人教版高中数学选修1-1全套教案

第一课时 1.1.1 命题及其关系（一）
教学要求：了解命题 的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若
p
，则
q
”的形 式.
教学重点：命题的改写.
教学难点：命题概念的理解.
教学过程：
一、复习准备：
阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？
（1）矩形的对角线相等；
（2）3
?12
；
（3）3
?12
吗？
（4）8是24的约数；
（5）两条直线相交，有且只有一个交点；
（6）他是个高个子.
二、讲授新课：
1. 教学命题的概念：
①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键
是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.
上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题.
②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）；
假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.
上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题.
③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？
（1）空集是任何集合的子集；
（2）若整数
a
是素数，则
a
是奇数；
（3）2小于或等于2；
（4）对数函数是增函数吗？
（5）
2x?15
；
（6）平面内不相交的两条直线一定平行；
（7）明天下雨.
（学生自练
?
个别回答
?
教师点评）
④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.
2. 将一个命题改写成“若
p
，则
q
”的形式：
①例1中的（2）就是 一个“若
p
，则
q
”的命题形式，我们把其中的
p
叫做命题 的条件，
q
叫做命
题的结论.
②试将例1中的命题（6）改写成“若
p
，则
q
”的形式.
③例2：将下列命题改写成“若
p
，则
q
”的形式.
（1）两条直线相交有且只有一个交点；
（2）对顶角相等；
（3）全等的两个三角形面积也相等.
（学生自练
?
个别回答
?
教师点评）
3. 小结：命题概 念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若
p
，则
q
”的形式.
三、巩固练习：
1. 练习：教材 P4 1、2、3 2. 作业：教材P9 第1题
第二课时 1.1.2 命题及其关系（二）
教学要求：进一步理解命题的 概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互
第1页（共57页)

关系.
教学重点：四种命题的概念及相互关系.
教学难点：四种命题的相互关系.
教学过程：
一、复习准备：
指出下列命题中的条件与结论，并判断真假：
（1）矩形的对角线互相垂直且平分；
（2）函数
y?x
2
?3x?2
有两个零点.
二、讲授新课：
1. 教学四种命题的概念：
原命题 逆命题
若
p
，则
q
若
q
，则
p

否命题
若
?
p
，则
?
q

逆否命题
若
?
q
，则
?
p
[来源]

[来源:]

①写出命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假.
（师生共析
?
学生说出答案
?
教师点评）
[来源:Z。x x。]
②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）正弦函数是周期函数；
（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（学生自练
?
个别回答
?
教师点评）
2. 教学四种命题的相互关系：
①讨论：例1中命题（2）与它的逆命题、否命题、逆否命题间的关系.
②四种命题的相互关系图：


[来源:学*科*网Z*X*X*K]原命题
若p则q
互
否
互
互
为
逆
否逆
逆
否
逆
逆命题
若q则p
互
否
逆否命 题
若┐q则┐p



[来源:学,科,网Z,X,X,K]
为
互
互

否命题
若┐p则┐q

③讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系.
④结论一：原命题与它的逆否命题同真假；
结论二：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.
⑤例2 若
p< br>2
?q
2
?2
，则
p?q?2
.（利用结论一来证明 ）（教师引导
?
学生板书
?
教师点评）
3. 小结：四种命题的概念及相互关系.
三、巩固练习：
1. 练习：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假.
（1）函数
y?x< br>2
?3x?2
有两个零点；（2）若
a?b
，则
a?c?b? c
；
（3）若
x
2
?y
2
?0
，则x,y
全为0；（4）全等三角形一定是相似三角形；
（5）相切两圆的连心线经过切点.
2. 作业：教材P9页 第2（2）题 P10页 第3（1）题
1.2 充分条件和必要条件（1）
【教学目标】
1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；
2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；
第2页（共57页)

3．培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识．
【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义；
【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断．
【教学过程】
一、复习回顾
1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若
p
则
q
．
2．四种命题及相互关系：
3．请判断下列命题的真假：
（1）若
x?y
,则
x
2
?y
2
; （2）若
x
2
?y
2
,则
x?y
;
（3）若
x?1
,则
x
2
?1
; （4）若
x
2
?1
,则
x?1

[来源:学.科.网]
二、讲授新课
1.推断符号“
?
”的含义：
一般地,如果“若
p
,则
q
”为真, 即如果
p
成立，那么
q
一定成立,记作:“
p?q
”;
如果“若
p
,则
q
”为假, 即如果
p
成立，那么
q
不一定成立,记作:“
p?
?
q
”.
用推断符 号“
?
和
?
?
”写出下列命题：⑴若
a?b
，则< br>ac?bc
；⑵若
a?b
，则
a?c?b?c
；
2．充分条件与必要条件
一般地，如果
p?q
，那么称
p
是
q
的充分条件；同时称
q
是
p
的必要条件．
如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？
由上述定义知“
p?q< br>”表示有
p
必有
q
，所以
p
是
q
的 充分条件，这点容易理解．但同时说
q
是
p
的必要条件是为什么呢？
q
是
p
的必要条件说明没有
q
就没有
p
,
q
是
p
成立的必不可少的条件,
但有
q
未必一定有
p
.
充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的 ．它符合上述
的“若
p
则
q
”为真（即
p?q
）的 形式．“有之必成立，无之未必不成立”．
必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非< br>q
则非
p
”为真（即
?q??p
）的形式．“有
之未 必成立，无之必不成立”．
命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：
（1）充分必要条件（充要条件），即
p?q
且
q?p
；
（2）充分不必要条件，即
p?q
且
q?
?
p
；
（3）必要不充分条件，即
p?
?
q
且
q?p
；
（4）既不充分又不必要条件，即
p?
?
q
且
q?
?
p
．
3．从不同角度理解充分条件、必要条件的意义
（1）借助“子集 概念”理解充分条件与必要条件。设
A,B
为两个集合，集合
A?B
是指 < br>x?A?x?B
。这就是说，“
x?A
”是“
x?B
”的充分 条件，“
x?B
”是“
x?A
”的必要条
件。对于真命题“若p
则
q
”，即
p?q
，若把
p
看做集合
A
，把
q
看做集合
B
，“
p?q
”相当于
“
A?B
”。
（2）借助“电路图”理解充分条件与必要条件。设“开关
A
闭合”为条件
A
，“灯泡
B
亮”
为结论
B，可用图1、图2来表示
A
是
B
的充分条件，
A
是B
的必要条件。




第3页（共57页)

A
C
B
A C
B






图1
A B
A
图2
C
B
图3
图4
（3）回答下列问题中的条件与结论之间的关系：
⑴若
a?b
，则
a?c?b?c
；
⑵若
x?0
，则
x?0
；
2
⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等．
三、例题
例1：指出下列命题中，
p
是
q
的什么条件．
⑴
p
：
x?1?0
，
q
：
?
x?1
??x?2
?
?0
；
⑵
p
：两直线平行，
q
：内错角相等；
⑶
p
：
a?b
，
q
：
a?b
；
22
⑷
p
：四边形的四条边相等，
q
：四边形是正方形．
四、课堂练习
课本P8 练习1、2、3
五、课堂小结
1．充分条件的意义；
2．必要条件的意义．
六、课后作业：
1.2 充分条件和必要条件（2）
[教学目标]：
1．进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；
2．掌握判断命题的条件的充要性的方法；
[教学重点、难点]：
理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断．
[教学过程]：
一、复习回顾
一般地，如果已知
p?q
，那么我们就说p是q成立的充分条件，q是p的必要条件
[来源:学科网ZXXK]
[来源:学。科。网]
⑴“
a?b?c
” 是“
?
a?b
??
b?c
??
c?a
?
? 0
”的 充分不必要 条件．
⑵若a、b都是实数，从①
ab?0< br>；②
a?b?0
；③
ab?0
；④
a?b?0
；⑤< br>a?b?0
；⑥
a?b?0
中
2222
选出使a、b都不为0 的充分条件是 ①②⑤ ．
二、例题分析
条件充要性的判定结果有四种，判定的 方法很多，但针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵
活判断．下面我们来看几个充要性的判断及其证 明的例题．
1．要注意转换命题判定，培养思维的灵活性
例1：已知
p
：
x?y??2
；
q
：
x
、
y
不都是
?1
，
p
是
q
的什么条件？
分析：要考虑
p< br>是
q
的什么条件，就是判断“若
p
则
q
”及“若q
则
p
”的真假性
从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性
“若
p
则
q
”的逆否命题是“若
x
、
y
都是
?1
，则x?y??2
”真的
第4页（共57页)

“若q
则
p
”的逆否命题是“若
x?y??2
，则
x
、
y
都是
?1
”假的
故
p
是
q
的充分不必要条件
注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手．
练习：已知
p
：
x?2
或
x?
方法一：
?p:
2
32
3
；
q
：
x?2
或
x??1
，则< br>?p
是
?q
的什么条件？

?x?2

?q:?1?x?2
[来源:]
显然
?p
是
?q
的 的充分不必要条件
方法二：要考虑
?p
是
?q
的什么条件，就是判 断“若
?p
则
?q
”及“若
?q
则
?p
” 的真假性
“若
?p
则
?q
”等价于“若
q
则p
”真的
“若
?q
则
?p
”等价于“若
p< br>则
q
”假的
故
?p
是
?q
的的充分不必要条件
2．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性
例2：若
M
是
N
的充分不必要条件，
N
是
P
的充要条件，
Q
是P
的必要不充分条件，则
M
是
Q
的什
么条件？
分析：命题的充分必要性具有传递性
M?N?P?Q
显然
M
是
Q
的充分不必要条件
3．充要性的求解是一种等价的转化
例3：求关于
x
的一元二次不等式
ax?1?ax
于一切实数
x
都成立的充要条件
2
分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化
?
a?0< br>?
由题可知等价于
a?0或
?
a?0?a?0或0?a?4?0?a? 4

?
??0
?
4．充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条 件与结论分别是什么
例4：证明：对于
x
、
y
?
R，xy?0
是
x?y?0
的必要不充分条件．
22
分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件
必要性：对于
x
、
y
?
R，如果
x?y?0

22
则
x?0
，
y?0
即
xy?0

故
xy?0
是
x?y?0
的必要条件
22
不充分性：对于
x
、
y
?
R，如果
x y?0
，如
x?0
，
y?1
，此时
x?y?0

22
故
xy?0
是
x?y?0
的不充分条件
22
综上所述：对于
x
、
y
?
R，
xy?0
是
x?y?0
的必要不充分条件．
22
[来源:]

例5：< br>p
：
?2?x?10
；
q
：
1?m?x?1?m?
m?0
?
．若
?p
是
?q
的必要不充分条件 ，求实数
m
的
取值范围．
解：由于
?p
是
?q< br>的必要不充分条件，则
p
是
q
的充分不必要条件
于是有?
?
1?m??2
?
10?1?m
?m?9

第5页（共57页)

