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空间位置关系
课程目标
知识点
空间位置关系
考试要求
C
具体要求
了解平面的概念与基本性质，能够
利用公理、定理判断点、线
、位置
关系，掌握空间中线面平行和垂直
的有关性质与判定．
理解空间直线、平面位置关系的定
义，并了解如下可以作为推理依据
的公理和定理．
掌握公理、定理，会判断点、线、
面的位置关系．
以立体几何的上述定义、公理和定
理为出发点，认识和理解空间中线
面平行的有关性质与判定．
以立体几何的上述定义
、公理和定
理为出发点，认识和理解空间中线
面垂直的有关性质与判定．
考察频率
必考
平面的概念与基本性质
A
少考
点、线、面的位置关系
空间的平行关系
B
C
少考
常考
空间的垂直关系
C
必考
知识提要
空间位置关系
空间几何体各式各样、千姿百
态，如何认识和把握它们呢？一般的方法是，从构成空间几何体
的基本元素—点、直线和平面入手，研究
它们的性质以及相互之间的位置关系，由整体到局部，
由局部再到整体，逐步认识空间几何体的性质.
平面的概念与基本性质
? 平面的概念
生活中的一些物体通
常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．几何里
所说的平面就是从这样的一些物体中
抽象出来的，但是几何中的平面是没有厚度、无限延
展的．
? 平面的画法
我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，平行四边形的锐角
通常画
为
，且横边长等于其邻边长的
倍．如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了
增强它的立体感，我们常把被遮挡的部分用虚线画出来．
? 平面的表示
为了表示平面，常把希腊字母
等等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面
、平面 ；也可以用代表平面的平行四边形
的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英
文字母作为这个平面的名称，如图中的平面可以表示为平面
、平面 或者平面
．
?
集合符号在立体几何中的应用
以点作为元素，直线和平面都是由点构成的集合．几何中许多符号的规定
都是源于将图形
视为点集．
例如：点 在平面 内，记作 ；
点
不在平面 内，记作 ．
直线 在平面 内，记作 ；
直线
不在平面 内，记作 ；
直线 与 相交于点 ，记作 ；
平面 与平面 相交于直线 ，记作 ．
? 平面的基本性质
平面的基本性质是由三条公理描述的：
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
符号语言： ， ，且
， ．
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
推论1
经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号语言：
，且 ，且 ．
?
空间位置关系与几何量的基础
平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
点、线、面的位置关系
? 点与平面的位置关系
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点 在平面 内，记作 ；点
不在平
面 内，记作 ．
? 直线与直线的位置关系
空间直线与直线的位置关系共有以下两种：
共面直线
在同一平面内的两条直线．更进一步，若这两条直线有且只有一个公共点，则称
它们是相交直线
，若这两条直线没有公共点，则称它们是平行直线；
异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线．
? 直线垂直
如果两条直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作
．在空间，
两条直线垂直包括两种情形：共面垂直和异面垂直．
? 直线与平面的位置关系
空间直线与平面的位置关系共有以下三种：
直线在平面内 直线上的所有点都在平面内；
直线与平面相交 直线与平面有且仅有一个公共点；
直线与平面平行
直线与平面没有公共点．
? 平面与平面的位置关系
空间平面与平面的位置关系共有以下两种：
平行
两个平面没有公共点，则称这两个平面平行；
相交
两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，此时这条公共直线称为这两个
平面的交线．
空间的平行关系
? 空间四边形
顺次连接不共面的四个点 、 、
、 所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中
的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶
点间的线段叫做空间四边形的边；连接
不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．空间四边形用表示
顶点的四个字母表
示．例如，图中的四边形可以表示为空间四边形 ，线段 ，
是它的对角线．
? 直线与平面平行的判定
定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 用符号表
示：
， ，且 ．
?
平面与平面平行的判定
定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．用符
号表示：
， ， ， ， ．
? 平面与平面平行的判定定理的推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平
行．
? 直线与平面平行的性质
定理：一条直线与一
个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平
行．用符号表示： ， ，
．
? 平面与平面平行的性质
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．用符号表示：
， ， ．
空间的垂直关系
? 直线与平面垂直的判定
如果直线 与平面
内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直．记
作 ．直线
叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面．直线与平面垂直时，它们
唯一的公共点
叫做垂足．
直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平
面垂直．用符号表示： ， ，
， ， ．
? 平面与平面垂直的判定
定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．用符号表示： ，
．
?
直线与平面垂直的性质
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行．用符号表示： ，
．
? 平面与平面垂直的性质
定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号来表示：
，
， ， ．
精选例题
空间位置关系
1. 有下列四个结论：
①
， ， ；
② ， ， ；
③ ，
， ；
④ ， ， ， ， ．
其中正确的是 （把正确结论的序号填上）．
【答案】 ①④
2. 下列命题：
①平面
内有无数个点到平面 的距离相等，则 ；
②若直线 与两平面 ，
都不垂直，则 ， 不平行；
③若两个平面 ， 与平面 均垂直，则 ．
则真命题的个数是 ．
【答案】
3. 在三棱锥 中，侧棱 ，若 平面 于
，则点 是
的
（填内心、外心、垂心、重心之一）．
【答案】 外心
4.
