1?a
2
?1
∴
log
a
(a
3
?1)
>
log
a(a
2
?1)

∴总有
log
a
(a
3
?1)
>
log
a
(a
2
?1)

第二教时
教材：不等式基本性质（续完）
目的：继续学习不等式的基本性质，并能 用前面的性质进行论证，从而让学生清
楚事物内部是具有固有规律的。
过程：
一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2
二、1．性质3：如果
a?b
，那么
a?c?b?c
（加法单调性）反之亦然
证：∵
(a?c)?(b?c)?a?b?0
∴
a?c?b?c

从而可得移项法则：
a?b?c?a?b?(?b)?c?(?b)?a?c?b

推论：如果
a?b
且
c?d
，那么
a?c?b?d
（相加法则）
a?b?a?c?b?c
?
证：
?
?a?c?b?d
c?d?b?c?b?d
?
推论：如果
a?b
且
c?d
，那么
a?c?b?d
（相减法则）
?
a?b
证：∵
c?d
∴
?c??d

?
?a?c?b?d

?
?c??d
或证：
(a? c)?(b?d)?(a?b)?(c?d)

?a?b?0
?

?
?
上式>0 ………
?
c?d
?c?d?0
?
2．性质4：如果
a?b
且
c?0
, 那么
ac?bc
；
如果
a?b
且
c?0
那么
ac?bc
（乘法单调性）
证：
ac?bc?(a?b)c
∵
a?b
∴
a?b?0

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：
3 44
?
a?b

人教版高中数学《不等式》全部教案
c?0
时
(a?b)c?0
即：
ac?bc

c?0
时
(a?b)c?0
即：
ac?bc

推论1 如果
a?b?0
且
c?d?0
，那么
ac?b d
（相乘法则）
证：
a?b,c?0?ac?bc
?
?
?ac?bd

c?d,b?0?bc?bd
?
ab
?
（相除法则）
cd
推论1’（补充）如果
a?b?0
且
0?c?d
，那么
11
?
ab
??0
?
?
证：∵
d?c?0
∴
cd
?

?
cd
a?b?0
?
?
推论2 如果
a?b?0
, 那么
a
n
?b
n

(n?N且n?1)

3．性质5：如果
a?b?0
，那么
n
a?
n
b

(n?N且n?1)

证：（反证法）假设
n
a?
n
b

n
则： 若
n
a?
a?
n
n
b?a?b
这都与
a? b
矛盾 ∴
n
a?
n
b

b?a?b
三、小结：五个性质及其推论
口答P8 练习1、2 习题6.1 4
四、作业 P8 练习3 习题6.1 5、6
五、供选用的例题（或作业）
1．已知
a?b?0
，
c?d?0< br>，
e?0
，求证：
ee

?
a?cb?d
1 1
?
a?b?0
?
ee
?
?
?a?c?b?d?0 ??
证：
?
?
a?cb?d
?
c?d?0
?a?cb?d
?
e?0
?
2．若
a,b?R
，求不等式
a?b,
11
?
同时成立的条件
ab
11b?a
?
???0
?
解：
ab
?
?ab?0

a b
a?b?b?a?0
?
?
3．设
a,b,c?R
，
a?b?c?0,abc?0
求证
111
???0

abc
证：∵
a?b?c?0
∴
a
2
? b
2
?c
2
?2ab?2ac?2bc?0

4 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
又∵
abc?0
∴
a
2
?b
2
?c
2
>0 ∴
ab?ac?bc?0

111ab?bc?ca

abc?0
∴
ab?ac?bc?0

???
abcabc
111
∴
???0

abc
11
4．
ab?0,|a|?|b|
比较与的大小
ab
11b?a
解： 当
a?0,b?0
时∵
|a|?|b|
即
a?b

?
abab

b?a?0

ab?0
∴
b?a11
?0
∴<
abab
∵
当
a? 0,b?0
时∵
|a|?|b|
即
a?b

b?a?0

ab?0
∴
5．若
a,b?0
求证：
解：
b?a11
?0
∴>
abab
b
?1?b?a

a
bb?a
?1??0
∵
a?0
∴
b?a?0
∴
a?b

aa
b?abb
??1?0
∴
?1

b?a?b?a?0
∵
a?0
∴
aaa
lo g
sin
?
?
log
sin
?
?
?

a?cb?d
6．若
a?b?0,c?d?0
求证：
证：∵
0?sin
?
?1
>1 ∴
log
sin
?
?
?0

又∵
a?b?0,?c??d?0
∴
a?c?b?d

∴
11
∴原式成立
?
a?cb?d
第三教时
教材：算术平均数与几何平均数
目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及
其推导过程。
过程：
一、定理：如果
a,b?R
，那么
a
2
? b
2
?2ab
（当且仅当
a?b
时取“=”）
证明：
a
2
?b
2
?2ab?(a?b)
2

5 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
当a?b时，(a ?b)
2
?0
?
22
a?b?2ab

?
?
2
当a?b时，(a?b)?0
?
1．指出定理适用范围：
a,b ?R

2．强调取“=”的条件
a?b

二、定理：如果
a,b
是正数，那么
a?b
）
?ab（当且仅当
a?b
时取“=”
2
证明：∵
(a)
2?(b)
2
?2ab
∴
a?b?2ab

即：
a?ba?b
?ab
当且仅当
a?b
时
?ab

22
注意：1．这个定理适用的范围：
a?R
?

2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平
均数。
三、推广：
定理：如果
a,b,c?R
?
，那么
a
3
?b
3< br>?c
3
?3abc

（当且仅当
a?b?c
时取“=”）
证明：∵
a
3
?b
3
?c
3
?3abc?(a?b)
3
?c
3
?3a
2
b?3ab
2
?3abc

?(a?b? c)[(a?b)
2
?(a?b)c?c
2
]?3ab(a?b?c)

?(a?b?c)[a
2
?2ab?b
2
?ac?bc?c2
?3ab]

?(a?b?c)(a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca)

?
1
(a?b?c)[( a?b)
2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
]

2
∵
a,b,c?R
?
∴上式
≥
0 从而
a
3
?b
3
?c
3
?3abc

指出：这里
a,b,c?R
?
∵
a?b?c?0
就不能保证
推论：如果
a,b,c?R
?
，那么
a?b?c
3
?abc

3
（当且仅当
a?b?c
时取“=”）
证明：
(
3
a)
3
?(
3
b)
3
?(< br>3
c)
3
?3
3
a?
3
b?
3c
?
a?b?c?3
3
abc

a?b?c
3
?abc

3
四、关于“平均数”的概念

?
6 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
1．如果
a
1< br>,a
2
,
?
,a
n
?R
?
,n?1 且n?N
?
则：
a
1
?a
2
???a
n
叫做这n个正数的算术平均数
n
n
a
1
a
2< br>?a
n
叫做这n个正数的几何平均数
2．点题：算术平均数与几何平均数
3．基本不等式：
a
1
?a
2
???a
n
n
≥
a
1
a
2
?a
n

n

n?N
*
,a
i
?R
?
,1?i?n

这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
a?b
4．
?ab
的几何解释：
2
以
a?b
为直径作圆，在直径上取一点C，
D
过C作弦’ 则
CD
2
?CA?CB?ab

A
a C b
B
D’
从而
CD?ab

而半径
a?b
?CD?ab

2
五、例一 已知
a ,b,c
为两两不相等的实数，求证：
a
2
?b
2
?c2
?ab?bc?ca

证：∵
a
2
?b
2
?2ab

b
2
?c
2
?2bc

c
2
?a
2
?2ca

以上三式相加：
2 (a
2
?b
2
?c
2
)?2ab?2bc?2ca

∴
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca

六、小结：算术平均数、几何平均数的概念
基本不等式（即平均不等式）
七、作业：P11-12 练习1、2 P12 习题5.2 13
a
补充：1．已知
6?a?8,2?b?3
，分别求
a?b,a?b,
的范围
b

(8,11) (3,6) (2,4)
2．
x?R
试比较
2x
4
?1
与
2x
3
?x
2
（作 差
2x
4
?1
>
2x
3
?x
2
）
7 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
3．求证：
a
2
?b
2
?b
2
?c
2
?c
2
?a
2
?2(a?b?c)

证：
a
2
?b
2
?
2
(a?b)

2
b
2
?c
2
?
2
(b?c)

2
c
2
?a
2
?
2
(ca)

2
三式相加化简即得
第四教时
教材：极值定理
目的：要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。
过程：
二、复习：算术平均数与几何平均数定义，平均不等式
三、若
x,y?R
， 设
Q(x,y)?
2
1?
?
xy
?
x?y
x
2
?y
2

A(x,y)?

