[选修21]人教版苏教版全册高中数学精品教案

第一章 常用逻辑用语
课题：
1.1.1 命题
第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：
知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命
题的真假；能把 命题改写成“若p，则q”的形式；
过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及 培养他们的分析问题
和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点： 命题的概念、命题的构成
教学难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假
教学用具： 多媒体
教学方法： 分析法，讨论法，归纳法
教学过程：
1．复习回顾
初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？
2．思考、分析
下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？
（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点 ．
（2）2+4=7．
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．
2
（４）若x=1,则x=1．
（５）两个全等三角形的面积相等．
（６）３能被２整除．
3．讨论、判断 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。
其中（1）（3 ）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。
教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。
4．抽象、归纳
定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．
在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子． 教师再与学生共
同从命题的定 义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一
概念的理解．
5．练习、深化
判断下列语句是否为命题？
（１）空集是任何集合的子集．
（２）若整数a是素数，则是a奇数．
（３）指数函数是增函数吗？
（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．
2
(?2)
（５）＝－２．
批 注

（６）x＞１５．

让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判 断一个语句是不是
命题，关键看两点：第一是“陈述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不 可．疑
问句、祈使句、感叹句均不是命题．
解略。
引申：以前，同学们学习了很多 定理、推论，这些定理、推论是否是命题？同学们
可否举出一些定理、推论的例子来看看？
通过对此问的思考，学生将清晰地认识到定理、推论都是命题．

过渡：同学们 都知道，一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成（结合学生所
举定理和推论的例子，让学生分辨定 理和推论条件和结论，明确所有的定理、推论都是
由条件和结论两部分构成）。紧接着提出问题：命题是 否也是由条件和结论两部分构成
呢？
6.命题的构成――条件和结论
定义：从构成 来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成
“若p，则q”或者 “如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的
p叫做命题的条件,q叫做命题结论．

7．练习、深化
指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假．
（１）若整数a能被２整除，则a是偶数．
（２）若四边行是菱形，则它的对角线互相垂直平分．
（３）若a＞0，b＞0，则a+b＞0．
（４）若a＞0，b＞0，则a+b＜0．
（５）垂直于同一条直线的两个平面平行．

此题中的（１）（２）（３）（４）， 较容易，估计学生较容易找出命题中的条件p
和结论q，并能判断命题的真假。其中设置命题（３）与（ ４）的目的在于：通过这两
个例子的比较，学更深刻地理解命题的定义——能判断真假的陈述句，不管判 断的结果
是对的还是错的。
此例中的命题（５），不是“若P，则q”的形式，估计学生会 有困难，此时，教师
引导学生一起分析：已知的事项为“条件”，由已知推出的事项为“结论”．
解略。
过渡：从例２中，我们可以看到命题的两种情况，即有些命题的结论是正确的，而有些
命题的结论是错误的，那么我们就有了对命题的一种分类：真命题和假命题．

8．命题的分类――真命题、假命题的定义．
真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以 得出命题的结论q，那么这样的命
题叫做真命题．
假命题：如果由命题的条件P通过推理不一 定可以得出命题的结论q，那么这样的
命题叫做假命题．
强调：
(１)注意命题与假命题的区别．如：“作直线AB”．这本身不是命题．也更不是假
命题．
(２)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的
概念，强调真假命 题的大前提，首先是命题。

9．怎样判断一个数学命题的真假？
(１)数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．
(２)要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．

10．练习、深化
例３：把下列命题写成“若P，则q”的形式，并判断是真命题还是假命题：
（１） 面积相等的两个三角形全等。
（２） 负数的立方是负数。
（３） 对顶角相等。
分析：要把一个命题写成“若P，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然
后写成“若条件 ，则结论”即“若P，则q”的形式．解略。


11、课堂练习：Ｐ４ ２、３

12．课堂总结 师生共同回忆本节的学习内容．
1．什么叫命题？真命题？假命题？ 2．命题是由哪两部分构成的？
3．怎样将命题写成“若P，则q”的形式． 4．如何判断真假命题．

教师提示应注意的问题：
1．命题与真、假命题的关系． 2．抓住命题的两个构成部分，判断一些
语句是否为命题．
３．判断假命题，只需举一个反例，而判断真命题，要经过证明．

13．作业：P8：习题1．１Ａ组第1题




教学后记：

课题：
1.1.2四种命题



第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：
◆知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种
命题的形式．
◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问
题、分析 问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．
◆情感、态度与价值观：通过 学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他
们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问 题的能力．
教学重点：会写四种命题并会判断命题的真假；
教学难点：（1）命题的否定与否命题的区别；
（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题 。
教学用具： 多媒体
教学方法： 分析，归纳
教学过程：
１．复习引入
初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？

2．思考、分析
问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件 与结论之间分别有
什么关系？
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

３．归纳总结 问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，
（１）和（２） 这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互
否命题，（１）和（４）这样的两 个命题叫做互为逆否命题。

４．抽象概括
定义１：一般地，对于两个命题，如果 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的
结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中 一个命题叫做原命题，另
一个命题叫做原命题的逆命题．
让学生举一些互逆命题的例子。

定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的
条 件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫
做原命题，另一个命 题叫做原命题的否命题．
让学生举一些互否命题的例子。

定义３：一般地，对于 两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的
结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的 两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命
题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．
让学生举一些互为逆否命题的例子。

小结：
(1) 交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：
(2) 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；
(3) 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．
强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
批 注

５．四种命题的形式
让学生结合所举例子，思考：
若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成
什么形式？
学生通过思考、分析、比较，总结如下：
原命题：若P，则q．则：
逆命题：若q，则P．
否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做 否定符号．“￢p”
表示p的否定；即不是p；非p）
逆否命题：若￢q，则￢P．

６．练习巩固
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：
（１） 若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；
（２） 若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除；
2
（３） 若x=1,则x=1；
（４） 若整数a是素数，则是a奇数。





教学后记：























课题：
1.1.3四种命题的相互关系

第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：
◆知识与技能：掌握四种命题的 形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种
命题的真假．
◆过程与方法：多让学 生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问
题、分析问题、有创造性地解决问题的能 力；培养学生抽象概括能力和思维能力．
◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学 的兴趣和积极性，培养他
们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．
教学重点：四种命题之间的相互关系．
教学难点： 分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．
教学用具： 多媒体
教学方法： 分析，归纳法
教学过程：
1．思考、分析
结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？
通过此问，学生将发现：
①原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②原命题为真，它的否命题不一定为真。
③原命题为真，它的逆否命题一定为真。
原命题为假时类似。

结合以上练习完成下列表格：
原 命 题 逆 命 题 否 命 题 逆 否 命 题
真 真
假 真
假 真
假 假

由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性 ，逆命题与否命
题也总是具有相同的真假性．
由此会引起我们的思考：
一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？
让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关
系．
学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：


2．总结归纳
若P，则q． 若q，则P．
互 逆
原命题 逆命题

互 否
为 逆
互 互

否 否
为 逆
互 否

否命题 逆否命题
互 逆
若￢P，则￢q． 若￢q，则￢P．

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
批 注

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
由于原命题 和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题
有困难时，可以通过证明它的逆否 命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

3．例题分析
22
例： 证明：若p ＋ q＝2，则p ＋ q ≤ 2．
分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。
22
将“若p ＋ q＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可
22
以考虑证明它的逆否命题“若p + q ＞2，则p + q≠2”为真命题，从而达到证明原
命题为真命题的目的．
证明：若p ＋ q ＞2，则
p ＋ q
2
22
＝
2
111
222２
［（p －q）＋（p ＋q）］≥（p ＋q）＞×２＝２
222
所以p ＋ q≠2．
这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。

22
练习巩固：证明：若a－b＋２a－４b－３≠０，则a－b≠１．

4：课堂总结
（１）逆命题、否命题与逆否命题的概念；
（２）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；
（３）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；
（４）原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价．


5．作业 P8：习题1．１Ａ组第２、３、４题


教学后记：



















课题：
1．2.1充分条件与必要条件
第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：
知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条
件、必要条件．
过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和
归纳的逻 辑思维能力．
情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思
维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
教学重点：充分条件、必要条件的概念．
教学难点：判断命题的充分条件、必要条件
教学用具：多媒体
教学方法： 归纳总结
教学过程：

1．练习与思考
写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？
22
（1）若x ＞ a + b，则x ＞ 2ab,
（2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.
学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．
置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？
答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．

２．给出定义
命题“若p，则q” 为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说， 如果p成
立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我
们称条件p是q成立的充分条件．

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推 理可以得出q．这时，我们就说，由
p可推出q，记作：p?q．
定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p ? q,那么我们就说p是q的充分条件；
q是p必要条件．
上面的命题(1)为真命题，即
22
x ＞ a + b? x ＞ 2ab，
22 22 ＂
所以“x ＞ a + b”是“x ＞ 2ab”的充分条件，“x ＞ 2ab”是“x ＞ a + b”
的必要条件．

3．例题分析：
例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？
2
（1）若x ＝1，则x － 4x ＋ 3 ＝ 0；
（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；
2
（3）若x为无理数，则x为无理数．
分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．
解略．

例２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?
22
(1) 若x ＝ y，则x ＝ y；
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；
(3) 若a ＞b,则ac＞bc．

分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．
解略．

批 注

４．练习巩固：P10 练习 第1、2、3、4题

５．课堂总结
充分、必要的定义．
在“若p，则q”中，若p?q，则p为q的充分条件，q为p的必要条件．

６．作业
P
12
：习题1.2A组第1(1)(2),2(1)(2)题

注：（1）条件是相互的；
（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：
① p是q的充分而不必要条件；
② p是q的必要而不充分条件；
③ p是q的充要条件；
④ p是q的既不充分也不必要条件．




教学后记：


























课题：
1.2.2充要条件
第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日

教学目标： 批 注
知识与技能目标：

（１） 正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件,
既不充分也不必要条件的定义．
（２） 正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不
必要条件.
（３） 通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．
过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品
质．
情感、态度与价值观：
激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

教学重点： 1、正确区分充要条件
2、正确运用“条件”的定义解题
教学难点：正确区分充要条件．
教学用具： 多媒体
教学方法： 类比归纳
教学过程：
1.思考、分析
已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.
请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？
分析：要判断p是否是q的充分条件 ，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要
条件，就要看q能否推出p．
易知：p?q，故p是q的充分条件；
又q ? p，故p是q的必要条件．
此时,我们说, p是q的充分必要条件

２.类比归纳
一般地,如果既有p?q ，又有q?p 就记作
p ? q.
此时,我们说,那 么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,
那么q也是p的充要条件.
概括地说,如果p ? q,那么p 与 q互为充要条件.

3.例题分析
例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？
2
（１） p:b＝0,q:函数f(x)＝ax＋bx＋c是偶函数；
（２） p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；
（３） p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；
（４） p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10
22
（５） p: a ＞ b ,q: a ＞ b


分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．
解：命题（１）和（３）中，p?q ，且q?p，即p ? q，故p 是q的充要条件；
命题（２）中，p?q ,但q ?? p，故p 不是q的充要条件；
命题（４）中，p??q ，但q?p，故p 不是q的充要条件；
命题（５）中，p??q ，且q??p，故p 不是q的充要条件；
４．类比定义
一般地，
若p?q ,但q ?? p，则称p是q的充分但不必要条件；
若p??q，但q ? p，则称p是q的必要但不充分条件；

若p??q，且q ?? p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：
①若p?q ,但q ?? p，则p是q的充分但不必要条件；
②若q?p，但p ?? q，则p是q的必要但不充分条件；
③若p?q，且q?p，则p是q的充要条件；
④若p ?? q，且q ?? p，则p是q的既不充分也不必要条件．

５．练习巩固：P12 练习第 1、2题
说明：要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或 p是q的必要但不充分条件、或p
是q的充要条件、或p是q的既不充分也不必要条件．

６．例题分析
例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直 线l与⊙O
相切的充要条件．




分析：设p：d＝ r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充
分性（p?q）和必要性（q? p）即可．
证明过程略．


例3、设p是r的充分而不必要条件，q是 r的充分条件，r成立，则s成立．s是q
的充分条件，问（1）s是r的什么条件？（2）p是q的什 么条件？




７．课堂总结：
充要条件的判定方法
如果“若p，则q”与“ 若p则q”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是．


８．作业：P12：习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题



教学后记：









课题：
1.3简单的逻辑联结词(1)

第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日

教学目标： 批 注
知识与技能目标：

（１） 掌握逻辑联结词“或、且”的含义
（２） 正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题
（３） 掌握真值表并会应用真值表解决问题
过程与方法目标：
在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．
情感态度价值观目标：
激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
教学 重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或、且”的含义，使学生能正确地表述相
关数学内容。
教学难点：1、正确理解命题“P∧q”“P∨q”真假的规定和判定．
2、简洁、准确地表述命题“P∧q”“P∨q”.
教学用具： 多媒体
教学方法： 引导，分析，归纳
教学过程：
1、引入
在当今社会中，人 们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构
成一个公民的文化素质的重要方面．数学 的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所
学的数学比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识 ，将会在我们学习的过程中
不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易 逻辑的知
识．
在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。在生活用语中，我 们也
使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学
中使 用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。
为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r， s，…表示命题。（注意与上节学习命题的条
件p与结论q的区别）
2、思考、分析
问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？
（1）①12能被3整除；
②12能被4整除；
③12能被3整除且能被4整除。
（2）①27是7的倍数；
②27是9的倍数；
③27是7的倍数或是9的倍数。
学生很容易看到，在第（1 ）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联
结得到的新命题，在第（2）组命题中，命题③是 由命题①②使用联结词“或”联结得
到的新命题，。

问题2：以前我们有没有学习 过象这样用联结词“且”或“或”联结的命题呢？你能否
举一些例子？
例如：命题p：菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分。
命题q：三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似。

3、归纳定义
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作 p
∧q读作“p且q”。

一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，
记作p∨q,读作“p或q”。

命题“p∧q”与命题“p∨q”即，命题“p且 q”与命题“p或q”中的“且”字与

“或” 字与下面两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义相同吗？
（1）若 x∈A且x∈B，则x∈A∩B。
（2）若 x∈A或x∈B，则x∈A∪B。
定义中的“且”字与“或” 字与两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义是类似。
但这里的逻辑联结词“且”与日常语言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又… ”等相
当，表明前后两者同时兼有，同时满足, 逻辑联结词“或”与生活中“或”的含义不同，
例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去这种可能.
说明：符号“∧”与“∩”开口都是向下，符号“∨”与“∪”开口都是向上。

注 意：“p或q”，“p且q”，命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命
题，否命题，逆否 命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.