平面内一条直线把平面分成 个部分；两条直线最多把平面分成
个部分；
三条直线最多把平面分成 个部分；
条直线最多把平面分成 个部分．
【答案】 ；
； ；
5. 下列四个结论：
①
若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线和这个平面垂直；
②
过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；
③ 垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
④
若一条直线不垂直于一个平面，则这条直线和这个平面内的任何一条直线不垂直．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】
②③
6. 如图是一几何体的平面展开图，其中 为正方形， ， ， ，
分别为 ， ， ，
的中点．在此几何体中，给出下面四个结论： 平面
平面 ； 直线
平面 ； 直线 平面 ； 直线
平面 ．其中正确的序号是 ．
【答案】
【分析】
作出立体图形，可知平面 平面 ； 平面 ； ，所以
平面
；直线 与平面 不平行．
7.
有下列四个结论：
（1） ， ， ；
（2） ， ，
；
（3） ， ， ；
（4） ， ， ，
；
（5） ， ， ，则 ．
其中正确的是
．
【答案】 （1）（4）
8.
如图，在透明塑料制成的长方体
容器中灌进一些水，将容器底面一边
置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：
（1）水的形状呈棱柱形；
（2）水面 的面积不变；
（3）
始终与水面 平行．
其中正确的是 ．
【答案】 （1）（3）
【分析】 （1）随着倾斜程度的不同，如图（2），水的形状可以看成以梯形
为底，
， ， ， 为侧棱的四棱柱；
如图（3），水的形状可以看成以
为底， ， ， 为侧棱的三棱柱，故水的形状始
终是棱柱．
（2）由于倾斜过程中水面 的形状为矩形， 逐渐变长，而 不变，故水面
的
面积逐渐增大．
（3）由于
，所以
始终与水面 平行．
9. 直线 和 在正方体
的两个不同平面内，使 成立的条件
是
（只填序号即可）．
和 垂直于正方体的一个面；
和
在正方体两个相对的面内，且共面；
和 平行于同一条棱；
和
在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
【答案】
【分析】 线面垂直的性质定理； 面面平行的性质定理； 平行公理．
10. 设 ， 为两条直线， ， 为两个平面，给出下列命题：
①若 ，
，则 ②若 ， ，则
③若 ， ，则 ④若
， ，则
其中真命题是 ．
【答案】 ①④
11. 若 、 在平面 内，证明：
在平面 内．
【解】 因为 ，所以 ；
因为 ，所以 ，
所以 ．
12.
如图，三棱锥 的底面是边长为 的正三角形， ，
，
．
(1)求证： 平面 ；
【解】
由题意 中，
．
所以 ．
又因为 ， ，
所以 平面
．
(2)求三棱锥 的体积．
【解】
由（1）知， 是三棱锥 的高，
所以
．
13. 如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，
．
(1)若 ，求证： 平面 ；
【解】 因为底面 是菱形，所以 ．
又因为
， ，
所以 平面 ．
(2)若平面
平面 ，求证： ．
【解】 由（1）知
．
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，
所以 ．
因为底面
是菱形，
所以 ，
所以 ．
14. 如图所示，正三棱柱
中， 、 分别是 、
的中点．
(1)证明：平面 平面
；
【解】 因为三棱柱
是正三棱柱，
所以
面 ，
所以
，
又
是正三角形 的边 的中点，
所以 ，
又因为
，
因此 平面
，
而 平面 ，
所以平面 平面
．
(2)若该三棱柱所有的棱长均为
，求三棱锥
的体积．
【解】
，
，
，
由第（1）问，可知 平面
，
所以
．
15. 已知 是平面 和平面 外一点，且 ， 于 ， 于
．求证：
．
【解】 因为 于 ， ，
所以 ．
同理 ．
又因为
，
所以 平面 ． 平面 ，
所以 ．
16. 如图，四棱锥 的底面是正方形， 底面
， ，
，点
、 分别为棱 、
的中点．
(1)求证： 平面 ；
【解】
取 的中点 ，连接 、 ，
所以 为 的中位线，
所以 且
．
因为四边形 为矩形， 为 的中点，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
所以 平面 ．
(2)求证：平面 平面 ；
【解】 因为
底面 ，
所以 ， ，又 ， ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，
在 中，
，
所以
为等腰直角三角形，
所以 ，
因为 是
的中点，
所以 ，又
所以 平面
，
因为 ，
所以 平面 ，又 平面
，
所以平面 平面 ．
(3)求三棱锥
的体积．
【解】 底面 ，
在
中， ， ，
所以三棱锥 的体积，
．
17. 如图，在三棱柱 中，点
， 分别是 与 的中点．
求证：平面 平面 ．
【解】 连接 ，
因为 ， 分别是 与 的中点，
所以 ，
．
所以 是平行四边形，
所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以
平面 ．
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
因为 平面 ， 平面
， ，
所以 平面 平面 ．
18.
