人教版高中数学选修2-1全套教案

解法二：由题意可知
P
1
和
P
7
关于
y
轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知
|P
1
F|?|P
7
F|?2a
，同理可知
|P
2
F|?|P
6
F| ?2a
，
|P
3
F|?|P
5
F|?2a
，
|P
4
F|?a

故
|P
1
F|?|P
2
F|???|P
7
F|?7a?35

板书设计：
复习回顾
引入课题
问题：
推广：
椭圆第二定义
典型例题
1． 2． 3． 4． 5．
课堂练习：
课堂小结：
课后作业：
思考：
2. 椭圆中焦点三角形的性质及应用

定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
x
2
y< br>2
性质一：已知椭圆方程为
2
?
2
?1(a?b?0),两焦点分别为
F
1
,F
2
,
设焦点三角形
PF
1
F
2
中
ab
?F
1
PF
2?
?
,
则
S
?F
1
PF
2
? b
2
tan
?
2
。
2
?(2c)
2?F
1
F
2
2
?PF
1
?PF
2?2PF
1
PF
2
cos
?
2
?(PF
1
?PF
2
)
2
?2PF
1
PF
2(1?cos
?
)

?PF
1
PF
2
?
(PF
1
?PF
2
)
2
?4c
2
2(1?cos
?
)
4a
2
?4c
2
2b
2

??
2(1?cos
?
)1?cos
?
?S
?F
1
PF
2
1b
2
?
?PF
1
PF
2
sin
?
?sin
?
?b
2
tan

21?cos
?
2
x
2
y
2< br>性质二：已知椭圆方程为
2
?
2
?1(a?b?0),
左右两 焦点分别为
F
1
,F
2
,
设焦点三角形
ab
PF
1
F
2
，若
?F
1
PF
2
最大，则点P为椭圆短轴的端点。
证明：设
P(x
o
,y
o
)
,由焦半径公式可知：
PF
1
?a?ex
o
，
PF
1
?a?ex
o

在
?F
1
PF2
中，
cos
?
?
PF
1
?PF
1< br>?F
1
F
2
2PF
1
PF
2
222
?
(PF
1
?PF
2
)
2
?2PF
1
PF
2
?4c
2
2PF
1
PF
2
第36页（共75页）

4a
2
?4c
24b
2
2b
2

??1??1
=
2
?1

22
2PF
1< br>PF
2
2(a?ex
o
)(a?ex
o
)
a ?ex
o
2
?a
2

?
?a?x
0
?a

?x
o

x
2
y
2
性质三：已知椭圆方程 为
2
?
2
?1(a?b?0),
两焦点分别为
F
1
,
F
2
,
设焦点三角形
PF
1
F
2
中
ab
?F
1
PF
2
?
?
,< br>则
cos
?
?1?2e
2
.

证明：设PF
1
?r
1
,PF
2
?r
2
,则在
?F
1
PF
2
中，由余弦定理得：
r
1
2
?r
2
2
?F
1
F
2
(r1
?r
2
)
2
?2r
1
r
2
?4c
2
2a
2
?2c
2

cos
?
????
1

2r
1
r
2
2r
1
r
2
2r
1
r
2
2a< br>2
?2c
2
2a
2
?2c
2
?1??
1
?
1
?
2
e
2
.
命题得证。

?
2
r?r
2a
2(
12
)
2
2
x
2
y
2
（2000年高考题 ）已知椭圆
2
?
2
?
1(
a?b?
0)
的 两焦点分别为
F
1
,
F
2
,
若椭圆上存在一点ab
2
P,
使得
?F
1
PF
2
?12 0
0
,
求椭圆的离心率
e
的取值范围。
简解：由椭圆焦点 三角形性质可知
cos120?1?2e.
即
?
02
1
?1 ?2e
2
,
2
?
3
?
e
,1< br>?
于是得到的取值范围是
?
?
.

2
??< br>x
2
y
2
性质四：已知椭圆方程为
2
?
2< br>?1(a?b?0),
两焦点分别为
F
1
,F
2
,< br>设焦点三角形
PF
1
F
2
，
ab
?PF1
F
2
?
?
,?PF
2
F
1
?
?
,
则椭圆的离心率
e?
?PF
1
F
2
?
?
,?PF
2
F
1
?
?
,
由正弦定理得：
sin(
?
?
?
)
。 < br>sin
?
?sin
?
F
1
F
2
si n(180?
?
?
?
)
o
?
PF
2
sin
?
?
PF
1
sin
?

第37页（共75页）

由等比定理得：
F
1
F2
sin(
?
?
?
)
?
PF
1
?PF
2
sin
?
?sin
?

PF
1
?PF
2
csin(
?
?
?
)
2c2a< br>而， ∴
e??
。
??
asin
?
? sin
?
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)sin
?
?sin
?
sin
?
?si n
?
已知椭圆的焦点是F
1
(－1，0)、F
2
(1，0) ，P为椭圆上一点，且｜F
1
F
2
｜是｜PF
1
｜和｜PF
2
｜
的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P在第三象 限，且∠PF
1
F
2
＝120°，求tanF
1
PF
2
．



解：(1)由题设2｜F
1
F2
｜＝｜PF
1
｜＋｜PF
2
｜
F
1
F
2
x
2
y
2
?
∴2a＝４，又2c＝2，∴b ＝
3
∴椭圆的方程为＝1．
43
(2)设∠F
1
PF
2
＝θ，则∠PF
2
F
1
＝60°－θ
1< br>1sin(180
o
?
?
)
?
椭圆的离心率
e?
则
??
oo
2
2
sin120?sin(60 ?
?
)
sin
?
3
?sin(60
o
?< br>?
)
2
，
整理得：5sinθ＝
3
(1＋cosθ)
3
?
3
sin
?
3
5
?
53
．

∴故
tan?
，tanF
1
PF
2
＝tanθ＝
?
3< br>1?cos
?
5
11
25
1?
25
2?2.3双曲线

2．2．1 双曲线及其标准方程
◆ 知识与技能目标
理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准
方程的推导 过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》
的制作或操作方法< br>．
◆ 过程与方法目标
（1）预习与引入过程
预习教科书56页至60页 ，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截
口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什 么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线
或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了 课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么
此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能 举出现实生活中双曲线的例子．当学生
第38页（共75页）

把上述两个问题 回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P
56
页上的问题（同桌的两位同学准备
无弹 性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔
一枝，教 师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm，另一条约12cm，一端结个套，另一端是活动
的），图钉 两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，
移动笔尖，画出 的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满
足的几何条件是什么？〖 板书〗§2．2．1双曲线及其标准方程．
（2）新课讲授过程
（i）由上述探究过程容易得到双曲线的定义．
〖板书〗把平面内与两个定点
F1
，
F
2
的距离的差的绝对值等于常数（小于
F
1F
2
）的点的轨
迹叫做双曲线（hyperbola）．其中这两个定点叫做双曲 线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的
焦距．即当动点设为
M
时，双曲线即为点集< br>P?
MMF
1
?MF
2
?2a
．
（ii）双曲线标准方程的推导过程
提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类 比求椭圆标准方程的方法由学生来
建立直角坐标系．
无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数
学活动过程．
类比椭圆：设参量
b
的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、
a ,b,c
的关系有明
显的几何意义．
??
y
2
x
2
类比：写出焦点在
y
轴上 ，中心在原点的双曲线的标准方程
2
?
2
?1
?
a?0,b ?0
?
．
ba
（iii）例题讲解、引申与补充
例1 已知双曲 线两个焦点分别为
F
1
?
?5,0
?
，
F
2
?
5,0
?
，双曲线上一点
P
到
F
1< br>，
F
2
距离差
的绝对值等于
6
，求双曲线的标准方程 ．
分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出
a,b,c
．
补充：求下列动圆的圆心
M
的轨迹方程：① 与⊙
C
：
?< br>x?2
?
?y?2
内切，且过点
2
2
A
?< br>2,0
?
；② 与⊙
C
1
：
x
2
?
?
y?1
?
?1
和⊙
C
2
：
x< br>2
?
?
y?1
?
?4
都外切；③ 与⊙
C< br>1
：
22
?
x?3
?
2
?y
2?9
外切，且与⊙
C
2
：
?
x?3
?
?y
2
?1
内切．
2
解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆
M
的
半径为
r
．
① ∵⊙
C
与⊙
M
内切，点
A
在⊙
C外，∴
MC?r?2
，
MA?r
，因此有
MA?MC?2
，∴点
M
的轨迹是以
C
、
A
为焦点的双曲线的左支，即< br>M
的轨迹方程是
第39页（共75页）

