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高中数学选修4-4全套教案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 12:24
tags:高中数学教案

高中数学试卷讲评-高中数学零点教学设计


精品教育
高中数学选修4-4全套教案


第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
课题:1、平面直角坐标系
教学目的:
知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法
能力与与方法:体会坐标系的作用
情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
教学重点:体会直角坐标系的作用
教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题
授课类型:新授课
教学模式:启发、诱导发现教学.
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
情境1:为了确保宇宙飞船 在预定的轨道上运行,并在按计划完成科学考察任务后,安
全、准确的返回地球,从火箭升空的时刻开始 ,需要随时测定飞船在空中的位
置机器运动的轨迹。
情境2:运动会的开幕式上常常有大型团 体操的表演,其中不断变化的背景图案是由看
台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。 要出现正确的背景
图案,需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1:如何刻画一个几何图形的位置?
问题2:如何创建坐标系?

二、学生活动
学生回顾
刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系
1、数轴 它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定
2、平面直角坐标系
在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条
直线的方向,就建立了 平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对
(x,y)确定
3、空间直角坐标系
在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的 交点为原点,
并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定
-可编辑-


精品教育

三、讲解新课:
1、建立坐标系是为了确定点的位置,因此,在所建的坐标系中应满足:
任意一点都有确定的坐标与其对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置
2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
四、数学运用
例1 选择适当的平面直角坐标系,表示边长为1的正六边形的顶点。

*变式训练
如何 通过它们到点O的距离以及它们相对于点O的方位来刻画,即用”距离和方
向”确定点的位置?


例2 已知B村位于A村的正西方1公里处,原计划经过B村沿着北偏东600
的方向设一
条地下管线m.但在A村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根 据初步勘探的结
果,文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m的计划需 要修
改吗?


*变式训练
1.一炮弹在某处爆炸,在A处听到 爆炸的时间比在B处晚2s,已知A、B两地相距800
米,并且此时的声速为340ms,求曲线的方 程


1
2.在面积为1的
?PMN
中,
tan ?PMN?
,tan
?MNP??
2
,建立适当的坐标系,
2
求以M,N为焦点并过点P的椭圆方程


例3 已知Q(a,b),分别按下列条件求出P 的坐标
(1)P是点Q 关于点M(m,n)的对称点
(2)P是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点(Q不在直线1上)


*变式训练
用两种以上的方法证明:三角形的三条高线交于一点。

思考
(x?1)
2
(y?1)
2
??
1
变为中心在原点 的单位圆,通过平面变换可以把曲线请求出该复合
94
变换?

-可编辑-


精品教育
四、巩固与练习
五、小 结:本节课学习了以下内容:1.如何建立直角坐标系;
2.建标法的基本步骤;
3.什么时候需要建标。
五、课后作业:课本P14页 1,2,3,4
六、课后反思:
建标法,学生学习有印象,但没有主动建标的意识,说明学生数学学习缺乏系 统性,
需要加强训练。


课题:2、平面直角坐标系中的伸缩变换
教学目标:
知识与技能:平面直角坐标系中的坐标变换
过程与方法:体会坐标变换的作用
情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识
教学重点:理解平面直角坐标系中的坐标变换、伸缩变换
教学难点:会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题
授课类型:新授课
教学措施与方法:启发、诱导发现教学.
教学过程:
一、阅读教材P4—P8 < br>问题探究1:怎样由正弦曲线
y?sinx
得到曲线
y?sin2x


思考:“保持纵坐标不变横坐标缩为原来的一半”的实质是什么?

问题 探究2:怎样由正弦曲线
y?sinx
得到曲线
y?3sinx


思考:“保持横坐标不变纵坐标缩为原来的3倍”的实质是什么?

问题探究3:怎 样由正弦曲线
y?sinx
得到曲线
y?3sin2x


二、新课讲解:
定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换

(
?
?0)
?
x'?
?
x

?
:
?
(
?
?0)

?
y'?< br>?
y
的作用下,点P(x,y)对应P’(x’,y’).称为平面直角坐标系中的伸缩 变换
?

?0,
?
?0
注 (1)
(2)把图形看成点的运动轨迹,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到;
(3)在伸缩变换下,平面直角坐标系不变,在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
?
-可编辑-


精品教育
?
x
'
?2x
例1、在直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
?
'
后 的图形。
?
y?3y
(1)2x+3y=0; (2)
x
2
?y
2
?1

?
x
?
?3x,
例2、在同一平面坐标系中,经过伸缩变换
?
后,曲线C变为曲线
x
?
2
?
9
y
?
2
?
9

?
y
?
?y
求曲线C的方程并画出图象。
三、知识应用:
1、已知
f
1
(x)
?
sinx ,f
2
(x)
?
sin
?
x

?
?0)
f
2
(x)
的图象可以看作把
f
1
(x)< br>的图象在其所
1
在的坐标系中的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)而得到的,则?
为( )
3
1
1
A. B .2 C.3 D.

3
2
?
x
?
?5x2、在同一直角坐标系中,经过伸缩变换
?
后,曲线C变为曲线
2x
?< br>2
?8y
?
2
?1,

?
y
??3y
曲线C的方程为( )
2
2
8
2
x?y?1

259
?
?
1
?
x?
2
x
3、在平面直角坐标系中,求下列方程所对 应的图形经过伸缩变换
?
后的图形。
1
?
y
?
? y
3
?
(1)
5x?2y?0;

(2)
x
2
?y
2
?
1

四、知识归纳:设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
?
x?
?
?
?x,(
?
?0),
的作用下,点P(x,y) 对应到点
P
?
(x
?
,y
?
)
,称
?
为平面直角坐标系
?
:
?
?
?
y?
?
?y,(
?
?0),
A.
25x
2
?36y
2
?1
B.
9x
2
?100y
2
?1
C.
10x
2
?24y
2
?1
D.
中的坐标伸缩变换