G(x,y)?xy

2
2
H(x,y)?
求证：
Q(x,y)?A(x,y)?G(x,y)?H(x,y)

加权平均；算术平均；几何平
均；调和平均
x?y
2
x
2
?y
2
?2xyx
2
?y
2
?x
2
?y< br>2
x
2
?y
)???
证：∵
(

2 442
x
2
?y
2
x?y
∴即：
Q(x,y)?A (x,y)
（俗称幂平均不等式）
?
22
由平均不等式
A(x,y)?G(x,y)

H(x ,y)?
2xy2xy
??xy?G(x,y)
即：
G(x,y)?H(x, y)

x?y
2xy
综上所述：
Q(x,y)?A(x,y)?G( x,y)?H(x,y)

1125
例一、若
a?b?1,a,b?R
?
求证
(a?)
2
?(b?)
2
?

ab2
11
(a??b?)
2
11
ab
证：由幂 平均不等式：
(a?)
2
?(b?)
2
?
ab2
a ?ba?b
2
ba
(1??)(3??)
2
(3?2)
2< br>25
abab

?

???
2222
8 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
四、极值定理
已知
x,y
都是正数，求证：
1
2
如果积
xy
是定值
p
，那么当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p

1
如果和
x?y
是定值
s
，那么当
x ?y
时积
xy
有最大值
s
2

4
x?y
证：
∵
x,y?R
?
∴

?xy

2
x?y
1当
xy?p
(定值)时，
?p
∴
x?y
?2p

2
∵上式当
x?y
时取“=” ∴当
x?y
时有
(x?y)
min
?
2p

2当
x?y?s
(定值)时，
xy?
s1
∴
xy?s
2

24
∵上式当
x?y
时取“=” ∴当
x?y
时有
(xy)
max
?
注意强调：1
1
2
s

4
最值的含义（“
≥
”取最小值，“
≤
”取最大值）
2
五、例题
用极值定理求最值的三个必要条件：
一“正”、二“定”、三“相等”
1．证明下列各题：
⑴
lgx?log
x
10?2

(x?1)

证：∵
x?1
∴
lgx?0

log
x
10?0

于是
lgx?log
x
10?2lgxlg
x
10?2

⑵若上题改成
0?x?1
，结果将如何？
解：∵
0?x?1

lgx?0

log
x
10?0

于是
(?lgx)?(?log
x
10)?2

从而
lgx?log
x
10??2

⑶若
a?b?1
则
ab?
1

4
1

4
1

4
解：若
a,b? R
?
则显然有
0?ab?
若
a,b
异号或一个为0则
ab?0
∴
ab?
2．①求函数
y?x
2
(1? x)
的最大值
(0?x?1)

9 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
②求函数
y?x(1?x
2
)
的最大值
(0?x?1)

解：①∵
0?x?1
∴
1?x?0
∴当
x2
?1?x
即
x?
时
23
xx
??1?x
24
xx4

y?4 ??(1?x)?4?(
22
即
x?
时
y
max
?

)
3
?
327
22327
②∵
0?x?1
∴
0?1?x
2
?1

∴
y
2?x
2
(1?x
2
)
2
?
1
?2x< br>2
?(1?x
2
)(1?x
2
)

2
12x
2
?(1?x
2
)?(1?x
2
)
34
?()?

2327
∴当
2x
2?1?x
2
,x?
323
4
时
y
2
m ax
?

y
max
?

39
27
3．若
x??1
，则
x
为何值时
x?
1
有最小值 ，最小值为几？
x?1
1
解：∵
x??1
∴
x?1?0

?0

x?1
∴
x?
1 1
1
?1?2(x?1)??1?2?1?1
=
x?1?
x?1x?1
x?1
当且仅当x?1?
11
即
x?0
时
(x?)
min
?1

x?1x?1
六、小结：1．四大平均值之间的关系及其证明
2．极值定理及三要素
七、作业：P12 练习3、4 习题6.2 4、5、6
补充：下列函数中
x
取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？
11
1
y?x(2?3x)

x?
时
y
max
?

33
1
2
y?1?4x?

x?1,y
min
??2

5?4x
3
x?0
时
y?1?2x?
6
3
,y
min
?1?6

x??
2
x
第五教时
教材：极值定理的应用
目的：要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。
过程：
10 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
八、复习：基本不等式、极值定理
3
九、例题：1．求函数
y?2x
2
?,(x?0)
的最大值，下列解法是否正确？为什
x
么？
解一：
y?2x
2
?
31112
?2x
2
???3
3
2x
2
???3
3
4

xxxxx
∴
y
min
?3
3
4

3
3
12
3
2
3
2
解二：
y?2x?? 22x??26x
当
2x?
即
x?
时
xx
2
x
2
3

y
min< br>?26?
12
?23
3
12?2
6
324

2
答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在
x
使得12
2x
2
??
；解二错在
26x
不是定值（常数）
xx
正确的解法是：
y?2x
2
?
3333393
?2x
2
???3
3
2x
2
???3
3
?
3
36

x2x2x2x2x22
3
6
33
当且仅当
2x?
即
x?
时
y
min
?
3
36

2
2x2
2
x
2
?2x?2
2．若
?4?x?1
，求的最值
2x?2
x
2
?2x? 21(x?1)
2
?11111
???[(x?1)?]??[?(x?1)?] 解：
2x?22x?12x?12?(x?1)
∵
?4?x?1
∴
?(x?1)?0

1
?0

?(x?1)
从而
[?(x?1)?
111
]?2

?[?(x?1)?]??1

?(x?1)2?(x?1)
x
2< br>?2x?2
)
min
??1
即
(
2x?2
y
2
?1
，求
x1?y
2
的最大值 3．设
x?R
且
x?
2
?
2
11 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
1y
2
解：∵
x?0
∴
x1?y?2?x(?)

22
22
1y
2
y< br>2
13
2
又
x?(?)?(x?)??

22222
2
1332
∴
x1?y
2
?2(?)?

224
即
(x1?y
2
)
max
?
4．已知
a,b,x,y?R
?
且
32

4
ab
??1
，求
x?y
的最小值
xy
abayxb
?
解：
x?y
?(x?y)?1?(x?y)(?)?a?b?

xyxy

?a?b?2< br>ayxb
x
?
即
?
xy
y
ayxb
??(a?b)
2

xy
当且仅当
a
时
(x?y)
min
?(a?b)
2

b
十、关于应用题
1．P11例（即本章开头提出的问题）（略）
2．将一块边长为
a
的正方 形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成
一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的 边长为多少？最大
容积是多少？
解：设剪去的小正方形的边长为
x

a
则其容积为
V?x(a?2x)
2
,(0?x?)

2
1
V??4x?(a?2x)?(a?2x)

4
14x ?(a?2x)?(a?2x)
3
2a
3
?[]?

432 7
当且仅当
4x?a?2x
即
x?
a
时取“=”
6
2a
3
a
即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为
27
6
十一、 作业：P12 练习4 习题6.2 7
12 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
补充：
1．求下列函数的最值：
4
1
y?2x
2
?,(x?R
?
)
(6)
x
2
2a
3
a
)
y?x(a?2x),(0?x?)
(
max?
27
2
2
2．1
2
3< br>669
?3x
2
的最小值，
y?
2
?3x
的 最小值
(9,
3
4)

x2
x
1x
设x?[,27]
，求
y?log
3
?log
3
(3x)
的最大值(5)
927
x?0
时求
y?
若
0?x?1
, 求
y?x
4
(1?x
2
)
的最大值
(
423
,x?)

