重磅高中数学教学设计模版及案例

cheng


《必修5》1．1．2余弦定理（第一课时）



教学课题



课标要求


认知层次
知识点
1余弦定理及证明
2用定理解三角形
目标设计

识记



理解
√


应用

√

综合



1. 引导学生用向量独立地推出余弦定理，并能用自已的语言概括这一定理。
2. 要求学生能根据余弦定理解以下两类问题：（1）已知两边夹一角求第三边；（2）已
知三边求三角。
教学情境一：（ 问题引入 ）在
?
ABC中，已知两边a,b和夹角C，作出三角形。
联系已学知识，可以解决这个问题。
对应问题1. 第三边c是确定的，如何利用条件求之？
首先用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图，设
CB
?
a
，
CA
?
b
，
AB?
c
，那么
c
?
a
?
b
，则
b

c

c
?
c
?
c
?
a
?
ba
?
b
?
a
?< br>a
?
b
?
b
?2
a
?
b
2 2
?
a
?
b
?2
a
?
b
2< br>????
C
a
B
从而
c
2
?
a
2?
b
2
?2
ab
cos
C
，同理可证
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bccos
A
，
b
2
?
a
2
?
c
2
?2
ac
cos
B

于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两
倍。即
a
2
?
b
2
?
c
2
?2< br>bc
cos
A
；
b
2
?
a
2
?
c
2
?2
ac
cos
B
；
c
2
?
a
2
?
b
2
?2
ab
cos
C

教学情境二 对余弦定理的理解、定理的推论
对应问题2 公式有什么特点？能够解决什么问题？
等式为二次齐次形式，左边的边对应右边的角。主要作用是已知三角形的两边及夹角求对边。
对应问题3 从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
从余弦定理，又可得到以下推论：（由学生推出）
cheng

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b
2
?c
2
?a
2< br>a
2
?c
2
?b
2
b
2
?a
2
?c
2
；
cosB?
；
cosC?

cosA?
2bc2ac2ba
[理解定理]余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角求第三边；
②已知三角形的三条边求三个角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间
的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若
?
ABC中，C=90
，则
cosC?0
，这时
c
2
?a
2?b
2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
教学情境三 例题与课堂练习
例题．在
?
ABC中，已知
a?23
，
c?6?2
，
B?60
0
，求b及A
⑴解：< br>b
2
?a
2
?c
2
?2accosB
=(23)
2
?(6?2)
2
?2?23?(6?2)
cos45
0
=
12?(6?2)
2
?43(3?1)
=8

∴
b?22.

求
A
可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b
2
?c
2
?a
2
(22)
2
?(6?2)
2
?( 23)
2
1
0
??,
∴
A?60.
⑵解法一：∵cos
A?

2bc2
2?22 ?(6?2)
a233
0
解法二：∵
sinA?sinB?

?sin45
0
=,
又
a
＜
c
，即
0
0
＜
A
＜
90
0
,
∴
A?60.
b2
22
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
课堂练习 在
?
ABC中，若
a
2
?
b
2
?
c
2
?
bc
，求角A（答案：A=120°）
教学情境四 课堂小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
（3）正、余弦定理从数量关系的角度解释了三角形全等，已知边角求做三角形两类问题，使其化为可以
计算的公式。
习题设计
1． 在
?
ABC中，a=3,b=4,
?C?60?
,求c边的长。
2． 在
?
ABC中，a=3,b=5，c=7,求此三角形的最大角的度数。
3． 若
sinA:sinB:sinC?5:7:8
,求此三角形的最大角与最小角的和的大小。
4． △ABC中，若
a
2
?c
2
?b
2
tanB?3ac
，求角B的大小。
5．
?
ABC的三内角
A,B ,C
所对边的长分别为
a,b,c
设向量
p?(a?c,b)
,q?(b?a,c?a)
,若
pq
,求角
C的大小）
（本案例由河北师大附中 刘建良设计，由汉沽五中 纪昌武 在目标设计和习题设计方面略作改动）

编写要求：
1、页面设置：A4，上、下、左、右边距都为2cm；教学课题：小 四宋体加粗；问题设计：课本上没有的
有价值的情境、问题、例题、习题用五号黑体字，并简要说明设计 意图。其他都用五号宋体。“目标设计、
情境设计、问题设计、习题设计”要加粗。
2、目标设计主要写知识目标的设计。目标要具体明确、具有可操作性、可测性。
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3、习题设计：每节课的习题5个左右，其中前两个 可作为当堂测验题，要求的难度：只要上课能认真参
与的同学基本上都能作对。后三题可根据各校学生水 平适当提高，但应紧扣本节课教学目标，难度最好控
制在0.8左右。对于所选课本上的题要注明，并具 体写出来。
4、把寒假交流的内容，按统一模作板适当修订，并于3月15日前传至学科牵头人处。

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