高中数学优秀教案分享

课 题：
7.5
曲线和方程（一）曲线和方程
教学目标：
1.
了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的
曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理 -
2.
在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与
方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法 -
3.
培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动
参与、勇于探索、敢于创新的精神-
教学重点：理解曲线与方程的有关概念与相互联系 -
教学难点：定义中规定两个关系（纯粹性和完备性）
授课类型：新授课-
课时安排：
1
课时-
教 具：多媒体、实物投影仪-
教材分析：
曲线属于“形”的范畴，方程则属于“数”的范畴，它们通过直角坐标系而联系在一
起，“曲线和方程”这节教材，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一，为“依形
判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础.这正体现了几何的基本思想，对解 析几何教学有着深远
的影响.曲线与方程的相互转化，是数学方法论上的一次飞跃.本节 教材中把曲线看成是动点的轨迹，蕴涵了
用运动的观点看问题的思想方法；把曲线看成方 程的几何表示，方程看作曲线的代数反映，又包含了对应与
转化的思想方法
由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容，因而学生用解析法研究几何图形
的性质时，只有透彻理解曲线和方程的意义，才能算是寻得了解析几何学习的入门之径.
曲线的方程的问题，也贯穿了这一章的始终，所以应该认识到，本节内容是解析几何的重 点内容之一
根据大纲要求，本节内容分为
求
-
-
3
个课时进行教学，具体的课时分配是：第一课时讲解

“曲线与方程 ”与“方程与曲线”的概念及其关系；第二课时讲解求曲线方程的一般方法， 第三课时为习题
课，通过练习来总结、巩固和深化本节知识，并解决与曲线交点有关的问 题。考虑到本节内容的基础性和灵
活性，可以对课本例题和练习作适当的调整，或进行变 式训练-
针对第一课时概念强、思维量大、例题习题不多的特点，整节课以启发学生观察思考、 分析讨论为主。
当学生观察例题回答不出“为什么”时，可以举几个点的坐标作检验，这 就是“从特殊到一般”的方法；或
引导学生看图，这就是“从具体(直观)到抽象”的方 法；或引导学生回到最简单的情形，这就是以简驭繁；
或引导学生看(举)反例，这就是 正反对比，总之，要使启发方法符合学生的认知规律 教学过程：
一、复习引入： 温故知新，揭示课题 问题：
(
1)
求如图所示的
AB
的垂直平分线的方程；
(2)
画出方程x y 0和方程y x
2
所表示的曲线-
观察、思考，求得
(
1)
的方程为
y x
，⑵题画图如下 讲解：
第
(1)
题是从曲线到方程，曲线
C(
即
AB
的垂直平分线
)

点的坐标
(x,y)
方程
f(x,y)=O -
第⑵ 题是从方程到曲线，即方程
f(x,y)=O
解
(x,y)(
即点的坐标
)
曲线
C.
教师在此基础上揭示课题，并提出下面的问题让学生思考
问题
:
方程
f(x,y)=O
的解与曲线
C
上的点的坐标，应具备怎样的关系，才叫方程的曲线，曲 线的方程?
-

设计意图：
通过复习以前的知识来引入新课，然后提出问题让学生思考，仓假问题情境，激发学
生学习的欲望和要求-
二、讲解新课：
1.
运用反例，揭示内涵
由上面得出：“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线
上”后，不急于抛物线定义，而是让学生判断辨别
问题：
下列方程表示如图所示的直线
(
1
)
x , y
2 2
0
;
0
；

(
2
)
x y
(
3
)
|x|-y=0.

上题供学生思考， 口答?方程

第（
1
）题中曲线
C
上的点不全都是方程
X , y 0
的解，如点
（
-1,-1）
等，即不符合“曲线上的点的坐
标都是方程的解”这一结论;
第⑵题中，尽管“曲线
C
上的坐标都是方程的解”，但以方程
x
2
y
2
0
的解为坐标的点不全在曲线
C
上，如点
（2< br>，
-2）
等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；
第⑶ 题中，类似
⑴
（2）
得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解 为坐标的点都在曲 线上” ?事实
上，
（
1）（2）（3）
中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：
上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程的例子，又观察、分析了以上问题中所 出现的方程和曲线间
所建立的不完整的对应关系.
2
.讨论归纳，得出定义
讨论题：在下定义时，针对（
1
）
x y 0
中“曲线上有的点的坐标不是方程的解” 以及（
2
）
x
2
y
2
0
中“以方程的解为坐标的点不在曲线上”的情况，对“曲线的方程应作何规定？
学生口答，老 师顺其自然地给出定义?这样，我们可以对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义:
在直角坐标系中，如果某曲线
C
上的点与一个二元方程
f（x, y） 0
的实数解建立了如下关系:
曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性） -
以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点?（完备
-
（1）
（2）
性） -
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线
设计意图：
上述概念是本课的重点和难点，让学生自己通过讨论归纳出来，老师再说清楚这两大

