高中数学向量教案

高中数学向量教案


【篇一：高中数学必修4第二章平面向量教案完整版】

高中数学必修4第二章平面向量教案（12课时)

本章内容介绍

向量 这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重
要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背 景，是解决几何问题的
有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾
股定 理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从
而把图形的基本性质转化为向量的运算体系 .

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实
际背景.在本 章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量
及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面 向量的基本定理
及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向
量语言和方 法表述和解决数学和物理中的一些问题.

本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念 ，并说明了向量
与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有
个初步的、全面的了解.）

第1课时

2.1 平面向量的实际背景及基本概念

教学目标：

1. 了解向 量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向
量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的
本质区别.

3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事
物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向
量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、
相等向量和共线向量的区别和联系.

学法：本节是本章的入 门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在
原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实 物区分
平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具：多媒体或实物投影仪，
尺规

授课类型：新授课

教学思路：

一、情景设置：

如图，老鼠由a向西北逃窜，猫在b处向东追去，设问：猫能否

追到老鼠？（画图）

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.

分析：老鼠逃窜的路线ac、猫追逐的路线bd实际上都是有方向、c
b d

有长短的量.

引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有
方向？

二、新课学习：

（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）

1、数量与向量有何区别？

2、如何表示向量？

3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？

4、长度为零的向量叫什

么向量？长度为1的向量叫什么向量？

5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

7、如果把一组平行向量 的起点全部移到一点o，这是它们是不是平
行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？

（三）探究学习

1、数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示；

②用字母ａ、ｂ

（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：ab；
④向量ab的大小――长度称为向量的模，记作|ab|.

3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、
方向、长度.

向量与有向线段的区别：

（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关 ，只要大小和方向
相同，则这两个向量就是相同的向量；

（2）有向线段有起点、 大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小
和方向相同，也是不同的有向线段.

4、零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.

注意0与0的含义与书写区别.

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. a a(起点) b （终点）

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

5、平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向
量平行.

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、
ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ ∥ｃ.

6、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量
相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并
且与有．．

向线段的起点无关. ．．．．．．．．

7、共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直
线上（与有向线段的．．． ．．．起点无关）. ．．．．．

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平 行线的位置
关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段
的位置关系.< br>
（四）理解和巩固：

例1 书本86页例1.

例2判断：

（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（平行向量）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）

（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）

例3下列命题正确的是（ ）

a.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

b.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形

的四顶点

c.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量

d.有相同起点的两个非零向量不平行

解：由于零向量与任一向量都共线，所以a不正确； 由于数学中研
究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，
而此时就构不 成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，
所以b不正确；向量的平行只要方向相同或相反即 可，与起点是否
相同无关，所以Ｄ不正确；对于c，其条件以否定形式给出，所以可
从其逆否命 题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ
至少有一个是零向量，

而由零向量与任一向量都

共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零
向量，所以应选c. 例4 如图，设o是正六边形abcdef的中心，分
别写出图中与向量oa、ob、oc相等的向量.

变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变
式三：与向量共线的向量有哪些？（cb,do,fe）

课堂练习：

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量ab与
cd是共线向量，则a、b、c、d四点必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形abcd是平行四边形当且仅当ab＝dc

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

解：①不正确.共线向量即平行向量，只要 求方向相同或相反即可，
并不要求两个向量ab、ac在同一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等
的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图ac与bc共线，虽起点不同，但其终
点却相

2．书本88页练习

三、小结 ：

1、 描述向量的两个指标：模和方向.

2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.

3、 向量的图示，要标上箭头和始点、终点.

四、课后作业：

书本88页习题2.1第3、5题

同.

第2课时

2.2.1 向量的加法运算及其几何意义

教学目标：

1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

2、 会用向量加法的三角形法则和平行 四边形法则作两个向量的和
向量，培养数形结合解决问题的能力；

3、 通过将向 量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量
加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计 算，渗透类比
的数学方法；

教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向
量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义.

学法：

数能进行运算，向量是否也 能进行运算呢？数的加法启发我们，从
运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于 物
理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接
受向量的加法定义.结合图 形掌握向量加法的三角形法则和平行四边
形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结 合律.

教具：多媒体或实物投影仪，尺规

授课类型：新授课

教学思路：

一、设置情景：

1、 复习：向量的定义以及有关概念

强调：向量是既有大小又有方向的量.长度 相等、方向相同的向量相
等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可
以 在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置

2、 情景设置：

（1）某人从a到b，再从b按原方向到c，

则两次的位移和：ab+bc=ac

（2）若上题改为从a到b，再从b按反方向到c，

则两次的位移和：ab+bc=ac

（3）某车从a到b，再从b改变方向到c，

则两次的位移和：ab+bc=ac ab

c

（4）船速为ab，水速为bc，则两速度和：ab+bc=ac

二、探索研究：

１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. a b c ab
c

【篇二：《平面向量的加法教案》】


《平面向量的加法》教案 课题名称：平面向量的加法

教材版本：苏教版《中职数学基础模块*下册》

年 级：高一

撰写教师： 徐艳

一、理解课程要求

教材分析：

(1)地位和作用

《平面向量的加法》是苏教版《中职数学基础模块*下册》第七章平
面向量

第二节 平面向量的加法﹑减法和数乘向量的第1课时，主要内容为
向量加法的三角形法则和运算律.向量的加法 是向量线性运算中最基
本的一种运算，既是对平面向量这一章第一节向量概念的巩固和应
用，也 是向量运算的起始课,为后继学习向量的减法运算及其几何意
义﹑向量的数乘运算及其几何意义奠定了基 础；其中三角形法则适
用于求任意多个向量的和，在空间向量和立体几何中有很普遍的应
用.因 此，本节学习起着承上启下的作用.