三、练习：
1．若命题甲是命题乙 的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充
要条件，那么：命题丁是命 题甲的什么条件．（必要不充分的条件）
2．对于实数x、y，判断“x+y≠8”是“x≠2或y≠6”的什么条件．（充分不必要条件） < br>3．已知
ab?0
，求证：
a?b?1
的充要条件是：
a?b ?ab?a?b?0
.
简单的逻辑联结词（二）复合命题
3322
教学目 标：加深对“或”“且”“非”的含义的理解，能利用真值表判断含有复合命题的真假；
教学重点：判断复合命题真假的方法；
教学难点：对“p或q”复合命题真假判断的方法
课 型：新授课
教学手段：多媒体
一、创设情境
1．什么叫做命题？（可以判断真假的语句叫命题正确的叫真命题，错误的叫假命题）
2．逻 辑联结词是什么？（“或”的符号是“∨”、“且”的符号是“∧”、“非”的符号是“┑”，
这些词叫 做逻辑联结词）
3．什么叫做简单命题和复合命题？（不含有逻辑联结词的命题是简单命题由简单命题 和逻辑联结词
“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题）
4．复合命题的构成形式是什么？
p或q(记作“p∨q” )； p且q(记作“p∨q” )；非p(记作“┑q” ) 二、活动尝试
问题1: 判断下列复合命题的真假
（1）8≥7
（2）2是偶数且2是质数；
（3）
?
不是整数；
解：（1）真；（2）真；（3）真；
命题的真假结果与命题的结构中的p和q的真假有什么联系吗？这中间是否存在规律？
三、师生探究
1．“非p”形式的复合命题真假：
例1：写出下列命题的非，并判断真假：
（1）p：方程x+1=0有实数根
（2）p：存在一个实数x，使得x
2
－9=0．
2
（3）p:对任意实数x，均有x－2x+1≥0；
（4）p：等腰三角形两底角相等
显然，当p为真时，非p为假； 当p为假时，非p为真．
2．“p且q”形式的复合命题真假：
例2：判断下列命题的真假：（1）正方形ABCD是矩形，且是菱形；
（2）5是10的约数且是15的约数
（3）5是10的约数且是8的约数
（4）x-5x=0的根是自然数
所以得：当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。
3．“p或q”形式的复合命题真假：
例3：判断下列命题的真假：（1）5是10的约数或是15的约数；
（2）5是12的约数或是8的约数；
（3）5是12的约数或是15的约数；
（4）方程x
2
－3x-4=0的判别式大于或等于零
当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假。
第6页（共57页)
2
2

四、数学理论

1．“非p”形式的复合命题真假：
[来源:]
当p为真时，非p为假； 当p为假时，非p为真．
（真假相反）

2．“p且q”形式的复合命题真假：
p
真
假
非p
假
真
当p、q为真时，p且q为真； 当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。
（一假必假）
p
真
真
假
q
真
假
真
假
p且q
真
假
假
假 假
3．“p或q”形式的复合命题真假：

当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假。
（一真必真）

p
真
真
假
假
q
真
假
真
假
P或q
来源[]

真
真
真
假
注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；
2°由真值表得：
“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；
“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；
“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；
3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的
复合命题的真假，而不涉及简 单命题的具体内容。如：p表示“圆周率π是无理数”，q表示
“△ABC是直角三角形”，尽管p与q 的内容毫无关系，但并不妨碍我们利用真值表判断其
命题p或q 的真假。
4°介绍“或门电路”“与门电路”。


或门电路（或） 与门电路（且）
五、巩固运用
例4：判断下列命题的真假：
（1）4≥3 （2）4≥4 （3）4≥5
（4）对一切实数
x,x
2
?x?1?0

第7页（共57页)

分析：（4）为例：
第一步：把命 题写成“对一切实数
x,x
2
?x?1?0
或
x
2
?x?1?0
”是p或q形式
第二步：其中p是“对一切实数
x,x
2?x?1?0
”为真命题；q是“对一切实数
x,
x
2
?x?1 ?0
”是假
命题。
第三步：因为p真q假，
由真值表得：“对一切实数
x,x
2
?x?1?0
”是真命题。
例5：分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假：
（1）p：2+2=5； q：3>2
（2）p：9是质数； q：8是12的约数；
[来源学_科_网Z_X_X_K]
[来源Z。xx。]
（3）p：1∈{1，2}；
（4）p：
??
{0}；
q：{1}
?
{1，2}
q：
??
{0}
解：①p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+2
?
5.
∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.
②p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数.
∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.
③p或q：1∈{1，2 }或{1}
?
{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}
?
{1，2}； 非p：1
?
{1，2}.
∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.
④p或q：φ
?
{0}或φ={0}；p且q：φ
?
{0}且φ={0} ；非p：φ
?
{0}.
∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.
七、课后练习
1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是（ ）
A．简单命题 B．非p形式的命题 C．p或q形式的命题 D．p且q的命题
2．如果命题p是假命题，命题q是真命题，则下列错误的是（ ）
A．“p且q”是假命题 B．“p或q”是真命题
C．“非p”是真命题 D．“非q”是真命题
3．（1）如果命题“p或q”和“非p”都是真命题，则命题q的真假是_________。
（2）如果命题“p且q”和“非p”都是假命题，则命题q的真假是_________。
4．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假.
(1)5和7是30的约数.
(2)菱形的对角线互相垂直平分.
(3)8x－5＜2无自然数解.
5．判断下列命题真假：
（1）10≤8； （2）π为无理数且为实数；
[来源:学科网ZXXK]
（3）2+2=5或3＞2． （4）若A∩B=
?
，则A=
?
或B=
?
．
6． 已知p：方程x
2
+mx+1=0有两个不等的负实根,q:方程4x
2
+4 (m-2)x+1=0无实根，若p或q为真，p
且q为假，求m的取值范围。
八、参考答案：
1．D 2．D 3．（1）真；（2）假
4．(1)是“p或q”的形式.其中p：5是30的约数；q：7是30的约数，为真命题．
(2) “p且q”．其中p：菱形的对角线互相垂直；q：菱形的对角线互相平分；为真命题． (3)是“┐
p
”的形式.其中
p
：8
x
－5＜2有自 然数解.∵
p
：8
x
－5＜2有自然数解．如
x
＝0，则为 真命
第8页（共57页)

题．故“┐
p
”为假命题．
5．（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题．（4）真命题．
6．由p命题可解得m＞2，由q命题可解得1＜m＜3；
由命题p或q为真，p且q为假，所以命题p或q中有一个是真，另一个是假
（1）若命题p 真而q为假则有
?
?
m?2
?
m?1,或m?3
?
m?2
?
1?m?3
?1?m?2

?m?3

（2）若命题p真而q为假，则有
?
所以m≥3或1＜m≤2
1.4全称量词与存在量词教学案
课型：新授课
教学目标：
1.知识目标：①通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义；
②能够用全称量词符号表示全称命题，能用存在量词符号表述特称命题；
③会判断全称命题和特称命题的真假；
2.能力与方法：通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，培养学生
的观察能力和概括能力；通过问题的辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和反思意识；
3.情感、态度与价值观：通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知识的形成过
程，增加直接经验基础，增强学生学习的成功感，激发学生学习数学的兴趣.
教学重点：理解全称量词与存在量词的意义.
教学难点：正确地判断全称命题和特称命题的真假.
教学过程：
一．情境设置：
哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一.1742年，由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的.
1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，正式提出了以下的猜想：
(a)
任何一个大于 6的偶数都可以表示成两个质数之和．
(b)
任何一个大于9的奇数都可以表示成三个质数之和．
这就是哥德巴赫猜想．
欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明.从此，这道数学难题引起了几乎所有
数学家的注意。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”．
中国数学家 陈景润于1966年证明：“任何充分大的偶数都是一个质数与两个质数的乘积的和”通
常这个结果表示 为 “1+2”这是目前这个问题的最佳结果．
科学猜想也是命题．哥德巴赫猜想它是一个迄今为止仍 然是一个没有得到正面证明也没有被推翻的命
题．
二．新知探究
第9页（共57页)

观察以下命题：
（1）对任意
x?R
，
x?3
；
（2）所有的正整数都是有理数；
（3）若函数
f(x)
对定义域
D
中的每一个
x
，都有
f(?x)?f(x)
，则
f(x)
是偶函数；
（4）所有有中国国籍的人都是黄种人．
问题1.（1）这些命题中的量词有何特点?
（2）上述4个命题，可以用同一种形式表示它们吗？
填一填：全称量词：
全称命题：
全称命题的符号表示：
你能否举出一些全称命题的例子？
试一试：判断下列全称命题的真假．
（1）所有的素数都是奇数；
（2）
?x?R,x
2
?1?1
；
（3）每一个无理数
x
，
x
2
也是无理数．
（4 ）
?a,b?
?
xx?m?n2,m,n?Q
?
，
a?b?
?
xx?m?n2,m,n?Q
?
．
想一想：你是如何判断全称命题的真假的？
问题2.下列命题中量词有何特点？与全称量词有何区别？
（1）存在一个
x
0
?R,
使
2x
0
?1?3
；
（2）至少有一 个
x
0
?Z,
x
0
能被2和3整除；
（3）有些无理数的平方是无理数．
类比归纳：
存在量词
特称命题
特称命题的符号表示
特称命题真假的判断方法

第10页（共57页)
[来源:学科网ZXXK][来源:学.科.网Z.X.X.K]

练一练：判断下列特称命题的真假．
（1）有一个实数
x
0
，使< br>x
0
2
?2x
0
?3?0
；
（2）存在两个相交平面垂直于同一平面；
（3）有些整数只有两个正因数．
三．自我检测
1、用符号“
?
” 、“
?
”语言表达下列命题
（１）自然数的平方不小于零
（２）存在一个实数，使
2X
2、判断下列命题的真假：
（1）每个指数函数都是单调函数；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3）?x?
?
x|x是无理数
?
，x
2
是无理数

（4）
?x
0
?R,x
0
?0;

３、下列说法正确吗？
因为对
?x?M,p(x)??x?M,p(x)
， 反之则不成立．所以说全称命题是特称命题，特称命题不一定是
全称命题．
４、设函数
f(x)?x
2
?2x?m
，若对
?x?
?
2,4
?
，
f(x)?0
恒成立，求
m
的取值范围；
四．学习小结
五．能力提升
1．下列命题中为全称命题的是（ ）
(A)有些圆内接三角形是等腰三角形 ；（B）存在一个实数与它的相反数的和不为0；
(C)所有矩形都有外接圆 ； （D）过直线外一点有一条直线和已知直线平行．
2．下列全称命题中真命题的个数是（ ）
2
①末位是0的整数，可以被3整除；②对
?x?Z,2x?1
为奇数．
2
?X?1?0

③角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；
第11页（共57页)

（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
3．下列特称命题中假命题
．．．
的个数是（ ）
①
?x?R,x?0
；②有的菱形是正方形；③至少有一个整数，它既不是合数， 也不是素数．
（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
4．命题“存在一个三角形，内角和不等于
180
?
”的否定为（ ）
（A）存在一个三角形，内角和等于
180
?
；（B）所有三角形，内角和都 等于
180
?
；
（C）所有三角形，内角和都不等于
180
?
；（D）很多三角形，内角和不等于
180
?
．
5．把“正弦定理”改成含有量词的命题．
6．用符号“
?
”与“
?
”表示含有量词的命题“
p
：已知二次函数
f(x)?a(x
2< br>?1)?b(x?1)
，则存
在实数
a,b
，使不等式
x?f (x)?
1
2
(x
2
?1)
对任意实数
x
恒成立”．
7．对
?x?(0,??)
，总
?
a?(0,??)< br>使得
f(x)?x?
a
x
?2
恒成立，求
a
的取值范围．
数学：2.1《椭圆及其标准方程》教案
一、教学目标：
知识与技能：
理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程 ，会根据
椭圆的标准方程求焦点坐标.
过程与方法：
让学生经历椭圆标准方程的推 导过程，进一步掌握求曲线方程的一般方法，体会数形结合等
数学思想；培养学生运用类比、联想等方法 提出问题.
情感态度与价值观：
通过具体的情境感知研究椭圆标准方程的必要性和实际意义 ；体会数学的对称美、简洁美，
培养学生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度.
二、教学重点与难点
重点：椭圆的标准方程
难点：椭圆标准方程的推导
三、教学过程：
（一）讲授新课
1．演示定义：
我们把 叫做椭圆，这两个定点F
1
、
F
2
叫做椭圆
的 ,两个焦点之间的距离叫做椭圆的 ，通常用2c（c>0）表示，而这个常数通
常用2a表示,椭圆用集合表示为 。
问题（1）定义应注意哪几点
（2）定长和两个定点之间的距离大小还有哪些情况?.
[来源Z*xx*]