五、作业布置:
?
?
1
x?x
?
?
4
1、抛物线
y
2
?4x
经 过伸缩变换
?
后得到
?
y
?
?
1
y
?
3
?
y
?
2
2
22
?1
的伸缩变换为
2、把圆< br>x?y?16
变成椭圆
x
?
?
16
3、在同一坐标系 中将直线
3x?2y?1
变成直线
2x
'
?y
'
? 2
的伸缩变换为
?
?
1
?
x?x
4、把曲线
y?3sin2x
的图象经过伸缩变换
?
2
得到 的图象所对应的方程为
?
?
y
?
?4y
-可编辑-


精品教育
?
x
?
?2x
?
5、在 同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换
?
曲线C变为
x
?
2
?16y
?
2
?4x
?
?0

1
后,y
?
?y
?
?2
则曲线C的方程
六、反思:










二 极坐标系
课题:1、极坐标系的的概念
教学目的:
知识目标:理解极坐标的概念
能力目标:能在极坐标系中用极坐标刻画 点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐
标系中刻画点的位置的区别.
德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
教学重点:理解极坐标的意义
教学难点:能够在极坐标系中用极坐标确定点位置
授课类型:新授课
教学模式:启发、诱导发现教学.
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
情境1:军舰巡逻在海面上,发现前方有一群水雷,如何确定
它们的位置以便将它们引爆?
情境2:如图为某校园的平面示意图,假设某同学在教学楼处。
(1)他向东偏60°方向走120M后到达什么位置?该位
置惟一确定吗?
(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置,他应如何描
述?
问题1:为了简便地表示上述问题中点的位置,应创建怎
样的坐标系呢?
问题2:如何刻画这些点的位置?
这一思考,能让学生结合自己熟悉的背景,体会在某些情况 下用距离与角度来刻画
点的位置的方便性,为引入极坐标提供思维基础.
-可编辑-


精品教育
二、讲解新课:
从情镜2中探索出:在生活中人们 经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用
方向和距离表示平面上一点的位置的思想,就是极坐标的基 本思想。
1、极坐标系的建立:
在平面上取一个定点O,自点O引一条射线OX,同时确定 一个单位长度和计算角
度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系。
(其中O称为极点,射线OX称为极轴。)
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M,用 r 表示线段OM的长度,
用 q 表示从OX到OM 的角度,r 叫做点M的极径, q
叫做点M的极角,有序数对(r,q)就叫做M的极坐标。 特别强调:由极径的意义可知r≥0;当极角q的取值范
围是[0,2
?
)时,平 面上的点(除去极点)就与极坐标(r,q)建立一一对应的关系 .们约定,
极点的极坐标是极径r=0,极角是任意角.
3、负极径的规定
在极坐标系中,极径r允许取负值,极角q也可以去任意的正角或负角
当r<0时,点M (r,q)位于极角终边的反向延长线上,且OM=
?

M (r,q)也可以表示 为
(
?
,
?
?2k
?
)或(?
?
,
?
?(2k?1)
?
)

(k?z)

4、数学应用
例1 写出下图中各点的极坐标(见教材14页)
A(4,0)B(2 )C( )
D( )E( )F( )
G( )
① 平面上一点的极坐标是否唯一?
② 若不唯一,那有多少种表示方法?
③坐标不唯一是由谁引起的?
③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式
约定:极点的极坐标是
?
=0,
?
可以取任意角。
变式训练
在极坐标系里描出下列各点
5
?
5
?
?
4
?
A(3,0) B(6, 2
?
)C(3,)D(5,)E(3,)F(4,
?
)G(6,

63
23
点的极坐标的表达式的研究
5
?
?
例2 在极坐标系中,(1)已知两点P(5,),Q
(1,
)
,求线段PQ的长度; 4
4
?
(2)已知M的极坐标为(r,q)且q=,r
?R
,说 明满足上述条件的点M 的位置。
3
变式训练
-可编辑-


精品教育
5
?
5
?
7
?
),B(8,),C(3,
),
判断三角形的形状
.

266
2、若A、B两点的极坐标为
(
?
1
,
?
1
), (
?
2
,
?
2
)
求AB的长以及
?AOB
的面积。(O为极点)
例3 已知Q(r,q),分别按下列条件求出点P 的极坐标。
(1) P是点Q关于极点O的对称点;
1、若
?ABC
的的三个顶点为
A(5,
(2) P是点Q关于直线
?
?
?
2
(3) P是点Q关于极轴的对称点。
变式训练
的对称点;
1.在极坐标系中,与点
(?8,
)
关于极点对称的点的一个坐标是 ( )
6
?
5
?
5
??
A(8,),B(8 ,?),C(?8,),D(?8,?)

6666
?
5
2在极坐标 系中,如果等边
?ABC
的两个顶点是
A(2,),B(2,
),
求 第三个顶点C的坐标。
44
三、巩固与练习
四、小 结:本节课学习了以下内容:1.如何建立极坐标系。 2.极坐标系的基本
要素是:极点、极轴、极角和度单位。3.极坐标中的点与坐标的对应关系。
五、课后作业:
六.课后反思:本节学习内容对学生来说是全新的,因而学生学习的兴趣很浓 ,课堂气
氛很好。部分学生还未能转换思维,感到有点吃力。后续教学还要加强基础训练。

课题:2、极坐标与直角坐标的互化
教学目的:
知识目标:掌握极坐标和直角坐标的互化关系式
能力目标:会实现极坐标和直角坐标之间的互化
德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
教学重点:对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解
教学难点:互化关系式的掌握
授课类型:新授课
教学模式:启发、诱导发现教学.
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
情境1:若点作平移变动时,则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;
情境2:若点作旋转变动时,则点的位置采用极坐标系描述比较方便
问题1:如何进行极坐标与直角坐标的互化?
问题2:平面内的一个点的直角坐标是
(1,3)
,这个点如何用极坐标表示?
学生回顾
理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义
-可编辑-
?


精品教育
正确画出点的位置,标出极径和极角,借助几何意义归结到三角形中求解
二、讲解新课:
直角坐标系的原点O为极点,
x
轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为
(x,y)

(
?< br>,
?
)
,则由三角函数的定
义可以得到如下两组公式:
2
?
?x
2
?y
2
x?
?
cos
?
{ {

y
y?
?
sin
?
tan
?
?
x
说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互 化公式
2通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标时,取
?

0,
0

?

