高中数学《函数的单调性》教案

《函数的单调性》说课稿
各位评委老师，上午好，我是 号考生叶新颖。今天我的说课题目是函数的单
调性。首先我们来进行教材分析。
一、教材分析
本课是苏教版新课标普通高中数学必修一第二章第1节《函数的简单性质》
的内容，该节中内容 包括：函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。
函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一， 函数的单调性一节中的知
识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、
比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性
考查每年都有涉 及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思
想将贯穿于我们整个高中数学教学。 < br>利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调
性概念的深层理解，且 在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。
学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的， 有利于学生理解概
念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要
学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的
铺垫。
二、教学目标：
根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结
构及心理特征 ，制定如下教学目标：
1、知识目标：
（1） 使学生理解函数单调性的概念， 能判断并证明一些简单函数在给定区间
上的单调性。
（2） 通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；
2、能力目标：
（1） 通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思
想。
（2） 通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。
3、情感目标：在 平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与

评价，拉近学生之间、师生 之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。。
三、教学重点、难点
1、重点：函数单调性的概念:
为了突出重点，使学生理解该概念，整个过程分为：
作图象并观察图象→讨论：函数图象的变化趋势是什么？→
在这种变化趋势下， x与函数值y是如何相互影响的？→你能从量的角度出一
个缜密的，完善的定义来吗？
每个步 骤都是在教师的参与下与引导下，通过学生与学生之间，师生之间的
合作交流，不断反省，探索，直到完 善结论，最终达到一个严密，简洁的定义。
2、难点：函数单调性的判断与推证：
突破该难 点的：通过对照、分析定义，引导学生，概括出证明方法及步骤：
“取量定大小，作差定符号，判断得结 论”，并注意解题过程的规范性与严谨性。
四、教学方法：
合作学习认为教学是师生之间、 生生之间相互作用的过程，强调多边互动，
共同掌握知识。视教学为师生平等参与和互动的过程，强调教 师只是小组中的普
通一员，起到一个引导者，管理者角色。在课堂教学中要加强知识发生过程的教
学，充分调动学生的参与的积极性，有效地渗透数学思想方法，发展学生个性品
质，从而达到提高学生 整体的数学素养的目的。
结合教学目标和学生情况我采用合作交流，探究学习相结合的教学方法。
五、学习方法






课

前
诊

测
，

完
善

认
知

问
题
情
境
，
引
发
兴
趣

合
作
交
流
，
建
构
数
学

数
学
运
用
，
巩
固
知
识
课 堂教学环节

回
顾
总
结
，
加
深
理
解
兼
顾
差
异
，
分
层
练
习
((

六、教学思路
教学环
节
教学过程 设计意图
一
课
前
诊
测
，
完
善
认
知
认知派学习理
论认为学习的积累< br>及恰当与否取决于
学习者已有的认知
结构。
画出函数
残缺的认知结
2
构是完成不了整个
(1)y?2x?1(2)y?x?2(3),y??;
学习过程的。针对学
x

生的实际情况，在上
1
2
(4)y ?(5)y?
?
x?1
?
?1
一节的课后布置作
x
的图象,并研究出它们各自
业让学生画一次函
数，二次函数及反比
的变化趋势。 例函数图象，回顾以
前知识，尽而形成一
个完整的认知结构，
为以后的学习排除< br>障碍。
(
)

师：在生活中我们经常会关注一些实际 问题。如果你
是市长分管防洪抗旱工作，你会对水位的涨落随时间变化
的规律特别关心，如果你 为一个股民的话，你心里想得就
是如果能预见每天股价的走势那该是一件多么幸福的事
情。实际 上这些问题归根结底就是：是研究量与量之间的
变化趋势，也就是研究其中两个变量如何相互影响的，这
也是我们今天所要研究的主要课题。
看以下实际问题：
行为学习理论
者强 调环境对学习
产生的影响。当学习
者对某种特殊的刺
激做出反应时，就产
生了 “学习”。
依据教材知识，
渗透新课标理念，通
请说出气温在哪些时段是升高的，怎 么样用数学语言过与实际问题的联
来刻画“随时间的增大气温逐步升高”这一特征？系，揭示我们研究此
节内容的现实意义，
（
二
目的引发学生学习
兴趣，有利于学生学习动力的产生。
要点：短，平，

