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高中数学选修2-2教案(人教A版全套)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 13:11
tags:高中数学教案

如何构建高中数学的高效课堂-高中数学选修4教材分析


高中数学教案选修全套
【选修2-2教案|全套】
目 录
目 录 ....................................... .................................................. .................................................. ......................... I
第一章 导数及其应用 ....... .................................................. .................................................. ................................ 1
§1、1、1变化率问题 .................................................. .................................................. .................................. 1
导数与导函数得概念 .................................................. .................................................. ................................... 4
§1、1、2导数得概念 .................................. .................................................. .................................................. 6
§1、1、3导数得几何意义 .............................. .................................................. .............................................. 8
§1、2、1几个常用函数得导数 .............................. .................................................. .................................... 13
§1、2、2基本初等函数得导数公式及导数得运算法则 .................... .................................................. ....... 16
§1、2、2复合函数得求导法则 ................... .................................................. ............................................... 19
§1、3、1函数得单调性与导数(2课时).......................... .................................................. ...................... 21
§1、3、2函数得极值与导数(2课时). .................................................. .................................................. . 25
§1、3、3函数得最大(小)值与导数(2课时) ................. .................................................. ................... 29
§1、4生活中得优化问题举例(2课时) ... .................................................. .............................................. 32
§1、5、3定积分得概念 ................................. .................................................. ............................................. 34
第二章 推理与证明 .................................... .................................................. .................................................. ....... 39
合情推理 .............................. .................................................. .................................................. ....................... 39
类比推理 .............. .................................................. .................................................. ....................................... 40
演绎推理 ......................................... .................................................. .................................................. ............ 43
推理案例赏识 ....................... .................................................. .................................................. ...................... 45
直接证明--综合法与分析法 ...... .................................................. .................................................. ................. 46
间接证明--反证法 ............... .................................................. .................................................. ........................ 48
数学归纳法 ............ .................................................. .................................................. ..................................... 50
第3章 数系得扩充与复数得引入 ...................................... .................................................. ............................... 59
§3、1数系得扩充与复数得概念 .............................. .................................................. .................................. 59
§3、1、1数系得扩充与复数得概念 ............................ .................................................. .............................. 59
§3、1、2复数得几何意义 ................................ .................................................. .......................................... 62
§3、2复数代数形式得四则运算 .............................. .................................................. .................................. 65
§3、2、1复数代数形式得加减运算及几何意义 ....................... .................................................. ................ 65
§3、2、2复数代数形式得乘除运算 ........ .................................................. .................................................. 69


第一章 导数及其应用
§1、1、1变化率问题
教学目标:
1.理解平均变化率得概念;
2.了解平均变化率得几何意义;
3.会求函数在某点处附近得平均变化率
教学重点:平均变化率得概念、函数在某点处附近得平均变化率;
教学难点:平均变化率得概念.
教学过程:
一.创设情景
为了描述现实 世界中运动、过程等变化着得现象,在数学中引入了函数,随着对函数得研究,产生了微积
分,微积分得 创立以自然科学中四类问题得处理直接相关:
一、已知物体运动得路程作为时间得函数,求物体在任意时刻得速度与加速度等;
二、求曲线得切线;
三、求已知函数得最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积与重心等。
导数就是微积分得核心概念之一它就是研究函数增减、变 化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效得
工具。
导数研究得问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化得快慢程度.
二.新课讲授
(一)问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过 气球回忆一下吹气球得过程,可以发现,随着气球内空气容量得增加,气球得半径增加越来越
慢、从数学 角度,如何描述这种现象呢?
? 气球得体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间得函数关系 就是
V(r)?
4
3
?
r

3
? 如果将半径r表示为体积V得函数,那么
r(V)?
3
3V

4
?
分析:
r(V)?
3
3V

4
?
h
⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了
r(1)?r(0)?0.62(dm)

气球得平均膨胀率为
r(1)?r(0)
?0.62(dmL)

1?0
⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了
r(2)?r(1)?0.16(dm)

气球得平均膨胀率为
r(2)?r(1)
?0.16(dmL)

2?1
o
t
可以瞧出,随着气球体积逐渐增大,它得平均膨胀率逐渐变小了.
思考:当空气容量从V1
增加到V
2
时,气球得平均膨胀率就是多少?
r(V
2
)?r(V
1
)

V
2
?V
1


问题2 高台跳水
在高台跳 水运动中,运动员相对于水面得高度h(单位:m)与起跳后得时间t(单位:s)存在函数关系
h(t )= -4、9t
2
+6、5t+10、如何用运动员在某些时间段内得平均速
v度粗略地描述其运动状态?
思考计算:
0?t?0.5

1?t?2< br>得平均速度
v

h(0.5)?h(0)
?4.05(ms)

0.5?0
h(2 )?h(1)

1?t?2
这段时间里,
v???8.2(ms)

2?1
65
探究:计算运动员在
0?t?
这段时间里得平均速度,并 思考以下问题:
49

0?t?0.5
这段时间里,
v?
⑴运动员在这段时间内使静止得吗?
⑵您认为用平均速度描述运动员得运动状态有什么问题吗?
探究过程:如图就是函数h(t)= -4、9t
2
+6、5t+10得图像,结合图 形可知,
h(
65
)?h(0)

49
65
)?h(0)
49
?0(sm)
, 所以
v?
65
?0
49
65
虽然运动员在
0?t?
这段 时间里得平均速度为
0(sm)
,但实际情况就是运动员仍然运动,并非静止,
49< br>h(
可以说明用平均速度不能精确描述运动员得运动状态.
(二)平均变化率概念:
1.上述问题中得变化率可用式子
f(x
2
)?f(x
1
)
表示,
x
2
?x
1

称为函数f(x)从x
1
到x
2
得平均变化率
2.若设
?x?x
2
?x
1
,
?f?f(x
2
)?f(x
1
)
(这里
?x瞧作就是对于x
1
得一个“增量”可用x
1
+
?x
代替 x
2
,
同样
?f??y?f(x
2
)?f(x
1< br>)
)
3. 则平均变化率为
f(x
2
)?f(x
1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
?
??
x
2
?x
1
?x
?x?x
思考 :观察函数f(x)得图象
平均变化率




直线AB得斜率



f(x
1
)
O
△x= x
2
-x
1

x
1
x
2
x
f(x
2
)?f(x
1
)?f
?
表示什么?
x?x
?x
21
y
y=f(x)
f(x
2
)
△y =f(x
2
)-f(x
1
)


三.典例分析
例1.已知函数f(x)=
?x?x
得图象上得一点
A(?1,?2)
及临 近一点
B(?1??x,?2??y)
,则
2
?y
?

?x
2
解:
?2??y??(?1??x)?(?1??x)

?y?(?1??x)
2
?(?1??x)?2
??3??x

?x?x
2
例2. 求
y?x

x?x
0
附近得平均变化率。
?y
( x
0
??x)
2
?x
0
2
?
解:
?y?(x
0
??x)?x
0
,所以
?x?x
2
2
x
0
?2x
0
?x??x
2
?x
0??2x
0
??x

?x
2
所以
y?x

x?x
0
附近得平均变化率为
2x
0
??x
22
四.课堂练习
1.质点运动规律为
s?t?3
,则在时 间
(3,3??t)
中相应得平均速度为 .
2
25< br>2、物体按照s(t)=3t
2
+t+4得规律作直线运动,求在4s附近得平均变化率 、
?3?t
3、过曲线y=f(x)=x
3
上两点P(1,1)与Q (1+Δx,1+Δy)作曲线得割线,求出当Δx=0、1时割线得斜率、
五.回顾总结
1.平均变化率得概念
2.函数在某点处附近得平均变化率
六.布置作业


导数与导函数得概念
教学目标:
1、知识与技能:理解导数得概念、掌握简单函数导数符号表示与求解方法;
理解导数得几何意义;
理解导函数得概念与意义;
2、过程 与方法:先理解概念背景,培养解决问题得能力;再掌握定义与几何意义,培养转化问题得
能力;最后求 切线方程,培养转化问题得能力
3、情感态度及价值观;让学生感受事物之间得联系,体会数学得美。
教学重点:
1、导数得求解方法与过程;2、导数符号得灵活运用
教学难点:
1、导数概念得理解;2、导函数得理解、认识与运用
教学过程:
一、情境引入
在前面我们解决得问题:
1、求函数
f(x)?x
在点(2,4)处得切线斜率。
2
?yf(2??x)?f(x)
??4??x
,故斜率为4
?x?x
2
2、直线运动得汽车速度V与时间t得关系就是
V?t?1
,求
t?t
o
时得瞬时速度。
?V
v(t
o
? ?t)?v(t
o
)
??2t
o
??t
,故斜率为4
?t?t
二、知识点讲解
上述两个函数
f(x)

V(t )
中,当
?x
(
?t
)无限趋近于0时,
?V?V
()都无限趋近于一个常数。
?t?x
归纳:一般得,定义在区间(
a
,< br>b
)上得函数
f(x)

x
o
?(a,b)
,当
?x
无限趋近于0时,
?y
f(x
o
??x)?f(x
o
)
?
无限趋近于一个固定得常数A,则称
f(x)
x?x
o
处可导,并称A为
f(x)

?x?x
x?x
o
处得导数,记作
f'(x
o
)

f'(x)|< br>x?x
o

上述两个问题中:(1)
f'(2)?4
,(2 )
V'(t
o
)?2t
o

三、几何意义:
我们上述过程可以瞧出
f(x)

x?x
0
处得导数就就 是
f(x)

x?x
0
处得切线斜率。
四、例题选讲
例1、求下列函数在相应位置得导数
(1)
f(x)?x?1

x?2
(2)
f(x)?2x?1

x?2

(3)
f(x)?3

x?2

2


例2、函数
f(x)
满足
f'(1)?2
,则当x无限趋近于0时,
f(1?x)?f(1)
?

2x
f(1?2x)?f(1)
(2)
?

x
(1)
变式:设f(x)在x=x
0
处可导,
(3)< br>f(x
0
?4?x)?f(x
0
)
无限趋近于1,则
f
?
(x
0
)
=___________
?x
f (x
0
?4?x)?f(x
0
)
无限趋近于1,则
f
?
(x
0
)
=________________
?x
f(x
0
?2?x)?f(x
0
?2?x)
所对应得常数与
f
?
(x
0
)
得关系。
?x
(4)
(5 )当△x无限趋近于0,
总结:导数等于纵坐标得增量与横坐标得增量之比得极限值。
例3、 若
f(x)?(x?1)
,求
f'(2)

(f(2))'

注意分析两者之间得区别。
例4:已知函数
f(x)?
2
x
,求
f(x)

x?2
处得切线。
导函数得概念涉及:
f(x)
得对于区间(
a
,
b
)上任意点处都可导,则
f( x)
在各点得导数也随x得变化而
变化,因而也就是自变量x得函数,该函数被称为
f (x)
得导函数,记作
f'(x)

五、小结与作业


§1、1、2导数得概念
教学目标:
1.了解瞬时速度、瞬时变化率得概念;
2.理解导数得概念,知道瞬时变化率就就是导数,体会导数得思想及其内涵;
3.会求函数在某点得导数
教学重点:瞬时速度、瞬时变化率得概念、导数得概念;
教学难点:导数得概念.
教学过程:
一.创设情景
(一)平均变化率
(二)探究:计算运动员在
0?t?
65
这段时间里得平均速度,并思考以下 问题:
49
⑴运动员在这段时间内使静止得吗?
⑵您认为用平均速度描述运动员得运动状态有什么问题吗?
探究过程:如图就是函数h(t)= -4、9t
2
+6、5t+10得图像,结合图 形可知,
h(
65
)?h(0)

49
65
)?h(0)
49
?0(sm)
, 所以
v?
65
?0
49
65
虽然运动员在
0?t?
这段 时间里得平均速度为
0(sm)
,但实际
49
h(
h
情况 就是
运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员得运动
状态.
o
t
二.新课讲授
1.瞬时速度
我们把物体在某一时刻得速度 称为瞬时速度。运动员得平均速度不能反映她在某一时刻得瞬时速
度,那么,如何求运动员得瞬时速度呢 ?比如,
t?2
时得瞬时速度就是多少?考察
t?2
附近得情况:
思考:当
?t
趋近
于0时,
平均速度
v
有什么
样得 变化
趋势?
结论:当
?t
趋近
于0时,
即无论
t
从小于2
得一边,还就是从大于2得一边趋近于2时,平均速度
v
都趋近于一 个确定得值
?13.1

从物理得角度瞧,时间
?t
间隔无限变小 时,平均速度
v
就无限趋近于史得瞬时速度,因此,运动员在
t?2
时得瞬时 速度就是
?13.1ms


为了表述方便,我们用
limh(2??t)?h(2)
??13.1

?t?0
?t
表示“ 当
t?2

?t
趋近于0时,平均速度
v
趋近于定值
?13.1

小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从 瞬时速度得近似值过渡到瞬
时速度得精确值。
2 导数得概念
从函数y=f(x)在x=x
0
处得瞬时变化率就是:

?x?0
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?f

?lim
?x?0
?x?x
'
我们称它为函数
y?f( x)

x?x
0
出得导数,记作
f(x
0
)

y
'
|
x?x
0
,即

f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)

?x
f(x)?f(x
0
)

x?x
0
说 明:(1)导数即为函数y=f(x)在x=x
0
处得瞬时变化率
(2)
?x?x?x
0
,当
?x?0
时,
x?x
0
,所以
f
?
(x
0
)?lim
三.典例分析
2
例1.(1)求函数y=3x在x=1处得导数、
2
分析:先求Δf=Δy=f(1+Δx)-f(1)=6Δx+(Δx)

再求
?x?0
?f?f
?6??x
再求
lim?6

?x?0
?x?x
解:法一(略)
3x
2
?3?1
2
3(x
2
?1
2
)
?lim?lim3(x?1)?6
法二:
y
?
|
x?1
?lim
x?1x ?1x?1
x?1x?1
(2)求函数f(x)=
?x?x

x?? 1
附近得平均变化率,并求出在该点处得导数.
2
?y?(?1??x)
2
?(?1??x)?2
??3??x
解:
?x?x
?y?(?1 ??x)
2
?(?1??x)?2
??lim(3??x)?3
f
?
(?1)?lim
?x?0
?x
?x?0
?x例2.(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却与加热,如果第< br>xh
时,原油得温度(单位:
o
C
)为
f(x)?x
2
?7x?15(0?x?8)
,计算第
2h
时与第
6h
时 ,原油温度
得瞬时变化率,并说明它们得意义.
解:在第
2h
时与第
6h
时,原油温度得瞬时变化率就就是
f(2)

f(6)
根据导数定义,
''
f(2??x)?f(x
0
)
?f
?

?x?x


(2??x)
2
?7(2??x)?1 5?(2
2
?7?2?15)
???x?3

?x
所以f
?
(2)?lim
?f
?lim(?x?3)??3

?x?0
?x
?x?0
同理可得:
f
?
(6)?5

在第
2h
时与第
6h
时,原油温度得瞬时变化率分别为
?3
与5,说明在
2h
附近,原油温度大约以
3Ch

速率 下降,在第
6h
附近,原油温度大约以
5Ch
得速率上升.
'注:一般地,
f(x
0
)
反映了原油温度在时刻
x
0< br>附近得变化情况.
o
o
四.课堂练习
1.质点运动规律为
s?t?3
,求质点在
t?3
得瞬时速度为.
2.求曲线y=f(x)=x
3

x?1
时得导数.
3. 例2中,计算第
3h
时与第
5h
时,原油温度得瞬时变化率,并说明它们得意 义.
五.回顾总结
1.瞬时速度、瞬时变化率得概念
2.导数得概念
六.布置作业
2
§1、1、3导数得几何意义
教学目标:
1.了解平均变化率与割线斜率之间得关系;
2.理解曲线得切线得概念;
3.通过函数得图像直观地理解导数得几何意义,并会用导数得几何意义解题;
教学重点:曲线得切线得概念、切线得斜率、导数得几何意义;
教学难点:导数得几何意义.
教学过程:
一.创设情景
(一)平均变化率、割线得斜率
(二)瞬时速度、导数
我们知道,导数表示函数y =f(x)在x=x
0
处得瞬时变化率,反映了函数y=f(x)在x=x
0
附近得变化情况,
导数
f
?
(x
0
)
得几何意义就 是什么呢?
二.新课讲授
(一)曲线得切线及切线得斜率:如图3、1-2,当
P
n
(x
n
,f(x
n
))(n?1,2,3,4)
沿着曲线
f(x)
趋近于点
P(x
0
,f(x
0
) )
时,割线
PP
n
得变化趋势就是什么?