4、命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假的规定
你能确定命题“p∧q”与命题“p∨q ”的真假吗？命题“p∧q”与命题“p∨q”的
真假和命题p，q的真假之间有什么联系？
引导学生分析前面所举例子中命题p，q以及命题p∧q的真假性，概括出这三个命题的
真假之间的关系 的一般规律。
例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，①②都是真命题，所以命题③是真命题。
第（2）组命题中，①是假命题，②是真命题，但命题③是真命题。
p q p∧q
p q p∨q
真 真 真
真 真 真
真 假 假
真 假 真
假 真 假
假 真 真
假 假 假
假 假 假

（即一假则假） （即一真则真）
一般地，我们规定：
当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题
时，p∧q是假命题 ；当p，q两个命题中有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q
两个命题都是假命题时，p∨q是 假命题。
5、例题
例1：将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“p∧q” 与“p∨q”的形式，
并判断它们的真假。
（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等。
（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；
（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.
解：（1）p∧q：平行四边形的对角 线互相平分且平行四边形的对角线相等.也可简写成
平行四边形的对角线互相平分且相等.
p∨q: 平行四边形的对角线互相平分或平行四边形的对角线相等. 也可简写成
平行四边形的对角线互相平分或相等.
由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题．
（2）p∧q：菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分. 也可简写成
菱形的对角线互相垂直且平分.
p∨q: 菱形的对角线互相垂直或菱形的对角线互相平分. 也可简写成
菱形的对角线互相垂直或平分.
由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题．
（3）p∧q：35是15的倍数且35是7的倍数. 也可简写成
35是15的倍数且是7的倍数.
p∨q: 35是15的倍数或35是7的倍数. 也可简写成
35是15的倍数或是7的倍数.
由于p是假命题, q是真命题,所以p∧q是假命题, p∨q是真命题．

说明，在用＂且＂或＂或＂联结新命题时，如果简写，应注意保持命题的意思不变．

例2：选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题，并判断它们的真假。
（1）1既是奇数，又是素数；
（2）2是素数且3是素数；
（3）2≤2．
解略．


例3、判断下列命题的真假；
（1）6是自然数且是偶数
（2）?是A的子集且是A的真子集；
（3）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；
（4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．
解略．




6．练习
Ｐ
18
练习第1 ， 2题

７.课堂总结
（１） 掌握逻辑联结词“或、且”的含义
（２） 正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题
（３） 掌握真值表并会应用真值表解决问题
p q P∧q P∨q
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 假 真
假 假 假 假

８．作业：
P18：习题１.３Ａ组第1、2题


教学后记：












课题：
1.3简单的逻辑联结词（2）
第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日

教学目标： 批 注
知识与技能目标：

（1）掌握逻辑联结词“非”的含义
（2）正确应用逻辑联结词“非”解决问题
（3）掌握真值表并会应用真值表解决问题
过程与方法目标：
观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维能力中严密性品质的培
养．
情感态度价值目标：
激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
教学重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“非”的含义，使学生能正确地表述相关数
学内容.
教学难点：1、正确理解命题 “￢P”真假的规定和判定．
2、简洁、准确地表述命题 “￢P”.
教学用具： 多媒体
教学方法： 归纳，分析
教学过程：
1、思考、分析
问题1：下列各组命题中的两个命题间有什么关系？
（1） ①35能被5整除； ②35不能被5整除；
22
（2） ①方程x+x+1=0有实数根。 ②方程x+x+1=0无实数根。
学生很容易看到，在每组命题中，命题②是命题①的否定。

2、归纳定义
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p
读作“非p”或“p的否定”。

3、命题“￢p”与命题p的真假间的关系
命题“￢p”与命题p的真假之间有什么联系？
引导学生分析前面所举例子中命题p与命题￢ p的真假性，概括出这两个命题的真假之
间的关系的一般规律。
例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，命题①是真命题，而命题②是假命题。
第（2）组命题中，命题①是假命题，而命题②是真命题。
由此可以看出，既然命题￢P是命 题P的否定，那么￢P与P不能同时为真命题，也不
能同时为假命题，也就是说，
若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题；


p ￢P

真 假

假 真

4、命题的否定与否命题的区别
让学生思考：命题的否定与原命题的否命题有什么区别？ < br>命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否
定，因此在解 题时应分请命题的条件和结论。

例：如果命题p:5是15的约数，那么
命题￢p：5不是15的约数；
p的否命题：若一个数不是5，则这个数不是15的约数。
显然，命题p为真命题，而命题p的否定￢p与否命题均为假命题。

5.例题分析

例1 写出下表中各给定语的否定语。
若给定语为 等于 大于 是 都是
至多有一至少有
个 一个







其否定语分别为
分析：“等于”的否定语是“不等于”；
“大于”的否定语是“小于或者等于”；
“是”的否定语是“不是”；
“都是”的否定语是“不都是”；
“至多有一个”的否定语是“至少有两个”；
“至少有一个”的否定语是“一个都没有”；
例2 写出下列命题的否定，判断下列命题的真假
（1）p：y ＝ sinx 是周期函数；
（2）p：3＜2；
（3）p：空集是集合A的子集。
解略.

6.练习巩固：P218 练习第3题

7．小结
（１）正确理解命题 “￢P”真假的规定和判定．
（２）简洁、准确地表述命题 “￢P”.

．作业 P18：习题１.３Ａ组第3题





教学后记：
















课题：
1.4.1全称量词 1.4.2存在量词
第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标： 批 注

知识与技能目标
（1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词 的含义，熟悉常见的全称
量词和存在量词．
（2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义 ，并能用数学符号表示含有量词的命
题及判断其命题的真假性．
过程与方法目标
使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．
情感态度价值观
通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过
程中进行辩证唯物主 义思想教育．
教学重点：理解全称量词与存在量词的意义。
教学难点：全称命题和特称命题真假的判定.
教学用具： 多媒体
教学方法： 分析法，推理归纳
教学过程：
1．思考、分析
下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？
（1）2x＋１是整数；
(2) x＞３；
(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；
（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；
（5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教
科书；
（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；
（7）对所有的x∈Ｒ, x＞３；
（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。
1． 推理、判断
（让学生自己表述）
（1）、（2）不能判断真假，不是命题。
（3）、(4)是命题且是真命题。
（5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。
注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题
的反例涉及 到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。
（5）的真假就看命题：海师附中今 年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用
人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题 为真，所以命（5）为假；
命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．
命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如
x
＝2）， x＜３．
（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）
命题（8）是真命题。事实上不存在某个 x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。也可以说命题：
存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题．
3．发现、归纳
命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到 “所有的”“任意一个”
这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做 全称量
词，用符号“
?
”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。命题（5）－（ 8）都是
全称命题。
通常将含有变量
x
的语句用
p（x）， q（x），r（x），
……表示，变量
x
的取值范围
用
M
表 示。那么全称命题“对
M
中任意一个
x
，有
p（x）
成立” 可用符号简记为：
?
x?M
,

p（x）
，读做“对任意< br>x
属于
M
，有
p（x）
成立”。
刚才在判断命题（5）－（8）的真假的时候，我们还得出这样一些命题：
，
（5）存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；
，
（6）存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．
，
（7） 存在一个（个别、某些）实数x（如
x
＝2），使x≤３．（至少有一个x∈Ｒ, x

≤３）
，
（8）不存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数．
这些命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体
的一部分的词叫做存在 量词。并用符号“
?
”表示。含有存在量词的命题叫做特称命
，，
题（或存在 命题）命题（5）－（8）都是特称命题（存在命题）．
特称命题：“存在
M
中一个
x
，使
p（x）
成立”可以用符号简记为：
?x?M,p(x)。
读做“存在一个
x
属于
M
,使p（x）成立”．
全 称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等；存在量词相
当于日常语言中“ 存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“ 至多有一个”等.

4．练习、感悟
（1）下列全称命题中，真命题是：
A. 所有的素数是奇数； B.
?x?R,(x?1)f0
；
C.
?x?R,x?
2
1
?
1
?2
D.
?x?(0,),sinx??2

x2sinx
（2）下列特称命题中，假命题是：
?x?R,x
2
?2x?3?0
B.至少有一个
x?Z,x
能被2和3整除
2
C. 存在两个相交平面垂直于同一直线 D.
?x?{x|x是无理数},
x
是有理数．
1
?
（3）已知：对
?x?R,apx?
恒成立，则a的取值范围是 ；
x
?2
变式：已知：对
?x?R,x?ax?1p0
恒成立，则 a的取值范围
A.
是 ；
（4）求函数
f(x)??cosx?sinx?3
的值域；
变式：已知： 对
?x?R,
方程
cosx?sinx?3?a?0
有解，求a的取值范围．

5．作业、探究
（1）作业：P
26
习题1.4A组1、2题：
判断下列全称命题的真假：
①末位是o的整数，可以被5整除；
②线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
③负数的平方是正数；
④梯形的对角线相等。
（2）判断下列特称命题的真假：
①有些实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有些菱形是正方形。
（3）探究：
，，
①请课后探究命题（5）－（8）跟命题（5）－（8）分别有什么关系？
②请 你自己写出几个全称命题，并试着写出它们的否命题．写出几个特称命题，
并试着写出它们的否命题。

教学后记：




课题：
1．4．3含有一个量词的命题的否定
第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标： 批 注
2
2

知识与技能目标
（1）通过探究数学中一些实例，使学 生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定
在形式上的变化规律．
（2）通过例题和习题 的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形
式上的变化规律，正确地对含有一个量词 的命题进行否定．
过程与方法目标
使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．
情感态度价值观
通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过
程中进行辩证唯物主 义思想教育．
教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会< br>正确地对含有一个量词的命题进行否定．
教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．
教学用具： 多媒体
教学方法： 推理归纳
教学过程：
1．回顾
我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”．对给定的命题p ，如何得到命题p 的
否定（或非p ），它们的真假性之间有何联系？
2．思考、分析
判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
2
（3）?x∈R, x－2x＋1≥0。
（4）有些实数的绝对值是正数；
（5）某些平行四边形是菱形；
2
（6）? x∈R, x＋1＜0。

3．推理、判断
你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
（让学生自己表述）
前三个命题都是全称命题，即具有形式“
?x?M,p(x)
”
。
其中命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，
存在一个矩形不都是平行四边形；
命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数；”，也就是说，
存在一个素数不是奇数；
2
命题（3）的否定是“并非?x∈R, x－2x＋1≥0”，也就是说，
2
?x∈R, x－2x＋1＜0；
后三个命题都是特称命题，即具有形式“
?x?M,p(x)
”。
其中命题（4）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，
所有实数的绝对值都不是正数；
命题（5）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，
每一个平行四边形都不是菱形；
2
命题（6）的否定是“不存在x∈R, x＋1＜0”，也就是说，
2
?x∈R, x＋1≥0；

4．发现、归纳
从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题。后三个特称命题的否定都变成了全称命题。
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题P：
?x?M,p(x)

它的否定￢P
?x?M,p(x)

特称命题P：
?x?M,p(x)
它的否定￢P：?x∈M，￢P(x)
全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。


5．练习、感悟
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：
（１） p：所有能被3整除的整数都是奇数；
（２） p：每一个四边形的四个顶点共圆；
2
（３） p：对?x∈Z，x个位数字不等于3；
2
（４） p：? x∈R, x＋2x＋2≤0；
（５） p：有的三角形是等边三角形；
（６） p：有一个素数含三个正因数。

6．小结与作业
（1）小结：如何写出含有一个 量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式
上有什么变化？
（2）作业：P
26
习题1.4A组第3题：B组（1）（2）（3）（4）



教学后记：






















课题：
第一章小结与复习（1）



第 课时 总序第 个教案

课型： 复习课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：了解命题的概念，会判断命题的真假；掌握四种命题及其关系；掌握充分、批 注
必要、充要条件；理解“或”，“且”，“非”三个逻辑联结词；掌握全称量词与存在量词
及所对应的全称命题与特称命题。

教学重点：掌握四种命题及其关系；掌握充 分、必要、充要条件；理解“或”，“且”，
“非”三个逻辑联结词；掌握全称量词与存在量词及所对应 的全称命题与特称命题。
教学难点：掌握四种命题及其关系；掌握充分、必要、充要条件；理解“或” ，“且”，
“非”三个逻辑联结词；掌握全称量词与存在量词及所对应的全称命题与特称命题。
教学用具： 多媒体
教学方法： 讲练结合法
教学过程：
知识点一 四种命题间的关系

判断下列命题的真假．
(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；
(2)若0(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．
解 (1)若x∈A∪B，则x∈B是假命题，故其逆否命题为假，
逆命题为若x∈B，则x∈A∪B，为真命题．
(2)∵0∴0≤|x－2|<3.
原命题为真，故其逆否命题为真．
否命题：若x≤0或x≥5，则|x－2|≥3.
115
例如当x＝－，|－－2|＝
<3.
222
故否命题为假．
(3)原命题：a，b为非零向量，a⊥b?a·b＝0为真命题．
逆命题：若a，b为非零向量，a·b＝0?a⊥b为真命题．
否命题：设a，b为非零向量，a不垂直b?a·b≠0也为真．


知识点二 充要条件及其应用

已知关于x的方程(1－a)x< br>2
＋(a＋
2)x－4＝0，a∈R，求方程有两正根的充要条件．
解 方程 (1－a)x
2
＋(a＋2)x－4＝0有两个实根的充要条件是
??
?1－a≠0
?
a≠1，
?
?