如图所示，四面体 被一平面所截，截面与四条棱 ， ， ， 相交于 ，
，
， 四点，且截面 是一个平行四边形．求证：棱 平面 ， 平面
．
【解】 因为截面
是一个平行四边形，
所以 ．
又因为 在平面
内， 不在平面 内，
所以 平面 ．
又平面
过直线 且与平面 相交于 ，
所以 ， 平面
，
所以 平面 ．
同理可证 平面 ．
19. 如图， ， 是异面直线， 平面 ， 平面 ， ， ．
求证： ．
【解】 如图，在直线
上任取一点 ．
因为 ， 是异面直线，
所以过
和 确定平面 ，
设 与 交于过 点的直线 ．
因为 ，所以 ．
因为 ， ，所以 ．
因为 ， 是异面直线，
所以 和 是 内的相交直线．
因为 ，
所以 ．
20. 已知平面 ， ， ， ，其中 ， ， ， ，
，
， ，则
是否成立？若成立，给出证明；若不成立，添加适当的条件，使
．
【解】
不成立．如图，添加条件 与 相交，则 ．
因为 ， ，
，
所以 ．
因为 ， ， ，
所以 ．
又 ， 是 内的相交直线，
所以 ．
平面的概念与基本性质
1. 的三边或延长线与平面 分别相交于点 ， ， ，则 ， ，
的位置关系
是 ．
【答案】 ， ，
三点共线
2. 下列说法错误的是 （填上序号）．
（1） ， ；
（2）平面 和 有时只有一个公共点；
（3）三点确定一个平面．
【答案】 （1）（2）（3）
3. 两个相交平面把空间分成 部分．
【答案】
4. 正方体各面所在的平面将空间分成
个部分．
【答案】
5. 有以下三个命题：
①不在平面内的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②直线 在平面
内，可以用符号“ “表示；
③若平面 内的一条直线 与平面 内的一条直线
相交，则 与 相交．
请将所有正确命题的序号写出： ．
【答案】 ①③
6. 定线段 所在的直线与定平面
相交于点 ， 为直线 外的一点，且 不在 内，若
直线 ， 与
分别交于 ， 点，求证：不论 在什么位置，直线 必过一定点．
【解】
因为 ，且 在平面 内，所以 在 与平面 的交线上，故不论
在什么位置，直线 必过定点 ．
7. 如图，在正方体
中， 为
的中点， 为
的中点．求证：
(1) ， ，
， 四点共面；
【解】
如图，连接
，
， ．
因为 ， 分别为 ，
的中点，
所以
，且
．
又因为
，
，
所以四边形
是平行四边形．
所以
．
所以
，即 ，
确定一个平面．
所以 ， ，
， 四点共面．
(2) ，
， 三线交于同一点．
【解】 因为
且
，
所以
与 必相交．
如图，设
，
因为
平面
， 平面 ，
平面
平面 ，
所以 ，
所以 ，
， 三线交于同一点．
8. 如图，正方体
中，点 是 的中点，点 是 的中点．请问 ， ，
，
四点共面吗？ ， ， 所在直线交于一点吗？动手画一画，并证明你的结论．
【解】 共面；能交于一点．
证明：设延长
交 的延长线于点 ，延长 交 的延长线于点 ，只需证明
即可．
9. 已知三条平行线 ， ， 都与直线 相交，求证：它们共面．
【解】
如图，设 ， ， 与
分别交于点 ， ， ．
因为 ，
所以 ， 确定一个平面，设为 ．
由 ，得 ，由 ，得
，
所以 ，
因为 ， ，
所以
．
因为 ，所以在 内过点 作 ，
又因为直线
也过点 且 ，
所以直线 与直线
重合（经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）．
所以 ， ， ，
在同一平面内．
10. 如图所示，在正方体
中，点 是边 的中点，动点
在直线
（除
，
两点）上运动的过程中，平面
可能经过的该正方体的顶点是．（写出满足条件的
所有顶点）
【解】
，
，
点、线、面的位置关系
1. 设 ， 是不同的直线， ， ，
是不同的平面，则下列命题正确的是
．
①．若
， ，则 或 ．
②．若 ， ，则 或 ．
③．若 ， ，则 或 与 相交．
④．若 ，
，则 或
【答案】 ②
2. 长方体
中， 在平面
内， 于 ，则
与 的位
置关系是 ．
【答案】
垂直
【分析】 如下图．
由面面垂直的性质定理知
平面 ，再由线面垂直的定义知 ．
3. 在正方体
中，与棱
成异面直线的棱有 条．
【答案】
【分析】
作出图形，观察可知与 成异面直线的棱有
、
、
、
，共 条．
4. 给出下列命题：
① ， ， ，则 ，
② ， ，则 ，
③ ， ，则 与 相交，或 ，或 ．
其中正确的是
．
【答案】 ③
5. 经过直线外一点
直线与已知直线平行；经过直线外一点
平面与已知直线
平行；经过平面外一点
直线与已知平面平行；经过两条异面直线中的一条
平
面与另一条直线平行（用‘‘有且只有一条”“有无数条”“有且只有一个”“有无数个”填空）．
【答案】 有且只有一条；有无数个；有无数条；有且只有一个
6. 如图，三角形 在平面 外，三角形三边所在直线和平面 交于 ， ，
三点，求证：
， ， 三点共线．
【解】
因为直线 ，
所以 ， ．
又因为
平面 ，
所以 平面 ．
同理可得 ， 平面
； ， 平面 ．
因此 ， ， 三点都在平面 与平面
上，平面 与平面 相交只有一条交线，
所以 ， ， 三点在平面
与平面 的交线上，即 ， ， 三点共线．
7.