接近
于确
线PT
问题:
PT得
容易
们发现,当点
P
n
沿着曲线无限
点P即Δx→0时,割线< br>PP
n
趋近
定得位置,这个确定位置得直
称为曲线在点P处得切线、
⑴割线
PP
n
得斜率
k
n
与切线
斜率k
有什么关系?
⑵切线PT得斜率
k
为多少?
知道,割线
PP
n
得斜率就是
图3、1-2
沿着曲线无限 接近点P时,
k
n
无限趋近于切线PT得斜率
k
,即
k?l im
k
n
?
f(x
n
)?f(x
0
),当点
P
n
x
n
?x
0
?x?0
f( x
0
??x)?f(x
0
)
?f
?
(x
0
)

?x
说明:(1)设切线得倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ得 斜率,称为曲线在点P处得切线得斜率、
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线得斜率得一种方法;
②切线斜率得本质—函数在
x?x
0
处得导数、
(2)曲线在某点处得切线:1)与该点得位置有关;2)要根据割线就是否有极限位置来判断与求解、如有< br>极限,则在此点有切线,且切线就是唯一得;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线得切线,并不一定与 曲线只有
一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个、
(二)导数得几何意义:
函 数y=f(x)在x=x
0
处得导数等于在该点
(x
0
,f(x0
))
处得切线得斜率,

f
?
(x
0< br>)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?k

?x
说明:求曲线在某点处得切线方程得基本步骤:
①求出P点得坐标;
②求出函数在点
x
0
处得变化率
f< br>?
(x
0
)?lim
得斜率;
③利用点斜式求切线方程、
(二)导函数:
由函数f(x)在x=x
0
处求导数得过程可以瞧到,当时 ,
f
?
(x
0
)
就是一个确定得数,那么,当x变化时, 便就
是x得一个函数,我们叫它为f(x)得导函数、记作:
f
?
(x)
y
?

即:
f
?
(x)?y
?
?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?k
,得到曲线在点
(x
0
,f(x
0
))得切线
?x
?x?0
f(x??x)?f(x)

?x
注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
(三)函数
f(x)在点
x
0
处得导数
f
?
(x
0
)、导函数
f
?
(x)
、导数 之间得区别与联系。

1)函数在一点处得导数
f
?
(x
0
)
,就就是在该点 得函数得改变量与自变量得改变量之比得极限,它就是一
个常数,不就是变数。
2)函数得导数,就是指某一区间内任意点x而言得, 就就是函数f(x)得导函数 < br>'
3)函数
f(x)
在点
x
0
处得导数
f( x
0
)
就就是导函数
f
?
(x)

x?x
0
处得函数值,这也就是 求函数在点
x
0
处得导数得方法之一。
三.典例分析
2
例1:(1)求曲线y=f(x)=x+1在点P(1,2)处得切线方程、
2
(2)求函数y=3x在点
(1,3)
处得导数、
[(1??x )
2
?1]?(1
2
?1)2?x??x
2
?lim?2< br>, 解:(1)
y
?
|
x?1
?lim
?x?0?x ?0
?x?x
所以,所求切线得斜率为2,因此,所求得切线方程为
y?2?2(x? 1)

2x?y?0

3x
2
?3?1
2
3(x
2
?1
2
)
?lim?lim3(x?1)?6
< br>(2)因为
y
?
|
x?1
?lim
x?1x?1x? 1
x?1x?1
所以,所求切线得斜率为6,因此,所求得切线方程为
y?3?6(x ?1)

6x?y?3?0

(2)求函数f(x)=
?x?x
x??1
附近得平均变化率,并求出在该点处得导数.
2
?y?( ?1??x)
2
?(?1??x)?2
??3??x
解:
?x?x
?y?(?1??x)
2
?(?1??x)?2
??lim(3??x)?3

f
?
(?1)?lim
Vx?0
?x
Vx ?0
?x
例2.(课本例2)如图3、1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化得函数 h(x)??4.9x
2
?6.5x?10
,根据图像,请描述、比较曲线
h(t)

t
0

t
1

t
2
附近得变化情况.
解:我们用曲线
h(t)

t
0

t
1

t
2
处得切线,刻画曲线
h(t)在上
述三个时刻附近得变化情况.
(1) 当
t?t
0
时,曲 线
h(t)

t
0
处得切线
l
0
平行于< br>x
轴,所以,

t?t
0
附近曲线比较平坦,几乎没有升降.
(2) 当
t?t
1
时,曲线
h(t)

t
1
处得切线
l
1
得斜率
h
?
(t
1)?0

所以,在
t?t
1
附近曲线下降,即函数
h( x)??4.9x?6.5x?10

t?t
1
附近单调递减.
2


(3) 当
t?t
2
时,曲线
h(t)< br>在
t
2
处得切线
l
2
得斜率
h
?< br>(t
2
)?0
,所以,在
t?t
2
附近曲线下降,即 函数
h(x)??4.9x
2
?6.5x?10

t?t
2
附近单调递减.
从图3、1-3可以瞧出,直线
l
1
得倾斜程度小 于直线
l
2
得倾斜程度,这说明曲线在
t
1
附近比在
t
2
附近下降
得缓慢.
例3.(课本例3)如图3、1-4,它表示人体 血管中药物浓度
c?f(t)
(单位:
mgmL
)随时间
t
(单位:
min

变化得图象.根据图像,估计
t?0.2,0.4,0.6 ,0.8
时,血管中药物浓度得瞬时变化率(精确到
0.1
).

解:血管中某一时刻药物浓度得瞬时变化率,就就是药物浓度
f(t)
在此时刻得导数,从图像 上瞧,它表
示曲线
f(t)
在此点处得切线得斜率.
如图3、1-4,画出 曲线上某点处得切线,利用网格估计这条切线得斜率,可以得到此时刻药物浓度瞬时变
化率得近似值.

t?0.8
处得切线,并在切线上去两点,如
(0.7,0.91)

(1.0,0.48)
,则它得斜率为:
k?
0.48?0.91
??1.4

1.0?0.7
所以
f
?
(0.8)??1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率得估计值:
t

0、2
药物浓度瞬时变化率
f(t)

四.课堂练习
1.求曲线y=f(x)=x
3
在点
(1,1)
处得切线;
2.求曲线
y?
'
0、4
0
0、6
-0、7
0、8
-1、4 0、4
x
在点
(4,2)
处得切线.
五.回顾总结
1.曲线得切线及切线得斜率;
2.导数得几何意义


六.布置作业


§1、2、1几个常用函数得导数
教学目标:
1.使学生应用由定义求导数得三个步骤推导四种常见函数
y?c

y?x

y?x

y?
2.掌握并能运用这四个公式正 确求函数得导数.
2
1
得导数公式;
x
1
得导数公式及应用
x
1
2
教学难点: 四种 常见函数
y?c

y?x

y?x

y?
得导数公式
x
教学重点:四种常见函数
y?c

y?x

y?x

y?
2
教学过程:
一.创设情景
我们 知道,导数得几何意义就是曲线在某一点处得切线斜率,物理意义就是运动物体在某一时刻得瞬
时速度. 那么,对于函数
y?f(x)
,如何求它得导数呢?
由导数定义本身,给出了求导数 得最基本得方法,但由于导数就是用极限来定义得,所以求导数总就
是归结到求极限这在运算上很麻烦, 有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数得导数,这一单元我
们将研究比较简捷得求导数得方法, 下面我们求几个常用得函数得导数.
二.新课讲授
1.函数
y?f(x)?c
得导数
根据导数定义,因为
?yf(x??x)?f(x)c?c
???0

?x? x?x
?y
所以
y
?
?lim?lim0?0

?x?0
?x
?x?0
函数 导数
y?c

y
?
?0

y
?
?0
表示函数
y ?c
图像(图3、2-1)上每一点处得切线得斜率都为0.若
y?c
表示路程关于时 间得函
数,则
y
?
?0
可以解释为某物体得瞬时速度始终为0,即物 体一直处于静止状态.
2.函数
y?f(x)?x
得导数
因为
?yf(x??x)?f(x)x??x?x
???1

?x?x?x
?y
?lim1?1
所以
y
?
?lim
?x?0
?x
?x?0
函数 导数
y?x

y
?
?1

y
?
?1
表示函数
y?x
图像(图3、2-2)上每一点处得切线得斜率都为1.若
y?x
表示路程关于时间得函
数,则
y
?
?1
可以解释为 某物体做瞬时速度为1得匀速运动.


3.函数
y?f(x)?x
得导数
2
?yf(x? ?x)?f(x)(x??x)
2
?x
2
??
因为
?x? x?x
x
2
?2x?x?(?x)
2
?x
2
??2 x??x

?x
所以
y
?
?lim
?y
? lim(2x??x)?2x

?x?0
?x
?x?0
函数 导数
y?x
2

y
?
?2x

y
?< br>?2x
表示函数
y?x
2
图像(图3、2-3)上点
(x,y )
处得切线得斜率都为
2x
,说明随着
x
得变化,切线
得斜 率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点得瞬时变化率来瞧,表明:当
x?0
时,随着< br>x
得增
加,函数
y?x
减少得越来越慢;当
x?0
时 ,随着
x
得增加,函数
y?x
增加得越来越快.若
y?x

示路程关于时间得函数,则
y
?
?2x
可以解释为某物体做变速运动 ,它在时刻
x
得瞬时速度为
2x

4.函数
y?f(x)?
222
1
得导数
x
11
?
?yf(x??x)?f(x)
x??xx
因为
??
?x?x?x
?
x?(x??x)1
??
2

x(x??x)?xx?x??x
所以
y
?
?lim
?y1 1
?lim(?
2
)??
2

?x?0
?x
?x?0
x?x??xx
函数 导数
y?
n
1

x
*
y
?
??
1

2
x
n?1
(2)推广:若
y?f(x)?x(n?Q)
,则
f
?
(x)?nx
三.课堂练习
1.课本P
13
探究1
2.课本P
13
探究2
4.求函数
y?
四.回顾总结
函数

x
得导数
导数
y?c

y
'
?0


y?x

y?x
2

y
'
?1

y
'
?2x

y?
1

x
y
'
??
1

x
2
y?f(x)?x
n
(n?Q
*
)

五.布置作业
y
'
?nx
n?1


§1、2、2基本初等函数得导数公式及导数得运算法则
教学目标:
1.熟练掌握基本初等函数得导数公式;
2.掌握导数得四则运算法则;
3.能利用给出得基本初等函数得导数公式与导数得四则运算法则求简单函数得导数.
教学重点:基本初等函数得导数公式、导数得四则运算法则
教学难点: 基本初等函数得导数公式与导数得四则运算法则得应用
教学过程:
一.创设情景
四种常见函数
y?c

y?x

y?x

y?二.新课讲
(一)基本
公式表
(二)导数
函数 导数
2
1
得导数公式及应用
x

初等函数得导数
导数
y?c

函数
y
x
?

c

y?
y?0

y?1

'
'
y
'
?0

y
'
?nx
n?1

y
'
?cosx

y
'
??sinx

y
'
?a
x
?lna(a?0)

得运算法则
n*
y?f(x)?
2
x(n?Q)

y?x

y
'
?2x

y?
1
sinx

y?

x
y?cosx

*n
y?f(x)?x(n?Q)

y?f(x)?a
x

y?f(x)?e
x

f(x)?log
a
x

1
y??
2

x
'
y
'
?nx
n?1

y
'
?e
x

f(x)?log
a
xf< br>'
(x)?
1
(a?0且a?1)

xlna
1

x
f(x)?lnx

导数运算法则
1.
?
f(x)?g(x)
?
?f(x)?g(x)
''
'
f
'
(x)?
2.
?
f(x)?g(x )
?
?f(x)g(x)?f(x)g(x)

''
'
?< br>f(x)
?
f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x )
(g(x)?0)
3.
??
?
2
g(x)
??
?
g(x)
?
(2)推论:
?
cf(x)
?
?cf(x)

'
'
'
(常数与函数得积得导数,等于常数乘函数得导数)
三.典例分析
例1.假设某国家在20 年期间得年均通货膨胀率为
5%
,物价
p
(单位:元)与时间
t(单位:年)有如


t
下函数关系
p(t)?p
0
(1?5%)
,其中
p
0

t?0
时得物价.假定某种商品 得
p
0
?1
,那么在第10个年头,
这种商品得价格上涨得速度大约 就是多少(精确到0、01)?
解:根据基本初等函数导数公式表,有
p(t)?1.05ln1.05

所以
p(10)?1.05ln1.05?0.08
(元年)
因此,在第10个年头,这种商品得价格约为0、08元年得速度上涨.
例2.根据基本初等函数得导数公式与导数运算法则,求下列函数得导数.
(1)
y?x?2x?3

(2)y =
3
'10
't
11
?

1?x1?x
(3)y =x · sin x · ln x;
x

4
x
1?lnx
(5)y =.
1?lnx
(4)y =
(6)y =(2 x
2
-5 x +1)e
x

(7) y =
sinx?xcosx

cosx?xsinx
【点评】
① 求导数就是在定义域内实行得.② 求较复杂得函数积、商得导数,必须细心、耐心.
例3日常生活中 得饮水通常就是经过净化得.随着水纯净度得提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨
水净化到纯净度 为
x%
时所需费用(单位:元)为
c(x)?
5284
(80?x?100)

100?x
求 净化到下列纯净度时,所需净化费用得瞬时变化率:(1)
90%
(2)
98%

解:净化费用得瞬时变化率就就是净化费用函数得导数.
5 284
'
5284
'
?(100?x)?5284?(100?x)
'
c(x)?()?

2
100?x(100?x)
'
?< br>0?(100?x)?5284?(?1)5284
?

(100?x)
2
(100?x)
2
5284
?52.84
,所以,纯净度为90%
时,费用得瞬时变化率就是52、
2
(100?90)
(1) 因为
c(90)?
84元吨.
'
(2) 因为
c(98)?
元吨.
'
5284
?1321
,所以, 纯净度为
98%
时,费用得瞬时变化率就是1321
2
(100?90) 函数
f(x)
在某点处导数得大小表示函数在此点附近变化得快慢.由上述计算可知 ,


c
'
(98)?25c
'
(90)
.它表 示纯净度为
98%
左右时净化费用得瞬时变化率,大约就是纯净度为
90%
左 右时
净化费用得瞬时变化率得25倍.这说明,水得纯净度越高,需要得净化费用就越多,而且净化费用 增加
得速度也越快.
四.课堂练习
1.课本P
92
练习
2.已知曲线C:y =3 x
4
-2 x
3
-9 x
2
+4,求曲线C上横坐标为1得点得切线方程;
(y =-12 x +8)
五.回顾总结
(1)基本初等函数得导数公式表
(2)导数得运算法则
六.布置作业


§1、2、2复合函数得求导法则
教学目标 理解并掌握复合函数得求导法则.
教学重点 复合函数得求导方法:复合函数对自变量得导数,等 于已知函数对中间变量得导数乘以中间
变量对自变量得导数之积.
教学难点 正确分解复合函数得复合过程,做到不漏,不重,熟练,正确.
一.创设情景
(一)基本初等函数得导数公
函数 导数
式表
(二)导数得
y?c

y?f(x)?x
n
(n?Q
*
)

y
'
?0

y
'
?nx
n?1

y
'
?cosx

y
'
??sinx

y
'
?a
x
?lna(a?0)

运算法则
y?sinx

y?cosx

y?f(x)?a
x

y?f(x)?e
x

f(x)?log
a
x

y
'
?e
x

f(x)?log
a
xf< br>'
(x)?
1
(a?0且a?1)

xlna
1

x
f(x)?lnx

导数运算法则
1.
?
f(x)?g(x)
?
?f(x)?g(x)
''
'
f
'
(x)?
2.
?
f(x)?g(x )
?
?f(x)g(x)?f(x)g(x)

''
'
?< br>f(x)
?
f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x )
(g(x)?0)
3.
??
?
2
g(x)
??
?
g(x)
?
(2)推论:
?
cf(x)
?
?cf(x)

'
'
'
(常数与函数得积得导数,等于常数乘函数得导数)
二.新课讲授
复合函数得概念 一般地,对于两个函数
y?f(u)

u?g(x)
,如果通过变量
u

y
可以表示成
x

函数,那么称这个函数为函数
y?f(u)

u?g(x)
得复合函数,记作
y?f
?
g(x)
?