2y
2
2x??1x??2
；
7
2
??
② ∵⊙
M
与⊙
C
1
、 ⊙
C
2
均外切，∴
MC?1
，
MC
2
?r ?2
，因此有
1
?r
MC
2
?MC
1
?1
，∴点
M
的轨迹是以
C
2
、
C
1
为焦点的双曲线的上支，∴
M
的轨迹方程是
4x
2
3
??< br>4y??1
?
y?
?
；
34
??
2
③ ∵
M
与
C
1
外切 ，且
M
与
C
2
内切，∴
MC
1
?r?3< br>，
MC
2
?r?1
，因此
MC
1
?MC2
?4
，∴点
M
的轨迹是以
C
1
、
C
2
为焦点的双曲线的右支，∴
M
的轨迹方程是
x
2
y
2
??1
?
x?2
?
．
45
例2 已 知
A
，
B
两地相距
800m
，在
A
地听到 炮弹爆炸声比在
B
地晚
2s
，且声速为
340ms
，求炮弹 爆炸点的轨迹方程．
分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及
A
，B
两地听到爆炸声的时间差，
即可知
A
，
B
两地与爆炸 点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．
扩展：某中心接到其正东、正西 、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时
听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时 间比其他两个观察点晚
4s
．已知各观察点到该中
心的距离都是
1020m< br>．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为
340ms
；相关
点均 在同一平面内）．
解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因 正东比正西
晚
4s
，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．
如图， 以接报中心为原点
O
，正东、正北方向分别为
x
轴、
y
轴方 向，建立
直角坐标系，设
A
、
B
、
C
分别是西、东 、北观察点，则
A
?
?1020,0
?
，
B
?1020,0
?
，
C
?
0,1020
?
．
设
P
?
x,y
?
为巨响发生点，∵
A
、
C
同时听到巨响，∴
OP
所在直线为
y??x
……①，又 因
B
点比
A
点晚
4s
听到巨响声，∴
PB?PA? 4?340?1360
?
m
?
．由双曲线定义知，
a?680
，
x
2
y
2
??1
?
x??680
?< br>……②．联
c?1020
，∴
b?3405
，∴
P
点 在双曲线方程为
22
6805?340
立①、②求出
P
点坐标为P?6805,6805
．即巨响在正西北方向
68010m
处．
探究 ：如图，设
A
，
B
的坐标分别为
?
?5,0
?，
?
5,0
?
．直线
AM
，
BM
相交 于
??
第40页（共75页）

点
M
，且它们的斜率 之积为
4
，求点
M
的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什么发现？ < br>9
探究方法：若设点
M
?
x,y
?
，则直线
AM
，
BM
的斜率就可以用含
x,y
的式子表示，由于
直线
AM
，
BM
的斜率之积是
4
，因此，可以求出
x, y
之间的关系式，即得到点
M
的轨迹方程．
9
◆ 情感、态度与价值观目标
通过课件（
a
）的展示与操作，必须让学生认同：与圆锥的 轴平行的平面去截圆锥曲面所得
截口曲线是一条双曲线而不是两条抛物线；必须让学生认同与体会：双曲 线的定义及特殊情形当
常数等于两定点间距离时，轨迹是两条射线；必须让学生认同与理解：已知几何图 形建立直角坐
标系的两个原则，及引入参量
b?c
2
?a
2
的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和
谐美；让学生认同与领悟：像例1这基础题配备是必 要的，但对定义的理解和使用是远远不够的，
必须配备有一定灵活性、有一定的思维空间的补充题；例2 是典型双曲线实例的题目，对培养学
生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题有一定的帮助， 但要准确判定爆炸点，必须
对此题进行扩展，培养学生归纳、联想拓展的思维能力．
◆能力目标
（1） 想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实 际例子，
能用数学符号或自然语言的描述双曲线的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来
根据 图形能用数学术语和数学符号表示．
（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来 会把代数问题转化为几何
问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申 到
一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．
（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（4） 数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．
（5） 创新意识能力：培 养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题
的一般的思想、方法和途径．
练习：第60页1、2、3、
作业：第66页1、2、

2．2．2 双曲线的简单几何性质
◆ 知识与技能目标
了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据 条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，
研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴， 对称中心、离心率、顶点、渐近线的概
念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通 过例题和探究了解双曲线的第
二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定 义
．
◆ 过程与方法目标
（1）复习与引入过程
引导学生复习得到椭圆 的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的
标准方程的讨论，研究双曲线的几何性 质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地
培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念 能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲
第41页（共75页）

线的对 称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；
④应用信息技 术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过
P
56
的思考问题，探< br>究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．2．2双曲线的简单几何性质．
（2）新课讲授过程
（i）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质．
提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对双曲线的范围、对称性 及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位
置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他 特征性质来研究曲线的几何性质．
（ii）双曲线的简单几何性质
y
2
x
2
①范围：由双曲线的标准方程得，
2
?
2
?1?0
，进一步得：
x??a
，或
x?a
．这
ba
说明双曲线在不等式
x??a
，或
x?a
所表示的区域 ；
②对称性：由以
?x
代
x
，以
?y
代
y
和
?x
代
x
，且以
?y
代
y
这 三个方面来研究双曲线的
标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以
x
轴和
y
轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴 与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲
线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点 所在的对称轴叫做实
轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；
x
2
y
2< br>b
④渐近线：直线
y??x
叫做双曲线
2
?
2
?1
的渐近线；
ab
a
⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比
e?
（iii）例题讲解与引申、扩展
例3 求双曲线< br>9y?16x?144
的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方
程． < br>分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出
a,b,c
．引导学生用双曲线的实半轴 长、虚半
轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在
y
轴上的渐近线是
22
c
叫做双曲线的离心率（
e?1
）．
a
y??
a
x
．
b
x
2
y2
??1
共渐近线，且经过
A23,?3
点的双曲线的标准方及离心率． 扩展：求与双曲线
169
??
x
2
y
2
3
??1
的渐近线方程为
y??x
．①焦点在
x
轴上时，设所求的双 解法剖析：双曲线
169
4
x
2
y
2
1
2
??1
A23,?3
k??
曲线为，∵点在双曲线上，∴，无解；②焦点在< br>y
轴上时，
22
16k9k
4
??
第42页（共75 页）