2．椭圆的标准方程
（1）回顾求圆的标准方程的的基本步骤： y
[来源:]

M
第12页（共57页)

F
1
0
F
2
x

（2）椭圆标准方程的推导

观察：你能从中找出a,c,
a?c
表示的线段吗？
我们推导出焦点在X轴的椭圆的标准方程为:

思考：焦点在Y轴上椭圆的标准方程？ .
小结：同学们完成下表

椭圆的定义



图 形








标准方程
焦点坐标
a,b,c的关系
焦点位置的判断

（二）题组训练:
题组一：
1.在椭圆
25x?4y?100
中,a= ,b= ,焦距是 焦点坐标是 ,______.焦点
位于________轴上
2.如果方程
题组二：
求适合下列条件的椭圆的标准方程
1.a=4,b=1,焦点在x轴上.
2.a=4,c=
15
,焦点在坐标轴上
题组三：
x
2
22
22









4
?
y
2
m
? 1
表示焦点在X轴的椭圆,则实数m的取值范围是 ．
第13页（共57页)

1.已知两定点（-3，0），（3，0） ，若点P满足
PF
1
?PF
2
?10
，则点P的轨迹是 ，
若点P满足
PF
1
?PF
2
?6
，则点P的轨迹 是 .
x
2
2.P为椭圆
25
y
?
y
2
16
?1
上一点,P到一个焦点的距离为4,则P到另一个焦点的距离为
3.椭圆
x
22
16
?
9
?1
,过焦点F
1
的直线交椭圆于A,B两点,则
?ABF
2
的周长为
题组四：
1.如果点M(x,y)在运动过程,总满足关系式:
x
2
?(y?3)
2
?
轨迹是什么曲线?写出它的方程.
2.已知△ABC的一边长
BC?6
，周长为16，求顶点A的轨迹方程.
（三）课堂小结：
1．椭圆的定义，应注意什么问题？
2．求椭圆的标准方程，应注意什么问题？
（四）布置作业：
53
1．已 知椭圆两个焦点
F
1
（-2，0），F
2
（2，0），并且经过点P
(,?)
，求它的标准方程.
22
2．椭圆的两个焦点F
1
（-8，0），F
2
（8，0），且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，
x? (y?3)
22
?10
,点M的
求此椭圆的标准方程.
3．若B（ -8，0），C（8，0）为
?ABC
的两个顶点，AC和AB两边上的中线和是30，求的重心G的轨迹方程.
2.2椭圆的简单几何性质
教学目标：
[来源学。科。网]

(1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;
(2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图;
(3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.
教学重点:
椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图
教学难点
:椭圆离心率的概念的理解.
教学方法
：讲授法
课型
：新授课
教学工具：
多媒体设备
一、复习：
1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.
2.椭圆的标准方程.
二、讲授新课：
（一）通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.
[在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x轴上的椭 圆
的标准方程来研究其几何性质.]
[来源:Z,]

第14页（共57页)

已知椭圆的标准方程为：
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?1(a?b?0)

1.范围 < br>[我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在哪个区域里，只要讨论方程中x，y的范
围就知道了.]
问题1 方程中x、y的取值范围是什么?
由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式
x
a
2
2
≤1,
2
y
b
2
2
≤1
2
即 x≤a, y≤b
所以 |x|≤a， |y|≤b
22
即 －a≤x≤a, －b≤y≤b
这说明椭圆位于直线x＝±a, y＝±b所围成的矩形里。
2.对称性
复习关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标之间的关系：
点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为(x,－y)；
点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为(－x, y)；
点（x,y）关于原点对称的点的坐标为(－x,－y)；
问题2 在椭圆的标准方程中①以－y代y②以－x代x③同时以－x代x、以－y代y,你有什么发现?
（1） 在曲线的方程里，如果以－y代y方程不变，那么当点P(x,y)在曲线上
时，它关 于x的轴对称点P’(x,－y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称。
（2） 如果以－x代x方程方程不变，那么说明曲线的对称性怎样呢？[曲线关
于y轴对称。]
（3） 如果同时以－x代x、以－y代y，方程不变，这时曲线又关于什么对称
呢？[曲线关于原点对称。]
归纳提问：从上面三种情况看出，椭圆具有怎样的对称性？
椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的。
这时，椭圆的对称轴是什么？[坐标轴]
椭圆的对称中心是什么？[原点]
椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
3.顶点
[研究曲线的上的某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的位置，常常需
要求出曲线与x轴，y轴的交点坐标.]
问题3 怎样求曲线与x轴、y轴的交点?
在椭圆的标准方程里，
令x=0,得y=±b。这说明了B
1
(0,－b) ,B
2
(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。
令y=0,得x=±a。这说明了A< br>1
(－a,0),A
2
(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。
因为x 轴，y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，
这四个交点叫做椭圆的顶点。
线段A
1
A
2
,B
1
B
2
分别叫做椭圆的 长轴和短轴。
它们的长|A
1
A
2
|=2a,|B
1B
2
|=2b (a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)
观察图形，由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，
即 |B
1
F
1
|=|B
1
F
2
|=|B2
F
1
|=|B
2
F
2
|= a
在Rt△OB
2
F
2
中，由勾股定理有
[来源:]
第15页（共57页)

| OF
2
|
2
=|B
2
F
2
|
2< br>－|OB
2
|
2
，即c
2
＝a
2
－b
2

这就是在前面一节里，我们令a－c＝b的几何意义。
222
4.离心率
定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝
因为a>c>0,所以0[来源:]
c
a
，叫做椭圆的离心率。

问题4 观察图形,说明当离心率e变化时,椭圆形状是怎样随之变化的?
[调用几何画板，演示离心率变化(分越接近1和越接近0两种情况讨论)对椭圆形状的影响]
得出结论：(1)e越接近1时，则c越接近a，从而b越小，因此椭圆越扁；
(2)e越接近0时，则c越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合于椭圆的中心，图形变成圆。
当e＝1时，图形变成了一条线段。[为什么？留给学生课后思考]
5.例题
例 1求椭圆16x
2
+25y
2
=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶 点的坐标,并用描点法画出它的图形.
[根据刚刚学过的椭圆的几何性质知，椭圆长轴长2a，短轴长 2b，该方程中的a＝？b＝？c＝？因
为题目给出的椭圆方程不是标准方程，所以必须先把它转化为标 准方程，再讨论它的几何性质]
解：把已知方程化为标准方程
x
5
2
2
?
y
4
2
2
?1
, 这里a＝5，b＝4，所以c＝
25?16
＝3
因此，椭圆的长轴和短轴长分别是2a＝10，2b＝8
c
3
离心率e＝＝
5
a
两个焦点分别是F
1
(－3,0),F
2
(3 ,0)，
四个顶点分别是A
1
(－5,0) A
1
(5,0) A
1
(0,－4) F
1
(0,4).
[提问：怎样用描点法画出 椭圆的图形呢？我们可以根据椭圆的对称性，先画出第一象限内的图
形。]
将已知方程变形为
y??
y?
4
5
4
5
25 ?x
2
2
，根据
25?x

在0≤x≤5的范围内算出几个点的坐标(x,y)
x
y
0
4
1
3.9
2
3.7
3
3.2
4
2.4
5
0
先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆（如图）
说明：本题在画图时， 利用了椭圆的对称性。利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图
形的准确性。
根据椭圆的几何性质，用下面的方法可以快捷地画出反映椭圆基本
形状和大小的草图：
(1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；
(2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；
(3) 用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆。
[画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性]
（四）练习
填空：已知椭圆的方程是9x
2
+25y
2
=225,
(1) 将其化为标准方程是_________________.
第16页（共57页)

(2) a=___,b=___,c=___.
(3) 椭圆位于直线________和________所围成的________区域里.
来源[学#科 #网Z#X#X#K]
椭圆的长轴、短轴长分别是____和____,离心率e＝_____,两个焦 点分别是_______、______,四个顶点分
别是______、______、______ 、_______.
例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过点(-3,0)、(0,-2);
(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6
例3 点
M
?
x,y
?
与定点
F
?
4,0
?
的距离和它到直线
l:x?
（教师分析——示范书写）
例4、如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面） 的< br>一部分。过对称轴的截口ABC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。已知
A C?F1F2，|F1A|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm,求截口ABC所在椭圆的方程。
三、课堂练习：
①比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？
⑴
9x?y?36
与
??1
⑵
x?9y?36
与
??1
（学生口答，并说明原因）
1612610
②求适合下列条件的椭圆的标准方程.
22
25
4
的距离之比是常数
4
5
，求点
M
的轨迹.
x< br>2
y
2
22
x
2
y
2
⑴经过点P?22,0,Q0,5

⑵长轴长是短轴长的
3
倍，且经过点
P
?
3,0
?

⑶焦距是
8
，离心率等于
0.8

（学生演板，教师点评）
焦点在x轴、y轴上的椭圆的几何性质对比.













????
四、小结
(1)理解椭圆的简单几何性质，给出方程会求椭圆的焦点、顶点和离心率;
(2)了解离心率变化对椭圆形状的影响;
(3)通过曲线的方程研究曲线的几何性质并画图是解析几何的基本方法.
五、布置作业
课本习题2.1 的6、7、8题
课后思考：
第17页（共57页)

1、椭圆上到焦点和中心距离最大和最小的点在什么地方？
2、点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到定直线l：x= 的距离的比是常数 （a＞c＞0），求
点M轨迹，并判断曲线的形状。
3、接本学案例3，问题2，若过焦点F 2作直线与AB垂直且与该椭圆相交于M、N两点，当△F1MN
的面积为70时，求该椭圆的方程。
2.2.2双曲线的几何性质（一）
课型：新授课 时间： 月 日 学习札记
◇预习目标◇
1、掌握双曲线标准方程中a、b、c
、
e之间的关系；
2、了解双曲线的渐近线的概念和证明；
3、尝试用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质。

◇问题引导，自我探究◇
以双曲线标准方程
x
a
2
2?
y
b
2
2
?1
为例进行说明。
1．范围： 观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：
双曲线在两条直线
x??a
的外侧。
注意：从双曲线的方程如何验证？
2．对称性： 是双曲线的对称轴， 是双曲线
对称中心，双曲线的对称中心叫做 。

3．顶点：双曲线和
x
轴有两个交点是 ，他们是双曲线
x
a
2
2
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?1
的
?
y
b
2
2
?1
的顶点。

4．渐近线：他们是如何确立的？

◇自学测试◇

1、 叫做等轴双曲线；等轴
双曲线的渐近线是 。
2、双曲线的离心率是
第18页（共57页)

3、求双曲线
9y
2?16x
2
?144
的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近
线方程。

课题： 2.2.2双曲线的几何性质（一）
课型：新授课 时间： 月 日 学习札记












〖学习目标及要求〗：
1、学习目标 ：（1）能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点
等几何性质，并熟记之；；
（2）掌握双曲线的渐近线的概念和证明；
（3）能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决
简单问题。
2、重点难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。
3、高考要求：双曲线的几何性质在解题中的灵活运用。
4、体现的思想方法：类比、设想。
5、知识体系的建构：圆锥曲线体系的建构。
〖讲学过程〗：
一、预习反馈:

二、探究精讲:
以双曲线标准方程
线和离心率。

1、顶点：在双曲线
x
a
2
2

感悟一：
x
a
2
2
?
y
b
2
2

?1
为例进行说明双曲线的顶点、渐近


?
y
b
2
2

?1
的方程里，对称轴是
x,y
轴，所



?1
的顶点。
以令
y?0
得
x??a
，因此双曲 线和
x
轴有两个交点
x
a
2
2
A(?a,0)A< br>2
(a,0)
，他们是双曲线
?
y
b
2
2< br>


令
x?0
，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶
第19页（共57页)

点），
双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段
AA
2
叫做双曲线的实轴，它的长等于
2a,a
叫做双曲线

的实半轴长。
虚轴：线段
BB
2
叫做双曲线 的虚轴，它的长等于
2b,b
叫做双曲线
的虚半轴长。
在作图时，我们常常 把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），
但要注意他们并非是双曲线的顶点。
2、渐近线 ：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，
这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看， 双曲线
的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
在初中学习反比例函数
y?三角函数
y
k
x
x
a
2
2














c
a
?
y
b
2
2
? 1
时提到x轴y轴都是它的渐近线。高中
?k
?
?
?tanx
，渐近线是
x
?
2
(k?Z)
。
所谓渐近，既是无限接近但永不相交。

3、离心率：
双曲线的焦距与实轴长的比e=
说明：①由c>a>0可得e>1；
②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.
，叫双曲线的离心率.