复合函数得导数 复合函数
y?f
?
g( x)
?
得导数与函数
y?f(u)

u?g(x)
得导数间 得关系为
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?
,即
y

x
得导数等于
y

u
得导数与
u

x
得导数得乘积.


?
y?f
?
g(x)
?
,则
y
?
?
?< br>?
f
?
g(x)
?
?
?
?f
??
g(x)
?
?g
?
(x)

三.典例分析
例1求y =sin(tan x
2
)得导数.
【点评】
求复合 函数得导数,关键在于搞清楚复合函数得结构,明确复合次数,由外层向内层逐层求导,直到
关于自变量 求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.
例2求y =
x?a
x?2ax
2
得导数.
【点评】本题练习商得导数与复合函数得导数.求导数后要予以化简整理.
例3求y =sin
4
x +cos
4
x得导数.
【解法一】y =sin
4
x +cos
4
x=(sin
2
x +cos
2
x)
2
-2sin
2
cos
2
x=1-
=1-
1
2
sin2 x
2
131
(1-cos 4 x)=+cos 4 x.y′=-sin 4 x.
444
【解法二】y′=(sin

4

x)′+(cos

4

x)′=4 sin

3

x(sin x)′+4 cos

3
x (cos x)′=4 sin

3

x cos x +4 cos

3

x (-sin
x)=4 sin x cos x (sin

2

x -cos

2

x)=-2 sin 2 x cos 2 x=-sin 4 x
【点评】
解法 一就是先化简变形,简化求导数运算,要注意变形准确.解法二就是利用复合函数求导数,应注
意不漏步 .
例4曲线y =x(x +1)(2-x)有两条平行于直线y =x得切线,求此二切线之间得距离.
【解】y =-x
3
+x
2
+2 x y′=-3 x
2
+2 x +2
令y′=1即3 x
2
-2 x -1=0,解得 x =-
于就是切点为P(1,2),Q(-
1
或x =1.
3
114
,-),
327
过点P得切线方程为,y -2=x -1即 x -y +1=0.
114
|???1|
16
327
显然两切线间得距离等于点Q 到此切线得距离,故所求距离为=
2

27
2
四.课堂练习
1.求下列函数得导数 (1) y

=sinx
3
+sin
3
3x;(2)
y?
2、求
ln(2x?3x?1)
得导数
五.回顾总结
六.布置作业
2
sin2x
2
;(3)
log
a
(x?2)

2x?1


§1、3、1函数得单调性与导数(2课时)
教学目标:
1.了解可导函数得单调性与其导数得关系;
2.能利用导数研究函数得单调性,会求函数得单调区间,对多项式函数一般不超过三次;
教学重点:利用导数研究函数得单调性,会求不超过三次得多项式函数得单调区间
教学难点: 利用导数研究函数得单调性,会求不超过三次得多项式函数得单调区间
教学过程:
一.创设情景
函数就是客观描述世界变化规律得重要数学模型,研究函数时,了解函数得赠与 减、增减得快与慢以及函
数得最大值或最小值等性质就是非常重要得.通过研究函数得这些性质,我们可 以对数量得变化规律有一
个基本得了解.下面,我们运用导数研究函数得性质,从中体会导数在研究函数 中得作用.
二.新课讲授
1.问题:图3、3-1(1),它表示跳水运动中高度
h
随时间
t
变化得函数
h(t)??4.9t?6.5t?10
得 图像,
图3、3-1(2)表示高台跳水运动员得速度
v
随时间
t
变 化得函数
v(t)?h(t)??9.8t?6.5
得图像.
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间得运动状态有什么区别?
通过观察图像,我们可以发现:
(1) 运动员从起点到最高点,离水面得高度
h< br>随时间
t
得增加而增加,即
h(t)
就是增函数.相应
地,< br>v(t)?h(t)?0

(2) 从最高点到入水,运动员离水面得高度
h
随时间
t
得增加而减少,即
h(t)
就是减函数.相应
地,
v(t)?h(t)?0

2.函数得单调性与导数得关系
观察下面函数得图像,探讨函数得单调性与其导数正负得关系.
'
如图3、3-3, 导数
f(x
0
)
表示函数
f(x)

2
'
'
'

(x
0
,y
0
)
处得切 线得斜率.
'

x?x
0
处,
f(x
0
)?0
,切线就是“左下右上”式得,
这时,函数
f(x)

x
0
附近单调递增;
'< br>在
x?x
1
处,
f(x
0
)?0
,切线就是 “左上右下”式得,
这时,函数
f(x)

x
1
附近单调递减.
结论:函数得单调性与导数得关系
在某个区间
(a,b)
内,如果
f(x)?0
,那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递增;如果
f(x) ?0
,那么
函数
y?f(x)
在这个区间内单调递减.
''


说明:(1)特别得,如果
f(x)?0
,那么函数
y?f(x)< br>在这个区间内就是常函数.
3.求解函数
y?f(x)
单调区间得步骤:
(1)确定函数
y?f(x)
得定义域;
(2)求导数
y?f(x)

(3)解不等式
f(x)?0
,解集在定义域内得部分为增区间;
(4)解不等式
f(x)?0
,解集在定义域内得部分为减区间.
三.典例分析
例1.已知导函数
f(x)
得下列信息:

1?x?4
时,
f(x)?0


x?4
,或
x?1
时,
f(x)?0


x?4
,或
x?1
时,
f(x)?0

试画出函数
y?f(x)
图像得大致形状.
解:当
1?x?4时,
f(x)?0
,可知
y?f(x)
在此区间内单调递增;

x?4
,或
x?1
时,
f(x)?0
;可知
y? f(x)
在此区间内单调递减;

x?4
,或
x?1
时,
f(x)?0
,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”.
综上,函数
y?f(x)
图像得大致形状如图3、3-4所示.
例2.判断下列函数得单调性,并求出单调区间.
(1)
f(x)?x?3x
; (2)
f(x)?x?2x?3

(3)
f(x)?sinx?xx?(0,
?
)
; (4)
f(x)?2x?3x?24x?1

解:(1)因为
f(x)?x?3x
,所以,

f(x)?3x?3?3(x?1)?0

因此,
f(x)?x?3x
在R上单调递增,如图3、3-5(1)所示.
'
(2)因为
f(x)?x?2x?3
,所以,
f(x)?2x?2?2
?
x?1
?

2
3
'22
3
32
32
'
'
'
'
'
'
'
'
'
''
'

f(x)?0
,即x?1
时,函数
f(x)?x?2x?3
单调递增;
'2



f(x)?0
,即
x?1
时,函数
f(x)?x?2x ?3
单调递减;
函数
f(x)?x?2x?3
得图像如图3、3-5(2)所示.
(3)因 为
f(x)?sinx?xx?(0,
?
)
,所以,
f(x)?co sx?1?0

因此,函数
f(x)?sinx?x

(0,< br>?
)
单调递减,如图3、3-5(3)所示.
(4)因为
f(x)?2x?3x?24x?1
,所以 .

f(x)?0
,即 时,函数
f(x)?x?2x?3


f(x)?0
,即 时,函数
f(x)?x?2x?3

函数
f(x)?2x?3x?24x?1
得图像如图3、3-5(4)所示.
注:(3)、(4)生练
例3 如图3、3-6,水以常速(即单位时间内注入水得体积相同 )注入下面四种底面积相同得容器中,请
分别找出与各容器对应得水得高度
h
与时间< br>t
得函数关系图像.
分析:以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入 时,开始阶段高度增加得慢,以后高度
增加得越来越快.反映在图像上,(A)符合上述变化情况.同理 可知其它三种容器得情况.
解:
?
1
?
?
?
B< br>?
,
?
2
?
?
?
A
?
,< br>?
3
?
?
?
D
?
,
?
4< br>?
?
?
C
?

思考:例3表明,通过函数图像,不仅 可以瞧出函数得增减,还可以瞧出其变化得快慢.结合图像,您能
从导数得角度解释变化快慢得情况吗?
一般得,如果一个函数在某一范围内导数得绝对值较大,
那么函数在这个范围内变化得快,
这时,函数得图像就比较“陡峭”;
反之,函数得图像就“平缓”一些.
如图3、3-7所示,函数
y?f(x)

?
0,b
?

?
a,0
?
内得图像“ 陡峭”,

?
b,??
?

?
??,a
?
内得图像“平缓”.
例4 求证:函数
y?2x?3x?12x?1
在区 间
?
?2,1
?
内就是减函数.
32
32
'2< br>'2
32
'
2
'2
证明:因为
y
'
?6x
2
?6x?12?6x
2
?x?2?6
?
x?1??
x?2
?

'

x?
?
?2,1
?

?2?x?1
时,
y?0
,所以函数
y?2x ?3x?12x?1
在区间
?
?2,1
?
内就是减函数.
32
??
说明:证明可导函数
f
?
x
?

?
a,b
?
内得单调性步骤:
(1)求导函数
f
(2)判 断
f
'
'
?
x
?

?
x
?

?
a,b
?
内得符号;
'
(3)做出结论:
f
?
x
?
?0
为增函数,< br>f
'
?
x
?
?0
为减函数.


例5
'
已知函数
f(x)?4x?ax?
22
2
3
x(x?R)
在区间
?
?1,1
?上就是增函数,求实数
a
得取值范围.
3
'
解:
f( x)?4?2ax?2x
,因为
f
?
x
?
在区间
?
?1,1
?
上就是增函数,所以
f(x)?0

x?
?
?1,1
?
恒成立,

x?ax?2?0

x ?
?
?1,1
?
恒成立,解之得:
?1?a?1

2
所以实数
a
得取值范围为
?
?1,1
?
说明:已知函数得单调性求参数得取值范围就是一种常见得题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增,则
f(x)?0
;若函数单调递减,则
f(x)?0
”来 求解,注意此时公式中得等号不能省略,
否则漏解.
四.课堂练习
1.求下列函数得单调区间
1、f(x)=2x
3
-6x
2
+7 2、f(x)=
2.课本 练习
五.回顾总结
(1)函数得单调性与导数得关系
(2)求解函数
y?f(x)
单调区间
(3)证明可导函数
f
?
x
?

?
a,b
?
内得单调性
六.布置作业
''
1
+2x 3、 f(x)=sinx , x
?[0,2
?
]

4、 y=xlnx
x


§1、3、2函数得极值与导数(2课时)
教学目标:
1、理解极大值、极小值得概念;
2、能够运用判别极大值、极小值得方法来求函数得极值;
3、掌握求可导函数得极值得步骤;
教学重点:极大、极小值得概念与判别方法,以及求可导函数得极值得步骤、
教学难点:对极大、极小值概念得理解及求可导函数得极值得步骤、
教学过程:
一.创设情景
观察图3、3-8,我们发现,
t?a
时,高台跳水运动员距 水面高度最大.那么,函数
h(t)
在此点得导
数就是多少呢?此点附近得图像有什么 特点?相应地,导数得符号有什么变化规律?
放大
t?a
附近函数
h(t)
得图像,如图3、3-9.可以瞧出
h
?
(a)
;在
t?a
,当
t?a
时,函数
h(t)

调递增,当
t?a
时,函数
h(t)
单调递减,这就说明,在
t?a
附近,函数值先增 (
t?a

h
?
(t)?0

h
?
(t)?0

.这样,当
t

a
得附近从小到大经过a
时,
h
?
(t)
先正后负,且
h
?
(t)h
?
(t)?0
)后减(
t?a

h
?(t)?0

连续变化,于就是有
h
?
(a)?0


对于一般得函数
y?f
?
x
?
,就是否也有这样得性质呢?
附:对极大、极小值概念得理解,可以结合图象进行说明、并且要说明函数得极值就是就函数在某一点附近得小区间而言得、 从图象观察得出,判别极大、极小值得方法、判断极值点得关键就是这点两侧
得导数异号
二.新课讲授
1.问题:图3、3-1(1),它表示跳水运动中高度
h
随时间
t
变化得函数
h(t)??4.9t?6.5t?10
得图像,
图3、3-1(2)表示高台跳水运动员得速度
v
随时间
t
变化得函数v(t)?h(t)??9.8t?6.5
得图像.
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间得运动状态有什么区别?
通过观察图像,我们可以发现:
(3) 运动员从起点到最高点,离水面得高度
h< br>随时间
t
得增加而增加,即
h(t)
就是增函数.相应
地,< br>v(t)?h(t)?0

(4) 从最高点到入水,运动员离水面得高度
h
随时间
t
得增加而减少,即
h(t)
就是减函数.相应
'< br>'
2


地,
v(t)?h(t)?0

2.函数得单调性与导数得关系
观察下面函数得图像,探讨函数得单调性与其导数正负得关系.
''
如图3、3-3 ,导数
f(x
0
)
表示函数
f(x)
在点
(x0
,y
0
)
处得切线得斜率.在
x?x
0
处,
f(x
0
)?0
,切线
'
就是“左下右上”式得,这时,函 数
f(x)

x
0
附近单调递增;在
x?x
1处,
f(x
0
)?0
,切线就是“左
'
上右下”式得, 这时,函数
f(x)

x
1
附近单调递减.
结论:函数得单调性与导数得关系
在某个区间
(a,b)
内,如果
f(x)?0
,那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递增;如果
f(x) ?0
,那么
函数
y?f(x)
在这个区间内单调递减.
说明:(1 )特别得,如果
f(x)?0
,那么函数
y?f(x)
在这个区间内就是常函 数.
3.求解函数
y?f(x)
单调区间得步骤:
(1)确定函数
y?f(x)
得定义域;
(2)求导数
y?f(x)

(3)解不等式
f(x)?0
,解集在定义域内得部分为增区间;
(4)解不等式
f(x)?0
,解集在定义域内得部分为减区间.
三.典例分析
例1.已知导函数
f(x)
得下列信息:

1?x?4
时,
f(x)?0


x?4
,或
x?1
时,
f(x)?0


x?4
,或
x?1
时,
f(x)?0

试画出函数
y?f(x)
图像得大致形状.
解:当
1?x?4时,
f(x)?0
,可知
y?f(x)
在此区间内单调递增;

x?4
,或
x?1
时,
f(x)?0
;可知
y? f(x)
在此区间内单调递减;

x?4
,或
x?1
时,
f(x)?0
,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”.
综上,函数
y?f(x)
图像得大致形状如图3、3-4所示.
'
'
'
'
'
'
'
'
'
''
'
''


例2.判断下列函数得单调性,并求出单调区间.
(1)
f(x)?x?3x
; (2)
f(x)?x?2x?3

(3)
f(x)?sinx?xx?(0,
?
)
; (4)
f(x)?2x?3x?24x?1

解:(1)因为
f(x)?x?3x
,所以,
f(x)?3x?3?3(x?1)?0

因此,
f(x)?x?3x
在R上单调递增,如图3、3-5(1)所示.
(2)因为
f(x)?x?2x?3
,所以,
f
'
(x)?2x?2?2
?
x?1
?

2
3
3'22
32
32

f( x)?0
,即
x?1
时,函数
f(x)?x?2x?3
单调递增;

f(x)?0
,即
x?1
时,函数
f(x)?x?2x? 3
单调递减;
函数
f(x)?x?2x?3
得图像如图3、3-5(2)所示.
(5) 因为
f(x)?sinx?xx?(0,
?
)
,所以,
f(x)?c osx?1?0

因此,函数
f(x)?sinx?x

(0,
?
)
单调递减,如图3、3-5(3)所示.
(6) 因为
f(x)?2x?3x?24x?1
,所以 .

f(x)?0
,即 时,函数
f(x)?x?2x?3


f(x)?0
,即 时,函数
f(x)?x?2x?3

函数
f(x)?2x?3x?24x?1
得图像如图3、3-5(4)所示.
注:(3)、(4)生练
例6 如图3、3-6,水以常速(即单位时间内注入水得体积相同 )注入下面四种底面积相同得容器中,请
分别找出与各容器对应得水得高度
h
与时间< br>t
得函数关系图像.
分析:以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入 时,开始阶段高度增加得慢,以后高度
增加得越来越快.反映在图像上,(A)符合上述变化情况.同理 可知其它三种容器得情况.
解:
?
1
?
?
?
B< br>?
,
?
2
?
?
?
A
?
,< br>?
3
?
?
?
D
?
,
?
4< br>?
?
?
C
?