x
2
y
2
1
2
??1
设所求的双曲线为
?
，∵点在双曲线上，∴，因此，所求双
A23,?3
k ?
22
16k9k
4
??
y
2
x
2
5
??1
，离心率
e?
．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，曲线 的标准方程为
9
4
3
4
x
2
y
2
??m
?
m?R,m?0
?
． 事实上，可直接设所求的双曲线的方程为
169
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部 分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最
小半径为
12m
，上口半径为
13m
，下口半径为
25m
，高为
55m
．试选择适当的坐标系，求 出双
曲线的方程（各长度量精确到
1m
）．
解法剖析：建立适当的直角坐标 系，设双曲线的标准方程为
x
2
y
2
?
2
?1，算出
a,b,c
的值；此题应注意两点：①注意建立直
2
ab
角坐标系的两个原则；②关于
a,b,c
的近似值，原则上在没有注
意精确度时，看题 中其他量给定的有效数字来决定．
引申：如图所示，在
P
处堆放着刚购买的草皮，现 要把这些草皮沿着道路
PA
或
PB
送到呈矩形的足球场
ABCD中去铺垫，已知
AP?150m
，
BP?100m
，
BC?60 m
，
?APB?60
．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”
线 的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．
解题剖析：设
M
为“等距离”线上任 意一点，则
PA?AM?PB?BM
，
即
BM?AM?AP?BP?50（定值），∴“等距离”线是以
A
、
B
为焦点的双曲线的左支
x
2
y
2
??1
?
?35?x??25,0?y?60
?
．理由略． 上的一部分，容易“等距离”线方程为
6253750
例5 如图， 设
M
?
x,y
?
与定点
F
?
5,0
?
的距离和它到直线
l
：
x?
求点
M
的轨迹方程 ．
分析：若设点
M
?
x,y
?
，则
MF?
165
的距离的比是常数，
54
16
的距离
5
?
x?5
?
2
?y
2
，到直线
l
：
x?d?x?
16
，则容易得点
M
的轨迹方程．
5
第43页（共75页）

引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线
a
2
若点M
?
x,y
?
与定点
F
?
c,0
?< br>的距离和它到定直线
l
：
x?
的距离比是常数
c
a< br>2
c
e?
?
c?a?0
?
，则点
M
的轨迹方程是双曲线．其中定点
F
?
c,0
?
是焦点，定直线
l
：
x?
c
a
a
2
相应于
F
的 准线；另一焦点
F
?
?
?c,0
?
，相应于
F?
的准线
l
?
：
x??
．
c
◆ 情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实 现共同探究，
教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观， 激励
学生创新．必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直
角坐 标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同
与熟悉：取近 似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算
的一定要按要求进行计 算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；
让学生参与并掌握利用信息技 术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教
学辅助手段的技能．
◆能力目标
（1） 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解
决问题的能力．
（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何
问题 来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思
维能力．
（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（4） 创新意识能力：培养学生思考 问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题
的一般的思想、方法和途径．
练习：第66页1、2、3、4、5
作业：第3、4、6
补充： 3.
课题:双曲线第二定义
教学目标：
11111．知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。
11112．能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力及探索和创新意识。
教学重点
：双曲线的第二定义
教学难点
：双曲线的第二定义及应用.
教学方法：
类比法（类比椭圆的第二定义）
教学过程：1
1111111
一、复习引入
：
第44页（共75页）

1、 （1）、 双曲线的定义：平面上到两定点
F
1
、F
2
距离之差的绝对值等于常 数（小于
|F
1
F
2
|
）
的点的
轨迹叫 做双曲线.定点
F
1
、F
2
叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双 曲线的焦距。
(2)、双曲线的标准方程：
x
2
y
2
y
2
x
2
焦点在x轴：
2
?
2
?1

(a?0,b?0)
焦点在y轴：
2
?
2
?1

(a?0,b?0)
其中
ab
ab
a
2
?b
2
?c
2

2、 对于焦点在x轴上的双曲线的有关性质：
bc
x
；（3）、离心率：
e?
>1
aa
3、今节课我们来学习双曲线的另一定义。（板书课题：双曲线第二定义）
（1 ）、焦点：F
1
(-c,0),F
2
(c,0)；(2)、渐近线:
y??
二、新课教学：
1、引例(课本P
64
例6)：点M(x,y) 与定点F(5,0)距离和它到定直线
l:x?
常数
16
的距离之比是
5
y
H
H
o
F
2

5
,求点M的轨迹方程.
4
分析：利用求轨迹方程的方法。
|M F|5
解:设
d
是点M到直线
l
的距离,根据题意,所求轨迹就是集 合P={M|
?
},
d4
F
1
(x?5)2
?y
2
5
x
2
y
2
?1
即
?

化简得?
16
169
4
x?
5
所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。
a
2x?
c
a
2
16
由例6可知:定点F(5,0)为该双曲线的焦 点,定直线
l:x?
为
x?
,
c
5
常数为离心率
e?
c
>1.
a
a< br>2
[提出问题]：（从特殊到一般）将上题改为：点M(x,y)与定点F(c,0)距离和它到 定直线
l:x?
c
的距离之比是常数
e?
c
?1
, 求点M的轨迹方程。
a
第45页（共75页）

解：设
d
是点M到直线
l
的距离, 根据题意,所求轨迹就是集合P={M|
|MF|5
?
}, 即
d4(x?c)
2
?y
2
a
2
x?
c
?< br>c
22222222222
化简得
(c?a)x?ay?a(c?a)
两边同时除以
a(c?a)
得
a
x
2
y
2
?
2
?1
(
其中
a?0,b?0)

2
ab
2、小结：
a
2
双曲线第二定义:当动点M(x,y) 到一定点F(c,0)的距离和它到一定 直线
l:x?
的距离之
c
比是常数
e?
c
?1时,这个动点M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点F(c,0)是双曲线的一个焦点，
a
a
2
定直线
l:x?
叫双曲线的一条准线，常数e是双曲线的离心率。双曲 线上任一点到焦点的线
c
段称为焦半径。例如PF是双曲线的焦半径。
（P
65
思考）与椭圆的第二定义比较,你有什么发现？（让学生讨论）
答 ：只是常数
e
的取值范围不同，椭圆的
0?e?
cc
?1
, 而双曲线的
e??1
.
a
a
三、课堂练习

x
2
y
2
??1
的准线方程、两准线间的距离。 1． 求
34
x
2
y
2
3
??1
可知,焦点在x轴 上,且
c?3?4?7
所以准线方程为:
x??
解:由；故两
34
7
准线的距离为
3367
.
?(?)?
7
77
2、(2006年广东高考第8题选择题)已知双曲线 3x
2
－y
2
= 9，则双曲线右支上的点 P 到右焦点
的距离与点 P 到右准线的距离之比等于( )。
(A) 2 (B)
23

3
(C) 2 (D) 4
解：
x
2
y
2
??1
上的一点P到左焦点的距离为9，则P到右准线的距离是＿＿＿＿ 3、如果双曲线
25144
第46页（共75页）

解： P 到左准线的距离为m，由双曲线方程可知a=5，b=12，c=13，
e?
c13
?

a5
a
2
25
91345
?
准线方程为
x??
根据双曲线第二定义得,
?e??m?

c13
m513
又两准线间的距离为
252550504595
?(?)?