感悟二：
探究二：
课本51页例3
双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成
的曲面（见课本），它的最小半径为
12m
，上口半径为
13m
，下口半
径为
25m
， 高
55m
，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确
到
1m
）





探究三：
22
例3．求与双 曲线
4x?y?4
有共同渐近线，且过点
M(2,2)
的双曲

线的方程。
第20页（共57页)

三、感悟方法练习：
1、
双曲线的性质：


标准方程
图 象
范 围
对 称 性
顶 点
渐 近 线
椭 圆






双 曲 线






不 同 点









感悟三：






1、 课本
P
58
练习第1，2题
〖备选习题〗：
A 组

1、求与双曲线
4x
2
?y
2
?4
有共同渐近线， 且过点
M(2,2)
的双曲线
的方程。
B组
1. 双曲线
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?1的离心率为
e
1
，双曲线
x
a
2
2
?
y
b
2
2
??1
的离
心率为
e
2
，则
e
1
?e
2
的最小值是（ ）
A．
2
B．2 C．
22
D．4
x
a
2
2
2. 求证：双曲线
共同的渐近线。



?
y
b
2
2
?
?
（
?
?0
）与双曲线
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?1
有
课题： 2.2.2双曲线的几何性质（一）
[来源:Z。xx。]

☆要点强化☆
班级 姓名

1.双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线；
2.双曲线的渐近线的概念。
☆当堂检测☆
1. 07宁夏理
已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为
第21页（共57页)

．
2. 求双曲线的标准方程：
⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
⑵焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；
[来源学科网ZXXK]

⑶离 心率
e?2
，经过点
M
?
?5,3
?
；
⑷两条渐近线的方程是
y??
(选作题)
已知双曲线的中心在坐标原点， 焦点
F
1
,F
2
在坐标轴上，离心率为
2
，且过点
(4,?10)
，
（1）求双曲线方程；
（2）若点
M(3,m )
在双曲线上，求证：
MF
1
?MF
2
；
[来源: 学。科。网Z。X。X。K]
?
9
?
x
，经过点
M
?
,?1
?
3
?
2
?
2
。

（3）求
?F
1
MF
2
的面积。

●教学目标
1.掌握双曲线的几何性质
2.能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程.
●教学重点
双曲线的几何性质
●教学难点
双曲线的渐近线
●教学方法
学导式
●教具准备
幻灯片、三角板
●教学过程
I.复习回顾：
师：上一 节，我们学习了双曲线的标准方程，这一节，我们要根据它来研究双曲线的几何性质.
同学们可以按照研 究椭圆几何性质的方法和步骤，自己推出双曲线的几何性质，然后与课文对照，所
以，我们来回顾一下研 究椭圆的几何性质的方法与步骤.（略）
II.讲授新课：




1.范围：
双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内.
2.对称性：
双曲线关于每个 坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中
[来源:][来源学科网 ZXXK]
心，双曲线的对称中心叫双曲线中心.
3.顶点：
双 曲线和它的对称轴有两个交点A
1
(－a,0)、A
2
(a,0)，它们叫做 双曲线的顶
点.
线段A
1
A
2
叫双曲线的实轴， 它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长；线段
B
1
B
2
叫双曲线 的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长.
第22页（共57页)

4.渐近线
①我们把两条直线y=±
b
a
x
叫做双曲线的渐近线；
x
a
2
2
②从图8—16可以看出，双曲线
b
?
y
b
2
2
与直线
?1
的各支向外延伸时，
y=±
a③“渐近”的证明：
x
逐渐接近.
先取双曲线在第一象限内的部分进行证明. 这一部分的方程可写为
y=
b
a
x?a(x
>a).
22
设M(x,y)是它上面的点，N(x,y)是直线y=
b
a
b
b< br>a
x
上与M有相同横坐标的点，则Y=
b
a
x
. < br>∵y=
x?a
22
?
a
2
b
x1?()?x ?Y

axa
∴
MN?Y?y?
b
a
2
( x?x
2
?a)

2
b(x?
??
a
ab
x?
x?a)(x?
x?x?a
22
2
x?a)
2 2

?
x?a
22

b
a
设
MQ
是点M到直线y=
x
的距离，则
MQ
<
MN
，当x 逐渐增大时，
MN
逐渐减小，x无
限增大，
MN
接近于O，
MQ
也接近于O.就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐
接近于射线ON.
在其他象限内，也可证明类似的情况.
（上述内容用幻灯片给出）.
④等轴双曲线：
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
⑤ 利用双曲线的渐近 线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的
渐近线，先确定双曲线顶点及 第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内
从渐近线的下方逐渐接近渐近线的 特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双
曲线.
5.离心率：
[来源学科网]

c
a
双曲线的焦距与实轴长的比e=
说明：①由c>a>0可得e>1；
，叫双曲线的离心率.
②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.
师：为使大家进一步熟悉双曲线的几何性质，我们来看下面的例题.
第23页（共57页)

例1 求双曲线9y
2
－16x
2
=1 44的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解：把方程化为标准方程.
y
4
2
2
?
x
3
2
2
?1
.
由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3.
c?a?b
22
?4?3
22
?5
.
焦点的坐标是（0，－5），（0，5）.
离心率
e?
c
a
?
5
4
.
渐近线方程为
x??
3
4
y
，即
y??
4
3
x
.
说明：此题要求学生认识到第二种形式的标准方程所对应的双曲线 性质与课本性质的相同点与不
同点.可让学生比较得出（作为练习）.
III.课堂练习：
（1）写出第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质.
（2）课本P
113
练习1.
●课堂小结
师：通过本节学习，要 求大家熟悉并掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线方程及其“渐
近”性质的证明，并能简单应 用双曲线的几何性质.
●课后作业
习题8.4 1、5、6.
●板书设计
§8.4.1 ??
1.范围 4.渐近线 5.离心率 练习1
①? ? （1）?
2.对称性 ②?
③? 例1? （2）?
④
3.顶点 ⑤ (3)?
●教学后记
●教学目标
1.掌握双曲线的准线方程.
2.能应用双曲线的几何性质求双曲线方程；
3.应用双曲线知识解决生产中的实际问题.
●教学重点
双曲线的准线与几何性质的应用
●教学难点
双曲线离心率、准线方程与双曲线关系.
●教学方法 启发式
●教具准备 三角板
●教学过程
I.复习回顾：
第24页（共57页)

来源[学科网ZXXK]

师：上一节，我们利用双曲线的标准方程推 导了双曲线的几何性质，下面我们作一简要的回顾
（略），这一节我们将继续研究双曲线的几何性质及其 应用.
II.讲授新课：
例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转
所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，
高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.
解：如图8—17，建立直角坐标系x Oy，使A圆的直径AA′在x轴上，
圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴 ，且
CC
?
=13
×2 (m)，
BB
?
=25×2 (m).
设双曲线的方程为
xa
2
2
?
y
b
2
2
?1
（a>0,b>0）
令点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y－55）.因为点B、C在双曲线上，所以
25
12
13
12
2
2
?
(y?55)< br>b
y
b
2
2
2
2
?1,

[来源:][来源学。科。网]
2
2
??1.


2
?
25
2
(y?55)
?1 (1)
?
2
?
2
?
12b
解方程组
?

22
?
13
?
y
?1 (2)
22
?
b
?
12
由方程（2）得
y?
5
12
b
（负值舍去）.
代入方程（1）得
5b
2
(?55)
2
25
12
??1,

22
12b
化简得 19b
2
+275b－18150=0 （3）
解方程（3）得 b≈25 (m).
所以所求双曲线方程为：
x
2
144
?
y
2
625
?1.

说明：这是一个有实际意义的题目.解这类题目时，首先要解决以下两个问题；（1）选择适当的
坐标系；（2）将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来.
第25页（共57页)

例3 点M（x,y）与定点F(c,o)的距离和它到定直线l:x=a
2
c
的距离的比是常数
c
a
(c?a?0),
求点
M的轨迹.
解：设d是点M到直线l的距离.根据题意，所求轨迹是集合
?< br>MF
c
?
??
p=
?
M?
?
,
da
??
??
由此得
(x?c)?y
x?
a2
22
?
c
a
.
[来源学&科&网]

c
化简得 (c
2
－a
2
)x
2
-a< br>2
y
2
=a
2
(c
2
－a
2
).
设c
2
－a
2
=b
2
，就可化为：
x
a
2
2
来源[学科网]

?
y
b
2
2
?1 (a?0,b?0).

这是双曲线的标准方程，所以点M的轨迹是实轴长、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.（图8—18）
说明：此例题要求学生进一步熟悉并熟练掌握求解曲线轨迹方程的一般步骤.
6.双曲线的准线：
a
点的轨迹是双曲线.定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的 准线，常数e是双曲线的离心率.
由例3可知，当点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比 是常数e=
c
(e>1)时，这个
准线方程：x=
?
a
2< br>c
.

