高一数学教案：直线点法向式方程、直线的一般式方程教案

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标 题:
关键词:
11.1（２）直线方程
直线点法向式方程、直线的一般式方程
教学目标
在理解直线方程的意义，掌握直线 的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式
方程以及一般式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思 想，形成探究能力.
教学重点与难点
直线的点法向式方程以及一般式方程；
理解直线点法向式方程以及一般式方程的推导.
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高二年级>数学第二册>11.1（2） 语 种:
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朱敏慧
双阳路388号
zhuminhui@
学习者:
教育类型:
单 位:
汉语
学生
高中教育>高中二年级
上海市控江中学




11．1 （２）直线方程
上海市控江中学 朱敏慧
一、教学内容分析
本节的重点是直线的点法向式方程以及一般 式方程的推导及应用.在上一堂课的基础上，通过
向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线 的点法向式方程.引导同学发现直线的
点方向式方程、点法向式方程都可以整理成关于
x、y< br>的一次方程
ax?by?c?0
（
a、b
不
全为零）的形式.
本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解
析几 何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力.
二、教学目标设计
在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点 法向式方程以及
一般式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力.
三、教学重点及难点
直线的点法向式方程以及一般式方程；
四、教学流程设计



复习上节课内容
用心 爱心 专心

引导学生自主探究点法向式方程

一般式方程



运用与深化(例题解析、巩固练习)

五、教学过程设计
一、复习上一堂课的教学内容
课堂小结并布置作业
二、讲授新课
（一）点法向式方程
1、概念引入
从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点
P
，且与某一方向平行的直线< br>l
是惟一
确定的．同样在平面上过一已知点
P
，且与某一方向垂直的直 线
l
也是惟一确定的．
2、概念形成
直线的点法向式方程
在平 面上过一已知点
P
，且与某一方向垂直的直线
l
是惟一确定的.建立直角坐标 平面，设
P
的
坐标是
(x
0
,y
0
)r
n
，方向用非零向量
?(a,b)
表示.
直线的点法向式方程的推导
uuur
r
uuur
r
r设直线
l
上任意一点
Q
的坐标为
(x,y)
，由直线垂 直于非零向量
n
，故
PQ?n
.根据
PQ?n
的
充 要条件知
PQ?n?0
，即：
a(x?x
0
)?b(y?y
0
)?0
①；反之，若
(x
1
,y
1
)
为 方程⑤的任意
uuuur
r
a(x
1
?x
0
)?b (y
1
?y
0
)?0(x,y)
Q
PQ
1
?n
，即
Q
1
在直一解，即，记
11
为坐标的点为
1
，可知
线
l
上.综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线
l< br>的方程，直线
l
是方程①的直线.
我们把方程
a(x?x
0
)?b(y?y
0
)?0
r
ln
叫做直线的点法向式方程， 非零向量叫做直线
l
的法
向量.
3、概念深化
从上面的推导看，法向量
n
是不唯一的，与直线垂直的非零向量都可以作为法向量.
若直线的一个方向向量是
(u,v)
，则它的一个法向量是
(v,?u).
4、例题解析
，2
?
，B
?
3，4
?< br>，求
AB
的垂直平分线
l
的点法向式方程. 例1 已知点
A
?
?1
解 由中点公式，可以得到
AB
的中点坐 标为
?
1,3
?
，
AB?
?
4,2
?是直线
l
的法向量，
???
用心 爱心 专心

< br>所以，
AB
的垂直平分线
l
的点法向式方程.
4
?< br>x?1
?
?2
?
y?3
?
?0

[说明]关键在于找点和法向量！
例2已知点
A(1,6),B(?1,?2)和点
C(6,3)
是三角形的三个顶点，求
（1）
BC
边所在直线方程；
（2）
BC
边上的高
AD
所在直线方程.
解（1）因为< br>BC
边所在直线的一个方向向量
BC
＝（7，5），且该直线经过点
B (?1,?2)
，所
以
BC
边所在直线的点方向式方程为
x?1y?2
?
75