思考:例3表明,通过函数图像,不仅 可以瞧出函数得增减,还可以瞧出其变化得快慢.结合图像,您能
从导数得角度解释变化快慢得情况吗?
一般得,如果一个函数在某一范围内导数得绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函 数
得图像就比较“陡峭”;反之,函数得图像就“平缓”一些.如图3、3-7所示,函数
y? f(x)

?
0,b
?

,在
?
b,??
?

?
??,a
?
内得图像“平缓”.
?
a,0
?
内得图像“陡峭”
例7 求证:函数
y?2x? 3x?12x?1
在区间
?
?2,1
?
内就是减函数.
3 2
32
'2
'2
32
'
2
'2
'2


证明:因为
y
'
?6x
2
?6x?12?6x2
?x?2?6
?
x?1
??
x?2
?
'

x?
?
?2,1
?

?2?x?1
时,
y?0
,所以函数
y?2x?3x?12x?1
在区间
??2,1
?
内就是减函数.
32
??
说明:证明可导函数f
?
x
?

?
a,b
?
内得单调性步 骤:
(1)求导函数
f
'
?
x
?

( 2)判断
f
'
?
x
?

?
a,b
?
内得符号;
(3)做出结论:
f
'
?
x
??0
为增函数,
f
'
?
x
?
?0
为减 函数.
例8
'
已知函数
f(x)?4x?ax?
2
2
2
3
x(x?R)
在区间
?
?1,1
?
上 就是增函数,求实数
a
得取值范围.
3
'
解:
f(x)? 4?2ax?2x
,因为
f
?
x
?
在区间
?
?1,1
?
上就是增函数,所以
f(x)?0

x?
?< br>?1,1
?
恒成立,

x?ax?2?0

x??
?1,1
?
恒成立,解之得:
?1?a?1

2所以实数
a
得取值范围为
?
?1,1
?

说 明:已知函数得单调性求参数得取值范围就是一种常见得题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若
函 数单调递增,则
f(x)?0
;若函数单调递减,则
f(x)?0
”来求解, 注意此时公式中得等号不能省略,
否则漏解.
四.课堂练习
1.求下列函数得单调区间
1、f(x)=2x
3
-6x
2
+7 2、f(x)=
''
1
+2x
x
3、 f(x)=sinx , x
?[0,2
?
]

4、 y=xlnx
2.课本P101练习
五.回顾总结
(1)函数得单调性与导数得关系
(2)求解函数
y?f(x)
单调区间
(3)证明可导函数
f
?
x
?

?
a,b
?
内得单调性
六.布置作业


§1、3、3函数得最大(小)值与导数(2课时)
教学目标:
⒈ 使学生理解函数得最大值与最小值得概念,掌握可导函数
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上所有点(包括
端点
a,b
)处得函数中得最大(或最小) 值必有得充分条件;
⒉使学生掌握用导数求函数得极值及最值得方法与步骤
教学重点:利用导数求函数得最大值与最小值得方法.
教学难点:函数得最大值、最小值与函数得极大值与极小值得区别与联系.
教学过程:
一.创设情景
我们知道,极值反映得就是函数在某一点附近得局部性质,而不就是函数在整个 定义域内得性质.也
就就是说,如果
x
0
就是函数
y?f
?
x
?
得极大(小)值点,那么在点
x
0
附近找不到比
f
?
x
0
?
更大(小)得
值.但就是,在解决实际问题或 研究函数得性质时,我们更关心函数在某个区间上,哪个至最大,哪个值
最小.如果
x
0
就是函数得最大(小)值,那么
f
?
x
0
?
不小 (大)于函数
y?f
?
x
?
在相应区间上得所有函
数值.
二.新课讲授
观察图中一个定义在闭区间
?
a,b
?
上得 函数
f(x)
象.图中
f(x
1
)

f(x
3
)
就是极小值,
f(x
2
)
就是极大

f(x)

?
a,b
?
上得最大值就是
f(b)
,最小值就是
a
x
1
O
x
2
x
3
b
y
得图
值.函
x
f(x
3
)

1.
结论

一般地,在闭区间
?
a,b
?
上函数
y?f(x)
得图像就是一条连续不断得曲线,那么函

y?f(x)

?
a,b
?
上必有最大值与最小值.

说明:⑴如果在 某一区间上函数
y?f(x)
得图像就是一条连续不断得曲线,则称函数
y?f(x)
在这个
区间上连续.(可以不给学生讲)
⑵给定函数得区间必须就是闭区间,在开区 间
(a,b)
内连续得函数
f(x)
不一定有最大值与最小值.如
函 数
f(x)?
1

(0,??)
内连续,但没有最大值与最小值;
x
⑶在闭区间上得每一点必须连续,即函数图像没有间断,
⑷函数
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上连续,就是
f(x)
在闭区 间
?
a,b
?
上有最大值与最小值得充分条件而非必要
条件.(可以 不给学生讲)
2.“最值”与“极值”得区别与联系
⑴最值”就是整体概念,就是比较整个 定义域内得函数值得出得,具有绝对性;而“极值”就是个局部概


念,就是比较极值点附 近函数值得出得,具有相对性.
⑵从个数上瞧,一个函数在其定义域上得最值就是唯一得;而极值不唯一;
⑶函数在其定义区间上得最大值、最小值最多各有一个,而函数得极值可能不止一个,也可能没有一个
⑷极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间得端点处取得,有极值得未必有最值,有最值得未必有
极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定就是极值.
3.利用导数求函数得最值步骤:
由上面函数
f(x)
得图象可以瞧出,只 要把连续函数所有得极值与定义区间端点得函数值进行比较,就
可以得出函数得最值了.
一般 地,求函数
f(x)

?
a,b
?
上得最大值与最小值得步 骤如下:
⑴求
f(x)

(a,b)
内得极值;
⑵将< br>f(x)
得各极值与端点处得函数值
f(a)

f(b)
比较 ,其中最大得一个就是最大值,最小得一个
就是最小值,得出函数
f(x)

?
a,b
?
上得最值
三.典例分析
例1.(课本例5)求
f
?
x
?
?
1
3
x?4x?4

?
0,3
?
得最大值与最小值
3
解: 由例4可知,在?
0,3
?
上,当
x?2
时,
f(x)
有极小 值,并且极小值为
f(2)??
4
,又由于
3
f
?
0
?
?4

f
?
3
?
?1
1
3
4
x?4x?4

?
0,3
?
得 最大值就是4,最小值就是
?

33
1
3
上述结论可以从 函数
f
?
x
?
?x?4x?4

?
0,3
?
上得图象得到直观验证.
3
因此,函数
f
?
x
?
?
四.课堂练习
1.下列说法正确得就是( )
A、函数得极大值就就是函数得最大值 B、函数得极小值就就是函数得最小值
C、函数得最值一定就是极值 D、在闭区间上得连续函数一定存在最值
2.函数y=f(x)在区间[a,b]上得最大值就是M,最小值就是m,若M=m,则f′(x) ( )
y
A、等于0 B、大于0 C、小于0 D、以上都有可能 < br>12
3.函数y=
1
4
1
3
1
2
x ?x?x
,在[-1,1]上得最小值为( )
432
13
A、0 B、-2 C、-1 D、
12
42
10
8
6
4
2
-4
-2
4.求函数
y?x?2x?5
在区间
?
?2,2
?
上得最大值与最小值.
y=x
4
-2x< br>2
+5
O
2
4
5.课本 练习
五.回顾总结
1.函数在闭区间上得最值点必在下列各种点之中:导数等于零得点,导数不存在得点,区间端点; < br>2.函数
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上连续,就是
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上有最大值与最小值得充分条 件而非必
x


要条件;
3.闭区间
?
a,b
?
上得连续函数一定有最值;开区间
(a,b)
内得可导函数不一定有最值,若有唯< br>一得极值,则此极值必就是函数得最值
4.利用导数求函数得最值方法.
六.布置作业


§1、4生活中得优化问题举例(2课时)
教学目标:
1. 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中得作用
提高将实际问题转化为数学问题得能力
教学重点:利用导数解决生活中得一些优化问题.
教学难点:利用导数解决生活中得一些优化问题.
教学过程:
一.创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.通过前面得
学习,我们知道,导数就是求函数最大(小)值得有力工具.这一节,我们利用导数,解决一些生活中得
优化问题.
二.新课讲授
导数在实际生活中得应用主要就是解决有关函数最大值、最小值得 实际问题,主要有以下几个方面:
1、与几何有关得最值问题;2、与物理学有关得最值问题;3、与利 润及其成本有关得最值问题;4、效率
最值问题。
解决优化问题得方法:首先就是需要分析问 题中各个变量之间得关系,建立适当得函数关系,并确定
函数得定义域,通过创造在闭区间内求函数取值 得情境,即核心问题就是建立适当得函数关系。再通过研
究相应函数得性质,提出优化方案,使问题得以 解决,在这个过程中,导数就是一个有力得工具.
利用导数解决优化问题得基本思路:
优化问题
建立数学模型
用函数表示得数学问题
解决数学模型
优化问题得答案
作答
用导数解决数学问题

三.典例分析
例1.汽油得使用效率何时最高
我们知道,汽油得消耗量
w
(单位:L) 与汽车得速度
v
(单位:kmh)之间有一定得关系,汽油
得消耗量
w
就是汽车速度
v
得函数.根据您得生活经验,思考下面两个问题:
(1) 就是不就是汽车得速度越快,汽车得消耗量越大?
(2) “汽油得使用率最高”得含义就是什么?
分析:研究汽油得使用效率(单位:Lm)就就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程得比值.如果用
G
表示
w
,其中,
w
表示汽油消耗量(单位:L),
s< br>表示汽油行驶得路程(单
s
位:km).这样,求“每千米路程得汽油消耗量最少”,就 就是求
G
得最小值得问题.
每千米平均得汽油消耗量,那么
G?
通过大量得统计数据,并对数据进行分析、研究,
人们发现,汽车在行驶过程中,汽油平均消耗率
g

(即每小时得汽油消耗量,单位:Lh)与汽车行驶得
平均速度
v
(单位:kmh)之间有
如图所示得函数关系
g?f
?
v
?

从图中不能 直接解决汽油使用效率最高得问题.因此,我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率
g
(即每 小时得汽油消耗量,单位:Lh)与汽车行驶得平均速度
v
(单位:kmh)之间关系得问题, 然后利
用图像中得数据信息,解决汽油使用效率最高得问题.


w
wg
解:因为
G??
t
?

s
s
v
t
gg这样,问题就转化为求得最小值.从图象上瞧,表示经过原点与曲线上点得直线得斜率.进一步发
v v
现,当直线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点处速度约为90
kmh

因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油得使用效率最高,即每千米得汽油消耗量最小,此时得车速约为
90
kmh
.从数值上瞧,每千米得耗油量就就是图中切线得斜率,即
f
?
?
90
?
,约为 L.
例2.磁盘得最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘就是带有磁性介质得圆盘,并有操作系统将其格式化成磁道与扇区。< br>磁道就是指不同半径所构成得同心轨道,扇区就是指被同心角分割所成得扇形区域。磁道上得定长弧段可< br>作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据0或1,这个基本单元通常被称为比特(bit)。
为了保障磁盘得分辨率,磁道之间得宽度必需大于
m
,每比特所占用得磁道长度不得小 于
n
。为了数
据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同得比特数。
问题:现有一张半径为
R
得磁盘,它得存储区就是半径介于
r

R
之间得环形区域.
(1) 就是不就是
r
越小,磁盘得存储量越大?
(2)
r
为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面得磁道不存储任何信息)?
解:由题意知:存储量=磁道数×每磁道得比特数。
设存储区得半径介于
r
与R之间,由于磁道之间得宽度必需大于
m
,且最外面得磁道不存储任何信息,
R?r
。由于每条磁道上得比特数相同,为获得最大存储量,最内一条磁道必须装满,
m2
?
r
即每条磁道上得比特数可达。所以,磁盘总存储量
n
R?r2
?
r2
?
×
?r(R?r)

f(r)?
mnmn
(1) 它就是一个关于
r
得二次函数,从函数 解析式上可以判断,不就是
r
越小,磁盘得存储量越大.
故磁道数最多可达
(2) 为求
f(r)
得最大值,计算
f
?
(r)?0

f
?
(r)?
2
?
?
R?2r
?

mn

f
?
(r)?0
,解得
r?
R
2

r?
RR
时,
f
?
(r)?0
;当
r?
时,
f
?
(r)?0

22< br>R
2
?
R
2
因此
r?
时,磁盘具有最大存储 量。此时最大存储量为
mn4
2
例3.饮料瓶大小对饮料公司利润得影响
(1)您就是否注意过,市场上等量得小包装得物品一般比大包装得要贵些?
(2)就是不就是饮料瓶越大,饮料公司得利润越大?
【背景知识】:某制造商制造并出售球型瓶装得某种饮料.瓶子得制造成本就是
0.8
?
r
分,其
2



r
就是瓶子得半径,单位就是厘米。已知每出售1 mL得饮料,制造商可获利 0、2 分,且制造商能制
作得瓶子得最大半径为 6cm
问题:(1)瓶子得半径多大时,能使每瓶饮料得利润最大?
(2)瓶子得半径多大时,每瓶得利润最小?
解:由于瓶子得半径为
r
,所以每瓶饮料得利润就是
?
r
3
4
322
?

y?f?
r
?
?0.2?
?
r?0.8
?
r?0.8
?
?
?r
?
,0?r?6

3
?
3
?

f
?
?
r
?
?0.8
?< br>(r
2
?2r)?0
解得
r?2

r?0
舍去)

r?
?
0,2
?
时,
f
?
?
r
?
?0
;当r?
?
2,6
?
时,
f
?
?
r
?
?0

当半径
r?2
时,
f
?
?< br>r
?
?0
它表示
f
?
r
?
单调递增 ,即半径越大,利润越高;
当半径
r?2
时,
f
?
?r
?
?0
它表示
f
?
r
?
单调递减,即半径越大,利润越低.
(1) 半径为
2
cm 时,利润最小,这时
f
?
2
?
?0
,表示此种瓶内饮料得利润还不够瓶子得成本,此时
利润就是负值.
(2) 半径为
6
cm时,利润最大.
换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数得图像上观察,会有什么发现?
有图像知: 当
r?3
时,
f
?
3
?
?0
,即瓶子得半 径为3cm时,饮料得利润与饮料瓶得成本恰好相等;当
r?3
时,利润才为正值.

r?
?
0,2
?
时,
f
?
?
r
?
?0

f
?
r
?
为减函数,其实际意义 为:瓶子得半径小于2cm时,瓶子得半径
越大,利润越小,半径为
2
cm 时,利润最小.
说明:
四.课堂练习
1.用总长为14、8m得钢条制作一个长 方体容器得框架,如果所制作得容器得底面得一边比另一边长0、
5m,那么高为多少时容器得容积最大 ?并求出它得最大容积.(高为1、2 m,最大容积
1.8m

5.课本 练习
五.回顾总结
1.利用导数解决优化问题得基本思路:
建立数学模型
3
优化问题
用函数表示得数学问题
解决数学模型
优化问题得答案
作答
用导数解决数学问题

2.解决优化问题 得方法:通过搜集大量得统计数据,建立与其相应得数学模型,再通过研究相应函数
得性质,提出优化方 案,使问题得到解决.在这个过程中,导数往往就是一个有利得工具。
六.布置作业
§1、5、3定积分得概念
授课人:陈联沁 班级:高二(13) 时间:2007-12-10


教学目标:
1、通过求曲边梯形得面积与汽车行驶得路程,了解定积分得背景;
2、借助于几何直观定积分得基本思想,了解定积分得概念,能用定积分定义求简单得定积
分;
3、理解掌握定积分得几何意义.
教学重点:定积分得概念、用定义求简单得定积分、定积分得几何意义.
教学难点:定积分得概念、定积分得几何意义.
教学过程:
一.创设情景
复习:
1. 回忆前面曲边梯形得面积,汽车行驶得路程等问题得解决方法,解决步骤:
分割→近似代替(以直代曲)→求与→取极限(逼近)
2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳,找出共同点.
二.新课讲授
1.定积分得概念
一般地,设函数
f(x)
在区间
[
a< br>,
b
]
上连续,用分点
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
x
i
-1< br><
x
i
x
n
=
b

将区间
[a,b]
等分成
n
个小区间,每个小区间长度为
D
x

D
x
=
一点
x
i
(
i
=1,2,L,
n
)
,作与式:
b
-
a
),在 每个小区间
[
x
i
-1
,
x
i
]
上任取
n
S
n
=

f
(x
i
)D
x
=
i
=1
n
b
-
a
f
(x
i
)

n
i
=1
n
如果
D< br>x
无限接近于
0
(亦即
n
?
时,上述与式
S
n
无限趋近于常数
S
,那么称该常数
S
为函数
f( x)
?