已知三个平面两两相交，若交线不互相平行，求证：它们必交于一点．
【解】
如图：
设 ，
， ．
因为 ， ， 不互相平行，
所以不妨设 与
相交于点 ，则 ， ．
又因为 ， ，
所以
， ，
从而点 是 与 的一个公共点．
而 与
的交线为 ，
所以点 ，
即 ， ， 交于同一点 ．
8. 巳知棱长为 的正方体 中， ， 分别为
， 的中点．求证：四边
形 是梯形．
【解】
如图，连 ，
因为 ， 为 ， 中点，
所以 ，
，
由正方体性质，可知 ， ，
所以
，
．
因此四边形 是梯形．
9.
一条直线经过平面内一点，又经过平面外一点，判断这条直线与平面的位置关系，并说明
理由．
【解】 这条直线与平面相交如图，设 ， ， ， ，
因为 ， ，即直线 与平面 有公共点，所以直线 与平面
不平行．假设直线
与平面 不相交，则 ，又 ， ，所以
，这与题设 矛盾，所以 ，
所以直线 与平面 相交．
10.
如图，在空间四边形 中，已知 、 分别是 、 的中点， 、
分别是 、
上的点，且 ．求证：直线 、 、
相交于一点．
【解】 因为 、 分别是
、 的中点，
所以 ，且
．
又
，
所以 ，且
．
所以四边形 是梯形．
设两腰 、 相交于一点
．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面
，且 平面 ．
又平面 平面 ，
所以
，
于是直线 、 、 相交于一点．
空间的平行关系
1. 棱长都相等的四面体称为正四面体．在正四面体
中，点 ， 分别是 和
的中点，给出下列命题：
①直线 平面
；
②直线 ；
③三棱锥 的体积是三棱锥
的体积的一半．
其中正确命题的序号为 ．
【答案】 ①③
【分析】 因为点 ， 分别是 和
的中点，
所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，
所以①直线 平面 正确．
易知②错误；
因为分别以 与
为底时三棱锥 与三棱锥 的高相等，
，
所以体积之比为 ，
所以③三棱锥
的体积是三棱锥 的体积的一半正确．
故答案为①③．
2.
在长方体 —
中，若经过点
，
， 的截面交平面 于直线
，则直
线 的作法是 ．
【答案】 过点 作 的平行线
【分析】
直线 一定平行于直线
，而直线
又平行于 ，
所以直线 一定平行于直线 ．
3. 设 ， 是平面 外的两条直线，给出三个论断：① ；② ；③
．以其中
两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题
．
【答案】 ①② ③
4. 给出下列命题：
两条平行线与同一平面所成角相等；
与同一平面所成角相等的两条直线平行；
一条直线与两个平行平面所成角相等；
一条直线与两个平面所成角相等，这两个平面平行．
其中正确的命题是
．（填上所有正确命题的序号）
【答案】
5. 若空间四边形 的两条对角线 ，
的长分别是 ， ，以过 的中点 且平行
于 ， 的截面与空间四边形
各边交点为顶点的四边形的周长为 ．
【答案】
【分析】 截面是平行四边形，且相邻两边的长分别为 ， ，所以周长为
．
6.
如图，两条异面直线 ， 与三个平行平面 ， ， 分别交于 ， ， 与 ， ，
，
， 分别与 交于 ， ，求证：四边形 为平行四边形．
【解】 因为 ，
所以
， 确定平面 ．
又因为 ，平面 与 ， 分别交于
， ，
所以 ．
因为 ，
所以 ， 确定平面 ．
又因为 ，平面 分别交 ，
于 ， ，
所以 ．
所以 ．
同理 ．
所以 四边形 是平行四边形．
7.
