高一数学教案：函数及其表示

第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）
教学要求：通过丰富实例，进一步体会函 数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，
在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对 应关系在刻画函数概念中的作
用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？
2 .回顾初中函数的 定义：在一个变化过程中，有两个变量
x
和
y
，对于
x
的每 一个确定
的值，
y
都有唯一的值与之对应，此时
y
是
x的函数，
x
是自变量，
y
是因变量. 表示方
法有：解析法、列表法、图象法.
二、讲授新课：
1.教学函数模型思想及函数概念：
①给出三个实例：

A
. 一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度
h
（米）
与时间
t
（秒）的变化规律是
h?130t?5t
2
.

B
.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上
空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）

C
.国际上常用恩格尔系数 （食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量
的高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩 格尔系数如下表. （见书P17页表）
②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是 什么？两个变量之间存在
着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？
归纳：三个实例变 量之间的关系都可以描述为，对于数集
A
中的每一个
x
，按照某种对
应关系
f
，在数集
B
中都与唯一确定的
y
和它对应，记作：
f
:
A?B

③定义：设
A、B
是非空数集，如果 按照某种确定的对应关系
f
，使对于集合
A
中的任意
一个数
x
，在集合
B
中都有唯一确定的数
f(x)
和它对应，那么称
f
:
A?B
为从集合
A
到
集合
B
的一个 函数（function），记作：
y?f(x),x?A
.
其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函

数值，函数值的集合
{f(x)|x?A}
叫值域（range）.
④讨论：值域与
B
的关系？构成函数的三要素？
一次函数
y?ax ?b(a?0)
、二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
的定义 域与值域？
⑤练习：
f(x)?x
2
?2x?3
，求f(0)、f (1)、f(2)、f(－1)的值。→求
y?x
2
?2x?3,x?{?1,0,1 ,2}
值域.
2.教学区间及写法：
① 概念：设a、b是两个实数，且a{x|a≤x≤b}＝[a,b] 叫闭区间； {x|a{x|a≤x② 符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”
③ 练习用区间表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x④ 用区间表示：函数y＝
x
的定义域 ，值域是 。 （观察法）
3.小结：函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示
三、巩固练习： 1. 已知函数f(x)=3x
2
＋5x－2,求f(3)、f(-
2
)、f(a) 、f(a+1)
2. 探究：举例日常生活中函数应用模型的实例. 什么样的曲线不能作为函数的图象？
3. 课堂作业：书P21 1、2题.
第二课时： 1.2.1 函数的概念（二）
教学要求：会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号 表示；掌握判别
两个函数是否相同的方法。
教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。
教学难点：值域求法。
教学过程：
一、复习准备：
3x
2
1. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝3x是不是同一个函数？为
x
什么？
2. 用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax
2
＋bx＋c、y＝的定义域与值域.
k
x

二、讲授新课：
1.教学函数定义域：
①出示例1：求下列函数的定义域（用区间表示）
f(x)=
x?3
x
2
?2
； f(x)=
2x?9
； f(x)=
x?1
－
x

2?x
学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）
②练习：求定义域（用区间）→
f(x)＝
1
x?2

??3x?4
； f(x)＝
9?x
＋
x?3
x ?4
③小结：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）
2.教学函数相同的判别：
x
3
①讨论：函数y=x、y=(
x< br>)、y=
2
、y=
4
x
4
、y=
x
2
有何关系？
x
2
②练习：判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
A. f ( x ) = (x －1) ；g ( x ) = 1 B. f ( x ) = x； g ( x ) =
x
2

0
C．f ( x ) = x ；f ( x ) = (x + 1)
22 、
D. f ( x ) = | x | ；g ( x ) =
x
2

②小结：函数是否相同，看定义域和对应法则。
3.教学函数值域的求法：
① 例2：求值域（用区间表示）：y＝x
2
－2x＋4；y＝
＝
x?2

x?3
?5
；f(x)＝
x
2
?3x?4
；f(x)
x?3
先口答前面三个 → 变第三个求 → 如何利用第二个来求第四个
②小结求值域的方法： 观察法、配方法、拆分法、基本函数法
三、巩固练习： 1.求下列函数定义域：
f(x)?1?x?
2. 已知f(x+1)＝2x
2
－3x＋1，求f(-1)。 变：
f(x)?
1
x?4
；
f(x)?
1