?P到右准线的距离为??
。
3
4、双曲线两准线把两焦点连线段三等分，求e.
a
2
a2
1c
2
?(?)??2c
即
2
?3,又
解： 由题意可知，
cc3a

e?1
所以
e?
c
?3

a
x
2
y
2
5. 双曲线的
2
?
2
?1

?
a
＞
0
，
b
＞
0
?
渐近线与一条准线围成的三角形的面积
ab
是 .
a
2
a
2
b
解 :由题意可知,一条准线方程为:
x?
,渐近线方程为
y??x
因为当x?
时
cc
a
ba
2
ab1ababa
2a
3
b
y????
所以所求的三角形面积为:
[?(?)]?
2

acc2cccc
四、巩固练习：
1．已知双曲线
x
2
a
2
?
y
2
b
2
= 1(a＞0，b＞0)的右焦点 为F，右准线与一条渐近线交于A，△OAF面积
a
2
为（O为原点），则两条渐近线 夹角为（ ）
2
A．30° B．45° C．60° D．90°
ba
2
ab1aba
2
??
解：由题意可得，
△< br>OAF
的底边|OC|=c,高h=
?
S
△
OAF=
c
?a?b
因
acc2c2
此可知该双曲线为等轴双曲线。所 以两条渐近线夹角为
90°。





y
2
1
2.
已知点（

A3，1）、F（2，0） ,在双曲线
x?
?1上求一点P，使得PA?PF的值最小，并求出最小值。
3
2
11
分析：本题的关键是利用双曲线的第二定义将PA?PF中的PF转化。

22
y
2
H
P
P
第47页（共75页）
H
F
o
F x

解：由题意得e? 2，设点P到右准线的距离为d，
1
PF
1
则由双曲线第二定义得：?2?PF?d

即PA?PF?PA?d

d
2
2
A
3?
结合图形得:
最小值为：
a
2
c
?
5
2
,这时P为：（
23
3，1）
。
五、教学反思：
(1) 知识内容：双曲线的第二定义及应用。
(2) 数学方法:类比法，
(3) 数学思想: 从特殊到一般
六、作业：

1、双曲线
2mx?m y? 2
的一条准线是y=1,则
m
的值。
2、求渐近线方程是4x
?3 y?0
,准线方程是5y
?16?0
的双曲线方程．
3、已知双曲线的离心 率为2,准线方程为
y??2x
,焦点F(2,0),求双曲线标准方程.
4、(请你编题)若双曲线标准方程为＿＿上一点p到(左,右)焦点的距离是＿＿＿则点p到(左, 右)
准线的距离＿＿＿.
七、板书设计
课题：双曲线的第二定义及应用
1、 复习引入
（1）、双曲线的定义
(2)、双曲线的标准方程
(3)、关于焦点在x轴上的双曲线的有关
性质
2、 新内容
双曲线第二定义:


例题：
课堂练习：
1、
2、
3、
4、
5、
课后练习：
1、
2、
作业：
1、 2、 3、 4、
22
2.4抛物线
一 教学设想
1 2． 3 1抛物线及标准方程

（1） 教具的准备
问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？
在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？
问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？
第48页（共75页）

< br>在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．引
导学生 进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究
了．今天，我们 突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线.
通过提问来激发学生的探究欲望，首先研究 抛物线的定义，教师可以用直观的教具叫学生参
与进行演示，再由学生归纳出抛物线的定义．
（2） 抛物线的标准方程
设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面 ，我们来求抛物线的方程．怎
样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？
让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的方案
方案1：(由第 一组同学完成，请一优等生演板．)以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线
为x轴建立直角坐标系(图 2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于
D，抛物线的集合 为：p={M||MF|=|MD|}．


化简后得：y2=2px-p2(p＞0)．
方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)

以定点F为原点，平行l的直线 为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，
y)，且设直线l的方程为x=-p， 定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：
p={M||MF|=|MD|}．

化简得：y2=2px+p2(p＞0)．
方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．)
取过焦点F且垂直于准线l的直线为 x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y
轴，建立直角坐标系(图2-32)．
第49页（共75页）

抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．


化简后得：y2=2px(p＞0)．
（3） 例题讲解与引申 教材中选取了2个例题，例1是让学生会应用公式求抛物线的焦点坐标和准线方程。例2是
应用方面 的问题，关键是由题意设出抛物线的方程即可。

2 2。 3 2 抛物线的几何性质
（1） 抛物线的几何性质
下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2 =2px(p＞0)出发来研究它
的几何性质．
(二)几何性质
怎样由抛物线的标 准方程确定它的几何性质？以y2=2px(p＞0)为例，用小黑板给出下表，
请学生对比、研究和填 写．
第50页（共75页）

（2） 例题的讲解与引申
例3有2种解法；解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离(即
此点的焦半径)等于此点到准线的距离．可得焦半径公式设P(x0，

这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此必须熟练掌握．
(2)由焦半径不 难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、
B(x2，y 2)则有|AB|=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴，抛物线的通径|AB|=2p
例4涉及 直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于
另一变量的一元二次方 程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法．
附 教学教案

2.4.1抛物线及标准方程
知识与技能目标
使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．
要求学生进一步熟练掌握解析几 何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的
能力．
过程与方法目标
情感，态度与价值观目标
（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
第51页（共75页）

（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。
能力目标
：
（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养
；
（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解
决问题；
（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思
维能力

（1） 复习与引入过程
回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e ＜1时
是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？
2．简单实验 < br>如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直
尺的 边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线
l的距离AC ，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的
这条直角边把绳子绷 紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲
线叫做抛物线．反复演示后， 请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．
（3） 新课讲授过程
（i）由上面的探究过程得出抛物线的定义
《板书》平面内与一定点F和一条定直线l的距离 相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在
定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线 的准线.
(ii) 抛物线标准方程的推导过程
引导学生分析出：方案3中得出的方程作为 抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有
较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项 系数是焦点到准线距离的2倍．
由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：
第52页（共75页）

将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板， 并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形
中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起 来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等
号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方 程等号的右端为±2py，相应地左端为
x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半 轴上时，取负号．
(iii)例题讲解与引申
例1 已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程
已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程
解 因为p=3，所以抛物线的焦点坐标是（32,0）准线方程是x=-32
因为抛物线的焦点在轴的负半轴上，且p2=2，p=4，所以抛物线的标准方程是
x2=-8y 例2一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线的接
受天线， 经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m深度为0.5m，求抛物线的标准方程
和焦点坐标 。
解；设抛物线的标准方程是y2=2px (p>0)。有已知条件可得，点A的坐标是（0.5 ，2.4）
代入方程，得2.4=2p*0.5即=5.76
第53页（共75页）

所以，抛物线的标准方程是y2=11.52x，焦点坐标是（2.88，0）
练习：第72页1、2、3、
作业：第78页1、2、3、4、

2.4.2 抛物线的几何性质
知识与技能目标
使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．
从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力
过程与方法目标
复习与引入过程
1．抛物线的定义是什么？
请一同学回 答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛
物线．”
2．抛物线的标准方程是什么？
再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px( p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞
0)和x2=-2py(p＞0)． 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它
的几何性质．《板书》抛物线的几何性质
（2）新课讲授过程
（i）抛物线的几何性质
通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？
学生和教师共同小结：
(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．
(2)抛物 线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，
抛物线没有中心．
(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．
(4)抛物线的离心率要 联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是
应规定抛物线的离心率为1．注意： 这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为
点的轨迹统一起来了
（ii）例题讲解与引申
．例题3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点 M(-3，m)到焦点的距离
等于5，求抛物线的方程和m的值．
解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方

因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离

得p=4．
因此，所求抛物线方程为y2=-8x．
又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．
第54页（共75页）

解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由学生演板．由题意

在抛物线上且|MF|=5，故

例4 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点 F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，
y1)、B(x2，y2)(图2-34)．