273
4若
x,y?R
?
且
2x?y ?1
，求
11
?
的最小值
(3?22)

xy3．若
a?b?0
，求证：
a?
1
的最小值为3
b( a?b)
4．制作一个容积为
16
?
m
3
的圆柱形容器(有 底有盖)，问圆柱底半径和
高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）
(R?2m,h?4m)

第六教时
教材：不等式证明一（比较法）
目的：以不等式的等价命题为依据，揭示 不等式的常用证明方法之一——比较法，
要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
过程：
一、复习：
1．不等式的一个等价命题
2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论
二、作差法：（P13—14）
1． 求证：x
2
+ 3 > 3x
3333
3x =
x
2
?3x?()
2
?()
2
?3?(x?)
2
??0

2224
∴x
2
+ 3 > 3x
a?ma
?
2． 已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：
b?mb
证：∵(x
2
+ 3)
13 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
证：
a?mab(a?m)?a(b?m)m(b?a)
???

b?mbb(b?m)b(b?m)
∵都是正数，并且a 0 , b
∴
m(b?a)
a?ma
?0
即：
?

b(b?m)
b?mb
a > 0
变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？
3． 已知a, b都是正数，并且a
证：(a
5
+ b
5
)
b
3
)
= (a + b)(a
又∵a b，∴(a
b)
2
(a
2
+ + b
2
)
b)
2
(a
2
+ + b
2
) > 0
∵a, b都是正数，∴a + b, a
2
+ + b
2
> 0
b)
2
> 0 ∴(a + b)(a
即：a
5
+ b
5
> a
2
b
3
+ a
3
b
2

4． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m
行走，另一半时间以速度n行走；有 一半路程乙以速度m行走，另一
半路程以速度n行走，如果m n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？
解：设从出发地到指定地点的路程为S，
甲乙两人走完全程所需时间分别是t
1
, t
2
，
则
t
1
?
b，求证：a
5
+ b
5
> a
2
b
3
+ a
3
b
2

a
3
b
2
) + (b
5

b
3
(a
2

a
2
b
3
)
b
2
) (a
3
b
2
) b
2
) = (a
2

(a
2
b
3
+ a
3
b
2
) = ( a
5

= a
3
(a
2

：
t
1
t
m?< br>1
n?S,
22
SS
??t
2
2m2n
可得：
2SS(m?n)

,t
2
?
m?n2mn
2SS(m?n)S[4mn?(m?n)
2
]S(m?n)
2
????∴
t
1
?t
2
?

m?n2mn2(m?n)mn2mn(m?n)
∵S, m, n都是正数，且m
变式：若m = n，结果会怎样？
三、作商法
5． 设a, b ，求证：
ab?(ab)
ab
n，∴t
1
t
2
< 0 即：t
1
< t
2
从而：甲先到到达指定地点。
a?b
2
?a
b
b
a

a?b
2
证：作商：
a
a
b
b
(a b)
a?b
2
?a
a?b
2
b
b?a
2< br>a
?()
b

14 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
a?b
2
a
当a = b时，
()
b
?1

a?ba
?0,()
2b
a?b
2
a
当a > b > 0时，
?1,
b
?1

a?b
2
a
当b > a > 0时，
0??1,
b
a?ba
?0,()
2b
?1

∴
ab?(ab)
四、小结：作差、作商
五、作业： P15 练习
ab
a?b
2
（其余部分布置作业）
作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。
P18 习题6.3 1—4

第七教时
教材：不等式证明二（比较法、综合法）
目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法
证明不等式。
过程：
二、比较法：
a) 复习：比较法，依据、步骤
比商法，依据、步骤、适用题型
b) 例一、证明：
y?2
x
2
? 4x?3
在
[2,??)
是增函数。
2
22
y
1
2
x
1
?4x
1
?3
证：设2
≤
x
1
2
, 则
?
2
?2
x
2
?4x
2
?x
1
?4x
1
?2
(x2
?x
1
)(x
1
?x
2
?4)
< br>y
2
2
x
2
?4x
2
?3
∵x2
x
1
> 0, x
1
+ x
2
4 > 0 ∴
x
2
?4x?3
y
1
?2
0
?1

y
2
又∵y
1
> 0， ∴y
1
> y
2
∴
y?2
三、综合法：
在
[2,??)
是增函数
定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性 质，推导出所要证明的
不等式，这个证明方法叫综合法。
i. 已知a, b, c是不全相等的正数，
求证：a(b
2
+ c
2
) + b(c
2
+ a
2
) + c(a
2
+ b
2
) > 6
证：∵b
2
+ c
2

≥
2 , a > 0 , ∴a(b
2
+ c
2
)
≥
2
15 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
同理：b(c
2
+ a
2
)
≥
2 , c(a
2
+ b
2
)
≥
2
∴a(b
2
+ c
2
) + b(c
2
+ a
2
) + c(a
2
+ b
2
)
≥
6
当且仅当时取等号，而a, b, c是不全相等的正数
∴a(b
2
+ c
2
) + b(c
2
+ a
2
) + c(a
2
+ b
2
) > 6
ii. 设a, b, c
1
2
3
R，
2
(a?b)

2
求证：
a
2
?b
2
?
求证：
a
2
?b
2
?b
2
?c
2
?c
2
?a
2
?2(a?b?c)

若a + b = 1, 求证：
a?
11
?b??2

22
证：1
a
2
?b
2
a?b
2< br>a
2
?b
2
a?ba?b
?()?0
∴∵
?||?
22
222
2
(a?b)

2
2
(b?c)
，
2
c
2
?a
2
?
2
(c?a)

2
∴
a
2
?b
2
?
2 同理：
b
2
?c
2
?
三式相加：
a
2?b
2
?b
2
?c
2
?c
2
?a2
?2(a?b?c)

3由幂平均不等式：
111
(a?? b?)?
222
11
(a?)?(b?)
22
?
2
(a?b?1)
?
2
2
?1

2
∴
a?
iii. a , b, c
11
?b??2

22
R, 求证：1
2
3
111
(a?b?c)(??)?9

abc
1119
(a?b?c)(??)?

a?bb?cc?a2
abc3
???

b?cc?aa?b2
1111
???3
3
, 两式相乘即得。
abcabc
证：1
a?b?c?3
3
abc
, 法一：
法二
16 44
：左边

人教版高中数学《不等式》全部教案
a?b?ca?b?ca?b?cbacacb
???3?(?)?(?)?(?)

abcabacbc

≥
3 + 2 + 2 + 2 = 9
a?bb?cc?a3
3
2∵
???(a?b )(b?c)(c?a)

2222
?

1111

???3
3
a?bb?cc?a(a?b)(b?c)(c?a)
两式相乘即得
1119
??)?

a?bb?cc?a2
cab9
∴
1??1??1??

a?bb?cc?a2
abc3
即：
???

b?cc?aa?b2
三、小结：综合法
3由上题：
(a?b?c)(
四、作业： P15—16 练习 1，2
P18 习题6.3 1，2，3




















17 44

人教版高中数学《不等式》全部教案





补充：
1．已知a, b
2．
设
且a
a
2
2
b
2
2
b，求证：
()?()?a
2
?b
2
（取差）
ba
1111
R，x, yR，求证：
x
sin
2
?
?y
cos
2
?
?x?y
（取商）

3．
已知a, b
a?b
3
a
3
?b
3
)?
，求证：
(

22

证：∵a, b∴
(a?b)
2
?0
∴
a
2
?ab?b
2
?ab

∴
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)? ab(a?b)

∴
3(a
3
?b
3
)?3ab(a?b)

∴
4(a
3
?b
3
)?a
3
?3ab(a?b) ?b
3
?(a?b)
3

a?b
3
a
3< br>?b
3
)?
∴
(

22
4．
设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：
(a?
1
2
125

)?(b?)
2< br>?
ab2
a?b111
证：∵
ab??
∴
ab?
∴
?4

224ab
11
?11
???
a??b?
?
1??
???
11
a b
?
?2
?
ab
?
∴
(a?)
2
?(b?)
2
?2
?
ab22
????
????
????
a?b
?
1
???
2
?
1???
1?
?
1?425
??
abab
?
?2< br>??
?2
?
?2
?
?

?
22???
2
?
?
2
?
????
????
22
22
第八教时
教材：不等式证明三（分析法）
18 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
目的：要求学生学会用分析法证明不等式。
过程：
一、介绍“分析法”：从求证的 不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条
件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题 。
二、
例一、求证：
3?7?25

证： ∵
3?7?0,25?0
综合法：
只需证明：
(3?7)
2
?(25)
2
∵21 < 25
展开得：
10?221?20
∴
21?5

即：
221?10
∴
221?10

∴
21?5
∴
10?221?20

即： 21 < 25（显然成立） ∴
(3?7)
2
?(25)
2

∴
3?7?25
∴
3?7?25

例二、设x > 0，y > 0，证明不等式：
(x?y)?(x?y)

证一：（分析法）所证不等式即：
(x
2
?y
2
)
3
?(x
3
?y
3
)
2

即：
x
6
?y
6
?3x
2
y
2
(x
2
?y
2
)?x
6
?y
6
?2x
3
y
3

即：
3x
2
y
2
(x
2
?y
2
) ?2x
3
y
3

22
1
2
3
1< br>3
3
2
xy

3
2
∵
x
2
?y
2
?2xy?xy
成立
3
只需证：
x
2
?y
2
?
∴
(x
2
?y
2
)?(x
3
?y)

证二：（综合法）∵
(x
2
?y
2
)
3
?x6
?y
6
?3x
2
y
2
(x
2
?y
2
)?x
6
?y
6
?6x
3
y3


?x
6< br>?y
6
?2x
3
y
3
?(x
3
?y
3
)
2

∵x > 0，y > 0， ∴
(x
2
?y
2
)?(x
3
?y)

例三、已知：a + b + c = 0，求证： + +
≤
0
证一：（综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)
2
= 0
1
2
1
3
3
1
2
1
3
3
19 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
a
2
?b
2
?c
2
展开得：
ab?bc?ca??