?
2
? ?
?
(a＋2)
＋16(1－a)≥0
?
a≤2，或a≥10，即a≥10，或a≤2，且a≠1.
设此时方程的两实根为x
1
、x
2
，有两个正根的充要条件是：

?
a≤2，或a≥10
?
x＋x>0
?
x·x >0
12
12
a≠1

?
a≤2，或a≥10
?< br>a＋2
?
?
>0
a－1
?
4
>0
?
a－1
a≠1

?1即方程有两个正根的充要条件是1 x，y是实数，且“xy>0”是“|x
＋y|＝|x|＋|y|”的( )
A．充分不必要条件

B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 由xy>0知x，y同号，则有|x＋y|＝|x|＋|y|.
即xy>0?|x＋y|＝|x|＋|y|；
反之，则不一定成立，例如，x＝0，y＝－3 ，则|x＋y|＝|x|＋|y|成立，但是xy>0不
成立，
即|x＋y|＝|x|＋|y|D?xy>0.
答案 A


知识点三 逻辑联结词的应用

设命题p：函数f(x)＝
1
a x
2
－x＋a
?
的定义域为R；命题q：不等式2x＋1<1＋ax对一切正 实数均成立．如lg
?
16
??
果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题 ，求实数a的取值范围．
1
解 p：由ax
2
－x＋
a≥0恒成立得
16
?
a>0
?
?
，∴a≥2.
a
Δ＝ 1－4×a×
≤0
?
?
16
q：由
令t＝
t
2
－1
2x＋1>1，则x＝，
2

2x＋1<1＋ax对一切正实数均成立，
t
2
－1
∴t<1＋a
，∴2(t－1)2
－1)对一切t>1均成立．
2
2
∴2
，∴a>1.
t＋1
p或q为真，p且q为假，则p与q一真一假．
若p真q假，a≥2且a≤1不存在．
若p假q真，则a<2且a>1，∴1故a的取值范围为：1

知识点四 全称命题与特称命题

在下列四个命题中，真命题的个
数是( )
①?x∈R，x
2
＋x＋3>0；
11
②?x∈Q，x
2
＋x＋1是有理数；
32
③?α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；
④?x
0
，y
0
∈Z，使3x
0
－2y
0
＝10.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11111
解析 ①中x
2
＋x＋3＝(x＋
)
2
＋
≥>0，
244
故①是真命题．
11
②中x∈Q，x
2
＋
x＋1一定是有理数，故②是真命题．
32
ππ
③中α＝
，β＝－时，
44
sin(α＋β)＝0，sinα＋sinβ＝0，故③是真命题．
④中x
0
＝4，y
0
＝1时，
3x
0
－2y
0
＝10成立，故④是真命题．
答案 D

课堂练习：
1．(济南模拟)给出如下三个命题：①四个实数a、b、c、d依次 成等比数列的必要
而不充分条件是ad＝bc；②命题“若x≥2且y≥3，则x＋y≥5”为假命题； ③若p∧q
为假命题，则p、q均为假命题．其中不正确的命题序号是( )
A．①②③ B．①② C．②③ D．③
解析 ① a、b、c、d成等比数列能推出ad＝bc，但是ad＝bc并不能推出a、b、c、
d依次成等比数 列，故①是真命题；②命题为假命题；③p∧q为假命题，则p、q皆为
假命题，或者p、q中一个为假 命题，一个为真命题．
答案 C
2．(潍坊模拟)给出下列四个命题：
①若x，y∈R，则|x＋y|≤|x|＋|y|；
②“a<2”是函数“f(x)＝x
2
－ax＋1无零点”的充分不必要条件； ③若向量p＝e
1
＋e
2
，其中e
1
，e
2< br>是两个单位向量，则|p|的取值范围是[0,2]；

④命题“若lgx>lgy，则x>y”的逆命题．
其中正确的命题是( )
A．①② B．①③ C．③④
D．①②③
解析 ①正确；②取a＝－4，则f(x)＝x
2
＋4x＋1， 其判别式Δ＝16－4＝12>0，∴f(x)
有零点，②不正确；③|p|＝|e
1
＋e
2
|＝
2
e
2
e
2
＝
1＋e
2
＋2e
1
·1＋1＋2cos〈e
1
，e
2
〉.
∵－1≤cos〈e
1
，e
2
〉≤1，∴0≤|p|≤2，
∴③正确；④的逆命题是“若x>y，则lgx>lgy”．取x＝1，y＝0知④不正确．
答案 B



作业布置：复习参考题第4，5题



教学后记：
















课题：
第一章小结与复习（2）



第 课时 总序第 个教案

课型： 练习课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：
了解命题的概念，会判断命题的真假；掌握四种命题及其关系；掌握充分、必要、充要
条件；理解“或 ”，“且”，“非”三个逻辑联结词；掌握全称量词与存在量词及所对应的
全称命题与特称命题。 教学重点：掌握四种命题及其关系；掌握充分、必要、充要条件；理解“或”，“且”，
“非”三个 逻辑联结词；掌握全称量词与存在量词及所对应的全称命题与特称命题。
教学难点：掌握四种命题及其 关系；掌握充分、必要、充要条件；理解“或”，“且”，
“非”三个逻辑联结词；掌握全称量词与存在 量词及所对应的全称命题与特称命题。
教学用具： 多媒体
教学方法： 讲练结合法
教学过程：
批 注

一、选择题
1．全称命题“?x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是( )
A．若2x＋1是整数，则x∈Z
B．若2x＋1是奇数，则x∈Z
C．若2x＋1是偶数，则x∈Z
D．若2x＋1能被3整除，则x∈Z
答案 A
2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )
1
A．有一个α，使tan(90°－α)＝
tanα
π
B．存在实数x，使sinx＝
2
C．对一切α，sin(180°－α)＝sinα
D．sin15°＝sin60°cos45°－cos60°sin45°
答案 A
3．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p
是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
4．下列四个条件中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：a>b，q：a
2
>b
2
B．p：a>b，q：2
a
>2
b

π
C．p：α＝，q：tanα＝1 D．p：x
2
>4，q：x>3
4
答案 D
5．与命题“若x∈A，则y?A”等价的命题是( )
A．若x?A，则y?A B．若y?A，则x∈A
C．若x?A，则y∈A D．若y∈A，则x?A
答案 D
解析 原命题与它的逆否命题为等价命题．故选D.
6．对于命题“我们班学生都是团员”，给出下列三种否定：
①我们班学生不都是团员；
②我们班有学生不是团员；
③我们班学生都不是团员．
正确答案的序号是( )
A．①② B．①②③ C．①③ D．②③
答案 A < br>5
7．已知命题p：?x∈R，使sinx＝；命题q：?x∈R，都有x
2
＋ x＋1>0.给出下
2
列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③ 命题“綈p∨q”
是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是( )
A．②④ B．②③
C．③④ D．①②③
答案 B
解析 因p为假命题，q为真命题，故綈p真，綈q假；所以p∧q假 ，p∧綈q假，
綈p∨q真，綈p∨綈q真．
8．已知命题p、q，则“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
9．已知：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不 同的平面，其中m?α，n?β.
命题p：若α∥β，则m∥n的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中 正确命题的个数是
( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
答案 A
解析 原命题为假命题；逆命题：若m∥n，则α∥β，为假命题；否命题：若αD ∥β，
则mD∥n，为假命题；逆否命题：若mD∥n，则αD∥β，为假命题．
10．下列说法错误的是( )
A．命题“若x
2
－4x＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题：“若x≠3，则x
2
－4x＋3≠0”
B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件
C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题
D．命题p：“?x∈R，使得x
2< br>＋x＋1<0”，则綈p：“?x∈R，均有x
2
＋x＋1≥0”
答案 C

二、填空题
11．设x，y∈R，命题p：|x－y|<1，命题q：|x|<| y|＋1，则p是q的________条件。
答案 充分不必要条件
解析 由绝对值不等式的运算性质可得：|x|－|y|≤|x－y|<1，即：|x|－|y|<1， 所以|x|<|y|
＋1，即由命题p可以推出命题q，而由命题q不能推出命题p，故选A.
12．命题“?x∈{正实数}，使x答案 假
13．若|x－1|0)，则a， b之间的关系是________．
答案 a≥b
解析 由题意可知|x－1|14．命题“ 在△ABC中，如果∠C＝90°，那么c
2
＝a
2
＋b
2
”的逆否命题是
__________________________________．
答案 在△ABC中，若c
2
≠a
2
＋b
2
，则∠C≠90° < br>15．若M、N为非空集合，且MN，则“a∈M或a∈N”是“a∈(M∩N)
的”_____ ___________条件．
答案 必要不充分

三、解答题
16． (1)当c<0时，若ac>bc，则a并分别判断 真假；
(2)p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形，请
写出“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题．
解 (1)逆命题：当c<0时，若abc(真命题)
否命题：当c<0时，若ac≤bc，则a≥b(真命题)
逆否命题：当c<0时，若a≥b，则ac≤bc(真命题)．
(2)p或q：对角线互相垂直的四边形或对角线互相平分的四边形是菱形．
p且q：对角线互相垂直的四边形且对角线互相平分的四边形是菱形．
非p：对角线互相垂直的四边形不是菱形．

17．分别写出由下列各组命题构成的 “p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的复合命
题，并判断它们的真假．
(1)p：平行四边形对角线相等；
q：平行四边形的对角线互相平分；
(2)p：方程x
2
－16＝0的两根的符号不同；
q：方程x
2
－16＝0的两根的绝对值相等．
解 (1)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相平分．
p∧q：平行四边形的对角线相等且互相平分．
綈p：平行四边形的对角线不相等．

由于p假q真，所以p或q为真，p且q为假，非p为真．
(2)p∨q：方程x
2
－16＝0的两根符号不同或绝对值相等．
p∧q：方程x
2
－16＝0的两根符号不同且绝对值相等．
綈p：方程x
2
－16＝0的两根符号相同．
由于p真q真，所以p∨q、p∧q均为真，綈p为假．

18．在一次模拟打飞机 的游戏中，小王接连射击两次，设命题p是“第一次击中飞
机”，命题q是“第二次击中飞机”，试用p 、q以及逻辑联结词表示下列命题：
(1)命题s：两次都击中飞机；
(2)命题r：两次都没有击中飞机；
(3)命题t：恰有一次击中飞机；
(4)命题u：至少有一次击中飞机．
解 (1)命题s：p∧q；(2)命题r：(綈p)∧(綈q)；
(3)命题t：(p∧綈q)∨(綈p∧q)；(4)命题u：p∨q.