2
?

3互化公式的三个前提条件
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
三.举例应用:
2
?
例1.(1)把点M 的极坐标
(8,
)
化成直角坐标
3
(2)把点P的直角坐标
(6,?2)
化成极坐标
变式训练
在极坐标系中,已知
A(2,),B(2,?
),
求A,B两点的距离
66

例2.若以极点为原点,极轴为
x
轴正半轴,建立直角坐标系.
5
?
(1)已知A的极坐标
(4,),
求它的直角坐标,
3
(2)已知点B和点C的直角坐标为
(2,?2)和(0,?15)
求它们的极坐标.
(
?
>0,0≤
?
<2
?
)
变式训练
把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定
?
>0,0≤
?

2
?
)
A(?1,1),B(0,?2),C(3,4),D(?3,?4)


?
2
?
例3.在极坐标系中,已知两点
A(6,),B(6,
)
.
63
求A,B中点的极坐标.

变式训练
在极坐标系中, 已知三点
M(2,?),N(2,0),P(23,
)
.判断
M,N,P三点是否在一条直线
36
上.
-可编辑-
??
??


精品教育


四、巩固与练习:课后练习

五、小 结:本节课学习了以下内容:
1.极坐标与直角坐标互换的前提条件;
2.互换的公式;
3.互换的基本方法。
五、课后作业:

六、课后反思:在教师的引导下 ,学生能积极应对互化的原因、方法,也能较好地模仿
操作,但让学生独立自主完成新的问题的解答,明 显有困难,需要教师的点拨引导。这
点可采取的措施是:小组讨论,共同寻找解决问题的方法,很有效。 但教学时间不足。
















三 简单曲线的极坐标方程
课 题: 1、圆的极坐标方程
教学目标:
1、掌握极坐标方程的意义
2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程
教学重点、极坐标方程的意义
教学难点:极坐标方程的意义
教学方法:启发诱导,讲练结合。
教 具:多媒体、实物投影仪

教学过程:
一、复习引入:
问题情境
1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用?
2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程
-可编辑-


精品教育
极坐标系的建立是否可以求曲线方程?

学生回顾
1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置?
2、曲线的方程和方程的曲线(直角坐标系中)定义
3、求曲线方程的步骤
4、极坐标与直角坐标的互化关系式:

二、讲解新课:
1、引例.如图,在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为
(
a
,0)(
a
>0),你能用一个等式表示圆上任意一点,
的极坐标(r,q)满足的条件?
解:设M (r,q)是圆上O、A以外的任意一点,连接AM,
则有:OM=OAcosθ,即:ρ=2acosθ ①,
2、提问:曲线上的点的坐标都满足这个方程吗?
可以验证点O(0,π2)、A(2
a
,0)满足①式.
等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件.
反之,适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义:一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程
f(
?
,< br>?
)?0
的点
在曲线上,那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程,这条曲线称 为这个
极坐标方程的曲线。
例1、已知圆O的半径为r,建立怎样的坐标系,
可以使圆的极坐标方程更简单?
①建系;
②设点;M(ρ,θ)
③列式;OM=r, 即:ρ=r
④证明或说明.
变式练习:求下列圆的极坐标方程
(1)中心在C(
a
,0),半径为
a

(2)中心在(
a,p
2),半径为
a

(3)中心在C(
a
,
q

),半径为
a

答案:(1)r=2acos q (2) r=2asin q (3)
?
=2acos(
?
?
?
0
)
< br>例2.(1)化在直角坐标方程
x
2
?y
2
?
8y?
0
为极坐标方程,
(2)化极坐标方程
?
?6cos(< br>?
?
?
3
)
为直角坐标方程。
三、课堂练习:
1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是 (C)
-可编辑-


精品教育
?
??
A.
?
?2cos
?
?
?
?
4
??
C.
?
?2cos?
?
?1
?
?
??
B.
?
?2sin
?
?
?
?
4
?

?
D.
?
?2sin
?
?
?1
?
2

2
2.极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是多少?
3.说明下列极坐标方程表示什么曲线
(1)
?
=2cos(
?
-
?
4
(3)
?
=3sin
?
   (4)
?
=6
) (2)
?
=cos(
?
3
-
?
)

4.填空:
 (1)直角坐标方程x
2
?y
2
?2x?3y?0的  极坐标方程为_______
(2)直角坐标方程2x-y+1?0的极坐标方程为_______< br>(3)直角坐标方程x
2
?y
2
?9的极坐标方程为_____
(4)直角坐标方程x?3的极坐标方程为_______
四、课堂小结:

1.曲线的极坐标方程的概念.
2.求曲线的极坐标方程的一般步骤.
五、课外作业:教材
P
28
1,2
1.在极坐标系中,已知圆
C
的圆心
C(3,
)
,半径
r?3

6
(1)求圆
C
的极坐标方程。
(2)若
Q
点在 圆
C
上运动,
P

OQ
的延长线上,且
OQ:OP ?3:2
,求动点
P

轨迹方程。











课题:2、直线的极坐标方程
教学目标:
知识与技能:掌握直线的极坐标方程
过程与方法:会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化
情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
教学重点:理解直线的极坐标方程,直角坐标方程与极坐标方程的互化
教学难点:直线的极坐标方程的掌握
-可编辑-
?


精品教育
授课类型:新授课
教学模式:启发、诱导发现教学.
教学过程:
一、探究新知:
阅读教材P13-P14
探究1、直线
l
经过极点,从极轴到直线
l
的角是


思考:用极坐标表示直线时方程是否唯一?
O
l
?
,如何用极坐标方程表示直线

l

4
?

4
x


探究2、如何表示过点
A(a,0)(a?0)
,且垂直于极轴的直线
l
的极坐标方程,化为直角坐
标方程是什么?过点
A(a,0)(a?0)
,平行于极轴的直线
l
的极坐标方程呢?