性质
(
纯粹性和完备性
)
的含义，使学生初步理解这个概念
3
.变换表达，强化理解
曲线可以看作是由点组成的集合，
的解也描述了一个点集，记作
-
记作
C
; 一个关于
x,y
的二元方程的解可以作为点的坐标， 因而二元方程
F -
请大家思考：如何用集合
C
和点集
F
间的关系来表达“曲线的方程 ”和“方程的曲线”定义中的两个关系， 进而重新表述以
上定义-
关系
(1)指集合
C
是点集
F
的子集，关系
(
2)
指点集
F
是点集合
C
的子集.
这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”
即:

，
(1)C
⑵
F
设计意图:
通过集合的表述，使学生对曲线和方程的关系的理解得到加深和强化，在记忆中上也 趋于简化
三、 讲解范例：
例
1
解答下列问题，且说出各依据了曲线的方程和方程的曲线定义中的哪一个关系？
(1)
点
M2
，
4),M
2
(
2 ...5,2)
是否在方程为
x
2
y
2
25
的圆上？
(2)
已知方程为
x
2
y
2
25
的圆过点
M
3C
7,m)
，求
m
的值.
学生练习，口答；教师纠错、小结 -
依据关系
(1)
，可知点
M
!
在圆上，
M
2
不在圆上.
依据关系⑵，求得
m
3
2 -
例
2
证明以坐标原点为圆心，半径等于
5
的圆的方程是
x
2
y
2
25
.
由学生自己阅读课本解答，教师适时插话，强调证明要紧扣定义，分两步进行.
给出推论，升华定义：
(1)
两曲线
C
1
: f
1
(x, y) 0,C
2
: f
2
(x, y) 0
的交点的坐标必为方程组
f1(x,
y
)

0
的实根-
f
2
(
x,y) 0
王新敞
(
2
)两曲线
C
1
: y f (x),C
2
: y (x)
的交点的横坐标必为方程
f(x) (x)
的实根
四、 课堂练习：
1
.如果曲线
C
上的点满足方程
F
(
x
,
y
)=0
，则以下说法正确的是(
A.
曲线
C
的方程是
F
(
x
,
y
)=0
B.
方程
F
(
x
,
y
)=0
的曲线是
C
)

C.
坐标满足方程
F
(
x
,
y
)=0
的点在曲线
C
上
D.
坐标不满足方程
F
(
x
,
y
)=0
的点不在曲线
C
上
分析：判定曲线和方程的对应关系，必须注意两点：
方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；
(
1
)曲线上的点的坐标都是这个
(
2
)以这个方程的解为坐标的点都在
曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线的方 程，方程和曲线-
解：由已知条件，只能说具备纯粹性，但不一定具备完备性
?
故选
D -
2.
判断下列结论的正误，并说明理由
.
(1)
过点
A
(
3
，
0
)且垂直于
x
轴的直线的方程为
x
=0
；
(2)
到
x
轴距离为
2
的点的直线方程为
y
=-2;
(3)
到两坐标轴的距离乘积等于
1
的点的轨迹方程为
xy
=1;
(4)
△
ABC
的 顶点
A
(
0
,
-3
)，
B
(
1
，
0
)，
C< br>(
-1
，
0
)，
D
为
BC
中点，则中线
AD
的方程 为
x
=0 -
分析：判断所给问题的正误，主要依据是曲线的方程及方程的曲线的定义，即考查曲 线上的点的纯粹性
和完备性
?
解：(
1
)满足曲线方程的定义
.
???结论正确-
(2) 因到
x
轴距离为
2
的点的直线方程还有一个；
y
=2
，即不具备完备性
.
???结论错误
.
(3) 到两坐标轴的距离的乘积等于
1
的点的轨迹方程应为|
x
)? |
y
|
=1,
即
xy
=
±
1.
???所给问题不具备完备性-
???结论错误-
(4) 中线
AD
是一条线段，而不是直线，
x
=0(-3
<
y
<
0),
???所给问题不具备纯粹性
???结论错误
.

