高中数学教学设计：反函数

反 函 数

教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）

教学目标：
1．了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系．
2．会求一些简单函数的反函数．
3．在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识， 总结出求反函数的一般步骤，
加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识．
4．进一步完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，
培养抽 象、概括的能力．
教学重点：求反函数的方法．
教学难点：反函数的概念．
教学过程：

教学活动

一、创设情境，引入新课
1．复习提问
①函数的概念
②y=f(x)中各变量的意义


由实际问题引入新
课，激发了学生学习兴趣，
展示了教学目标．这样既
设计意 图
2．同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函可以拨去“反函数”这一
S
数关系，即
S=vt
和
t=
（其中速度
v
是常量），在< br>S=vt
中位
概念的神秘面纱，也可使
v
学生知道学习这一概念的< br>S
移S是时间t的函数；在
t=
中，时间
t
是位移
S
的函数．在
v
必要性．
S
这种情况下，我们说
t=
是函数
S=vt
的反函数．什么是反函
v
数，如何求反函数，就是本节课学 习的内容．
3．板书课题

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二、实例分析，组织探究
1．问题组一：
（用投影给出 函数
y?x
与
y?x
；
y?x
与
y?x
2
（
x?0
）的图象）
（1）这两组函数的图像有什么关系？这两组函数有什 么关
系？（生答：
y?x
与
y?x
的图像关于直线y=x对称；y?x
1
3
1
2
1
3
1
2


3


从学生熟知的函数出
发，抽象出反函数的概念，< br>3
与
y?x
2
（
x?0
）的图象也关于直线y=x对 称．
y?x
3
是求一
符合学生的认知特点，有利
1
于培养学 生抽象、概括的能
个数立方的运算，而
y?x
3
是求一个数立方根的运算，它 们互
1
力．
为逆运算．同样，
y?x
2
与
y?x
2
（
x?0
）也互为逆运算．）

3
（2）由
y?x
，已知y能否求x？

11
（ 3）
x?y
3
是否是一个函数？它与
y?x
3
有何关系？
（4）
x?y
与
y?x
3
有何联系？
2．问题组二：
1
3
通过这两组问题，为反
函数概念的引出做了铺 垫，
利用旧知，引出新识，在“最
（1）函数y=2x+1(x是自变量)与函数x=2y+1 (y是自变量)
近发展区”设计问题，使学
是否是同一函数？
（2）函数
y ?
生对反函数有一个直观的
x?1
(x是自变量)与函数x=2y+1(y是自变粗略印象，为进一步抽象反
2
函数的概念奠定基础．
量)是否是同一函数？
（3）函数
y?x?1
（
x?0
）的定义域与函数
y?( x?1)
2
（
x?1
）的值域有什么关系？
3．渗透反函数的概念．
（教师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究
其特点）
三、师生互动，归纳定义
1．（根据上述实例，教师与学生共同归纳出反函数的定义）
函数y=f(x)(x∈A) 中，设它的值域为 C．我们根据这个函
数中x,y的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x = ? (y) ．如
果对于y在C中的任何一个值，通过x = ? (y)，x在A中都有
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唯一的值和它对应，那么, x = ? (y)就表示y是自变量，x是
自变量 y 的函数．这样的函数 x = ? (y)(y ∈C)叫做函数
y=f(x)(x∈A)的反函数.记作:
x?f
?1
(y)
．考虑到“用
x
表示

?1
自变量,
y
表示函数”的习惯，将
x?f
成
y?f
?1
(y)
中的x与y对调写
在上述探究的基础上，
揭示反函数的定义，学生有
针对性地体会定义的特点，
进而对定义有更深刻的认
识，与 自己的预设产生矛盾
冲突，体会反函数．在剖析
(x)
．
2．引导分析：
1）反函数也是函数；
2）对应法则为互逆运算；
3）定义中的“如果”意味着对 于一个任意的函数y=f(x)定义的过程中，让学生体会
来说不一定有反函数； 函数与方程、一般到 特殊的
4）函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数x=f
?1
(y)的
数学思想，并对数学的符号
值域、定义域；
5）函数y=f(x)与x=f(y)互为反函数；
6）要理解好符号f
?1
；
7）交换变量x、y的原因．
3．两次转换x、y的对应关系

