高中数学优秀教学设计方案案例

高中数学教学设计大赛
获奖作品汇编





（上 部）













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目 录

1、集合与函数概念实习作业……………………………………
2、
指数函数的图象及其性质……………………………………
3、对数的概念…………………………………………………
4、对数函数及其性质（1）……………………………………
5、对数函数及其性质（2）……………………………………
6、函数图象及其应用……………………………………
7、方程的根与函数的零点……………………………………
8、用二分法求方程的近似解……………………………………

9、用二分法求方程的近似解……………………………………
10、直线与平面平行的判定……………………………………

11、循环结构 …………………………………………………
12、任意角的三角函数（1）…………………………………
13、任意角的三角函数（2）……………………………………
14、函数
y?As in(
?
x?
?
)
的图象…………………………
15、向量的加法及其几何意义………………………………………
16、平面向量数量积的物理背景及其含义（1）………………
17、平面向量数量积的物理背景及其含义（2）……………………
18、正弦定理（1）……………………………………………………
19、正弦定理（2）……………………………………………………
20、正弦定理（3）……………………………………………………
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21、余弦定理………………………………………………
22、等差数列………………………………………………

23、等差数列的前n项和………………………………………
24、等比数列的前n项和………………………………………

25、
简单的线性规划问题
………………………………………
26、拋物线及其标准方程………………………………………
27、圆锥曲线定义的运用………………………………………















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前 言
为了更好地贯彻落实和科课程标准有关要求，促进广大教师学习现代
教学理论，进一步激发广大 教师课堂教学的创新意识，切实转变教学观
念，积极探索新课程理念下的教与学，有效解决教学实践中存 在的问题，
促进课堂教学质量的全面提高，在2007年由福建省普通教育教学研究室
组织，举 办了一次教学设计大赛
活动
。这次活动数学学科高中组共收到
有49篇教学设计文章。 获奖文章推荐评审专家组本着公平、公正的原则，
经过认真的评审，全部作品均评出了相应的奖项；专家 组还为获得一、
二等奖的作品撰写了点评。本稿收录的作品全部是参加此次福建省教学
设计竞赛 获奖作者的文章。按照征文的规则，我们对入选作品的格式作
了一些修饰，并经过适当的整合，以飨读者 。
在此还需要说明的是，为了方便阅读，获奖文章的排序原则，并非按
照获奖名次的前后顺序 ，而是按照高中数学新课程必修1—5的内容顺序，
进行编排的。部分体现大纲教材内容的文章则排在后 面。
不管你获得的是哪个级别的奖项,你们都可以有成就感,因为那是你
们用心、用汗浇灌出 的果实,它记录了你们奉献于数学教育事业的心路历
程.书中每一篇的教学设计都耐人寻味,都能带给我 们许多遐想和启迪.
你们是优秀的,在你们未来悠远的职业里程中,只要努力,将有更多的辉
煌 在等待着大家。谢谢你们!
编者
2008-3-23 于福州
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1、集合与函数概念实习作业


一、教学内容分析
《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第44页。-----《实
习作业》。本 节课程体现数学文化的特色，学生通过了解函数的发展历史进一步感受
数学的魅力。学生在自己动手收集 、整理资料信息的过程中，对函数的概念有更深刻
的理解；感受新的学习方式带给他们的学习数学的乐趣 。
二、学生学习情况分析
该内容在《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A 版）第44页。学
生第一次完成《实习作业》，积极性高，有热情和新鲜感，但缺乏经验，所以需要教< br>师精心设计，做好准备工作，充分体现教师的“导演”角色。特别在分组时注意学生
的合理搭配（ 成绩的好坏、家庭有无电脑、男女生比例、口头表达能力等），选题时，
各组之间尽量不要重复，尽量多 地选不同的题目，可以让所有的学生在学习共享的过
程中受到更多的数学文化的熏陶。

三、设计思想
《标准》强调数学文化的重要作用，体现数学的文化的价值。数学教育不仅应该
帮助学生学习和掌握数学知识和技能，还应该有助于学生了解数学的价值。让学生逐
步了解数学 的思想方法、理性精神，体会数学家的创新精神，以及数学文明的深刻内
涵。
四、教学目标
1．了解函数概念的形成、发展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史事件
和人物；
2．体验合作学习的方式，通过合作学习品尝分享获得知识的快乐；
3．在合作形式的小组学习活动中培养学生的领导意识、社会实践技能和民主价
值观。
五、教学重点和难点
重点：了解函数在数学中的核心地位，以及在生活里的广泛应用；

难点：培养学生合作交流的能力以及收集和处理信息的能力。
六、教学过程设计
【课堂准备】
1．分组：4～6人为一个实习小组，确定一人为组长。教师需要做好协调工作 ，
确保每位学生都参加。
2．选题：根据个人兴趣初步确定实习作业的题目。教师应该到各组 中去了解选题
情况，尽量多地选择不同的题目。
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参考题目：（1）函数产生的社会背景；（2）函数概念发展的历史过程；（3）函数
符号的故 事；（4）数学家（如：开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、贝努利、
欧拉、柯西、狄里克雷、 罗巴契夫斯基等）与函数；（5）也可自拟题目
3．分配任务：根据个人情况和优势，经小组共同商议，由组长确定每人的具体任
务。
4．搜集资料：针对所选题目，通过各种方式（相关书籍----《函数在你身边》、
《世界函数通史 》、《世界著名科学家传记》等；相关网页---、
http:bjakqnjbsdb8njsxxc
等）搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料等，并记录
相关资料，写出实习报告。
实习报告 年 月 日
题目

组长及参加人员
教师审核意见及等级
正文
备注

（指出参考文献或相关网页）
5．投影仪、多媒体；
6．把各组的实习报告，贴在班级的学习栏内，让学生学习交流。
【
教学过程
】
1．出示课题：交流、分享实习报告
2．交流、分享：（由数学科代表主持。小组推荐中心发言人；以下记录均为发言概述）
（1）学生1：函数小史
数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估 量的作用。
有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用。我们刚学过的函数就是这
样的重要概念。在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各
个领域。最早提出函 数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨。最初莱
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布尼茨用“函数”一词表示幂。1755年，瑞士数学家欧拉把给出了不同的函数定义。 中
文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》
（18 95年）一书时，把“function”译成“函数”的。
我们可以预计到，关于函数的争论、研究 、发展、拓广将不会完结，也正是这些
影响着数学及其相邻学科的发展。
（2）教师带头鼓掌并简单评价
（3）学生2： 函数概念的纵向发展 ：
该同 学从早期函数概念——几何观念下的函数到十八世纪函数概念——代数观念
下的函数讲述了函数概念的发 展。其中包括18世纪中叶著名的数学家欧拉对函数概
念发展的贡献。接着又讲述了十九世纪函数概念— —对应关系下的函数。以及现代函
数概念——集合论下的函数。函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变 革，形成了函
数的现代定义形式。
（4）教师带头鼓掌并简单评价
（5）学生3：我国数学家李国平与函数
学生3描述了数学家中国科学院数学物理学部委员． 李国平（1910—1996），的
身世和他的成长历程。李国平1933年毕业于中山大学数学天文系 。后历任中国科学
院数学计算技术研究所所长，中国科学院武汉数学物理研究所所长，中国数学会理事，
中国科学院学部委员等职务。学生还通俗地讲述了李国平先生在微分方程复变函数论
领域的卓越 贡献。
（6）教师带头鼓掌并简单评价
（7）学生4：函数概念对数学发展的影响
该学生从历史上重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的事实出发，讲述了
函数概念对数学发展的 深刻影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函
数概念的历史发展，看一看函数概念不断被 精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十
分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识 的清晰度，而且更能
帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用．
函数概念来 源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已
有相当研究，所以函数概念至少在那 时已经萌芽．该学生说道，早在函数概念尚未明
确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数， 比如对数函数、三角函数、
双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个 变量对于
另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到
1 7世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义．
从以上函数概念 发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系大量数学素材，
研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等 重要．
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（8）教师带头鼓掌并简单评价
（9）学生5：函数概念的历史演变过程
该学生说，数学的抽象完全舍弃了事物的质的内容， 而仅仅保留了它们的量的属
性，即数学抽象的目的只是数量关系和空间形式．这就决定了数学与其它自然 科学的
区别，也决定了数学的特殊性．如果在两个集合元素之间存在有确定的对应关系，就
称为 是一个映射．
上述函数概念的历史演变过程，就是一系列弱抽象的过程．学生展示了下表：





早期函数概念
在认识自然、改造自然的过程中不断遇到：在数量上描述一些现

象的几个不同的量是 紧密地互相联系的，一个量完全决定于其它
量的值，即通过其它量值的一些代数运算





函数是这样一个量，它是通
代 数 函 数
过其它一些量的代数运算得
到的

世纪函数概18

念



19世纪函数概

念
解 析 函 数
函数是指由一个变量与一些
常量通过任何方式形成的解
析表达式








对于给定区间上的每一个x
变 量 函 数
值，y总有唯一确定的值与
之对应，则称y是x的函数．
近代函数概念
映 射 函 数
设M与N是两个集合，f是
个法则，若对于m中每一个
元素x， 由f总有N中唯一
确定元素y与之对应，则f
是定义在M上的一个函数．
（10）教师带头鼓掌并简单评价
3．课堂小结：
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4．实习作业的评定：

实习作业评价参考意见
级
别
很
好
1．小组配合默契（有计划、任务分配合理、每人积极认真）
2．报告材料丰富、可靠、线索清晰
3．拥有自己的独立见解
1．小组配合良好
好 2．报告材料丰富、可靠、线索较清晰
3．有一定的独立见解
一
般
1．小组配合一般
2．报告材料一般、线索基本清晰
3．有一定的分析
标准
较
1．小组配合欠佳
差
2．报告材料贫乏、线索不够清晰
七、教学反思
实习作业是新课程的一个亮点。是培养学生的团队精神，体验合作学习的方式的
重要途径。但事实上，实习作业很容易被教师所忽视，所以想通过该教学设计引起教
师们的重视 。在高一刚开始的时候，如何做好第一次实习作业，是很关键的。就我们
学校条件和学生情况，完全可以 做好实习作业的，事实证明学生做得很好。可以通过
这次实习作业，让学生体验合作学习的方式，通过合 作学习品尝分享获得知识的快乐。
再者，通过对数学家的了解，感受数学家的精神，增加学好数学的信心 ，为今后的学
习打下好的基础。

福鼎市第一中学 曹齐平

点 评

该教学设计具有一定的创新性，在教师的引导下，以学生合作学习的
模式，探讨函 数概念的形成、发展的历史以及在这个过程中起重大作用
的历史事件和人物。通过学生的自主学习、探究 活动，学生经历收集信
息，整理资料，并从中提取有用信息的过程，让学生体验数学知识发现
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和创造的历程，对于提高学生的数学表达和交流的能力具有一定意义。
但该设计中教师的主导地位体现得不够，教师对学生的评价不够具体
（只有鼓掌）。






2、指数函数的图象及其性质

一、 教学内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第 二章第
一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将
《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），
这是第一节课 “探究图象及其性质”。 指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常
见函数，它不仅是今后学习对数 函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着
广泛的应用，所以指数函数应重点研究。
二、 学生学习况情分析
指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基 础上进行
研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实
际 例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背
景，但这两个例子 背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，
通过超出想象的结果来激发学生学习新 知的兴趣和欲望。
三、设计思想
1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何 突破这个即重要又抽象
的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具 有
一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数的表
示法有三 种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，
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这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图
让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得
到研究的方 法，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中
去。
2.结合参加我 校组织的两个课题《对话——反思——选择》和《新课程实施中同
伴合作和师生互动研究》的研究，在本 课的教学中我努力实践以下两点：
⑴.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习
方式。
⑵.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总
结、反思，力图在培养 和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的
方法。
3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。
四、教学目标
根据任教班级学生 的实际情况，本节课我确定的教学目标是：理解指数函数的概
念，能画出具体指数函数的图象；在理解指 数函数概念、性质的基础上，能应用所学
知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从 图象和解析式这两种
不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感
受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获
得研究函数 的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。
五、教学重点与难点
教学重点：指数函数的概念、图象和性质。
教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。
六、教学过程：
（一）创设情景、提出问题(约3分钟)
师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒 米，3号同学准备6粒米，4
号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……按这样的规律，51号同 学该准备多
少米？
学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重。
师：如果 改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒
米，4号同学准备16粒米，5号 同学准备32粒米，……按这样的规律，51号同学该
准备多少米？
【学情预设：学生可能说很多或能算出具体数目】
师：大家能否估计一下，51号同学该准备的米有多重？
教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨。
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师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布 的最新数
据显示，2007～2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨。这就是说51号同学所需
准备的大米相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！
【设计意图：用一个看似简 单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过
与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长， 激发学生学习新知的兴趣和欲
望。】
在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用
y
表示，每位同学的座号数用
x
表示，
y
与
x
之 间的关系分别是什么？
学生很容易得出y=2x（
x?
N
?
）和< br>y?2
x
（
x?
N
?
）
【学情预设：学生 可能会漏掉
x
的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中
x
的范围。】
（二）师生互动、探究新知
1．指数函数的定义
师：其实，在本章开头的问题2中 ，也有一个与
y?2
x
类似的关系式
y?1.073
x
（< br>x?N
?
,x?20
）
⑴让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：（约3分钟）
①
y?2
x< br>（
x?
N
?
）和
y?1.073
x
（
x?N
?
,x?20
）这两个解析式有什么共同特
征？
②它们能否构成函数？
③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的
名字？
【设计意图：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。学生对比已经
学过一次函数、反比例 函数、二次函数，发现
y?2
x
，
y?1.073
x
是一个 新的函数模
型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣。】
引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。
师：如果可以用字母
a< br>代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成
y?a
x
的形
式。自变量 在指数位置，所以我们把它称作指数函数。
⑵让学生讨论并给出指数函数的定义。（约6分钟）
对于底数的分类，可将问题分解为：
①若
a?0
会有什么问题？（如
a??2
，
x?
在）
②若

