高中数学——函数的概念教学设计-函数的概念优秀教学设计

函数的概念教学设计
一、教学目标
1、 知识与技能
通过丰富的实例，让学生
①了解函数是非空数集到非空数集的一个对应；
②了解构成函数的三要素；
③理解函数概念的本质；
④理解f(x)与f(a)（a为常数）的区别与联系；
⑤会求一些简单函数的定义域。
2．过程与方法
在教学过程中，结合生活中的实例，通过师生互动、生生互动培养学生分析< br>推理、归纳总结和表达问题的能力，在函数概念的构建过程中体会类比、归纳、
猜想等数学思想方 法。
3、 情感、态度与价值观
让学生充分体验函数概念的形成过程，参与函数定 义域的求解过程以及函数
的求值过程，使学生感受到数学的抽象美与简洁美。
二、教学重点、难点
重点：函数的概念以及构成函数的三要素；
难点：函数概念的形成及理解。
三、学法与教学方法
1、学法：采用学生动手实践、独立思考、自主探究与合作交流相结合的学习方式。
2、教学方法：有效教学的课堂模式
四、教学过程
（一）创设情景、提出问题
提问1：初中时函数的概念是如何定义的？
[设计意图：通过提问，学生复习了初中函数的 概念，为提问2打下铺垫，为引
入本节课题，并为学习高中阶段函数的概念作好准备。]
生： 一般地,设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x的每一个值,y
都有唯一的值与它对应,那 么就说x是自变量,y是x的函数.
2
提问2：?y=1是函数吗？?y=x与
y?
x
是相同的函数吗？
x

1

【学情预设：学生可能回答的不尽相同】
[设计意图：通过提问， 学生发现利用初中的概念很难回答这两个问题，从而理
解了从更深的高度学习函数概念的必要，从而引出 了本节课题。]
（二）师生互动、探究新知
1、函数的有关概念
师：下面我们共同看生活中的三个例子
例1：一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845 m,
且炮弹距地面的高度h(单位: m)随时间t (单位: s)变化的规律是h=130t-5t2.
例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少 ，因而出现了臭氧层空洞问
题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从年的变化情况．






例3：国际上常用恩格尔系数反映一 个国家人民生活质量的高低，恩格尔
系数越低，生活质量越高．表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况 表明，“八
五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．
时间（年）
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
恩格尔系数
（% ）
对于这三个实例，我分别提出一个问题请同学们思考：
问题1：从炮弹发射到炮弹落地的时间内，集合 A中是否存在某一时间t,
在B中没有高度h与之相对应？是否有两个或多个高度与之相对应？ 问题2：从1979-2001年，集合A中是否存在某一时间t,在B中没有面积S
与之相对应？ 是否有两个或多个面积与之相对应？
问题3：从1991-2001年，集合A中是否存在某一时间t,在B中没有恩格

2

尔系数与之相对应？是否有两个或多个恩格尔系数与之相对应？
[设计意图：通过三个问题的提问，着重向学生渗透集合与对应的观点，这样再
用集合与对应的 观点描述函数是显得不突兀]
师：通过刚才的三个问题，请同学们总结出这三个实例的各自特点。 < br>生
1
：
炮弹飞行时间的变化范围是数集
A?{x0?x?26}
，炮弹距地面的高
度
h
的变化范围是数集
B?{h0?h?845}
，对应关系
h?130t?5t
2

。从问题的
实际意义可知，对 于数集
A
中的任意一个时间
t
，按照对应关系，在数集
B
中
都有唯一确定的高度
h
和它对应。


生
2
：
数集
A?{t1979?t?2001}
，
B?{S0?S?26 }
，并且对于数集
A
中
的任意一个时间
t
，按图中曲线，在 数集
B
中都有唯一确定的臭氧层空洞面积
S
和它对应。

生3：数集A={1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,19 99,2000,2001}，
B={53.8,52.9,50.1,49.9,48.6,46.4 ,44.5,41.9,39.2,37.9}且对于数集A中的每一个时
间，按表格，在数集B中都有 唯一确定的恩格尔系数和它对应。
【学情预设：学生能根据问题回答出这三个实例的各自特点，但语言 可能不精准，
教师应根据学生回答的情况进行补充和修正，渗透集合和对应的观点】
师：综合 3个例子的各自特点，我们能发现它们有什么共同特点？
生：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯
一确定的y和它对应。
师
：
对，同学们总结的非常好，这就是函数的定义（板书），我们共同大声< br>的把函数的定义读出来
生（共同）： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的 对应关系f，使
对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数． 记作：y=f(x)，x∈A．其中，
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与 x的值相对应的y值叫做
函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
师：函数的概念既已形成，那么它的本质是什么呢？我们先看一个表格，请