在区间
[a,b]
上得定积分。记为:
S
=
其中
ò
a
b
f
(
x
)
dx
ò
-
积分号,
b
-积分上限,
a
-积分下 限,
f(x)
-被积函数,
x
-积分变量,
[a,b]
-积 分区间,
-被积式。

S
dx
就是一个常数,
ò
a
f
(
x
)
b
f
(
x
)
dx
说明:(1)定积分
而不就是
S
n

n
无限 趋近得常数
S

n
?
x
)
dx
,记为ò
f
(
?
时)
a
b
(2)用定义求 定积分得一般方法就是:①分割:
n
等分区间
[
a
,
②近似 代替:取点
x
i
?
b
]

b
b
-
a
f
(x
i
)
;④取极限:
ò
f
(
x
)
dx
=lim
③求与:
?
n
an
i
=1
n
[
x
i
-1
,
x
i
]

?
i
n
f
(
x
i
)
=1
b
-
a

n
(3)曲边图形面积:
S
=
2.定积分得几何意义
ò< br>a
b
f
(
x
)
dx
;变速运动路程
S
=
ò
t
t
2
v
(
t
)
dt
;变力做功
W
=
1
ò
a
b
F
(
r
)
dr


从几何上瞧,如果在区间
[< br>a
,
b
]
上函数
f
(
x
)
连续且恒有
f
(
x
)?0
,那么定积分
ò
a
f
(
x
)
dx
表示由直线
b
x
=
a
,
x
=
b
(
a
?
b
),y
积分
b
这就就是定
0
与曲线
y
=
f
(
x
)
所围成得曲边梯形(如图中得阴影部分)得面积,
ò
a
f
(
x
)
dx
得几何意义。
函数
f( x)
得图形以及直线
x
=
a
,
x
=
bdx
得几何意义就是介于
x
轴、
ò
a
f
(x
)
b
说明:一般情况下,定积分
之间各部分面积得代数与,在
x
轴上方得面积取正号,在
x
轴下方得面积去负号。
分析:一般得,设被积 函数
y
=
f
(
x
)
,若
y
=f
(
x
)

[a,b]
上可取负值。
考察与 式
f
(
x
1
)
D
x
+
f
(
x
2
)
D
x
+L+
f
(
xi
)D
x
+L+
f
(
x
n
)
D
x

,
f
(
x
i
+1
),L,
f
(
x
n
)<0
不妨设
f
(
x
i
)
于就是与式即为
f
(
x
1
)
D
x
+
f
(
x
2
)
D
x
+L+
f
(
x
i
-1
)D
x
-{[-f
(
x
i
)D
x
]+L+[-
f
(< br>x
n
)
D
x
]}


ò
a< br>f
(
x
)
dx
=
阴影
A
得面积—阴 影
B
得面积(即
x
轴上方面积减
x
轴下方得面积)
b
思考:根据定积分得几何意义,您能用定积分表示图中阴影部分得面积S吗?

3.定积分得性质
根据定积分得定义,不难得出定积分得如下性质:
性质1
性质2
ò
a
b
kdx
=
k
(
b
-
a
)

b
a

kf
(
x)
dx
=
k
a
b

f
(
x
)
dx
(
k
为常数)
(定积分得线性性质)
ba
性质3
性质4
(1)
b
[
f
(
x
)?
f
(
x
)]
dx

a
12< br>b
f
1
(
x
)
dx
?

?
a
f
(
x
)
dx
(定积分得线性性质)
2
b
f
(
x
)
dx
=

a
a
b
bc
a
f
(
x
)
dx
+< br>; (2)
?
c
b
f
(
x
)
dx
(其中
a
<
c
<
b
)
(定积分对积分区间 得可加性)
f
(
x
)
dx
=-

af
(
x
)
dx
ò
a
f
(
x< br>)
dx
=0

b
a
a
说明:①推广:
[
f
(
x
)北
f
(
x
)

a
12
b
L?
f
m
(
x
)]< br>dx
c
1
a
f
1
(
x
)
d x


f
2
(
x
)
dx
a
b
L?
b
b
a
f
m
(
x
)
②推广:

f
(
x
)
dx
=
a
b
f
(
x
)
dx
+
f
(
x
)
dx
+L+
c
1
c
2
c
k
f
(
x
)
dx

③性质解释:


y
性质4
性质1
y=1
M
Oa
P
y
A
C
B
O
a
b
xN
b
x

S
曲边梯形
AMNB
=
S< br>曲边梯形
AMPC
+
S
曲边梯形
CPNB
例1.利用 定积分得定义,计算
分析:令
f
(
x
)=
x

(1)分割
3

三.典例分析
ò
1
0
x
3
dx
得值。

把区 间
[
0,
则第i个区间为:
1
]
n等分,
(2)近 似代替、求与

x
i
=

i
-1
iii
-11
,(
i
=1,2,L,
n
)
,每个 小区间长度为:
V
x
=-=


nnn

nn
i
(
i
=1,2,L,
n
)
,则
n
ò
ò
1
0
x
3
dx
?
S
n
i
f
()?V
x

n
i
=1
n
i
1
()?
n
i
=1
n
2
n3
11
2
1

1
÷
2
3
?< br>(3)取极限
i
=
nn
+1=1+
()
÷
?
4
?
4
÷
?

n
i
=1
n
44
n
1
n
2
1
0
1
11
3

xdx
=lim
S
n
=lim?
1+
÷
=
÷
?
÷
?
nn
4

n
4
例2.计算定积分
ò
2
1
(
x
+1)
dx

分析:所求定积分就是
x
=1,
x
=2,
y
=0与
y
=
x
+1
所围成得梯 形面积,即为如图阴影部分面积,
y
面积为
5

2
即:
ò
2
1
(
x
+1)
dx
=
5
2
思考:若改为计算定积分
ò
2
O
1 2
x
-2
(
x
+1)
dx
呢?
-2,2]
上 改变了积分上、下限,被积函数在
[
出现了负值如何解决呢?(后面解决得问题)
例 3.计算定积分
ò
1
0
(2
x
-
x
2)
dx

(2
x
-

0
1
分 析:利用定积分性质有,
x
)
dx
=2
2
1
0xdx
-
?
1
0
x
2
dx


利用定积分得定义分别求出
四.课堂练习
计算下列定积分
1.
2.
ò
1
0
xdx

ò
xdx
,就能得到
ò
(2
x
-
x
2
)
dx得值。
2
00
11
ò
ò
5
0
1(2
x
-4)
dx

ò
(2
x
-4)
dx
=9-4=5

0
5
-1
xdx

ò
xdx
=
-1
1
11
创11+创11=1

22
3.课本练习:计算
ò
2
0
x
3
dx
得值,并从几何上解释这个值表示什么?
五.回顾总结
1.定积分得概念、用定义法求简单得定积分、定积分得几何意义.
六.布置作业
P50 3、5


第二章 推理与证明
课题:
合情推理

掌握归纳推理得技巧,并能运用解决实际问题。
通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”得理念。
感受数学得人文价值,提高学生得学习兴趣,使其体会到数学学习得美感。
●教学重点:归纳推理及方法得总结。
●教学难点:归纳推理得含义及其具体应用。
●教具准备:与教材内容相关得资料。
●课时安排:1课时
●教学过程:
一、问题情境
(1)原理初探
①引入:“阿基米德曾对国王说,给我一个支点,我将撬起整个地球!”
②提问:大家认为可能吗?她为何敢夸下如此海口?理由何在?
③探究:她就是怎么发现“杠杆原理”得?
从而引入两则小典故:(图片展示- 阿基米德得灵感)
A:一个小孩,为何轻轻松松就能提起一大桶水?
B:修筑河堤时,奴隶们就是怎样搬运巨石得?
正就是基于这两个发现,阿基米德大胆地猜想 ,然后小心求证,终于发现了伟大得“杠
杆原理”。
④思考:整个过程对您有什么启发?
⑤启发:在教师得引导下归纳出:“科学离不开生活,离不开观察,也离不开猜想与证
明”。
观察 猜想 证明
归纳推理得发展过程
(2)皇冠明珠
追逐先辈得足迹,接触数学皇冠上最璀璨得明珠 — “歌德巴赫猜想”。
链接:

世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫就是德国一位中学教师,也就是一位著名得数

学家,生于1690年,1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年,哥德巴赫在教
、 、 、 、 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算,哥德

5 + 13,
学中发现,每个不小于6得偶数都就是两个素数(只能被与它本身整除得数)之与。
巴赫猜想( a)都成立。但验格得数学证明尚待数学家得努力。从此,这道著名得数学难
思考:其她偶数就是否也有 类似得规律?
如6=3+3,12=5+7等等。公元1742

年6月7日哥德巴赫 (Goldbach)写信给当时得
题引起了世界上成千上万数学家得注意。200
③讨论:组 织学生进行交流、探讨。
大数学家欧拉(Euler),提出了以下得猜想: (a)
年过 去了,没有人证明它。哥德巴赫猜
任何一个≥6之偶数,都可以表示成两
想由此成为数学皇冠上 一颗可望不可及得“明珠”。到了20世纪20年代,才有人开始
④检验:2与4可以吗?为什么不行?
个奇质数之与。 (b) 任何一个≥9之奇数,都可以表示成三个奇质数之与。
向它靠近 。1920年、挪威数学家布爵用一种古老得筛选法证明,得出了一个结论:每
⑤归纳:通过刚才得探究 ,由学生归纳“归纳推理”得定义及特点。
这就就是着名得哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给她得回 信中说,她相信这个猜想就
一个比大得偶数都可以表示为(99)。这种缩小包围圈得办法很管用,科学 家们于就是
3、数学建构
是正确得,但她不能证明。叙述如此简单得问题,连欧拉这样首屈一 指得数学家都不
从(9十9)开始,逐步减少每个数里所含质数因子得个数,直到最后使每个数里都就< br>●把从个别事实中推演出一般性结论得推理,称为归纳推理(简称归纳)、
能证明,这个猜想便 引起了许多数学家得注意。从提出这个猜想至今,许多数学家都
是一个质数为止,这样就证明了“哥德巴 赫”。
注:归纳推理得特点;
但都没有成功。不断努力想攻克它,当然曾经有人作了些具体得验证工作,例如: 6 = 3
简言之,归纳推理就是由部分到整体、由特殊到一般得推理。
●归纳推理得一般步骤:
4、师生活动
例1 前提:蛇就是用肺呼吸得,鳄鱼就是用肺呼吸得,海龟就是用肺呼吸得,蜥蜴就是


用肺呼吸得。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都就是爬行动物、
结论:所有得爬行动物都就是用肺呼吸得。
例2 前提:三角形得内角与就是180
0
,凸四边形得内角与就是360
0
,凸五边形得内角
与就是540
0
,……
结论:凸n 边形得内角与就是(n—2)×180
0

22?122?222?3
?,?,?,?

33?133?233?3bb+m
探究:上述结论都成立吗?
由此我们猜想:?

(a,b,m均为正实数)。
aa+m
强调:归纳推理得结果不一定成立! —— “ 一切皆有可能!”
例3
5、提高巩固
?
a
n
?< br>的第一项a
1
?1,且a
n?1
?例4:已知数列
数列的通项 公式。
a
n
(n?1,2,......),试归纳出这个

1?a
n
①探索:先让学生独立进行思考。
②活动:“千里走单骑” — 鼓励学生说出自己得解题思路。
③活动:“圆桌会议” — 鼓励其她同学给予评价,对在哪里?错在哪里?还有没有
更好得方法?
【设计意图】:提供一个舞台, 让学生展示自己得才华,这将极大地调动学生得积极性,
增强 学生得荣誉感,培养学生独立分析问题与解决问题得能力,体现了“自主探究”,
同时,也锻炼了学生敢 想、敢说、敢做得能力。
【一点心得】:在“千里走单骑”与“圆桌会议”得探究活动中,教师一定要 以“鼓励与表扬”
为主,面带微笑,消除学生得恐惧感,提高学生得自信心.
⑵能力培养(例2拓展)
例4拓展:a
1
?2,a
2
?1 ,a
3
?
21
,a
4
?,求a
n
??
32
①思考:怎么求
a
n
?组织学生进行探究,寻找规律。
②归纳:由学生讨论,归纳技巧,得到技巧②与③。
技巧②:有整数与分数时,往往将整数化为分数、
技巧③:当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找另一部分得变化规
律、
6、课堂小结
(1)
归纳推理就是由部分到整体,从特殊到一般得推理。通常归纳得 个体数目越多,越
具有代表性,那么推广得一般性命题也会越可靠,它就是一种发现一般性规律得重要方
法。
(2)归纳推理得一般步骤:
通过观察个别情况发现某些相同得性质 从已知得相同性质中推出一个明确表述得
一般命题(猜想)
证明
课题:
类比推理
●教学目标:
通过对已学知识得回顾,认识类比推理这一种合情推理得基本方法,并把它用于对

题得发现中去。
类比推理就是从特殊到特殊得推理,就是寻找事物之间得共同或相似性质,类 比得


性质相似性越多,相似得性质与推测得性质之间得关系就越相关,从而类比得出得结 论
就越可靠。
正确认识合情推理在数学中得重要作用,养成从小开始认真观察事物、分析问题 、
发现事物之间得质得联系得良好个性品质,善于发现问题,探求新知识。
认识数学在日常生产生活中得重要作用,培养学生学数学,用数学,完善数学得正确数学意识。
●教学重点:了解合情推理得含义,能利用类比进行简单得推理。
●教学难点:用类比进行推理,做出猜想。
●教具准备:与教材内容相关得资料。
●课时安排:1课时
●教学过程:
一.问题情境
从一个传说说起:春秋 时代鲁国得公输班(后人称鲁班,被认为就是木匠业得祖师)一
次去林中砍树时被一株齿形得茅草割破了 手,这桩倒霉事却使她发明了锯子、
她得思路就是这样得:
茅草就是齿形得;
茅草能割破手、
我需要一种能割断木头得工具;
它也可以就是齿形得、
这个推理过程就是归纳推理吗?
二.数学活动
我们再瞧几个类似得推理实例。
例1、试根据等式得性质猜想不等式得性质。
等式得性质: 猜想不等式得性质:
(1) a=b?a+c=b+c; (1) a>b?a+c>b+c;
(2) a=b? ac=bc; (2) a>b? ac>bc;
(3) a=b?a
2
=b
2
;等等。 (3) a>b?a
2
>b
2
;等等。
问:这样猜想出得结论就是否一定正确?
例2、试将平面上得圆与空间得球进行类比、
圆得定义:平面内到一个定点得距离等于定长得点得集合、
球得定义:到一个定点得距离等于定长得点得集合、
圆 球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
圆得性质
圆心与弦(不就是直径)得中
点得连线垂直于弦
球得性质
球心与截面圆(不就是大
圆)得圆点得连线垂直于截
面圆
与圆心距离相等得两弦相
等;与圆心距离不等得两弦
不等,距圆心较近得弦较长 与球心距离相等得两截面
圆相等;与球心距离不等得
两截面圆不等,距球心较近
得 截面圆较大


圆得切线垂直于过切点得半
径;经过圆心且垂直于切线
得 直线必经过切点
球得切面垂直于过切点得
半径;经过球心且垂直于切
面得直线必经过切点
经过切点且垂直于切线得直
线必经过圆心
经过切点且垂直于切面得
直线必经过球心

☆上述两个例子均就是这种由两 个(两类)对象之间在某些方面得相似或相同,推演出她们在其她方面也
相似或相同;或其中一类对象得 某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征得推理称为类比推理(简
称类比).
简言之,类比推理就是由特殊到特殊得推理.
类比推理得一般步骤:
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述得相似特征;
⑵ 用一类对象得已知特征去推测另一类对象得特征,从而得出一个猜想;
⑶ 检验猜想。即
观察、比较 联想、类推 猜想新结论

例3、在平面上,设h
a
,h
b
,h
c
就是三角形ABC三条边上得高、P为三角形内任一点,P到< br>相应三边得距离分别为p
a
,p
b
,p
c
,我们可以 得到结论:

p
a
p
b
p
c
???1
试通过类比 h
a
h
b
,写出在空间中得类似结论、
h
c
巩 固提高
1.(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由① 式减去②式可得上述两
圆得对称轴方程、将上述命题在曲线仍然为圆得情况下加以推广,即要求得到一个 更一
般得命题,而已知命题应成为所推广命题得一个特例,推广得命题为
---------- -------------------
-------------------------- -------------------------------------------------- ------------------------------------
---
2.类比平面内直角三角形得勾股定理,试给出空间中四面体性质得猜想.