证明：
(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：

此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．

或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．
综合上述有y1y2=-p2
又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，

练习：第78页：1、2、3、4、
第55页（共75页）

作业：5、6、7
第三章 空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算（一）
教学目标：
㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；
㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会
用联系的观点看待事物．
教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．
教学难点：应用向量解决立体几何问题．
教学方法：讨论式．
教学过程：
Ⅰ.复习引入
［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识， 什么叫做向
量？向量是怎样表示的呢？
［生］
既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：
AB
．
［师］数学上所说的向量是自由向量，也就 是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向
量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学 们回忆一下．
［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：


⒈向量的加法：



⒉向量的减法：
⒊实数与向量的积：




















实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|
(2)当λ＞0时，λa与a同向；
当λ＜0时，λa与a反向；
当λ＝0时，λa＝0.
第56页（共75页）

［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？
［生］
向量加法和数乘向量满足以下运算律
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地 引入空间向量的概念、表示方
法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算 率，并进行一些简单
的应用．请同学们阅读课本P
26
～P
27
．
Ⅱ.新课讲授
［师］如同平面向量的概念，我们把
空间中具有大小和方向的量叫做向 量．
例如空间
的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表 示的呢？
［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且
同向且等长的有向线段表 示
同一向量或相等的向量
．
［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空 间任意两个向量都可以用同一平面
内的两条有向线段表示．因此我们说
空间任意两个向量是共面 的
．
［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？
［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：
OB?OA?AB
=
a+b，
AB?OB?OA
（指向被减向量），
OP?
λa
(
?
?R)

［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．
［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：
⑴加法交换律：a + b = b + a；
⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）
⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb．

［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终
点的向量．即：
A
1
A
2
?A
2
A
3
?A
3< br>A
4
?
?
?A
n?1
A
n
?A1
A
n

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
A
1
A
2
?A
2
A
3
?A
3
A
4< br>?
?
?A
n?1
A
n
?A
n
A1
?0
．
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．
例１已知平行六面体ABCD?A'B'C'D'
（如图），化简下列向
量表达式，并标出化简结果的向量：
第57页（共75页）

⑴AB?BC；
1
⑶AB?AD?CC'
⑵AB?AD?AA'；
2

1
⑷(AB?AD?AA')．

3
说明：平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成
的几何 体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’
．
平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面
体的棱．
解：（见课本P
27
）
说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面 内的三个向量之和，等于以
这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这 是平面
向量加法的平行四边形法则向空间的推广．
Ⅲ.巩固练习
课本P
92
练习
Ⅳ. 教学反思
平面向量仅限于研究平面图 形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，
它们的共同点都是指“将图形上所有点沿 相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的
平移．
关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．
Ⅴ.课后作业
⒈课本P
106
1、2、
⒉预习课本P
92
～P
96
，预习提纲：
⑴怎样的向量叫做共线向量？
⑵两个向量共线的充要条件是什么？
⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？
⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？
⑸怎样的向量叫做共面向量？
⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？
⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？
板书设计：
§9.5 空间向量及其运算（一）
一、平面向量复习 二、空间向量 三、例1
⒈定义及表示方法 ⒈定义及表示
⒉加减与数乘运算 ⒉加减与数乘向量 小结
⒊运算律 ⒊运算律
教学后记：


第58页（共75页）

空间向量及其运算（2）

一、课题：空间向量及其运算（2）
二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．
三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．
四、教学过程：
（一）复习：空间向量的概念及表示；
（二）新课讲解：
1．共线（平行）向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行
向量 。读作：
a
平行于
b
，记作：
ab
．
2．共线向量定理：
对空间任意两个向量
a,b(b?0),ab
的充要条 件是存在实数
?
，使
a?
?
b
（
?
唯一） ．
推论：如果
l
为经过已知点
A
，且平行于已知向量
a< br>的直线，那么对任一点
O
，点
P
在直线
l
上
的充要条件是存在实数
t
，满足等式
OP?OA?tAB
①，其中向量
a
叫做直线
l
的方向向量。在
l
上取
AB?a
， 则①式可化为
OP?OA?tAB
或
OP?(1?t)OA?tOB
② 11
时，点
P
是线段
AB
的中点，此时
OP?(OA? OB)
③
2
2
①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段
AB
的中点公式．
当
t?

3．向量与平面平行：
l
P
B
a
A
O
已知平面
?
和向量
a
，作
OA?a
，如果直线
OA
平行于
?
或在
?< br>内，那么我们说向量
a
平
行于平面
?
，记作：
a?
．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
说明：空间任意的两向量都是共面的．
4．共面向量定理：
a

a

?

如果两个向量
a,b
不共线，
p
与向量
a,b
共面的充要条件是存在实数
x,y
使
p?xa ?yb
．
推论：空间一点
P
位于平面
MAB
内的充分必要 条件是存在有序实数对
x,y
，使
MP?xMA?yM
或对空间任一点
B
O
，有
OP?OM?xMA?yMB
①
上面①式叫做平面
MAB
的向量表达式．
第59页（共75页）

（三）例题分析：
例1．已知
A,B,C
三点不共线，对平 面外任一点，满足条件
OP?
试判断：点
P
与
A,B,C
是 否一定共面？
解：由题意：
5OP?OA?2OB?2OC
，
∴
(OP?OA)?2(OB?OP)?2(OC?OP)
，
∴
AP?2PB?2PC
，即
PA??2PB?2PC
，
所以，点
P
与
A,B,C
共面．
说明：在用共面向量定理 及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要
条件形式，然后对照形式将已知条 件进行转化运算．
【练习】：对空间任一点
O
和不共线的三点
A,B,C< br>，问满足向量式
OP?xOA?yOB?zOC
（其
中
x?y?z?1
）的四点
P,A,B,C
是否共面？
解：∵
OP?(1?z?y)OA?yOB?zOC
，
∴
OP?OA?y(OB?OA)?z(OC?OA)
，
∴
AP? yAB?zAC
，∴点
P
与点
A,B,C
共面．
例2．已知
122
OA?OB?OC
，
555
O

ABCD
，从平面
AC
外一点
O
引向量
D

A

B

C

G

OE?kOA,OF?KOB,OG?kOC,OH?kOD
，
（1）求证：四点
E,F,G,H
共面；
（2）平面
AC

平面
EG
．
H

E

F

解：（1）∵四边形
ABCD
是平行四边形，∴
AC?AB?AD
，
∵
EG?OG?OE
，
?k?OC?k?OA?k(OC?OA)?kAC ?k(AB?AD)
?k(OB?OA?OD?OA)?OF?OE?OH?OE
?EF?EH
∴
E,F,G,H
共面；

第60页（共75页）

（2）∵
EF?OF?OE?k(OB?OA)?k?AB
，又∵
EG?k ?AC
，
∴
EFAB,EGAC

所以，平面
AC
平面
EG
．
五、课堂练习：课本第96页练习第1、2、3题．
六、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；
2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．
七、作业：
1．已知两 个非零向量
e
1
,e
2
不共线，如果
AB?e
1< br>?e
2
，
AC?2e
1
?8e
2
，
AD?3e
1
?3e
2
，
求证：
A,B,C,D
共面．
2．已知
a?3m?2n?4p,b ?(x?1)m?8n?2yp
，
a?0
，若
ab
，求实数
x,y
的值。
3．如图，
E,F,G,H
分别为正方体
AC
1
的棱
A
1
B
1
,A
1
D
1< br>,B
1
C
1
,D
1
C
1
的中点，
求证：（1）
E,F,D,B
四点共面；（2）平面
AEF

平面
BDHG
．
4．已知
E,F,G,H
分别是空间四边形
ABCD
边
AB,BC,CD,DA
的中点，
D
1
H
EB
1
G
C
1
A

（1）用向量法证明：
E,F,G,H
四点共面；
（2）用向量法证明：
BD
平面
EFGH
．

F
A
1
E

C
H

B

D
A
B

F

D

G

C

3.1.3．空间向量的数量积（1）

教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2．掌握两个向量的数量积的计算 方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些
简单问题。
教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培 养严谨的学习态度，培养积极进取的精
神．
教学过程
学生探究过程：（一）复习：空间向量基本定理及其推论；
（二）新课讲解：
1．空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量
a,b
，在空间任取一点< br>O
，作
OA?a,OB?b
，则
?AOB
叫做向量
a
与
b
的夹角，记作
?a,b?
；且规定
0??a,b??< br>?
，显然有
?a,b???b,a?
；
第61页（共75页）

若
?a,b??