这种在一定时间内，随着时间增大，气温逐步 升高的
现象反映在数学中，我们称它为函数的单调性
快。

）
创< br>设
情
景
，
引
发
兴
趣

< /p>

让一小组的代表上台来展示在上节课后所做的几个
函数图象，并据此讨论下列问题 ，
(对每一个问
题，小组成员先独立
问题1、并说一说所画函数的图象的变化趋势。 (下做，再分别说出自己
面打出部分函数的图象)
y
y
f
?
x
?
= x

-1
x∈(0,+?)
的想法，然后讨论，
形成集体的意见。)
1、通过一系列
引发对概念
f
?
x
?
= 2?
x-1
的问题，
o
图1
y
x
o
x< br>的全面思考。从具体
到抽象，再从抽象到
图2
具体，并通过合作交
流， 增强学生对概念
的理解，不断的修

正、完善结论，达到
建构数学的目的。
2、教学实践证
明，小组内成员合
作，组间成员竞争的
讨论是一种有效的教学策略，使得整个
评价的重心同个人
之间竞争转为团体
合作达标。并能使教师与学生、学生与学
生之间有更多的交
往、互动的机会。
它也是引导学
生积极参与教学过
（
三
）
合
作
交
流
，建
构
数
学
0
-1
1x
图3
f?x? = ?x-1?
2
-1
观察得到：随着x值的增大，函数的函数图象有的呈
逐 渐上升的趋势，有的呈下降的趋势，有的在一个区间内
呈上升趋势，在另一个区间内呈逐渐下降的趋势。
(注意一定要提醒：是从左到右的看)
问题2：你能明确的说出“图象呈逐渐上升趋势”的< br>意思吗？此时X与函数值Y如何相互影响的？
讨论得到：
在某一个区间内，当x值增大时，函数值y也增大
?
图象在该区间内呈上升趋势。 < br>在某一个区间内，当x值增大时，函数值y也反而减
小
?
图象在该区间内呈下降 趋势。
在众多的函数中，很多函数都具有这种性质，因此我
们有必要对函数的这种性质做进一 步的讨论与研究。这就
是我们今天这一节课的主题。
函数的这种性质，我们就称为函数的单调性。

问题3： 我们刚才已经对函数的单调性，做了定性的程的重要措施，是培
分析，我们如何从量的角度来刻画这种性 质。你能给出养学生合作精神和
一个确切的定义来吗？请用你自己的话表达出来，并说激发学生创新意识
给你的小组成员听，并与他交流后，形成集体意见，再的重要手段，也是促
展示给大家。 使每个学生得到充
(教师巡视，视小组讨论情况，可提示：在区间A中，分发展的有效途径
若 x=2时，y=5；x=3时，y=7，能不能说随着X的增大，3、重点：学生能否
y也增大；) < br>最后的结论：
y
y
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
抓住定义中的关键
词“给定区间”、“任
意”和“都有”，是
减函 数
增函数
能否正确，深入透彻
地理解和掌握概念
的重要一环。
< br>定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间A上的
任意两个值
x
1
,x
2

⑴若当
x
1
<
x
2
时， 都有f(
x
1
)x
2
),则说f(x)在这
个区间上是增函数；
⑵若当
x
1
<
x
2
时，都有 f(
x
1
)>f(
x
2
),则说f(x) 在这
个区间上是减函数。
增函数的本质是在某个区间上，较大的自变量对应较
大的函数值，减函数反之。
a< br>x
1
x
2
b
x
a
x
1
x< br>2
b
x
分析定义，使
学生把定义与图
形结合起来，使新
旧知识 融为一
体，加深对概念的
理解，渗透数形结
合的分析问题的
数学思想方法

(一)例题 让学生进一
例1：(1)定义在R上的函数y=f(x )图象如图甲，所示，请步理解一般函数单
说出它的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还调区 间的定义，
是减函数
y
(1)区间的端
点要不要？
(2)在这 里一
（
四
）
数
学
运
用
，
巩
固
新
知