1?1x
x?1
，求f(f(x))
x?1
解法一：先求f(x)，即设x＋1＝t；（换元法） 解法二：先求f(x)，利用凑配法；
解法三：令x＋1=－1，则x＝－2,再代入求。（特殊值法）

3.f(x)的定义域是[0,1]，则f(x＋a)的定义域是 。
4.求函数y＝－x
2
＋4x－1 ，x∈[-1,3) 在值域。
解法（数形结合法）：画出二次函数图像 → 找出区间 → 观察值域
5.课堂作业：书P27 1、2、3题。
第三课时： 1.2.2 函数的表示法（一）
教学要求：明确函数的三种 表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法
各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需 要选择恰当的方法表示函数。通过具体实
例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
教学难点：分段函数的表示及其图象。
教学过程：
一、复习准备：
1.提问：函数的概念？函数的三要素？
2.讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.
二、讲授新课：
1.教学函数的三种表示方法：
① 结合实例说明三种表示法 → 比较优点
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函
数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势。
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值。
具体实例如：二次函数等；股市走势图； 列车时刻表；银行利率表。
②出示例1. 某种笔记本的单价是2元，买
x
(
x
∈{1，2，3，4，5})个笔记本 需要
y
元．试
用三种表示法表示函数y=f(x) ．
师生共练→小结：函数“y=f(x)”有三种含义（解析表达式、图象、对应值表）．
③讨论：函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？
④练习：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）. 试用三种方法表示此实例
中的函数.

④看书P22例4.下表是某 班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分
表：

甲
乙
丙
班平均
分
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
98
90
68
88．2
87
76
65
78．3
91
88
73
85．4
92
75
72
80．3
88
86
75
75．7
95
80
82
82．6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
提问：分析什么（成绩的变化、成绩的比较）？借助什么进行分析？
小结解答步骤：分别作点→连线→观察→结论
讨论：离散的点为什么用虚线连接起来？此例能用解析法表示表示吗？
2．教学分段函数：
①出示例2：写出函数解析式，并画出函数的图像。
邮局寄信，不超过20g重时付邮资0. 5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元。
每封x克（0 （学生写出解析式→ 试画图像 → 集体订正 ）
②练习：A. 写函数式再画 图像：某水果批发店，100kg内单价1元／kg，500kg内、100kg
及以上0.8元／kg ，500kg及以上0.6元／kg。批发x千克应付的钱数（元）。
B. 画出函数f(x)=|x－1|＋|x＋2|的图像。
③提出: 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）→ 生活
实例
3.看书，并小结：三种表示方法及优点；分段函数概念；函数图象可以是一些点或线段
三、巩固练习：1.已知f(x)＝
?
7,8，9题
第四课时：1.2.2 函数的表示法（二）
教学要求：了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．
?
2x?3,x?(??,0)
2
?
2x?1,x?[0,??)
，求f(0)、f[f(-1)]的值。 2.作业：P27

教学重点：映射的概念．
教学难点：理解概念。
教学过程：
一、复习准备：
1. 举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：
对于任何一个实数
a
，数轴上都有唯一的点
P
和它对应；
对于坐标平面内任何一个点
A
，都有唯一的有序实数对(
x
,
y)和它对应；
对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；
2. 讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？
3. 导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应 ，若将其中的条件“非空数集”弱
化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素 之间的对应关系，
即映射（mapping）.
二、讲授新课：
1. 教学映射概念：
① 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意
A?{1,4,9}
,
B?{?3,?2,?1,1,2,3}
，对应法则：开平方；
A?{?3,?2, ?1,1,2,3}
，
B?{1,4,9}
，对应法则：平方；
A?{30?,45?,60?}
,
B?{1,
231
,,}
, 对应法则：求正弦；
222
② 定义映射：一般地，设
A
、
B
是两个非空的集合 ，如果按某一个确定的对应法则
f
，
使对于集合
A
中的任意一个元素
x
，在集合
B
中都有唯一确定的元素
y
与之对应，那么就称对应
f:A?B
为从集合
A
到集合
B
的一个映射（ mapping）．记作“
f:A?B
”
关键:
A
中任意，
B
中唯一；对应法则
f
.
③ 分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？
④ 讨论：映射的一些对应情况？（一对一；多对一） 一对多是映射吗？
→ 举例一一映射的实例 （一对一）
2.教学例题：