如图所示，在正方体 中， ， ， ， ， 分别是 ， ， ， ，
的中点，求证：平面 平面 ．
【解】 因为 ， ， ， ， 分别是 ， ， ， ，
的中点，
所以 ， ．
因为 ，
所以 ．
因为 ， ； ，
，
所以四边形 为平行四边形，四边形 为平行四边形，
所以 ， ．
所以 ．
因为
， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
同理可证， 平面 ，又直线 与直线 相交，
所以平面 平面 ．
8. 如图，在直角梯形 中，将
沿 折起，使
，得到一个空间几何体．
求证： 平面
．
【解】 由已知条件可知 ，
，折叠之后平行关系不变．
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
同理 平面 ．
又因为
， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 平面 ．
所以 平面 ．
9. 如图，在一个长方体木块的
面上有一点 ，过 点画一直线和棱
平行，应怎
样画？若要求过 点画一条直线和 平行，又该怎样画？
【解】 在平面
内经过点 作
的平行线，
设为 ，则 ．连接
，过点 作
，则
．
10. 如图，已知平面 的两侧分别有点 和直线 ， ， 上有点
， ， ， ， ，
分别交 于 ， ， ．设 ， ， ，
， ， ，求 ，
， ， 的长．
【解】 因为 在直线 外，
所以 与
确定一个平面，此平面与 交于直线 ，且 在直线 上．
因为
，
所以 ．
在
中，由
，得
．
由
，得
．
在
中，由
，得
由
，得
．
．
空间的垂直关系
1. 如图，已知
垂直于圆 所在的平面， 是圆 的直径， 是圆 周上一点，则图中互相
垂直的面共有
对．
【答案】
2. 在
中， 是斜边 的中点， ， ， 平面 且 ，则
．
【答案】
3. 已知两条直线 ， 及平面
，给出下列推论：①若 ， ，则 ；②若 ，
，则 ；③若
， ，则 ；④ ， ，则 ．其中正确的
是
（填序号）．
【答案】 ①②
4. 在四面体
中，若 平面 ，
，则在四个面中共有直角三角
形
个．
【答案】
5. 若 ， ，点
， ，则下列命题中正确的为 ．（只填序号）
①过
且垂直于 的平面垂直于 ；
②过 且垂直于 的直线垂直于 ；
③过 且垂直于 的直线平行于 ；
④过 且垂直于 的直线在
内．
【答案】 ①③④
6. 已知 为矩形，
平面 ，过 作 于 ，过 作 于 ，如图
所示．
(1)求证： ；
【解】 因为
平面 ， 平面 ，
所以 ，
又
，且 ，
因此 平面 ，
又
平面 ．
所以 ．
又 ， ，
所以 平面 ．
又 平面 ，
所以 ．
又 ， ，
所以
平面 ，
又 平面 ，
因此 ．
(2)若平面 交 于 ，求证： ．
【解】
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ， ， ．
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ．
又
，
所以 平面 ，
又 平面 ，
因此 ．
7. 如图， ， ，
，
， 是线段 上一点，
，点 在线段 上，且
．求证： 平面
．
【解】 因为
，
所以
是以 为直角的直角三角形．
同理可证， 是以
为直角的直角三角形， 是以 为直角的直角三角
形．
故
平面 ．
又因为
，
而
，
故 ，又已知 ，
所以 平面 ．
8. 如图，在四棱锥 中， 平面
，
．求证： ．
【解】 因为 平面 ， 平面 ，
所以
．
由
，得 ．
又
，
所以 平面 ．
又因为 平面 ，
所以 ．
9. 如图所示，在正四棱柱
中，
，
，点 是棱
上一点，且 ．
(1)求证：
；
【解】
在正四棱柱
中，
平面 ， ．
所以
．
因为四边形 是正方形，
所以
．
因为
，
所以 平面
．
又因为
平面
，
所以
．
(2)求证：
平面 ．
【解】 连接
交 于点 ．
因为在正四棱柱
中，
，
， ，
所以
．
所以
．
所以
．
因为
，
所以
，
所以
，即
．
因为
平面
，
所以
，
所以 平面
．
因为
平面
，
所以
，又
，
， 平面 ， 平面 ，
所以
平面 ．
10. 如图，已知 中，
，
， 平面 ，
， ，
分别为 ，
上的动点，且
．
(1)求证：无论
为何值，恒有平面 平面 ；
【解】 因为 平面
， 平面 ，
所以 ．
又因为 ，且
，
所以 平面 ．
因为
，
所以不论 为何值，恒有 ．
所以 平面 ．
又因为 平面 ，
所以不论 为何值，恒有 平面 平面 ．
(2)当 为何值时，平面 平面 ?
【解】
由（1）可知， 平面 ．
因为 平面 ，
所以
．
假设 平面 平面 ，则 平面 ．
因为
平面 ，
所以 ．
因为 ，
，
，
所以
，
，
所以
．
由
，得
，
所以
，
故当
时，平面 平面 ．
课后练习
1. 给出下列四个命题：
①
空间四点共面，则其中必有三点共线；
② 空间四点中有三点共线，则此四点必共面；
③
空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面；
④ 空间四点不共面，则任意三点不共线．
其中正确命题的序号是 ．
2. 正方体
中，平面
和平面
的交线与棱
的位置关系
是 ，截面
和直线 的位置关系是 ．
3. 正方体
中，点 在棱
上，画出直线 和平面
的交点．
4. 平面 的斜线 交 于点 ，过定点 的动直线 与
垂直，且交 于点 ，则动点
的轨迹是 ．
5. 正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面
，
，
分别记作 ， ，
试用适当的符号填空：
（1）
，
；
（2） ，
；
（3）
，
，
．
6. 如图，平行四边形 的对角线交点为
，点 在平行四边形 所在平面外，且
， ，则 与平面
的位置关系是 ．
7.
