高中数学试讲教案

《等比数列前n项和》教案

一、教学目标：
1.知识目标：理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，
在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。
2.能力目标：通过启发、引导、分析、类 比、归纳，并通过严谨科学的解题
思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养。
3.情感目 标：通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社
会，形成科学的世界观和价值观。
二、教学重点与难点：
教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的应用。
教学难 点：公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导所使用的“错位
相减法”是高中数学的数列求和方法中 最常用的方法之一，它蕴涵了重要的数
学思想，所以既是重点也是难点。
三、教学方法：师生合作，师生互动。
四、教学过程：
1.复习回顾：（1）等比数列及等比数列通项公式。
(a)对于数列
?
a
n
?
，
（b）
s
n
?a
1
?a
2
?
a
n
?q
（定值 ）
a
n?1
?a
n


sn?1
?a
1
?a
2
??a
n?1


a
n
?s
n
?s
n?1

（2）回忆等差数列前n项和公式的推导过程，是用什么方法
推导的。
推导：
s
n
?a
1
?a
2
?

s
n
?a
n
?a
n?1
?
?a
n
（1）
?a
1
（2） (1)+(2)得
2s
n?n(a
1
?a
n
)
；
s
n
?
n(a
1
?a
n
)

2
2.情境导入：话说唐僧师徒四人西天取得真经，修成正果之后，猪八戒回
到他朝思暮想的高老庄，大力发展畜牧养殖业，从给高老爷做工的农民工，逐
步发展成为一个规模不小 的养殖场的老板。可是上网和同门师兄一沟通，各个
资产过亿，于是他也想扩大生产规模，办一个集养殖 、加工为一体的高科技生
产企业----- 高老庄集团，可是资金不够，于是他想到了在海南搞房地产的大师兄。

猪八戒：猴哥,能不能帮帮我……

孙悟空：No problem！我每天给你投资100万元， 连续一个月(30天)，
但有一个条件：第一天返还1元，第二天返还2元，第三天返还4元……
后一天返还数为前一天的2倍．30天之后互不相欠。
猪八戒：第一天出１元入100万；第二天出2元入100万;第三天出4元入

100万元；……哇，发了……（想：这猴子是不是又在耍我）
让我们帮猪八戒算一算：八戒吸纳的资金为100×30＝3000万元。
需返还悟空的钱数 为S
30
＝1+2+2
2
+2
3
+……+2
29< br>＝？事实上，这是等比数列的求
和问题，那么怎样求等比数列的前n项和呢？使学生带着浓厚的兴 趣引入新课。
3.等比数列前n项公式的推导：（错位相减法）
S
n
?a
1
?a
1
q?a
1
q
2
???a
1
q
n?2
?a
1
q
n?1
①

qS
n
?

a
1
q?a1
q
2
?a
1
q
3
?
?
?a
1
q
n?1
?a
1
q
n
②
a
1
1?q
n
①－②得：
?
1?q
?
S
n
?a
1
?a
1
q
（*） 当
q?1
时，得到
S
n
?

1?q
n
??
(q?1)

?
na
1?
等比数列前n项和公式：
S
n
?
?
a
11?q
n
a
1
?a
n
q

?
(q?1)

?
1?q1?q
?
??
其他推倒方法：
（1）
s
n
?a
1
?a
2
?a
3
?
2a
1
?a
1
q?aq
1
?
?
n
a
?1
?
n
a

=
=
=
=
?aq
1
n?2
?aq
n
1
?


1
a
1
?q(a
1
?a
1
q? ?a
1
q
n?3
?a
1
q
n?2
)
a
1
?q(a
1
?a
2
?
a
1
?q(s
n
?a
n
)
?a
n?
?
2
a
n?
)
1


由此亦可得（*）式。
a2
a
3
??
（2）
a
1
a
2
a
2
?a
3
?
a
1
?a
2
?a< br>3
?
a
n
?q
a
n?1

?a
n
?q
?a
n?1

s
n
? a
1
?q
则
s
n
?a
n
，由此亦可得（* ）式。
1?(1?2
30
)
4.解：决故事中的问题：S
30＝1+2+2+2+……+2＝＝2
30
－1≈
1?2
2329
10.73（亿）>3000万。“猪八戒又被猴子耍了。”
5.例1：求等比数列
111
、、……的（1）前8项和；（2）第四项到第八项
248

和。变式：求其前n项和。（本例目的是让学生熟悉公式，对等比数列的前
n 项和公式的直接应用。）
11
6.根据下列条件求S
n
(1)
a
1
?
3, q=2,n=6;
(2) a
1
?8,q?,a
n
?
22

n?1
?

?

2

a

(

3

)

,

q

?

1,

n

?

10;

(4)1?2?4?8?16?
?
?(?2)??
1


1
7.
例2、已知等比数列{a
n
},其中a
1
?27,a
9
?,q?0,求{a
n
}的前8项和S
8
.< br>243

(本题还缺少一个条件，由题意显然可能通过解方程求得公比q。可由学生
自己探究解答。)
8.课堂练习：（略）
9.课堂小节：
等差数列 等比数列
求
(q?1)

?
na
1
n
?
a
1
?a
n
?
S
n
?
?
和
2
S
n
?
?
a
1
1?q
n
a
1< br>?a
n
q

公
?
(q?1)

?
1?q
n(n?1)
1?q
?
?na
1
?d
式
2
推导 倒序相加 错位相减
方法
公式 知三求二
应用
10.作业：
11.板书设计：


??
等比数列前n项和
求和公式： 例题讲解 课堂练习