高中数学教学设计：圆的标准方程

圆的方程（第1课时）——圆的标准方程
课题：圆的方程（一）——圆的标准方程
教材：高中数学第二册（上）

1．教学目标
（1）知识目标： 1．在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；
2．会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方
程.
（2）能力目标： 1．进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；
2．使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；
3．增强学生用数学的意识.
（3）情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学 美的过程
中激发学生的学习兴趣.
2．教学重点．难点
（1）教学重点：圆的标准方程的求法及其应用.
（2）教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰
当的坐标系解决与圆有关的实际问题.
3．教学过程
（一）创设情境（启迪思维）
问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆
宽为2. 7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？

y

4





0
A
2.7
B
x

[引导] 画图建系
[学生活动]：尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习）
解 ：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐
标系，则半圆的方程 为x
2
＋y
2
＝16（y≥0）
将x＝2.7代入，得
y?16－2.7
2
?8.71?3
．
即在离隧道中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。
（二）深入探究（获得新知）
y
第1页 共4页
r
0C
M(x,y)
x

问题二：1．根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为
r
的圆的方程？
答：x
2
＋y
2
＝r
2

2．如果圆心在
(a,b)
，半径为
r
时又如何呢？
[学生活动] 探究圆的方程。
[教师预设] 方法一：坐标法
如图，设M（x, y）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距
离等于r,所以圆C就是集合P={M||MC|=r }
y
r
C(a,b)
0
x
M(x,y)
由两点间 的距离公式，点M适合的条件可表示为
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
①
把①式两边平方，得(x―a)
2
＋(y―b)
2
＝r
2

方法二：图形变换法
方法三：向量平移法
（三）应用举例（巩固提高）
I．直接应用（内化新知）
问题三：1．写出下列各圆的方程（课本P77练习1）
（1）圆心在原点，半径为3；
（2）圆心在
C(3,4)
，半径为
5
；
（3）经过点
P(5,1)
，圆心在点
C(8,?3)
．
2．根据圆的方程写出圆心和半径
（1）
(x?2)
2
?(y?3)
2
?5
； （2）
(x?2)
2
?y
2
?(?2)
2
．
II．灵活应用（提升能力）
问题四：1．求以
C(1,3)
为圆心，并且 和直线
3x?4y?7?0
相切的圆的方程.
[教师引导]由问题三知：圆心与半径可以确定圆.
2．已知圆的方程为
x
2
?y
2
?25
，求过圆上一点
A(4,?3)
的切线方程 ．
[学生活动]探究方法
[教师预设]
方法一：待定系数法（利用几何关系求斜率—垂直）
方法二：待定系数法（利用代数关系求斜率—联立方程）
方法三：轨迹法（利用勾股定理列关系式） [多媒体课件演示]
方法四：轨迹法（利用向量垂直列关系式）
3．你能归纳出具有一般性的结论吗？
已知圆的方程是
x
2
?y
2
?r
2
，经过圆上一 点
M(x
0
,y
0
)
的切线的方程是：
x
0
x?y
0
y?r
2
．
III．实际应用（回归自然）
第2页 共4页

问题五：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图 ，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，
在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱
A
2
P
2
的长度（精确到0.01m）．
[多媒体课件演示创设实际问题情境]
（四）反馈训练（形成方法）
问题六：1．求以C（－1，－5）为圆心，并且和y轴相切的圆的方程.
2．已知点A（－4，－5），B（6，－1），求以AB为直径的圆的方程.
3．求圆x
2
＋y
2
＝13过点（-2，3）的切线方程.
4．已知圆的方程为
x
2
?y
2
?25
，求过点
B(?5,2)
的切线方程.
（五）小结反思（拓展引申）
1．课堂小结：
(1)圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为：
(x?a)
2
? (y?a)
2
?r
2

当圆心在原点时，圆的标准方程为：
x
2
?y
2
?r
2

(2) 求圆的方程的方法：①找出圆心和半径；②待定系数法
(3) 已知圆的方程是
x
2
?y
2
?r
2
，经过圆上一点
M(x
0
, y
0
)
的切线的方程是：
x
0
x?y
0
y ?r
2

(4) 求解应用问题的一般方法
2．分层作业：（A）巩固型作业：课本P81-82：（习题7.6）1．2．4
（B）思维拓展型作业：
试推导过圆
(x?a)
2
?(y?a)
2
?r
2
上一点
M(x
0
,y
0
)
的切线方程.
3．激发新疑：
问题七：1．把圆的标准方程展开后是什么形式？
2．方程：
x
2
?y
2
?6x?8y?20?0
的曲线是什么图形？











教学设计说明
第3页 共4页

圆是学生比 较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因
此这节课的重点确定为用解析法研 究圆的标准方程及其简单应用。.首先，在已有圆的定
义和求曲线方程的一般步骤的基础上，用实际问题 引导学生探究获得圆的标准方程，然
后，利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际 问题中的应用，增强
学生用数学的意识。另外，为了培养学生的理性思维，我分别在引例和问题四中，设 计
了两次由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力。在问题的设计中，我用一
题多解 的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，
并且使学生的有效思维量 加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形
成相伴而行，这样的设计不但突出了重点， 更使难点的突破水到渠成.

本节课的设计了五个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使 学生在问题的指
引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生< br>为主体的指导思想。应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、
发现问题 、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼了思维．提高了能力、
培养了兴趣、增强了信心。






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