下列四个正方体图形中， ， 为正方体的两个顶点， ， ， 分别为其所在棱的中点，
能得出
平面 的图形的序号是 ．（将你认为正确的都填上）
8. 过平面外一点可以作
条直线与已知平面平行；过平面外一点可以作
个平
面与已知平面平行．
9. 已知正方体 ，则 与
所成的角是 ．
10. 平面 外有两条不同的直线 和
，如果 和 在平面 内的射影分别是两条不同的直
线
和
，给出下列四个命题：
①
；
②
；
③
与
相交 与 相交；
④
与
平行 与 平行．
其中假命题的序号是
．
11. 正方体
中，画出平面
和平面
的交线．
12.
一条直线和这条直线外三点，最多能确定的平面个数是 ．
13.
语句“直线 是平面 和 的交线，直线 在平面 内，直线 和 相交于点
”用集合
符号语言表述为 ．
14.
空间中的四个点最多能确定 个平面．
15.
个平面把空间分成 部分，那么 的值可能是 ．
16.
在长方体
中（如图所示），和棱
不相交的棱有
条．
17. 直线 经过平面 外一点 的符号语言是
．
18. 在正方体
中，下列四组平面中，互相平行的一组是 （填序号）．
（ ）平面
与平面
；（ ）平面
与平面
；（ ）平面
与平面
；（ ）平面
与平面
．
19. 已知直线 平面 ，直线 平面 ，则 与 的位置关系为
．
20. 两条异面直线 ， 所成角为
，则过一定点 ，与直线
， 都成
角的直线
有 条．
21. 在空间四边形 中， ， 分别为 ， 的中点， ， 分别是
， 上的点，且
，若 ，梯形 的面积为
，则平行线 ， 间的距离
为
．
22. ， ， ， 分别是空间四边形 各边的中点，若对角线 ，
，则
．
23. 平面 平面 ， 和
分别在平面 和平面
内，若对应顶点的连线共点，
则这两个三角形 ．
24.
已知 ， ， 是三条不重合的直线， ， ， 是三个不重合的平面，下列说法中：
， ；
， ；
， ；
， ．
正确的是 ．
25.
分别在两个平行平面内的两个三角形：
（ ）若对应的顶点的连线共点，那么这两个三角形
；
（ ）若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形 ．
26. 在棱长为
的正方体
中，正方形
所在平面内的动点 到直
线
， 的距离之和为 ，则
的取值范围 ．
27. 在三棱锥
中，侧棱 ， ， 两两垂直，若 平面 于 ，则点 是
的 （填内心，外心，垂心，重心之一）．
28. 在直四棱柱
中，当
满足条件
时，有
（注：填上你认为正确的一种情况即可）．
29. 如图所示，正四面体 中，
平面 ，垂足为 ，设 是线段 上一 点，且
是直角，则
．
30.
如图，已知平面 ， ， ，其中 ， ，且 ．求证： ．
31. 在正方体
中．
(1)
与
是否在同一平面内？
(2)点 ，
，
是否在同一平面内？
(3)画出平面
与平面
的交线，平面
与平面
的交线．
32. 已知正方体
．求证：平面
平面
．
33. 已知三个平面 ， ， ，如果 ， ，
，且直线 ， ．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)判断 与 的位置关系，并说明理由．
34. 如图所示，在四棱锥
中， 平面 ， 为 的中点， 为 的中点，
，
，
，连接 并延长交 于 ．求证：
平面
．
35. ， ， 是空间不重合的平面，且
， ， 且 ， ， 是不重合
的直线，求证： ， ， 交于一点或
．
36. 如图，已知四棱锥 的地面
是正方形， 平面 ， ， ，
分别为 ， 的中点．
求证： 平面 ．
37. 已知
， ， ，且 ，求证： ．
38.
如图所示，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 垂直于底面， ，
分别
是 ， 的中点， ．求证：
(1) ；
(2) 平面 ．
39. 三棱锥 的底面
为边长为
的正三角形，平面 平面 ，
，
为 上一点， ， 为底面三角形中心．求证： ．
40. 如图， 是圆 的直径， 是圆 上异于 ， 的一点，
， ， ，
， ．
(1)求证：
平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
41.
已知 ， ， ， 分别是空间四边形 各边 ， ， ， 上的点，且直线
和 交于点 ．
求证： ， ， 在同一条直线上．
42. 已知一直线与三条平行线都相交，求证：这四条直线在同一个平面内．
43.