2．向量的模：
?
2< br>，则称
a
与
b
互相垂直，记作：
a?b
；
设
OA?a
，则有向线段
OA
的长度叫做向量
a
的长度或模 ，记作：
|a|
；

3．向量的数量积：
已知向量
a, b
，则
|a|?|b|?cos?a,b?
叫做
a,b
的数量积，记
作
a?b
，即
a?b?
|a|?|b|?cos?a,b?
．
已知向量
AB?a
和轴
l
，
e
是
l< br>上与
l
同方向的单位向量，
作点
A
在
l
上的 射影
A
?
，作点
B
在
l
上的射影
B
?
，则
A
?
B
?
叫做
向量
AB
在轴
l
上或在
e
上的正射影；可以证明
A
?
B?
的长度
e

B

A
?

B
?

A

C

|A
?
B
?
|?|AB|cos?a,e??|a?e
．
|


4．空间向量数量积的性质：
（1）
a?e?|a|cos?a,e?
．
（2）
a?b?a?b?0
．
（3）
|a|?a?a
．

5．空间向量数量积运算律：
（1）
(
?
a)?b?< br>?
(a?b)?a?(
?
b)
．
（2）
a?b?b?a
（交换律）．
（3）
a?(b?c)?a?b?a?c
（分配律）．

（三）例题分析：
例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。
已知：< br>m,n
是平面
?
内的两条相交直线，直线
l
与平面
?
的交点为
B
，且
l?m,l?n

求证：
l?
?
．
证明：在
?
内作不与
m,n
重合的任一直线
g
，
在
l,m,n,g
上取非零向量
l,m,n,g
，∵
m,n
相交，
∴向量
m,n
不平行，由共面定理可知，存在
唯一有序实数对
(x,y)
，使
g?xm?yn
，
∴
l?g?xl?m?yl?n
，又∵
l?m?0,l?n?0
，
∴
l?g?0
，∴
l?g
，∴
l?g
，
所以，直线
l
垂直于平面内的任意一条直线，即得
l?
?
．

例2．已知空间四边形
ABCD
中，
AB?CD
，
AC?BD
，求证：
AD?BC
．
证明：（法一）
AD?BC?(AB?BD)?(AC?AB)


?AB?AC?BD?AC?AB?AB?BD


?AB?(AC?AB?BD)?AB?DC?0
．
2
2
l
g
n
l
m
n
m
g
第62页（共75页）

（法二）选取一组基底，设
AB?a,AC?b,AD?c
，
∵
AB?CD
，∴
a?(c?b)?0
，即
a?c?b?a
，
同理：
a?b?b?c
，，
∴
a?c?b?c
，
∴
c?(b?a)?0
，∴
AD?BC?0
，即
AD?BC
．
说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知 向量，
然后通过向量运算取计算或证明。

例3．如图，在空间四边形
OA BC
中，
OA?8
，
AB?6
，
AC?4
，
BC?5
，
?OAC?45
，
?OAB?60
，求
OA< br>与
BC
的夹角的余弦值。
解：∵
BC?AC?AB
，
∴
OA?BC?OA?AC?OA?AB

?|OA|?|AC|?cos?OA,AC??|OA|?|AB|?cos?OA,AB?

O

?8?4?cos135?8?6?cos120?24?162

OA?BC24?1623?22
∴
cos?OA,BC??
，
??
8?55
|OA|?|BC|
所以，
OA
与
BC
的夹角的余弦值为
A

B

C

3?22
．
5
说明：由图形知向量的夹角时易出错，如
?OA,A C??135
易错写成
?OA,AC??45
，切记！
五．巩固练习：课本第99页练习第1、2、3题。
六．教学反思：空间向量数量积的概念和性质。
七．作业：课本第106页第3、4题
补充：
1．已知向量
a?b
，向量
c
与
a,b< br>的夹角都是
60
，且
|a|?1,|b|?2,|c|?3
，
试求：（1）
(a?b)
；（2）
(a?2b?c)
；（3）
(3 a?2b)?(b?3c)
．

22
向量的数量积（2）

一、教学目标：①向量的数量积运算
②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角
二、教学重点：①向量的数量积运算
②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角
三、教学方法：练习法，纠错法，归纳法
四、教学过程：
考点一：向量的数量积运算
（一）、知识要点：
1）定义：① 设<
a,b
>=
?
,则
ab?
（
?
的范围为 ）
②设
a?(x
1
, y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
则
ab?
。
第63页（共75页）

注：①
ab
不能写成
ab
，或
a?b
②
ab
的结果为一个数值。
2）投影：
b
在
a
方向上的投影为 。
3）向量数量积运算律：
①
ab?ba
②
(
?
a)b?
?
(ab)?a(
?
b)
③
(a?b)c?ac?bc

注：①没有结合律
(ab)c?a(bc)

二）例题讲练
1、下列命题： ①若
ab?0
，则
a
，
b
中至少一个为
0
②若
a?0
且
ab?ac
，则
b?c

③
(ab)c?a(bc)
④
(3a?2b)(3a?2b)?9a?4b

中正确有个数为 （ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2、已知
?ABC
中，A，B，C所对的边为a,b,c，且a=3,b =1,C=30°,则
BCCA
= 。
22
3、若
a
，
b
，
c
满足
a? b?c?0
，且
a?bb?c
= 。
a? 3,b?1c,?
，
4
则
4、已知
a?b?2
，且
a
与
b
的夹角为
考点二：向量数量积性质应用
一）、知识要点：
?
，则
a?b
在
a
上的投影为 。
3
①
a?b?ab?0
（用于判定垂直问题）
②
a?a
（用于求模运算问题）
③
cos
?
?< br>ab
ab
2
（用于求角运算问题）
二）例题讲练
1、已知
a?2
，
b?3
，且
a
与
b
的夹角为为何值时
c?d

2、已知
a?1
，
b?1
，
3a?2b?3
，则
3a?b?
。 < br>?
，
c?3a?2b
，
d?ma?b
，求当m
2第64页（共75页）

3、已知
a
和
b
是非零 向量，且
a
=
b
=
a?b
，求
a
与
a?b
的夹角
4、已知
a?4
，
b?2
，且
a
和
b
不共线，求使
a?
?
b
与
a?
?
b
的夹角是锐角时
?
的取值范围
巩固练习
?
，则（
e
1
?e
2
）
(?3e
1
?2e
2
)
等于（ ）
3
95
A.-8 B. C.
?
D.8
2
2
?
2、已知
e
1
和
e
2
是两个单位向量 ，夹角为，则下面向量中与
2e
2
?e
1
垂直的是（ ） 3
1、已知
e
1
和
e
2
是两个单位向量，夹角 为
A.
e
1
?e
2
B.
e
1
?e
2
C.
e
1
D.
e
2