③若

会有什么问题？（对于
x?0

，
a
x
都无意义）
又会怎么样？（无论

取何值,它总是1,对它没有研究的必要.）
1
则在实数范围内相应的函数值不存
2
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师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定

在这里要注意生生之间、师生之间的对话。
且

.
【学情预设： ①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为
什么要求
a?0，且a?1；
a?1
为什么不行？
②若学生只给出
y?a
x
，教 师可以引导学生通过类比一次函数（
y?kx?b,k?0
）、
k
反比例函数 （
y?,k?0
）、二次函数（
y?ax
2
?bx?c,a?0）中的限制条件， 思
x
考指数函数中底数的限制条件。】
【设计意图 ：①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数
应注意它的实际意义和研究价值；
②讨论出
a?0，且a?1
，也为下面研究性质时对底数的分类做准备。】
接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？
教师也在黑板上写出一些 解析式让学生判断，如
y?2?3
x
，
y?3
2x
，
y??2
x
。
【学情预设：学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其它的。】
【设计意图 ：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。】
2．指数函数性质
⑴提出两个问题（约3分钟）
①目前研究函数一般可以包括哪些方面；
【设计意图 ：让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对应法则、
定义域、值域、）和函数的基本性 质（单调性、奇偶性）。】
②研究函数（比如今天的指数函数）可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研
究？
可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手（即底
数取一些数值）；当然也 可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法
不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择 适当的方法来研究才能事半功倍！还可
以借助一些数学思想方法来思考。
【设计意图：①让学 生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以
从图象和解析式(包括列表)不同的角度对函 数进行研究；
②对学生进行数学思想方法（从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论）的
有机渗透。】
⑵分组活动，合作学习（约8分钟）
师：好，下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究。
①让学生分为两 大组，一组从解析式的角度入手（不画图）研究指数函数，一组
借助电脑通过几何画板的操作从图象的角 度入手研究指数函数；
②每一大组再分为若干合作小组（建议4人一小组）；
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③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。
【学情预设：考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当
的指导。】 < br>【设计意图：通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人更可加深对所
得到结论的理解。 】
⑶交流、总结（约10～12分钟）
师：下面我们开一个成果展示会!
教师在 巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展
示研究成果，并对比从两个角度 入手研究的结果。
教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析。这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其
它性质？ 师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有
1
价值的副 产品呢？（如过定点（0，1），
y?a
x
与
y?()
x
的 图象关于y轴对称）
a
【学情预设： ①首先选一从解析式的角度研究的小组上台汇报；
②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；
③问其它小组有没不 同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思
考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为 分界，教师可以马上通过电脑操作看函
数图象的变化。】
【设计意图： ①函数的表示法有三 种：列表法、图象法、解析法，通过这个活
动，让学生知道研究一个具体的函数可以也应该从多个角度入 手，从图象角度研究只
是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别 是
定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的。
②让学生上台汇报研究成果，让学生有 种成就感，同时还可训练其对数学问题的
分析和表达能力，培养其数学素养；
③对指数函数的 底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类
问题使该难点的突破显得自然。】 师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性、以及过定点（0，1），
但定义域、值域却 不可确定；从解析式（结合列表）可以很容易得出函数的定义域、
值域，但对底数的分类却很难想到。
教师通过几何画板中改变参数
a
的值，追踪
y?a
x
的图象 ，在变化过程中，让全
体学生进一步观察指数函数的变化规律。
师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书。
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图


象

0a>1
定义域
值 域

过定点（0，1）
非奇非偶
在R上是减函数
（三）巩固训练、提升总结（约8分钟）
性
质
R

在R上是增函数
1．例：已知指数函数
f(x)?a
x
(a?0, 且a?1)
的图象经过点
(3,
?
)
，求
f(0),f(1 ),f(?3)
的值。
解：因为
f(x)?a
x
的图象经过点(3,
?
)
，所以
f(3)?
?

即
a
3
?
?
，解得
a?
?
，于是
f(3)?
?
。
所以
f(0)?1,f(1)?
3
?
,f( ?3)?
1
1
3
x
3
?
。
【设计意图：通过本题加深学生对指数函数的理解。】
师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？
师：从方程思想来看，求指数函 数就是确定底数，因此只要一个条件，即布
列一个方程就可以了。
【设计意图：让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程
的思想。】
1
2．练习：⑴在同一平面直角坐标系中画出
y?3
x
和
y?()
x
的大致图象，并
3
说出这两个函数的性质；
⑵求下列函数的定义域：①
y?2
x?2
1
，②
y?()
x
。
2
1
3．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？
【学情预设：学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈
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谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数。】
【设计意图：①让 学生再一次复习对函数的研究方法（可以从也应该从多个
角度进行），让学生体会本课的研究方法,以便 能将其迁移到其他函数的研究中
去。
②总结本节课中所用到的数学思想方法。
③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯
通。】
4．作业：课本59页习题2．1A组第5题。
七、教学反思
1．本节课改变了以 往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，
对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过 对比总结得到指数函数的性质，更重要
的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数 的研究中去，教师
可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。
2．教学中借助信息技术可 以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不
足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提 高课堂效率，本课使用几何画板
可以动态地演示出指数函数的底数的动态过程，让学生直观观察底数对指 数函数单调
性的影响。
3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受 数学思想
方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去
分 析、思考问题。
福州十一中 胡鹏程

点评：

本节是指数函 数及其性质概念课，胡老师在教学设计中，让人印
象深刻的是以学生为主体，注重学法指导，重视新旧知 识的契合，关
注知识的类比，学习方法的迁移。胡老师能够抓住学生的好奇心，将
娱乐“计算米 粒”与数学有机地结合在一起，提高了学生学习本节知
识的兴趣。在观察“准备米粒”得到
y? 2
n
和章开头
y?1.073
x
（
x?N
?
,x?20
）函数关系式后，巧妙而不失时机地引导学生从具体问
题中抽象出数学模型
y?a
x
，发现指数在变化，这与以前所学函数（一
次函数、二次函数、反比例函数 ）都不一样，把变化的量用
x
表示，
不变的量用a表示；通过让学生给函数命名，举几 个指数函数例子这
个小环节，增强学生对指数函数本质的理解，激发学习兴趣，概念的
第 16 页 共 75 页

得到可谓“润物细无声”。接着，胡老师在设计中还注重对学生探索
能力的培养，让学生类比一次函数（
y?kx?b,k?0
）、反比例函数
（
y?
k
,k?0
）、二次函数（
y?ax
2
?bx ?c,a?0
）中的限制条件，给出指
x
数函数的定义及底数
a
的取 值范围。
在研究指数函数的性质时，胡老师能够紧扣第一章的函数知识，
让学生在研究指数函 数时有明确的目标：函数三个要素（对应法则、
定义域、值域、）和函数的基本性质（单调性、奇偶性） 。通过提问的
方法，让学生明白研究函数可以从图象和解析式这两个不同的角度进
行出发，将学 生的注意力引向本节的第二个知识点——图象及其性
质。设计中将学生进行分组，通过学生的自主探究、 合作学习，侧重
对解析式、作图象探索。学生的上台报告，老师借助几何画板的直观
图形，以形 助数，以数定形，数形结合的数学方法，收到了较好的研
究效果。





3、对数的概念

一、教学内容分析
本节课是新课 标高中数学A版必修①中第二章对数函数内容的第一课时，也就
是对数函数的入门。对数函数对于学生来 说是一个全新的函数模型，学习起来比较困
难。而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分 量，它是在指数函数的
基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的 作
用。通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的
认识与理 解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对
立统一，相互联系、相互转化 的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。

二、学生学习情况分析
现 阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信
心不足，对数学存在或多或 少的恐惧感。通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已
多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思 想，并且探究能力、逻辑思维能力得
到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识 基础，故应通过
第 17 页 共 75 页

指导，教会学生独立思考、大胆 探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习
方法。

三、设计思想
学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。为了调动学生学习的积
极性，使学生化被动为 主动。本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实
例出发，从中认识对数的模型，体会引入对 数的必要性。在教学重难点上，我步步设
问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方 式来加深理解,很好地
突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌 握
学习的主动权。

四、教学目标
1、理解对数的概念,了解对数与指数 的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解
对数的性质，掌握以上知识并形成技能。
2、通过 事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析
得出对数的概念及对数式与指数 式的互化。
3、通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。通过做练习，使学生感受
到理论与实践的统一。
4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养 学
生探究的意识。
五、教学重点与难点
重点 ：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的相互转化。
难点 ：（1）对数概念的理解；（2）对数性质的理解。

六、教学过程设计
教学
教学程序及设计 设计意图
环节
第 18 页 共 75 页

引例（3分钟）
1、一尺之棰，日取其半，万世不竭。
（1）取5次，还有多长？
（2）取多少次，还有0.125尺?
分析:
创
设
情
境

引
入
新
课
1
?
(1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得
?
? ?
?
2
?
5
?
1

32
?
1
?
(2)可设取x次,则有
??
?0.125

?
2
?
x
?
1
?
抽象出:
??
?0.125
?x??

?
2
?
2、2002年我国GPD为a亿元，如果每年平均增
长8%，那么经过多少年GPD是2002年的2倍？
x
(1?8%)?2
分析:设经过x年,则有
x
抽象出:
(1?8%)













x
?2
?x??

让学生根据
题意，设未知数，列出方
程。这两个例
子都出现指
数是未知数
x的情况，让
学 生思考如
何表示x，激
发其对对数
的兴趣，培养
学生的探究
意识。生 活及
科研中还有
很多这样的
例子，因此引
入对数是必
要的。
正确理解对
数定义中底
数的限制，为
以后对数函
数定义域的
确定作 准备。
同时注意对
数的书写，避
免因书写不
规范而产生
的错误。
一、对数的概念（3分钟）
一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N, 就是
a
b
=N 那么数 b叫做 a为底 N的对数,记作
log
a
N?b
，a叫做对数的底数,N叫做真数。
注意：①底数的限制:a>0且a≠1
②对数的书写格式
log
a
N

第 19 页 共 75 页

讲
授
新
课


二、对数式与指数式的互化：（5分钟）

幂底数 ← a → 对数底数
指数 ← b → 对数
幂 ← N → 真数
思考：

①为什么对数的定义中要求底数a>0且a≠1？
②是否是所有的实数都有对数呢？
负数和零没有对数






























让学生了解
对数 与指数
的关系，明确
对数式与指
数式形式的
区别，a、b
和N位置的
不同，及它们
的含义。互化
体现了等价
转化这个重
要的数学思
想。
三、两个重要对数（2分钟）
①常用对数：
以10为底的对数
log
10
N
,简记为: lgN
②自然对数：
以无理数e=2.71828…为底的对数的对数
log
e
N

简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e为底的对
数)
注意：两个重要对数的书写
课堂练习（7分钟）
1 将下列指数式写成对数式：
（1）
2
4

这两个重要
对数一定要
掌握，为以后
的解题以及
换底公式做
准备。
?16
（2）
3
?3
?
1

27
b
?
1
?
a
（3）
5?20
（4）
??
?0.45

?
2
?
2 将下列对数式写成指数式：
（1）
log
5
125?3
（2）
log
1
3
3??2

（3）
log
10
a??1.069

3 求下列各式的值：
（1）
log
2
64
（2）
log
9
27


本练习让学
生独立阅读< br>课本P69例1
和例2后思
考完成，从而
熟悉对数式
与指数式的
相互转化，加
深对对数的
概念的理解。
并要求学生
指出对数式
与指 数式互
化时应注意
哪些问题。培
养学生严谨
的思维品质。
第 20 页 共 75 页

讲

授
新

课

















讲
授
新
课



讲

授
新
课
四、对数的性质（12分钟）
探究活动1
求下列各式的值：
（1）
log
3
1?
0 （2）
lg1?
0
（3）
log
0.5
1?
0 （4） 0
思考：你发现了什么？
0
“1”的对数等于零，即
log
a
1?0
类比：
a?1

ln1?
探究活动2
求下列各式的值：
（1）
log
3
3?
1 （2）
lg10?
1
（3）
log
0.5
0.5?
1 （4）
lne?
1
思考：你发现了什么？
底数的对数等于“1”，即
log
a
a?1
类比：
a
1
?a

探究活动3
求下列各式的值：
log
2
3
log
7
0.6
7?
0.6
2?
（1） 3 （2）
log
0.4
89
?
89 （3）
0.4
思考:你发现了什么?
log
a
N
a?N
对数恒等式:
探究活动4
求下列各式的值:
4
log3?
4 (2)
log
0.9
(1)
3
8
lne?
8 (3)
思考:你发现了什么?
n
loga
对数恒等式:
a

探究活动由
学生独立完
成后，通过思
考，然后分小
组进行讨论，最后得出结
论。通过练习
与讨论的方
式,让学生自
己得出结论,
从而更能好
地理解和掌
握对数的性
质。培养学生
类比、分析、
归纳的 能力。
最后，将学生
归纳的结论
进行小结，从
而得到对数
的基本性质 。