2
∴ + +
≤
0
证二：（分析法）要证 + +
≤
0 ∵a + b + c = 0
故只需证 + +
≤
(a + b + c)
2

即证：
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca?0

1
即：
[(a?b)
2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
]?0
（显然）
2
∴原式成立
证三：∵a + b + c = 0 ∴ c = a + b
∴ + + = + (a + b)c = (a + b)
2
= a
2
b
2

b
2
3b
2
]?0
=
?[(a?)?
24
例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指
横截面）的周长 相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水
管流量大。
l
?
l
?
证：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为
?
??
，
2?< br>?
2?
?
l
?
l
?
周长为l的正方形边长为 ，截面积为
??

4
?
4
?
2
2
?
l
??
l
?
问题只需证：
?
??
>
??

?
2?
? ?
4
?
l
2
?l
2
即证：
2
>
16
4?
22
411
，得：
?

2
?4
l
因此只需证：4 > （显然成立）
两边同乘
?
l
??
l
?
∴
?
??
>
??
也可用比较法（取商）证，也不困难。
?
2?
??
4
?
三、
作业： P18 练习 1—3 及 习题6.3 余下部分

22
补充作业：
1．已知0 <
?
，证明：
2sin2??cot

2
1?cos?
略证：只需证：
4sin?cos??
∵0 <
sin?
<
故只需证：
4sin
2
?cos??1?cos?

20 44
< ∴ > 0

人教版高中数学《不等式》全部教案
即证：
4(1?cos?)(1?cos?)cos??1?cos?
∵1 +
只需证：
4(1?cos?)cos??1

即只需证：
4cos
2
??4cos??1?0

即：
(2cos??1)
2
?0
（成立）
2．
已知a > b > 0，
> 0
为锐角，求证：
asec??btan??a
2
?b
2
< br>略证：只需证：
(asec??btan?)
2
?a
2
?b< br>2

a
2
tan
2
??b
2
sec ?
2
?2abtan?sec??(atan??bsec?)
2
?0
即：（成立）

3．
设a, b, c是的△三边，S是三角形的面积，求证：
c?a?b?4ab?43S

222略证：正弦、余弦定理代入得：
?2abcosC?4ab?23absinC

即证：
2?cosC?23sinC

即：
3sinC?cosC?2

?
即证：
sin(C?)?1
（成立）

6
第九教时
教材：不等式证明四（换元法）
目的：增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问
题。
过程：
四、提出课题：（换元法）
五、
三角换元：

11
例一、求证：
??x1?x
2
?

22
证一：（综合法）
?
x
2
?(1?x
2)
?
1
2222
∵
|x1?x|?|x|1?x?x(1?x) ?
?

?
?
22
??
111
即：
|x1?x
2
|?
∴
??x1?x
2
?

222
证二：（换元法） ∵
?1?x?1
∴令 x = , [0, ]
1
则
x1?x
2
?cos?sin??sin2?

2
21 44
2

人教版高中数学《不等式》全部教案
∵
?1?sin??1
∴
?
11
?x1?x
2
?

22
11
??3?22

xy
例二、已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：
?
11
?
11
2xy
??3?22

?
证一：
?
即：
?(2x?y)?3???3?22
?< br>xy
?
xy
yx
??
证二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可设
x?
则
1
2
sin?,
2
y?cos
2
?
< br>1121
????2(1?cot
2
?)?(1?tan
2
? )

22
xy
sin?cos?
?3?(2cot
2
??tan
2
?)?3?22

例三：若
x
2
? y
2
?1
，求证：
|x
2
?2xy?y
2
|?2

证：设
x?rsin?,y?rcos?,(0?r?1)
，
则
|x
2
?2xy?y
2
|?|r
2
cos
2
??2r
2
cos?sin??r
2
si n
2
?|

?
??
?r
2
|cos2?? sin2?|?2r
2
cos
?
2??
?
?2r
2
?2

4
??
例四：若x > 1，y > 1，求证：
xy?1?(x?1)(y?1)

证：设
x?sec2
?,
?
y?sec
2
?,(0??,??)

2
cos(???)1
??xy

cos?cos?cos?cos?
则
1?(x?1)(y?1)?1?tan?tan??
例五：已知：a > 1, b > 0 , a b = 1，求证：
0?
1
?
1
??
1?
?a???b??
???
?1

a
?
a
??
b
??
证：∵a > 1, b > 0 , a
?
a?sec
2
?,b?tan
2
?,( 0???)

2
b = 1 ∴不妨设
1
?
1
??
1
?
1
?
1
??
1
?
则
?a???b???sec??tan??
????

???
se c
2
?
a
?
sec?tan?
a
??
b< br>?
????
?
1tan
2
?sec
2
???sin?

?
2
sec?tan?
sec?
22 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
∵
0???
?
, ∴0 <
2
< 1 ∴
0?
(
0???
, y =
, y =
1
?
1
??
1
?
?a???b???1

????
a
?
a
??
b
?
(
?
小结：若0
≤
x
≤
1，则可令x =
?
)或x =
2
2
??
???
)。
22
若
x
2
?y
2
?1
，则可令x =
若
x
2
?y
2
?1
，则可令x =
若x
≥
1，则可令x =
若x
六、代数换元：
例六：证明：若a > 0，则
a
2
?
1
,
a
(
0???2?
)。
(
0???2?
)。
(
0???
R，则可令x =
?
)。
2
??
(
????
)。
22
11
?2?a??2

a
a
2
证：设
x?a?y?a
2
?
2
1
,(a?0,x?2,y?2)

2
a
2
1?
?
2
1
?
?
22
a?
2
?
?2
则
x?y?
?
a?
?
?
?
??
a
a
??
??
x?y?a?
11
?a
2
?
2
?2?2
（ 当a = 1时取“=” ）
a
a
x
2
?y
2
2
??2?2
∴
x?y?
x?y
2?2
即
y?2?x?2
∴原式成立
七、 小结：
还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法，有兴趣的课后还可进一步学
习。
八、
作业：

1．若
a
2
?b
2
?1
，求证：
asinx?bcosx?1

2．
若 < 1， <1，则
|ab?(1?a)(1?b)|?1

3．
若
≤
1，求证：
(1?x)?(1?x)?2

4．
若a > 1, b > 0 , a
nnn
22
b = 1，求证：< br>0?
1
?
1
??
1
?
?a???b???1

????
a
?
a
??
b
?
23 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
5．
求证：
0?1?x?x?1

6．
已知
≤
1，< br>≤
1，求证：
|a1?b
2
?b1?a
2
|?1
第十教时
教材：不等式证明五（放缩法、反证法）
目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。
过程：
九、简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法
提出课题：放缩法与反证法
十、
放缩法：

例一、若a, b, c, d，求证：
abcd
1?????2

a?b?db?c?ac?d?bd?a?c
abcd
证：记m =
???
a?b?db?c?ac?d?bd?a?c
∵a, b, c, d


abcd
∴
m?????1

a?b?c?da?b?c?ac?d?a?bd?a?b?c
abcd

m?????2

a?ba?bc?dd?c
∴1 < m < 2 即原式成立
例二、当 n > 2 时，求证：
log
n
(n?1)log
n
(n?1)?1

证：∵n > 2 ∴
log
n
(n?1)?0,log
n
(n?1)?0

∴
?
log
n
(n
2
?1)
?
?
log
n
(n?1)?log
n
(n?1)
?
log
n
(n?1)log
n
(n?1)?
?
?< br>??

?
22
??
??
?
log
n
n
2
?