二、知识应用:
?
例1、已知 点P的极坐标为
(2,
?
)
,直线
l
过点P且与极轴所成的 角为,求直线
l
的极
3
坐标方程。



例2、把下列极坐标方程化成直角坐标方程
5
?
?
(1)
?
?(
?
?R)
(2)
?
(2cos
?
?5sin
?
)?4?0
(3)
?
sin(
?
?)?4

43


?
2
例3、判断直线
?
sin(
?
?)?
与圆
?
?2cos
?
?4sin
?
的位置关系。
42



三、巩固与提升:
P15第1,2,3,4题


四、知识归纳:
1、直线的极坐标方程
2、直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
3、直线与圆的简单综合问题
五、作业布置:
-可编辑-


精品教育
1、在直角坐标系中,过点
(1,0)
,与极轴垂直的直线的极坐标方程是( )
A
?
sin
?
?1
B
?
?sin
?
C
?
cos
?
?1
D
?
?cos
?

2、与方程
?
?
A < br>?
?
?
4
(
?
?
0)
表示同一曲线 的是 ( )
5
?
5
?
?
(
?
?0)
C
?
?(
?
?R)
D
?
?(
?
?0)

444
?
4
(
?
?R
)
B
?
?
3、在极坐标系中,过点
A
(2,
?
)
且与 极轴平行的直线
l
的极坐标方程是
2
4、在极坐 标系中,过圆
?
?4cos
?
的圆心,且垂直于极轴的直线方程是
3
?
5、在极坐标系中,过点
A(2,)
且垂直于极轴的直线
l
的极坐标方程是
4
?
2
7
?
6、已知直线的极坐标方程为
?
sin(
?
?)?
,求点
A(2,)
到这条直线的距离。
42
4


7、在极坐标系中,由三条直线
?
?
0,
?
?



六、反思:


















四 柱坐标系与球坐标系简介
课题:球坐标系与柱坐标系
教学目的:
知识目标:了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法
能力目标:了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
-可编辑-
??
3
,
?
cos
?
?
?
sin
?
?
1
围成图形的面积。


精品教育
德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
教学重点:体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系
教学难点:利用它们进行简单的数学应用
授课类型:新授课
教学模式:启发、诱导发现教学.
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
情境:我们用三个数据来确定卫星的位置,即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题:如何在空间里确定点的位置?有哪些方法?
学生回顾
在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法
极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理

二、讲解新课:
1、球坐标系
设P是空间任意一点,在oxy平面的射影为Q,连接OP,记| OP |=
r
,O P与OZ
轴正向所夹的角为
?
,P在oxy平面的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转 到OQ时所转
过的最小正角为
?
,点P的位置可以用有序数组
(r,
?
,
?
)
表示,我们把建立上述对应关
系的坐标系叫球坐标系(或空 间极坐标系)
有序数组
(r,
?
,
?
)
叫做点P 的球坐标,其中
r
≥0,0≤
?

?
,0≤
?<2
?

空间点P的直角坐标
(x,y,z)
与球坐标
(r,
?
,
?
)
之间的变换关系为:
?
x2
?y
2
?z
2
?r
2
?
?
x?rsin
?
cos
?

?
y?rsin
?sin
?
?
?
?
z?rcos
?
2、柱坐标系
设P是空间任意一点,在oxy平面的射影为Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在 < br>平面oxy上的极坐标,点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标
系叫做柱坐标系
有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标,其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z∈R
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为:

?
x?
?
cos
?
?

?
y?
?
sin
?

?
z?z
?
3、数学应用

例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.

-可编辑-


精品教育

变式训练
建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.

?
5
?
例2.将点M的球坐标< br>(8,,
)
化为直角坐标.
36

变式训练
1.将点M的直角坐标
(?1,?1,2)
化为球坐标.
,8)
化为直角坐标.
3
3.在直角坐标系中点
(a,a,a)(a
>0)的球坐标是什么?

例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.


变式训练
标满足方程
?
=2的点所构成的图形是什么?


例4.已知点M的柱坐标为
(2,


思考:
?
?
?
?
在球坐标系中,集合
M?
?
(r ,
?
,
?
)2?r?6,0?
?
?,0?
?
?2
?
?
表示的图形的体积
2
?
?
?
为 多少?


三、巩固与练习
四、小 结:本节课学习了以下内容:
1.球坐标系的作用与规则;
2.柱坐标系的作用与规则。
五、课后作业:教材P15页12,13,14,15,16
六、课后反思:本节内容与平面 直角坐标和极坐标结合起来,学生容易理解。但以后少
用,可能会遗忘很快。需要定期调回学生的记忆。


第二章 参数方程
-可编辑-
2.将点M 的柱坐标(4,
?
?
4
,3),
点N的球坐标为
(2,
??
,
),
求线段MN的长度.
42


精品教育
【课标要求】
1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。
2、理解直线的参 数方程及其应用;理解圆和椭圆(椭圆的中心在原点)的参数方
程及其简单应用。
3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
第一课时 参数方程的概念
一、教学目标:
1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写出抛物运动轨迹的参 数方
程,体会参数的意义。
2.分析曲线的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点:根据问题的条件引进适当的参数,写出参数方程,体会参数的意义。
教学难点:根据几何性质选取恰当的参数,建立曲线的参数方程。
三、教学方法:启发诱导,探究归纳
四、教学过程
(一).参数方程的概念 1.问题提出:铅球运动员投掷铅球,在出手的一刹那,铅球的速度为
如何来刻画铅球运动的轨迹呢 ?
2.分析探究理解:
(1)、斜抛运动:
?

y
v=v
0

?
与地面成
0

?
角 ,
?
x?v
0
cos
?
?t
?

?
1
2
(t为参数)
y?vsin
?
?t?gt
0
?
2
?
O
x
(2)、抽象概括:参数方程的概念。说明:(1)一般来说,参数的变化范围是有限制的。
(2)参数是联系变量x,y的桥梁,可以有实际意义,也可无实际意义。
(3)平抛运动:
y
500
v=100ms
A
-可编辑-
O
x


精品教育
?
x?100t
?