0.9
5
?
5
?n

第 21 页 共 75 页

讲
授
新
课











负数和零没有对数
小 “1”的对数等于零，即
log
a
1?0

底数的对数等于“1”，即
log
a
a?1

logN
结 对数恒等式:
a
a
?N

n
对数恒等式:
log
a
a?n

将学生归纳
的结论进行
小结，从而得
到对数的基
本性质。
第 22 页 共 75 页

巩
固
练
习
（10分钟）
1、课本P70 练习
2、提高训练
(1)已知x满足 等式
log
5
?
log
3
(log
2
x)
?
?0
，求
log
16
x
值
（2）求值 ：
log
2.5
6.25?lg
1
?ln
100
e

巩固指数式
与对数式的
互化，巩固对
数的基本性
质及其应用。
（3分钟）
1、 引入对数的必要性----对数的概念
一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N,就是
a
b
=N，那么数
归
纳
小
结

强
化
思
想

b叫做以a为底，N的对数。记作

log
a
N?b

2 、指数与对数的关系

3、对数的基本性质
负数和零没有对数
log
a
1?0

log
a
a?1

log
a
N
n
loga?n
对数恒等式:
a


总结是一堂
课内容的概
括，有利于学
生系统 地掌
握所学内容。
同时，将本节
内容纳入已
有的知识系
统中，发挥承
上启下的作
用。为下一课
时对数的运
算打下扎实
的基础。

a?N
一、课本P82 习题2.2 A组 第1、2题
3x?2y
log2?x,log3?y
a
二、已知，求的值
aa
作业
布置
三、求下列各式的值：
2

2

2log
9
51?2log
3
4
3

3

§2.2.1 对数的概念
引例1
引例2
一、对数
的定义
二、对数式与指数
式的互化

练习
三、对数的基本
性质

四、小结
五、作业布置
2lo g
2
5
?log
2
3
作业是学生
信息的反馈，教师可以在
作业中发现
学生在学习
中存在的问
题，弥补教学
中的 不足。

板书
设计

第 23 页 共 75 页

七、
教学反思

本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学 生对对数的兴趣；在讲授新课部分，
通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的 认识；最后通过
课堂练习来巩固学生对对数的掌握。
古田一中 林宁宁

点评
：
对数概念是高中数学课程的重要内容。本文目标的制订具体、适宜，
且明确地体现在每一教学环节中，教学思路设计符合教学内容实际和学
生实际，层次脉络较清晰。强调对 数的概念的理解，对数式与指数式的
相互转化，对书写规格等做了要求，有利于学生作业的规范化，培养 学
生严谨的思维品质。高中新课程在教学方面所倡导的新的教学理念，对
于促进课堂教学中学生 学习方式的变革起到了巨大作用。然而，这些理
念在指导我们重建课堂教学时也表现出限定的有效性。只 有对此有客观
和充分的认识，我们才不至于生搬硬套，适得其反，从一个极端走向另
一个极端。 教无定法，重在得法，只要能激发学生的学习兴趣，提高学
生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养 ，有利于所学知识的掌握
和运用，达到课堂教学的效果，都应该是好的教学方法。





4、对数函数及其性质（1）
第 24 页 共 75 页

一、 教材分析
本小节选自《普通高中课程标准数学教科书- 数学必修（一）》（人教版）第二章
基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主 要内容是学习对数函数
的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函 数，
无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相
比，对 数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是
对指数函数知识和方法的巩 固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的
应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉， 但新教材做了一定的改动，如何设计
能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课 题立求某些方面
有所突破。
二、 学生学习情况分析
刚从初中升入高一的学生，仍 保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象
思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函 数概念十分抽象，又以对数运
算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双 重问题增
加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求 的拔高，关
注学习过程。
三、设计理念
本节课以建构主义基本理论为指导，以新课 标基本理念为依据进行设计的，针对
学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实 际，其次，激发
学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，< br>确实改变学生的学习方式。
四、教学目标
1．通过具体实例，直观了解对数函数模型 所刻画的数量关系，初步理解对数函数
的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；
2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调
性与特殊点；
3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数
的性质，培养 学生运用函数的观点解决实际问题。
五、教学重点与难点
重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．
六、教学过程设计
教学流程：背景材料→ 引出课题 → 函数图象→ 函数性质 →问题解决→归纳小结
（一）熟悉背景、引入课题
1．让学生看材料：
材料1（幻灯）：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊世界，
第 25 页 共 75 页

专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关 节还可以活动，
骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。大家知道，世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成，譬如沙漠环境，这类干尸虽然肌肤
未腐，是因为干 燥不利细菌繁殖，但关节和一般人死后一样，是僵硬的，而马王堆辛
追夫人却是在湿润的环境中保存二千 多年，而且关节可以活动。人们最关注有两个问
题，第一：怎么鉴定尸体的年份？第二：是什么环境使尸 体未腐？其中第一个问题与
数学有关。

图 4—1
（
如图 4—1在长沙马王堆“沉睡”近2200年的古长沙国丞相夫人辛追，日前奇迹般地“复活”
了）
那么，考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近2200年？上
面已经知道考 古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量p，利用
t?log
1
5730
2
P

估算尸体出土的年代，不难发现：对每一个碳14的含量的取值，通过这个对应关
系，
生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数；

如
图4—2材料2（幻灯）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个 ……，
如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个 ……，不
难发现：分 裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即
y?log
2
x
；





图 4—2
第 26 页 共 75 页

1.引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量 ，从而
得出对数函数的定义：函数
y?log
a
x(a?0
，且a?1)
叫做对数函数，其中
x
是自变
量，函数的定义域是（0，+∞） ．

1
对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如： 注意： ○
y?2log
2
x
，
y?log
5
x
2
对数函数对底数的限制：
(a?0
，且 都不是对数函数．○
5
a?1)
．
3．根据对数函数定义填空；
例1 （1）函数 y=log
a
x的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)
(2) 函数y=log
a
(4-x) 的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)
说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，
所以把教材中的解答题改 为填空题，节省时间，点到为止，以避免挖深、
拓展、引入复合函数的概念。
[设计意图： 新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对函数概
念本质的理解，不妨从学生自己的 生活经历和实际问题入手”。因此，新课引入不是
按旧教材从反函数出发，而是选择从两个材料引出对数 函数的概念，让学生熟悉它的
知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型。这样处 理，对数
函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点]
2
（二）尝试画图、形成感知
1．确定探究问题
教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？
学生1：对数函数的图象和性质
教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方法吗？
学生2：先画图象，再根据图象得出性质
教师：画对数函数的图象是否象指数函数那样也需要分类？
学生3：按
a?1
和
0?a?1
分类讨论
教师：观察图象主要看哪几个特征？
学生4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图
教师：在明确了探究方向后，下面，按以下步骤共同探究对数函数的图象：
步骤一：（1）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

y?log
2
x

y?log
1
x

2
第 27 页 共 75 页

（2）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

y?log
3
x

y?log
1
x

3
步骤二：观察对数函数
y?log
2
x
、
y?l og
3
x
与
y?log
1
x
、
y?log
1
x
的图象特征 ，
23
看看它们有那些异同点。
步骤三 ：利用计算器或计算机，选取底数
a
(a?0
，且
a?1)
的若干个 不同的值，在
同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象，它们有哪些共
同特征 ？
步骤四：规纳出能体现对数函数的代表性图象

步骤五：作指数函数与对数函数图象的比较
2．学生探究成果
（1）如图 4—3、4—4较为熟练地用描点法画出下列对数函数
y?log
2
x
、
y?log
1
x
、
y?log
3
x
、
y?log
1
x
的图象
2
3

图4—3


图4—4


（2）如图4—5学生选取底数
a
=14、15、16、110、4、5、6、10， 并推荐几
第 28 页 共 75 页

位代表上台演示‘几何画板’，得到相 应对数函数的图象。由于学生自己动手，
加上‘几何画板’的强大作图功能，学生非常清楚地看到了底数
a
是如何影响
函数
y?log
a
x(a?0
，且< br>a?1)
图象的变化。












图4—5

（3）有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确y = log
a
x
（a>1）、y = log
a
x (0










y = log
a
x （a>1） y = log
a


x (0
图4—6

（4）学生相互补充，自主发现了图象的下列特征：①图象都在y轴右侧，向y轴正
负方向无限 延伸；②都过（1、0）点；③当a>1时，图象沿x轴正向逐步上升；
当0从图象的形状、位置、升降、定点等角度指出指数函 数与对数函数的图象区别；
如图4—7




第 29 页 共 75 页

图4—7






3．拓展探究：（1）对数函数
y?log
2
x
与
y?log
1
x
、
y?log
3
x
与
y?log
1
x
的
2
3
图象有怎样的对称关系？
（2）对数函数y = log
a
x （a>1），当a值增大，图象的上升“程度”
怎样？
说明：这是学生探究中容易忽略的地方，通过补充学生对对数函数图象感性认
识就比较全面。
[设计意图：旧教材是通过对称变换直接从指数函数的图象得到对数函数图象，这样
处理学生虽 然会接受了这个事实，但对图象的感觉是肤浅的；这样处理也存在着
函数教学忽视图象、性质的认知过程 而注重应用的“功利”思想。因此，本节课
的设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的 形成过程，加深感
性认识。同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，确保探究的有效
性。这个环节，还要借助计算机辅助教学作用，增强学生的直观感受]
（三）理性认识、发现性质
1．确定探究问题
教师：当我们对对数函数的图象有了直观认识后，就可以进一步研究 对数函数的
性质，提高我们对对数函数的理性认识。同学们，通常研究函数的性质有
哪些途径？
学生：主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。
教师：现在，请同学 们依照研究函数性质的途径，再次联手合作，根据图象特征
探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对 称性、过定点等性质
2．学生探究成果
在学生自主探究、合作交流的的基础上填写如下表格：
函
y = log
a
x （a>1） y = log
a
x (0数
第 30 页 共 75 页

图 像




定义域
值
域
单调性
过定点
R
+

R








R
+

R
在（0，+
?
）上是减函数
（1，0）即x=1，y=0
00
x>1时，y<0
在（0，+
?
）上是增函数
（1，0）即x=1，y=0
0取值范围 x>1时，y>0

[设计意图：发现性质、弄清性质的来龙去脉，是为了更好揭示对数函数 的本质属性，
传统教学往往让学生在解题中领悟。为了扭转这种方式，我先引导学生回顾指数函数
的性质，再利用类比的思想，小组合作的形式通过图象主动探索出对数函数的性质。
教学实践表明：当 学生对对数函数的图象已有感性认识后，得到这些性质必然水到渠
成]
（四）探究问题、变式训练
问题一：（幻灯）（教材p79 例8） 比较下列各组数中两个值的大小：
(1) log
2
3.4 , log
2
8.5 （2）log
0.3
1.8 , log
0.3
2.7
（3）log
a
5.1 , log
a
5.9 ( a＞0 , 且a≠1 )
独立思考：1。构造怎样的对数函数模型？2。运用怎样的函数性质？
X
?log
0
小组交流：（1）
y?log
2
x
是增函数 （2）
y
是减函数
。
3
（3）y = log
a
x，分
a?1
和
0?a?1
分类讨论
变式训练：1. 比较下列各题中两个值的大小:
⑴ log
10
6 log
10
8 ⑵ log
0.5
6 log
0.5
4
⑶ log
0.1
0.5 log
0.1
0.6 ⑷ log
1.5
0.6 log
1.5
0.4
2．已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：
第 31 页 共 75 页

(1) log

3
m < log

3
n (2) log

0.3
m > log

0.3
n
(3) log
a
m < log
a
n (0 a
m > log
a
n (a>1)
问题二：（幻灯）（教材p79 例9）溶液酸碱度的测量。
H
?
，其中 [ ]
H
?
溶液酸碱度是通过pH刻画的。pH的计算公式为pH= —lg[ ]
表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升。（1）根据对数函数性质及上述pH的计算
公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯静水中氢
10摩尔升，计算纯静水的pH 离子的浓度为[ ] = -
H
?
?7
独立思考：解决这个问题是选择怎样的对数函数模型？运用什么函数性质？
H
?
H
?
H
?
H
?
的增大，pH 减小，即小组交流：pH=-lg[ ]=lg[ ]=lg1[ ], 随着[ ]
溶液中氢离子浓度越大，溶液的酸碱度就越大
[设计意图：1。这个环节不做为本节课的重 头戏，设置探究问题只是从另一层面上提
升学生对性质的理解和应用。问题一是比较大小，始终要紧扣对 数函数模型，渗透函
数的观点（数形结合）解决问题的思想方法；2。旧教材在图象与性质之后，通常操
练类似比较大小等技巧性过大的问题，而新教材引出问题二，还是强调“数学建模”
的思想，并 且关注学科间的联系，这种精神应予领会。当然要预计到，实际教学中学
生理解这道应用题题意会遇到一 些困难，教师要注意引导]
（五）归纳小结、巩固新知
1．议一议：（1）怎样的函数称为对数函数？
（2）对数函数的图象形状与底数有什么样的关系？
（3）对数函数有怎样的性质？
2．看一看：对数函数的图象特征和相关性质

对数函数的图象特征 对数函数的相关性质
a?1

0?a?1

函数图象都在y轴右侧
图象关于原点和y轴不对称
向y轴正负方向无限延伸
函数图象都过定点（1，0）
自左向右看， 自左向右看，
图象逐渐上升 图象逐渐下降
第一象限的图第一象限的图
象纵坐标都大象纵坐标都大
于0 于0
a?1