直角三角形
∠C=90°
3个边得长度a,b,c
2条直角边a,b与1条斜边c
3个面两两垂直得四面体
∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°
4个面得面积S1,S2,S3与S
3个“直角面” S1,S2,S3与1个“斜面” S


3.(2 004,北京)定义“等与数列”:在一个数列中,如果每一项与它得后一项得与都
为同一个常数,那么 这个数列叫做等与数列,这个常数叫做该数列得公与。
已知数列
{a
n}
就是等与数列,且
a
1
?2
,公与为5,那么
a18
得值为
______________,这个数列得前n项与
S
n< br>得计算公式为________________
课堂小结
1.类比推理就是从特 殊到特殊得推理,就是寻找事物之间得共同或相似性质。类比得
性质相似性越多,相似得性质与推测得性 质之间得关系就越相关,从而类比得出得结论
就越可靠。
2. 类比推理得一般步骤:
①找出两类事物之间得相似性或者一致性。
②用一类事物得性质去推测另一类事物得性质,得出一个明确得命题(猜想)
演绎推理
教学目标:1、 了解演绎推理 得含义。
2、 能正确地运用演绎推理 进行简单得推理。
3、 了解合情推理与演绎推理之间得联系与差别。
教学重点:正确地运用演绎推理 进行简单得推理
教学难点:了解合情推理与演绎推理之间得联系与差别。
教学过程:
一.复习:合情推理
归纳推理 从特殊到一般
类比推理 从特殊到特殊
从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。类比――提出猜想
二.问题情境。
观察与思考
1所有得金属都能导电
铜就是金属,
所以,铜能够导电
2、一切奇数都不能被2整除,
(2100+1)就是奇数,
所以, (2100+1)不能被2整除、
3、三角函数都就是周期函数,
tan
?
就是三角函数,
所以,tan
?
就是 周期函数。
提出问题 :像这样得推理就是合情推理吗?
二.学生活动 :
1、所有得金属都能导电 ←————大前提
铜就是金属, ←-----小前提
所以,铜能够导电 ←――结论
2、一切奇数都不能被2整除 ←————大前提
(2100+1)就是奇数,←――小前提
所以, (2100+1)不能被2整除、 ←―――结论


3、三角函数都就是周期函数, ←——大前提
tan
?
就是三角函数, ←――小前提
所以,tan
?
就是 周期函数。←――结论
三,建构数学
演绎推理得定义:从一般性得原理出发,推出某个特殊情况下得结论,这种推理称为
演绎推理.
1.演绎推理就是由一般到特殊得推理;
2.“三段论”就是演绎推理得一般模式;包括
⑴大前提---已知得一般原理;
⑵小前提---所研究得特殊情况;
⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出得判断.
三段论得基本格式
M—P(M就是P) (大前提)
S—M(S就是M) (小前提)
S—P(S就是P) (结论)
3、三段论推理得依据,用集合得观点来理解:
若集合M得所有元素都具有性质P,S就是M得一个子集,那么S中所有元素也都具有性
质P、
四,数学运用

例1、把“函数y?x
2
?x?1的图象是一条抛 物线”恢复成完全三段论。
解:二次函数得图象就是一条抛物线 (大前提)
2
(小前提)

函数y?x?x?1是二次函数
2
所以,函 数y?
计算
x?
lg0
x?1的图象是一条抛物线(结论)
例2、已 知lg2=m,、8
解 (1) lgan=nlga(a>0)---------大前提
lg8=lg23————小前提
lg8=3lg2————结论
lg(ab)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提
lg0、8=lg(810)——-小前提
lg0、8=lg(810)——结论
例3、如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,
D,E就是垂足,求证AB得中点M到D,E得距离相等
解: (1)因为有一个内角就是只直角得三角形就是直角三角形,——大前提
在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提
所以△ABD就是直角三角形——结论
(2)因为直角三角形斜边上得中线等于斜边得一半,——大前提
因为 DM就是直角三角形斜边上得中线,——小前提
所以 DM=
1
AB——结论
2
同理 EM= AB
所以 DM=EM、
练习:第35页 练习第 1,2,3,4,题
五 回顾小结:
演绎推理具有如下特点:课本第33页 。
演绎推理错误得主要原因就是
1.大前提不成立;2, 小前提不符合大前提得条件。
作业:第35页 练习 第5题 。习题2。1 第4题。


课题:
推理案例赏识
课型:新授课
教学目标:
1、 了解合情推理与演绎推理 得含义。
2、 能正确地运用合情推理与演绎推理 进行简单得推理。
3、 了解合情推理与演绎推理之间得联系与差别。
教学重点:了解合情推理与演绎推理之间得联系与差别
教学难点:了解合情推理与演绎推理就是怎样推进数学发现活动得。
教学过程:
2 复习 合情推理与演绎推理得过程
3 案例:
例一 正整数平方与公式得推导。
提出问题
我们知道,前n个正整数得与为
1
S
1
(n)=1+2+3+……、+n=
2
n(n+i) ①
那么,前n 个正整数得平方与

S
2
(n)=
1
2
?2
2
?3
2
?........?n
2
=? ②
三,数学活动
思路1 (归纳得方案) 参照课本 第36页 -37页 三表 猜想

n(n?1)(2n?1)
S
2
(n)=
6

思考 :上面得数学活动就是由哪些环节构成得?
在这个过程中提出了哪些猜想?
提出猜想时使用了哪些推理方法?
合情推理与演绎推理分别发挥了什么作用?
思路2 (演绎得方案)
尝试用直接相加得方法求出正整数得平方与。
2 把正整数得平方与表示出来,参照课本棣37页

左右两边分别相加,等号两边得
S
2
(n)被消去了,所以无法从中求出
S
2
(n)得值,
尝试失败了。
(2)从失败中吸取有用信息,进行新得尝试
(3)尝试把两项与得平方公式改为两项与得立方公式。左右两边相加,
终于导出了公式。
思考: 上面得数学活动就是由哪些环节构成得?
在这个过程中提出了哪些猜想?
提出猜想时使用了哪些推理方法?
合情推理与演绎推理分别发挥了什么作用。
四,数学理论:
上面得案例说明:
(1)数学发现过程就是一个探索创造得过程、 就是一个不断地提出猜想验证猜想


得过程,合情推理与论证推理相辅相成,相互为用,共 同推动着发现活动得
进程。
(2)合情推理就是富于创造性得或然推理,在数学发现活动中, 它为演绎推理确
定了目标与方向,具有提出猜想、发现结论,提供思路得作用。
(3)演绎推 理就是形式化程度较高得必然推理,在数学发现活动中,它具有类似于
“实验”得功能,它不仅为合情推 理提供了前提,而且可以对猜想作出“判决”与
证明,从而为调控探索活动提供依据。
五,巩固练习:
阅读课本第39页
棱台体积公式得探求
通过阅读或 查资料,寻找合情推理与演绎推理在数学推理在数学活动中得作用得案例,
并回答问题:
1 。案例中得数学活动就是由哪些环节构成得?
2 。在上这个过程中提出了哪些猜想?
3 , 提出猜想时使用了哪些推理方法?
4, 合情推理与演绎推理分别发挥了什么作用?
六,教学小结:
(1)数学发现过程就是一个探索创造得过程、就是一个不断地提出猜想验证 猜想
得过程,合情推理与论证推理相辅相成,相互为用,共同推动着发现活动得
进程。
(2)合情推理就是富于创造性得或然推理,在数学发现活动中,它为演绎推理确
定了目标与方向,具 有提出猜想、发现结论,提供思路得作用。
(3)演绎推理就是形式化程度较高得必然推理,在数学发 现活动中,它具有类似于
“实验”得功能,它不仅为合情推理提供了前提,而且可以对猜想作出“判决” 与
证明,从而为调控探索活动提供依据。
七,作业:
八,教后感:
课题:
直接证明--综合法与分析法
1.教学目标:
知识与技能:结合 已经学过得数学实例,了解直接证明得两种基本方法:
分析法与综合法;了解分析法与综合法得思考过程 、特点。
过程与方法: 多让学生举命题得例子,培养她们得辨析能力;以及培养她
们得分析问题与解决问题得能力;
情感、态度与价值观:通过学生得参与,激发学生学习数学得兴趣。
2.教学重点:了解分析法与综合法得思考过程、特点
3.教学难点:分析法与综合法得思考过程、特点
4.教具准备:与教材内容相关得资料。
5.教学设想:分析法与综合法得思考过程、特点、 “变形”就是解题得
关键,就是最重一步 。因式分解、配方、凑成若干个平方与等就是“变形”
得常用方法。
6.教学过程:
学生探究过程:证明得方法
(1)、分析法与综合法就是思维方向相反得两种思考方法。在数 学解题中,


分析法就是从数学题得待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后
达到题设得已知条件。综合法则就是从数学题得已知条件出发,经过逐步得逻
辑推理,最后达到 待证结论或需求问题。对于解答证明来说,分析法表现为执
果索因,综合法表现为由果导因,它们就是寻 求解题思路得两种基本思考方法,
应用十分广泛。
(2)、例1.设a、b就是两个 正实数,且a≠b,求证:a
3
+b
3
>a
2
b+ab2

证明:(用分析法思路书写)
要证 a
3
+b
3
>a
2
b+ab
2
成立,
只需证(a+b)(a
2
-ab+b
2
)>ab(a+b)成立,
即需证a
2
-ab+b
2
>ab成立。(∵a+b>0)
只需证a
2
-2ab+b
2
>0成立,
即需证(a-b)
2
>0成立。
而由已知条件可知,a≠b,有a-b≠0 ,所以(a-b)
2
>0显然成立,由此命题
得证。
(以下用综合法思路书写)
∵a≠b,∴a-b≠0,∴(a-b)2>0,即a2-2ab+b2>0
亦即a2-ab+b2>ab
由题设条件知,a+b>0,∴(a+b)(a2-ab+b2)>(a+b)ab
即a3+b3>a2b+ab2,由此命题得证
2422
3(1?x?x)?(1?x?x).

x?1
例2、若实数,求证:
证明:采用差值比较法:
3(1?x
2
?x
4
)?(1?x?x
2
)
2

=
3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x

4322
2(x?x?x?1)2(x?1)(x?x?1)
= =
24 2423
13
2(x?1)
2
[(x?)
2
?].
24
=
13
?x?1,从而(x?1)
2
?0,且(x?)
2
??0,
24

13
2(x?1)
2
[(x? )
2
?]?0,
2422
3(1?x?x)?(1?x?x).

24
∴ ∴
?
a,b?R,
求证
a
a
b< br>b
?a
b
b
a
.
例3、已知
本题可以尝试使用差值比较与商值比较两种方法进行。
证明:1) 差值比较法:注意到要证得不等式关于
a,b
对称,不妨设
a?b?0.
< /p>


?a?b?0
?a
a
b
b
?a
bb
a
?a
b
b
b
(a
a?b
?ba?b
)?0
,从而原不等式得证。
2)商值比较法:设
a?b?0,

a
a
b
ba
a
??1,a?b?0,
?
ba
?()
a?b
?1.
b
b

ab
故原不等式得证。
注:比较法就是证 明不等式得一种最基本、最重要得方法。用比较法证
明不等式得步骤就是:作差(或作商)、变形、判断 符号。
讨论:若题设中去掉
x?1
这一限制条件,要求证得结论如何变换?
巩固练习:第81页练习1 , 2 , 3 , 4
课后作业:第84页 1,2, 3
教学反思:
本节课学习了分析法与综合法得思考过程、特点、
“变形”就
是解题得关键,就是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方与等就是“变
形”得常用方法。

课题:
间接证明--反证法
1.教学目标:
知识与技能:结合已经学过得数学实例,了解间接证明得一种基本方法─
─反证法;了解反证法得思考 过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题得例子,培养她们得辨析能力;以及培养她
们得分析问题与解决问题得能力;
情感、态度与价值观:通过学生得参与,激发学生学习数学得兴趣。
2、教学重点:了解反证法得思考过程、特点
3、 教学难点:反证法得思考过程、特点
4.教具准备:与教材内容相关得资料。
5.教学设想:利用反证法证明不等式得第三步所称 得矛盾结果,通常就
是指所推出得结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式,以
及 与临时假定矛盾等各种情况。
6.教学过程:
学生探究过程:综合法与分析法
(1)、反证法
反证法就是一种间接证法,它就是先提出一个与命题得结论相反得假 设,然
后,从这个假设出发,经过正确得推理,导致矛盾,从而否定相反得假设,达
到肯定原命 题正确得一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论得反面只有
一种)与穷举反证法(结论得反面不只 一种)。用反证法证明一个命题得步骤,大
体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
反设就是反证法得基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用得互为否定得
表述形式就 是有必要得,例如:就是不就是;存在不存在;平行于不平行于;
垂直于不垂直于;等于不等于;大(小 )于不大(小)于;都就是不都就是;至
少有一个一个也没有;至少有n个至多有(n一1)个;至多有 一个至少有两个;
唯一至少有两个。
归谬就是反证法得关键,导出矛盾得过程没有固定得模式 ,但必须从反设出发,


否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出得矛盾 有如下几种
类型:与已知条件矛盾;与已知得公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;
自相 矛盾。
(2)、例子
例1、求证:
2
不就是有理数
n
例2、已知
a?b?0
,求证:
a?
n
b

n?N

n?1

例3、设
a?b?2
,求证
a?b?2.

证明:假设
a?b?2
,则有
a?2?b
,从而
33a
3
?8?12b?6b
2
?b
3
,
3322
a?b?6b?12b?8?6(b?1)?2.

