高中数学教案复数

复数

[重点]：复数的概念、复数的运算、复数的一些应用三部分。
复数的概念：复数的代数形式，复数的模，辐角，共轭复数，规定了复数的加，减，乘，
除 运算，利用复数的相等求平方根，一元二次方程求根，复数的几何意义：点，向量与解析
几何的联系。
[难点]：一元二次方程根的讨论。
[例题讲解]：
2
例1．m为何实数时，复数Z=(2+i)m-3(1+i)m-2(1-i)是(1)实数；(2)虚数 ；(3)纯虚
数；(4)零。
22
解：Z=(2m-3m-2)+(m-3m+2)i=(2m+1)(m-2)+(m-1)(m-2)i
(1)当m=1或m=2时，Z是实数。 (2)当m≠1且m≠2时，Z是虚数。
(3)当 即当时，Z是纯虚数。
(4)当
例2．已知：
解：
即m=2时，Z是零。
，求实数x。

即或x≥8。
例3．计算：
解：原式=

例4．求的平方根。

解：设
则
的平方根为x+yi (x,y∈R)，

由复数相等的定义得
(舍去负值)........(3)
(1)+(3)，x=3, x=
22
(1)+(2)，得(x+y)=25 x+y=5
2222222
, (3)-(1), y=2, 。
∵
∴
，∴
的平方根为
或
。
例5．已知：|Z+2-2i|=1，求：|Z|的最值。
解：|Z-(-2+2i)|=1， 几何意义：Z在复平面上对应的点集是以O＇(-2,2)为圆心，r=1
的圆。
|Z|的几何意义是⊙O＇上的点与原点的距离；
∴ ,
+
，
。
例6．说明|Z+1|+|Z-2|=2a(a∈R)表示的曲线。
解：原式|Z-(-1)|+|Z-2|=2a，
几何意义是Z在复平面上对应的点Z与F
1
(-1,0)，F
2
(2,0)距离之和等于2a的轨迹，
|F
1
F
2
|=3。
(1)当2a>3即
(2)当2a=3 即
时，Z的轨迹是以F
1
，F
2
为焦点，2a为长轴的椭圆。
时，Z的轨迹是线段F
1
，F
2
。 (3)当2a<3即时，Z的轨迹
不存在。
2
例7．已知a∈R，方程x+2x+a=0的两根为a、b，求|a|+|b|。
解：∵ a∈R，∴ 方程为实系数一元二次方程，可以用Δ来判定方程有无实根。
(1)当Δ=4-4a≥0，即a≤1时，方程的根a、b为实数根。 由韦达定理
又∵ |a|+|b|≥0，
∴


。
。
①当0≤a≤1时，|a|+|b|=2, ②当a<0时，|a|+|b|=
(2)当Δ=4-4a<0，即a>1时，方程的根a、b为虚根

例8．已知是实系数一元二次方程ax+bx+1=0的根，求a,b的值。
2
解：。 方法(1) ∵ 实系数一元二次方程虚根为一对共轭复数，∴
也是该方程的根。
由韦达定理：解得：a=1，。
方法(2)，∵ 是方根的根，代入原方程整理得：

a=1，。
。 由复数相等的定义得 解得
[参考练习]
一、选择题：
1．下面四个命题，正确的是（ ）。
A、|Z|=Z (Z∈C) B、








22
(Z∈C)
C、|Z|<1-11
-Z
2
|=0Z
1
=Z
2
(Z
1
,Z
2
∈C)
2．Z
1
，Z
2
∈C, 则Z
1
+Z
2
∈R, 且Z
1
·Z
2
∈R ，是Z
1
与Z
2
共轭的（ ）。
A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
3．复数的共轭复数是（ ）。
A、3-4i B、3+4i C、
2
D、
4．关于x的一元二次方程x+(m+2i)x+2+mi=0至少有一个实根，则m的取值范围是（ ）。
A、 B、

C、








D、
5．在复平面内，若|Z-1+2i|+|Z-1-2i|=4. 则复数Z的对应的点的轨迹是（ ）。
A、椭圆 B、圆 C、直线 D、线段
6．设Z=x+yi(x,y∈R)，则满足等式|Z+2|=-x的复数Z对应的点的轨迹是（ ）。
A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆
的两个交点，则P与Q之间的距离为（ ）。 7．若P、Q是复平面内|Z|=2与直线
A、 B、 C、 D、
二、填空题
1．设复数Z
1
=2-i, Z
2
=1-3i, 则复数








的虚部等于________。
2．-5-12i的平方根是______。
2
3．若x∈C且x+ix+6=5x+2i，则x=______。
参考答案：
一、1. D 2. C 3. D 4. B 5. D 6. C 7. A
二、1. 2. 2-3i, -2+3i 3. 2, 3-i