0?a?1

函数的定义域为（0，＋∞）
非奇非偶函数
函数的值域为R
log
1

0
a
?
增函数
x?1,log
a
x?0

减函数
0?x?1,log
a
x?0

第 32 页 共 75 页

第二象限的图第二象限的图
象纵坐标都小象纵坐标都小
于0 于0
0?x?1,log
a
x?0

x?1,log
a
x?0

（六）作业布置、课后自评
1．必做题：教材P
82
习题2．2（A组） 第7、8、9、12题．
2．选做题：教材P
83
习题2．2（B组） 第2题．
3．
七、教学反思
从教二十多年，每每设计函数的教学，始终存有困惑的感慨，同时也有
遇旧如新的喜悦。函数始终是高中数学教学的主线，对数函数始终是高
中数学的难点。高中新课改的春风 ，带来了函数教学设计上的创新，促
使我们在学生学习方法上、教学内容的组织上、教学辅助手段上率先 尝
试，但这只是一个起点，目前教学条件还受到制约，如图形计算器未能
普及、课时紧容量大， 都影响函数的正常教学，通过这次活动希望能引
起大家的广泛关注并深入探讨！

【参考文献】1。普通高中数学课程标准，人教社，2003
2．章建跃，数学课堂教学设计研究。数学通报，2006.7

宁德市霞浦县第六中学 郭星波
点评：
本文教学目标的设计定位准确，教学重点、 难点明确。从两个实际问
题引出对数函数的概念，让学生了解知识产生的背景，初步感受对数函
第 33 页 共 75 页

数是刻画现实世界的一个重要数学模型。教学设计注重引 导学生用特殊
到一般的方法探究对数函数图象的形成过程，加深感性认识。同时，帮
助学生确定 探究问题、探究方向和探究步骤，确保探究的有效性。同时
借助计算机辅助教学，增强学生的直观感受。
教给学生方法比教给学生知识更重要。本设计能在前一节刚学过指
数函数的图象与性质的基础上 ，通过类比，以旧引新，自然过渡到本节
的学习，用研究指数函数的图象与性质的方法来研究对数函数的 图象与
性质。在教学过程中，教师能引导学生确定探究问题、探究方向和探究
步骤，确保了探究 的有效性；让学生动手画图、观察图象，启发学生思
考、实验、分析、归纳，注重探究的过程与方法。在 这里，教师成为课
堂教学的组织者与学生学习的促进者，而学生成为学习的主人，学会了
学习， 学到了 “对比联系”、“数形结合”及“分类讨论”的思想方法。
另外，教学情景的设置、教学例题 的选用，以及信息技术来动态演
示，都令人耳目一新，体现了教师的良好的素养及丰厚的学科功底。








5、对数函数及其性质（2）

一、教学内容分析
《普通高中课程标准数 学教科书·必修（1）》（人民教育出版社）高中一年级第
二单元2.2.2《对数函数的图象和性质》 第一课时。
函数是高中数学的主体内容——变量数学的主要研究对象之一，是中学数学的重
点 知识，研究函数的一般理论和基本方法，用函数的思想方法解决实际问题，是函数
第 34 页 共 75 页

教学的主要目标。必修(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质，按课标要求教学 时间为3个学时，
本节课为第1课时，本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反< br>比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数，对对数函数概念的理解，图
象和性质的掌 握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性，有利于进一步加深对函
数思想方法的理解。为后面进一步 探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合
应用起到承上启下的作用。
二、学情与教材分析
对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容。学生在前面 的函数
性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数
的概 念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，
加深对函数的思想方法 的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让
学生体验对数函数来源于实践，通过教师课 件的演示，通过数形结合，让学生感受
y=log
a
x(a>0且a≠1)中，a取不 同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组
讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规 律，进而探究学习对数函数的性
质。
最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便 加深对对数函数的概念、
图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备。
三、设计思想 在本节课的教学过程中，通过古遗址上死亡生物体内碳14含量与生物死亡年代
关系的探索，引出对 数函数的概念。通过对底数
a
的分类讨论，探究总结出对数函数
的图象与性质，使学生 经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过
例题的分析与练习，进一步培养学生自主探 索，合作交流的学习方式，通过学生经历
直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落实 培养学生积极探索学
习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。
四、教学目标
1、通过对对数函数概念的学习，培养学生实践能力，使学生理解对数函数的概
念，激发学生的学习兴 趣。
2、通过对对数函数有关性质的研究，渗透数形结合、分类讨论的数学思想。培
养观察、 分析、归纳的思维能力和交流能力，增强学习的积极性。掌握对数函数的图
象与性质，并会初步应用。
3、培养学生自主学习、数学交流能力和数学应用意识。通过联系观点分析，解
决两数比较大小 的问题。
五、教学重点和难点
重点：1、对数函数的定义、图象、性质。
第 35 页 共 75 页

2、对数函数的性质的初步应用。
难点：底数a对对数函数图象、性质的影响。
六、教学过程设计
问题与情境
活动一：
1、你能说出指数函数的概念、图象、
性质吗？
2、（课件演示）
看2.2.1的例6，在t=log
5730
1
2
师生活动

生：回答问题1。
设计意图

通过回顾旧
师：组织学生计算，注知识，使知识得
意引导学生从函数的实际出到联系。
P中，
发，解释两个变量之间的关创设问题情

境，让学生从生
请同学们用计算器计算，在古遗址
系。
上生物体内碳14的 含量P，与之相
教师提出问题，注意引活中发现问题，
对应生物死亡年代t的值，完成下
导学生把解析式概括到激发学生的学习
表：
y=log
a
x形式。 兴趣。
P
t
0.5

0.3

0.01



数特征。

师：(板书)一般地，我

抽象出对数

初步建立对
3、你能归纳出这类函数的一般式吗？
学生思考，归纳概括函数函数模形。
活动二：
归纳给出对数函数的概念


们把函数
y?log
a
x(a?0
且函数的一般形
其中x式，让学生感受
a?1)
叫做对数函数，
x?(0,??)
。 你知道为什么
a?0
且
a?1
和是自变量，定义域为从特殊到一般的x?0
吗？ 数学思维方法，
维能力。
教学引导学生用对数的发展学生抽象思
定义分析、回答。
第 36 页 共 75 页

活动三：
1、你能用描点法画出
y?log
2
x
和

生：独立画图，同学间
交流。


会用描点法
画出这两个函数
的图象。
师：课堂巡视，个别辅
y?log
1
x
的图象吗？









2
导，展示画得较好的个别同
学图象。图5—1





为对数函数
的图象和性质作
铺垫。
的区别在哪里？图象有什么不同和
联系？



图5—1
2、从画出的图象中，你能发现解析式
生：个别同学尝试回答。
师：引导学生发现、观
察、对比底数不同对函数图
象的影响。
活动四：
1、你知道下列函数：
（1）
y?log
2
x,
y?lo g
3
x
，
y?log
4
x
，
（2）y?log
1
x
，
y?log
1
x
，
y?log
1
x

234

生：独立思考，小组讨论。

各个函数的图象。

通过学生讨
论，培养学生交

获得对数函
师：用多媒体课件展示流合作能力。
图象吗？观察并回答有什么共同点和

不同点？


2、你能思考并归纳出
y?log
a
x

(a?0
且
a?1)
中，当
a?1
和
生：观察图象讨论、交数的图象和性

明确底数a
的要素，渗透分
类讨论思想。
流合作，归纳出对数函数的质。
共同性质。

数性质去分析。
0?a?1
时，两种图象的特点吗？

师：注意引导学生从函是确定对数函数
第 37 页 共 75 页

给出对数函数y=log
a
x(a>0且a≠1)的图象和性质。


图
象
O 1
x
O
图5-2
1
x
y
u
通过对数函
数图象的观察，分
析总 结出对数函
数的性质，有利于
加深学生对性质
的理解和掌握，使
学生经历从特 殊
到一般的过程，体
验知识的产生形
成过程，逐步培养
学生的抽象概括
能力。
a?1


y
u
0?a?1

定
义
域
值
域

R
过定点（1，0）
在
x?(0,??)
上为增函数 当在
x?(0,??)
上为减函数
当
x?1时，y?0

当
0?x?1时，y?0

x?(0,??)

当
x?1时，y?0

当
0?x?1时，y?0


生：独立完成。
学生存在的问题，集中讲评。

掌握对数函
活动五：
练习，P
81
，1、画出函数
y?log
3
x
和
y? log
1
x
图象，并且说
3
师：课堂巡视，注意收集数图象的画法。
明这两个函数图象有什么不同点和
相同点？
活动六：
例1、求下列函数的定义域：。
（1）
y?log
a
x
2

（2）
y?log
a
(4?x)











师：（分析）函数的定义 域
明确真数大
必须使函数的解析式有意义，
于0的条件，掌
根据
y? log
a
x
中
x?0
中，所以
握解题步骤。
①中
x
2
?0
，即
x?
0；②
4?x?0,
? x?4
。
师：(板书)解：(1)
?x
2
?0,

即函数
y?log
a
x
2
的定
?x?0
，
义域为
?
xx?0
?
。(2)
?4?x?0,

?x
2
?0,
?x?4
，即函数
?
xx?4
?
。
y?log
a
(4?x)
的定义域为
第 38 页 共 75 页

生：认真听讲，积极思考，
叙述解例1的步骤。
练习：
P
81
,2，求下列函数的定义域：
(1)
y?log
5
(1?x)
(2)
y?
1

log
2
x

师：请4个同学上台板演。
生：独立完成。
对学生完成情况进行点评。

师：(分析)请同学们观察


函数图象性
质，得到进一下
1
(3)
y?log
7
(4)
y?log
3
x
1?3x
师：课堂巡视，个别辅导，的巩固和提高。
活动七：
例2，比较下列各组数中两个值
的大小。
(1)
log
2
3.4

log
2
8.5

(2)
log
0.3
1.8

log
0.3
2.7

(3)
log
2
0.5

log
0.3
0.4

(4)
log
5
6

log
6
5

利用对数函
(1)(2)两题，这两个对数底 数数的单调性，进
相同，因此(1)可认为是行两个函数对数
y?log
2
x
中，x取3.4和8.5值的大小比较，
时的函数值。(2)可认为是函数的性质得到
y?log
0.3
x
中，x取1.8和2.7初步应用。
的函数值。由y?log
a
x
单调性
可以比较，(3)中底数不相同，
真数也 不相同，结合函数图象，
如何共同探索出比较方法，(4)
根据函数的单调性，可寻找中
间量1进行比较。

(板书)解：
增函数，且3.4<8.5，
∴
log
2
3.4?log
2
8.5
；
(2) ∵
y?log
0.3
在(0，+∞)
上是减函数，且1.8<2.7；
∴
log
0.3
1.8?log
0.3
2.7

(3)由
y?log
2
x
图象可知：
log
2< br>0.3?0
由
y?log
0.3
x











补充的（3）
（4）两小题是为
索出各种比较方
法。
(1)∵
y?log
2
x
在(0，+∞)上是
图象可知，
log
0.3
0.4?0
， 了更好地共同探
∴
log
2
0.3?log
0.3
0.4
；
(4)∵
log
5
6?log
5
5?1

log
6
5?log
6
6?1
，
第 39 页 共 75 页

∴
log
5
6?log
6
5
。
练习：P
81
3 比较下列各题中的
两个值的大小。
(1)
log
10
6

log
10
8

(2)
log
0.5
6

log
0.5
4

(3)
log
2
0.5

log
2
0.6

(4)
log
1.5
1.6

log
1.5
1.4

活动八：
33


师：请4个同学上台板演，使学生进一

其余同学独立完成。教师在巡步应用对数函数
视中，个别辅导。结合学生完的性质。
成情况，有针对性的点评。

(补充思考题)看谁能解答下题。 师：鼓励学生大胆尝试。 本题是让部
2
分学有余力的同
设
log
a
?1
，则实数
a
取值范
3
教师注意引导学生用分类学积极 去完成。
围是（ ）
讨论思想，应用函数性质去解培养学生探
22
A、
0?a?
B、
?a?1

33
答。 索精神。渗透分
22
类讨论思想。
C、
0?a?或a?1
D、
a?