?
??
?1

2
??
2
2
2
∴n > 2时,
log
n
(n?1)log
n
(n?1)?1

例三、求证：
证：
1111
???
?
??2

1
2
2
2
3
2
n
2
1111???

n
2
n(n?1)n?1n
∴
24 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
111111 1111
???
?
??1?1????
?
???2??2

223n?1nn
1
2
2
2
3
2
n
2
十一、 反证法：
例四、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同
1
时大于
4
111
证：设(1 a)b >, (1 b)c >, (1 c)a >,
444
1
则三式相乘： < (1 a)b
?
(1 b)c
?
(1 c)a < ①
64
1
?
(1?a)?a
?
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
0?(1?a)a?
?

?
?
24
??
同理：
(1?b)b?
2
11
,
(1?c)c?

44
a)a
?
(1 b)b
?
(1 c)c
≤
以上三式相乘： (1
1
与①矛盾
64
∴原式成立
例五、已知a + b + c > 0， + + > 0， > 0，求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵ > 0, ∴ < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c = a > 0
∴ + + = a(b + c) + < 0 与题设矛盾
又：若a = 0，则与 > 0矛盾， ∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
十二、
作业：证明下列不等式：

1．
设x > 0, y > 0,
a?
x?yxy
?
,
b?
，求证：a < b

1?x?y1?x1?y
放缩法：
2．
9
?
11 < 1

x?yxyxy
????
< br>1?x?y1?x?y1?x?y1?x1?y
?
lg9?lg11
??
lg99
??
2
?

lg9?lg11?
?
??
?????
?1

2
???
2
??
2
?
3．
log
n
(n?1)log
n
(n?1)?1

2 22
?
log
n
(n
2
?1)
??
log
n
n
2
?

log
n
(n?1)lo g
n
(n?1)?
??
?
??
?1

2
???
2
?
22
4．若a > b > c, 则
114
???0

a?bb?cc?a
25 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
2
111
??2?2

a?bb?c(a?b)(b?c)
??
24
??
?
?
(a?b)?(b?c)
?
a?c
??
5．
1111
???
?
?
2
?1(n?R
?
,n?2)

nn?1n?2
n
11111n
2
?n
?1
左边
??
2
?
2
?
?
?
2
? ?
2
n
n
n
nnn
1111
???
???1

2n?1n?22n
11

?n?中式??n?1

2nn?1
7．已知a, b, c > 0, 且a
2
+ b
2
= c
2
，求证： + < (n
≥
3, n
6．
22n2n
R
*
)
2
?
a
??
b
??
a
??
a
??
b
??
b
?
∵
??
?
??
?1
，又a, b, c > 0, ∴
??
?
??
,
??
?
??

?
c
??
c
??
c
??
c
??
c< br>??
c
?
?
a
??
b
?
∴
??
?
??
?1

?
c
??
c
?
8．设0 < a, b, c < 2，求证：(2
于1
仿例四
9．若x, y > 0，且x + y >2，则
a)c, (2 b)a, (2 c)b,不可能同时大
nn
1?y
1?x
和中至少有一个小于2
y
x
反设
1?x
1?y
≥
2，
≥
2 ∵x, y > 0，可得x + y
≤
2 与x + y >2矛盾
y
x
第十一教时
教材：不等式证明六（构造法及其它方法）
目的：要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。
过程：
十三、 构造法：
1．构造函数法
例一、已知x > 0，求证：
x?
1
?
x
1
x?
1
x
?
5

2
11
证：构造函数
f(x)?x?(x?0)
则
x??2
， 设2
≤
<
xx
由
26 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
f(?)?f(?)???
?
11
?
(???)(???1)11

?(??)?(???) ?
?
?
?
?
??
????
?
??
?
< ∴ > 0, 1 > 0, > 显然 ∵2
≤
0 ∴上式 > 0
∴f (x)在
[2,??)
上单调递增，∴左边
?f(2)?
例二、求证：
y?
5

2
x
2
?10
x
2?9
?
10

3
t
2
?1
证：设
t?x?9(t?3)
则
f(t)?y?

t
2
用定义法可证：f (t)在
[3,??)
上单调递增
t?1t
2
?1(t
1
?t
2
)(t
1
t
2
?1)
令：3
≤
t
1
2
则
f(t
1
)?f(t
2
)?
1
???0

t
1
t
2
t
1
t
2
∴
y ?
22
x
2
?103
3
?110
?f(3)??< br>
2
33
x?9
2．构造方程法：
例三、已知实数a, b, c，满足a + b + c = 0和 = 2，求证：a, b, c中至少有
一个不小于2。
证：由题设：显然a, b, c中必有一个正数，不妨设a > 0，
?
b?c??a
2
2
则
?
即b, c是二次方程
x
2
?ax??0
的两个实根。
?
bc?< br>a
a
?
8
∴
??a
2
??0
即：a
≥
2
a
1sec
2
??tan??
?3(??k??,k?Z)
例四、求证：
?
2
3
sec??tan?
2
sec
2
??tan?
证：设
y?
则：(y
2
sec??tan?
1)
2
+ (y + 1) + (y 1) = 0
当 y = 1时，命题显然成立
当 y 1时，△= (y + 1)
2
4(y 1)
2
= (3y
1
∴
?y?3

3
综上所述，原式成立。（此法也称判别式法）
3．构造图形法：
例五、已知0 < a < 1，0 < b < 1，求证：
1)(y 3)
≥
0
a
2
?b
2
?(a?1)
2< br>?b
2
?a
2
?(b?1)
2
?(a?1)
2
?(b?1)
2
?22
27 44

人教版高中数学《不等式》全部教案

证：构造单位正方形，O是正方形内一点
O到, 的距离为a, b，
则 + + +
≥
+
其中
|AO|?a?b
，
22
D
1
b
C
O
|BO|?(a?1)
2
?b
2

b

|CO|?(a?1)
2
?(b?1)
2

A
a

|DO|?a
2
?(b?1)
2
又：
|AC|?|BD|?
1
2

a
B
∴
a
2
?b
2
?(a?1)
2
?b
2?a
2
?(b?1)
2
?(a?1)
2
?(b?1)< br>2
?22

十四、
作业：证明下列不等式：

1x
2
?x?1
?3
5．
?
2
3x?x?1
x
2
?x?1
令
y?
2
，则 (y
x?x?1
1)x
2
+ (y + 1)x + (y 1) = 0
用△法，分情况讨论
6．已知关于x的不等式(a
2
1)x
2
(a
5
意实数x恒成立，求证：
??a?1
。
3
分a
2
1)x 1 < 0 (aR)，对任
?
a
2
?1?0
1 = 0和
?
讨论
??0
?
1
?
?
1
?
25
?
?
7．若x > 0, y > 0, x + y = 1，则
?
x?
?
?

y??
??
x
?
?
y
?
4
?
xy11
1
?
x ?y
?
?2?xy?
左边
???xy?
令 t = ，则
0?t?
??
?

yxxyxy
4
?
2
?
2
11117
f(t)?t?
在
(0,]
上单 调递减 ∴
f(t)?f()?

t444
11
8．若
0 ?a?(k?2,k?N
*
)
，且a
2
< a b，则
b?

kk?1
111
令
f(a)?a?a
2
，又
0?a??
，
f(a)
在
(0,)
上单调递 增
k22
111k?1k?11
?
∴
b?a?a
2
?f()??
2
?
2
?
2

kk
kkk ?1
k?1
9．记
f(x)?1?x
2
，a > b > 0，则| f (a)
28 44
A
B
f (b) | < | a
D
F

C

人教版高中数学《不等式》全部教案
构造矩形, F在上，
使 = a, = b, = 1,
则 <
10． 若x, y, z > 0， 则
x
2
?y
2
?xy?y
2
?z
2
?yz?z
2
?x
2
?zx

作 = = = 120, 设 = x, = y, = z
第十二教时
教材：不等式证明综合练习
目的：系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透“化归”“类比”“换元”等数
学思想。
过程：
十五、 简述不等式证明的几种常用方法
比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造
十六、 例一、已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较
|log
a
(1?x)|和 |log
a
(1?x)|
的
大小。
解一：
|log
a
(1?x)|
2
? |log
a
(1?x)|
2
?
?
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)
??
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)
?