19．设 α、β是方程x
2
－ax＋b＝0的两个实根，试分析“a>2且b>1”是“α、β均
大于1”的什么条件？
解 根据韦达定理，得a＝α＋β，b＝αβ.
?
a>2
?
α>1
判定条件是p：
?
，结论是q：
?
(还要 注意条件中满足Δ＝a
2
－4b≥0)．
?
b>1
?
β> 1
?
α>1
(1)由
?
得a＝α＋β>2，b＝αβ>1，所以q? p；
?
β>1


(2)为了证明pD?q，可以举反例：
11
取α＝4，β＝，它满足a＝α＋β＝4＋
>2，
22
1
b＝αβ＝4×
＝2>1，且满足Δ>0，
2
但q不成立．由上述讨论可知：a>2且b>1是α>1，β>1的必要不充分条件．

20．(12分)已知p：a＝0，q：直线l
1
：x－2ay－1＝0与 直线l
2
：2x－2ay－1＝0平
行，求证：p是q的充要条件．
1
证明 (1)当a＝0时，l
1
：x＝1，l
2
：x＝
，
2所以l
1
∥l
2
，即由“a＝0”能推出“l
1
∥l< br>2
”．
(2)当l
1
∥l
2
时，若a≠0， 111111
则l
1
：y＝x－
，l
2
：y＝x－，所以＝，无解．
2a2aa2a2aa
1
若a＝0，则l
1
：x＝1，l
2
：x＝
，
2
显然l
1
∥l
2
，即由“l
1
∥l
2
”能推出“a＝0”．
综上所述 a＝0?l
1
∥l
2
，所以“a＝0”是“l
1
∥l
2
”的充要条件．

21．给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x
2
＋(a－1)x＋a
2
≤0的解集为?，
命题乙：函数y＝(2a
2
－a)
x
为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的范围．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
解 甲命题为真时，Δ＝(a－1)
2
－4a
2
<0，

1
即a>或a<－1.
3
1
乙命题为真时，2a
2
－a>1，即a>1或a<－
.
2
(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，
11
∴a的取值范围是{a|a<－
或a>
}．
23
(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：
1
甲真乙假时，
3
1
甲假乙真时，－1≤a<－，
2
∴甲、乙中有且只有一个真命题时a的取值范围为
11
{a|32



教学后记：

第二章 圆锥曲线与方程

课题：
2.1曲线与方程(1)
第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标： 批 注
(一)知识教学点

使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．
(二)能力训练点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能
力．
(三)学科渗透点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹， 为学习物理
等学科打下扎实的基础．
教学重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．
教学难点：作相关点法求动点的轨迹方法．
教学用具： 圆规，三角板
教学方法：提问、讲解方法、演板、小测验．
教学过程：
(一)复习引入
大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：
(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
(2)通过方程，研究平面曲线的性质．
我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上
面已经研 究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统
分析．

(二)几种常见求轨迹方程的方法
1．直接法
由题设所给(或通过分析图形的几何 性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再
用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫 直接法．

例1(1)求和定圆x
2
+y
2
=k
2
的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；
(2)过点A(a，o)作圆O∶x
2
+y
2
=R
2
(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点< br>的轨迹．
对(1)分析：
动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出 了动点P的运动规律：|OP|=2R
或|OP|=0．
解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．
即x
2
+ y
2
=4R
2
或x
2
+y
2
=0． 故所求动点P的轨迹方程为x
2
+y
2
=4R
2
或x< br>2
+y
2
=0．
对(2)分析：
题设中没有具体给出动点 所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，
即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜 率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：
设弦的中点为M(x，y)，连结OM，
则OM⊥AM．
∵k
OM
·k
AM
=-1，

其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．
2．定义法 < br>利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动
点的轨迹方 程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距
离之和或差为定值的条件，或 利用平面几何知识分析得出这些条件．

直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方
程．

分析：
∵点P在AQ的垂直平分线上，
∴|PQ|=|PA|．
又P在半径OQ上．
∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．
故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义
写出P点的轨迹方程．
解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．
又P在半径OQ上．
∴|PO|+|PQ|=2．

由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．


(三)巩固练习
用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出．
1．△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的

2． 点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨
迹方程，并说明轨迹是什么图形？


答案：

义法)


(四)小结
求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待 定系数法，还有参数法、复
数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作 介绍．

（五）布置作业
1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程．
2． 动点P到点F
1
(1，0)的距离比它到F
2
(3，0)的距离少2，求P点 的轨迹．


作业答案：
1．以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB 的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
得点M的轨迹方程x
2
+y
2
=4
2．∵|PF
2
|-|PF|=2，且|F
1
F
2< br>|∴P点只能在x轴上且x＜1，轨迹是一条射线



教学后记：

课题：
2.1曲线与方程(2)
第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标： 批 注
(一)知识教学点

使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．
(二)能力训练点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能
力．
(三)学科渗透点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹， 为学习物理
等学科打下扎实的基础．
教学重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．
教学难点：作相关点法求动点的轨迹方法．
教学用具： 三角板，圆规
教学方法：提问、讲解方法、演板、小测验．
教学过程：
(一)复习引入
大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：
(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
(2)通过方程，研究平面曲线的性质．
我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上
面已经研 究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统
分析．

(二)几种常见求轨迹方程的方法
3．相关点法
若动点P(x，y)随已知曲线上 的点Q(x
0
，y
0
)的变动而变动，且x
0
、y
0
可用x、y表示，
则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称 为相关点
法(或代换法)．
例3 已知抛物线y
2
=x+1，定点A(3 ，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB
上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动 时，求点P的轨迹方程．
分析：
P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B
的联系．
解：设点P(x，y)，且设点B(x
0
，y
0
)

∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．

4．待定系数法
求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．

例4 已知抛物线y
2
=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲

曲线方程．
分析：
因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方


ax
2
-4b
2
x+a
2
b
2
=0
∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因
此方程ax
2
-4b
2
x+a
2
b
2
=0应有等根． ∴△=166
4
-4Q
4
b
2
=0，即a
2< br>=2b．
(以下由学生完成)

由弦长公式得：

即a
2
b
2
=4b
2
-a
2
．


(三)巩固练习
用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出．
3．求抛物线y
2
=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程．
答案：


由中点坐标公式得：

(四)小结
求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法， 还有参数法、复
数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍．


（五）布置作业
3.已知圆x
2
+y
2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，
求动 点P的轨迹方程．
作业答案：






教学后记：

课题：
2.2.1椭圆及其标准方程（1）
第 课时 总序第 个教案
课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：
◆ 知识与技能目标
理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解 椭圆标准
方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程
的一般方法
．
◆ 过程与方法目标
通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭 圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，
是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；已知几何图形建立直角 坐标系的两个原
则，及引入参量
b?
批 注

a
2< br>?c
2
的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐
美。
◆ 情感、态度与价值观目标
会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来 思
考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，
培养 学生的辩证思维能力．
教学重点：理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题。
教学难点：理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法。
教学用具： 多媒体，三角板
教学方法： 推导，分析
教学过程：
一、课前准备
（预习教材P
38
~ P
40
）
复习1：过两点
(0,1)
,
(2,0)
的直线方程 ．
复习2：方程
(x?3)
2
?(y?1)
2
?4
表示以 为圆心, 为半径的 ．

二、新课导学
※ 学习探究

取一条定长的细绳，
把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔， 拉紧绳子，移动笔尖，这时笔
尖画出的轨迹是一个 ．
如果把细绳的两端拉开一段距 离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳
子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

P
思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

F
1
F
2

经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖
等于常数．

新知１： 我们把平面内与两个定点F
1
,F
2
的距离之和等于常数（大于
F
1
F
2
）的点的轨
迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦 距 ．

反思：若将常数记为
2a
，为什么
2a?F
1
F
2
？
当
2a?F
1
F
2
时，其轨迹为 ；
当
2a?F
1
F
2
时，其轨迹为 ．

试试：

已知
F
1
(?4,0)
，F
2
(4,0)
，到
F
1
，
F
2两点的距离之和等于8的点的轨迹
是 ．

小结：应用椭圆的定义注意两点：
①分清动点和定点；
②看是否满足常数
2a?F
1
F
2
．
新知２：焦点在
x
轴上的椭圆的标准方程
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
其中
b
2
?a
2
?c
2

2
ab
若焦点在
y
轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程
是 ．

※ 典型例题

例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴
a?4,b?1
，焦点在
x
轴上；
⑵
a?4,c?15
，焦点在
y
轴上；
⑶
a?b?10,c?25
．




x
2
y
变式：方程
??1
表示焦点在
x
轴上的椭圆 ，则实数
m
的范围 ．
4m

小 结：椭圆标准方程中：
a
2
?b
2
?c
2
；
a?b
．

?
53
?
例2 已知椭圆两个焦 点的坐标分别是
?
?2,0
?
，
(2,0)
，并且经过点< br>?
,?
?
，求它的标
?
22
?
准方程 ．



变式：椭圆过点
?
?2,0
?
，
(2,0)
，
(0,3)
，求它的标准方程．



小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．


※ 动手试试

x
2
练1. 已知
?ABC
的顶点
B< br>、
C
在椭圆
?y
2
?1
上，顶点
A
是椭圆的一个焦点，且椭
3
圆的另外一个焦点在
BC
边上，则
?AB C
的周长是（ ）．
A．
23
B．6 C．
43
D．12

x
2
y
练2 ．方程
??1
表示焦点在
y
轴上的椭圆，求实数
m
的范围．
9m




三、总结提升

※ 学习小结

1. 椭圆的定义：
彗星
2. 椭圆的标准方程：
太阳

※ 知识拓展

1997年初，中国科学院紫金山天文台发布 了一条消息，从1997年2月中旬起,海
尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去, 并预测3000年后,它还将光临
地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文 学家是如何计算出彗
星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运 行
中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的
周长．
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）．
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1．平面内一动 点
M
到两定点
F
1
、
F
2
距离之和为常数
2a
，则点
M
的轨迹为（ ）．
A．椭圆 B．圆
C．无轨迹 D．椭圆或线段或无轨迹
2．如果方程
x< br>2
?ky
2
?2
表示焦点在
y
轴上的椭圆，那么实数
k
的取值范围是（ ）．
A．
(0,??)
B．
(0,2)

C．
(1,??)
D．
(0,1)

x
2
y
2
3．如果椭圆那么点< br>P
到另一个焦点
F
2
的
??1
上一点
P到焦点
F
1
的距离等于6，
10036
距离是（ ）．
A．4 B．14 C．12 D．8
4．椭圆两焦点间的距 离为
16
，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于
9
和
15
，则椭
圆的标准方程
是 ．
5．如果 点
M(x,y)
在运动过程中，总满足关系式
x
2
?(y?3)2
?x
2
?(y?3)
2
?10
，点
M
的轨迹是 ，它的方程是 ．

课后作业

1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在
x
轴上，焦距等于< br>4
，并且经过点
P3,?26
；
⑵焦点坐标分别为
?
0,?4
?
,
?
0,4
?
，
a?5
；
⑶
a?c?10,a?c?4
．


x
2
y
2
2. 椭圆
??1
的焦距为
2
，求
n
的值．
4n

教学后记：






??

课题：
2.2.1椭圆及其标准方程（2）
第 课时 总序第 个教案
课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：
◆ 知识与技能目标
理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解 椭圆标准
方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程
的一般方法
．
◆ 过程与方法目标
通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭 圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，
是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；已知几何图形建立直角 坐标系的两个原
则，及引入参量
b?
批 注

a
2< br>?c
2
的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐
美。
◆ 情感、态度与价值观目标
会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来 思
考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，
培养 学生的辩证思维能力．
教学重点：理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题。
教学难点：理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法。
教学用具： 多媒体，三角板
教学方法： 推导，分析
教学过程：
一、课前准备
（预习教材P
41
~ P
42
）
x
2
y
2
复习1：椭圆上
??1
一点
P
到椭圆的左焦点
F
1
的距离为
3
，则
P
到椭圆右焦点
F
2< br>259
的距离是 ．

复习2：在椭圆的标准方程中,a?6
,
b?35
,则椭圆的标准方程
是 ．

二、新课导学
※ 学习探究

问题：圆
x
2
?y
2
?6x?5?0
的圆心和半径分别是什么?