3
3
小结：
1、你能归纳出这节课的学习内
容吗？
2、对数函数及其性质和指数函
数及其性质有什么区别和联系？
3、你能谈谈这节课的收获和体
会吗？

小组讨论，合作交流，由

学生在教学
识，进一步巩固
和提高对数函数
及其性质。
学生代表总结表达，教师补充。 反思中，整理知
七、教学反思
函数内容是学生学习 上的一个难点，本节课的教学设计能通过实例，渗透数学方
法和思想，与指数函数的类比学习，注重学生 探究学习的过程。能够根据教学内容、
学生的认知规律和教学设计的情意原则、过程原则进行设计，突出 教师的指导和学生
第 40 页 共 75 页

自主探究、合作交流的学习理 念，使学生对概念的产生、图象的形成过程有了较深入
的理解。通过对对数函数的图象和性质的研究，对 底数
a
的分类讨论，以达到突破难
点的目的。通过例题的分析和讲解、学生的练习，使 函数的图象和性质得到初步应用。
活动八补充的思考题是让层度较好的同学去完成，如果课堂时间不允许 ，可将此部份
内容留给学生课后去完成。
漳平二中邓荣庆
点评
本节课是 根据学生认知规律设计教学，通过学生实践使学生理解对数
函数的概念，其过程是主要的，通过对函数< br>y?log
2
x
和
y?log
1
x
的描点法
2
函数图象的产生，更重要的是对函数
y?log
a
x
(a >0且a≠1)的底数a的变
化，进行观察、分析、归纳等探究活动，形成了对数函数
y?lo g
a
x
(a>0
且a≠1)的底数a>1和0下，结合前面指数函数的学习方法，数形结合，让学生小组讨论、合作
交流 ，一起归纳出对数函数的性质。通过教学活动六，使学生对函数的
概念更深刻的理解。教学活动七，使学 生用函数图象的单调性解决问题。
例2补充的(3)、(4)两个小题，目的是使学生从函数的各个角度 分析问
题，解决问题，培养学生探索精神。最后补充的思考题是让学有余力的
同学去完成，使不 同层次的学生各有所得。
通过小结，让学生对建立和研究一个具体函数的方法有较完整的认
识。








6、函数图象及其应用
第 41 页 共 75 页

一．教学内容分析：
本堂课安排在人教版必修1第 二章结束之后，第三章教学之前，对所学常见函数
模型及其图像进行归纳总结，使学生对函数图像有个系 统的认识，在此基础上，一方
面加强学生的看图识图能力，探究函数模型的广泛应用，另一方面，着重探 讨函数图
像与方程的联系，渗透函数与方程的思想及数形结合思想，为第三章作了很好的铺垫，
承上启下，衔接自然，水到渠成。
学生对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，应遵循由浅入深、 循序渐进的
原则．从学生认为较简单的问题入手，由具体到一般，建立方程的根与函数图像的联
系。另外，函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局
部”，用函数的观点 研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的
结果放在动态的过程中研究，这为今后进 一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠
定了坚实的基础。
二．学生学习情况分析： 学生在学完了第一章《集合与函数概念》、第二章《基本初等函数》后，对
函数的性质和基本初等函 数及其图像有了一定的了解和把握，但学生素质参差不
齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟 与掌握能力的差距很大。因此
进行本堂课的教学，应首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提高综合能力 ，对
新知识的传授，即如何利用函数图像解决方程的根的问题，则应给足学生思考的
空间和时间 ，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。
高中数学与初中数学相比，数学语言在 抽象程度上突变，思维方法向理性层次跃
迁，知识内容的整体数量剧增，以上这三点在函数这一章中得到 了充分的体现，本章
的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。因此，在教
学中应多考虑初高中的衔接，更好地帮助学生借由形象的手段理解抽象的概念，在函
数这一章， 函数的图像就显得尤其重要而且直观。
三．设计思想：

1．尽管我们的教材为学生 提供了精心选择的课程资源，但教材仅是教师在教学
设计时所思考的依据，在具体实施中，我们需要根据 自己学生数学学习的特点，联系
学生的学习实际，对教材内容进行灵活处理，比如调整教学进度、整合教 学内容等，
本节课是必修1第二章与第三章的过渡课，既巩固了第二章所学知识，又为第三章学
习埋下伏笔，对教材做了一次成功的加工整合，正所谓磨刀不误砍材功。
2．树立以学生为主体的意识 ，实现有效教学。现代教学论认为，学生的数学学
习过程是一个学生已有的知识和经验为基础的主动建构 的过程，只有学生主动参与到
学习活动中，才是有效的教学。在本节课的设计中，首先设计一些能够启发 学生思维
的活动，学生通过观察、试验、思考、表述，体现学生的自主性和活动性；其次，设
计 一些问题情境，而解决问题所需要的信息均来自学生的真实水平，要么定位在学生
已有的知识基础，要么 定位在一些学生很容易掌握的知识上，保证课堂上大部分学生
都能够轻松地解决问题。随着学生的知识和 信息不断丰富，可以向学生介绍更多类型
的问题情境或更难的应用问题情境，渗透数学思想，使学生学会 问题解决的一般规律。
3．凡事预则立，不预则废。预设是数学课堂教学的基本要求，但课堂教学不能
过分拘泥于预设的固定不变的程序，应当开放地纳入弹性灵活的成分以及始料不及的
第 42 页 共 75 页

体验。一堂好数学课应该是一节不完全预设的课，在课堂中有教师和 学生真实的情感、
智慧的交流，这个过程既有资源的生成，又有过程状态的生成，内容丰富，多方互动，
给人以启发。
四．教学目标：

1．通过复习所学函数模型及其图像特征， 使学生对函数有一个较直观的把握和
较形象的理解，缓解因函数语言的抽象性引起的学生的心理不适应及 不自觉的排斥情
绪。
2．通过练习的设置，从解决简单实际问题的过程中，让学生体会函数模 型的广
泛适用性，贯穿理论联系实际、学以致用的观点，充分体现数学的应用价值，加强学
生的 看图识图能力，激发学习兴趣，引导学生自觉自主参与课堂教学活动。
3．通过对所给问题（例题1、 2）的自主探究和合作交流，使学生理解动与静，
整体与局部的辨证统一关系，发展学生对变量数学的认 识，体会函数知识的核心作用。
4．结合具体的问题，并从特殊推广到一般，使学生领会函数与方程之 间的内在
联系，体验函数与方程思想、数形结合思想及等价转化思想的意义和价值。
五．教学重点和难点：
教学重点：常见函数模型的图像特征和实际应用。通过课堂师生互动交 流，共同
完成对相关知识的系统归纳，借助多媒体课件演示，增加学生的直观体验，深化认识，
突破重点。
教学难点：利用函数图像研究方程问题的思想和方法。在教学过程中，通过学生
自 主探究学习，在实际问题的解决中学习将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，
充分利用这种结合，寻 找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，实现难点突破。
六．教学过程设计：
环节设置
（一）目
标设疑，
学生解
疑，温故
知新（约
8分钟）
问题驱动
提问1：我们学过哪
些基本初等函数？
对它们的大致图像
还有印象吗？
试回忆所学并完成
表格（后附）
练习1．（后附）
提问2：若将“
a?1
”
改为“
a?0
且
，又该如何选
a?1
”
择？
学情预设
回顾常数函数、一次函
数、二次函数、反比例
函数 、指数函数、对数
函数、幂函数
1
（
a?1,2,3,?1,)
的图
2
像。（板书结合多媒体
演示、实物投影）
设计意图
所有的知识 只有
通过学生自身的“再
创造”活动，才能纳入
其认知结构中，才可能
成为下 一个有效的知
识。教师必需尊重学生
的主体性，让学生自主
参与探究，切实掌握本节课的重点。辅以多媒
体直观演示能使教学
更富趣味性和生动性。

试回忆所学并完成表格：
函数名称
常数函数
一次函数
函数解析式
y?k(k
为常数）
函数大致图像
平行与x轴的一条直线
一条直线
y?kx?b(k,b
为常数）
第 43 页 共 75 页

二次函数
y?ax
2
?bx?c(a,b,c
为常数，
a?0
）
一条抛物线
反比例函数
指数函数
对数函数
幂函数
y?
k
(k?0,k
为常数）
x
一条双曲线
（多媒体演示）
（多媒体演示）
（多媒体演示）
y?a
x
(a?0,a?1)

y?log
a
x(a?0,a?1)

y?x
a
(a?0,a
为常数）
练习1．如图6-1当
a ?1
时，在同一坐标系中，函数
y?a
?x
与
y?log
a
x
的图像是
（ D ）



y
y y y



O
x
O O O
x x
x


(A)
(B) (C)
(D)


图6-1



提问2：若将“
a?1
”改为“
a?0
且
a?1
”，又该如何选择？
环节设置 问题驱动 学情预设 设计意图
（二）演练练习2．（后附） 以问题为驱动，讲练结合，（1）新教材为引巩固，深化提问3：你能否写引入对具体实例的详细剖导学生自主发现、
理解，学以出通话收费S析 ，循序渐进，由浅入深，探索留有比较充
致用（约35（元）关于通话探讨函数模型的广泛应用分的空间 ，在教学
分钟） 时间t（分）的函和函数与方程的等价转化，中我们应充分利
数表达式？这样渗透数形结合思想。（板书用这些空白空间，
的函数称为什么结合多媒体演示） 目标问题化，问题
函数？ 练习2：借助具体实例，了设疑化，过程探讨
例1．（后附） 解简 单的分段函数，这是很化，再给予学生发
师：从函数图像重要的一类函数模型，在实挥的空间，促进他< br>上可以分析函数际问题中有较广泛的应用。们主动地学习和
的性质（如定义本题要求写出函数解析 式，发展，让空白的地
域、值域、单调大约5分钟可完成。 方丰富多彩也是
性、奇偶性等）， 例1：借由函数图像解决函学习方式丰富的
除此之外，函数数性质（值域）是函数图像表现。
第 44 页 共 75 页

（2）对于学生来
说，学习数学的一< br>个重要目的是要
学会数学地思考，
数学能力的提高
离不开解题，解题
教 学重点是向学
生暴露思维过程
x
2
?2x?3?k
和展示学生的思< br>有解，k取何范维过程。例题的设
围？ 计以阶梯式呈现，
提问：一定要画给学生较为充 分
出具体的函数图的时间，自主探究
像吗？不画图有和解决问题，教师
没有办法直接给 在评讲时，有意识
出k的取值范围地渗透数形结合
呢？ 的思想方法，从而
师：数和形 是数达到传授知识、培
学的两种表达形养能力的目的，实
x
2
?2x?3?k
的根的个数
式，在本例中，现难点的化解与
我们借由函数图判断，真的要解方程吗？有 突破。
像（形）解决方其他办法吗？ （3）学习函数和
程的根的个数判认知冲突二：如何作 函数方程的相互等价
断（数），以形辅转化，注意相关内
y?x
2
?2x?3
与
y?k
的
数，这种思想方容的前后联系，使
法称为数形结图像？ 学生加深对所学
合。 结合多媒体辅助演示，作函知识的系统认识，
变式二：依照这促进思维的 深刻
数
y?x
2
?2x?3
与
y?k
样的解题方法 ，性。在潜移默化中
你能否判断方程的图像，利用函数图像交点培养了学生的科
lnx?x?4
的根个数判断方程根的个数。 学态度和理性精
的个数？ 神。
练习2．某地区电信 资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元，
超过3分钟后，每增加1分钟多收费 0.1元（不足1分钟按1分钟收费）。通话收费S
（元）与通话时间t（分）的函数图像可表示为（ B ）

S S S

0.6
0.6
0.6

0.4
0.4
0.4

0.4

0.2 0.2
0.2 0.2

O O
3
6 t 3 6 t 3 6 t

O
3 6 t
O

(A) (B) (D)
(C)
图6-2
第 45 页 共 75 页
图像还有什么妙
用吗？请看例2。
例2．（后附）
适当引导，点拨，
引发认知冲突，
学生探究解决。
变式一：若方程
的重要应用，以概念定义方
式呈现，以分段函数的形式
考察，足见题目设计的新
颖，对 学生较有吸引力和挑
战性，给足学生思维、探究、
讨论的时间，大约10分钟
方可完成 。
例2：恰当的问题情境，能
引发学生的认知冲突，使学
生产生明显的意识倾向和< br>情感共鸣，激发他们的求知
欲和探索精神，引导学生主
动思考。这个问题涉及本课
题的核心内容，给学生充足
的探究时间，大约20分钟
可完成。
具体可能的认知冲突有二：
认知冲突一：方程

提问3：你能否写出通话收费S（元）关于通话时间t（分）
(0?t?6)
的函数表 达式？
这样的函数称为什么函数？
?
b(a?b)
例1．若定义运算
a?b?
?
，则函数
f(x)?3
x
?3
?x
的 值域为（ A ）
?
a(a?b)
(A)(0,1](B)[1,??)C.( 0,??)D.(??,??)