4
?5
定要强调单调性只
xo
1
是函数的“局部性

质”它与区间密不可
1
(x?0)
x
(2)参看所画看图乙，指出 函数y=(1x)的单调区间，能
不能说在定义域内是单调减函数？指出函数
y?
< br>分。-----不能把函
数的单调区间写成
的单调区间，能不能说在定义域内是单调减函 数？
(3))如图丙，函数图象如图，写出单调区间
y
Y
?
??, 0
?
?(0,??)


o
x
X
图乙
图丙

例2 判断并证明函数f(x)=
?
调性。
1
?1
在(0,+
?
)上的单
2、由于例2难度较
x
大，学生难以从中归
证明：设
x
1
,
x
2
是(0,+
?
)上的任意两个实数， 且
纳出 证明方法及步
骤，因而有必要先详
细讲解，通过分析、
引导学生抽象 、概括
出方法及步骤，提示
学生注意证明过程
的规范性及严谨性。
归纳证明方法并
x
1
<
x
2
，
------------------------------(取量定大小)
?
1
??
1
?
x
1
?x
2
???
??1??1
则f(
x
1
)－f(
x
2
)=
?
－
?
x
??
x
?
=
xx
,
2
?
1
???
12
由
x
1
,x
2
∈(0,+
?
)，得
x
1
x
2
>0,
又由
x
1
<
x
2
,得
x
1
－
x
2
<0 ,于是f(
x
1
)－f(
x
2
)<0,即
加以比 较说明；使学
f(
x
1
)x
2
)----- -------------------------作差定符
生突破本节的难点，
号
∴f(x)=
?
断定结论
(让一个中等学生上去板演)，

掌握重点内容。
1
?1
在(0,+
?
)上是减函数.--------- 判
量定大小，作差定符
x
基 本步骤：“取
号，判断定结论”其
中第二环节是难点
“作差→变形→判
断正负 ”。

(二)课堂练习：
1、判断下列说法是否正确
练习的设定也
是由浅入深层层推
(1)定义在R上的函数
f(x)
满足
f(2)? f(1)
，则函数是
进的。
R上的增函数。
(2)定义在R上的函数f(x)
满足
f(2)?f(1)
，则函数是
R上不是减函数。
(3)定义在R上的函数
f(x)
在
?
??,0
?
上是增 函数，在
?
0,??
?
上也是增函数，则函数是R上的增函数。
( 4)、定义在R上的函数
f(x)
在
?
??,0
?
上是增函 数，在
?
0,??
?
上也是增函数，则函数是R上的增函数。
2、 判断函数f(x)=kx+b在R上的单调性，并说明理由.
3、判断并证明函数
y??x< br>2
?2x
在(-
?
，0)上的单调性。
(
)
理
解
理
解

五
回
顾
总
结
，
加
深
理
解
请同学小结一下这节课的 主要内容，有哪些是词语特课后知识性内
别注意的？(请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师容总 结，把课堂内容
可从中给予提示)
1、函数单调性的定义，注意定义中的关键词。
2、证明函数单调性的一般步骤；
3、在写单调区间时，不要轻易用并集的符号连接；
转化为学生的素质

(
)



必做：习题2.1(3)：第1、4、7题
选做：研究
y?
x
?
1、针对学生个
六
兼
顾
差
异< br>，
分
层
练
习
1
(x?0)
的单调性，并给出 严格证明，
体的差异设置分层
x
练习。既注重课内基
你能求出该函数的值域吗 ？
础知识掌握，又兼顾

了有余力的学生的
能力的提高。
2 、提出新的课题
是想把问题研究引
向课外，激发学生兴
趣，为下一节课“最
值 ”作好充分的准
备。
希望得到各位评委的批评指正
课后记：
在本节课中 我力求做一名引导者，管理者营造一种平等，民主，和谐的学
习气氛，充分发挥评价在教学中的导向和激 励作用，与学生平等，民主的讨论问
题，增强学生之间的合作交流意识。
集体讲授时力求简要清晰，高效低耗。