?
1
2
(t为参数)
y?500?gt
?
2
?< br>(4)思考交流:把引例中求出的铅球运动的轨迹
的参数方程消去参数t后,再将所得方程与原方程进行比较,体会参数方程的作用。
(二)、应用举例:
?
x?3t
例1、已知曲线
C
的参数方程是
?
(t为参数()1)判断点
M
1
(0,1),
2
?
y?2 t?1
与曲线
C
的位置关系;(2)已知点
M
2
(5,4)
M
3
(6,
a
)在曲线
C
上,求
a
的值。
分析:只要把参数方程中的t消去化成关于x,y的方程问题易于解决。学生练习。
反思归纳:给定参数方程要研究问题可化为关于x,y的方程问题求解。
?
例2、设 质点沿以原点为圆心,半径为2的圆做匀速(角速度)运动,角速度为
60

rads,试以时间t为参数,建立质点运动轨迹的参数方程。
解析:如图,运动开始时质点 位于A点处,此时t=0,设动点M(x,y)对应时刻t,由图
可知
{
x?2cos
?
y?2sin
?

?
?
?
60
t
,得参数方程为
{
?
tx?2cos
60
?
ty ?2sin
60
3000
Y
(t?0)

2500
2000
1500
1000
M
500
X
A
-40 00-3000-22000
-500
-1000
c
1
-1500< br>-2000
-2500
-3000

反思归纳:求曲线的参数方程的一般步骤。
-可编辑-


精品教育
(三)、课堂练习:
(四)、小结:1.本节学习的数学知识;2、本节学习的数学方法。学 生自我反思、教
师引导,抓住重点知识和方法共同小结归纳、进一步深化理解。
(五)、作业:
补充:设飞机以匀速v=150ms作水平飞行,若在飞行高度h=5 88m处投弹(设投弹
的初速度等于飞机的速度,且不计空气阻力)。(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方 程;(2)
试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标。简解:(1)
?
x?150t
?
2
?
y?588?4.9t
(2)1643m。
(t为参数)

五、教学反思:


















-可编辑-


精品教育




第二课时 圆的参数方程及应用
一、教学目标: < br>知识与技能:分析圆的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几
何性质求最值( 数形结合)
过程与方法:能选取适当的参数,求圆的参数方程
情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
二、重难点:教学重点:能选取适当的参数,求圆的参数方程
教学难点:选择圆的参数方程求最值问题.
三、教学方法:启发、诱导发现教学.
四、教学过程:
(一)、圆的参数方程探求
1、根据图形求出圆的参数方程,教师准对问题讲评。
y
M
r


?
O
x
M
0
x

?
x?rcos
?
?
?
y?rsin
?
(
?
为参数)
这就是圆心在原点、半径为r的圆的参数方程。
说明:(1)参数θ的几 何意义是OM与x轴正方向的夹角。(2)随着选取的参数不同,
参数方程形式也有不同,但表示的曲线 是相同的。(3)在建立曲线的参数方程时,要注
明参数及参数的取值范围。

< br>?
x?2cos
?
?5
2、指出参数方程(
?
为参数 )所表示圆的圆心坐标、半径,并化为普通方程。
?
y?3?2sin
?
?< br>-可编辑-


精品教育
8
6
4
P
2
A
-10-5
C
510
-2
c
1
-4-6
-8
3、若如图取我解决。
结论:参数取的不同,可以得到圆的不同形式的参数方程。
4,反思归纳:求参数方程的方法步骤。
(二)、应用举例
例1、已知两条曲线的参数方程
45

c
1
:
?< br>y?5sin
?
(
?
为参数)和
c
2
:?
y?3?tsin
45
0
(t为参数)
x?5cos
?
x?4?tcos
0
(1)、判断这两条曲线的形状;(2)、求这两条曲线的交点 坐标。学生练习,教师准对
问题讲评。
(三)、最值问题:利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值(数形结合)
例2、1、已知点 P(x,y)是圆
x
2
?y
2
?
6
x?
4
y?
12
?
0
上动点,求(1)
x
2
?y
2
的最
值,
(2)x+y的最值,
(3)P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
解:圆
x
2
?y
2
?
6
x?
4
y?
12
?
0
(x?3)
2
?(y?2)
2
?1
,用参数方程表示 为
{
由于点P在圆上,所以可设P(3+cosθ,2+sinθ),
(1)
x
2
?y
2
?
(3
?
cos
?
)
2
?
(2
?
sin
?
)
2
?< br>14
?
4sin
?
?
6cos
?
?
14
?
213sin(
?
?
?
)

x?3?cos
?

y?2?sin
?
-可编辑-


精品教育
(其中tan
?
=
3
) ∴
x
2
?y
2
的最大值为14+2
13
,最小值为14- 2
13

2
?
(2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+
2
sin( θ +
4
)∴ x+y的最大值为5+
2
,最小
值为5 -
2

(3)
d?
3?cos
?
?2?sin
?
?1
2
4?2sin(
?
?< br>?
2
?
4
)

?
显然当sin( θ+
4
)=
?
1时,d取最大值,最小值,分别为
1?22

1?22
.
2、 过点(2,1)的直线中,被圆x
2
+y< br>2
-2x+4y=0截得的弦:为最长的直线方程是_________;
为最短的直线 方程是__________;
3、若实数x,y满足x
2
+y
2
-2x+4y=0,则x-2y的最大值为 。
(三)、课堂练习:学生练习:1、2
(四)、小结:1、本课我们分析圆的几何性质,选择适当的参数求出圆的参数方程。2、
参数 取的不同,可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参
数方程求最值。要求大 家掌握方法和步骤。
(五)、作业:
1、方程
x
2
?y
2
?
4
tx?
2
ty?
5
t
2
?
4
?
0
(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是(D)
A.一个定点 B.一个椭圆 C.一条抛物线 D.一条直线
2、已知
?
?
x?2?cos
?
(
?
为参 数
)
,则
(x?5)
2
?(y?4)
2
?
y?sin
?
的最大值是6。
8.曲线
x
2
?
y
2
?
2y
的一个参数方程为
?
五、教学反思:


?
x?cos
?
(
?
为参数)

y?1?sin
?
?
-可编辑-


精品教育














第三课时 圆锥曲线的参数方程
一、教学目标:
知识与技能:了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义
过程与方法:能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程
情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
二、重难点:教学重点:圆锥曲线参数方程的定义及方法
教学难点:选择适当的参数写出曲线的参数方程.
三、教学方法:启发、诱导发现教学.
四、教学过程:
(一)、复习引入:
1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
?
x?rcos
?
(1)圆< br>x
2
?y
2
?r
2
参数方程
?