3、在
?ABC
中，设
AB?
a
，
BC?
b
，
CA?
c
，若
a(a? b)?0
，则
?ABC
（ ）
(A)
直角三角形
(B)
锐角三角形
(C)
钝角三角形
(D)
无法判定
4、已知
a
和
b
是非零向量，且
a?3b
与
7a?5b
垂直，
a?4b
与
7a?2 b
垂直，求
a
与
b
的夹角。
5、已知
OA
、
OB
、
OC
是非零的单位向量，且
OA
+
OB
+
OC
=
0
，求证：
?ABC
为正三角形。
3.1.5空间向量运算的坐标表示
课题 向量的坐标
教学目的要求
1．理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系
2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示
主要内容与时间分配
1．投影与投影定理 25分钟
2．分向量与向量的坐标 30分钟
3．模与方向余弦的坐标表示 35分钟
第65页（共75页）

重点难点
1．投影定理
2．分向量
3．方向余弦的坐标表示
启发式教学法，使用电子教案 教学方法和手段
一、向量在轴上的投影
1．几个概念
(1) 轴上有向线段的值 ：设有一轴
u
，
AB
是轴
u
上的有向线段，如果数
?
满足
?
?AB
，
且当
AB
与轴
u
同向时
?
是正的，当
AB
与轴
u
反向时
?
是负的，那么数
?
叫做轴
u
上有向线段
AB
的值，记做A B，即
?
?AB
。设e是与
u
轴同方向的单位向量，则
AB ?
?
e

(2) 设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有
AC?AB?BC

(3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量
a
和b，任取空间一点O，作
OA?a
，
OB?b
，
规定不超过
?
的
?AOB< br>称为向量
a
和b的夹角，记为
(a,b)

'
?
(4) 空间一点A在轴
u
上的投影：通过点A作轴
u
的垂直平面，该平面与轴
u
的交点
A
叫做
点A在轴
u
上的投影。
(5) 向量
AB
在轴
u
上的投影：设已知 向量
AB
的起点A和终点B在轴
u
上的投影分别为点
A
'< br>和
B
'
，那么轴
u
上的有向线段的值
A
'< br>B
'
叫做向量
AB
在轴
u
上的投影，记做
P rj
u
AB
。
2．投影定理
性质1：向量在轴
u
上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角
?
的余弦：
Prj
u
A B?ABcos
?

性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即 Prj
u
(a
1
?a
2
)?Prja
1
?Prja
2

性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即
Prj
u
(
?
a)?
?
Prja

第66页（共75页）

二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间 建立
了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的
研究，需要建立向量与有序数之间的对应关 系。
设a =
M
1
M
2
是以
M
1(x
1
,y
1
,z
1
)
为起点、
M< br>2
(x
2
,y
2
,z
2
)
为终点的 向量，i、j、k分别表示
图7－5
沿x，y，z轴正向的单位向量， 并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量
的加法规则知：
M
1
M
2
?(x
2
?x
1
)
i +
(y
2
?y
1
)
j+
(z
2
?z
1
)
k
或 a = a
x
i + a
y
j + a
z
k
上式称为向量a按基本单位向量的分解式。
有序数组a
x
、a
y
、a
z
与向量a一一对应， 向量a在三条坐标轴上的投影a
x
、a
y
、a
z
就叫做向< br>量a的坐标，并记为
a ＝ {a
x
，a
y
，a
z
}。
上式叫做向量a的坐标表示式。
于是，起点为
M
1
(x
1
,y
1
,z
1
)
终点为
M
2
( x
2
,y
2
,z
2
)
的向量可以表示为
M
1
M
2
?{x
2
?x
1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
}

特别地，点
M(x,y,z)
对于原点O的向径

OM?{x,y,z}

注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。


向量a在坐标轴上的投影是三个数a
x
、a
y
、a
z
，
向量a在坐标轴上的分向量是三个向量a
x
i 、 a
y
j 、 a
z
k.
2．向量运算的坐标表示
设
a?{a
x,a
y
,a
z
}
，
b?{b
x
,b< br>y
,b
z
}
即
a?a
x
i?a
y< br>j?a
z
k
，
b?b
x
i?b
y
j ?b
z
k

第67页（共75页）

则
(1) 加法：
a?b?(a
x
?b
x
)i?(a
y
?b
y
)j?(a
z
?b
z
)k

◆ 减法：
◆ 乘数：
◆ 或
a?b?(a
x
?b
x
)i?(a
y
?b
y
)j?(a
z
?b
z
)k

?
a?(
?
a
x
)i? (
?
a
y
)j?(
?
a
z
)k

a?b?{a
x
?b
x
,a
y
?b
y,a
z
?b
z
}

a?b?{a
x
? b
x
,a
y
?b
y
,a
z
?b
z
}

?
a?{
?
a
x
,
?
a
y
,
?
a
z
}

◆ 平行：若a≠0时，向量
ba
相当于
b?
?
a
，即
{b
x
,b
y
,b
z
}?
?
{a
x
,a
y
,a
z
}

也相当于向量的对应坐标成比例即
b
x
b
y
b
z

??
a
x
a
y
a
z
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
设< br>a?{a
x
,a
y
,a
z
}
，可以用它与三 个坐标轴的夹
角
?
、
?
、
?
（均大于等于0，小于 等于
?
）来表示它
的方向，称
?
、
?
、
?
为非零向量a的方向角，见图7
cos
?
、cos
?
称为方 向余－6，其余弦表示形式
cos
?
、
弦。
1． 模
222
a?a
x
?a
y
?a
z

图 7－6

2． 方向余弦
?
a?MMcos?
?acos
?
12
?
x
?
222
由 性质1知
?
a
y
?M
1
M
2
cos
?
?acos
?
，当
a?a
x
?a
y
? a
z
?0
时，有
?
a?M
1
M
2
cos
?
?acos
?
?
?
z
第68页（共75 页）

?
aa
x
?
cos
?
?x
?
22
a
?
a
x
?a
y
? a
z
2
?
a
y
a
y
?

cos
?
??
?
222
a
a
x
?a
y
?a
z
?
?
aa
z
?cos
?
?
z
?
222
a
?
a?a?a
xyz
?
◆ 任意向量的方向余弦有性质：
cos
?
?cos
?
?c os
?
?1

◆ 与非零向量a同方向的单位向量为：
222a
0
?
a
a
?
1
a
{a
x< br>,a
y
,a
z
}?{cos
?
,cos
?< br>,cos
?
}

3． 例子：已知两点M
1
(2,2 ,
2
)、M
2
(1,3,0)，计算向量
M
1
M< br>2
的模、方向余弦、方向角以及与
M
1
M
2
同向的单 位向量。
解：
M
1
M
2
＝{1-2，3-2，0-
2
}={-1，1，-
2
}

M
1
M
2
?(?1)
2
?1
2
?(?2)
2
?2





2
11

cos
???
，
cos
?
?
，
cos
?
??< br>2
22
?
?
2
?
?
3
?
，
?
?
，
?
?