其中x=
a
2
c
相应于双曲线
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?1的右焦点F(c,0);x=－
a
2
c
相应于左焦点F′(－c,0).
师：下面我们通过练习来进一步熟悉双曲线几何性质的应用.
III.课堂练习：
课本P
113
2、3、4、5.
要求学生注意离心率、准线方程与双曲线的关系的应用.
●课堂小结
师：通过本节 学习，要求大家熟练掌握双曲线几何性质的应用，并注意利用离心率、准线方程与
双曲线的关系确定双曲 线方程的方法，并了解双曲线在实际中的应用问题.
●课后作业 习题8.4 2，3，4，7
●板书设计
§8.4.2?
例2? 例3? 6.双曲线的 学生
准线 练习


[来源学科网Z,X,X,K]

第26页（共57页)

课题： 2.3.2抛物线的几何性质
1、记住抛物线的几何性质，会根据抛物线的几何性质确定抛物线的位置及基本量
p
；
2.会简单应用抛物线的几何性质
◇问题引导，自我探究◇
抛物线的几何性质列表如下
[来源:]

标准方程
22

y?2px
(p?0)
2

y??2px
(p?0)
2

x?2py
(p?0)



x??2py
(p?0)

图形




[来源:学科网][来源:学|科|网Z|X|X|K]



















焦点坐标

准线方程
范围
对称性
顶点


离心率
◇自学测试◇

1、___抛物线上的点M到焦点的距离和他到准线的距离之比_ _______叫做抛物线的离心率抛物线的离
心率是 1
2 求适合下列条件的抛物线的标准方程
（1）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M(5,-4)
(2) 顶点在原点,焦点是F(0,5)
(3)焦点是F(0,-8),准线是y=8
（选做题）
????????????
3 、设
F
为抛物线
y?4x
的焦点，
A，B，C
为该抛物线上三点，若
FA?FB?FC?0
，则
2
????????
FA?FB?
????
FC?（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
第27页（共57页)

4、已知抛物线
y
2
?2px(p?0)
的焦点为
F
，点
P
1
(x
1
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)
，
P
3
(x
3
，y
3
)
在抛物线上，
且
2x< br>2
?x
1
?x
3
， 则有（ ）
Ａ．
FP
1
?FP
2
?FP
3
Ｂ．< br>FP
1
?FP
2
Ｄ．
FP
2
2
22
?FP
3

2
Ｃ．
2FP
2
?FP
1
?FP
3

?FP
1
·FP
3



课题：

2.4.2抛物线的几何性质
〖学习目标及要求〗：
1、学习目标：（1）能用对比的方法分析抛物线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；；
（2）能根据抛物线的几何性质，确定抛物线的方程并解决简单问题。
2、重点难点：抛物线的范围、对称性、顶点和准线。3、高考要求：定义性质在解题中的灵活运用。
4、体现的思想方法：抛物线的几何性质在解题中的灵活运用。
5、知识体系的建构：圆锥曲线体系的建构。
〖讲学过程〗：
一、预习反馈:
二、探究精讲:
探究一：
探究一：

1、
范围 当x的值增大时,
y
也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意 与双曲线
一支的区别,无渐近线).
2.对称性
抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴.
3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点.
4.离心率
抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e表示.由抛物线定义
可知,e=1.
说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径。
（2）抛物线的几何性质 的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，
一条对称轴，无对称中心，没有渐近线。

探究二：
课本68页例3
已知抛物线关于
x
轴对称，它的顶 点在坐标原点，并且经过点
M(2,?2
第28页（共57页)
2)
，求

它的标准方程，并用描点法画出图形．

探究三：

例3．若抛物线的通径长为7，顶点在坐标原点，且关于坐标轴对称，求抛物线的方程．
三、感悟方法练习：
1、课本P72练习第1，2题
〖备选习题〗：
A 组
1．在抛物线y
2
=12x上，求和焦点的距离等于9的点的坐标
B组
1. 过抛物线y
2
=4x的焦点作直线交抛物线于A(x
1
，y
1
)、B(x
2
，y
2
)两点，若x
1
+x
2
=6，求|AB|的值．

〖备选习题〗：
A 组
1．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：
(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；
(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(
?
6，
?
3)．
2．求焦点在直线3x
?
4y
?
12=0上的抛物线的标准方程．
B组
1、双曲线
值为
A．
3
16
x
2
m
?
y
2
n
?1(mn?0)
的离心率为2，有 一个焦点与抛物线
y
2
?4x
的焦点重合，则mn的

B．
3
8

C．
16
3
（ ）
D．
8
3

〖归纳小结〗
☆要点强化☆
班级 姓名

能根据抛物线的几何性质，确定抛物线的方程并解决简单问题。

☆当堂检测☆

1. 对于抛物线y
2
=4x上任意一点Q,点P（ a,0）都满足|PQ|
?
|a|,则a的取值范围是（ ）
A、
( ??,0)
B、
(??,2]
C、
?
0,2
?
D、
(0,2)

2、抛物线y=ax的准线方程是y=2,则a的值为（ ）
A、
1
8
2
B、
?
1
8
C、8 D、-8
3、抛物线y=4x
2
上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
第29页（共57页)

A、
17
16
B、
15
16
C、
7
8
D、0
4、在抛物线y
2
=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则P的值为（ ）
A、
1
2
B、
1
C、2 D、4
[来源:]

(选作题)
5、
对于焦点在原点的抛物线，给出下列条件:

①
焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点带焦点的距离为6
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线做垂线，垂足坐标为（2，1）
能使这抛物线方程为y=10x的条件____________
2
抛物线和简单几何性质
一、教学目标

(
一)知识教学点
使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．

(
二)能力训练点
从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．

(
三)学科渗透点
使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角 坐标系中曲线方程的关系概念
的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．

二、教材分析

1
．重点：抛物线的几何性质及初步运用．
(
解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)
2
．难点：抛物线的几何性质的应用．
(
解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．)
第30页（共57页)

3
．疑点：抛物线的焦半径和焦点 弦长公式．
(
解决办法：引导学生证明并加以记忆．)
三、活动设计

提问、填表、讲解、演板、口答．

[来源:学#科#网]
[来源学科网]


教学过程
【情境设置】
由一名学生回答，教师板书．
问题 抛物线的标准方程是怎样的？答为：抛物线的标准方程是
与椭圆、双曲线一样，通过抛物线的标准方程可以研究它的几何性质．
下面我们根据抛物线的标准方程：
【探索研究】
1．抛物线的几何性质
（1）范围
因为 ，由方程可知 ，所以抛物线在 轴的右侧，当 的值增大时， 也
增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性
以 代 ，方程不变，所以抛物线关于 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛
物线的轴．
（3）顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当
线的顶点就是坐标原点．
（4）离心率
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物
线的定义可知
时 ，因此抛物
来研究它的几何性质．
．
第31页（共57页)

其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得，教师用小黑板给出来表让学生
填写．

再向学生提出问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特
点？
学生和教师共同小结：
（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；
（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；
（4）抛物线的离心率是确定的，为1．
【例题分析】
例1已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点
它的标准方程，并用描点法画出图形．
，求
求标准方程，请一名学生演板，教师予以纠正．画图可由教师讲解，步骤如下：
第32页（共57页)

由求出的标准方程
范围内几个点的坐标，得


0
0
，变形为 ，根据 计算抛物线在 的
1
1
2
2.8
3
3.5
4
4
??

??
[来
源:]
描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分（如图
）．
然后说明利用抛物线的通性，能够方便地画出反映抛物线基本特征的草图．
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯
口圆的直径为 ，灯深 ，求抛物线的标准方程和焦点位置．
解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使 反光镜的顶点（即抛物
线的顶点）与原点重合， 轴垂直于灯口直径．
抛物线的标准方程为
在抛物线上，代入方程得：
，由已知条件可得点
，
的坐标是（40，30）且
所以所求抛物线的标准方程为 ，焦点坐标是 .

（三）随堂练习
1．求适合下列条件的抛物线方程
第33页（共57页)

①顶点在原点，关于 轴对称，并且经过点
②顶点在原点，焦点是
③顶点在原点，准线是
④焦点是 ，准线是




[来源:]
2．一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是 m，跨度是 m，求拱形的抛物线方程
答案：1．①
2．
（四）总结提炼
② ③ ④
(要选建立坐标系)
抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．它的离心率等于1；它只 有一个
焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线．
（五）布置作业
1．顶点在原点、焦点在 轴上，且过点
A． B． C． D．
的抛物线方程是（ ）

2．若抛物线
距离为（ ）
上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的
A．1 B．2 C．4 D．6
3．若垂直于 轴的直线交抛物线
的方程为__________.
4．抛物线形拱桥，当水面宽
面宽为___________.
5．抛物线的顶点是双曲线
抛物线方程．
6．若抛物线
的横坐标及抛物线方程．
上一点
于点 ，且 ，则直线
时，水面离拱顶为 ，若水下降 ，则此时水
的中心，而焦点是双曲线的左顶点，求
到准线及对称轴的距离分别是10和6，求
第34页（共57页)

答案：1．B 2．C 3．
（六）板书设计
4． 5． 6．9，

教案点评：
本节课首先设置情境，让学生利用类比的思想，探索、归纳、总结 出与椭圆、双曲线类似的性质，
并与椭圆、双曲线的性质比较，便于学生掌握这三种曲线的性质。通过两 道例题和练习进一步让学生
掌握性质的运用。
§3.1.2导数的概念

【学习目标】了解瞬时速度的定义。能够区分平均速度和瞬时速度. 理解
导数(瞬时变化率)的概念
【重点】导数概念的形成，导数内涵的理解
【难点】在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵
通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点
【自学点拨】

[问题1] 我们把物体 在某一时刻的速度称为________。一般地，若物体的运动规律为
s?f(t)
，则物体 在时刻t的瞬时速度v 就是物体在t到
t??t
这段时间内，当
_________ 时平均速度的极限，即
v?lim
?s
?t
?x?0
=______ _____________
h
?
t
?
??4.9t?6.5t?10

2
?t?0
时，在
?
2??t,2
?
这段时间内
[来源学*科*网]
?t?0
时，在
?
2,2??t
?这段时间内












[问题2]函数y=f(x)在x=x
0
处的瞬时变化率是:
?x?0lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?x
? lim
?f
?x
?x?0

我们称它为
'
函数y?f(x)
在
x?x
0
处的______，记作
f(x
0
)
或________，即
第35页（共57页)

________________________

附注： ①导数即为函数y=f(x)在x=x
0
处的瞬时变化率；
②定义 的变化形式：
f
'
?
x
?
=
(x
0
??x)
；
?
lim
?y
x?0
(?x)
?< br>?
lim
f(x
0
)?f
x?0
?x

f
'
?
x
?
=
lim
?y
x0
)
?
=
x?x
(?x)
?lim
f(x)? f(
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
； < br>0
x?x
；
f
'
?
x
x?x
00
??x?0
??x
?x?x?x
f(x)?f(x
0
)
0
，当
?x?0
时，
x?x
0
，所以
f
?
(x
0
)?
x?x

?
lim
x?0
0
③求函数
y?f
?
x
?
在
x?x
0
处的导数步骤：“一差；二比； 三极限”。
[问题3]求导数三步法
(1)求增量?y?f(x
0
??x)?f(x
0
);

(2)算比值
?y
?

f(x
0
??x)?f(x
0
)

?

x?x
;
（即___变化率）

(3)求y
?
?y
x?x
?x
（在.
0
??x?0时）
例2．（课本例1）< br>

【课前练习】
1、自变量
x
从
x
0< br>变到
x
1
时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（
A、在区间[
x
0
，
x
1
]上的平均变化率 B、在
x
0
处的变化率
C、在
x
1
处的变化量 D、在区间[
x
0
，
x
1
]上的导数
2、求
y?x
2
?2
在点x=1处的导数.
3、求函数< br>y?x
在
x?1
处的导数
[来源学_科_网Z_X_X_K

【课后练习】
1、已知函数
y?f(x)
，下列说法错误的是（ ）
A、
?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)
叫函数 增量
B、
?y
?
f(x
0
??x)?f(x
0< br>)
?x?x
叫函数在[
x
0
,x
0
??x< br>]上的平均变化率
C、
f(x)
在点
x
0
处的导数 记为
y
?