例2．当
k?
环节设置
（三）理
论升华，
思维拓
展，总结
评价（约
2分钟）

时，方程
x
2
?2x?3?k
有两解？有三解？有四解呢？无解呢？
问题驱动 学情预设 设计意图
提问：这节课我们学习了那总结学习内容，归提纲挈领，理清 基
些内容？哪些方法？哪些纳学习方法，提升本内容，形成知识
数学思想？（课堂小结后数学思 想，拓展学体系，提升数学思
附） 生思维，完成总结想，使本节内容不
课后作业：（后附） 评价。 再浮于表面。
1．写下本节课的学习心得
体会。
2．完成三道课后习题
课堂小结：
本节课复习了常见函数模型及其图像特征，体会到利用函数图像解决函数性质的< br>形象和直观，学习函数和方程的相互等价转化，体会函数方程思想与数形结合思想的
意义和价值。
正如华罗庚所说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分
家万事休。
课后作业：
1．总结本节课的学习心得体会。
波利亚（G·Polya）先生曾指 出“一个重大的发现可以解决一道重大的题目，但
是在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现”。 可见，习题在数学学习中具有
非常重要的作用。
学莫贵于自得，请你写下本节课的学习心得体会。




2．课后习题：
1．某工厂八年来产品总产量C（即前t年年产量之和）与时间t（年）的函 数如图6-3，
下列四中说法：
C
（1）前三年中，产量增长的速度越来越快；
（2）前三年中，产量增长的速度越来越慢；
第 46 页 共 75 页
O
3 8 t

（3）第三年后，这种产品停止生产；
（4）第三年后，年产量保持不变；

图6-3
其中，说法正确的是（ A ）
（A）（2）与（3） （B）（2）与（4） （C）（1）与（3） （D）（1）与（4）
2．若关于x的方程
x
2
?6x?8?k?0
有且只有两个不同的实根，则（ ）
(A)k?0(B)k?1(C)0?k?1(D)k?1或k?0

3．如图6-4 ，函数的图像由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数
f(x)
的解析式。
变式：讨论方程
f(x)?a
的根的个数。







附：板书设计
函数名称
常数函数
一次函数
二次函数
函数解析式
y?k(k
为常数）
y?kx?b(k,b
为常数）
y
2
1
O
1 2 3 4
x
图6-4

函数大致图像
……
……
……

















y?ax
2
?bx?c(a?0,a,b,c,
为
常数）
反比例函数
指数函数
对数函数
幂函数
1.常见函数模型
2．分段函数
练习2：……
例1．……
k
y?(k?0,k
为常数）
x
y?a
x
(a?0,a?1)

y?log
a
x(a?0,a?1)

y?x
a
(a?0,a
为常数）
……
……
……
……
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例2．……

七．教学反思

1．对教学内容的反思：
对于数学教师来说，他要从“教”的角度去看数学去挖掘数学，不仅 要能“做”、
“会理解”，还应当能够教会别人去“做”、去“理解”，因此教师对教学概念的反思应当从逻辑的、历史的、关系、辨证等方面去展开。
从逻辑的角度看，函数概念主要包含定义域 、值域、对应法则三要素，以及函数
的单调性、奇偶性、对称性等性质和一些具体的特殊函数，如：指数 函数、对数函数
等这些内容是函数教学的基础，但不是函数的全部。
从关系的角度来看，不 仅函数的主要内容之间存在着种种实质性的联系，函数与
其他中学数学内容也有着密切的联系，其中就包 括方程的根与函数的图象之间的等价
转化问题。
2．对学生数学学习活动的反思：
师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大
的差异，这些差异使得 他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。学生的数学学
习只有通过自身的操作和主动的参与才可能 是有效的，更为进一步的是学生的数学学
习只有通过自身的情感体验，树立坚定的自信心才可能是成功的 。为此，本节课在教
学中着力于为学生提供丰富多彩的问题情境，关注学生的情感和情绪体验，让学生投
入到现实的、充满探索的数学学习过程中，从而提高数学学习的水平，养成正确的学
习态度和习 惯。
3．对数学教学活动的反思：
教学设计的难点在于教师把学术形态的知识转化为适合学 生探究的认知形态的
知识。学生的认知结构具有个性化特点，教学内容具有普遍性要求。如何在一节课中
把二者较好地结合起来，是提高课堂教学效率的关键。本节课致力于提高课堂教学的
有效性，其 一，有明确的教学目标，其二，能突出重点、化解难点，其三，善于运用
现代化教学手段，其四，根据具 体内容，选择恰当的教学方法，其五，关注学生，及
时鼓励，其六，充分发挥学生主体作用，调动学生的 学习积极性，其七，切实重视基
础知识、基本技能和基本方法，其八，渗透数学思想方法，提高综合运用 能力。在实
际教学中应因材施教，用不一样的标准衡量学生，尽量做到让不同的学生得到不同的
第 48 页 共 75 页

发展。
晋江养正中学 黄培华
点评：

在环节（一）中，考虑到学生的知识水 平和理解能力，从学生熟悉
的知识入手，通过适当的问题情景，引导学生在有限的时间内完成对所
学函数模型及其图像的归纳和总结，让学生思考回顾、动手画图、课堂
交流、亲身实践、温故知新。新 课程理念指出，学生是学习的主体，所
有的知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知结 构中，
才可能成为下一个有效的知识。
在环节（二）中，通过练习2的设置，使同学认识了分 段函数及其
在实际生活中的应用，拓展学生的思维；在例1、例2的引入和剖析中，
将问题情境 化，过程探讨化，通过精心设计问题情境，不断激发学生的
学习动机，给学生提供学习的目标、思维和空 间，使学生自主学习真正
成为可能。新课程的教学理念转变为具体的教学行为时“问题情境”在
教学中的设置，显得格外重要，而且随着教学过程的发展成为一个连续
的过程，并通过有效追问形成几个 高潮，使学生在问题的解决中不断的
学习。对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学的思考 ，
用数学的眼光去看世界去了解世界。而数学能力的提高离不开解题，“解
题策略的掌握，思想 方法的运用，并不在于教师讲了多少，而是在于学
生通过自己的认识活动体验、感悟了多少。”这两个例 题尽管较为简单，
但蕴含着重要的数学思维方法和思想精髓，具有典型性和示范性。不为
解题而 解题，为的是通过解题，让学生感悟和体验数学的理性精神，在
第 49 页 共 75 页

潜移默化中渗透数学思想。
新课程在教学方面具有三大核心理念，即建构性、 生成性、多元性，
这些理念对于改造传统的课堂教学起到了巨大作用。然而，这些理念在
指导我 们重建课堂教学时也表现出限定的有效性。只有对此有客观和充
分的认识，我们才不至于生搬硬套，适得 其反，从一个极端走向另一个
极端。教无定法，重在得法，只要能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握和运
用，达到课堂教学的效果，都 应该是好的教学方法。











7、方程的根与函数的零点

一、 教学内容分析
本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第94-95页的< br>第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的的零点。
函数与方程是中学数学的重要内容，既是 初等数学的基础，又是初等数学与高等
数学的连接纽带。在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数 与方程都有着十分
重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在< br>整个高中数学教学中占有非常重要的地位。
就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断 一元二次方程根的存在性以
及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然 后由特
殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程
第 50 页 共 75 页

与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展 。之后将函数零点与方
程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型 以及模型
的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗
透“方程与函数” 思想。
总之，本节课渗透着重要的数学思想 “特殊到一般的归纳思想” “方程 与函数”
和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教
好 本节是至关重要的。
二 学生学习情况分析
地理位置：学生大多来自市区，学生接触面较广 ，个性较活跃，所以开始可采用
竞赛的形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，但进一步钻研的 精神相差较
大，所以可适当对知识点进行拓展。
程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高与程度很差的学生占少数。
知识、心理、 能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画
简单函数的图象，也会通过图象去研究 理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点
提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函 数零点的存在性，因此从
学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易 理解
的。再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以
及存在 性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。这也为我们归纳函数的零点与
方程的根联系提供了知识基 础。但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三
次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更 多类型的例子，让学生从特殊到一般
归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与 方程根的联系应
该是学生学习的难点。加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂。因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，
并充分提供不同 类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归
纳、总结、分析出二者的联系。
三 设计思想
教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣
教学原则：注重各个层面的学生
教学方法：启发诱导式
四、教学目标
以 二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数
的零点的关系，发现并掌握 在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在
某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。 让学生在探究过程中体验发现的乐
趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的 辨证思维以及
第 51 页 共 75 页

分析问题解决问题的能力。
五、教学重点难点
重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。
难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。
六、教学程序设计
1 方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索

1.1方程的根与函数的零点
问题1：解方程（比赛）：①6
x－
1=0 ；②3
x
2
＋6x
－
1=0 。

再比赛解3
x
3
＋6
x
－1=0
设计意图：问题1（产生疑问，引起兴趣，引出课题）
比赛模式引入，调动积极性，可根据学 分评定中进行过程性评定加分奖励，充
分调动学生积极性和主动性。
第三题学生无法解答，产 生疑惑引入课题：教师介绍说一次方程、二次方程甚
至三次方程、四次方程的解都可以通过系数的四则运 算，乘方与开方等运算来表示，
但高于四次的方程一般不能用公式求解，如 3x
5
＋6x－1=0 紧接着介绍阿贝尔（挪
威）定理（五次及高于五次的代数方 程没有一般的代数解法），伽罗瓦（法国）的
近世代数理论，提出早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家 就提出了高次方程数值
解的解法，振奋学生的民族自豪感，最后引出人们一直在研究方程的近似解方法二
分法引入课题。
问题2：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如
图7-1 1
方程
x
2
?2x?3?0
与函数
y?x
2< br>?2x?3
○
2
方程
x
2
?2x?1?0
与函数
y?x
2
?2x?1
○
3
方程
x
2
?2x?3?0
与函数
y?x
2
?2x?1
○





[师生互动]
师：教师引导学生解方程、画函 数图象、分析方程的根与图象和
x
轴交点坐标的
关系，推广到一般的方程和函数引出零 点概念。
零点概念：对于函数
y
＝
f
（
x
）（< br>x
∈
D
），把使
f
（
x
）＝0成立的实数< br>x
叫做函数

图7-1

第 52 页 共 75 页

y
＝
f
（
x
）（
x∈
D
）的。
师：填表格
函数
方程的根
y?x
2
?2x?3

y?x
2
?2x?1

y?x
2
?2x?1

函数的零点





生：经过独立思考，填完表格
师提示：根据零点概念，提出问题，零点是点吗？零点与函数方程的根有何关系？
生：经过观察表格，得出第一个结论
师再问：根据概念，函数
y
＝
f
（
x
）的零点与函数
y
＝
f
（
x
）的图象与
x
轴交点有什
么关系
生：经过观察图像与
x
轴交点完成解答，得出第二个结论
师：概括总结前两个结论（请学生总结）。
1）概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐 标的形式出现,而是实数。例如
函数
y?x
2
?2x?3
的零点为x =-1,3
2）函数零点的意义：函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x )?0
实数根，亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标．
3）方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点。
师：引导学生仔细体会上述结论。
再提出问题：如何并根据函数零点的意义求零点？
生：可以解方程
f(x)?0
而得到（代数法）；
可以利用函数
y?f(x)
的图象找出零点．（几何法）
问题2一方面让学 生理解函数零点的含义，另一方面通过对比让学生再次加深
对二者关系的认识，使函数图象与x轴交点的 横坐标到函数零点的概念转变变得更自
然、更易懂。通过对比教学揭示知识点之间的密切关系。
问题3：是不是所有的二次函数都有零点？
师：仅提出问题，不须做任何提示。
生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形
成结论．
二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
的零点：看△
１）△＞０，方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根，二次函数的图象与< br>x
轴有两个交
点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程
ax2
?bx?c?0
有两相等实根（二重根），二次函数的图象与
x
轴有一 个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
第 53 页 共 75 页

３）△＜０，方程
ax
2
?bx?c?0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二次
函数无零点．
第一阶段设计意图
本节的前半节一直以 二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面
总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰 的解题思路。进而培养学生归纳总结能力。
1.2零点存在性的探索
[师生互动]
师：要求生用连续不断的几条曲线连接如图4
A
、
B
两点，观察 所画曲线与直线
l
的
相交情况，由两个学生上台板书：



．A


a

b

．B
图4
生：两个学生画出连接
A
、
B
两点的几条曲线后发现这些曲线 必与直线
l
相交。
师：再用连续不断的几条函数曲线连接如图
A
、
B
两点，引导学生观察所画曲线与直
线
l
的相交情况，说明连接A
、
B
两点的函数曲线交点必在区间 (
a
，
b
) 内。
生：观察下面函数
f
（
x
）＝0的图象（如图5）并回答
l

图5
①区间[
a
，
b
]上____ __(有无)零点；
f
（
a
）·
f
（b）_____0（＜ 或＞）。
②区间[
b
，
c
]上______(有无)零点；
f
（
b
）·
f
（
c
）_____0（＜或＞）。
③区间[
c
，
d
]上______(有无)零点；
f
（
c
）·
f
（
d
）_____0（＜或＞）。
师：教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，
与函数零点是否存在之间 的关系。
生：根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行
交流 、评析总结概括形成结论）
一般地，我们有：如果函数
y
＝
f
（< br>x
）在区间[
a
，
b
]上的图象是连续不断的一条
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曲线并且有
f
（
a
）·< br>f
（
b
）<0，那么函数
y
＝
f
（
x
）在区间（
a
，
b
）内有零点，即存
在
c ∈（
a
，
b
），使得
f
（
c
）=0， 这个
c
也就是方程
f
（
x
）＝0的根。
第二阶段设计意图：
教师引导学生探索归纳总结函数零点存在定理，培养归纳总结能力和逻辑思维
2、例范研究
例1.已知函数
f
（
x
）= －3
x
5
－6
x
＋1有如下对应值表：
x －2 －1.5 0 1 2
f
（
x
） 109 44．17 1 －8 －107
函数y＝f（x）在哪几个区间内必有零点？为什么？
设计意图通过本例引导探索，师生互动
探求1：如果函数
y
＝ f（x）在 区间[
a
，
b
]上的图象是连续不断的一条曲线，并
且有
f
（
a
）·
f
（b）>0时，函数在区间（
a
，b
）内没有零点吗?
探求2：如果函数y＝f（x）在区间[
a
，b
]上的图象是一条连续不断的曲线，并
且有
f
（
a
） ·
f
（b）<0时，函数在区间（
a
，
b
）内有零点，但是 否只一个零点？
探求3：如果函数y＝f（x）在区间[
a
，
b
] 上的图象是一条连续不断的曲线，并
且函数在区间（
a
，
b
）内有零 点时一定有
f
（
a
）·
f
（b）<0 ？
探求4 ：如果函数
y
＝
f
（
x
）在区间[
a
，< br>b
]上的图象不是一条连续不断的曲线，
函数在区间（
a
，
b
）内有零点时一定有
f
（
a
）·
f
（b）<0 ？
图5（反例）