问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；

反之,到点
(?3,0)
的距离等于
2
的所有点都在圆 上．

※ 典型例题

例1在圆
x
2
?y
2
?4
上任取一点
P
，过点
P
作
x
轴的 垂线段
PD
，
D
为垂足.当点
P
在圆
上运动时，线 段
PD
的中点
M
的轨迹是什么？

变式： 若点
M
在
DP
的延长 线上，且
DM3
?
，则点
M
的轨迹又是什么？
DP2




小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（ 纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短
就可得到椭圆．

例2设点
A, B
的坐标分别为
?
?5,0
?
,
?
5,0
?
，.直线
AM,BM
相交于点
M
，且它们的斜率
4
之积是
?
，求点
M
的轨迹方程 ．
9





变式：点
A,B
的坐标是
?
?1, 0
?
,
?
1,0
?
，直线
AM,BM
相交 于点
M
，且直线
AM
的斜率与
直线
BM
的斜率的商 是
2
，点
M
的轨迹是什么？






※ 动手试试

练1．求到定点
A
?
2,0
?
与到定直线
x?8
的距离之比为
2
的动点的轨迹方 程．
2


练2．一动圆与圆
x
2
?y
2
?6x?5?0
外切，同时与圆
x
2
?y
2
?6 x?91?0
内切，求动圆
圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．




三、总结提升
※ 学习小结

1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；

②相关点法：寻求点
M
的坐标
x,y
与中间
x
0
,y
0
的关系，然后消去
x
0
,y
0
，得到点
M
的轨迹方程．


※ 知识拓展

椭圆的第二定义：
到定点
F
与到定直线
l
的距离的比是常数
e
(0?e?1)
的点的轨迹．
定点
F
是椭圆的焦点；
定直线
l
是椭圆的准线；
常数
e
是椭圆的离心率．

学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1．若关于
x,y
的方程
x
2
sin
?
?y
2
cos
?
?1
所表示的曲线是椭圆，则
?
在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若
?ABC< br>的个顶点坐标
A(?4,0)
、
B(4,0)
，
?ABC的周长为
18
，则顶点C的轨迹方
程为（ ）．
x
2
y
2
y
2
x
2
x
2
y
2
A．
??1
B．
??1

(y?0)
C．
??1
(y?0)

259259169
x
2
y
2
D．
??1
(y?0)

259
4
3．设定点
F
1
(0,?2)
，
F
2
(0,2)
，动点
P
满足条件
PF
1
?PF
2
?m?
则点
P
的
(m?0)
，
m
轨迹是（ ）．
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
4．与
y
轴相切且和半圆
x
2
?y
2
?4(0?x?2)
内切的动圆圆心的轨迹方程
是 ．
5. 设
F
1
,F
2
为定点，|
F
1
F
2
|=
6
，动点
M
满足
|MF
1
|?|MF
2
|?6
，则动点
M
的轨迹
是 ．

课后作业

1．已知三角形
VABC
的一边长为
6
，周长为
16
，求顶点
A
的轨迹方程．




2．点
M
与定点
F(0,2)
的距 离和它到定直线
y?8
的距离的比是
1:2
，求点的轨迹方程
式，并 说明轨迹是什么图形．





教学后记：

课题：
2．2．2 椭圆的简单几何性质（1）
第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：
◆ 知识与技能目标
了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴 ，对称中
心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过
例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定
义
．
◆ 过程与方法目标
椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称 性、顶
点和离心率，让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学
的兴 趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．
◆ 情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学 氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现
共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教 学内容，培养学生科学探索精神、审美
观和科学世界观，激励学生创新．
教学重点：了解用 方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，
对称中心、离心率、顶点的概念。
教学难点：掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的
第二定义 ，准线及焦半径的概念。
教学用具： 三角板，圆规等
教学方法： 探究，讨论
教学过程：
一、课前准备
（预习教材P
43
~ P
46
）
x
2
y
2
复习1： 椭圆
?? 1
上一点
P
到左焦点的距离是
2
，那么它到右焦点的距离
1 612
是 ．

x
2
y
2
复习2：方程
?

?1
表示焦点在
y
轴上的椭圆，则
m
的取值范围是 ．
5m

二、新课导学
※ 学习探究
x
2
y< br>2
问题1：椭圆的标准方程
2
?
2
?1
(a?b?0 )
，它有哪些几何性质呢？
ab
y
2
x
2
试试： 椭圆
??1
的几何性质呢？
169
图形：



范围：

对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；

顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；

长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；

批 注

离心率：刻画椭圆 程度．
cc
椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率，记
e?
，且
0?e?1
．
aa
bc
反思：或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？
ab

※ 典型例题

例1 求椭圆
16x
2
?25y
2
?400
的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．



变式：若椭圆是
9x
2
?y
2
?81
呢？



小结：①先化为标准方程，找出
a,b
，求出
c
；
②注意焦点所在坐标轴．
254
例2 点< br>M(x,y)
与定点
F(4,0)
的距离和它到直线
l:x?
的距离的比是常数，求点
45
M
的轨迹．





小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆 ．

※ 动手试试

练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
1
⑴焦点在
x
轴上，
a?6
，
e?
； < br>3
3
⑵焦点在
y
轴上，
c?3
，
e?
；
5
⑶经过点
P(?3,0)
，
Q(0,?2)
；
3
⑷长轴长等到于
20
，离心率等于．
5





三、总结提升
※ 学习小结

1 ．椭圆的几何性质：
图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；

2 ．理解椭圆的离心率．

※ 知识拓展

（数学与生活）已知水平地面上有 一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆，
且篮球与地面的接触点是椭圆的焦点．

学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

10
x
2
y
2
1．若椭圆
?
，则
m
的值是（ ）．
?1
的离心率
e?
5
5m
515
25
A．
3
B．
3
或 C．
15
D．
15
或
3
3
2．若椭圆经过原点，且焦点分别为
F< br>1
(1,0)
，
F
2
(3,0)
，则其离心率为（ ）．
3211
A． B． C． D．
4324
2
3．短轴长为
5
，离心率
e?
的椭圆两焦点为
F
1
,F
2
，过
F
1
作直线交椭圆于
A,B
两点，
3
则
?ABF
2
的周长为（ ）．
A．
3
B．
6
C．
12
D．
24

x
2
y
2
4．已知点
P
是椭圆
?
且以点
P
及焦点
F
1
,F
2< br>为顶点的三角形的面积
?1
上的一点，
54
等于
1
， 则点
P
的坐标是 ．
5． 某椭圆中心在原点，焦点在
x
轴上，若长轴长为
18
，且两个焦点恰好将长轴 三等分，
则此椭圆的方程是 ．

课后作业

1．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？
x
2
y
2
22
⑴
9x?y?36
与
??1
；
1612
x
2
y
2
22
⑵
x?9y?36
与
??1
．
610



2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴经过点
P(?22,0)
，
Q(0,5)
；
⑵长轴长是短轴长的
3
倍，且经过点
P(3,0)
；
⑶焦距是
8
，离心率等于
0.8
．







教学后记：

课题：
2．2．2 椭圆的简单几何性质（2）
第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：
◆ 知识与技能目标
了解用方程的 方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中
心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆 的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过
例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用 信息技术初步了解椭圆的第二定
义
．
◆ 过程与方法目标
椭圆的简单几何 性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶
点和离心率，让学生参与并掌握利用信息 技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学
的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．
◆ 情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实 现
共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美
观和科学 世界观，激励学生创新．
教学重点：了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性 及对称轴，
对称中心、离心率、顶点的概念。
教学难点：掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定 义解决实际问题；通过例题了解椭圆的
第二定义，准线及焦半径的概念。
教学用具： 三角板，圆规等
教学方法： 探究，讨论
教学过程：
一、课前准备
（预习教材P
46
~ P
48
）
x
2
y
2
复习1： 椭圆
?
（ ） ；长轴长 、短轴
?1
的焦点坐标是（ ）
1612
长 ；离心率 ．

复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？

二、新课导学
※ 学习探究
问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？
问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？
反思：点与椭圆的位置如何判定？
※ 典型例题

例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋 转一周形成的曲
面）的一部分．过对称轴的截口
BAC
是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆 的一个焦点
F
1
上，
片门位于另一个焦点
F
2
上， 由椭圆一个焦点
F
1
发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集
中到另一个焦点< br>F
2
，已知
BC?F
1
F
2
，
F< br>1
B?2.8cm
，
F
1
F
2
?4.5c m
，试建立适当的坐标系，求截口
BAC
所
批 注

在椭圆的方程．




变式：若图形的开口向上，则方程是什么？

小结：①先化为标准方程，找出
a,b
，求出
c
；
②注意焦点所在坐标轴．

x
2
y
2
（理）例2 已知椭圆
??1
，直线
l
：
259
4x?5y?40?0
。椭圆上是否存在一点，它到直线
l
的距离最小？最小距离是多少？





变式：最大距离是多少？


※ 动手试试
练1已知地球运行的轨道是长半轴长
a?1.50?10
8
km
，离心率
e?0.0192
的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求 地球
到太阳的最大和最小距离．




x
2< br>练2．经过椭圆
?y
2
?1
的左焦点
F
1
作 倾斜角为
60
o
的直线
l
，直线
l
与椭圆相交于< br>2
A,B
两点，求
AB
的长．




三、总结提升
※ 学习小结

1 ．椭圆在生活中的运用；
2 ．椭圆与直线的位置关系：
相交、相切、相离（用
?
判定）．

※ 知识拓展

直线与椭圆相交，得到弦，
2
弦长l?1?k
2
x
1
?x
2
?(1?k
2
)
?
?
x
1
?x
2
?
?4x
1
x
2
?

??
其中
k
为直线的斜率，(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)< br>是两交点坐标．



学习评价

x
2
y
2
1．设
P
是椭圆 ．
??1< br>，
P
到两焦点的距离之差为，则
?PF
1
F
2
是（ ）
1612
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2．设椭圆的两个焦点分别为F
1
、
、F
2
，过F
2
作椭圆长轴的垂线交椭圆于点
P
，若△F
1
PF
2
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）．
22?1
A. B. C.
2?2
D.
2?1

22

x
2
y
2
3 ．已知椭圆
??1
的左、右焦点分别为
F
1
,F
2
，点P在椭圆上，若P、F
1
、F
2
是一
169
个直角三角 形的三个顶点，则点P到
x
轴的距离为（ ）．
97
9
9
A. B. 3 C. D.
7
4
5
4．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为 ．
x
2
y
2
5．椭圆
??1
的焦点分别是
F
1
和
F
2
，过原点
O
作直线与椭圆相交于A,B
两点，若
4520
?ABF
2
的面积是
20，则直线
AB
的方程式是 ．


课后作业

x
2
y
2
1． 求下列直线
3x?10y?25?0
与椭圆
??1
的交点坐标．
254




x
2
y
2
3
2．若椭圆
??1
，一组平行直线的斜率是
49
2
⑴这组直线何时与椭圆相交？
⑵当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？







教学后记：


















课题：椭圆的第二定义

第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：
知识目标：椭圆第二定义、准线方程；
能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景；
2了解离心率的几何意义；
3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；
4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；
5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；
情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴 趣，应用运动变化的观点
看待问题，体现数学的美学价值.
教学重点： ：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；
教学难点：椭圆的第二定义的运用；
教学用具：与教材内容相关的资料。
教学方法： 探究推广
教学过程：
复习回顾
1．椭圆
9x?y?81
的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为
62
，离心率为
22
批 注

22
，
3
焦点坐标为
(0,?62)
，顶点坐标为
(0,?9)(?3 ,0)
，（准线方程为
y??
272
）.
4
2．短轴长为 8，离心率为
3
的椭圆两焦点分别为
F
1
、
F
2< br>，过点
F
1
作直线
l
交椭圆于A、
5
B两点 ，则
?ABF
2
的周长为 20 .
引入课题
x
2
y
2
??
1
，M
1
，M
2
为椭 圆上的点
【例】椭圆的方程为
2516
① 求点M
1
（4，2.4）到焦点F（3，0）的距离 2.6 .
② 若点M
2
为（4，y
0
）不求出点M
2
的纵坐标，你能求出这点到 焦点F（3，0）的距
离吗？
4
2
y
0
16913
2
22
??1
代入消去
y
0
得
|MF|?
解：
|MF|?(4?3)?y
0
且
?

2516
255
2
x
2
y
2
【推广】你能否将椭圆
2?
2
?
1
上任一点
M(x,y)
到焦点
F(c ,0)(c?0)
的距离表
ab
示成点M横坐标
x
的函数吗？ 解：
?
|MF|?(x?c)
2
?y
2
?
?< br>x
2
y
2
?
2
?
2
?1
b
?
a
代入消去
y
2
得

b
2
2
c
|MF|?x?2cx?c?b?
2
x?(x?a)
2

a
a
222
cca
2
a
2
? |x?a|?|x?|?e|x?|

aacc
问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）
a
2
c
椭圆上的点M到右焦点
F(c,0)
的距离与它到定直线
x?
的距离的比等于离心率

c
a
问题2：你能写出所得命题的逆命题吗 ？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心
率）
a
2
c
动点< br>M
到定点
F(c,0)
的距离与它到定直线
x?
的距离的比等 于常数
(a?c)
的
c
a
点的轨迹是椭圆．
【引出课题】椭圆的第二定义
c
(0?e?1)
a
时，这个点的轨 迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数
e
是椭圆
当点
M
与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
e?
的离心率．
x< br>2
y
2
a
2
对于椭圆
2
?
2
?1
，相应于焦点
F(c,0)
的准线方程是
x?
．根据对称性， 相应
c
ab
y
2
x
2
a
2
于焦点
F
?
(?c,0)
的准线方程是
x??
．对于椭圆
2
?
2
?1
的准线方程是
c
ab
a
2y??
．
c
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的 比，这就是离心率
的几何意义．
由椭圆的第二定义
?
|MF|
?e
可得：右焦半径公式为
d
；左焦半径公式为
a
2
|MF右
|?ed?e|x?|?a?ex
c
a
2
|MF
左< br>|?ed?e|x?(?)|?a?ex

c
典型例题
x
2
y
2
??1
上的点
M
到左准线的距离是
2.5，求
M
到左焦点的距离例1、椭圆
2516
为 .
变式：求
M
到右焦点的距离为 .