D、
f(x)
在点
x
0
处的导数记为
f
?
(x
0
)

第36页（共57页)

）

2、若质点A按规 律
s?2t
2
运动，则在
t?3
秒的瞬时速度为（ ）
A、6 B、18 C、54 D、81
3 、设函数
f(x)
可导，则
lim
A、
f
?
(1)
B、
4、函数
y?x?
1
x
f(1 ??x)?f(1)
3?x
=（ ）

?x?0
1
3
f
?
(1)
C、不存在 D、以上都不对
[来源:Z。xx。]
在
x?1
处的导数是______________
1
2
gt
，(s的单位是m,t的单位是s)，求：
2
5 、已知自由下落物体的运动方程是
s?
（1）物体在
t
0
到
t
0
??t
这段时间内的平均速度；
（2）物体在
t
0
时的瞬时速度；
（3）物体在
t
0
=2s到
t
1
?2.1s
这段时间内的平均速度；
（4）物体在
t?2s
时的瞬时速度。
导数的概念
[来源:学_科_网]

[教学目的]
1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；
2.使学生在了解 瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般
方法
3. 在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形
成数学 概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。
[教学重点和难点]导数的概念是本节的重点和难点
[教学方法]讲授启发，自学演练。
[授课类型]：新授课
[课时安排]：1课时
[教 具]：多媒体、实物投影仪
[教学过程]
一、复习提问(导数定义的引入)
1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度)
[来源:Z§xx§]
2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？
在高 台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度
h
（单位：
m
）与起跳 后的时间
t
（单
位：
s
）存在关系
h
?
t
?
??4.9t?6.5t?10
，那么我们就会计算任意一段的平均速度
v
，通过平均速
2
度
v
来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映 运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动
员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？
（2）新课
第37页（共57页)

我们现在会算任意 一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的
?t
时间段
内的平 均速度
v
，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉
[来源学科网]

表格1






表格2
?t?0
时，在
?
2??t,2
?
这段时间内
?t?0
时，在
?
2,2??t
?
这段时间内
v ?
h
?
2
?
?h
?
2??t
?
2 ?
?
2??t
?
?
4.9?t?13.1?t
??t
2

v?
h
?
2??t
?
?h
?
2
?
?
2??t
?
?2
?
?4.9?t?13. 1?t
?t
2

??4.9?t?13.1??4.9?t?13.1
当
?t??
0.01时，
v??
13.051；
当
?t??
0.001时，
v??
13.095 1；
当
?t??
0.000 1时，
v??
13.099 51；
当
?t??
0.000 01时，
v??
13.099 951；
当
?t?
0.01时，
v??
13.149；
当
?t?
0.001时，
v??
13.104 9；
当
?t?
0.000 1时，
v??
13.100 49；
当
?t?
0.000 01时，
v??
13.100 049；
当
?t??
0.000 001时，
v??
13.099 995 1； 当
?t?
0.000 001时，
v??
13.100 004 9；
。。。。。。 。。。。。。
问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2）
关于这些数据，下面的判断对吗？
2．当
?t
趋近于0时，即无论
t
从小于2的一边，还是
t
从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近
于一 个确定的值-13.1
ms
。
3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数 都可以是某一段
?
2??t,2
?
上的平均速度；
4． 靠近-1 3.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段
?
2,2??t
?
上的 平均速度；
5． -13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1
ms
。
分析:
t?2
秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1
大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在 2
秒时的瞬时速度是-13.1
ms
。
第38页（共57页)

这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1
ms
， 现在我们一起回忆一下是如何得到的：
首先，算出
?
2,2??t
?
上的平均速度
h
?
2??t
?
?h
?
2
?
?t
[来源:]

=
?4.9?t?13.1
，接着观察当
?t
趋近于0时，
上式趋近于一个确定的值-13.1，这个值就是运动员在2秒时的 瞬时速度。为了表述方便，我们用
lim
?t?0
h
?
2??t
?
?h
?
2
?
?t
??13.1

表示“当
t?2
，
?t
趋近于0时，平均速度
v
趋近于确 定值-13.1”。
思考：当
?t
趋近于0时，平均速度
v
有什么样的变化趋势？ 结论：当
?t
趋近于0时，即无论
t
从小于2的一边，还是从大于2的一 边趋近于2时，平均速度
v
都趋近于一个确定的值
?13.1
．
从 物理的角度看，时间
?t
间隔无限变小时，平均速度
v
就无限趋近于史的瞬时 速度，因此，运动
员在
t?2
时的瞬时速度是
?13.1ms
为了表述方便，我们用
lim
h(2??t)?h(2)
?t
?t?0< br>??13.1

表示“当
t?2
，
?t
趋近于0时， 平均速度
v
趋近于定值
?13.1
”
小结：局部以匀速代替变速， 以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡
到瞬时速度的精确值。

3．函数
y?f
?
x
?
在
x?x
0
处的瞬时变化率如何表示？
导数的定义（板书）
函数
y?f
?
x
?
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
?f?x
'
?x?0
?lim
f(x
0
??x)?f(x< br>0
)
?x
，
?x?0
我们称它为函数
y?f
?
x
?
在
x?x
0
处的导数，记作
f
'
?
x
0
?
或
y'|
x?x
，
0
即
f
?
x
0
?
=
lim
?f?x
[来源学科网]
?x?0
?lim
f(x
0
??x )?f(x
0
)
?x
?x?0
。例如：2秒时的瞬时速度可以表示为
h
?
2
?
??13.1
或
'
y'|
t?2
??13.1
。
附注：①导数即为函数y=f(x)在x=x
0
处的瞬时变化率；
②定义的变化形式 ：
f
'
?
x
?
=
lim
?y
(? x)
?x?0
?lim
f(x
0
)?f(x
0
?? x)
?x
；
?x?0

f
'
?x
?
=
lim
?y
(?x)
x?x
0
?lim
f(x)?f(x
0
)
x?x
0
；
f'
x?x
0
?
x
?
=
??x?0
li m
f(x
0
??x)?f(x
0
)
??x
；
第39页（共57页)

?x?x?x
0
，当?x?0
时，
x?x
0
，所以
f
?
(x
0
)?lim
f(x)?f(x
0
)
x?x
0

?x?0
③求函数
y?f
?
x
?< br>在
x?x
0
处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。
三．典例分析
2
例1．（1）求函数y=3x在x=1处的导数.
?f?f
2
分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx), 再求
?6??x
再求
lim?6

?x
2
?x?0
?x
解：法一（略）； 法二：
y
?
|
x?1
?lim
3x?3?1
x?1
22
x? 1
?lim
3(x?1)
x?1
2
x?1
?lim3(x? 1)?6

x?1
2
（2）求函数f(x)=
?x?x
在< br>x??1
附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：
?y
? x
?
?(?1??x)?(?1??x)?2
?x
?y
?x
2
2
?3??x


f
?
(?1)?lim< br>?x?0
?
?(?1??x)?(?1??x)?2
?x
?lim(3 ??x)?3

?x?0
例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不 同产品，需要对原油进行冷却和加热，如
果第
xh
时，原油的温度（单位：
?
C
）为
f(x)?x
2
?7x?15(0?x?8)
，计算 第
2h
时和第
6h
时，
原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第
2h
时和第
6h
时，原油温度的瞬时变化率就是
f
'
(2)
和
f
'
(6)

根据导数定义，
2
?f
?x
?
f(2??x)?f(x
0
)
?x
2

?
(2??x)?7(2??x)?15?(2?7?2?15)
?x
??x?3

所以
f
?
(2)?lim
?f
?x
?x?0
?lim(?x?3)??3
；同理可得:
f< br>?
(6)?5

?x?0
在第
2h
时和第
6 h
时，原油温度的瞬时变化率分别为
?3
和5，说明在
2h
附近，原 油温度大约以
3Ch
的速率下降，在第
6h
附近，原油温度大约以
5 Ch
的速率上升．
'
注：一般地，
f(x
0
)
反 映了原油温度在时刻
x
0
附近的变化情况．
?
?
17世纪 ，力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，
它们突出地表现为 四类问题，其中的两类问题直接导致了导数的产生：一是根据物体的路程关于时间
的函数求速度和加速度 ；二是求已知曲线的切线。
由导数的定义，我们知道，高度
h
关于时间
t< br>的导数是运动员的瞬时速度；气球半径
r
关于体积
V
第40页（共57 页)

的导数就是气球的瞬时膨胀率。
实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、点密度、国内生产总值GDP 的增长率
等等。下面我们来看一个导数的应用。
四．课堂练习
2
1．质点 运动规律为
s?t?3
，求质点在
t?3
的瞬时速度为．
3
2．求曲线y=f(x)=x在
x?1
时的导数．
3．例2中， 计算第
3h
时和第
5h
时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
五、小结
[来源学科网ZXXK]
1．导数的产生是由于17世纪力学、天文学等的 飞速发展，对数学提出的要求，主要是两类问题：一
是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度； 二是求已知曲线的切线；
2．导数就是瞬时变化率；
3．导数的计算公式：
f'
?
x
0
?
=
lim
?f
?x
?x?0
?lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?x
。
?x?0
4. 求函数
y?f
?
x
?< br>在
x?x
0
处的导数步骤：“一差；二比；三极限”
3.2.1几个常用函数的导数教案

教学目标：
1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数；
2. 利用公式解决简单的问题。
教学重点和难点
1．重点：推导几个常用函数的导数；
2．难点：推导几个常用函数的导数。
教学方法：
自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。
教学过程：
一 复习
1、函数在一点处导数的定义；
2、导数的几何意义；
3、导函数的定义；
4、求函数的导数的步骤。
二 新课

例1．推导下列函数的导数
（1）
f(x)?c

解：
?y
?x
?
'
f(x??x)?f(x)
?x
?y
?x
?x?0
?
c?c
?x
?0
，
f(x)?lim?lim0?0

?x?0
1. 求
f(x)?x
的导数。
解：
?y?x
?
f(x??x)?f(x)
?x
?
x??x?x
?x
?1
，
第41页（共57页)

f
'
(x)?lim
?y
?x
?x?0
?lim1 ?1
。
?x?0
'
则
y?1
表示函数
y?x图象上每一点处的切线的斜率都为1.若
y?x
表示路程关于时间的函数，
'y?1
可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。
思考：(1).从求
y? x
，
y?2x
，
y?3x
，
y?4x
的导数如何来 判断这几个函数递增的快慢？
(2).函数
y?kx(k?0)
增的快慢与什么有关？
可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快.
2. 求函数
y?f(x)?x
2
的导数。
?y
?x
'
解：
?
'
f(x??x)?f(x)
?x
?y
?x
2
?
(x??x)?x
?x
22
?2x??x
，
y?f(x)?lim
'
?x?0
?lim(2x??x)?2x
。
?x?0
y?2x
表示函数
y?x
图象上每点（x,y）处的切线的 斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜
率也在变化：
(1) 当x<0时，随着 x的增加，
y?x
2
减少得越来越慢；
（2）当x>0时，随着 x的增加，
y?x
2
增加得越来越快。
3. 求函数
y?f(x)?
1
x
的导数。
11
1
x
?
x?(x??x)
??
，
2
x(x??x)?xx?x??x
)??
1
x
2
解： ?y
?x
'
?
f(x??x)?f(x)
?x
'
?
x??x
?x
?
y?f(x)?lim
?y
?x
?x?0
?lim(?
?x?0
1
x?x??x
2

思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？
'
[来源学科网][来 源:]

k?f(1)??1
，所以其切线方程为
y??x?2
。
(2)改为点（3，3），结果如何？
(3)把这个结论当做公式多好呀，，既方便，又减少了复杂的运算过程。

三 例题
1. 试求函数
y?f(x)?
解：
x
的导数。
第42页（共57页)

?y
?x
?
f( x??x)?f(x)
?x
(x??x?
1
(x??x?x)
?x??x?
?x
x)
x
　　?
　＝
x)(x??x?< br>x)?x(x??x?

y?f(x)?lim
''
?y
?x
?x?0
?lim
1
x??x?x
?x?0
?
1< br>2x

2. 已知点P（-1，1），点Q（2，4）是曲线
y?x2
上的两点，求与直线PQ平行的曲线的切线方
程。
解：
y
'
?2x
，设切点为
M(x
0
,y
0
)
，则
y
'
因为PQ的斜率
k?
4?1
2?1
x?x0
?2x
0
.