?
为参数)
?
y?rsin
?
-可编辑-


精品教育
?
x?x
0
?rcos
?
(2)圆
(x?x
0
)
2
?(yy
0
)
2
?r
2
参数方程为:
?

?
为参数) < br>y?y?rsin
?
0
?
2.写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。
3.能模仿圆参数方程的推导,写出圆锥曲线的参数方程吗?
(二)、讲解新课: < br>x
2
y
2
1.椭圆的参数方程推导:椭圆
2
?
2
?
1
参数方程
ab
?
x?acos
?

?
为参数),参
?
y?bsin
?
?

?
的几何意义是以a为半径所作圆 上一点和椭圆中心的连线与X轴正半轴的夹角。
6
5
4
3
A
2
1
M
-8-6-4-2
-1
O
L
1
2
N
46810
-2
-3
-4
-5
-6
-7

x
2
y
2
2.双曲线的参数方程的推导:双曲线
2
?
2
?
1
参数方程
ab
2500
?
x?asec
?

?
为参数)
?
y?btan
?
?
2000Q
P
1500
B
1000
500
A
-4000 -3000-220003000
M
40005000
-500
-1000< br>-1500
-2000
-2500
-3000
-3500
< br>参数
?
几何意义为以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X轴正半轴的夹
角。
?
x?2Pt
2
3.抛物线的参数方程:抛物线
y
?
2Px
参数方程
?
(t为参数),t为以抛物线
?
y?2Pt
2
-可编辑-


精品教育
上一点(X,Y)与其顶点连线斜率的倒数。
(1)、关于参数几点说明:
A.参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。
B.同一曲线选取的参数不同,曲线的参数方程形式也不一样
C.在实际问题中要确定参数的取值范围
(2)、参数方程的意义:
参数方程是曲 线点的位置的另一种表示形式,它借助于中间变量把曲线上的动点的
两个坐标间接地联系起来,参数方程 与变通方程同等地描述,了解曲线,参数方程实际
上是一个方程组,其中
x

y
分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。
(3)、参数方程求法:(A)建立直角坐标系,设 曲线上任一点P坐标为
(x,y)
;(B)
选取适当的参数;(C)根据已知条件和图 形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参
数的函数式;(D)证明这个参数方程就是所由于的曲线的 方程
(4)、关于参数方程中参数的选取:选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关
系 比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间
t
做参数;与旋转的有关问题选
取 角
?
做参数;或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。
?
x?acos
?
x
2
y
2
4、椭圆的参数方程常见形式:( 1)、椭圆
2
?
2
?
1
参数方程
?

?

ab
?
y?bsin
?
x
?
y
?1(b?a?0)
2
参数);椭圆
2
的参数方程是
b a
2
2
?
x?bcos
?
y?asin
?
(
?
为参数,且0?
?
?2?).

(2)、以
(
x
0
,
y
)
为中心焦点的连线平行于x 轴的椭圆的参数方 程是
0
x
0
?acos
?
?
x?acos
?
{
y?
y
?bsin
?
(
?
为参数)< br>。 (3)在利用
?
研究椭圆问题时,椭圆上的点的
0
?
y? bsin
?
x?
坐标可记作(acos
?
,bsin
?)。
(三)、巩固训练
-可编辑-


精品教育
1< br>?
x?t?
?
t
(t为参数)
22
x?y?
4

1、曲线
?
的普通方程为
1
?
y?t?t
?
2、曲线
?
1
2
?
x?cos
?
?
y?sin
?
(
?
为参数
)
上的点到两 坐标轴的距离之和的最大值是(D)
A. B.
2
C.1 D.
2

2
?
x?3cos
?
?
3、已知椭圆
?
(
?
为参数)求 (1)
?
?
时对应的点P的坐标
6
?
y?2sin
?
(2)直线OP的倾斜角
(四 )、小结:本课要求大家了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义,能选取适当的参
数,求简单曲线的参数 方程,通过推到椭圆及双曲线的参数方程,体会求曲线的参数方
程方法和步骤,对椭圆的参数方程常见形 式要理解和掌握。
(五)、作业:
五、教学反思:





第四课时 圆锥曲线参数方程的应用
一、教学目标:
知识与技能:利用圆锥曲线的参数方程来确定最值,解决有关点的轨迹问题
过程与方法:选择适当的参数方程求最值。
情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
二、重难点:教学重点:选择适当的参数方程求最值。
教学难点:正确使用参数式来求解最值问题
三、教学模式:讲练结合,探析归纳
-可编辑-


精品教育
四、教学过程:
(一)、复习引入:
通过参数
?
简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中 以计算问题化为三角问题,
从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值,参数取值范围等问题。
(二)、讲解新课:
例1、双曲线
{
x?23tan
?y?6sec
?
(
?
为参数)
的两焦点坐标是 。
答案:(0,-4
3
),(0,4
3
)。学生练习。
ee
例2、方程
{
y?
t
?
?t
ee
x??< br>2
2
t?t
(t为参数)的图形是 双曲线右支 。
学生练习,教师准对问题讲评。反思归纳:判断曲线形状的方法。
x
?
y< br>?1
例3、设P是椭圆
36
在第一象限部分的弧AB上的一点,求使四边形OA PB
4
的面积最大的点P的坐标。
分析:本题所求的最值可以有几个转化方向,即转 化为求
s
?POA?
s
?poB,
S
OAPB
的< br>最大值或者求点P到AB的最大距离,或者求四边形OAPB的最大值。
?
学生练习, 教师准对问题讲评。【
?
=
4
时四边形OAPB的最大值=6
2,此时点P
为(3
2
,2)。】
(三)、巩固训练
1、直线
?
A.或
?
6
?
x?tcos
?
?
x?4?2cos
?
(
?
为参数
)
与圆
?
(
?
为参数
)
相切,那么直线的倾斜角为(A)
?
y? tsin
?
?
y?2sin
?
5
?
6
B.或
?
4
3
?
4
C.
?
?
5
?
2
?
或 D.
?