在四面体 中， ， 分别为棱 ， 的中点， ， 分别为棱 ，
上的点，且
， ．
(1)求证： ， ， ， 四点共面；
(2)直线 ， ， 交于一 点．
44. 定线段 所在的直线与定平面 相交， 为直线 外任一点，且
，直线 ，
分别与 交于 ， ，求证：无论 在什么位置，
恒过一定点．
45. 求证：两两相交且不共点的四条直线共面．
已知 ， ， ， 是两两相交且不共点的四条直线．
求证 ， ， ， 共面．
46. 已知：空间四边形 ， ， 分别是 和 的中点， ， 分别在
和 上，且
有
．求证：直线 ， ， 相交于一点．
47. 求证：两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与该平面相交．
48.
如图，在 中，若 ， 在平面 内，判断 是否在平面 内．
49. 如图，在四边形 中， ，直线
、 、 、 分别与平面 相交于点
、 、 、 ．求证：
， ， ， 四点共线．
50. 如图，已知 ， ，
， ．求证：直线 ， ， 和 共面．
51.
如图所示，五面体 中， 平面 ，求证： ．
52. 如图，在三棱柱 中， ， 分别是 ， 的中点．求证：
平面 ．
53. 如图，在正方体
中， ，点
为 的中点，点 在 上，若
平面
，则线段
的长度是多少？
54. 已知正方形 和正方形
，如图所示， ， 分别是对角线 ， 上的点，且
．求证： 平面 ．
55. 如图，在正方体
中， ， ， ， ，
， 分别是棱的中点．
求证：平面 平面 ．
56. 如图， ， ，垂足是 ， ，垂足是 ，求证： ．
57. 如图，在矩形 中， ， 是平面
外一点，且 平面 ，问在
边上是否存在一点 ，使得
，并说明理由．
58. 由平面 外一点
引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为 、 、 ， 为 的
外心．求证：
．
59. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ，点
在线段 上，
平面 ．证明： 平面 ．
60. 如图，已知 ， ，垂足 ， ，垂足为 ．求证：
．
空间位置关系-出门考
姓名
成绩
1.
如图所示，在正方体
中， 为 的中点，直线
交平面
于点
，则点
， ， 的关系是 ．
2. 在正方体
中， ， ， ， 分别为棱
，
，
， 的中点，
是
的中点，动点 在四边形 内部运动，则 满足
条件时，有
平面
．
3. 设
和 为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若 内的两条相交直线分别平行于
内的两条直线，则 平行于 ；
②若 外一条直线 与 内的一条直线平行，则
和 平行；
③设 和 相交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 和
垂直．
上面命题中，真命题的序号是 ．
4. 直线
， ，平面 ， 满足 ， ， ，则平面 ， 的位置关系是
．
直线 直线 点
5. 对于命题”
“用文字语言可以叙述为 ．
直线 平面
6.
已知平面 ， ， 及直线 ， 满足： ， ， ， ，则由此推出
；
；
；
中的 （将正确的序号填在横线上）
7. 已知直线 ，平面
， ，且 ， ，则平面 ， 的位置关系是 ．
8. 直线 是平面 的一条斜线，则过 和平面 垂直的平面有
个．
9. 照相机需用三条腿的架子才能支撑在地面上，这是根据
．
10. 一个西瓜切 刀，最多能切 块．
11. 给出下列四个结论：①经过三点有且只有一个平面；②两条直线确定一个平面；
③经过一
条直线和一个点有且只有一个平面；④经过圆上三点有且只有一个平面．其中正确的
是
．
12. 用数学符号表示下列语句：（1）点 在直线 上，且 在平面 内：
．（2）平
面 经过直线 ，但直线 不经过平面 内的点
．
13. 在立体几何中，可以把线看成
运动的轨迹．如果点运动的方向始终不变，则其运
动的轨迹为
；如果点运动的方向时刻变化，则其运动的轨迹为 ．
14.
两个平面可以把空间分成 部分．
15.
空间四边形 中， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点．
①若
，则四边形 是 ；②若
，则四边形 是 ．
16. 在如图所示的长方体
中，互相平行的平面共有 对，与 垂直
的平面是
．
17. 设 ， ， 为两两不重合的平面， ， ，
为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①
若 ， ，则 ；②若 ，
， ， ，则 ；③若 ，
，则 ；④若 ，
， ， ，则 ．其中正确的命题序
号是 ．
18. 下列各图是正方体或正四面体（四个面都是正三角形的四面体）， ， ， ，
分别是所
在棱的中点，则这四点不共面的一个图形是 ．
19. 在正方体
中，过
的平面与底面 的交线为 ，则直线 与
的位置关系为
．（填“平行”或“相交”或“异面“）
20. 有下面一个说法：如果平面
内有三点到平面 的距离相等，那么 若这种说法正确，
则此三点必须满足
21. 正方体
中， 为
中点，则
与过点
， ， 的平面的位置关系
是 ．
22. 在正方体
中，和平面
平行的面对角线有 ．
23.