?1,
又切线平行于PQ，
所以
k?2x
0
?1
，即
x
0
?
1
2
，切点
M(,)
，
24
11
所求直线方程为
4x?4y?1?0
。
四 练习
[来源:]

1.如果函数
f(x)?5
，则
f
'
(1)?
（ ）
A. 5 B. 1 C. 0 D.不存在
[来源学科网Z|XX|K]

2.曲线
y??2x
2
?1
在点（0，1）的切线斜率是（ ）
A.-4 B.0 C.2 D. 不存在
11
3.曲线
y?x
2
在点
(1,)
处切线的倾斜角为（ ）
22
?
?
5
?
A.
?
B. 1 C. D.
444
答案：
[来源学科网]
1.C 2.B 3.C
五 小结
1.记熟几个常用函数的导数结论，并能熟练使用；
2.在今后的求导运算中，只要不明确要求用定义证明，上述几个结论直接使用。
六 作业
1. P85 ，A组 1
11
2.求双曲线
y?
过点
(2,)
的切线方程。
x2
3．2．1几个常用函数的导数学案
学习目标
1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数；
2. 利用公式解决简单的问题。
第43页（共57页)

学习重点和难点
[来源:Z+xx+]

1．重点：推导几个常用函数的导数；
2．难点：推导几个常用函数的导数。
学习过程
一．自学、思考、练习
忆一忆？
1、函数在一点处导数的定义；
2、导数的几何意义；
3、导函数的定义；
4、求函数的导数的步骤。
二、知识的应用
例1．推导下列函数的导数
（1）
f(x)?c

（2）
f(x)?x

（3）
f(x)?x

（4）
f(x)?
2
[来源学科网]

1
x

（5）
f(x)?x




例2．在同一坐标系中画出函数
y?2x,y?3x,y?4x
的图象，并 根据导数定义求出它们的导数
[来源学#科#网]
（1）从图象看它们的导数分别表示什么；
（2）这三个函数中，哪个增加的最快，哪个增加的最慢；
（3）函数
y?kx(k?0)
的导数是什么，它的增减快慢与什么有关。
例3．试猜想函数
f(x)?x,n?Q
的导数，并证明。
例4．已知曲线
y?x?
n
1
x
上一点
A(2,
5
2)
，用斜率定义求：
（1）点A的切线的斜率
（2）点A处的切线方程
[来源:Z。xx。]

三 练习
1.如果函数
f(x)?5
，则
f(1)?
（ ）
A. 5 B. 1 C. 0 D.不存在
2.曲线
y??2x?1
在点（0，1）的切线斜率是（ ）
A.-4 B.0 C.2 D. 不存在
1
2
1
3.曲线
y?x
在点
(1,)
处切线的倾斜角为（ ）
22
?
?
5
?
A.
?
B. 1 C. D.
444
答案：
1.C 2.B 3.C

四．自我测试（见同步试题）

五、小结
2
来源[]
'

六 作业
第44页（共57页)

1. P85 ，A组 1
11
2.求双曲线
y?
过点
(2,)
的切线方程。

x2
§3.3.2函数的极值与导数
教学目标：
1.理解极大值、极小值的概念；
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
3.掌握求可导函数的极值的步骤；
教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.
教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.
教学过程：
创设情景
观察图3.3-8，我们发现，
t?a
时，高台跳水运动员距水面 高度最大．那么，函数
h(t)
在此点的
导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？ 相应地，导数的符号有什么变化规律？
放大
t?a
附近函数
h(t)
的图像，如图3.3-9．可以看出
h
?
(a)
；在
t?a
，当
t?a
时，函数
h(t)
单
调递增，
h
?< br>(t)?0
；当
t?a
时，函数
h(t)
单调递减，
h
?
(t)?0
；这就说明，在
t?a
附近，函数值先
增（
t?a
，
h
?
(t)?0
）后减（
t?a
，
h
?
(t)?0
）．这样，当
t
在
a
的 附近从小到大经过
a
时，
h
?
(t)
先
正后负，且
h
?
(t)
连续变化，于是有
h
?
(a)?0．
3.3-8
3.3-9
对于一般的函数
y?f
?
x
?
，是否也有这样的性质呢？

附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在 某一
点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧
的导数异号
新课讲授
一、 导入新课
观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的特点







y
y=f(x)
P(x
1
,f(x
1
))


Q(x
2
,f(x
2
))
o
a
x
1

x
x
3

第45页（共57页)

b
x

< br>函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在
P点附近，P点的位置最高，函数值最大
二、学生活动
学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义.
三、数学建构
极值点的定义:
观察右图可以看出，函数在x=0的函数值比它附近所有
各点的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个极大值；函数在x=2
的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f (2)是函数的
一个极小值。
一般地，设函数
f(x
0
)
y?f(x)
y
2
0
在
x?x
0
及其附近有定义，
如果
x
的值比
x
0
附近所有各点的函数值都大，我们说f

(x
0
)是函数
y?
f(x
0
)
f(x)
的一个极大值
；
的一个极小值
。
如果的值比
x
0
附近所有各点的函数值都小，我们说f (
x
0
)是函数
y?f(x)
极大值与极小值统称极值
。
取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。

请注意以下几点：(让同学讨论)
（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的 函数值与它附近点的函数值比较是最
大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所
示，
x
1
是极大值点，
x
4
是极小值点，而
f(x4
)
>
f(x
1
)
。










3

4
b
2

（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为 极值点。而使函数取得最大值、
最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
[来源:学科网ZXXK]
y
f(x
4
)


f(x
1
)
o
a
x
1
x
xxx
极值点与导数的关系:
复习可导函数在定义域上的单调性与导函 数值的相互关系,引导学生寻找函数极值点与导数之间
的关系.
由上图可以看出，在函 数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有
f
?
(x)?0
。
但反过来不一定。若寻找函数极值点,可否只由
f
?
(x)
=0 求得即可?
第46页（共57页)

探索:x=0是否是函数f(x)
=x
3
的极值点?（展示此函数的图形）
在
x?0< br>处，曲线的切线是水平的,即
f
?
(x)
=0，但这点的函数值既不比 它附近的点的函数值大，
f
?
(x
0
)?0
也不比它附近的 点的函数值小,故不是极值点。如果
x
0
使
呢？
观察下左图所示， 若
x
0
是
的左侧附近
f(x)
，那么
x
0
在什么情况下是的极值点
f(x
0
)
的极大值点，则
x0
两侧附近点的函数值必须小于
，
x
0
的右侧附近
f( x)
。因此，
x
0
f(x)
只能是增函数，即
f
?
(x)?0
只能是减函数，即
f
?
(x)?0
，同理，如下
右图所示，若
x
0
是极小值点，则在
x
0
的左侧附 近
f(x)
只能是减函数，即
f
?
(x)?0
，在
x
0
的右侧附
近
f(x)
只能是增函数，即
f
?< br>(x)?0
，








从而我们得出结论(给出寻找和判断可导函数的极值点的方法,同时巩固导数与函数单调性之 间
的关系）：
若
x
0
满足
f
?
(x0
)?0
，且在
x
0
的两侧
f(x)
的导数异 号，则
x
0
是
f(x)
的极值点，
f(x
0
)
是极
值，并且如果
f
?
(x)
在
x
0
两侧满足“左正右负”，则
x
0
是
f(x)
的极大值点，< br>f(x
0
)
是极大值；如果
f
?
(x)
在< br>x
0
两侧满足“左负右正”，则
x
0
是
f(x)的极小值点，
f(x
0
)
是极小值。
y
y
f
?
(x)?0

f
?
(x
0
)

f
?
(x)?0
f
?
(x)?0

f
?
(x
0
)


f
?
(x)?0

o
a

x
0
b
x
o
a x
0
b
x
结论：
x
0
左右侧导数异号
x
0

是函数f(x)的极值点
f
?
(x
0
)
=0
反过来是否成立?各是什么条件?
点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点 是极值点的必要不充分条件是在这点
的导数为0.
学生活动
函数y=f(x)的导数y与函数值和极值之间的关系为(D )
A、导数y由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值
B、导数y由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值
C、导数y由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D、导数y由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
四、数学应用
例1．（课本例4）求
f
?
x
?
?
解： 因为
f< br>?
x
?
?
1
3
3
1
3
x? 4x?4
的极值
3
y
x?4x?4
，所以
第47页（共57页)
o
x

f
f< br>'
?
x
?
?x?4?(x?2)(x?2)
。
2
'
?
x
?
?0,x?2,x??2

'
下面分两种情况讨论：
（1）当
f
（2）当
f
?
x
?
>0,即
x?2
，或
x??2
时；
x?2
时.
'
?
x
?
<0,即
?2?
'
当x变化时，
f
x

y
?

y

?
x
?
，
f
?
x
?
的变化情况如下表：
?
??,2
?

+
↗
-2
0
极大值
28
3
(-2,2)
－

↘
2
0
极小值
?
4
3
?
2,??
?

+

↗

因此，当
x??2
时，
f(x)
有极大值，并且极大值为
f(?2)?
当
x?2
时，
f(x)
有极小值，并且极小值为
f(2)??
函数
f
?
x
??











1
3
x?4x?4
的图像如图所示。
3
28
3
；
4
3
。
y
1f(x)=x
3
-4x+4
3
2
-2
O
x

课堂训练:求下列函数的极值
32

1

（

2）y?8x－12x?6x?1
（1）y??x
x


让学生讨论总结求可导函数的极值的基本步骤与方法：
一般地，如果函数
y?f(x)
在某个区间有导数，可以用下面方法求它的极值：
① 确定函数的定义域； ② 求导数
f
?
(x)
；
[来源:Z#xx#]

第48页（共57页)

③ 求方程
④ 检查
f
?
(x)
=0的根，这些根也称为可能极值点；
f
?
(x)f
?
(x)
在方程＝0的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好 通过列
表法)
强调:要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f
?
(x0)=0左右侧导数的符号
例题2（案例分析）
函数
f(x)?x?ax
322
?bx?a
在 x=1 时有极值10，则a
，
b的值为（C ）

a?3,b??3
或
a??4,b?
A、
a??

4,b?1
或
a??4,b?11
B、

??4,b?11
、 以上都不对 C、
a
D
11


?
f(1)?10
?
1?a?b?a< br>2
?10
略解:由题设条件得：
?

f


(

1

)

?

0

?

?
解之得
?

?
3?2a?b?0
?
a?3
?a??4
或
??
?
b??3
?
b?11
通过验 证，都合要求，故应选择A
上述解法错误，正确答案选C，注意代入检验

注意：f(x
0
)=0是函数取得极值的必要不充分条件
练习:

庖丁解牛篇(感受高考）
[来源Zxx,]
1、（200 6年天津卷）函数
f(x)
的定义域为开区间
(a,b)
，导函数
f
?
(x)
在
(a,b)
内的图象如图
y
所示，则函 数
f(x)
在开区间
(a,b)
内有极小值点（ A ）
y?f
?
(x)
A．1个
B．2个
C．3个
D． 4个
注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别
32

b

a
O


x
5
，其导2、已 知函数
f(x)?ax?bx?cx
在点
x
0
处取得极大值
函数
y?f'(x)
的图象经过点
(1,0)
，
(2,0)
，如图所示.求：
（Ⅰ）
x
0
的值； （Ⅱ）
a,b,c
的值.
答案 （Ⅰ）
x
0
=1; （Ⅱ）
a?2,b??9,c?12



例3求y=(x
2
－1)
3
+1的极值
解：y′=6x(x－1)=6x(x+1)(x－1)
令y′=0解得x
1
=－1，x
2
=0，x
3
=1
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
2222

x

?
??,?1
?

-1 (-1,0) 0 (0,1) 1
?
1,??
?