（2）教学内容及教材处理

教材 是从两岸直航前后飞机发生的位移作为问题情境引入，让学生
结合对平面向量概念的理解感受不同方式的 位移对结果的影响，初

步体会向量相加的概念，引发思考，引出新知.同时让学生知道数 学
源于生活并能解决生活中实际问题，更容易激发学习兴趣和激情.

教学目标：

（1） 知识目标

① 理解向量加法的含义,学会用代数符号表示两个向量的和向量；
② 掌握向量加法的三角形法则，学会求作两个向量的和；

③ 掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算.

（2） 能力目标

① 经历向量加法的概念﹑三角形法则的建构过程；

② 通过探究、思考、交流、解决问题等方式锻炼培养学生的逻辑思
维能力、运算能力.

(3) 情感目标

努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我
努力，我能行”的乐观心态.< br>
二、分析学生背景

(1)认知分析:学生在上节课中学习了向量的定义 及表示，相等向量，
平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基
础.
(2)能力分析:学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，主要培养学生
分析问题和处 理问题的能力.

(3)情感分析:职高学生的数学基础相对较差，学生对数学学习尚有一< br>定兴趣。所以在教学中应因势利导，引导学生积极参与探究，指导
学生合作互动，讨论交流.
教法学法：在教学时，主要运用问题情境教学法﹑启发式教学法和
多媒体辅助教学法. 在学法上，引导学生采用以“小组合作﹑自主探究
以及练习法.

三、选择媒体资源

媒体资源1

名 称： 两岸直航视频

媒体格式： avr

媒体资源2

名 称： 《爱的直航》

媒体格式： mp3

四、教学过程

一﹑创设情境

书本p39探究（给学生放映两岸直航视频）

★ 设计理念与意图:通过实际生活事件引入 课题,提出数学问题，激
发学生的兴趣,引发学生的探究欲望,为探究新知作铺垫.

二﹑探求新知

1. 向量加法定义：求两个向量和的运算.

2. 求作两个向量的和向量：

a

(1)在平面内任取一点a;作法： (2)作ab=a,bc=b;(3)则向量ac=a+b.

3.例题

书本p40

例2 用三角形法则作共线向量的和向量.

设计意图：帮助学生突破难点，即理解三角形法则.

4.练习：

书本p41练习1,2

设计意图：让学生分组练习，进一步加深对三角形法则的理解，巩
固所学知识.

5.加法运算律 (1)交换律：a+b=b+a (2)结合律：(a+b）+c=a+(b+c)

练习:书本p41页练习3

设计意图：让学生运用加法交换律和结合律进行向量运算.

思考：

如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n
个向量的和是什么？ c例

a三、课堂小结（学生归纳总结） +bc+ca=0

1、向量加法的三角形法则：首尾相接，首尾连.

2、向量运算律：交换律和结合律.

给学生放映歌曲《爱的直航》

四、课后作业

练习册相应练习

设计意图：帮助学生及时巩固所学知识.

五、教学反思

这节课是向量 运算的起始课，既复习了前面所学的知识，又为后面
学习向量的减法及数乘运算奠定了基础，起着承上启 下的作用.本节
课主要引导学生探究向量加法的三角形法则和运算律，学生对不共
线向量的和向 量作法掌握很好，但是对与共线的向量，部分学生有

些糊涂，认为三角形法则要构成三角 形，没有理解其实质，需关注.
同时，一部分学生书写向量不知加箭头，需反复强调.

【篇三：高中数学新课__向量_教案_(8)】


课 题：平面向量的坐标运算（2）

教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入： 向量加法的三角形法则和2．向量加法的交换律：
+=+

3．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)

4．向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与ba - b = a + (-
b)

5．差向量的意义： = a, = b, 则= a - b

8． 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只
有一个非

2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一
组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j a，由平面向量基
本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj

把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a=(x,y)

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐

标， 特别地，i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,011．平面向量的坐标运算

若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，

二、讲解新课： a∥b (b≠)的充要条件是x1y2-x2y1=0

a设=(x1, y1) ，b=(x2, y2) 其中b≠a

∵b≠ ∴x2, y2中至少有一个不为0

（2）充要条件不能写成y1y2

∵x1, x2有可能为0 =x1x2

(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：

a∥b (b≠0)?

例1若向量a=(-1,x)与b=(-x, 2)共线且方向相同，求x

例2 已知a(-1, -1), b(1,3), c(1,5) ,d(2,7) ,向量与平行吗？直

线ab与平行于直线cd吗？

解：∵=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) , cd=(2-1,7-5)=(1,2)

又 ∵ =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6)=(2, 4)

∴a，b，c不共线 ∴ab与cd不重合 ∴ab∥cd

四、课堂练习： a=(2,3),b=(4,-1+y)，且a∥b，则y=（ ）

a(x,-1),b(1,3),c(2,5)三点共线，则x的值为（ ）

=i+2j, =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且
为单位向量ab与dc 共线，则x、y的值可能分别为（） ，2，2 ，
2 ，4 a=(4,2),b=(6,y),且a ∥b，则ya=(1,2),b=(x,1),若a+2b与2a-b
平行,则xabcd四个顶点的坐 标为a(5，7)，b(3,x),c(2,3),d(4,x)，则
x= 参考答案：1 2

五、小结 向量平行的充要条件（坐标表示）

a、b、c、d四点 坐标分别为a(1,0),b(4,3),c(2,4),d(0,2)，试证明：
四边形abcd a、b、c三点坐标分别为(-1,0)、(3，-1)、(1，2)，
ae=11ac ,33求证：∥参考答案：2 1

1 略) 略) 3七、板书设计（略）

八、课后记：