?log
a
(1?x
2
)log
a
∵0 < 1
1?x

1?x
1?x1?x
?1
∴
log
a
(1?x
2
)log
a
?0

1?x1?x
x
2
< 1,
0?
∴
|log
a
(1?x)|? |log
a
(1?x)|

解二：
log
a
(1?x)
11?x
?log
1? x
(1?x)??log
1?x
(1?x)?log
1?x
?log
1?x

2
log
a
(1?x)1?x
1?x

?1?log
1?x
(1?x
2
)

∵0 < 1 ? x
2
< 1, 1 + x > 1, ∴
?log
1?x
(1?x
2
)?0

∴
1?log
1?x
(1?x
2
)?1
∴
|log
a
(1?x)|? |log
a
(1?x)|

解三：∵0 < x < 1, ∴0 < 1 ? x < 1, 1 < 1 + x < 2,
∴
log
a
(1?x)?0,log
a
(1?x)?0

∴左 右 =
log
a
(1?x)?log
a(1?x)?log
a
(1?x
2
)

∵0 < 1 ? x
2
< 1, 且0 < a < 1 ∴
log
a
(1?x
2
)?0

29 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
∴
|log
a
(1?x)|? |log
a
(1?x)|

变题：若将a的取值范围改为a > 0且a 1，其余条件不变。
例二、已知x
2
= a
2
+ b
2
，y
2
= c
2
+ d
2
，且所有字母均为正，求证：
≥
+
证一：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正数
∴要证：
≥
+
只需证：()
2
≥
( + )
2

即：(a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
)
≥
a
2
c
2
+ b
2
d
2
+ 2
展开得：a
2
c
2
+ b
2
d
2
+ a
2
d
2
+ b
2
c
2
≥
a
2
c
2
+ b
2
d
2
+ 2

即：a
2
d
2
+ b
2
c
2
≥
2 由基本不等式，显然成立
∴
≥
+
证二：（综合法） =
a
2
?b
2< br>c
2
?d
2
?a
2
c
2
?b
2
c
2
?a
2
d
2
?b
2
d< br>2


≥
a
2
c
2
?2abcd?b
2
d
2
?(ac?bd)
2< br>?ac?bd

证三：（三角代换法）
∵x
2
= a
2
+ b
2
，∴不妨设a =
y
2
= c
2
+ d
2
c =
∴ + = + = (
例三、已知x
1
, x
2
均为正数，求证：
, b =
, d =
)
≤

2


2
1?x
1
?1? x
2
2
?
x?x
2
?
?1?
?
1
?

?
2
?
2
证一：（分析法）由于不等式两边均 为正数，平方后只须证：

1?x
1
?1?x
2
?21?x
1
4
22
222
1?x
2
2
x?x
2
?2x
1
x
2

?1?
1
4
22
即：
(1?x
1)(1?x
2
)?1?x
1
x
2

再平方：
(1?x
1
)(1?x
2
)?1?2x
1
x
2
?x
1
x
2

化简整理得：x
1
?x
2
?2x
1
x
2
（显然成立）
∴原式成立
证二：（反证法）假设
2
222222
1?x
1
?1?x
2
2
2
22
?
x?x
2
?
?1?
?
1
?

?
2
?
D
C
2
化简可得：< br>x
1
?x
2
?2x
1
x
2
（不可能）
∴原式成立
证三：（构造法）构造矩形，
使 = = 1, = x
1
, = x
2
当 = 时， + 为最短。
取中点M，有 = , = =
30 44
A
P
M
B
x
1
?x
2

2

人教版高中数学《不等式》全部教案
∴ +
≥
+
即：
1?x
1
?1?x
2
1?x
1
?1?x
2
2
22
22
?x?x
2
??
x?x
2
?
?1?
?
1
?
?1?
?
1
?

22
????
2
22
∴
十七、
?
x?x
2
?
?1?
?
1
?

?
2
?
作业： 2000版 高二课课练 第6课

第十三教时
教材：复习一元一次不等式
目的：通过复习要求学生能熟练地解答一元 一次和一元二次不等式，尤其是对含
有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论。
过程：
十二、 提出课题：不等式的解法（复习）：一元一次与一元二次不等式
x?27x
板演：1．解不等式：
2(x?1)???1

(x?2)

32
?
x??1
?
10?2x?11?3x
?
2．解不等式组：
?
（
?
x?2??1?x?1
）
?
5x?3?4x?1
?
x?1
?
3．解不等式：
?x< br>2
?5x?6

(2?x?3)

4．解不等式：
x
2
?4x?4?0

(x?R,x?2)

5．解不等式：
x
2
?2x?3?0

(???8?0,x?
?
)

十三、 含有参数的不等式
例一、解关于x的不等式
a(x?ab)?b(x?ab)

解：将原不等式展开，整理得：
(a?b)x?ab(a?b)

讨论：当
a?b
时，
x?
ab(a?b)

a?b
当
a?b
时，若
a?b
≥
0时
x?
?
；若
a?b
<
0时
x?R

当
a?b
时，
x?
ab(a?b)

a?b
例二、解关于x的不等式
x
2
?x?a(a?1)?0

解：原不等式可以化为：
(x?a?1)(x?a)?0

31 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
1
则
x?a
或
x?1?a

2
111若
a??(a?1)
即
a?
则
(x?)
2
?0

x?,x?R

222
1
若
a??(a ?1)
即
a?
则
x?a
或
x?1?a

2
若
a??(a?1)
即
a?
1
例三、关于x的不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集为
{x|x??2或x??}

2
求关于x的不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集．
解：由题设
a?0
且
?
b5c
??
，
?1

a2a
bc
x??0

aa
从而
ax
2
?bx?c?0
可以变形为
x
2
?
即：
x
2
?
51
x?1?0
∴
?x?2

22
例四、关于x的不等式
ax
2
? (a?1)x?a?1?0
对于
x?R
恒成立，
求a的取值范围．s
解：当a>0时不合 0也不合
∴必有：
?
a?0
?
a?0

?
??< br>22
?
??(a?1)?4a(a?1)?0
?
3a?2a?1?0< br>?
a?0
1
?
?
?a??

3
?
(3a?1)(a?1)?0
例五、若函数
f (x)?kx
2
?6kx?(k?8)
的定义域为R，求实数k的
取值范围
解：显然0时满足 而k<0时不满足
?
k?0
?0?k?1

?
2
??36k?4k(k?8)?2
?
∴k的取值范围是[0,1 ]
十四、 简单绝对不等式
例六、（课本6.4 例1）解不等式
|x
2
?5x?5|?1

解集为：
{x|1?x?2或3?x?4}

十五、 小结
十六、 作业：6.4 练习 1、2 P25 习题6.4 1
补充：1．解关于x的不等式：
32 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
1
x?2x?3
?1?
2
2
k
k

2x
2
?ax?2?0

2．不 等式
ax
2
?bx?2?0
的解集为
{x|?
?
a ??12
11
求a, b (
?
)
?x?}
，
23
?
b??2
3．不等式
ax
2
?4x?a?3
对于
x?R
恒成立，求a的取值 (a>4)
4．已知
A?{x|x
2
?x?2?0}
,
B?{x|4x?p?0}
且B?A, 求p的取值
范围 (p
≥
4)
5．已知
y?ax?2a?1
当-1
≤x≤
1时y有正有负，求a的取值范围
1

(?1?a?)

2
第十四教时
教材：高次不等式与分式不等式
目的：要求学生能熟练地运用列表法和标根法解分式不等式和高次不等式。
过程：
十七、 提出课题：分式不等式与高次不等式
x
2
?3x?2
?0
十八、 例一(P22-23) 解不等式
2
x?2x?3
略解一（分析法）
?
x
2
?3x?2?0
?
x?1或x?2
?
?
??1?x?1或2?x? 3

?
2
?1?x?3
x?2x?3?0
?
??
x
2
?3x?2?0
?
?1?x?2
?
?< br>?
?
或
?
2
?
x?2x?3?0
?
x??1或x?3
∴
?1?x?1或2?x?3

解二：（列表法）原不等式可化为
注意：按根的由小到大排列
解三：（标根法）作数轴；标根；画曲线，定解


-2 -1 0 1 2 3 4
(x?1)(x?2)
?0
列表（见P23略）
(x?3)( x?1)
小结：在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的
各因式在此 区间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的列
表法和标根法，几乎可以使用在所有的有理分 式与高次不等式，其中最
33 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
值得推荐的是“标根法”
例二 解不等式
x
3
?3x
2
?2x?6