解 ：记椭圆的左右焦点分别为
F
1
,F
2
到左右准线的距离分别为d
1
,d
2
由椭圆的第二定义
可知：
|MF
1
|
c3
|MF|3
?e??
?|MF
1
|?ed< br>1
??2.5?1.5
?|MF
1
|?1.5

?e
d
1
a5
d5
|MF
2
|?8.5
又由 椭的第一定义可知：
|MF
1
|?|MF
2
|?2a?10?
另解：点M到左准线的距离是2.5，所以点M到右准线的距离为
a
2
50585< br>2?2.5???

c326
?
|MF
2
|
385
?e?|MF
2
|?ed
2
???8.5

d
2
56
小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用
例2 点 P与定点A（2，0）的距离和它到定直线
x?8
的距离的比是1：2，求点P的
轨迹 ；
解法一：设
P(x,y)
为所求轨迹上的任一点，则
(x?2)
2
?y
2
1
?
由化简得
|x?8|2
x
2
y
2
??1
，故所的轨迹是椭圆。
1612
a
2
?8
解得
a?4
，解法二：因为定点A（2，0）所以
c?2
，定直线
x?8
所以
x?
c
x
2
y
2< br>c1
??1
又因为
e??
故所求的轨迹方程为
1612a2
小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方
法是采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大；
解法二运算量比较小，但应注意到会不会是 标准方程，即如果三个数据可以符合课本例
4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程， 则只能用解法一的思维来
解。



巩固练习
1．已知

是椭圆

上一点，若

焦点的距离为_____________．
到椭圆右准线的距离是

，则

到左
2．若椭圆

的离心率为

，则它的长半轴长是______________．

答案：1．

2．1或2
教学反思
1．椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；
2．椭圆定义的简单运用；
3．离心率的求法以及焦半径公式的应用；
课后作业
1. 已知

，

为椭圆

上的两点，

是椭圆的右焦点．若

，

的中点到椭圆左准线的距离是

，试确定椭圆的方程．
．
思考：
1．方程
2(x?1)
2
?(y?1)
2
?|x?y?2|
表示什么曲线？
(x?1)
2
?(y?1)
2
2
2
?
解：
??1；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离
2
|x?y?2|
2
2的比常数（且该常数小于1）
?
方程表示椭圆。



教学后记：

课题：
2．2．1 双曲线及其标准方程
第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：
◆ 知识与技能目标
理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题 ；理解双
曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨
迹的《几何画板》的制作或操作方法
．
◆ 过程与方法目标
通过课件（
a
）的展示与操作，必须让学生认同：与圆锥的轴平行的平面去截圆
锥曲面所得截口曲线是一条双 曲线而不是两条抛物线。
◆ 情感、态度与价值观目标
会把几何问题化归成代数问题来分析 ，反过来会把代数问题转化为几何问题来思
考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性 问题引申到一般性来研
究，培养学生的辩证思维能力．
教学重点：理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题
教学难点：理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法
教学用具： 多媒体，三角板
教学方法： 探究，讨论，分析
教学过程：
（1）预习与引入过程
预习教科书56页至60页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时 ，观察平面截
圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问
题：第一、你 能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举
出现实生活中双曲线的例子．当 学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考
与探究P
56
页上的问题（同桌 的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另
一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带 小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条
（一条约20cm，另一条约12cm，一端结个套，另一 端是活动的），图钉两个）．当把绳
子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳 子，移动笔尖，画
出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的
几何条件是什么？〖板书〗§2．2．1双曲线及其标准方程．
（2）新课讲授过程
（i）由上述探究过程容易得到双曲线的定义．
〖板书〗把平面内与两个定点
F1
，
F
2
的距离的差的绝对值等于常数（小于
F
1F
2
）
的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．其中这两个定点叫做双曲 线的焦点，两定点间的
距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为
M
时，双曲线即为点集< br>批 注

P?
MMF
1
?MF
2
?2a
．
（ii）双曲线标准方程的推导过程
提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类 比求椭圆标准方程的方法
由学生来建立直角坐标系．
无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方
整理的数学活动过程．
??

类比椭圆：设参量
b
的意义：第一、便于写出双曲线的 标准方程；第二、
a,b,c
的
关系有明显的几何意义．
类比：写出焦点 在
y
轴上，中心在原点的双曲线的标准方程
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?
．
b
2
a
2
（iii）例题讲解、引申与补充
例1 已知双 曲线两个焦点分别为
F
双曲线上一点
P
到
F
1
，< br>F
2
2
?
5,0
?
，
1
?
?5,0
?
，
F
距离差的绝对值等于
6
，求双曲线的标准方 程．
分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出
a,b,c
．
补充：求下列动圆的圆心
M
的轨迹方程：① 与⊙
C
：
?< br>x?2
?
?y?2
内切，
2
2
且过点
A?
2,0
?
；② 与⊙
C
1
：
x?
?
y?1
?
?1
和⊙
C
2
：
x?
?
y?1
?
?4
都外切；
22
22
③ 与⊙
C
1
：
?
x?3
?
?y?9
外切，且与⊙
C
2
：
?
x?3
?
?y?1
内切．
22
2
2
解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解 ：设
动圆
M
的半径为
r
．
① ∵⊙
C
与 ⊙
M
内切，点
A
在⊙
C
外，∴
MC?r?2
，
MA?r
，因此有
MA?MC?2
，∴点
M
的轨迹是以
C
、
A
为焦点的双曲线的左支，即
M
的轨迹
2y< br>2
方程是
2x??1x??2
；
7
2
??
② ∵⊙
M
与⊙
C
1
、 ⊙
C
2
均外切，∴
MC
1
?r?1
，
MC
2
?r?2
，因此有
MC
2
?MC
1
?1
，∴点
M
的轨迹是以
C
2
、
C
1
为焦点的双曲线的上支，∴
M
的轨迹
方程是
4y
2
?
4x
?1
?
y?
3
?
；
??
34
??
2
③ ∵
eM
与
eC
1
外切，且
eM
与
eC
2
内切，∴
MC
1
?r?3
，
MC
2
?r?1
，
因此
MC
1
?MC
2
?4
，∴点
M
的轨迹是以
C< br>1
、
C
2
为焦点的双曲线的右支，∴
M
的
x
2
y
2
轨迹方程是
??1
?
x?2
?．
45
例2 已知
A
，
B
两地相距
800m
，在
A
地听到炮弹爆炸声比在
B
地晚
2s
，且声速为
340ms
，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
分析：首先要判断轨迹的形状， 由声学原理：由声速及
A
，
B
两地听到爆炸声的
时间差，即可知A
，
B
两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆
炸点 的轨迹方程．
扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚
4s
．已

知各观察点到该中心的距离都是
1020m
．试确定该巨响发生的位置（假 定当时声音传
播的速度为
340ms
；相关点均在同一平面内）．
解法剖析 ：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正
东比正西晚
4s< br>，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．
如图，以接报中心为原点
O
，正东、正北方向分别为
x
轴、
y
轴方向，建立直角坐标系，设
A< br>、
B
、
C
分别是西、东、
北观察点，则
A
?
?1020,0
?
，
B
?
1020,0
?
，
C
?
0,1020
?
．
设
P
?
x,y
?
为巨响发生点，∵
A
、
C
同时听到巨响，∴OP
所
在直线为
y??x
……①，又因
B
点比
A
点晚
4s
听到巨响声，∴
PB?PA?4?340?1360
?< br>m
?
．由双曲线定义知，
a?680
，
c?1020
，∴
x
2
y
2
b?3405
，
??1
?< br>x??680
?
……②．∴
P
点在双曲线方程为联立①、
22
6805?340
②求出
P
点坐标为
P?6805,6805
．即巨响在正西北方向
68010m
处．
探究：如图，设
A
，< br>B
的坐标分别为
?
?5,0
?
，
?
5,0< br>?
．直
线
AM
，
BM
相交于点
M
， 且它们的斜率之积为
??
4
，求点
M
9
的轨迹方程，并与§ 2．1．例3比较，有什么发现？
探究方法：若设点
M
?
x,y
?
，则直线
AM
，
BM
的斜率就
可以用含
x,y的式子表示，由于直线
AM
，
BM
的斜率之积是
之间的关系式， 即得到点
M
的轨迹方程．

练习：第55页1、2、3、
作业：第61页1、2、





教学后记：







4
，因此，可以求出
x,y
9

课题：
2．3．2 双曲线的简单几何性质（1）
第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标： 批 注
◆ 知识与技能目标
了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2） 通过
方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、
渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；利用信息技术
进一步见识圆锥 曲线的统一定义
．
◆ 过程与方法目标
让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨 迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握
利用先进教学辅助手段的技能．
◆ 情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实 现共同
探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学
世界观，激励学生创新．
教学重点：了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲 线的方程；（2）
通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率 、
顶点、渐近线的概念

教学难点：掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题。
教学用具： 多媒体，三角板
教学方法： 类比，探究
教学过程：
一、课前准备：
（预习教材P
56
~ P
58
）
复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：
①
a?3,b?4
，焦点在
x
轴上；
②焦点在
y
轴上，焦距为8，
a?2
．

复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？

二、新课导学：
※ 学习探究

问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线
x
2
y
2
??1
的几何性质?
a
2
b
2
问 题2：双曲线
y
2
x
2
??1
的几何性质?
a
2
b
2

范围：

对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．

顶点：（ ），（ ）．
实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．
c
离心率：
e??1
．
a
渐近线：
x
2
y
2
xy
双曲线
2
?
2
?1
的 渐近线方程为：
??0
．
ab
ab

※ 典型例题

x
2
y
2
例1求双曲线
??1
的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．
4925






变式：求双曲线
9y
2
?16x
2
?144
的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．







例2
求
双曲线的标准方程：
⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
⑵离心率
e?2
，经过点
M(?5,3)
；
29
⑶渐近线方程为
y??x
，经过点
M(,?1)
．

32












※ 动手试试

x
2
y
2
练1．求以椭圆
??1
的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的 方程．
85



练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的 一个焦点是
F
1
(?6,0)
，求它的标准方程和渐近
线方程．


三、总结提升：
※ 学习小结
双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线．
※ 知识拓展

x
2
y
2
x
2
y
2
与双曲线
2?
2
?1
有相同的渐近线的双曲线系方程式为
2
?
2< br>?
?

(
?
?0)

abab
学习评价

x
2
y
2
1． 双曲线
?
．
?1
实轴和虚轴长分别是（ ）
168
A．
8
、
42
B．
8
、
22

C．4、
42
D．4、
22

2．双曲线
x
2
?y
2
??4
的顶点坐标是（ ）．
A．
(0,?1)
B．
(0,?2)
C．
(?1,0)
D．（
?2,0
）
x
2
y
2
3． 双曲线
?
．
?1
的离心率为（ ）
48
A．1 B．
2
C．
3
D．2
4．双曲线
x
2
?4y
2
?1
的渐近线方程是 ．
5．经过点
A(3,?1)
，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程
是 ．

课后作业

1．求焦点在
y
轴上，焦距是16，
e?


4
的双曲线的标准方程．
3
x
2
y
2
5
2．求与椭圆
??1
有公共焦点，且离心率
e?
的双曲线的方程．
4924
4




教学后记：

课题：
2．3．2 双曲线的简单几何性质（2）
第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标： 批 注
◆ 知识与技能目标
了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲 线的方程；（2）通过
方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率 、顶点、
渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；利用信息技术
进一步见识圆锥曲线的统一定义
．
◆ 过程与方法目标
让学生参与并掌握利用信 息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握
利用先进教学辅助手段的技能．
◆ 情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、 合作、互动实现共同
探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和 科学
世界观，激励学生创新．
教学重点：了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件 ，求出表示曲线的方程；（2）
通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称 中心、离心率、
顶点、渐近线的概念
教学难点：掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题。
教学用具： 多媒体，三角板
教学方法： 类比，探究
教学过程：
一、课前准备
（预习教材P
58
~ P
60
）
复习1：说出双曲线的几何性质?
x
2
y
2
复习2：双曲线的方程为
??1
，
914
其顶点坐标是( )，( )；渐近线方程 ．

二、新课导学
※ 学习探究

探究1：椭圆
x
2
?4y
2
?64
的焦点是？

探究2：双曲线的一条渐近线方程是
x?3y?0
，则可设双曲线方程为？


问题：若双曲线与
x
2
?4y
2
?6 4
有相同的焦点，它的一条渐近线方程是
x?3y?0
，则双
曲线的方程是？







※ 典型例题

例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径
为
12m
，上口半径为
13m
，下口半径为
25m
，高为
55m
，试选择适当的坐标系，求出此双
曲线的方程．

例 2点
M(x,y)
到定点
F(5,0)
的距离和它到定直线
l
:
x?
的轨迹．




165
的距 离的比是常数，求点
M
54
x
2
y
2
例3过双曲线
??1
的右焦点，倾斜角为
30
o
的直线交双曲线于
A,B
两点，求
A,B
两
36
点的坐标．






变式：求
AB
？

思考：
?AF
1
B
的周长？


※ 动手试试

x
2
y
2
x
2
y
2< br>练1．若椭圆
?
2
?1
与双曲线
??1
的焦点相同， 则
a
=____.
4aa2







3
x
2
y
2
练2 ．若双曲线
?
x
，求双曲线的焦点坐标．
?1
的渐近线方程为
y??
2
4m










三、总结提升

※ 学习小结

1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合；

2．双曲线的另一定义；

3．（理）直线与双曲线的位置关系．

※ 知识拓展

双曲线的第二定义：

到定点的距离与到定直线的距离之比大于1的点的轨迹是双曲线．

学习评价

x
2
y
2
x
2
y
2
1 ．若椭圆
??1
和双曲线
??1
的共同焦点为F
1
，F2
，P是两曲线的一个交点，
251645
则
PF
1
? PF
2
的值为（ ）．
21
B．
84
C．
3
D．
21