师：总结两个条件：
1）函数
y
＝ < br>f
（
x
）在区间[
a
，
b
]上的图象是连续 不断的一条曲线
2）在区间[
a
，
b
]上有
f
（
a
）·
f
（b）<0
一个结论：函数
y
＝
f
（
x
）在区间[
a
，
b
]内单调则函数 在这个区间内有且只有
一个零点
补充：什么时候只有一个零点？
（观察得出）函数
y
＝
f
（
x
）在区间[
a
，
b< br>]内单调时只有一个零点
例2．求函数
f(x)?lnx?2x?6
的零点个数．问题：
1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？
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第三阶段设计意图：
教师引导学生理解函数零点存在定理，分析其 中各条件的作用,应用例1，例2
加深对定理的理解
3、练习尝试(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整)
1．求函数
y?x< br>3
?2x
2
?x?2
，并画出它的大致图象．
2．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1）
x
2
?x?2?0
；（2）
f(x)?e
x
?4x
；
3．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）
f(x)??x< br>3
?3x?3
；（2）
f(x)?2xln(x?2)?3
；
[师生互动]
师：多媒体演示；结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性 说明
零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数
零点中的重 要作用．
生：建议学生使用计算器求出函数的大致区间，培养学生的估算能力，也为下一节的
用二分法求方程的近似解做准备。
第四阶段设计意图：利用练习巩固新知识，加深理解，为用二分法求 方程的近似解做
准备

4、探索研究(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整)
讨论：请大家给方程
x
2
?e
x
?3?0
的一个解 的大约范围，看谁找得范围更小？
[师生互动]
师：把学生分成小组共同探究，给学生足够 的自主学习时间，让学生充分研究，发挥
其主观能动性。也可以让各组把这几个题做为小课题来研究，激 发学生学习潜能和
热情。老师用多媒体演示，直观地演示根的存在性及根存在的区间大小情况。
生：分组讨论，各抒己见。在探究学习中得到数学能力的提高
第五阶段设计意图：

一是为用二分法求方程的近似解做准备

二是小组探究合作学习培养学生的创新能力和 探究意识，本组探究题目就是为了
培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，基本上可 以达到上述目
的。
5课堂小结：
零点概念
零点存在性的判断
零点存在性定理的应用注意点：零点个数判断以及方程根所在区间
6作业回馈
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教材P
108
习题3．1（A组）第1、2题；
思考：总结函数零点求法要注意的问题；思考可以用求函数零点的方法求方程的
近似解吗？
教学程序设计框图：



组织探究

二次函数的零点及零点存在性的．
研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符
号，并尝试进行系统的总结。
零点存在性为练习重点。
创设情境
结合实际问题诱发兴趣，结合二次函数引入课


尝试练习
教学建议
探索研究
分析教材设计意图，探讨教学规律；
探索合理教学思想，提出教学建议。

进一步探索函数零点存在性的判定。
七、教学反思

作业回馈
重点放在零点的存在性判断及零点的确定上。
本设计遵循了由浅入深、循序渐进的原则，分三 步来展开这部分的
内容。第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入
课外活 动
手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的
联系，然后将其推广 到一般方程与相应的函数的情形。第二步，在用二
分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究 方程的解，体现
函数与方程的关系。第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数
模型以及 模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数
与方程的联系。本节只是函数与方程的关系 建立的第一步，教学中忌面
面具到，延展太深。
恰当使用信息技术：本节的教学中应当充分使 用信息技术。实际上，
一些内容因为涉及大数字运算、大量的数据处理、超越方程求解以及复
杂 的函数作图，因此如果没有信息技术的支持，教学是不容易展开的。
因此，教学中会加强信息技术的使用 力度，合理使用多媒体和计算器。
泉州九中陈美珠
点评
本节课在尝试解答五次方 程失败后，教师用浓缩的数学史的简介活
跃了课堂气氛，使学生受到数学文化的熏陶，并产生探索新知识 的欲望。
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紧接着，借助二次函数的图象与
x
轴是否有交点的事实与一元二次方程
的根的关系出发，建立一元二次方程的根与相应的二次 函数的零点的联
系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形，引入了函数零点的
定义，体 现了从具体到一般的思维过程。随后，利用函数图像和几个填
空题引导探索函数零点的存在，初步得到函 数零点存在的判定方法，体
现了数形结合的思想方法。为了多角度深刻理解函数零点存在定理的内
涵，教师构造了4个探究问题。4个探究问题是本节课亮点，例子设计精
巧，层层递进，由此引发了学 生积极的思考、探索与交流。
设计中体现了师生主动参与体验的有机结合，激发了学生探索新知
的兴趣，重点突出，容量适中，由浅入深，环环相扣。整个教学过程教
师只是指导、点评，充分展示知 识发生、发展的过程，由学生自主建构，
在此过程中获得对知识的亲身体验，把教学的主动权给了学生， 鼓励学
生自主探索、研究性学习，使学生成为真正意义上的学习主人。
值得商讨的是，在给出 函数零点的概念后，要让学生明确“方程的
根”与“函数的零点”尽管有密切的联系，但不能将它们混为 一谈。这
是个难点，教师未能在此有所突破。



8、用二分法求方程的近似解

一、教学内容分析 < br>本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》的第三章3.1.2
用二分法 求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信
息技术工具计算器用二分法求 相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常
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< br>用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数
知识的拓展， 既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程
思想、数形结合思想、二分法的算 法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位．

二、学生学习情况分析
学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转
化思想．但是 对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次
方程和超越方程对应函数零点的寻 求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对
他们是一个全新的问题．
三、设计思想 < br>倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的
数学思维能力，发 展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在
本质，注意适度形式化；在教与学的 和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术
与数学课程的合理整合.
四、教学目标
通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，从
中体会函数的零 点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；能借助计算器用二
分法求方程的近似解，让学生能够初 步了解逼近思想；体会数学逼近过程，感受精确
与近似的相对统一；通过具体实例的探究，归纳概括所发 现的结论或规律，体会从具
体到一般的认知过程．
五、教学重点和难点
1．教学重 点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方
程根之间的联系，初步形成用函数观点处理 问题的意识．
2．教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利
用二分法求给定精确度的方程的近似解．
六、教学过程设计
（一）创设情境，提出问题 < br>问题1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了
故障．这是一条1 0km长的线路，如何迅速查出故障所在？
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要 爬一次电线杆子．10km
长，大约有200多根电线杆子呢．
想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题 入手，激活学生的思维，形成学生
再创造的欲望．注意学生解题过程中出现的问题，及时引导学生思考， 从二分查找的
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角度解决问题．
[学情预设] 学生独立思考，可能出现的以下解决方法：
思路1：直接一个个电线杆去寻找．
思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点．
老师从思路2入手，引导学生解决问题：




如图， 维修工人首先从中点C．查用随身带的话机向两个端点测试时，发现AC
段正常，断定故障在BC段，再 到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD
段，再到CD中点E来查．每查一次，可以把待 查的线路长度缩减一半，如此查下去，
不用几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近．
师：我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件）．
在一条线段上找某个特定点， 可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围
（即二分法思想）．
[设计意图] 从实 际问题入手，利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点，
通过演示让学生初步体会二分法的算法思想 与方法, 说明二分法原理源于现实生活，
并在现实生活中广泛应用．
（二）师生探究,构建新知
问题2：假设电话线故障点大概在函数
f(x)?l nx?2x?6
的零点位置，请同学们
先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？
1．利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，通过具体的函数图象帮
助学生 理解闭区间上的连续函数，如果两个端点的函数值是异号的，那么函数图象就
一定与
x
轴相交，即方程
f(x)?0
在区间内至少有一个解（即上节课的函数零点存在
性定理 ，为下面的学习提供理论基础）．引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零
点的意义，掌握常见 函数零点的求法，明确二分法的适用范围．
2．我们已经知道，函数
f(x)?lnx?2x ?6
在区间（2，3）内有零点，且
f(2)
＜
0，
f(3)
＞0.进一步的问题是，如何找出这个零点？
合作探究：学生先按四人小组探究.（倡导学生积极交 流、勇于探索的学习方式，
有助于发挥学生学习的主动性）
生：如果能够将零点所在的范围尽 量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可
以得到零点的近似值.
师：如何有效缩小根所在的区间？
生1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．
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生2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点 ”的方法逐步缩小零点所在的范
围？
师：很好，一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范 围尽量缩小，那么在一
定精确度的要求下，可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或四 等分点”
都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取
中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便.因此，为了方便，下面通过“取
中点”的方法 逐步缩小零点所在的范围.
引导学生分析理解求区间
(a,b)
的中点的方法
x?
a?b
．
2
合作探究：（学生2人一组互相配合，一人按计算器， 一人记录过程．四人小组
中的两组比较缩小零点所在范围的结果．）
步骤一：取区间(2，3 )的中点2.5，用计算器算得
f(2.5)??0.084?0
.
由
f( 3)
＞0，得知
f(2.5)?f(3)?0
，所以零点在区间(2.5，3)内。
步骤二：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得
f(2.75)?0. 512?0
.因为
f(2.5)?f(2.75)?0
，所以零点在区间(2.5，2 .75)内.
结论:由于(2，3)
(2,3)?(2.5,3)?(2.5,2.75 )
，所以零点所在的范围确实越来越小
了. 如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在 有限次重复上述步骤后，将所
得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间 端点作为
函数零点的近似值．
引导学生利用计算器边操作边认识，通过小组合作探究，得出教 科书上的表3—
2，让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质，培养学生合作学习的良好品质． < br>[学情预设]学生通过上节课的学习知道这个函数的零点就是函数图象与x轴的交
点的横坐标，故 它的零点在区间（2，3）内．进一步利用函数图象通过“取中点”逐
步缩小零点的范围，利用计算器通 过将自变量改变步长减少很快得出表3—2，找出
零点的大概位置．
[设计意图]从问题1到 问题2，体现了数学转化的思想方法，问题2有着承上启
下的作用，使学生更深刻地理解二分法的思想， 同时也突出了二分法的特点．通过问
题2让学生掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．
3.问题3：对于其他函数，如果存在零点是不是也可以用这种方法去求它的近似
解呢？
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引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归 纳方法的一般性过程之后得出二
分法及用二分法求函数
f(x)
的零点近似值的步骤．
对于在区间
[a
，
b]
上连续不断且满足
f(a)
·
f(b)
?0
的函数
y?f(x)
，通过不断
地把函数< br>f(x)
的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而
得到零点近 似值的方法叫做二分法．
注意引导学生分化二分法的定义（一是二分法的适用范围，即函数
y ?f(x)
在区
间
[a
，
b]
上连续不断，二是用二分法求 函数的零点近似值的步骤）．
给定精确度
?
，用二分法求函数
f(x)
的零点近似值的步骤如下：
1、确定区间
[a
，
b]
，验证
f(a)
·
f(b)
?0
，给定精确度
?
；
2、求区间
(a
，
b)
的中点
c
；
3、计算
f(c)
：
（1）若
f(c)
=
0
，则
c
就是函数的零点；
（2）若
f(a)
·
f(c)
<
0
，则令
b
=
c
（此时零点
x
0
?(a,c)
）；
（3）若
f(c)
·
f(b)
<
0
，则令
a=
c
（此时零点
x
0
?(c,b)
）；
4、判断是否达到精确度
?
：
即若
|a?b|?
?
，则得到零点零点值
a
（或
b
）；否则重复步骤2—4．
利用二分法求方程近似解的过程，可以简约地用下图表示．













[学情预设] 学生思考问题3举出二次函数外，对照步骤观察函数
f(x)?lnx?2x? 6
的图象去体会二分法的思想．结合二次函数图象和标有
a
、
b
、< br>x
0
的
结束
满足精确度
是
否
中点函数值为零
是
否
取新区间
取区间中点
初始区间
数轴理解二分法的算法思想与计算原理．
[设计意图]以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，给学生“数
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学创造”的体验，有利与学生对知识的掌握，并强化对二分法原理的 理解．学生在讨
论、合作中解决问题，充分体会成功的愉悦．让学生归纳一般步骤有利于提高学生自主学习的能力，让学生尝试由特殊到一般的思维方法．利用二分法求方程近似解的过
程，用图表示， 既简约又直观，同时能让学生初步体会算法的思想．
（三）例题剖析，巩固新知
例：借助计 算器或计算机用二分法求方程
2
x
?3x?7
的近似解（精确度0.1）.
两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程，
教师点评.
本例鼓励学生自行尝试，让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐.此
例让学生体会用 二分法来求方程近似解的完整过程，进一步巩固二分法的思想方法.
思考：
问题（1）：用二分法只能求函数零点的“近似值”吗？
问题（2）：是否所有的零点都可以用二分法来求其近似值？
教师有针对性的提出问题，引导学生回答，学生讨论，交流. 反思二分法的特点，
进一步明确 二分法的适用范围以及优缺点，指出它只是求函数零点近似值的“一种”
方法.
[设 计意图]及时巩固二分法的解题步骤,让学生体会二分法是求方程近似解的有
效方法.解题过程中也起到 了温故转化思想的作用．
（四）尝试练习，检验成果
1、下列函数中能用二分法求零点的是（ ）.
y
。
(A)
(B)
(C)
o
(D)
x

[设计意图]让学生明确二分法的适用范围.
2、用二分法求图象是连续不断的函数
y?f(x)
在
x
∈(1,2)内零点近似值的过程中得
到
f(1) ?0
,
f(1.5)?0
,
f(1.25)?0
,则函数的零点落在 区间（ ）.
(A)（1,1.25） (B)（1.25,1.5） (C)（1.5,2） (D) 不能确定
[设计意图]让学生进一步明确缩小零点所在范围的方法.
第 63 页 共 75 页 < /p>