在空间四边形 中， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点，若
， ，则
．
24. 如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，有以下判断：① 平面 ；②
平面 ；③ 平面 平面 ；④ 平面 平面
．正确判断的序号
是 ．
25. 一
个面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形的两条对角线与这个截面平
行，那么此四个交
点围成的四边形是 ．
26. 将直角三角形
沿斜边上的高 折成互相垂直的两个平面 和 ，连接
，所
得图形中互相垂直的平面共有 对．
27. 过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有
个．
28. ， 是两个不同的平面， ， 是 ，
之外的两条不同直线，给出以下四个论断：①
；② ；③ ；④ ．
以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论写出你认为正确的一个命题是：
（填写
一个即可）．
29. 如图所示，在正方形 中， ， 分别为边
， 的中点， 是 的中点．现沿
， ， 把这个正方形折成一个几何体，使
， ， 三点重合于点 ，则下列结论中成
立的是 ．（填序号）
① 平面 ；
② 平面 ；
③ 平面 ；
④ 平面 ．
30. 在正方体
中，平面
与平面
的位置关系是
．
31. 如图，在三棱锥 中， 平面 ，点 ， 分别是 ，
的垂心．
求证： 平面 ．
32.
在直三棱柱
中，
，
， 、 分别是棱 、
上
的点（点 不同于点 ），且
， 为
的中点．
(1)平面
平面
；
(2)直线
平面 ；
(3)若
，求三棱锥
的体积．
33. 在如图所示的几何体中，四边形 为平行四边新，
， ， ，
， ．若 是线段
的中点．求证： 平面 ．
34. 在四棱锥
中，底面 为矩形， ， ，且侧棱 底面 ．
(1)当 为何值时， 平面 ？试证明你的结论．
(2)当
时，求证：在 边上存在一点 ，使 ．
(3)若在
边上至少存在一点 ，使 ，求 的取值范围．
35.
如图，空间四边形 中， ， 分别是 ， 的中点， ， 分别是 ，
上的点，
且
，
．求证：
(1) ， ， ， 四点共面；
(2)三直线 ，
， 共点．
36. 两个相交平面分别过两条平行直线中的一条，则它们的交线和这两条平行直线
是什么位置
关系？试说明理由．
37. 如图，过直线 外一点 ，作与
相交的直线 ， ， ．求证：直线 与 ， ， 共面．
38.
如图，在四面体 中，
，
， ，求证：
平面 平面 ．
39. 如图所示，四棱锥 的底面是平行四边形，点 ， 分别是
， 的中点．
求证： 平面 ．
40.
如图所示，在棱锥 中， 平面 ，底面 为直角梯形，
， 且 ，
，求证： ．
41. 如图所示，在正方体
中， ， ， 分别是 ，
，
的中点，试
作出过 ， ，
三点的截面．
42. 如图， 是
所在平面外一点， ， 分别是 和 的重心．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
43.
按照给出的要求，完成下面两个相交平面的作图，图中线段 是两个平面的交线．
44. 三个平面可将空间分成几部分？并画出各种情况的直观图．
45. 如图，四边形 是矩形，，四个顶点 ， ， ， 在平面
的同一侧，且在平面 内
的射影分别是不共线的四点
，
，
，
，求证：四边形
是平行四边形．
无答案
46. 空间三个平面能把空间分成的部分如何？
47. 如图，四面体
被一个平面所截，截面 为平行四边形，求证： 平面 ，
平面 ．
48.
三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线相交于一点或互相平行．
49. 如图，已知四边形
是空间四边形， ， 分别是 ， 的中点， ， 分别是边
， 上的点，且
．求证：四边形
有一组对边平行但不相等．
50.
如图， ， ， ， 分别是空间四边形 四边的中点．则空间四边形
分别满足
什么条件时，
(1)四边形 是菱形？为什么？
(2)四边形 是矩形？为什么？
(3)四边形
是正方形？为什么？
51. 如图，五面体 中， 平面 ．求证：
．
52. 在正方体
中， ， ， ， 分别是棱
，
， ， 的中点，
求证：平面
平面 ．
53. 如图，在呈空间四边形形状的支撑架 上安装一块矩形太阳能吸光板
，矩形
的四个顶点分别在空间四边形 的边上，且 ， ． ，
， ， 在什
么位置时，吸光板的吸光量最大？
54. 如图所示，
， ， ， 四点都在平面 ， 外，它们在 内的射影
，
，
，
是平
行四边形的四个顶点，在
内的射影
，
，
，
在一条直线上，求证： 是平行四
边形．
55. 求证：如果一条直线和两个相交的平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
已知 ， ， ，如图，求证： ．
56.
如图所示，四棱锥 中， 平面 ，底面 是直角梯形，
，
．求证：平面 平面 ．
57. 如图，已知
和 都是以 为顶点的直角三角形，且 ，
．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 是 的垂心，求证： 是 在 内的射影．
58.
如图，已知 ， ， 三点不共线，且 ， ．求证：
平面
．
59. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，
， 是 中点．
(1)求证 平面 ．
(2)求证 平面 ．
(3)当 的值是多少时，
?
60. 三棱锥 中， 底面 ，侧面 侧面 ．求证：
．