（2）因为
BC
边上的高
AD
所在的直线的一个法向量为
BC
＝（7，5），且该直线经过点
A(1,6)
，
所以高
AD
所在直线的点法向式方程为
7(x?1)?5(y?6)?0

５、巩固练习
练习11.1（2）
（二）一般式方程
1、概念引入
由直线的点方向式方程和点法向式方程，我们可以 发现，平面直角坐标系中的每一条直线都
可以用一个关于
x,y
的二元一次方程表示； 那么每一个关于
x,y
的二元一次方程
ax?by?c?0
（
a，
b
不同时为0）是否都表示一条直线呢？
2、概念形成
直线的一般式方程的定义
直线的点方向式方程和直线的点法向式方程经过整理，成为
x,y
的二元一次方程
ax?by?c?0
.
反之，任意二元一次方程ax?by?c?0
(a,b不全为0)
都是直线方程么？回答是肯定的.首
c< br>ax?b(y?)?0
b
先，当
b?0
时，方程可化为，根据直线点法 向式方程可知，这是过点
c
(0,?)
b
，以
(a,b)
为 一个法向量的直线；当
b?0
时，方程为
ax?c?0
，由于
a?0
，方程
用心 爱心 专心

x??
化为
cc(?,0)
a
，表示过点
a
且垂直于
x
轴的直线. < br>所以二元一次方程
ax?by?c?0
(a,b不全为0)
是直线的方程，叫做 直线的一般式方程.
３、例题解析
例1
?ABC
中，已知
A( ?1,2)
、
B(3,4)
，求
AB
边的中垂线的一般式方程.
ruuur
解 直线过
AB
中点
D(1,3)
，
n?AB?(4,2)
，则其点法向式方程为
4(x?1)?2(y?3)?0
，整理为一般式方程
2x?y?5?0
.
[说明]点法向式方程化为一般式方程.
例2（1）求过点
A(?2,5)
且平行于直线
（2）求过点
B(3 ,?4)
且垂直于直线
l
1
:4x?3y?9?0
的直线方程；
l
2
:3x?7y?6?0
的直线方程.
rur
n?(4 ,?3),d?(3,4)
，又直线过点
A(?2,5)
，故直线的方程为解 （1）解一：
4(x?2)?3(y?5)
化简得
4x?3y?23?0
.
r
解二：
n?(4,?3),
又直线过点
A(?2,5)
， 故直线的点法向式方程为
4(x?2)?3(y?5)?0
化
简得
4x?3y ?23?0
.
解三：设与
l
1
:4x?3y?9?0
平行 的直线方程为
4x?3y?c?0
，又直线过点
A(?2,5)
故
4 (?2)?3?5?c?0
，
c?23
，所以直线的方程是
4x?3y?23 ?0
.
ur
l
n?(3,7)
为所求直线的方向向量，又直线过点
B(3,?4)
，故直线的（2）解一：
1
的法向量
1
方程 为
7(x?3)?3(y?4)
化简得
7x?3y?33?0
.
解 二：设与
l
2
:3x?7y?6?0
垂直的直线方程为
7x?3y? c?0
，又直线过点
B(3,?4)
故
7?3?3?(?4)?c?0
，
c??33
，所以直线的方程是
7x?3y?33?0
.
[说 明]一般地，与直线
ax?by?c?0
平行的直线可设为
ax?by?c
?
?0(其中c
?
?c)
；而与
??
直线
ax?by ?c?0
垂直的直线可设为
bx?ay?c?0
.
例3能否把直线方程2x?3y?5?0
化为点方向式方程？点法向式方程？若能，它的点方向
式方程和点法向 式纺方程是否唯一？并观察x、y的系数与方向向量和法向量有什么联系？
用心 爱心 专心 < /p>

x?1y?1x?1y?1
x?2
??
?
?323?2
?3
解： 、、
2(x?1)?3(y?1)?0
、4（x+4）+6(y-1)=0……
能够化成点方向式的形式，并且有无数个！
y?
2
1
3
x?4y?1
?
?64
…… 、
所有的方向向量之间存在：一个非零实数
?
，使得
d
1
?
?
d
2
?
?
?
3,?2
?
；
易得点法向式方程也是不唯一的，并且有无数个！
所有的法向量之间存在：一个非零实数?
，使得
n
1
?
?
n
2
?
?
?
2,3
?