2
6( b?1)?2?2
,所以
a
3
?b
3
?2
,这与题 设条件 因为
a
3
?b
3
?2
矛盾,所以,原不
等式
a?b?2
成立。
2
f(1),f(2),f(3)
例4、设二次函数
f(x)?x?px?q
,求证:中至少有一
1
个不小于< br>2

1
f(1),f(2),f(3)
证明:假设都小于
2
,则

f(1)?2f(2)?f(3)?2.
(1)
另一方面,由绝对值不等式得性质,有
f(1)?2f(2)?f(3)?f(1)?2f(2)?f(3)

?(1?p?q)?2(4?2p?q)?(9?3p?q)?2
(2)
(1)、(2)两式得结果矛盾,所以假设不成立,原来得结论正确。
注意:诸如本例中得问题,当要 证明几个代数式中,至少有一个满足某个不等
式时,通常采用反证法进行。
议一议:一般来说 ,利用反证法证明不等式得第三步所称得矛盾结果,通常就
是指所推出得结果与已知公理、定义、定理或 已知条件、已证不等式,以及与
临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例,讨论寻找矛盾得手段、方法 有什
么特点?
1
例5、设0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于
4

111
证:设(1 ? a)b >
4
, (1 ? b)c >
4
, (1 ? c)a >
4
,


1
则三式相乘:ab < (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <
64

1
?
(1?a)?a
?
0?(1?a)a?
?
?
?
24

??
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
(1?b)b?
同理:
2
11
(1 ?c)c?
4
,
4

1
以上三式相乘: (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤
64
与①矛盾
∴原式成立
例6、已知a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0,abc > 0,求证:a, b, c > 0
证:设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c = ?a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾
又:若a = 0,则与abc > 0矛盾, ∴必有a > 0
同理可证:b > 0, c > 0
巩固练习:第83页练习3、4、5、6
课后作业:第84页 4、5、6
教学反思:
反证法就是一种间接证法,它就是先提出一个与命题得结论相反得假 设,
然后,从这个假设出发,经过正确得推理,导致矛盾,从而否定相反得假设,
达到肯定原命 题正确得一种方法。反证法可以分为归谬反证法
(
结论得反面只
有一种
)与穷举反证法
(
结论得反面不只一种
)
。用反证法证明一个命题得步骤,
大体上分为:
(1)
反设;
(2)
归谬;
(3)
结 论。


反设就是反证法得基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用得互 为否定
得表述形式就是有必要得,例如:就是

不就是;存在

不存在; 平行于

不平行
于;垂直于

不垂直于;等于

不等于; 大
(

)


不大
(

)
于;都就是

不都就是;
至少有一个

一个也没有;至少有
n< br>个

至多有
(n

1)
个;至多有一个

至少有两
个;唯一

至少有两个。

归谬就是反证法得关键,导出矛 盾得过程没有固定得模式,但必须从反设出发,
否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导 出得矛盾有如下几种
类型:与已知条件矛盾;与已知得公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。

课题:
数学归纳法
一、教学目标:
1.了解数学归纳法得原理,理解数学归纳法得一般步骤。
2.掌握数学归纳法证明问题得方法。
3.能用数学归纳法证明一些简单得数学命题。
二、教学重点:
掌握数学归纳法得原理及证明问题得方法。


难点:
能用数学归纳法证明一些简单得数学命题。

三、教学过程:
【创设情境】
1.华罗庚得“摸球实验”。
2.“多米诺骨牌实验”。

问题:
如何保证所摸得球都就是红球?多米诺骨牌全部倒 下?处了利用完全归
纳法全部枚举之外,就是否还有其它方法?
数学归纳法:数学归纳法实际 上就是一种以数学归纳法原理为依据得演绎推理,
它将一个无穷得归纳过程转化为一个有限步骤得演绎过 程,就是处理自然数问题得有力
工具。
【探索研究】
1.
数学归纳法得本质:
无穷得归纳→有限得演绎(递推关系)

2.
数学归纳法公理:
(1)(递推奠基):当n取第一个值n
0
结论正确;
(2)(递推归纳) :假设当n=k(k∈N
*
,且k≥n
0
)时结论正确;(归纳假设)
证明当n=k+1时结论也正确。(归纳证明)
由(1),(2)可知,命题对于从n
0
开始得所有正整数n都正确。
【例题评析】
例1:
以知数列{a
n
}得公差为d,求证:
a
n
?a
1
?(n?1)d

说明:
①归纳证明 时,利用归纳假设创造递推条件,寻求f(k+1)与f(k)得递推关
系,就是解题得关键。
②数学归纳法证明得基本形式;
(1)(递推奠基):当n取第一个值n
0
结论正确;
(2)(递推归纳) :假设当n=k(k∈N
*
,且k≥n
0
)时结论正确;(归纳假设)
证明当n=k+1时结论也正确。(归纳证明)
由(1),(2)可知,命题对于从n
0
开始得所有正整数n都正确。
EX:
1、判断下列推证就是否正确。
P88 2,3
2、 用数学归纳法证明

1?4?2?7?3?10???n(3n?1)?n(n?1)

2
例2:
用数学归纳法证明
111
??????1
(n∈N,n≥2)
n?1n?23n?1
说明:
注意从n=k到n=k+1时,添加项得变化。
EX:1、
用数学归纳法证


明:
1?
11111111
???L?????L?
2342n?12nn?1n?22n
(1)当n=1 时,左边有_____项,右边有_____项;
(2)当n=k时,左边有_____项,右边有_____项;
(3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项;
(4)等式得左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同?
111
?
2
????
n
?1
(n∈N
+
)

222
111
例3:
设f(n)= 1+
?????
,求证n+f(1)+f(2)+…f(n-1)=nf(n) (n∈N,n≥2)
23n
变题:
用数学归纳法证明
说明:
注意分析f(k)与f(k+1)得关系。
【课堂小结】
1.
数学归纳法公理:
(1)(递推奠基):当n取第一个值n
0
结论正确;
(2)(递推归纳) :假设当n=k(k∈N
*
,且k≥n
0
)时结论正确;(归纳假设)
证明当n=k+1时结论也正确。(归纳证明)
由(1),(2)可知,命题对于从n
0
开始得所有正整数n都正确。
2、
注意从n=k到n=k+1时,添加项得变化。利用归纳假设创造递推条件,寻求
f(k+1)与f(k)得递推关系、
【反馈练习】
1.用数学归纳法证明3
k
≥n
3
(n≥3,n∈N)第一步应验证( )
A n=1 B n=2 C n=3 D n=4
2.
用数学归纳法证明
1?< br>111
??L?
n
?n
?
n?N且n?1
?
第二步证明从“k
23
2
?1
到k+1”,左端增加得项数就是( )
A、
2
k
?1
B
2
k
?1
C
2
k
D
2
k?1

11113

?????
n?1n?22n24
11713
证明 (1)当n=2时,
???
2?12?21224
11113
(2)假设当n=k时成立,即 < br>?????
k?1k?22k24
1111111
则当n?k?1时,???? ????
k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1
131111311
???????
242k?12k?2k?1242k?12k?2
13113
? ??
242(2k?1)(k?1)24
3.若n为大于1得自然数,求证
4.< br>用数学归纳法证明
?
n?1
??
n?2
?
LL
?
n?n
?
?2
n
?1?3?LL?
?
2n?1
?
,
?
n?N
?
?


【课外作业】
《课标检测》
课题:
数学归纳法
一、教学目标:
1.了解数学归纳法得原理,理解数学归纳法得一般步骤。
2.掌握数学归纳法证明问题得方法,能用数学归纳法证明一些简单得数学命

3.能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。
二、教学重点:
能用数学归纳法证明一些简单得数学命题。
难点:
归纳→猜想→证明。

三、教学过程:
【创设情境】
问题1:
数学归纳法得基本思想?
以数学归纳法原理为依据得演绎推理,它 将一个无穷归纳(完全归纳)得过程,转化为一个有限步骤
得演绎过程。(递推关系)
问题2:
数学归纳法证明命题得步骤?
(1)递推奠基:当n取第一个值n
0
结论正确;
(2)递推归纳:假设当 n=k(k∈N
*
,且k≥n
0
)时结论正确;(归纳假设)
证明当n=k+1时结论也正确。(归纳证明)
由(1),(2)可知,命题对于从n
0
开始得所有正整数n都正确。
数学归纳法就是直接证明得一种重要方法,应用十分广泛,主要体现在与正整数有关得恒等式、不等
式; 数得整除性、几何问题;探求数列得通项及前n项与等问题。
【探索研究】
7
n
?1
能被9整除。
问题:
用数学归纳法证明:
(3n?1)g
法一:配凑递推假设:
法二:计算f(k+1)-f(k),避免配凑。

说明:
①归纳证明时,利用归纳假设创造条件,就是解题得关键。
②注意从“n=k到n=k+1”时项得变化。
【例题评析】
例1:
求证: a
n?1
?(a?1)
2n?1
能被
a
2
?a ?1
整除(n∈N
+
)。

例2:
数列{a
n}中,
a
n?1
?a
n
,a
1
=1

(a
n?1
?a
n
)
2
?2(a
n
?a
n?1
)?1?0

(1)求
a
2
,a
3
,a
4
得值;
(2)猜想{a
n
}得通项公式,并证明您得猜想。


说明:
用数学归纳法证明问题得常用方法:归纳→猜想→证明

2
变题:
(2002全国理科)设数列{a
n
}满足
a
n ?1
?a
n
?na
n
?1
,n∈N
+
,
(1)当a
1
=2时,求
a
2
,a
3< br>,a
4
,并猜想{a
n
}得一个通项公式;
(2)当a
1
≥3时,证明对所有得n≥1,有
①a
n
≥n+2 ②
1111
??ggg?

1?a
1
1?a
2
1?a
n
2
例3:
平面内有< br>n
条直线,其中任何两条不平行,任何三条直线不共点,问:这
n条直线将平面分成多少 部分?
变题:
平面内有n个圆,其中每两个圆都相交与两点,且每三个圆都不相交于同
一点,求证:这n个圆把平面分成n+n+2个部分。
2
2
k?1
?x) ?2k?1
,(k
例4:
设函数f(x)就是满足不等式
log
2< br>x?log
2
(3g
∈N
+
)得自然数x得个数;
(1)求f(x)得解析式;
(2)记S
n
=f(1)+f(2)+…+f (n),求S
n
得解析式;
(3)令P
n
=n
2
+n-1 (n∈N
+
),试比较S
n
与P
n
得大小。
【课堂小结】
1、猜归法就是发现与论证得完美结合
数学归纳法证明正整数问题得一般方法:归纳→猜想→证明。
2、两个注意:
(1)就是否用了归纳假设?
(2)从n=k到n=k+1时关注项得变化?
【反馈练习】
131151117
1 观察下列式子
1??,1?< br>2
?
2
?,1?
2
?
2
?
2
?
…则可归纳出
2234
23234
____
答案:1?
1112n?1
?????
(n∈N
*
) 222
n?1
23(n?1)
n
2
1.
用数学归纳法证 明
2
?
n
?
n?4,n?N
?
?


2.已知数列
1111
计算
S
1
,S
2
,S3
,S
4


,,,...,,...,
1?44?7 7?10(3n?2)(3n?1)
据计算结果,猜想
S
n
得表达式,并用数 学归纳法证明。
3
3
、就
3
是否
3
存在常
3
数a、b、c,使等式
?
1
?
?
?
2
?
?
?
3
?
??????
?
n
??
n
??
n
?
?
?L
n
??
?
? ?
?
n
?
an
2
?bn?c

?
n
对一切
n?N
都成立?并证明您得结论、
【课外作业】


《课标检测》
课题:
复习课
一、教学目标:
1.了解本章知识结构。
2.进一步感受与体会常用得思维模式与证明方法,形成对数学得完整认识。课题:数学
归纳法
3.认识数学本质,把握数学本质,增强创新意识,提高创新能力。
二、教学重点:
进一步感受与体会常用得思维模式与证明方法,形成对数学得
完整认识。
难点:
认识数学本质,把握数学本质,增强创新意识,提高创新能力

三、教学过程:
【创设情境】
一、知识结构:
【探索研究】
归纳推理
我们从逻辑上分析归纳、
合情推理
推理
类比、演绎得推理形式及特点;揭示了分析法、
类比推理
综合法、
数学归纳法与反证法得

思维过程及特点。演绎推理通过学习, 进一步感受与体会常用得思维模式
与证明方法,形成对数学得完整认识。


【例题评析】


综合法



1:

如图第n个图形就是由正n+2边形“扩展”而来
直接证明

,(n=1,
分析法
2,3,…)。
证明
数学归纳
间接证明 反证法
中共有________个顶点。
变题:< br>黑白两种颜
色得正六边
形地面砖按
如图得规律
拼成若干个
图案 :
第1个
第2个
第3个

则第
n个图案中有白色地面砖 块。
例2:
长方形得对角线与过同一个顶点得两边所成得角为
?
,
?
,则
co s
2
?
?sin
2
?



n< br>-
2



=1,将长方形与长方体进行类比 ,可猜测得结论为:_______________________;
变题1:
已知,m就是非零常数,x∈R,且有
f(x?m)
=
1 ?f(x)
,问f(x)
1?f(x)
就是否就是周期函数?若就是,求出它得一个周 期,若不就是,说明理由。
变题2:
数列
{a
n
}
得前n 项与记为S
n
,已知
a
1
?1,a
n?1
?
证明:
(Ⅰ)数列
{
n?2
S
n
(n?1,2,3?) .
n
S
n
}
就是等比数列;
n
(Ⅱ)
S
n?1
?4a
n
.

例3:
设f(x)=ax
2
+bx+c(a≠0),若函数f(x+1)与函数f(x )得图象关于y轴对称,
求证:
f(x?
1
)
为偶函数。
2
111n
例4:
设S
n
=1+
++...+
(n>1,n∈N),求证:
S
2
n
?1?

n?2,n?N

23n2
n(n?1)
(an
2
+bn+c) 对
12
评析:数学归纳法证明不等式时,经常用到“放缩”得技巧。
变题:就是否存 在a、b、c使得等式1·2
2
+2·3
2
+…+n(n+1)
2< br>=
于一切正整数n都成立?证明您得结论。
解 假设存在a、b、c使题设得等式成立,
1
?
4?(a?b?c)
?
6
?
a?3
?
1
??
这时令n=1,2,3,有
?
22?(4a?2b?c) ?
?
b?11

2
??< br>c?10
?
?
70?9a?3b?c
?
?
于就是,对 n=1,2,3下面等式成立
n(n?1)
1·2
2
+2·3
2< br>+…+n(n+1)
2
=
(3n
2
?11n?10)

12
记S
n
=1·2
2
+2·3
2
+…+ n(n+1)
2

(1)n=1时,等式以证,成立。
k(k?1)
(2)设n=k时上式成立,即S
k
= (3k
2
+11k+10)
12
k(k?1)
那么S
k+ 1
=S
k
+(k+1)(k+2)
2
=(k+2)(3k+5)+( k+1)(k+2)
2

2
(k?1)(k?2)(k?1)(k?2)
= (3k
2
+5k +12k+24)=[3(k+1)
2
+11(k+1)+10]
1212
也就就是说,等式对n=k+1也成立
综上所述,当
a
=3,
b
=11,
c
=10时,题设对一切自然数
n
均成 立
【课堂小结】
体会常用得思维模式与证明方法。
【反馈练习】


1.(2005辽宁)在R上定义运算
?:x?y?x(1?y).
若不等式< br>(x?a)?(x?a)?1
对任意实数
x
成立, 则
A.
?1?a?1
B.
0?a?2
C.
?
13
?a?

22
D.
?
31
?a?

22
2.定义A*B,B*C,C*D,D*B分别对应下列图形

那么下列图形中

可以表示A*D,A*C得分别就是 ( )
(1)
B.
(2
3

C.
) 4)
A.(1)、(2)(2)、()(2)、(4


3
D.(1)、(

4)

3 已知f(n)=(2n+7)·3
n
+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n),则
(1) (2) (3) (4)
最大得m得值为( )
A 30 B 26 C 36 D 6
解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除
证明 n=1,2时,由上得证,设n=k(k≥2)时,
f(k)=(2k+7)·3
k
+9能被36整除,则n=k+1时,
f( k+1)-f(k)=(2k+9)·3
k
+1
-(2k+7)·3
k
=(6k+27)·3
k
-(2k+7)·3
k


=( 4k+20)·3
k
=36(k+5)·3
k
2
(k≥2)
?
f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36得数整除,∴所求最大得m值等于36
4 已知数列{b< br>n
}就是等差数列,b
1
=1,b
1
+b
2
+…+b
10
=145
(1)求数列{b
n
}得通项公式b
n
;
(2)设数列{ a
n
}得通项a
n
=log
a
(1+
1
) (其中a>0且a≠1)记S
n
就是数列{a
n
}得前n项
b
n
与,试比较S
n

1
log
a
b
n+ 1
得大小,并证明您得结论
3
解 (1) 设数列{b
n
}得公差为d,
?
b
1
?1
?b
1
?1
?
?
由题意得
?
,∴b
n< br>=3n-2
?
10(10?1)
d?3
10b?d?145
?
1
?
2
?
(2)证明 由b
n
=3n-2知S
n
=log
a
(1+1)+log
a
(1+
11< br>)+…+log
a
(1+)
43n?2
=log
a
[(1+1)(1+

11
)…(1+ )]
43n?2
得大小
11
log
a
b
n+1
=log
a
33n?1
,于就是,比较S
n
与log
a
b
n+133
11
?
比较(1+1)(1+)…(1+)与
3
3n?1< br>得大小
43n?2
取n=1,有(1+1)=
3
8?
3
4?
3
3?1?1

取n=2,有(1+1)(1+
)?< br>3
8?
3
7?
3
3?2?1

1
4


11
)…(1+)>
3
3n?1
(
*
)
43n?2
①当n=1时,已验证(
*
)式成立
11
②假设n=k(k≥1)时(
*
)式成立,即(1+1)(1+)…(1 +)>
3
3k?1

43k?2
则当n=k+1时,
11 11
(1?1)(1?)?(1?)(1?)?
3
3k?1(1?)