解：原不等式化为
(x?3)(x?2)(x?2)?0

∴原不等式的解为
x?2或?3?x??2

例三 解不等式
(x
2
?4x?5)(x
2
?x?2)?0

解：∵
x
2
?x?2?0
恒成立
∴原不等式等价于
x
2
?4x?5?0
即-1例四 解不等式
(x?2)
2
(x?1)
3
(x?1)(x?2)?0

解：原不等式等价于
(x?1)(x?1)(x?2)?0
且
x??2,x?1

∴原不等式的解为
{x|1?x?2或?2?x??1或x??2}

若原题 目改为
(x?2)
2
(x?1)
3
(x?1)(x?2)?0
呢？
例五 解不等式
(x?5)(x?2)(x?1)(x?4)??80
< br>解：原不等式等价于
(x
2
?x?20)(x
2
?x?2)? 80?0

即：
(x
2
?x)
2
?22(x
2
?x)?120?0

(x
2
?x?12)(x
2
?x?10)?0

(x?4)(x?3)(x?
?1?41?1?41
)(x?)?0

22
1?41?1?41
或?x?3

22
∴
?4?x??
十九、 例六 解不等式
16
?x?1

x?1
(x?5)(x?3)
?0
解：原不等式等价于
x?1
∴原不等式的解为：
?3?x?1或x?5

2x
2
?2kx?k
?1
例七 k为何值时，下式恒成立：
4x
2
?6x?3
34 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
2x
2
?(6?2k)x?(3?k)
?0
解：原不等式可化为：
2
4x?6x?3
而
4x
2
?6x?3?0

∴原不等式等价于
2x
2
?(6?2k)x?(3?k)?0

由
??(6?2k)
2
?4?2?(3?k)?0
得1二十、 小结：列表法、标根法、分析法
二十一、 作业：P24 练习 P25 习题6.4 2、3、4
补充：
3x
2
?kx?6
?6
对任意实数x恒成立 1．k为何值时，不等式
0?
2
x?x?1

(k??6)

(x?2)
4
(x?1)
3
2．求不等式的解集
322
(3x?2)(x?2)(x?x?2)
2

({x|x??或x?1且x??2})

3
1111
3．解不等式
???
x?4x?5x?6x?3
9

x?(??,?6)?(?5,?)?(?4,?3)

2
(x?1)
2
?1
的x的整数解 (2) 4．求适合 不等式
0?
x?1
5．若不等式
x?ax?b1
的解为
?? x?1
,求
a,b
的值
2
x
2
?x?1x
2
?x?1

(a?4,b?2)

第十五教时
教材：无理不等式
目的：通过分析典型类型例题，讨论它们的解法，要求学生能正确地解答无理不
等式。
过程：
二十二、 提出课题：无理不等式 — 关键是把它同解变形为有理不等式组
35 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
?
f(x)?0
?
??定义域
二十三、
f(x)?g(x)型?
?
g(x)?0
?

?
?
f(x)?g(x)
?
例一 解不等式
3x?4?x?3?0

?
3x?4?0
解：∵根式有意义 ∴必须有：
?
?x?3

x?3?0
?
又有 ∵ 原不等式可化为
3x?4?x?3

两边平方得：
3x?4?x?3
解之：
x?
1

2
1
∴
{x|x?3}?{x|x?}?{x|x?3}

2
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
二十四、
f(x)?g(x)型?
?
g(x)?0

或
?
?
f(x)?[g(x)]
2
?
g(x)?0
?
例二 解不等式
?x
2
?3x?2?4?3x

解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：
?
4?3x?0
?< br>?x
2
?3x?2?0
?
2
Ⅰ：
?
?x?3 x?2?0
Ⅱ：
?

?
4?3x?0
?< br>?x
2
?3x?2?(4?3x)
2
?

4
?
x?
?
3
4
64
?
解Ⅰ：
?
1 ?x?2??x?
解Ⅱ：
?x?2

3
53
?< br>6
?x?
3
?
52
?
6
∴原不等式的解集为
{x|?x?2}

5
?
f(x)?0
?
二十五、
f(x)?g(x)型?
?
g(x)?0

?
f(x)?[g(x)]
2
?
例三 解不等式
2x
2
?6x?4?x?2

?
2x
2< br>?6x?4?0
?
解：原不等式等价于
?
x?2?0

?
2x
2
?6x?4?(x?2)
2
?
36 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
?
x?2或x?1
?
?{x|2?x?10或0?x?1}


?
?
x??2
?
0?x?10
?
特别提醒注意：取等号的情况
二十六、 例四 解不等式
2x?1?x?1?1

1
?
2x?1?0
?
1
?
x??
解 ：要使不等式有意义必须：
?

?
?
?x??
2
x ?1?0
2
?
?
?
x??1
原不等式可变形为
2x?1?1?x?1
因为两边均为非负
∴
(2x?1?1)
2
?(x?1)
2
即
22x?1??(x?1)

1
∵1
≥
0 ∴不等式的解为21
≥
0 即
x??

2
例五 解不等式
9?x
2
?6x?x
2
?3

?
9?x
2
?0
?
?3?x?3
解：要使不等式有意义必须：
?
??0?x?3

?
2
?
6x?x?0
?0?x?6
在0
≤
x
≤
3内 0
≤
9?x
2
≤
3 0
≤
6x?x
2
≤
3
∴
9?x
2
>3
6x?x
2
因为不等式两边均为非负
两边平方得：
9?x
2
?9?6x?x
2
?66x?x
2
即
6x?x
2
>x
因为两边非负，再次平方：
6x?x
2
?x
2
解之0综合 得：原不等式的解集为0例六 解不等式
3
2?x?x?1?1

解：定义域 1
≥
0 x
≥
1
原不等式可化为：
x?1?1?
3
x?2

两边立方并整理得：
(x?2)x?1?4(x?1)

在此条件下两边再平方, 整理得：
(x?1)(x?2)(x?10)?0

解之并联系定义域得原不等式的解为
{x|1?x?2或x?10}

二十七、 小结
二十八、 作业：P24 练习 1、2、3 P25 习题 6.4 5
37 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
补充：解下列不等式
1．
2x?3?3x?5?5x?6

(x?2)

2．
3x?3?x?3?3x?x?3

(x??3)

3．
4?1?x?2?x
(
?5?13
?x?1
)s
2
4．
(x?1)x
2
?x?2?0

(x?2或x??1)

5．
2?x?x?1?1

(?1?x?
1?5
)

2
第十六教时
（机动）

教材：指数不等式与对数不等式
目的：通过复习，要求学生能比较熟练地掌握指数不等式与对数不等式的解法。
过程：
二十九、 提出课题：指数不等式与对数不等式
强调：利用指数不等式与对数不等式的单调性解题
因此必须注意它们的“底”及它们的定义域
2
1
三十、 例一 解不等式
2
x?2x?3
?()
3(x?1)

2
解：原不等式可化为：
2
x
2
?2x?3
?2
?3(x?1 )
∵底数2>1
∴
x
2
?2x?3??3(x?1)
整理得：
x
2
?x?6?0

解之，不等式的解集为{3 例二 解不等式
3
x?1
?18?3
?x
?29

解：原 不等式可化为：
3?3
2x
?29?3
x
?18?0

即：
(3
x
?9)(3?3
x
?2)?0
解之：
3
x
?9
或
3
x
?
∴x>2或
x?log
3
2

3
22
∴不等式的解集为{>2或
x?log
3
}
33
例三 解不等式
log
x?3
(x?1)?2

?
x?1?0
?
x?1?0
??
解：原不等式等价于
?
x?3?1
或
?
0?x?3?1

?
x?1?(x?3)
2
?
x?1?(x?3)
2
??
38 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
解之得：4≤
5
∴原不等式的解集为{4≤
5}
例四 解关于x的不等式：
log
a
(4?3x?x
2
)?log
a
(2x?1)?log
a
2,(a?0,a?1)
< br>解：原不等式可化为
log
a
(4?3x?x
2
)?log< br>a
2(2x?1)

1
?
x?
?
2x?1? 0
?
2
1
??
2
当a>1时有
?
4?3x ?x?0?
?
?1?x?4??x?2

2
?
4?3x?x
2
?2(2x?1)
?
?3?x?2
?
?
?
（
其实中间一个不等式可省）
1
?
x?
?
2x?1?0< br>?
2
??
2
当0?
4?3x?x?0?
?
?1?x?4?2?x?4