2
x
2
y
2
2．以椭圆
?
．
?1
的焦点为顶点，离心率为
2
的双曲线的方程（ ）
251 6
x
2
y
2
x
2
y
2
A.
??1
B.
??1

16489 27
x
2
y
2
x
2
y
2
C.
??1
或
??1
D. 以上都不对
1648927
3． 过双曲线的一个焦点
F
2
作垂直于实轴的直线，交双曲线于
P
、Q
，
F
1
是另一焦点，若
A．
∠
PFQ?1
?
2
A.
2?1
B.
2
C.
2?1
D.
2?2

4．双曲线的渐近线方程为
x ?2y?0
，焦距为
10
，这双曲线的方程为_______________.
x
2
y
2
5．方程
??1
表示焦点在x轴上的双曲线，则
k
的取值范围 ．
4?k1?k

，则双曲线的离心率
e
等于（ ）．
课后作业

x
2
y
2
1．已知双曲线的焦点在
x
轴上，方程为
2
?
2
?1
，两顶点的距离为8
，一渐近线上有点
ab
A(8,6)
，试求此双曲线的方程．




教学后记：

课题：2.4.1抛物线及标准方程 第 课时 总序第 个教案
课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：
知识与技能目标
使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．
过程与方法目标
要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、 转
化等方面的能力．
情感，态度与价值观目标
（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。
教学重点：使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．
教学难点：使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．
教学用具： 三角板，多媒体
教学方法： 探究，观察
教学过程：
（1） 复习与引入过程
回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0
＜e＜1时是 椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？
2．简单实验
如图2-2 9，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角
边紧靠直尺的边缘；把一条绳子 的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子
的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一 端固定在图板上的一点F；用一支铅笔
扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板 紧靠着直尺左右滑动，
这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛 物线
的定义，教师总结．

（2） 新课讲授过程
（i）由上面的探究过程得出抛物线的定义
《板书》平面内与一定点F和一条定直线l的距离 相等的点的轨迹叫做抛物线(定
点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线 的准线.
(ii) 抛物线标准方程的推导过程

引导学生分析出：方案3中得出 的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方
程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意 义：一次项系数是焦点到准线
距离的2倍．

由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表
如下)：
批 注

将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板， 并讲清为什么会出现四种不同的情形，
四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起 来记忆．即：当对称
轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方 程等号
的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点
在负半轴上时，取负号．
(iii)例题讲解与引申
例1 已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程
已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程
解 因为p=3，所以抛物线的焦点坐标是（32,0）准线方程是x=-32
因为抛物线的焦点在轴的负半轴上，且p2=2，p=4，所以抛物线的标
准方程是x2=-8y 例2一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛
物线的接受天线， 经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m深度为0.5m，求
抛物线的标准方程和焦点坐标 。
解；设抛物线的标准方程是y2=2px (p>0)。有已知条件可得，点A的坐标是（0.5 ，
2.4）代入方程，得2.4=2p*0.5即=5.76
所以，抛物线的标准方程是y2=11.52x，焦点坐标是（2.88，0）
练习：第67页1、2、3、
作业：第73页1、2、3、4、

教学后记：

课题：

2.4.2 抛物线的几何性质（1） 第 课时 总序第 个教案
课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：
知识与技能目标
使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些
性质．
过程与方法目标
从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理
等能力。
情感，态度与价值观目标
（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。
教学重点：从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质。
教学难点：从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质。
教学用具： 多媒体，三角板
教学方法： 探究，分析，归纳
教学过程：
一、课前准备
（预习教材P
68
~ P
70
）
复习1：
准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 ．

x
2
y
2
复习2：双曲线
??1
有哪些几何性质？
169

二、新课导学
※ 学习探究

探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？

新知：抛物线的几何性质

图形

标准方
程

焦点












批 注


准线

顶点
对称轴
离心率


p
(0,?)

2


y??
p

2



x轴


(0,0)(0,0)

试试：画出抛物线
y?8x
2
的图形，
顶点坐标（ ）、焦点坐标（ ）、准线方程 、对称轴 、
离心率 ．

※ 典型例题

例1已知抛物线关 于
x
轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点
M(2,?22)
，求它的标准方程．



变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经 过点
M(2,?22)
的抛物线有几条？
求出它们的标准方程．




小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解．

例2斜率为
1
的直线
l
经过抛物线
y
2
?4x的焦点
F
，且与抛物线相交于
A
，
B
两点，求
线段
AB
的长 ．





变式：过 点
M(2,0)
作斜率为
1
的直线
l
，交抛物线
y
2
?4x
于
A
，
B
两点，求
AB
．







小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解．

※ 动手试试

练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
⑴顶点在原点，关于
x
轴对称，并且经过点
M(5
，
?4)
；
⑵顶点在原点，焦点是
F(0,5)
；
⑶焦点是
F(0,?8)
，准线是
y?8
．

三、总结提升
※ 学习小结

1．抛物线的几何性质 ；
2．求过一点的抛物线方程；
3．求抛物线的弦长．

※ 知识拓展

抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与 抛物线相交所得的弦叫抛
物线的通径．
其长为
2p
．

学习评价

1．下列抛物线中，开口最大的是（ ）．
1
A．
y
2
?x
B．
y
2
?x

2
C．
y
2
?2x
D．
y
2
?4x

2．顶点在原点，焦点是
F(0,5)
的抛物线方程（ ） ．
A．
y
2
?20x
B．
x
2
?20y

11
C．
y
2
?x
D．
x
2
?y

2020
3．过抛物线
y
2
?4x
的焦点作直线
l
，交抛物线于
A
，
B两点，若线段
AB
中点的横坐
标为
3
，则
AB
等于（ ）．
A．
10
B．
8
C．
6
D．
4

4．抛物线
y?ax
2
(a?0)
的准线方程是 ．
5．过抛物线
y
2
?2x
的焦点作直线交抛物线于
A(x< br>1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2)
两点，如果
x
1
?x
2
?6
，
则< br>AB
= ．

课后作业

1． 根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形：
⑴顶点在原点，对称轴是
x
轴，并且顶点与焦点的距离等到于
6
；
⑵顶点在原点，对称轴是
y
轴，并且经过点
P(?6,?3)
．




2
M
是物线
y
2?4x
上一点，
F
是抛物线的焦点，
?xFM?60
o
，求
FA
．





教学后记：

课题：

2.4.2 抛物线的几何性质（2） 第 课时 总序第 个教案
课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：
知识与技能目标
使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些
性质．
过程与方法目标
从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理
等能力。
情感，态度与价值观目标
（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。
教学重点：从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质。
教学难点：从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质。
教学用具： 多媒体，三角板
教学方法： 探究，分析，归纳
教学过程：
一、课前准备
（预习教材P
70
~ P
72
）
复习1：以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点
P(?2,3)
的抛物线的方程为（ ）．
994
A．
y
2
?x
B.
y
2
??x
或
x
2
??y

443
494
C.
x
2
?y
D.
y
2
??x
或
x
2
?y

323
x
2
y
2
2
复习2：已知抛物线
y??2px(p ?0)
的焦点恰好是椭圆
??1
的左焦点，则
1612
p
= ．
批 注

二、新课导学
※ 学习探究

探究1 ：抛物线
y
2
?2px(p?0)
上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为1 0，则：

① 这点到准线的距离为 ；

② 焦点到准线的距离为 ；

③ 抛物线方程 ；

④ 这点的坐标是 ；

⑤ 此抛物线过焦点的最短的弦长为 ．

※ 典型例题

例 1过抛物线焦点
F
的直线交抛物线于
A
，
B
两点，通过点< br>A
和抛物线顶点的直线交
抛物线的准线于点
D
，求证：直线
D B
平行于抛物线的对称轴．





例2已 知抛物线的方程y
2
?4x，直线
l
过定点
P(?2,1)
，斜率为
k

k
为何值时，直线
l
与

抛物线
y
2
?4x
：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？









小结：
① 直线与抛物线的位置关系：相离、相交、相切 ；

②直线与抛物线只有一个公共点时，
它们可能相切，也可能相交．
※ 动手试试

练1. 直线
y?x?2
与抛物线
y
2
?2x
相交于
A
，
B
两点，求证：
OA?OB
．





2．垂直于
x
轴的直线交抛物 线
y
2
?4x
于
A
，
B
两点，且
AB?43
，求直线
AB
的方
程．








三、总结提升
※ 学习小结

1．抛物线的几何性质 ；

2．抛物线与直线的关系．

※ 知识拓展

过抛物线
y
2
?2px(p?0)
的焦点
F
的直线交抛物线于
M
，
N
两点，则
为定值，其值为
2
．
p
11
?
MFNF
学习评价


1．过抛物线
y
2
?2px(p?0)
焦点的 直线交抛物线于
A
，
B
两点，则
AB
的最小值为
（ ）．
p
A. B.
p
C.
2p
D. 无法确定
2


2．抛物线y
2
?10x的焦点到准线的距离是（ ）．

515
B.
5
C. D.
10

22
2
3．过点
(0,1)
且与抛物 线
y?4x
只有一个公共点的直线有（ ）．
A．
1
条 B．
2
条 C．
3
条 D．
0
条 4．若直线
x?y?2
与抛物线
y
2
?4x
交于
A
、
B
两点，则线段
AB
的中点坐标是______．
A.
5．抛物线上一点
(?5,25)
到焦点
F(x,0)
的距离是
6
，则抛物线的标准方程
是 ．

课后作业

1．已知顶点在原点，焦点在
x
轴上的抛 物线与直线
y?2x?1
交于
P
，
Q
两点，
PQ< br>=
15
，求抛物线的方程．






2． 从抛物线
y
2
?2px(p?0)
上各点向
x
轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说
明它是什么曲线．










教学后记：


















课题：

第二章小结与复习 第 课时 总序第 个教案

课型：复习课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：
1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；
2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；
3．能解决直线与圆锥曲线的一些问题．
教学重点：1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；
2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；
教学难点：能解决直线与圆锥曲线的一些问题．
教学用具： 多媒体，三角板
教学方法：讲练结合法
教学过程：
一、课前准备
复习1：完成下列表格：

椭圆

定义



图形


标准方程


顶点坐标



对称轴

焦点坐标



离心率

（以上每类选取一种情形填写）

复习2：
批 注

双曲线

抛物线











① 若椭圆
x
2
?my
2
?1
的离心率为
3
，则它的长半轴长为__________；
2

②双曲线的渐近线方程 为
x?2y?0
，焦距为
10
，则双曲线的方程为 ；

x
2
y
2
③以椭圆
??1
的右焦点 为焦点的抛物线方程为 ．
2516

二、新课导学
※ 典型例题

例1 当
?
从
0
o
到
180
o
变化时，方程 < br>x
2
?y
2
cos
?
?1
表示的曲线的形状 怎样变化？






x
2
y
2
变式：若曲线
??1
表示椭圆，则
k
的取值范围是 ．
k1?k

小结：掌握好每类标准方程的形式．

x
2
y
2
例2设
F
1
，
F
2
分别为椭圆C：
2
?
2
=1
ab
(a?b?0)
的左、右两个焦点．
3< br>⑴若椭圆C上的点A（1，）到F
1
、F
2
两点的距离之和等于4，写 出椭圆C的方程和
2
焦点坐标；
⑵设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F
1
K
的中点的轨迹方程．






x
2
y
2
变式：双曲线与椭圆
??1
有相同焦点，且经过点
(15,4)
，求双曲线的方程．
2736






※ 动手试试

练1．已知
?ABC
的两个顶点
A
，
B
坐标分别是
(?5,0)
，
(5,0)
，且
AC
，
BC
所在直线
的斜率之积等于
m

(m?0)
，试探求顶点
C
的轨迹．












x
2
y
2
练2．斜率为
2
的直线
l
与双曲线
??1
交于
A
，
B
两点，且
AB?4
，求 直线
l
的
32
方程．









三、总结提升
※ 学习小结

1．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；
2．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；
3．直线与圆锥曲线．

※ 知识拓展

圆锥曲线具有统一性：
⑴它们都是平面截圆锥得到的截口曲线；
⑵它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个
常数的点的轨迹 ，比值的取值范围不同形成了不同的曲线；
⑶它们的方程都是关于
x
，
y
的二次方程．

学习评价

x
2
y
2
x
2
y
2
1．曲线
??1
与曲线
??1

25925?k9?k
．
(k?9)
的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
2．与圆
x
2
?y
2
?1
及圆x
2
?y
2
?8x?12?0
都外切的圆的圆心在（ ） ．
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上 D．一个圆上
3．过抛物线
y
2
?8x
的焦点作直线
l
，交抛物线于
A
，
B
两点，若线段
AB
中点的横坐
标为
3
，则
AB
等于（ ）．
A．
10
B．
8
C．
6
D．
4