3．借助计算器或计算机，用二分法求方程
x?3?lgx
在区间（2， 3）内的近似解（精
确度0.1）.
[设计意图] 进一步加深和巩固对用二分法求方程近似解的理解.
（五）课堂小结，回顾反思
学生归纳，互相补充，老师总结：
1、理解二分法的定义和思想，用二分法可以求函数的零点 近似值，但要保证该
函数在零点所在的区间内是连续不断；
2、用二分法求方程的近似解的步骤.
[设计意图]帮助学生梳理知识,形成完整的知识结构 .同时让学生知道理解二分
法定义是关键，掌握二分法解题的步骤是前提，实际应用是深化.
（ 六）课外作业
1．[书面作业]第92页习题3.1A组3、4、5；
2．[知识链接]第91页阅读与思考“中外历史上的方程求解”．
3．[课外思考]:如果 现在地处学校附近的地下自来水管某处破裂了,那么怎么找出
这个破裂处,要不要把水泥板全部掀起?
板书设计
§3.1.2用二分法求方程的近似解
1．二分法的定义
2．用二分法求函数的零点近似值的步骤
3．用二分法求方程的近似解


七、教学反思
这节课既是一堂新课又是一堂探究课.整个教学过程,以问题为教学出发点, 以
教师为主导，学生为主体，设计情境激发学生的学习动机，激励学生去取得成功，顺
应合理的 逻辑结构和认知结构，符合学生的认知规律和心理特点，重视思维训练，发
挥学生的主体作用，注意数学 思想方法的溶入渗透，满足学生渴望的奖励结构.整个
教学设计中，特别注重以下几个方面：
（1）重视学生的学习体验,突出他们的主体地位.训练了他们用从特殊到一般,再
由一般到特殊的思维 方式解决问题的能力.不断加强他们的转化类比思想.
（2）注重将用二分法求方程的近似解的方法与 现实生活中案例联系起来，让学生
体会数学方法来源于现实生活，又可以解决生活中的问题.
（3）注重学生参与知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，使他们“听”有
所思，“学”有所获， 增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣.
（4）注重师生之间、同学之间互动，注重他们之间的相互协作，共同提高.
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福建师大附中 周裕燕

点评：
本节 课既是一堂新课又是一堂探究课.如何在数学课堂教学中体现新
课程理念，本课例进行了有益的探索。整 个教学设计过程,以问题为出发
点,以教师为主导，学生为主体，设计的问题情境顺应合理的逻辑结构和
认知结构，符合学生的认知规律和心理特点，有效地激发了学生的学习
动机；重视思维训练，注 意数学思想方法的溶入渗透。
本节课采用 “问题情境— 意义建构— 数学理论— 数学运用— 回
顾反思” 的教学流程。周老师在课题引入时，以实际问题为背景，以学
生感觉较简单的问题 入手，“让学生找出电话线故障点，”有效地激发学
生学习的欲望和探究的兴趣。采用探究教学方式，在 师生共同探究的过
程中，构建新的知识，既让学生了解数学概念和结论产生的过程，同时
也培养 了学生独立思考和勇于质疑的品质。此外，周老师在本课例的设
计中，能很好地将现代信息技术与数学课 程进行有机的整合，使“方法
建构、技术运用、算法渗透”三者同步发展。
“用二分法求方程 的近似解”是对函数知识的拓展，既体现了函数在
解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程 思想、数形结合
思想、二分法的算法思想打下了基础。周老师不仅注意到本节知识在这
一章中的 重要性，而且还注意将本节知识与现实生活中的案例联系起来，
让学生体会数学方法来源于现实生活，又 可以解决生活中的问题。


9、用二分法求方程的近似解

一、教学内容分析
本节选自《普通高中课程标准实验教科书 ·数学1》人教A版第三单 元第一节
第二课，主要是分析函数与方程的关系。教材分三步来进行：第一步，从学生认为较
简 单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根
与相应函数的零点的联 系。然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二
分法求方程近似解的过程中，通过函数图像 和性质来研究方程的解，体现方程和函数
的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及 模型的求解，更全面
的体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系。
本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解。它以上节课的“连
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续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据，从求方程近似解 这个侧面来
体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的
思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注
数学文化以及重视信 息技术应用”的理念。求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思
想，并且运用“二分法”来逼近目标是一 种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据。
二、学生学习情况分析

同学们有 了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生
活，是由生活中抽象而来的，只要我 们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗
透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解 这种方法。其中运用“二分
法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将 “二分
法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”。
三、设计理念

本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实
际应用 的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合
的教学方法，注重提高学生 数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经
历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示 、运算求解、数据处理、反思与建构
等思维过程。
四、教学目标
1、理解二分法的 概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技
术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方 程近似值的过程；
2、体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；
让学生能够了解近似逼近思想，培养学生能够探究问题的能力和创新能力，以及
严谨的科学态度 ；
3、体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难
时，通过迂 回的方法得到解决的快乐。
五、教学重点与难点
教学重点是
能够借用计算器，用二 分法求相应方程的近似解。根所在区间的确
定及逼近的思想；难点是对二分法的理论支撑的理解，区间长 度的缩小。
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六、教学过程设计
1．教学基本流程图
深入探索发现问题提出课题“如
何求函数零点？”
经历游戏过程探索一般规律“二分法”
通过游戏感受身边的数学
解决问题“如何应用二分法求函数的零点”
应用所得方法解决实际问题“求出函数的零点”
通过练习与作业进行巩固与提高
课堂小结将所得到的知识进行归纳整理加入已有的知识链
2．教学情景设计
设计意图
知识链接
[设计意图：
1、利用视 屏与游
戏的形式，学生会
踊跃参与；商品价
格竞猜也是学生
熟悉的，竞猜的方
法会很多样，可以
进行竞赛；
2、通过问题
2，启发学生寻找
确定区间的依据，
教学设计 学情预设 1、大家都
看过李咏主持
的<幸运52>吧,
今天咱也试一
回(出示游戏 )。
1、教师从学生
熟悉的电视节目，
引导学生体会、分
析、归纳迅速猜价
的方法。
2、学生能够主
动参与游戏，并且
参与游戏的同学可
以比 较并总结经
验。学生会有很多
种方案出来。3、对
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于“问题2”学生能
够顺利的得出“主
持人的“高了，低
了”的回 答是判断
价格所在区间的依
2、竞猜中，
“高了”、“低
了”的含义是什么？如何确定
价格的最可能
的范围？
3、如何才
能更快的猜中
商品的预定价
格？
4、“二分”
的思路是什
么？
1、上节课
我们学了什么
定理，它的作用
是什么？还有
什么问题没有
解决？
2、已知函
数
在区间（2，3）
内存在一个零
点；如何求出方
程
1、教师通过< br>“问题1”对上节课
的内容进行复习引
入，点出今天的课
题。并且有前面游戏作为伏笔，学生
能够得出“连续函
数零点存在定理”
f(x)?lnx?2x? 6
是判断方程的根所
为后面探索“用二
分法求方程近似
解”的时候埋下伏笔；
3、通过游戏，
让学生经历游戏
过程，感受数学来
自生活，激发学 生
的学习兴趣；引导
学生善于发现身
边的数学，培养学
生的归纳演绎的
能力；学会将实际
情景转化为数学
模型。4、通过比
较不同的方法得
出最快 的竞猜的
方法——二分
法；]
[设计意图：
1、开门见山，延
续上 一节课的内
容继续深入的研
究，使得知识有一
个连接让学生能
够很容易的将知
识建构到旧的知
识体系中。
2、运用问题
1，将学生的思路
与前面 已解决的
问题联系起来，引
导学生层层深入，
抽丝拨茧，学习如
据”这个结论 。
4、此时教师通
过“问题3”引导学
生进行比较哪种方
法更快更好。从中
学生可以得到用二
分法解决问题的思
路——二分指的是
将解所在区间平均地分为两个区间。
在区间的依据。2、
通过“问题2”应用
具体的题目引导学< br>生进行思考。学生
通过引导将方程的
解与商品的价格联
lnx?2x?6?0< br>在区间（2，3）
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的近似解（精确
度为0.01）？与
刚才的游戏是
否有类似之
处？
3、精确度
的含义是什
么？怎样的区
间才算满足设
定的精确度？
4、区间（2，
3）的精确度为
多少？
5、如何将
零点所在的范
围缩小（即如何
将精确度缩
小）？缩小的依
据是什么？
6、如何 利
用今天“猜价
格”——“二分
法”的逼近思想
来将缩小区
间？
7、近似解
是多少？
系到一起，运用刚
才的游戏的经验，
得到缩小区间的想
法。
3、学 生对精确
度的概念可能有所
遗忘。教师可以借
助数轴解释说明精
确度的含义， 引导
学生思考什么时候
停止操作。
4、教师通过
“问题4～6”引导
学生将“二分法”
与“零点存在定理”
相结合得到正确的
新的零点所在的区
间。并确定结束的
时间。
5、学生按照游
戏的方法也就是按
照“二分法”的 思
路，不断缩小零点
存在的区间，进行
具体操作，填出（附
录1）中的表格。 表
格刚开始的前几行
学生可能会比较
慢，也有可能会出
错；通过多次的重复以及经验的总
结，后面的表格可
以正确的、快速的
回答出来；使得最
何 分析问题、如何
利用新的知识解
决问题；培养分析
问题、解决问题的
能力，以 及运用知
识、驾驭知识的能
力。
3、师生的互
动有利于一边引
导一 边总结。将二
分法应用于解决
实际问题，即将新
的知识应用于解
决新的问题。 培养
学生实际应用的
能力，解决问题的
严谨性，总结知识
的逻辑性。使得最< br>后方法的总结能
够顺利进行。
4、有了前面
的商品的竞猜过
程的经历 ，学生比
较容易入手，分析
比较容易到位，从
而降低思维的难
度。
知识连接：1、
函数零点存在定
理 如果函数
y?f(x)
在区间
[a,b]
上图像是连
续不断的一条曲
线，并且有
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后的“应用二分法
求函数的零点”的
方法的总结更加顺
利。
6、对于“问题
7”学生比较不容易
得到比较简洁的结
论。教师可以进行解释说明：“由于整
个区间内的数均满
足精确度的条件，
因此区间内的所有
数均可以作为近似
解，但，区间端点a，
b是已知的值，所以
可以取a或b作为近似解。”，最后得
到方程的近似解
（附录1的表格后
面的内容）。
1、 我们刚才得求解过
程中有哪些过程是一直
重复出现的？
2、我们取< br>其一段，大家看
如何用数学语
言来描述？3、
点明求方程的
近似解的“ 二分
法”：对于在区
间（a，b）上连
续不断、且f
（a）·f（b）<0< br>的函数y＝（fx），
学生经过老师
“问题1～2” 的提
示与引导，可以得
到“取区间的中点，
计算函数值，比较
符号，确定新的区
间”这样的相同的< br>过程。
学生根据“二
分法”的定义进行
归纳总结：运用二
分法求方程 的近似
解的步骤（附录2）。
其中步骤① “画
f(a)?f(b)?0
，
那么，函数
y?f(x)
在区间
内有零点，即存在
c?(a,b)< br>，使得
f(c)?0
，这个c
也就是方程
f(x)?0
的根。
2、精确度是
对同一个量的不
同近似数的精确
程度的度量。一般
是： 一个近似数，
四舍五入到哪一
位，就说这个近似
数精确到哪一
位。]
[设计意图：
1、不断的引导，
将刚才的解题过
程经过“自然语言
——数学 语言—
—去其糟粕取其
精华——具体步
骤”的过程，帮助
学生学会归纳总结的方法。
2、课间的及
时总结有利于学
生对当前所学的
内容进行升华，了
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通过不断的把
方程的解所在
的区间一分为< br>二，使区间的两
个端点逐步逼
近近似解，进而
得到近似解的
方法叫二分 法．
4、进一步
提出问题：运用
二分法求方程
的近似解的步
骤是什么？
5、运用二
分法的前提是
什么（游戏的开
始时要先做什
么工作）？引 例
条件的内涵是
什么？
6、二分法
的实质是什
么？它有什么
作用?
1．练习：
（ 1）（2）题为
例题仿照题，由
同桌协助完成.
（3）（4）考察
二分法的含 义,
由同学独立完
成,可以寻求帮
助.（附录4）
2．思考：
图或 利用函数值的
正负，确定初始区
间(a,b)，验证
f(a)f(b)<0”；学生< br>很有可能会有遗
漏。此时可以提出
“问题5”引导学生
回忆、思考，从而
得到运用二分法的
前提——即步骤
①。
对于“问题六”
较好的学生才能回
答出来。
解自己掌握了什
么知识 ，在后面的
作题中可以有法
可依，可以提高解
题的正确率，增强
自信。 3、问题六的
设计是将学生的
思维得到升华，不
再停留在技能这
一个层次 ，而是上
升为数学思想方
法的层次。
知识链接：1、
运用二分法的前
提是要先判断根
在某个所在的区
间。
2、二分法实
际上是一种通过
缩小区间长度寻
找解的一种方
法．]
练习1.（1）（2）
经过同桌两位同学
合作可以顺利完
成。（3）（4）独 立
完成如果有困难的
同学在同伴或老师
的帮助下可以完
成。
练习2 实际应
用：学有余力的同
[设计意图：
1、不同层次的题
目，层层递进，不< br>断提高学生的能
力。不仅巩固新学
的知识，而且让不
同层次的学生得
到 不同的收获；
2、培养合作、
互助精神；
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