?
4?3x?x
2
?2(2x?1)
?
x??3或x?2
?
?
?
1
∴ 当a>1时不等式的解集为
?x?2
；
2
当02?x?4

例五 解关于x 的不等式
5?log
a
x?1?log
a
x

解：原不等式等价于
?
1?log
a
x?0
?
5 ?log
a
x?0
?
Ⅰ：
?
5?log
a
x?(1?log
a
x)
2

或 Ⅱ：
?
?
log
a
x?1?0
?
5?logx?0
a
?
解Ⅰ：
?1?log
a
x?1
解Ⅱ：
log
a
x??1
∴
log
a
x?1

当a>1时有0a
∴原不等式的解集为{01}或{>a, 0例六 解不等式
x
log
a
x
x
4
x
?

a
2
解：两边取以a为底的对数：
当0 (log
a
x)
2
?
∴
(log
a
x?4 )(2log
a
x?1)?0

9
log
a
x?2

2
1
?log
a
x?4
∴
a
4
?x?a

2
9
当a>1时原不等式化为：
(log
a
x)
2
?log
a
x?2
< br>2
∴
(log
a
x?4)(2log
a
x?1)?0

39 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
∴
log
a
x?4或log
a
x?
∴原不等式的解集为
1
∴
x?a
4
或0?x?a

2
{x|a
4
?x?a,0?a?1}
或
{x|x?a
4
或0?x?a,a?1}

三十一、 小结：注意底（单调性）和定义域s
三十二、 作业： 补充：解下列不等式
1．
a
x
2
?2x
?a
x?4
,(a?0且a?1)< br>
(当a>1时
x?(??,?1)?(4,??)
当0x?(?1,4)
)
2．
log
1
(x< br>2
?3x?4)?log
1
(2x?10)

33
(-21
2
3．
()
x?3
?4
?x
(-12
4．
2
3
x
2
?x?22
1
?22

(?x?1)

2
5．当
0?a?1
，求不等式：
log
a
(log
a
x)?0
(a6．
a?1,0?b?1
，求证：
a
log
b
(2x?1)
?1

7．
log
a
1?x
?0,(a?0,a?1)
(-11?x
8．
a?1
时解关于x的不等式
log< br>a
[a
2x
?2
x
(a
x
?2
x? 1
)?1]?0

(
a?2,x?log< br>a
2
；
1?a?2,x?log
a
2
；
a? 2,x?
?
)
22
第十七教时
教材：含绝对值的不等式
目的：要求学生掌握和、差的绝对值与绝对值的和、差的性质，并能用来证明有
关含绝对值的不等式。
过程：一、复习：绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法
当a>0时，
|x|?a??a?x?a

|x|?a?x?a或x??a
二 、定理：
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

证明：∵
?|a|?a?|a|
?
?
??(|a|?|b|)?a?b?|a|?|b |

?|b|?b?|b|
?
40 44

人教版高中数学《不等式》全部教案

?|a?b|?|a|?|b|
①
又∵
由①
≤
即
≤
②
综合①②:
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

注意：1
2
3
左边可以“加强”同样成立，即
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大
于第三边，两边之差小于第三边
同号时右边取“=”，异号时左边取“=”
推论1：
|a
1
?a
2
???a
n
|
≤
|a
1
|?|a
2
|???|a
n
|

推论2：
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

证明：在定理中以代b得：
|a|?|?b|?|a?(?b)|?|a|?|?b|

即：
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

三、应用举例
例一 至 例三见课本P26-27略
例四 设<1, <1 求证<2
证明：当与同号时，2<2
当与异号时，()2<2
∴<2
例五 已知
f(x)?1?x
2
当a
2
b时 求证：
|f(a)?f(b)|?|a?b|

2
证一：
|f(a) ?f(b)|?|a?1?b?1|?
a
2
?1?b
2
?1
a?1?b?1
22


?
|a
2
?b
2
|
a
2
?1?b
2
?1
?
|(a?b)(a?b)|
a
2
?b
2
?
|a ?b||(a?b)|

|a|?|b|

?
(|a|?|b|)|a?b|
?|a?b|

|a|?|b|
证二：（构造法）
如图：
OA?f(a)?1?a
2

1
A
a
B

OB?f(b)?1?b
2

O
41 44
b

人教版高中数学《不等式》全部教案

|AB|?|a?b|

由三角形两边之差小于第三边得：
|f(a)?f(b)|?|a?b|

四、小结：“三角不等式”
五、作业：P28 练习和习题6.5
第十八教时
教材：含参数的不等式的解法
目的：在解含有参数的不等式时，要求学生能根据参数的“位置”正确分组讨论，
解不等式。
过程：一、课题：含有参数的不等式的解法
二、例一 解关于x的不等式
log
解：原不等式等价于
logx?
a
x?log
x
a

a
(lo g
a
x?1)(log
a
x?1)
1
?0
即：
log
a
x
log
a
x
∴
log
a
x??1或0?log
a
x?1

1
或1?x?a

a
1
若0x?或a?x?1

a
若a>1
0?x?
例二 解关于x的不等式
2
3x
?2
x
?m(2
x
?2
?x
)

解：原不等式可化为
2
4x
?(1?m) ?2
x
?m?0

即：
(2
2x
?1)(2
2x
?m)?0
s
当m>1时
1?2
2x
?m
∴
0?x?
当1时
(2
2x
?1)
2
?0
∴x
1
log
2
m

2
φ

1
当0m?2
2x
?1
∴
log
2
m?x?0

2
当m
≤0
时 x<0
例三 解关于x的不等式
x
2
?4mx?4m
2
?m?3

解：原不等式等价于
|x?2m|?m?3

当
m?3?0
即
m??3
时
x?2m?m?3或x?2m??(m?3)

42 44

人教版高中数学《不等式》全部教案
∴
x?3m?3或x?m?3

当
m?3?0
即
m??3
时
|x?6|?0
∴x6
当
m?3?0
即
m??3
时 xR
例四 解关于x的不等式
(cot
?
)
?x
2
?3x?2?1,(0?
?
?
?
2
)

解：当
cot
?
?1
即(0,
?
4
)时
?x
2
?3x?2?0
∴x>2或x<1
当
cot
?
?1
即=
?
4
时 x
φ

当
cot
?
?(0,1)
即(
?< br>4
,
?
2
)时
?x
2
?3x?2?0
∴1例五 满足
3?x?x?1
的x的集合为A；满足
x
2
?(a?1)x?a?0
的x
的集合为B 1 若A?B 求a的取值范围 2 若A?B
a的取
值范围 3 若A∩B为仅含一个元素的集合，求a的值。
解：[1,2] {()(1)
≤
0}
当a
≤
1时 [a,1] 当a
>
1时 [1]
当a>2时 A?B
当1
≤
a
≤
2时 A?B
当a
≤
1时 A∩B仅含一个元素
例六 方程
asin
2
x?
1
2
cosx?
1
2
?a?0,(0?a? 1,0?x?
?
)
有相异两实根，
求a的取值范围
解：原不等式可化为
2acos
2
x?cosx?1?0

令：
t?cosx
则
t?[?1,1]

设
f(t)?2at
2
?t?1
又∵a>0
?
?
??1?8a?0
?
a
1
?
?
f(?1 )?2a?0
?
??
?
8
?
?
a?0
?a ?1
?
f(1)?2a?2?0
?
?

?
?
?
?1?
1
a?1
?
?
4a
?1
??
a?
1
4
或a??
1
4
三、小结
四、作业：
43 44
求

人教版高中数学《不等式》全部教案
1
2
1．
log
1
x?(a?)log
1
x?1?0
a
22
1
??
11
a
?
当a?1或?1?a? 0时()?x?()
a
?
22
,a??1时x?
?
?

?
1
??
1
a
1
a
当0?a?1或a??1时()a?x?()
??
22
??
2．
A?{x|3?x?x?1}

B?{x||x?1|?a,a?0}
若
A?B?
?

求a的取值范围 (a
≥
1)
3．
a
2
?3x
2
?x?a,(a?0)

(?
4．
x
log
a
x?1
?a
2
x,(a?0)


(当0?a?1时a
2
a
?x?0)

2
?x?a
?2
,当a?1时x?a
2
或0?x?a
?2
)

1
2
5．当a在什么范围内方程：
x
2
?(log
2
a?4)x?log
2
a?1?0
有两个
4
?
1
?
不同的负根
?
(0,)?(4,42)
?

?
4
?
6 ．若方程
x
2
?(m?2)x?5?m?0
的两根都对于2，求实数m的范围


??
?5,4
?
?

44 44