3

学号01-05的同学填写上次考试的数学成绩，之后回答下面3个问题：
问题1：若学号构成集合A={01,02,03,04,05}，成绩构成集合
B={132,135,120,125,122}，f:上次考试数学成绩，由A到B能否构成函数？
问题2：若将问题1中集合A改为“A={杜杭，王丽，林晨晨，姚壮 ，田汶
帅}”，其余条件不变，那么由A到B能否构成函数？
问题3：若学号04的学生上次考试因病缺考，无成绩，那么学号与成绩能
否构成函数？ [设计意图：通过提问，使学生对函数概念中关键词的把握更准确，对函数概念
的理解更直观，为下 面总结函数概念的本质特征打下基础]
师：通过对以上三个问题的分析和讨论，我们对函数概念的理 解更直观，在
此基础上，请同学们观察下面两种数集的对应关系，判断它们能否构成函数？







[设计意图：对函数概念的理解由具体到抽象，螺旋上升]
师：在我们理解了函数是非空数集 到非空数集的一对一或多对一的对应关系
后，对于函数的概念，我们应该强调以下几点：
1、A, B 都是非空数集；
2、A中任意，B中唯一；
3、函数的定义域为 A；函数的值域 {f(x)|x∈A}
?
B；
师：对于初中我们所学的一次函数，二次函数，反比例函数它们的定义域值
域分别是什么呢？
[设计意图：通过提问，学生既复习了初中所学函数的图像，又进一步加深了对
定义域、值域概念的理解 ]

4
A
a
1
a
2
a
3
B
f
b
1
A
a
1
a
2
B
f b
1
b
2
b
3
b
2
b
3a
3

生：
函数
y=kx+b(k
?
0)

0

y
图像
y
x
定义域

R
值域

R
k
y?(k?0)

x



o
x

{x|x?0}


{y|y?0}

y?ax
2
?bx?c

(a>0)
y
0 x


R
4ac?b
2
{y|y?}

4a
师：由以上分析我们知道函数有几大要素？决定函数的主要因素是什么？
生：函数有三要素：定义域、对应关系和值域，而决定因素是定义域和对应
关系。（板书） < br>师:回答的非常好！由同学们的回答我们可知：如果两个函数的定义域，对
应关系完全一致，则两 个函数相等，这是判断两函数相等的依据.（板书）
2、区间的概念
设a，b为实数，且a

定义 名称
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
符号
[a,b]
(a,b)
(a,b]
[a,b)
数轴表示
{x|a?x?b}

{x|a?x?b}

{x|a?x?b}

{x|a?x?b}











实数集R可以用区间表示为（-∞，+∞），并且，我们把满足x≥a,x>a,x≤
b,x提问：数集都可以用区间表示吗？（学生讨论）
生1：单元素集合不能

5

生2：离散的集合不能
【师生互动：各种不能用区间表示的集合问题进行总结。】
（三）合作探究、例题分析 【师生互动】本节的例题和变式训练将采用小组讨论，合作探究的方式，由学生
主讲，不足部分可以 由其他同学补充，最后教师点评
类型一 函数概念的应用
例1(1)下列图象具有函数关系的是( A D )




y
1
o
o x
0 x
o
x
o
1 x
y
y
y
A B C



y
y
1
o
-1
x
C D E
[设计意图：考察对函数概念的理解，紧扣 定义，验证对于定义域内的每一个x，
是否有唯一的函数值与之相对应]
（2）已知A＝{x |0≤x≤4}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中不能表示从A到B上
的函数的是( A )




y
2
o
y
2
1
4
x
o
°
4
x
A B
y

?
°
2
4
x
6
y
2
1
?
o
4
x



2
1
o
?