334
0
0
设
a
为与
M
1
M
2
同向的单位向量，由于
a?{cos
?
,cos
?
,cos
?
}

即得
112
a
0
?{?,,?}

222

3.2立体几何中的向量方法
空间距离
利用向量方法求 解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步
骤，而转化为向量间的计算问题．
第69页（共75页）

例１如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分 别是AB、AD的中点，GC
⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
分 析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用
向量法求解，就是求 出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG
的距离．
解：如图，设CD?
4i，
CB?
4j，
CG?
2k，
以i、j、k 为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．
由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0, 4,0)，D(4,0,0)，
E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
∴
BE?(2,0,0)
，
BF?(4,?2,0)
，

BG?(0,?4,2)
，
GE?(2,4,?2)
，
EF?(2,?2,0)
．
设
BM?
平面EFG，M为垂足，则M 、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，
存在实数a、b、c，使得
BM?aBE?bBF ?cBG
(a?b?c?1)
，
∴
BM?a(2,0,0)?b(4,? 2,0)?c(0,?4,2)
＝(2a+4b,－2b－4c,2c)．
由
BM?
平面EFG，得
BM?GE
，
BM?EF
，于是

BM?G?E0
，
BM?EF?0
．
?
(2a?4b,?2b?4c,2c)?(2,4,?2)?0
?
∴
?
(2a?4b,?2b?4c,2c)?(2,?2,0)?0

?
a?b?c?1
?
15
?
a?
?
11
?
a?5c?0
?
7
?
?
整理得：
?
a?3b?2c ?0
，解得
?
b??
．
11
?
a?b?c?1< br>?
?
3
?
c?
?
11
?
∴
BM
＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝
(
222
226
, ,)
．
111111
211
?
2
??
2
??
6
?
∴
|BM|?
??
?
??
?
??
?

11111111
??????
故点B到平面EFG的距离为
211
． < br>11
说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面
第7 0页（共75页）

内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．
例2已知正方体ABCD－
A'B'C'D'
的棱长为1，求直线与AC的距离． < br>分析：设异面直线C的公垂线是直线l，则线段直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以 利用向量的数量积的几何意义求解． 、A
AA'
在
解：如图，设
B'A'?
i，
B'C'?
j，
B'B?
k，以i、j、k为坐标向量建立空间 直角
坐标系
B'
－xyz，则有
A'(1,0,0)
，
D (1,1,1)
，
A(1,0,1)
，
C(0,1,1)
．
∴
DA'?(0,?1,?1)
，
AC?(?1,1,0)
，A'A?(0,0,1)
．
设n
?(x,y,z)
是直线l方向上的单 位向量，则
x
2
?y
2
?z
2
?1
．
∵ n
?DA'
，n
?AC
，
?
?y?z?0
3
3
?
∴
?
?x?y? 0
，解得
x?y??z?
或
x?y??z??
．
3
3
?
x
2
?y
2
?z
2
?1
?
取n
?(
333
,,?)
，则向量在直线l上的投影为
333

n
·
?(
3333
．
,, ?)
·
(0,0,1)
??
3333
由两个向量的数量积的几何意义 知，直线与AC的距离为．

向量的内积与二面角的计算
在《高等代数与解 析几何》课程第一章向量代数的教学中，讲到几何空间的内积
时，有一个例题（见[1]，p53）要求 证明如下的公式：
cos
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
cos
?
,
(1)
其中点O是二面角P-MN- Q的棱MN上的点，OA、OB分别在平面P和平面Q内。
。
?AON?
?
，
?BON?
?
，
?AOB?
?
。
?
为二面角P- MN-Q（见图1）
第71页（共75页）

z
D
P
A
?
a
?
M
O
?
?
b
x
y
N
B
Q

图1

公式（1）可以利用向量的内积来加以证明：
以Q为坐标平面，直线MN为y轴，如图1建立直角坐标系。 记xOz平面与平
面P的交线为射线OD，则
OD?MN
，得
?AOD?< br>?
2
?
?
，
?DOx?
?
，
?DO z?
?
2
?
?
。
?
?
?
?分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量
a
，
b
，则
a,b?
?
。
?
?
由计算知
a
，
b
的坐标分别为
(s in
?
cos
?
,cos
?
,sin
?
s in
?
)
，
(sin
?
,cos
?
,0)
，
于是，
?
?
?
?
a?b
?
?a?b?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
cos
?
。
cos
?
?
?
|a|?|b |
公式（1）在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个
应用。 例1．立方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1< br>的边长为1，E、F、G、H、I分别为A
1
D
1
、A
1A、
A
1
B
1
、B
1
C
1
、 B
1
B的中点。
求面EFG和面GHI的夹角
?
的大小（用反三角函数表示）。
解 由于图 2中所画的两平面EFG和GHI只有一个公共点，没有交线，所以我
们可以将该立方体沿AB方向平移 1个单位。这样就使平面EFG平移至平面
HIG
?
。
而
?
就是二面角G-IH-
G
?
（见图3）。利用公式（1），只要知道了
?，
?
和
?
的大小，
我们就能求出
?
。
第72页（共75页）

D
1
E
G
A
1
B
1
H
C
1
F
D
I
C
A
B

图2
由已知条件，
?GHI
和
?HIG
?
均为等边三角形，所以
?
?
?
?
?
3< br>，而
?
??GIG
?
?
?
2
。因此， D
1
E
G
A
1
B
1
H
G'< br>C
1
F
D
I
C
AB

图3

cos
?
?coscos?sinsincos
?
，
23333
1133
???cos
?
。
2222
????
即
0?
解得
11
cos
?
??
，
?
?
?
?arcco
。
s

33
当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量，
利用法向量同样也可算 出夹角
?
来。
例2．计算正十二面体的两个相邻面的夹角
?
的大小。
解 我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形，且在正十二面体的
第73页（共75页）

每个顶点上均有3个面围绕。设P和Q是两个相邻的面，MN是它们的交线（如图4），则公式（1）中的
?
，
?
，
?
分别为：
?
??AMN
，
?
??BMN
，
?
??AMB
，
因此它们均为正五边形的内角。所以
?
?
?
?
?
?108?
。
N
P
M
A
B
Q

图4
所以，由公式（1）知
cos108??cos108??cos108??sin108? ?sin108??cos
?
，
或
cos
?
?
cos108?(1?cos108?)5
??
。
2
5
sin10 8?
因此，
?
?
?
?arccos
5
，或
?
?116?33
?
54
??
。
5
如果不使用公式（1），要求出例2中的夹角
?
的大小在计算上要复杂很多。
利用例2的结果，我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积V。
设单位棱长正十二面 体的中心为O，则该十二面体可以切割成十二个全等的正五
棱锥，每个五棱锥以该多面体的一个面为底面 、以O为其顶点。设该正五棱锥为
?
，
从而可知：
V?12V
?。
再设
?
的底面积为S、高为h，设
O
?
为单位边长 正五边形（即
?
的底）的中心，
A、B为该五边形的两个相邻的顶点，H为AB的中点 ，
|O
?
H|?a
，则
?O'AH?54?
，
a?
11a5
tan?O'AH?tan54?
，
S?5??tan54?
。
2224
第74页（共75页）

仍设
?
为正十二面体两相邻面的夹角，则
h
?
?tan< br>。所以
但是，
从而




或
V?7.6631

a2
h?
1
2
tan54?tan
?
2
。
tan
?
1?cos
?
5?
2
?
1?co s
?
?
1
2
，
V?12V
?
?4Sh


?4?
??
5
?
4
tan54?
?
?
?
??
1
?
2
tan54?tan
?
?
2
?
?

?
5
2
(tan54?)
2
tan
?
2


?
55?255?
2
?
5
?
1
2


?
15?75
4
，
第75页（共75页）