?

366
3
x
2
y
2
2、椭圆
2
?
2
?
1

a?b?0
)与
x
轴正向交于 点A,若这个椭圆上存在点P,使OP
ab
⊥AP,(O为原点),求离心率
e
的范围。
-可编辑-


精品教育
3、抛物线
y
2
?
4x
的内接三角形的一个顶点在原点,其重心恰是抛物线的焦点,求内接
三角形的周长。
4、设P为等轴双曲线
x
2
?y
2
?1
上的一点,
F
1

F
2
为两个焦点,证明< br>F
1
P?F
2
P?OP

5、求直线
??
x?1?t
?
y?1?t
2
与圆
x
2
?y
2
?
4
的交点坐标。
(
t为参数)
解:把 直线的参数方程代入圆的方程,得(1+t)
2
+(1-t)
2
=4,得t= ±1,分别代入直线方程,
得交点为(0,2)和(2,0)。
(三)、小结:本节课我们利 用圆锥曲线的参数方程来确定最值,解决有关点的轨迹问
题,选择适当的参数方程正确使用参数式来求解 最值问题,要求理解和掌握求解方法。
(四)、作业:
练习:在抛物线
y
2
?
4ax
(a?0)
的顶点,引两互相垂直的两条弦OA,OB, 求
顶点O在AB上射影H的轨迹方程。
五、教学反思:










第五课时 直线的参数方程
一、教学目标:
知识与技能:了解直线参数方程的条件及参数的意义
过程与方法:能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义
-可编辑-


精品教育
情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
二重难点:教学重点:曲线参数方程的定义及方法
教学难点:选择适当的参数写出曲线的参数方程.
三、教学方法:启发、诱导发现教学.
四、教学过程
(一)、复习引入:
1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
?
x?rcos
?

x
2
?y
2
?r
2
参数方程
?

?
为参数)
?
y?rsin
?
?
x?x
0
?rcos
?
222
(x?x)?(yy)?r
(2)圆
参数方程为:
?

?
为参数)
00
y?y?rsin
?
0
?
2.写出椭圆参数方程.
3.复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数
方程?
(二)、讲解新课:
1、问题的提出:一条直线L的倾斜角是
30
, 并且经过点P(2,3),如何描述直
线L上任意点的位置呢?
如果已知直线L经过两个
定点Q(1,1),P(4,3),
那么又如何描述直线L上任意点的
位置呢?
2、教师引导学生推导直线的参数方程:
(1)过定点
P
(
x0
,
y
0
)
倾斜角为
?
的直线的
参数方程


A
O B C X







Y L
M
P Q
0
?
x?x
0
?tcos
?

?

t
为参数)
y?y?tsin
?
0
?
-可编辑-


精品教育
【辨析直线的参数方程】:设M(x,y)为直线上的任意一点,参 数t的几何意义是指从
uuuur
点P到点M的位移,可以用有向线段
PM
数 量来表示。带符号.
(2)、经过两个定点Q
(
x
1
,
y
)
,P
(
x
2
,
y
)
(其中12
x
?
x
12
)的直线的参数方程为
Y
L
P
M N

Q A B



O X

{
x?
x
1?
?
X
2
1?
?
y?
?
y
y?
1
1?
?
2
(
?
为参数,
?
??1)
。其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。这里
uuuv
参数
?
的几何意义与参数方程(1)中的t显然不同,它所反映的是动点M 分有向线段
QP
的数量比
QM
MP
。当
?
?o时,M为内分点;当
?
?o

?
??1
时,M为外分点 ;当
?
?o
时,
点M与Q重合。
(三)、直线的参数方程应用,强化理解。
1、例题:
学生练习,教师准对问题 讲评。反思归纳:1、求直线参数方程的方法;2、利用直线参
数方程求交点。
2、巩固导练:
补充:1、直线
?
?
x?tcos
??
x?4?2cos
?
(
?
为参数
)
与圆?
(
?
为参数
)
相切,那么直线的倾斜角
y?tsin
?
y?2sin
?
??
-可编辑-


精品教育
为(A)
A.或
?
6
5
?
6
B.或
?
4
3
?
4
C.
?
?
5
?
2
?
或 D.
?

?

366
3
?
x?1?2t,
2、(2009广东理)(坐标系与参数方程选做题)若直线
l
1
:
?
(t为参数)
与直线
?
y?2?kt.
?
x?s,

s
为参数)垂直,则
k?

l
2
:
?
?
y?1?2s.

?
x?1?2t,
k
解:直线
l
1
:
?
(t为参数)
化为普通方程是
y?2??(x?1)

2
?
y?2?kt.
k
该直线的斜率为
?

2
?
x?s,
直线
l
2
:?

s
为参数)化为普通方程是
y??2x?1

?
y?1?2s.
该直线的斜率为
?2

?
k< br>?
则由两直线垂直的充要条件,得
?
?
?
?
?
?
2
?
??
1

k??1

?< br>2
?
(四)、小结:(1)直线参数方程求法;(2)直线参数方程的特点;(3)根据 已知条件
和图形的几何性质,注意参数的意义。
(五)、作业:
?
补充: (2009天津理)设直线
l
1
的参数方程为
?
x?1?t
?
y?1?3t
(t为参数),直线
l
2
的方
程为y=3x +4则
l
1

l
2
的距离为_______ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离,基础题。
解析:由题 直线
l
1
的普通方程为
3x?y?2?0
,故它与与
l2
的距离为
五、教学反思:






第六课时 参数方程与普通方程互化
-可编辑-
|4?2|
10
?
310

5


精品教育
一、教学目标:
知识与技能:掌握参数方程化为普通方程几种基本方法
过程与方法:选取适当的参数化普通方程为参数方程
情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
二、重难点:教学重点:参数方程与普通方程的互化
教学难点:参数方程与普通方程的等价性
三、教学方法:启发、诱导发现教学.
四、教学过程:
(一)、复习引入:
(1)、圆的参数方程;
(2)、椭圆的参数方程;
(3)、直线的参数方程;
(4)、双曲线的参数方程。
(二)、新课探究:
1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种:
(1) 代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数
(2) 三角法:利用三角恒等式消去参数
(3) 整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。
化参数方程为普通方程 为
F(x,y)?0
:在消参过程中注意变量
x

y
取值范 围的一
致性,必须根据参数的取值范围,确定
f(t)

g(t)
值 域得
x

y
的取值范围。
2、探析常见曲线的参数方程化为普通方程的方法,体会互化过程,归纳方法。
?
x ?rcos
?
(1)圆
x
2
?y
2
?r
2
参数方程
?