变式：直线
ax?by?c?0
的方向向量可以表示为
?
?
b,?a
?

直线
ax ?by?c?0
的法向量可以表示为
?
?
a,b
?

[说明]注意直线的一般式方程和点方向式方程与点法向式方程的联系.
三、巩固练习
练习11.1（3）
补充练习
1、（1）若直线过两点
A(a,0),B (0,b)
，则
a,b
分别叫做该直线在
x,y
轴上的截距.当ab?0
时，
求直线
AB
的方程；
（2）若过点
P( 4,?3)
的直线
l
在两坐标轴上截距相等，求直线
l
的方程.
2、 已知直线
l
过点
P(?2,3)
且与
x,y
轴分别交于
A,B
两点.
??
??
uuur
（1）若P
为
AB
中点，求直线
l
的方程；（2）若
P
分
AB
所成的比为
?2
，求
l
的方程.
3、已知 直线
l
的方程为：
(a?2)x?(1?2a)y?4?3a?0(常数a?R)
（1）求证:不论
a
取何值，直线
l
恒过定点；
（ 2）记（1）中的定点为
P
，若
l?OP
（
O
为原点），求 实数
a
的值.
4、
YABCD
中，三个顶点坐标依次为
A (2,?3)
、
B(?2,4)
、
C(?6,?1)
，求（1）直线
AD
与
直线
CD
的方程；（2）
D
点坐标. 5、．过点
P(?5,?4)
作一直线
l
，使它与两坐标轴相交且与两轴 所围成的三角形面积为5个单
位面积，求直线
l
的方程.
用心 爱心 专心

6、已知两直线
a
1
x?b
1
y?1 ?0
和
a
2
x?b
2
y?1?0
都通过
P (2,3)
,求证：经过两点
Q
1
(a
1
,b
1< br>)
，
Q
2
(a
2
,b
2
)
的直线方程是
2x?3y?1?0
.
四、课堂小结
１.直线的点法向式方程和一般方程的推导；
２．直线的点方向式方程、点法向式方程和一般方程这三种形式方程之间的互相之间的联系.
３、确定直线方程的几个要素
五、课后作业
习题11.1 A组5,6,7；B组3，4
习题11.1 A组8
补充作业：
直线
3x?y?2?0
的单位法向量是___________.
直线l
的一般式方程为
2x?3y?7?0
，则其点方向式方程可以是_______ ___；点法向式方程
可以是_____________.
过
P(4,?3)且垂直
y
轴的直线方程是_______________.
若直线
( 2?m)x?my?3?0
的法向量恰为直线
x?my?3?0
的方向向量，求实数< br>m
的值.
已知点
P(2,?1)
及直线
l:3x?2y?5?0
，求： （1）过点
P
且与
l
平行的直线方程；（2）过点
P
且 与
l
垂直的直线方程.
正方形
ABCD
的顶点
A
的坐标为
(?4,0)
，它的中心
M
的坐标为
(0,3)
， 求正方形两条对角
线
AC,BD
所在的直线方程.
已知
A,B,C
的坐标分别为
(1,3),(b,0),(0,c)
，其中
b,c
均 为正整数，问过这三点的直线
l
是否
存在？若存在，求出
l
的方程； 若不存在，说明理由.
设直线
l
的方程为
(a?1)x?y?2?a?0(a?R)

证明：直线
l
过定点；
若
l
在两坐标轴上的截距相等，求
l
的方程.
六、教学设计说明
在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式），引 导学生自主推导出
直线的点法向式方程.
通过对直线与二元一次方程关系的分析，引导学生 经历由特殊到一般的思维过程，培养学生
的探究能力.
用心 爱心 专心

用心 爱心专心