C D
[设计意图：考察在函数的概念中，集合A就是函数的定义域，集合B包含函数
的值域这一 知识点]
师:如果把题目条件改为，“以A为定义域，以B为值域的函数选哪个选项？”
生：答案是D，因为A是定义域，B就是值域，不能变化，只有D符合条件
【学情预设：学生可能对B、C选项会有质疑】
(3)与函数y＝x＋1相等的函数是( B )．
A．y＝(x＋1)
0
B．
y?
3
(x?1)
3
C．y＝(x＋1)
2
D．y＝|x＋1|
[设计意图：考察函数相等的条件 ，定义域和对应关系一致就是相等的函数，本
题切入点是判断他们的定义域和对应关系是否一致]
类型二 求函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域：
?x＋1?
2
(1)y＝－1－x；(2)
x＋1
[设计意图：函 数问题首要考虑定义域，这贯穿了整个高中数学，是高考的重点，
x
0
?x
2
?2x
y?
也是易漏点，本题设计目的让学生对函数的定义域有直观的认识，并能总结 都有
x?1?2
哪些类型的定义域问题]
解：（1）要使函数有意义，∴
1

?

0
即：
?

x??1
?

x

?
?
?

?
1?x?0
?
x?1

∴定义域为(-∞,-1)∪(-1,1]
（2）要使函数有意义，∴
?

x

2

?

x??2或x?0
2

x

?0
即：
?
?
?

?
x?0
?
x?0

?
x?1且x??3
?
x?1?2?0
?
?

∴定义域为(-∞,-3)∪(-3,-2]∪(0,1)∪(1,+∞)
【注：提示学生函数的定义域要用集合或区间的形式表示，不能用范围表示】
师：对于函数的定义域，我们大家讨论一下我们目前学过的都有哪些类型？
经过学生讨论

7

生1：1、如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；
2、如果 f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的
实数的集合；
3、如果f(x)是0次方式，那么函数的定义域是底数不为0的实数的集合。
生2：我再补充一下：
1、如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
2、如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式
子都有意义的实数的 集合
师：同学生总结的非常好，我们把求函数定义域的类型进行一下归总，有
以
下几类：
1、如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
2、如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；
3、如果f(x )为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的
实数的集合；
4、如果f(x)是0次方式，那么函数的定义域是底数不为0的实数的集合；
5、如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分
式子都有意义的实数的集合；
6、如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．
类型三 求函数值
1
【例3】(1) 已知
f

(

x

)

?

x

?

,

?

3
x?2
2
①求
f(?3),f()
的值；
3
②当a>0时，求 f(a),f(a-1) 的值．
1
f(?3)??3?3???1;
解：①
?3?2

221333

f()??3???.
2
333

?2
8
3

②因为a>0,所以f(a),f(a-1)有意义.

1
f(a)?a?3?;

a?2

11
f(a?1)?a?1?3??a?2?.

(a?1)?2a?1

[设计意图：本题考查求函数值的问题，要特别注意f(a) 与f(x)的区别，其中f(x)
表示x对应的函数值，不是f乘x；而f(a)是指x=a时的函数值 。]

8

x
易错题：函数y＝
2
的定义域为R，则实数k的取值范围为( B )
kx＋kx＋1
A．k<0或k>4 B．0≤k<4 C．0[设计意图：本题是道易错题，易错点在于对参数的讨论，考查有关函数的定义< br>域问题，在遇到含有参数的问题时一定不能忘记对参数的讨论，特别是最高次项
系数有参数，要对 系数进行讨论]
【学情预设：有些学生可能忘记考虑k=0那种情况，应重点给学生强调】
（四）巩固训练，反馈练习
1.下列对应法则是集合M上的函数的有( )．
①M＝Z，N＝N
*,
对应法则
f
：对集合
M
中 的元素，取绝对值与
N
中的元素对应；
②M＝{1，－1,2，－2}，
N
＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x
2
，x∈M，y∈N；
③M＝{三 角形}，N＝{x|x＞0}，对应法则f：对M中的三角形求面积与N中的元
素对应．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
2函数
y?
1?x
定义域为( )
2
2x?3x?2
A．(－∞，1] B．(－∞，2]
1111
C．(－∞，－）∩(－，1) D．(－∞，－)∪(－，1]
2222
3．下列各组函数是相等函数的是________(只填序号)．
①f(x)＝x－1，g(x)＝(x－1)
2
；
②f(x)＝|x－3|，
g(x)?(x?3)
2
；
x－4
③f(x)＝，g(x)＝x＋2；
x－2
④
f(x)?< br>2
(x?1)(x?3)
，g(x)＝x－1·x－3.
4．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点( )
A．必有一个 B．一个或两个 C．至多一个 D．可能两个以上
5．若函数f(x)＝ax－1，a>0，且f[f(－1)]＝－1，那么a的值是( )．
A．1 B．0 C．－1 D．2
2
（五）课堂小结

★一个概念，二种语言，三个要素。

9