?1
语言有更好的把握．




通过动画演示，表格对
照，使学生对反函数定义从< br>感性认识上升到理性认识，
y?f
?
x
?
?x?f
? 1
?
y
?
?y?f
?1
?
x
?

从而消化理解．



（原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是等价的，原函

数中的函数值y与反函数中的自变量x是等价的．）
4．函数与其反函数的关系

定义域
值 域

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函数y=f(x)
函数
y?f
?1
(x)




A
C
C
A

四、应用解题，总结步骤
1．（投影例题）
【例1】求下列函数的反函数
（1）y=3x-1 (2)y=x
3
+1
【例2】求函数
y?x?1(x?0)
的反函数．
（教师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤．）

2．总结求函数反函数的步骤:
1? 由
y=f(x)
反解出x=f
?1
(y)．
2? 把x=f
?1
(y)中
x
与
y
互换得
y?f
3? 写出反函数
y?f
?1
?1




通过 对具体例题的讲
解分析，在解题的步骤上和
方法上为学生起示范作用，
并及时归纳总结 ，培养学生
分析、思考的习惯，以及归
纳总结的能力．

(x)
.

题目的设计遵循了从
了解到理解，从掌握到应用
的不同层次要求，由 浅入
深，循序渐进．并体现了对
定义的反思理解．学生思考
练习，师生共同分析纠正．



进一步强化反函数的
(x)
的定义域.
（简记为：反解、互换、写出反函数的定义域）

【例3】（1）
y?x
2
(x?R)
有没有反函数?
（2）
y?x
2
(x?0)
的反函数是________．
（3）
y?x
(x<0)的反函数是__________．

五、巩固强化，评价反馈
2
1．已知函数 y=f(x)存在反函数，求它的反函数 y =f
?1
( x)
概念，并能正确求出反函
2
（1）y=-2x+3(x
?
R) （2）y=-(x
?
R,且x
?0
)
x
x5
( 3 ) y=(x
?
R,且x
??
)
3x?53
6x?5
2．已知函数f(x)=(x
?
R,且x
?1
)存在反函数
x?1
y?f

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?1
数．反馈学生对 知识的掌握
情况，评价学生对学习目标
的落实程度．具体实践中可
采取同学板演、分组 竞赛等
多种形式调动学生的积极
性．
(x)
，求f(7)的值．
?1

五、反思小结，再度设疑
本节课主要研究了反函数的定义，以及反函数的求解步

“问题是数学的心脏”
骤．互 为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢？为什么学生带着问题走进课堂又
具有这样的特点呢？我们 将在下节研究．
（让学生谈一下本节课的学习体会，教师适时点拨）

带着新的问题走出课堂．

六、作业
习题2.4 第1题，第2题


进一步巩固所学的知
识．

教学设计说明

“问题是数学的心脏”．一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性
到理性 的过程．本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数，进而又通过若干函数的
图象进一步加以诱导 剖析，最终形成概念．
反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采用 了抽象
的符号．由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概
念．为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究
原因，寻找 规律，程序是从问题出发，研究性质，进而得出概念，这正是数学研究的顺序，
符合学生认知规律，有助 于概念的建立与形成．另外，对概念的剖析以及习题的配备也很精
当，通过不同层次的问题，满足学生多 层次需要，起到评价反馈的作用．通过对函数与方程
的分析，互逆探索，动画演示，表格对照、学生讨论 等多种形式的教学环节，充分调动了学
生的探求欲，在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培 养学生的逆向思维．使学
生自然成为学习的主人．

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