?
为参数)
?
y?rsi n
?
?
x?x
0
?rcos
?
(2)圆
( x?x
0
)
2
?(yy
0
)
2
?r
2
参数方程为:
?

?
为参数)
?
y? y
0
?rsin
?
?
x?acos
?
x
2
y
2
(3)椭圆
2
?
2
?
1
参数 方程
?

?
为参数)
ab
?
y?bsin
?
-可编辑-


精品教育
x
2
y
2
(4)双曲线
2
?
2
?
1
参数方程
ab
2
?
x?asec
?

?
为参数)
?
y?btan
?
?
?
x?2Pt
2
(5 )抛物线
y
?
2Px
参数方程
?
(t为参数)
?
y?2Pt
(6)过定点
P
(
x
0
,
y
0
)
倾斜角为
?
的直线的参数方程
?
x?x
0
?tcos
?

?

t
为参数)
?
y?y
0
?t sin
?
3、理解参数方程与普通方程的区别于联系及互化要求。
(二)、例题探析
例1、将下列参数方程化为普通方程
2
?
?
x?sin
?
?cos
?
?
x?t?2t
(1)
?
(2)

?
2
y?sin2
?
?
?
?y?t?2
2
1
t?1
?
?
?
x?
x ?2(t?)
x?
2
?
?
?
???
t
t? 21?t
(3)
?
(4)
?
(5)
?

1
2t2t
?
y?
?
y??
y?3(t
2
?)
?
?
?
t?2
t
2
1?t
2
?
?
?
学生练习,教师准对问题讲评, 反思归纳方法。
例2化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线。
?
x?2cos
?
?
x?1?2t
(1)
?
(t是参数) (2) (
?
是参数)
y?co s2
?
?
?
y?3?4t
t
1?2t
2
( 3) (t是参数)
1?2t
2
y?
1?2t
2
x?
学生练习,教师准对问题讲评,反思归纳方法。
例3、已知圆O半径为1,P是圆上动点 ,Q(4,0)是
x
轴上的定点,M是PQ的中点,
当点P绕O作匀速圆周运动时,求 点M的轨迹的参数方程。
学生练习,教师准对问题讲评,反思归纳方法。
(三)、巩固导练:
-可编辑-


精品教育
1
?
?
x?t?
1、(1)方程
?

t
表示的曲线( )
?
?
y?2
A、一条直线 B、两条射线
C、一条线段 D、抛物线的一部分
(2)下列方程中,当方程
y
2
?x
表示同一曲线的点
2
?
?
x?t
?
x?sint
A、
?
B、
?

2
?
?
y?t
?
y?si nt
1?xos2t
?
?
x?1?1
?
x?
C、< br>?
D、
?
1?cos2t
< br>?
y?t
?
?
y?tant
?
x?4sin
?
2、P是双曲线
?
(t是参数)上任一点,
F
1

F
2
是该焦点:
?
y?3tan
?
求△F
1
F
2
的重心G的轨迹的 普通方程。
3、 已知
P(x,y)
为圆
(
x?
1)2
?
(
y?
1)
2
?
4
上任意一点, 求
x?y
的最大值和最小值。
(四)、小结:本节课学习了以下内容:熟练理解和掌 握把参数方程化为普通方程的几
种方法。抓住重点题目反思归纳方法,进一步深化理解。
(五)、作业:
五、教学反思:










-可编辑-


精品教育

第七课时 圆的渐开线与摆线
一、教学目标:
知识与技能:了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程.
过程与方法:学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤
情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
二、重难点:教学重点: 圆的渐开线的参数方程,摆线的参数方程
教学难点: 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法
三、教学方法:讲练结合,启发、诱导发现教学.
四、教学过程:
(一)、复习引入:复习:圆的参数方程
(二)、新课探析:
1、以基圆圆心O为原点,直线OA为x轴,建立平面直角坐标系,可得圆渐开线的
?
x?r(cos
?
?
?
sin
?
)
参数方程为?

?
为参数)
?
y?r(sin
?
?
?
cos
?
)
6
5
4
3
D
2
j
C
1
x
-10-8-6-4-2
O
-1B
2
O'
468
-2
-3
-4
-5
- 6

2、在研究平摆线的参数方程中,取定直线为
x
轴,定点M滚动时落在直 线上的一个
位置为原点,建立直角坐标系,设圆的半径为r,可得摆线的参数方程为。
-可编辑-


精品教育
?
x?r(
?
?sin
?
)

?
为参数)
?
y?r(1?cos
?
)
?



(三)、例题与训练题:
例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程
变式训练1 当
?
?
?
?
x?cos
?
?
?
sin
?

?
时,求圆渐开线
?
上对应点A、B坐标并
2
?
y?sin
?
?
?
co s
?
求出A、B间的距离。
?
?
?
x?2(cost?tsint)
变式训练2 求圆的渐开线
?
上当
t?
对应的点的直角坐标。
4
?
?
y?2(sint?tcost)
例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程
?
x?t?sint
变式训练3: 求摆线
?

0?t?2
?
与直线
y?1
的交点的直角坐标
y?1?c ost
?
例3、设圆的半径为8,沿
x
轴正向滚动,开始时圆与
x< br>轴相切于原点O,记圆上动点为
M它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时M点的轨迹方程, 画出相应曲线,求
此曲线上纵坐标
y
的最大值,说明该曲线的对称轴。
(四)、小结:本节课学习了以下内容:
1. 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程;
2.探析圆的渐开线的参数方程,摆线的参数方程
3.会运用圆的渐开线的参数方程,摆线的参数方程求解简单问题。
(五)、作业:
五、教学反思:
-可编辑-


精品教育





-可编辑-

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