① 出示例1. 探究从集合
A
到集合
B
一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？
A
={
P
| P是数轴上的点}，
B
=
R
；
A
={三角形}，
B
={圆}；
A
={
P
|
P
是平面直角体系中的点}，
B?{(x,y)|x?R,y?R}
；
A
={高一某班学生}，
B
= ？
（ 师生探究从
A
到
B
对应关系 → 辨别是否映射？一一映射？ → 小结：
A
中任意，
B
中唯一）
② 讨论：如果是从
B
到
A
呢？
③ 练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
A={1，2，3，4}，B={3，4， 5，6，7，8，9}，对应法则
f:x?2x?1
；
A?N
*
, B?{0,1}
，对应法则
f:x?x除以2得的余数
；

A?N
，
B?{0,1,2}
，
f:x?x被3除所得的余数
； < br>111
设
X?{1,2,3,4},Y?{1,,,}
f:x?x取倒数
；
234

A?{x|x?2,x?N},B?N
，
f:x?小于x的最大质数

3. 小结：映射概念.
三、巩固练习： 1. 练习：书P26 2、3、4题； 2.课堂作业：书P28 10题.
第五课时 1.2 函数及其表示 （练习课）
教学 要求：会求一些简单函数的定义域和值域；能解决简单函数应用问题；掌握分段函
数、区间、函数的三种 表示法；会解决一些函数记号的问题．
教学重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题．
教学难点：函数记号的理解.
教学过程：
一、基础习题练习： （口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法）
1. 说出下列函数的定义域与值域：
y?
2. 已知
f(x)?
1
8
；
y?x
2
?4x?3
；
y?
2
.
x?4x?3
3x?5
1
，求
f(2)
，
f(f(3))
，
f(f(x))
.
x?1

?
0(x?0)
?
3. 已知
f(x)?
?
?
(x?0)
，作出
f(x)
的图象，求
f(1),f(? 1),f(0),f{f[f(?1)]}
的值.
?
x?1(x?0)
?
二、教学典型例题：
1.函数
f(x)
记号的理解与运用：
① 出示例1. 已知
f
(
x
)=
x
?1
g
(
x
)=
x?1
求
f
[
g
(
x
)]
（师生共练→小结：代入法；理解中间自变量）
② 练习：已知
f(x)
=x
2
?x+3 求： f(x+1), f(
2
1
)
x
已知函数
f(x)
=4x+3，g (x)=x
2
,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].
）?x?2x
,求
f(
x
）
③ 出示例2. 若
f(x?1
）
分析：如何理解
f(x?1
？ 如何转化为
f(
x
）

解法一：换元法，设
t?
x?1
，则……
）?x?2x
?(
x?1)
2
?1
，则…… 解法二：配元法，
f(x?1
解法三：代入法，将
x
用
(x?1 )
2
(x?1)
代入，则……
讨论：
f(
x
）
中，自变量
x
的取值范围？
1x
④ 练习：若
f()?
， 求
f(
x
）
.
x1?x
2. 函数应用问题：
①出示例3. 中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，
付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x分
钟，两种通 讯方式的费用分别为
y
1
,y
（元）. Ⅰ.写出
y
1
,y
2
与x之间的函数关系式？ Ⅱ.
2
一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？ Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费
200元，应选择哪种通讯方式？
（ 师生共练 → 讨论：如何改动，更与实际接近？ → 小结：简单函数应用模型 ）
1
三、巩固练习：1. 已知
f(x)
满足
2f(x)?f()?3x
，求
f(x)
.
x
11
2.若函数
y?f(x)
的定义域为[?1，1]，求函 数
y?f(x?)f(x?)
的定义域
44

3. 设二次函数
f(x)
满足
f(x?2)?f(2?x)
且
f(x)< br>=0的两实根平方和为10，图象过点
(0,3)，求
f(x)
的解析式.