4．直线
y?kx?1< br>与双曲线
x
2
?y
2
?4
没有公共点，则
k
的取值范围 ．
5．到直线
y?x?3
的距离 最短的抛物线
y
2
?4x
上的点的坐标是 ．


课后作业

1．就
m
的不同取值，指出方 程
(m?1)x
2
?(3?m)y
2
?(m?1)(3?m)
所表示的曲线的形状．





x
2
2． 抛物线
y??
与过点
M(0,?1)
的 直线
l
相交于
A
，
B
两点，
O
为原点，若
OA
和
OB
2
的斜率之和为
1
，求直线
l
的方程．




教学后记：

第三章 空间向量与立体几何
课题：
3.1.1空间向量及其运算（一）

第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标： 批 注
教学目标：
㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；
㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
㈢德育目标：学会用发展 的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，
会用联系的观点看待事物．
教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．
教学难点：应用向量解决立体几何问题．
教学用具： 多媒体，三角板，直尺
教学方法：讨论法．
教学过程：
Ⅰ.复习引入
［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识， 什
么叫做向量？向量是怎样表示的呢？
［生］
既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：
AB
．
［师］数学上所说的向量是自由向量，也就 是说在保持向量的方向、大小的前提下
可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学 们回忆一下．
［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：


⒈向量的加法：



⒉向量的减法：
⒊实数与向量的积：




















实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|
(2)当λ＞0时，λa与a同向；
当λ＜0时，λa与a反向；
当λ＝0时，λa＝0.
［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？
［生］
向量加法和数乘向量满足以下运算律
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地 引入空间向量的概念、
表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算 率，
并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P
26
～P
27
．
Ⅱ.新课讲授
［师］如同平面向量的概念，我们把
空间中具有大小和方向的量叫做向 量．
例
如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样< br>表示的呢？
［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且
同向且等长的有 向
线段表示同一向量或相等的向量
．
［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平 移的．空间任意两个向量都可以用
同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说
空间任意两个向 量是共面的
．
［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？
［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：
OB?OA?AB
=
a+b，
AB?OB?OA
（指向被减向
量），
OP?
λa
(
?
?R)

［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．
［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：
⑴加法交换律：a + b = b + a；
⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课
件验证）
⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb．

［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指
向末尾向量的终点的向量．即：
A
1
A
2
?A
2
A
3
?A
3< br>A
4
???A
n?1
A
n
?A
1
A
n

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为
首尾相接的向量．
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和
为零向量．即：
A
1
A
2
?A
2
A
3
?A
3
A4
???A
n?1
A
n
?A
n
A
1< br>?0
．
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成
立．
因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用
平行四边形法则．
例１已知平行六 面体
ABCD?A'B'C'D'
（如
图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的 向
量：

⑴AB?BC；

1
⑶AB?AD? CC'
⑵AB?AD?AA'；
2
1
⑷(AB?AD?AA')．

3

说明：平行四边形ABCD平移向量 a 到
A’B’C’D’的轨迹所 形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’
．
平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．
解：（见课本P
27
）
说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面 内的三个向量之和，
等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示
的 向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．

Ⅲ.巩固练习
课本P
86
练习

Ⅳ. 教学反思
平面向量仅限于 研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间
的平移，它们的共同点都是指“将图形 上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间
的平移包含平面的平移．
关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．

Ⅴ.课后作业
⒈课本P
106
1、2、
⒉预习课本P
86
～P
89
，预习提纲：
⑴怎样的向量叫做共线向量？
⑵两个向量共线的充要条件是什么？
⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？
⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？
⑸怎样的向量叫做共面向量？
⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？
⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？

教学后记：

课题
：3.1.2空间向量及其运算（2）

第 课时 总序第 个教案
课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：
1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．
教学重点：共线、共面定理及其应用．
教学难点：共线、共面定理及其应用．
教学用具： 多媒体，三角板
教学方法： 讨论，分析
教学过程：
1．共线（平行）向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向
批 注

r
r
r
r
量或平行向量。读作：
a
平行 于
b
，记作：
ab
．
2．共线向量定理：
r
r
rr
r
r
r
r
对空间任意两个向量
a,b(b?0 ),ab
的充要条件是存在实数
?
，使
a?
?
b
（
?
唯
一）．
推论：如果
l
为经过已知点
A
，且平行于已知向量
a
的直线，那么对任一点
O
，点
P
在
r
uuuruuuruuur
r
直线
l
上的充要条件是存在 实数
t
，满足等式
OP?OA?tAB
①，其中向量
a
叫做 直线
uuur
r
uuuruuuruuur
l
的方向向量。在
l
上取
AB?a
，则①式可化为
OP?OA?tAB
或
u uuruuuruuur
OP?(1?t)OA?tOB
②
l
P
B
A
a
uuur
1
uuuruuur
1
当
t ?
时，点
P
是线段
AB
的中点，此时
OP?(OA?OB)
③
2
2
①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段
AB
的中点公式．

3．向量与平面平行：
O
uuur
r
r
已知平面
?
和向量
a
，作
OA?a
，如果直线< br>OA
平行于
?
或在
?
内，那么我们
r
rr
a

说向量
a
平行于平面
?
，记作：
a
?
．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
说明：空间任意的两向量都是共面的．
4．共面向量定理：
r
a

?

如果两个向量< br>a,b
不共线，
p
与向量
a,b
共面的充要条件是存在实数< br>x,y
使
r
r
r
r
r
r
rr
p?xa?yb
．
推论：空间一点
P
位于平面
MAB
内 的充分必要条件是存在有序实数对
x,y
，使
uuuruuuruuuruuuruu uuruuuruuur
MP?xMA?yMB
或对空间任一点
O
，有
OP?OM?xMA?yMB
①
上面①式叫做平面
MAB
的向量表达式．
（三）例题分析：

uuur
1
uuur
2
uuur
2
uuur
例1．已知
A,B,C
三点不共线，对平面外任 一点，满足条件
OP?OA?OB?OC
，
555
试判断：点
P
与
A,B,C
是否一定共面？
uuuruuuruuuruuur
解：由题意：
5OP?OA?2OB?2OC
，
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
∴
(OP?OA)?2(OB? OP)?2(OC?OP)
，
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
∴
AP?2PB?2PC
，即
PA??2PB?2PC
，
所以，点
P
与
A,B,C
共面．
说明：在用共面向量定理 及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰
当的充要条件形式，然后对照形式将已知条 件进行转化运算．
【练习】：对空间任一点
O
和不共线的三点
A,B,C< br>，问满足向量式
uuuruuuruuuruuur
OP?xOA?yOB?zOC （其中
x?y?z?1
）的四点
P,A,B,C
是否共面？
uuuruuuruuuruuur
解：∵
OP?(1?z?y)OA?yOB?zOC
，
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
OP?OA?y(OB?OA)? z(OC?OA)
， ∴
uuuruuuruuur
∴
AP?yAB?zAC
，∴点
P
与点
A,B,C
共面．
例2．已知
O

Y
ABCD
，从平面
AC
外一点
O
引向量
A

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuur
OE?kOA,OF?KOB,OG?kOC,OH?kOD
，
（1）求证：四点
E,F,G,H
共面；
（2）平面
AC

平面
EG
．
D

B

C

G

H

E

F

uuuruuuruuur
解：（1）∵四边形
ABCD
是平行四边形，∴
AC?AB?AD
，
uuuruuuruuur
∵
EG?OG?OE
，
uuuruuu ruuuruuuruuuruuuruuur
?k?OC?k?OA?k(OC?OA)?kAC?k (AB?AD)
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuur
?k (OB?OA?OD?OA)?OF?OE?OH?OE

uuuruuur
?EF?EH
∴
E,F,G,H
共面；
uuuruuur
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
EF?OF?OE?k (OB?OA)?k?AB
（2）∵，又∵
EG?k?AC
，
∴
EFAB,EGAC

所以，平面
AC
平面
EG
．
五、课堂练习：课本第89页练习第1、2、3题．

六、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；
2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．

七、作业：
uruur
uuururuur
uuururuur
1．已知两个非零向量
e
1
,e
2
不共线，如果
AB?e
1
?e
2
，
AC?2e
1
?8e
2
，
uuururuur< br>AD?3e
1
?3e
2
，
求证：
A,B,C,D
共面．

r
r
rrrr< br>r
rrr
r
r
2．已知
a?3m?2n?4p,b?(x?1 )m?8n?2yp
，
a?0
，若
ab
，求实数
x,y的
值。

3．如图，
E,F,G,H
分别为正方体
A C
1
的棱
A
1
B
1
,A
1
D1
,B
1
C
1
,D
1
C
1
的 中点，
求证：（1）
E,F,D,B
四点共面；（2）平面
AEF

平面
BDHG
．

4．已知
E,F,G,H
分别 是空间四边形
ABCD
边
AB,BC,CD,DA
的中点，
（1）用向量法证明：
E,F,G,H
四点共面；
（2）用向量法证明：
BD
平面
EFGH
．

D
1
F
A
1
EB
1
H
G
C
1
A

E


H

D

G

C


A
B

C
D
B
F




教学后记：

课题：

3.1.3．空间向量的数量积（1）

第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：
1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能 利用两个向量的数量积解决立体几何
中的一些简单问题。
教学重点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
教学难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
教学用具：与教材内容相关的资料。
教学方法： 探究，归纳
教学过程：
（一）复习：空间向量基本定理及其推论；
（二）新课讲解：
1．空间向量的夹角及其表示：
批 注

uuur
r
uuur
r
r
r
已知两非零向量
a,b
，在空间任取一点
O
，作
OA?a,OB?b
，则
?AOB
叫做向
r
rr
r
r
r
r
r
r
r
量
a
与
b
的夹角，记作
?a,b?
；且规定
0??a,b??
?
，显然有
?a,b???b,a?
；
r
r
?< br>r
r
r
r
若
?a,b??
，则称
a
与
b
互相垂直，记作：
a?b
；
2

2．向量的模：
uuur
r
uuur
r
r
设OA?a
，则有向线段
OA
的长度叫做向量
a
的长度或模，记作 ：
|a|
；

3．向量的数量积：
r
r
rrr
r
r
r
已知向量
a,b
，则
|a|?|b |?cos?a,b?
叫做
a,b
的数量
r
r
r
r
r
r
r
r
积，记作
a?b
，即
a?b?< br>|a|?|b|?cos?a,b?
．
uuur
r
r
已知向 量
AB?a
和轴
l
，
e
是
l
上与
l
同方向的单位向
量，作点
A
在
l
上的射影
A?
，作点
B
在
l
上的射影
B
?
，则< br>r
e

B

A
?

B
?

A

C

uuuur
uu ur
uuuur
r
A
?
B
?
叫做向量
AB
在轴
l
上或在
e
上的正射影；可以证明
A
?
B
?
的长度
uuuuruuur
rrrr
??
|AB|? |AB|cos?a,e??|a?e|
．

4．空间向量数量积的性质：
（1）
a?e?|a|cos?a,e?
．
rrrrr
r
r
r
r
（2）
a?b?a?b?0
．
（3）
|a|?a?a
．

r
2
rr

5．空间向量数量积运算律：
r
r
r
r
r
r
（1）
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
．
r
rr
r
（2）
a?b?b?a
（交换律）．
r
r
rr
r
rr
（3）
a?(b?c)?a?b?a?c（分配律）．

（三）例题分析：
例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。
已知：
m,n
是平面
?
内的两条相交直线，直线
l
与平面
?
的交点为
B
，且
l?m,l?n

求证：
l?
?
．
证明：在
?
内作不与
m,n
重合的任一直线
g
，
r
rrr
在
l,m,n,g
上取非零向量
l,m,n,g< br>，∵
m,n
相交，
∴向量
m,n
不平行，由共面定理可知，存在
唯一有序实数对
(x,y)
，使
g?xm?yn
，
lrr
g
n
l
m
n
rrr
m
g
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
l?g?xl?m?yl?nl?m?0,l?n?0
， ∴，又∵
r
r
r< br>r
∴
l?g?0
，∴
l?g
，∴
l?g
，
所以，直线
l
垂直于平面内的任意一条直线，即得
l?
?
．

例2．已知空间四边形
ABCD
中，
AB?CD
，
AC?BD
，求证：
AD?BC
．
uuuruuuruuuruuuru uuruuur
证明：（法一）
AD?BC?(AB?BD)?(AC?AB)

uuuruuuruuuruuuruuur
2
uuuruuur

?AB?AC?BD?AC?AB?AB?BD

uuuruuuruuuruuuruuuruuur

?AB?(AC?AB?BD)?AB?DC?0
．
uuurruuurruuur r
（法二）选取一组基底，设
AB?a,AC?b,AD?c
，
rrrr< br>rrr
∵
AB?CD
，∴
a?(c?b)?0
，即
a ?c?b?a
，
rrrr
同理：
a?b?b?c
，，
rrrr
∴
a?c?b?c
，
uuuruuur
rrr< br>∴
c?(b?a)?0
，∴
AD?BC?0
，即
AD?BC< br>．
说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示
未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。