第49页（共57页)

y
?
[来
－

[来
0
－
0 + 0 +
源:]
↘ 无极值

∴当x=0时，y有极小值且y
极小值
=0
源:]
y
↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗
y
f?x? =
?
x
2
-1
?
3
+1
-1
O
1
x


五：回顾与小结：
1、极值的判定方法； 2、极值的求法
注意点：
1
、
f (x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
2、数形结合以及函数与方程思想的应用
3、要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f
?
(x0)=0左右侧导数的符号.
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）
教学目标：
1． 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用
2． 提高将实际问题转化为数学问题的能力
教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
教学过程：
一．创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前
面的 学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生
活中的优 化问题．
二．新课讲授
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
1、与几何有关的最值问题；
2、与物理学有关的最值问题；
[来源学*科*网Z*X*X*K]

3、与利润及其成本有关的最值问题；
4、效率最值问题。
解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确
定函数的定义域，通过创造在闭 区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通
过研究相应函数的性质，提出优化方 案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：

第50页（共57页)

优化问题
建立数学模型
用函数表示的数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
三．典例分析
作答
用导数解决数学问题

例1．海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让 你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴
的海报，要求版心面积为128dm
2
,上 、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，
才能使四周空心面积最小？
128
解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为
x

S(x)?(x?4)(
求导数，得
S(x)?2?< br>'
128
x
?2)?128?2x?
512
x
?8, x?0
。
512
x
2
。
'
令
S(x) ?2??0
，解得
x?16(x??16
舍去）。
2
x
128128
??8
。 于是宽为
x16
51 2
当
x?(0,16)
时，
S
'
(x)
<0；当< br>x?(16,??)
时，
S
'
(x)
>0.
因此，
x?16
是函数
S(x)
的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16d m，宽为8dm时，能使
四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。
例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是
0.8
?
r
2
分，其中
r
是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造
商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
解：由于瓶子的半径为
r
，所以每瓶饮料的利润是
?
< br>y?f
?
r
?
?0.2
4
3
?
r? 0
?
.8r?
32
?
r
3
?
2
?
0
?
.8?r
?
?
3
?
?r,?0

6
2
令
f
?
?
r
?
?0.8
?
(r?2r)?0
解得
r?2
（
r?0
舍去）
当
r?
?
0,2
?
时，
f
?
?
r
?
?0
；当r?
?
2,6
?
时，
f
?
?
r
?
?0
．
第51页（共57页)

当半径r?2
时，
f
?
?
r
?
?0
它表示< br>f
?
r
?
单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径
r?2
时，
f
?
?
r
?
?0
它表示
f
?
r
?
单调递减，即半径越大，利润越低．
（1）半径为
2
cm 时，利润最小，这时
f
?
2
?
?0
，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，
此时利润是负值．
（2）半径为
6
cm时，利润最大．
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？
有图像知： 当
r?3
时，
f
?
3
?
?0
，即瓶子的半 径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相
等；当
r?3
时，利润才为正值．
当
r?
?
0,2
?
时，
f
?
?< br>r
?
?0
，
f
?
r
?
为减函数，其 实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的
半径越大，利润越小，半径为
2
cm 时，利润最小．
例3．磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性 介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇
区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被 同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧
段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0 或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于< br>m
，每比特所占用的磁道长度不得小于
n
。为
了数据检索便利，磁盘格 式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题：现有一张半径为
R
的磁盘，它的存 储区是半径介于
r
与
R
之间的环形区域．
（1） 是不是
r
越小，磁盘的存储量越大？
（2）
r
为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于
r
与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于
m
，且最外面的磁道不存储任何
R? r
信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道
m
2
?
r
必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量
n
2
?
R?r2
?
r
?r(R?r)
×
f(r)?
mn
mn
（1）它是一个关于
r
的二次 函数，从函数解析式上可以判断，不是
r
越小，磁盘的存储量越大．
（2）为求f(r)
的最大值，计算
f
?
(r)?0
．
f
?
(r)?
2
?
mn
?
R?2r
?

令
f
?
(r)?0
，解得
r?
R
2当
r?
R
2
时，
f
?
(r)?0
；当
r?
R
2
时，
f
?
(r)?0
．
因此
r?
R
2
时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为
第52 页（共57页)
2
?
R
2
mn4

例4．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
S=2πRh+2πR
2

V
由V=πR
2
h，得
h?
，则
2
?
R
V2V
22
S(R)= 2πR+ 2πR=+2πR
2
?
RR
[来源:]
令
s
?
(R)??
V
2
?
2V
R
2
+4πR=0
V
V
解得，R=
3
，从而h=
?
R
2==
3
)
2
4V
?
(
3
V
2
?
?
=2
3
V
?

即h=2R
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值
S
时，它的高与底面半径应怎样选取，才能 使所用材
料最省？
提示：
S
=2
?
Rh
+
2
?
R
?
h
=
2
2
S?2?
R
2
?
R
2

?
V
(R
)=
S?2
?
R
2
?
R
?
R
2
=
2
1
2
(S?2
?
R)R?
2
1
2
SR?
?
R

3
V'(R)
)=0
?S?6
?
R

?< br>6
?
R
2
?2
?
Rh?2
?
R?h ?2R
．
2


四．课堂练习
1．用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长
0.5m,那么高为多少 时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m，最大容积
1.8m
）
5．课本 练习
课本P
104
3



五．回顾总结
1．利用导数解决优化问题的基本思路：
建立数学模型
优化问题
用函数表示的数学问题
解决数学模型
优化问题的答案
作答
用导数解决数学问题

2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统 计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函
数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这 个过程中，导数往往是一个有利的工具。
第53页（共57页)

例4．汽油的使用效率何时最高
我们知道，汽油的消耗量
w
（单位：L） 与汽车的速度
v
（单位：kmh）之间有一定的关系，
汽油的消耗量
w
是汽车速度
v
的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：
（1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？
（2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？
分析：研究汽油的使用效率（单位：Lm）就是 研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用
G
w
表示每千米平均的汽油消耗量，那 么
G?
，其中，
w
表示汽油消耗量（单位：L），
s
表示汽 油行
s
驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求
G
的最小值的问题．
通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现 ，汽车在行驶过程中，汽油平均消
耗率
g
（即每小时的汽油消耗量，单位：Lh）与汽 车行驶的平均速度
v
（单位：kmh）之间有如图所
示的函数关系
g?f?
v
?
．
从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首 先需要将问题转化为汽油平均消耗
率
g
（即每小时的汽油消耗量，单位：Lh）与汽车 行驶的平均速度
v
（单位：kmh）之间关系的问题，
然后利用图像中的数据信息，解 决汽油使用效率最高的问题．
w
g

?
t
?
s< br>sv
t
gg
这样，问题就转化为求的最小值．从图象上看，表示经过原点与曲线 上点的直线的斜率．进一步
vv
发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为 90
kmh
．
w
解：因为
G?
因此，当 汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速
约为90kmh
．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即
f
?
?< br>90
?
，约为 L．
例5．在边长为60 cm的正方形铁片的四 角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，
做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时 ，箱底的容积最大？最大容积是多少？








解法一：设箱底边
箱高
h?
60?x
2
_

x
x
x
_

60
_

x
_

60
长为
x
cm，则
箱子容积 cm，得
V(x)?xh?
2
60x?x
2
23

(0?x?60)
．
第54页（共57页)

V
?
(x)?60x?
3x
2
2

(0?x?60)

令
V
?
(x)?60x?
3x
2
2
＝0，解得 x=0（舍去），x=40，
并求得V(40)=16 000
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值

答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm
3

解法二：设箱高为
x
cm，则箱底长为(60-2< br>x
)cm，
60-2x
则得箱子容
60-2x
60
6 0-2x
60-2x
积
V(x)?(60?2x)x
(0?x?30)．（后面同解法
2
x
x
一，略）
所以最大值由题意可知，当
x
过小或过大时箱子容积很小，
出现在极值点处．
事实上，可导函数
V(x)?xh?
2
60
60x?x
2< br>23
、
V(x)?(60?2x)
2
x
在各自的定义域中都只 有一个
极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点 的
函数值

例6．在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x )，出售x单位产品的收益
称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P( x)。
（1）、如果C(x)＝
10
?6
x
3
?0.00 3x
2
?5x?1000
，那么生产多少单位产品时，边际
C
?(x)
最低？
(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)
（2）、如 果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？ 变式：已知某商品生产成本
C
与产量
q
的函数关系式为
C
=100+4
q
，价格
p
与产量
q
的函数关系式
为
p?25?
1
8
q
．求产量
q
为何值时，利润< br>L
最大？
分析：利润
L
等于收入
R
减去成本
C
，而收入
R
等于产量乘价格．由此可得出利润
L
与产量
q
的
函数关系式，再用导数求最大利润．
解：收入
R?q?p?q
?
25?
?
?
?
1
?
11
2
?< br>q
?
?25q?q
，
8
?
8
利润
L?R?C?
?
25q?
L
?
??
1
4
q ?21

1
4
1
22
?
q
?
?( 100?4q)??q21q?100
(0?q?100)

88
?
令
L
?
?0
，即
?q?21?0
，求得唯一的极值点
q?84

答：产量为84时，利润L最大
第55页（共57页)

例7．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断 面ABCD的面积为
定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求 此时的高h和下底边长
b.
[来源学。科。网Z。X。X。K]

1
2
解：由梯形面积公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=
3
3
h,BC=b
∴AD=
23
3
h+b, ∴S=
(
2
1233
h?2b)h?(
3
3
h?b)h
①
∵C D=
h
cos30?
S
h
?
2
3
h
,AB=CD.∴l=
2
3
h
×2+b ②
由①得b=
?
3
3
h,代入②,∴l=
43
3
S
4
h?
S
h
?
3
3
h?3h?
S
h
[来源学科网]

l′=
3?
S
h
2
=0,∴h=
S
4
3
, 当h<
3
时，l′<0,h>
S
4
3
时，l′>0. ∴h=
S
4
3
时，l取最小值，此时b=
2
4
3
3
S

2
例8．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x在x轴上方的曲线上，
求这种矩形中面积最大者的边长．
【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x ＞0，y ＞0，
则另一个在抛物线上的顶点为（－x，y），
在x轴上的两个顶点为（－x，0）、（x，0），其中0＜ x ＜2．
设矩形的面积为S，则S ＝2 x（4－x
2
），0＜ x ＜2．
2
由S
′
（x）＝8－6 x
2
＝0，得x ＝
3
，易知
3
4
x ＝是S在（0，2）上的极值点，
3
即是最大值点，
2
8
所以这种矩形中面积最大者的边长为
3
和．
3
3
【点评】
应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约 条件．应用题的分析中如确定有最
[来源:Z。xx。]
小值，且极小值唯一，即可确定极小值 就是最小值．

练习：1：一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每 次订货要付手续费30
元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几 次进货、每次进多少
册，可使所付的手续费与库存费之和最少？
【解】假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，
由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即
x
2
，故有
第56页（共57页)

y ＝
150
x
×30＋
x
2
×40，y
′
＝－
4500
2
令y
′
＝0，得x ＝15，且y
″
＝
x
9000
3
＋20，
，f
″
(15)＞0，
x
所以当x ＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，
150
故 当x ＝15时，y取得最小值，此时进货次数为＝10（次）．
15
即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．

2：有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距 50
千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和70 0元，
问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？
【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总费用为y元，
则CD ＝
x?40
．
y ＝500（50－x）＋700
x?1600

＝25000－500 x ＋700
x?1600
，
y
′
＝－500＋700 ·
1
2
2
2
22
(x ＋1600)
2
?
1
2
· 2 x
＝－500＋
700x
x?1600
50
3
2
，
令y′＝0，解得x ＝
6
．
答：水厂距甲距离为50－
【点评】
50
3
6
千米时，总费用最省．
当要求的最大（小）值的变量y与 几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x，然后
再根据条件x来表示其他变量，并写出y的 函数表达式f（x）．
第57页（共57页)