3.
方程(
3
x
-4
y
-12) ?:
l
og
2
(
x
+2
y
)-3
]
=0
的曲线经过点
A(0
,
-3
)、
B(0,4
)、
C(
5
,-)、
3 4
D
(
4
,
0
)中的(
A.0
个
)
B.1
个
C.2
个
D.3
个
0
, 分析：方程表示的两条直线
?
x
+2
y
>
0 -
3
x
-4
y
-12=0
和
x
+2
y
-9=0
,但应注意对数的真数大于
解：由对数的真数大于
0
,得
x
+2
y
>
0.
?
A
(0,-3)
、q
5
,
7
)
不合要求-
3 4
将
B ( 0
,
4
)代入方程检验，不合要求
?
将
D( 4
,
0
)代入方程检验，合乎要求
.
故选
B.
4.
已知点
A
(
-3
,
0
),
B
(
0
,
75
),
C
(
4
,-空
5
),
D
(3sec
9
, J5ta n
9
),
其中在曲
3
线5x
2
9y
2
45上的点的个数为(
)

A.1 B.2 C.3 D.4
分析：由曲线上的点与方程的解的关系，只要把点的坐标代入方程，若满足这个方程，
说明这是这个方程的解，这个点就在该方程表示的曲线上
解：将点
A
(
-3
,
0
)、
B
(
0
,
45
)、
C
(
4
,-注)、
D
(3sec
9
,
45
tan
9
)
代入方程 3
5x
2
9y
2
45 5x
2
9y
2
45检验，只有点
A
和点
B
满足方程
?
故选
B.
；
35
5.
如果两条曲线的方程
F*x
,
y
)=0
和
F
2
(
x
,
y
)=0
，它们的交点
M(
x
。
,
y
。
)
，求证：方程
R(
x
,
y
)+
入
F
2
(

x
,
y
)=0
表示的曲线也经过
M
点
.
(入为任意常数)
分析：只要将
M
点的坐标代入方程
.
F
i
(
x
,
y
)+
入
F
2
(
x
,
y
)=0
，看点
M
的坐标是否满足方程即可一
证明：
??? M
(
x
o
,
y
。
)
是曲线
F
i
(
x
,
y
)=O
和
F
2
(
x
,
y
)=0
的交点，
F
i
(
X
o
,
y
o
)=O,
F
2
(
X
o
,
y
o
)=O.
F
i
(
X
o
,
y
o
)+
入
F
2
(

X
o
,
y
o
)=O(
入?
R)

.
Mx
o
,
y
。
)
在方程
F
i
(
x
,
y
)+
入
F
2
(
x
,
y
)=O
所表示的曲线上
.
评述：方程
F
i
(
x
,
y
)+
入
F
2
(
x
,
y
)=O
也称为过曲线
F
i
(
x
,
y
)=O
和
F
2
(

x
,
y
)=O
的交点的曲线
系方程-
五、 小结：“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义?在领会定义时，要牢记关系
(
1)
、
(2)
两者缺一不可，它 们都
是“曲线的方程” 和“方程的曲线”的必要条件?两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充
分性?只有符 合关系
(
1)
、
(
2
)
，才能将曲线的研究转化为 方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题?这种
“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法 -
六、 课后作业：
1
?点
A(1
,
-2)
、
B(2
,
-3)
、
C(3
,
1O)
是否在方程
x
2
xy 2y 1 O
的图形上？ -
2
?
(1)
在什么情况下，方程
y ax
2
bx c
的曲线经过原点？
2 2 2
(2)
在什么情况下，方程
(
x a) (y b) r
的曲线经过原点？
3
?证明以
C(a
,
b)
为圆心，
r
为半径的圆的方程为
(
x a)
2
(y b)
2
r
2

?
4
.证明动点
P(x
,
y)
到定点
M(-a
,
O)
的距离等于
a(a
>
O)
的轨迹方程是
x
2
y
2
2ax O -
作业答案：
2
1
?点
A(1
,
-2)
、
C(3
,
1O)
在方程
x xy 2y 1 O
的图形上；点
B(2
,
-3)
不在图形上-
2. (1)c=O
,
(2)
a
2
b
2
r
2
-
3
、
4
?仿照课本例子，分两种情况易证 -
七、 板书设计(略)- 八、课后记: