高中数学教案：圆与圆

圆与圆
课程目标
知识点
圆与圆
圆与圆的位置关系
圆与圆的公共弦
考试要求
B
B
A
具体要求
理解圆与圆的位置关系，会求圆与
圆的公共弦 .
能根据给定两个圆的方程判断两圆
的位置关系．
了解根据给定两个圆的方程求其公
共弦的方法．
考察频率
少考
少考
少考
知识提要
圆与圆
主要研究圆与圆的位置关系及圆与 圆的公共弦长问题．圆与圆的位置关系有五种，分别是外离、
外切、相交、内切、内含．其中内切和外切 统称为相切．两圆交点的线段长即为圆与圆的公共
弦长．掌握圆与圆的位置关系是研究交点圆系的基础.
圆与圆的位置关系
? 圆与圆的位置关系
平面上两圆的位置关系有五种：

? 判断两圆的位置关系

判断圆

：













与圆

：













的位置关系，
主要运用几何法：比较圆心距与两圆半径的关系．
设两圆的圆心距为 ，
当



时，两圆外离；
当



时，两圆外切；
当







时，两圆相交；
当



时，两圆内切；
当



时，两圆内含．

圆与圆的公共弦
? 两圆公共弦所在直线方程的求法
设圆

：









，圆

：









．

当两圆相交时，联立方程组

，









得

















．
若两圆交点为






，







，可知 、 的坐标适合方程 ，也适合方程 ，
因此方程 就是经过两圆交点的直线方程．
? 公共弦长的求法
代数法：将两圆的方程联立，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长．
几何法：求出公共弦所在的直线方程，半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的三边长，
利用勾股定理 求弦长．




精选例题
圆与圆
1. 圆



与圆



的位置关系是 ．

【答案】 相交

【分析】 圆



的标准方程为









，圆心是




，半径

．




的标准方程为






，圆心是



，半径

．
所以 ，
因为



，



，
所以







，可得两圆相交．

2. 若圆









与圆









相交，则实数 的取值范围
是 ．

【答案】





3. 圆



与



圆的位置关系是 ．

【答案】 相交

4. 两圆



和



的位置关系是 ．

【答案】 相交

【分析】 因为圆



的标准方程为









，
所以圆



的圆心是



，半径 ．
又因为圆



的圆心是



，半径

．
所以








，
因为






，



，
所以










，可得两圆相交．

5. 两圆



与









的公共弦所在的直线方程是 ．

【答案】

6. 已知点集

















，



















，则点集 中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的个数为 ．




【答案】

【分析】















点集 表示以



为圆心，半径为
圆

内部的点；

















点集 表示以点



为圆心，以半径








为半径圆外的点，所以点集 中的整点有



，



，



，



，



，



，



，所以整数点的个数有 个．

7. 如果单位圆



与圆









相交，则实数 的取值范围
为 ．

【答案】










或

8. 以点



为圆心且与圆



相外切的圆的标准方程是 ．

【答案】













【分析】 设所求圆的半径为 ，则由题意可得






，
，
．
故所求圆的方程为









．

9. 在坐标平面内，与点



的距离为

，且与点



的距离为

的直线共
有 条．

【答案】

【分析】 以 ， 为圆心，

为半径作圆 ；以 ， 为圆心，

为半径作圆 ．
两圆内切，公切线只有一条．


10. 若圆





与圆





外切，则 ．

【答案】

【分析】 记

圆心为

，

圆心为

．

的方程可化为：










．两圆圆心距离为









．则由两圆外切知



，解得 ．

11. 已知圆






，圆 的圆心 在 轴上，且与圆 外切，圆 交 轴于 ，
两点（ 在 的上方），点 的坐标 为



．
(1)若



，求 的正切值；

【解】 由圆






，知



，圆 的半径为 ．
又圆 与圆 外切，



，
所以






，圆 的半径 ，
而圆 截 轴于



，



两点，
不妨设



，



．


所以



．
(2)若 在 轴上运动，当 在何位置时， 最大？并求出最大值；

【解】 当 在 轴上运动时，令



，




．
圆 的半径


，



，



．
因为 ，所以

当 为



时， 最大，最大值为 ．
(3)在 轴上是否存在点 ，使当 在 轴上运动时， 为定值？如果存在，求出点
的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解】 设



，与（2）中求 的方法同理可得
















若 为常数，则有





，
解得

或

或 ．
但当 时，若 ， 分别在 轴两旁时，

；
若 ， 都在 轴同旁时，

，故 不合题意，舍去．
综上，存在满足题意的点 ，其坐标为

或

．

12. 如图，在平面直角坐标系 中，已知曲线 由圆弧

和圆弧

相接而成，两相接点
、 均在直线 上，圆弧

的圆心是坐标原点 ，半径为 ，圆弧

过点



．


(1)求圆弧

的方程；

【解】 圆弧

所在圆的方程为



．

令 ，解得



，



．
则线段 的中垂线的方程为



．
令 ，得圆弧

所在圆的圆心为




，
又圆弧

所在圆的半径为

，
所以圆弧

的方程为










．
(2)曲线 上是否存在点 ，满足

？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，
请说明理由；

【解】 假设存在这样的点



，则由

，
得



．





由

，



解得 （舍）．





由

，解得 （舍）．





综上知这样的点 不存在．
(3)已知直线 与曲线 交于 、 两点，当 时，求坐标原点
到直线 的距离．

【解】 因为

，

，
所以 、 两点分别在两个圆弧上．
设点 到直线 的距离为 ，
因为直线 恒过圆弧

所在圆的圆心



，
所以







，

解得


．

所以点 到直线 的距离为



．

13. 已知圆









和两点



，



（ ），若圆 上存在点
，使得

，求 的最大值．

【解】 因为圆 上存在点 ，使得

，
所以以 为直径的圆（圆心为点 ）与圆 有公共点 ，
因为圆 的半径为 ，圆C的圆心



到原点 的距离为 ，
所以 的最大值为 ．

14. 已知圆



．
(1)求证：对于任何实数 ，圆都过定点．

【解】 将已知圆的方程按 整理得







，联立方程组








解得 ， ，所以，对于任何实数 ，圆都过定点



．

(2)若此圆与圆



相切，求 的值．

【解】 将已知圆的方程配方得：














．
故圆心为



，半径为

；
而圆



的圆心为



，半径为 ．
若两圆外切，则



，由此解得


或



．


，由此解得 若两圆内切，则










综上所述，两圆相切时，





．



或



（舍去）．

15. 已知圆



，过点



与圆 相切的两条切线为 ，其中 为切点，
求直线 的方程．

【分析】 此种题目直接求解比较困难，可利用求两圆公共弦的方法来求．

【解】 ， ，
四点 共圆．
以 为直径的圆的方程为










知 两点在此圆上．
为此圆与圆 的公共弦，故两圆方程相减即得直线 的方程，
即



16. 圆心都在直线 上的两圆

和

相交于 ， 两点，且点 的坐标为



，求点 的坐标．

【解】 设



，由 ， 关于两圆的连心线 对称，得






解得

所以





．












17. 已知圆



和圆



，记两圆的公共弦所在的直线为 ．

(1)求直线 的方程；

【解】 圆 与圆 两方程相减，得到公共弦所在的直线方程 ．
(2)设直线 与 轴的交点为 ，过点 任作一条直线与圆 相交于点 ， ，是否存在
轴上的定点 ，连接 ， ，使得 ，若存在，求出点 的坐标，若不存在，
说明理由．

【解】 由题意得



，当 轴时显然成立．
当 不垂直于 轴时，设 所在直线的方程为



，






，






，




，则


















，


所以








，









．
由题意得 点不是 点，所以直线 ， 的斜率存在，




．

所以


























．
把韦达定理代入得



，所以 ，
所以点 存在，为



．

18. 若关于 ， 的方程



表示圆 ．
(1)求实数 的取值范围；

【解】 圆 化简为









，
所以 ，即 ．
(2)若圆 与圆



相离，求 的取值范围．

【解】 圆 的圆心为



，半径为

（ ），圆 的圆心为



，半径为

，
由题意，得圆心距大于两圆的半径和，则








，解得 ．

19. 已知圆 ：



和圆 ：



，求过两圆交点且面积最小
的圆的方程．

【解】 设两圆交点为 ， ，则以 为直径的圆就是所求的圆．
直线 的方程为 ．
两圆圆心连线的方程为 ．

解方程组 得圆心坐标为



．

圆心



到直线 的距离为

，
弦 的长为









，
所以所求圆的半径为

．
所以所求圆的方程为









．

20. 求半径为 ，与圆



相切，且和直线 相切的圆的方程．

【解】 设所求圆的方程为圆











．
圆 与直线 相切，且半径为 ，则圆心 的坐标为





或





又已知圆



的圆心 的坐标为



，半径为 ．
故若两圆相切，则

或


当




时，有











或













可解得

所求圆的方程为














当




时，











或












故

所求圆的方程为














综上所求方程为

圆与圆的位置关系
1. 圆







和圆







相外切，若
，且 ，则





的最小值为 ．

【答案】

2. 若圆





和圆





相离，则 ， 满足的条件
是 ．

【答案】







【分析】 两圆的连心线的长为






． 两圆相离，

，






．

3. 已知圆







与圆







，
若圆

与圆

相外切，则实数 ．

【答案】 或

【分析】 对于圆

与圆

的方程，配方得圆











，圆












，则




，

，




，

．
如果圆

与圆

相外切，那么有







．
则

，解得 或 ．

4. 在坐标平面内，与原点距离为 ，且与点



距离为

的直线共有 条．

【答案】

【分析】 提示：





的圆心为




、半径为 ，











的圆心为




、半径为

，





，所以两圆相离，满
足条件的直线与

和

相切，所以两圆的公切线共四条．

5. 两圆内切，其中一个圆的半径为 ，两圆的圆心距为 ，则另一个圆的半径是 ．

【答案】 或

6. 已知圆

：



与圆





相交于 ， 两点，则线
段 的中垂线方程为 ．

【答案】

【解】 线段 的中垂线经过两圆的圆心，圆

的圆心



，圆

的圆心



，则线段
的中垂线方程为 ．

7. 集合









，










，若
，则正数 的取值范围是 ．

【答案】









【分析】 记



为圆 ，





为圆 ．则







，圆 的半径为 ，则原题可以转化为圆 与圆 没有交点，则 的取值范
围是多少．以 为圆心，作圆 的内切圆和外切圆，如图所示，

所以由图象知，当 小于 或 大于 时，两圆没有交点．因为 ，
，所以 或 ．

8. 圆



和圆









外切，则实数 ．

【答案】



9. 若点



在圆



上，则圆






与圆






的位置关
系是 ．

【答案】 外切

【分析】 本题考查圆与圆的位置关系．

【解】 因为点



在圆



上，所以

又圆






的圆心




，半径

，圆






的圆心




，
半径

，则















所以










．于是两圆外切．

10. 已知圆











，圆











， ， 分别是圆

，


上的动点， 为 轴上的动点，则 的最小值为 ．

【答案】



【分析】 由两圆的圆心和半径可知，圆

内含于圆

．作圆

关于 轴的对称圆

，连
接

，

交圆

于点 ，

于点 如图所示，

记 则由图形对称性可知

．则由

















，










．

11. 已知圆 ：






，圆 的圆心 在 轴上，且与圆 外切，圆 与 轴交于
两点 ， （ 在 上方），点 为



，
(1)若点 的坐标为



，求 的正切值；

【解】 如图：

因为



，当 为



时， ，又两圆外切，所以圆 的半径为 ，

从而



，



，所以 ，故
．
(2)当点 在 轴上运动时，求 的最大值．



【解】 设圆 圆心为



，半径为 ．
由两圆外切，得



，

，

，所以



，



．




















































因为











在



上单调递减，所以当 即 时，上式取得最大值


，此时 取得最大值 ．

12. 求圆心在直线 上，并且经过圆





与






的交点的圆的方程．

【解】 圆





与





联立得交点为



，




．圆心在直线 上，设所求圆心为



，半径为 ，












因为



，



在圆上，所以













解得



所以圆的方程为









，即



．

13. 已知圆 ：



，点



．
(1)求过点 且与圆 相切的直线 的方程；

【解】 圆 化为标准方程是









，
则圆心坐标为



，半径 ．
设切线 的方程为



，即 ．

由点到直线的距离公式，得

，
解得


所以




．


．
即直线 的方程为 ．
又 也是切线方程．
所以切线 的方程为 或 ．
(2)若圆 与圆 外切，且与 轴切于点 ，求圆 的方程．

【解】 设圆心



，则半径 ．
所以要使圆 与圆 外切，则有 ．
所以









，
化简，得 ．

解得

或 ．
所以圆 的方程为










或









．




14. 如图，求过原点且与直线 及圆









相切的圆的方程．



【解】 设所求圆的方程为














．

由几何性质得






































所求圆的方程为











．



15. 求过点



且与圆



相切于点



的圆的方程．

【解】 设所求圆的圆心为



，半径为 ．
已知圆方程化为









，圆心为



，
因为切点 在连心线上，即 ， ， 共线，所以






，所以




．
圆心 在 的垂直平分线上，所以 ．

将 代入，解得

．
故

．




所以所求圆的方程为













．

16. 求与直线 和曲线



都相切的半径最小的圆的标
准方程．

【分析】 因为所求的圆半径最小，则所求的圆与圆











，外切且两
圆圆心的连线与直线 垂直．

设圆心为



，所以

，得 ．
又点



到直线 的距离为






．








，即点



到直线 的距离为

，即
（舍），
所以所求的圆的标准方程为









．

【解】









．



，所以所求圆的半径为










，解得 ，
17. 已知 的三个顶点为



，



，



，设其外接圆为圆 ．
(1)若直线 过点 ，且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程；

【解】 线段 的中垂线方程为 ，线段 的中垂线方程为 ＋ ．
由此得外接圆的圆心



，半径

，故 的方程为

＋




．
设圆心 到直线 的距离为 ，则



．

当直线 垂直 轴时，其方程为 ，此时与 的交点为



和



，得弦长为 ，
符合题意．
当直线不垂直 轴时，可设 的方程为



，由圆心 到直线的距离 、半径、
半弦长构成直角三角形，得








解得



此时直线 的方程为 ．
综上直线 的方程为 或 ．
(2)对于线段 上的任意一点 ，若在以 为圆心的圆上都存在不同的两点 ， ，使得点
是线段 的中点，求圆 的半径 的取值范围．

【解】 直线 的方程为 ．

设







，



，因为点 是点 ， 的中点，所以



．

因为 ， 都在半径为 的 上，所以




















因为关于 ， 的方程组有解，即以



为圆心， 为半径的圆











与
以



为圆心， 为半径的圆











有公共点，所以




















又因为 ，所以





．
而
















．
又线段 与圆 无公共点，所以




＋






对任意



恒成立，
即









因此得 的半径的取值范围是




．

18. 已知椭圆




在



上的值域为

，故





且









的左、右焦点分别为



，点 是 轴上方椭圆 上




的一点，且
















．
(1)求椭圆 的方程和 点的坐标；

【解】 在椭圆 上，









， ．






，



























．
， ，

．
所以椭圆 的方程是











．






，




，





，



．
(2)判断以

为直径的圆与以椭圆 的长轴为直径的圆的位置关系；

【解】 线段

的中点


，

∴ 以



为圆心

为直径的圆 的方程为







．圆 的半径

．
以椭圆 的长轴为直径的圆的方程为：



，圆心为



，半径为 ．圆
与圆 的圆心距为
，所以两圆相内切．
(3)若点 是椭圆









上的任意一点， 是椭圆 的一个焦点，探究
以 为直径的圆与以椭圆 的长轴为直径的圆的位置关系．

【解】 以 为直径的圆与以椭圆 的长轴为直径的圆相内切．
设 是椭圆 的另一个焦点，其长轴长为



．
∵点 是椭圆 上的任意一点， 是椭圆 的一个焦点，

则有



．设 以 为直径的圆的圆心是 ，圆 的半径为


，
以椭圆 的长轴为直径的圆 的半径 ，
两圆圆心 、 分别是 和 的中点，

∴两圆心间的距离







，所以两圆内切．













19. 已知直线 ： 与圆

：






相交于 ， 两点，圆

与圆

相外切，
且与直线 相切于点

．
(1)求 的值；

【解】 因为直线 ： 经过点

，
所以

，解得
(2)求

的长；


．



【解】 圆

的圆心




到直线

的距离等于

，
所以







．
(3)求圆

的方程．

【解】 方法1：过点 作与直线 垂直的直线 ，则它的方程是







，
即



．
设圆

的圆心





，
又




，圆

与圆

相外切，且与直线 相切于点

．

所以











，


即






















，
解得

或

，
对应的圆心



，半径为 ；圆心

，半径为 ；

所以圆

的方程为






或



．
方法2：设圆

的方程为














，















即










则



















由 解得



，代入 得到












；
再把 和 代入（1），得






















，
解得

或

．

对应的圆心



，半径为 ；圆心

，半径为 ．
所以圆

的方程为






或



．

20. 在平面直角坐标系 中， （ ）．直线 ，设圆 的半径为 ，圆心在直
线 上．
(1)若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，求切线的方程．



【解】 把直线方程 与直线方程 联立得 解得 ，所


以圆心 的坐标为



．显然切线的斜率存在，设切线的斜率为 ，则切线的方程为

，根据题意得

，解得 或

，所以切线的方程为 或
．
(2)若圆 上存在点 ，使得 ，求圆心 的横坐标的取值范围．



【解】 设



，由 可得











，化简后可得







，所以 点在圆






上，又因为 点在圆 上，所以这两

个圆有公共点，所以 ，即






，解得
．


圆与圆的公共弦
1. 两圆



和



的公共弦所在的直线方程为 ．


【答案】



【分析】 两圆方程相减即得公共弦所在的直线方程．

2. 两圆



及



的公共弦所在直线方程
为 ．

【答案】

3. 已知两圆相交于两点



和



，且两圆的圆心都在直线
上，则


的值是 ．

【答案】

4. 已知两个圆：



①与






②，则由①式减去②式可得上述两圆
的对称轴方程．将上述命题 在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，
而已知命题应成为所推广命题的一个特 例．推广的命题为： ．

【答案】 两圆











①，











②的对称轴的方
程为















．

【分析】 设圆方程











①，











②，
或 ，则由①-②，得两圆的对称轴方程为：



















，即















．

5. 已知 ：






， 是 轴上的动点， 、 分别切 于 、 两点，
求动弦 的中点 的轨迹方程为 ．

【答案】











；

【分析】 设



，



，以 为直径的圆的方程为












整理，得





显然 、 均在以 为直径的圆上．圆 的方程化为





，得两圆公共弦 所在的直线方程为


显然直线 过定点


．




由于 ，则点 在以 为直径的圆上，从而点 的轨迹方程为











6. 圆



与圆



的公共弦所在直线的方程
为 ．

【答案】

7. 若两圆相交于点



，



，且圆心都在直线 上，则以点



为
圆心， 为半径的圆的标准方程为 ．

【答案】

【分析】 两圆圆心连线垂直平分两圆的公共弦，可得












解得





．所以满足题设得圆的方程为









．






8. 已知两圆





，





，则以两圆公共
弦为直径的圆的方程是 ．

【答案】











【分析】 两圆方程相减得 ，此即为两圆公共弦所在直线方程．配方可得两圆
的标准方程分别为



















，则

到公共弦的距离
为






可得半弦长为



，即所求圆的半径为

；又两圆的连心线所在直线的方程为
，它与直线 的交点即为所求圆的圆心，联立直线方程，解得交
点坐标为



，故所求圆的方程为









．

9. 已知两圆



和









相交于 两点，则直线 的方程
是 ．

【答案】

10. 若圆



与圆







的公共弦的长为

，则
．

【答案】

【分析】 两圆公共弦所在的直线方程为















，即

．圆



的半径为


，圆心为



，所以弦心距为
，所以










，解得 ．

11. 已知

：



，

：






，求大圆被小圆截得的劣弧长．






得两圆的公共弦所在直线方程为 ，即 【分析】 由








，大圆圆心



到公共弦的距离为



，设大圆被小圆截得的劣弧所对圆心角为
，则















．所以



，所以劣弧长





．

【解】



12. 在平面直角坐标系 中，已知圆

的方程为









，动圆

过点



和



．记两个圆的交点为 ．
(1)如果直线 的方程为 ，求圆

的方程；

【解】 因为



，



都在圆

上，所以

在 轴上，设

的坐标为



．
设圆

的方程为











．
两圆的方程相减得







，此直线就是两圆的相交弦 所在的
直线方程，

解得

故







所以圆

的方程为



．
(2)设 为线段 的中点，求

的最大值．

【解】 由题意知



为圆

与

的一个交点，不妨记



，设



，连接 ，
如图：



在 中，因为 ， 分别为 ， 的中点，

所以 是 的中位线，所以



．

当 最大时 最大，又因为





，当且仅当 为线段


的延长线与圆

的交点时等号成立．
故



，所以

的最大值为

．
此时对应的圆

如图中虚线所示．

13. 已知两圆



，



，求：

(1)它们的公共弦所在直线的方程；

【解】






② ①得： 为公共弦所在直线的方程．
(2)它们的公共弦长．


【解】 弦心距为



，公共弦长的一半为



，公共弦长为


．



14. 已知两圆



和



的交点分别为 ， ．
(1)求直线 的方程及线段 的长；

【解】 将两圆的方程相减得： ，则直线 的方程为： ．
将两圆分别化为标准方程得：


















其中一个圆心的坐标为



，它到直线 的距离为



，

故相交弦 的长度为



．
(2)求经过 ， 两点，且圆心在直线 上的圆的方程．

【解】 设过两圆的交点的圆系方程为：











，即
















圆心为







又∵圆心在直线 上，∴
，
解得：

，将它代入圆系方程，并整理得：





圆系方程不包括



，此圆圆心为



，不在直线 上，
从而满足条件的圆的方程为







15. 已知圆





和圆





，求两圆的公共
弦长．

【解】 两圆方程相减得公共弦方程为 ，即 ，
因为圆

为









，圆心为



，半径 ，

所以圆心



到公共弦的距离

，

所以公共弦长为












．

16. 已知点



和以 为圆心的圆









．
(1)画出以 为直径，




为圆心的圆再求出它的方程；


【解】 画出以 为直径，



为圆心的圆如下图．











因为












，


所以圆的方程为










的圆的切线吗？

【解】 作图如下．

．
(2)作出以 为圆心的圆和以 为圆心的圆的两个交点 ， ，直线 ， 是以 为圆心


直线 ， 是以 为圆心的圆的切线．
(3)求直线 的方程．

【解】 联立圆 和圆 的方程





得直线 的方程为 ．

17. 已知两圆

：



，

：



，求经过两圆交点的公共弦
所在的直线方程．






【解】 依题意，联立方程




两式相减得到方程 ，它表示一条直线，即为公共弦所在的直线方程．

18. 若圆



＋

与圆








相交于 ， 两点，且两圆在点 处的切
线互相垂直，求线段 的长度．

【解】 由已知可得




，




，



，
两圆在点 处的切线互相垂直，即



，
所以






，解得 ．
所以







．
19. 过点



，向圆









引两条切线，切点分别为 ， ．
(1)直线 的方程；

【解】 连接 ， ，则 ， ，
所以 ， ， ， 四点在同一个圆周上，且该圆的直径为 ，圆心为





，

，
其方程为


















．
即



，
又因为 为圆



与圆 的公共弦，
所以直线 的方程为

















，
即 ．
(2)切点弦 的长．






【解】 因为 到直线 的距离为


圆 的半径为 ，所以










．









．

20. 已知圆








，圆

的圆心为



．若圆

与圆

相交于 ， 两点，
且

，求圆

的方程．

【解】 设圆

的方程为











，因为圆

的方程是






，
两圆相减得两圆的公共弦 所在直线方程为

．

作

于 ，则

，



，


由圆心



到直线 的距离可得








，解得

或

．
所以所求圆

的方程为









或









．

课后练习
1. 如果圆





与圆



总相交，则实数 的取值范围
是 ．
2. 已知圆









，点



，



，点 是圆上的动点，则




的最大值为 ，最小值为 ．
3. 已知



，则



的取值范围是 ．
4. 两圆



和









相切，则实数 的值为 ．
5. 已知圆









，点



，



． 是圆 上的动点，当




取最大值时，点 的坐标是 ．
6. 圆





与圆





的公切线有 条．
7. 设直线 与圆





交于 ， 两点，若圆

的圆心在线段 上，

上，则圆

的半径的最大值是 ． 且圆

与圆

相切，切点在圆

的劣弧
8. 已知两圆外离，圆心距 ，大圆半径 ，则小圆半径 ( r? ) 的所有可能的正整数
值为 ．
9. 已知圆 ：









和两点



，





，若圆 上至少存在
一点 ，使得

，则 的取值范围是 ．
10. 圆



和圆



的位置关系是 ．
11. 若



与










相交于 ， 两点，且两圆在点
处的切线互相垂直，则线段 的长度是 ．
12. 已知点



关于直线 的对称点为



，则圆



关于
直线 对称的圆 的方程为 ；圆 与圆 的公共弦的长度为 ．
13. 已知圆 与圆



外切，并且与直线

相切于点

，求
圆 的方程．
14. 已知圆 ：



，若圆 平分圆 的周长，且圆 的圆心在直线 ：
上，求满足上述条件的半径最小的圆 的方程．

15. 已知圆





和圆





，求两圆的公共
弦所在的直线方程及公共弦长．
16. 已知圆





与圆



相交于 ，
两点，且这两点平分圆 的圆周，求圆 的圆心坐标．
17. 求以圆

：



和圆

：



的公共
弦为直径的圆 的方程．
18. 已知圆



，直线 ．
(1)若圆 与直线 相离，求 的取值范围；
(2)若圆 过点



，且与圆 关于直线 对称，求圆 的方程．
19. 已知圆






，圆






，动圆 与圆 外切并与圆 内
切，圆心 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过曲线 上的一点



作两条直线分别交曲线于 ， 两点，已知 ， 的斜率互
为相反数，求直线 的斜率．
20. 已知圆



与圆 关于直线 对称．
(1)求圆 的方程；
(2)判断两圆是否相交，若两圆相交，试求圆 被公共弦分割成的两段弧长；若不相交，试
说明理由．
21. 已知圆 的半径为 ，圆心 在直线 上．
(1)若圆心 也在直线 上．
（i）求圆 的方程；



（ii）若直线 ： 与圆 交于 ， 两点，且


，求实数 的值．
(2)已知



，若圆 上存在点 ，使

，求圆心 的横坐标 的取值范围．
22. 已知圆

：









和圆

：









相交于 ， 两
点．求：
(1)直线 的方程；
(2)四边形



的面积．
23. 已知圆






和圆外一点

，
(1)若直线 经过原点 ，且圆 上恰有三个点到直线 的距离为 ，求直线 的方程；
(2)若经过 的直线 与圆 相切，切点分别为 ， ，求切线 的方程及 两切点所在的
直线方程．

24. 过圆 外一点



向圆 ：





引两条切线，切点分别为 ， ，求直线 的
方程．



25. 已知曲线

的参数方程为 （ 为参数），曲线

的极坐标方程为



．
(1)将曲线

的参数方程化为普通方程，将曲线

的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)曲线

，

是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

圆与圆-出门考
姓名 成绩

1. 设集合









，


















，当
时，则实数 的取值范围是 ．
2. 圆





与圆











的位置关系是 ．
3. 半径为

，且与圆



外切于原点的圆的标准方程为 ．
4. 已知圆



与圆






外切，点 是圆 一动点，
则点 到直线 的距离的最大值为 ．
5. 已知 ， 是圆



与圆



的公共点，则
的面积为 ．
6. 已知两点



，



到直线的距离分别为 和 ，则满足条件的直线的条数
是 ．
7. 集合









，
















，其中 ，若
中有且仅有一个元素，则 的值是 ．
8. 在平面直角坐标系 中，圆 的方程为






，若直线 上至少存
在一点，使得以该点为圆心， 为半径的圆与圆 有公共点，则 的最大值是 ．
9. 设集合












，















，若存
在实数 ，使得 ，则实数 的取值范围是 ．
10. 如果圆









上总存在两个点到原点的距离为 ，则实数 的取值范
围为 ．
11. 判断圆





与圆





的位置关系，若相交，求其公共弦
长．
12. 已知圆



与圆



相交，求实数 的取值范围．
13. 已知圆 ：






和点

，圆 的圆心在 轴上移动，且恒与
圆 外切，设圆 与 轴交于点 、 ． 是否为定值？若为定值，求出
的弧度数；若不为定值，说明理由．
14. 在 中，



， 的半径为 ，若点 在 边上运动
（与点 不重合），设 ， 的面积为 （如图所示）．

(1)求 关于 的函数关系式，并写出函数的定义域；
(2)以点 为圆心， 长为半径作 ，当 与 相切时，求 的面积．
15. 已知两圆



和



．
(1) 取何值时两圆外切？
(2)当 时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
16. 已知直线 与圆



相交于 ， 两点，弦 的中点为



，
(1)求实数 的取值范围以及直线 的方程；
(2)若圆 上存在四个点到直线 的距离为

，求实数 的取值范围；
(3)已知



，若圆 上存在两个不同的点 ，使

，求实数 的取值范围．
17. 圆



和圆



交于 ， 两点，求 垂直平分线的方
程．
18. 已知半径为 的动圆 的圆心在直线 ： 上．
(1)若动圆 过点



，求圆 的方程；
(2)是否存在正实数 ，使得动圆 满足与圆 ：





相外切的圆有且仅有一个？若
存在，请求出 ；若不存在，请说明理由．
19. 在平面直角坐标系 中，已知圆心在第二象限、半径为

的圆 与直线 相切于
坐标原点 ．椭圆



(1)求圆 的方程；
(2)试探究圆 上是否存在异于原点的点 ，使 到椭圆右焦点 的距离等于线段 的
长．若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
20. 已知圆 与圆





相外切，并且与直线

相切于点


，求圆 的方程．





与圆 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 ．