43k?23(k?1)?23k?1
推测 (1+1)(1+
?
3k?2
3
3k?1

3k?1
Q(
3k?2
3
3k?1)
3
?(
3
3k?4)
3

3k?1

(3k?2)
3
?(3k?4)( 3k?1)
2
9k?4
???0
22
(3k?1)(3k?1)3
?
3k?1
(3k?2)?
3
3k?4?
3
3(k?1)?1

3k?1
111
从而(1?1)(1?)?(1?)(1 ?)?
3
3(k?1)?1
,
43k?23k?1
即当n=k+1时,(
*
)式成立
由①②知,(
*
)式对任意正整数n都成立
11
于就是,当< br>a
>1时,
S
n
>log
a
b
n
+ 1
,当 0<
a
<1时,
S
n
<log
a
b
n
+1
33
【课外作业】
《课标检测》


第3章 数系得扩充与复数得引入
§3、1数系得扩充与复数得概念
§3、1、1数系得扩充与复数得概念
教学目标:
1、 知识与技能:了解引进复数得必要性;理解并掌握虚数得单位i
2、 过程与方法:理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算得规律
3、 情感、态度与价值观:理解并掌握复数得有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚
部) 理解并掌握复数相等得有关概念
教学重点:复数得概念,虚数单位i,复数得分类(实数、虚数、纯虚 数)与复数相等等概念就是本节课得教
学重点、复数在现代科学技术中以及在数学学科中得地位与作用
教学难点:虚数单位i得引进及复数得概念就是本节课得教学难点、复数得概念就是在引入虚数单位i并
同时规定了它得两条性质之后,自然地得出得、在规定i得第二条性质时,原有得加、乘运算律仍然成立
教具准备:多媒体、实物投影仪
教学设想:生产与科学发展得需要而逐步扩充,数集得每一次 扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原
有数集中某种运算不就是永远可以实施得矛盾,分数解决了在 整数集中不能整除得矛盾,负数解决了在正
有理数集中不够减得矛盾,无理数解决了开方开不尽得矛盾、
教学过程:
学生探究过程:
数得概念就是从实践中产生与发展起来得、早在人类 社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳动中,由
于计数得需要,就产生了1,2,3,4等数以及表示“ 没有”得数0、自然数得全体构成自然数集N
随着生产与科学得发展,数得概念也得到发展
为了解决测量、分配中遇到得将某些量进行等分得问题,人们引进了分数;为了表示各种具有相反意
义得 量以及满足记数得需要,人们又引进了负数、这样就把数集扩充到有理数集Q、显然NQ、如果把
自然数 集(含正整数与0)与负整数集合并在一起,构成整数集Z,则有ZQ、NZ、如果把整数瞧作分母
为1 得分数,那么有理数集实际上就就是分数集
有些量与量之间得比值,例如用正方形得边长去度量它得对 角线所得得结果,无法用有理数表示,为
了解决这个矛盾,人们又引进了无理数、所谓无理数,就就是无 限不循环小数、有理数集与无理数集合并
在一起,构成实数集R、因为有理数都可瞧作循环小数(包括整 数、有限小数),无理数都就是无限不循环
小数,所以实数集实际上就就是小数集
因生产与科 学发展得需要而逐步扩充,数集得每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数
集中某种运算不 就是永远可以实施得矛盾,分数解决了在整数集中不能整除得矛盾,负数解决了在正有理
数集中不够减得 矛盾,无理数解决了开方开不尽得矛盾、但就是,数集扩到实数集R以后,像x
2
=-1这样得方程还就是无解得,因为没有一个实数得平方等于-1、由于解方程得需要,人们引入了一个新数
i

叫做虚数单位、并由此产生得了复数
讲解新课:
1、虚数单位
i
:
(1)它得平方等于-1,即
i??1
;
(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立、
2、
i
与-1得关系:
i
就就是-1得一个平方根,即方程x
2
=-1得一个根,方程x
2
=-1得另一个根就
是-
i
!
3、
i
得周期性:
i
4n+1
=i,
i
4n+2
=-1,
i
4n+3
=-i,
i
4n
=1
2
4、复数得定义:形如
a?bi(a,b? R)
得数叫复数,
a
叫复数得实部,
b
叫复数得虚部全体复数所成< br>得集合叫做复数集,用字母C表示*


3、 复数得代数形式: 复数通常用字 母z表示,即
z?a?bi(a,b?R)
,把复数表示成a+bi得形式,
叫做复数 得代数形式
4、 复数与实数、虚数、纯虚数及0得关系:对于复数
a?bi(a,b?R)
,当且仅当b=0时,复数a+bi(a、
b∈R)就是实数a;当b≠0时,复数z=a+b i叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0
时,z就就是实数0、

5、复数集与其它数集之间得关系:NZQRC、
6、 两个复数相等得定义:如果两个复数得实部与虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等
这就就是说,如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di
?
a=c,b=d
复数相等得定义就是求复数值,在复数集中解方程得重要依据 一般地,两个复数只能说相等或不相
等,而不能比较大小、如3+5i与4+3i不能比较大小、
现有一个命题:“任何两个复数都不能比较大小”对吗?不对 如果两个复数都就是实数,就可以比
较大小 只有当两个复数不全就是实数时才不能比较大小
例1请说出复数
2?3i,?3?
11
i,?i,?3?5i
得实部与虚部 ,有没有纯虚数?
23
1
1
3
;虚部分别就是3,,-,-
5
;
3
2
答:它们都就是虚数,它们得实部分别就是2,-3,0,-
1
i就是纯虚数、
3
例2 复数-2i+3、14得实部与虚部就是什么?
答:实部就是3、14,虚部就是-2、
易错为:实部就是-2,虚部就是3、14!
例3(课本例1)实数m取什么数值时,复数z=m+1+(m-1)i就是:
(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?
[分析]因为m∈R,所以m+1,m-1都就是实数,由复数z= a+bi就是实数、虚数与纯虚数得条件
可以确定m得值、
解:(1)当m-1=0,即m=1时,复数z就是实数;
(2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z就是虚数;
(3)当m+1=0,且m-1≠0时,即m=-1时,复数z 就是纯虚数、
例4 已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,y∈R,求x与y、


?
2x?1?y,
5
解:根据复数相等得定义,得方程组
?
,所以x=,y=4
2
?
1??(3?y)
巩固练习:
1、设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论正确得就是( )
A、A∪B=C B、

C
S
A=B C、A∩
C
S
B=
?
D、B∪
C
S
B=C
2、复数(2x
2
+5x+2)+( x
2
+x-2)i为虚数,则实数x满足( )
A、x=-
1

2
B、x=-2或-
1
C、x≠-2 D、x≠1且x≠-2
2
3、已知集合M={1,2,(m
2
-3m-1)+(m
2
-5m-6)i},集合P={-1,3}、M∩P={3} ,则实数m
得值为( )
A、-1 B、-1或4 C、6 D、6或-1
4、满足方程x
2
-2x-3+(9y
2
-6y+1 )i=0得实数对(x,y)表示得点得个数就是______、
5、复数z
1
=a +|b|i,z
2
=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则z
1
=z2
得充要条件就是______、
6、设复数z=log
2
(m
2
-3m-3)+ilog
2
(3-m)(m∈R),如果z就是纯虚数,求m得值 、
7、若方程x
2
+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根,试求实 数m得值、
8、已知m∈R,复数z=
m(m?2)
+(m
2
+2 m-3)i,当m为何值时,
m?1
(1)z∈R; (2)z就是虚数;(3)z就是纯虚数;(4)z=
1
+4i、
2
答案:1、D 2、D 3、 解析:由题设知3∈M,∴m
2
-3m-1+(m
2
-5m-6)i=3 < br>?
m
2
?3m?1?3
?
m?4或m??1

?
2
,∴
?
∴m=-1,故选A、
?
m?6或m??1
?
m?5m?6?0
?
x?3或x??1
?
x
2< br>?2x?3?0,
?
4、 解析:由题意知
?
2

?

1
?
9y?6 y?1?0,
?
y?
3
?
∴点对有(3,
11
), (-1,)共有2个、答案:2
33
?
a?c
5、 解析:z
1< br>=z
2
?
?
?
a=c且b
2
=d
2
、答案:a=c且b
2
=d
2

?
|b|?|d|
2
?
m?3m?3?1
?
log
2
(m
2
?3m?3)?0,
?
6、解:由题意知
?

?
3 ?m?1

?
log
2
(3?m)?0,
?
3?m ?0
?
?
m
2
?3m?4?0
?
m?4或m??1

?

?
,∴m=-1、
m?3且m?2
m?2 且m?3
?
?


2
?
x?mx?2?0
27、 解:方程化为(x+mx+2)+(2x+m)i=0、∴
?

?
2x?m?0
m
2
m
m
??2?0,
∴m
2=8,∴m=±2
2
、 ∴x=-,∴
42
2
?
m
2
?2m?3?0,
8、 解:(1)m须满足
?
解之得:m=-3、
?
m?1?1.
(2) m须满足m
2
+2m-3≠0且m-1≠0,解之得:m≠1且m≠-3、
?
m(m?2)
?0,
?
(3)m须满足
?
m?1
解之得: m=0或m=-2、
?
m
2
?2m?3?0.
?
?
m(m?2)1
?
?
(4)m须满足
?
m?12
解之得: m∈
?

?
m
2
?2m?3?4.
?
课后作业:课本第106页 习题3、1 1 , 2 , 3
教学反思:
这节课我们学习了虚数单位i及它得两条 性质,复数得定义、实部、虚部及有关分类问题,复数相等
得充要条件,复平面等等、基本思想就是:利 用复数得概念,联系以前学过得实数得性质,对复数得知识
有较完整得认识,以及利用转化得思想将复数 问题转化为实数问题
复数得概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学 时,我们采用讲解或体
验已学过得数集得扩充得历史,让学生体会到数集得扩充就是生产实践得需要,也 就是数学学科自身发展
得需要;介绍数得概念得发展过程,使学生对数得形成、发展得历史与规律,各种 数集中之间得关系有着
比较清晰、完整得认识、从而让学生积极主动地建构虚数得概念、复数得概念、复 数得分类
§3、1、2复数得几何意义
教学目标:
知识与技能:理解复数与从原点出发得向量得对应关系
过程与方法:了解复数得几何意义 < br>情感、态度与价值观:画图得到得结论,不能代替论证,然而通过对图形得观察,往往能起到启迪解题思< br>路得作用
教学重点:复数与从原点出发得向量得对应关系.
教学难点:复数得几何意义。
教具准备:多媒体、实物投影仪。
教学设想:复数z =a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a,b)就是一一对应关系这就是因为对于任何一个复数
z= a+bi(a、b∈R),由复数相等得定义可知,可以由一个有序实数对(a,b)惟一确定、
教学过程:
学生探究过程:
uuur
1、若
A(x,y)

O(0,0)
,则
OA?
?
x,y
?

2、 若
a?(x
1
,y
1
)

b?(x
2
,y
2
)
,则
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)


两个向量与与差得坐标分别等于这两个向量相应坐标得与与差
3、 若< br>A(x
1
,y
1
)

B(x
2
,y
2
)
,则
AB?
?
x
2
?x
1< br>,y
2
?y
1
?

一个向量得坐标等于表示此向量得有向线段得终点坐标减去始点得坐标

AB
=
OB
?
OA
=( x
2,
y
2
) ? (x
1
,y
1
)= (x
2
? x
1
, y
2
? y
1
)
讲授新课:
复平面、实轴、虚轴:
复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对 (a,b)就是一一对应关系这
y
Z(a,b)
就是因为对于任何一个复数z=a+b i(a、b∈R),由复数相等得定义
b
可知,可以由一个有序实数对(a,b)惟一确定,如 z=3+2i可以由有
序实数对(3,2)确定,又如z=-2+i可以由有序实数对(-2,1)来确 定;
又因为有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中得点就是一一对应得,
如有序实数对(3 ,2)它与平面直角坐标系中得点A,横坐标为3,纵
o
x
平面直角
a
坐标为2,建立了一一对应得关系 由此可知,复数集与
坐标系中得点集之间可以建立一一对应得关系、
点Z得横坐标就是a,纵 坐标就是b,复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐
标系来表示 复数得平面叫做复平面,也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴
实轴上得点都表示实数
对于虚轴上得点要除原点外,因为原点对应得有序实数对为(0,0), 它所确定得复数就是z=0+0i=0
表示就是实数、故除了原点外,虚轴上得点都表示纯虚数
在复平面内得原点(0,0)表示实数0,实轴上得点(2,0)表示实数2,虚轴上得点(0,-1)表示纯 虚数
-i,虚轴上得点(0,5)表示纯虚数5i
非纯虚数对应得点在四个象限,例如点(- 2,3)表示得复数就是-2+3i,z=-5-3i对应得点(-5,-
3)在第三象限等等、
复数集C与复平面内所有得点所成得集合就是一一对应关系,即
?
复平面内得点
Z(a,b)
复数
z?a?bi
????
这就是因为,每一个复数有复平面内惟一得一个点与它对应;反过来,复平面内得每一个点,有惟一得一个复数与它对应、
这就就是复数得一种几何意义、也就就是复数得另一种表示方法,即几何表示方法、
一一对应
uuur
?
平面向量
OZ
1.复平面内得点Z(a,b)
????
一一对应
uuur
?
平面向量
O Z
2、 复数
z?a?bi
????
一一对应
例1.(2007年 辽宁卷)若
?
?
?
?
35
?
π

π
?
,则复数
(cos
?
?sin
?
)?(sin
?
?cos
?
)i
在复平面内所对
44
??
应得点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解:选B 、
例2.(2003上海理科、文科)已知复数z
1
=cos θ

i,z
2
=sinθ+i,求| z
1
·z
2
|得最大值与最小值、
[解]
|z
1
?z
2
|?|1?sin
?
cos
?
?(co s
?
?sin
?
)i|


?(1?sin< br>?
cos
?
)
2
?(cos
?
?sin?
)
2

1
2
?2?sin
?
cos
?
?2?sin2
?
.
4
3

|z
1
?z
2
|
得最大值为
,
最小值为
2

2
例3.(2004北京理科)满足条件
|z?i|?|3?4i|
得复数z 在复平面上对应点得轨迹就是( )
22
A、 一条直线 B、 两条直线 C、 圆 D、 椭圆
解:选C、
巩固练习:
课后作业:课本第106页 习题3、 1 A组4,5,6 B组1,2
教学反思:
复数集C与复平面内所有得点所成得集合就是一一对应关系,即
?
复平面内得点
Z(a,b)
复数
z?a?bi
????
这就是因为,每一个复数有复平面内惟一得一个点与它对应;反过来,复平面内得每一个点,有惟一得一个复数与它对应、
这就就是复数得一种几何意义、也就就是复数得另一种表示方法,即几何表示方法、
1.(2 000广东,全国文科、理科,江西、天津理科)在复平面内,把复数
3?3i

一一对应
?
,所得向量对应得复数就是:( B )
3
(A)2
3
(B)
?23i
(C)
3
?3i
(D)3+
3i

应得向量按顺时钟方向旋转
2. (1992全国理科、文科)已知复数z得模为2,则│z-i│得最大值为:( D )

(A)1 (B)2 (C) (D)3
3.(2003北京理科)若
z? C

|z?2?2i|?1,则|z?2?2i|
得最小值就是( B )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.(2007年上海卷)若
a,b
为非零实数,则下列四个命题都成立:

a?
1
2
?0

?
a?b
?
?a
2
?2ab?b
2
③若
a?b
,则
a??b

a
2
④若
a? ab
,则
a?b
则对于任意非零复数
a,b
,上述命题仍然成立得序 号就是
_____

4.②,④


5.(2005上海文科 )在复数范围内解方程
|z|
2
?(z?z)i?
2
3?i

i
为虚数单位)。
2?i
【思路点拨】本题考查共轭复数得模得概念与运 算能力,可根据复数得代数形式进行处理、
【解】原方程化简为
z?(z?z)i?1?i
,
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x+y+2xi=1-i,
22
3
1
且y=±,
2
2
3
1
∴原方程得解就是z=-±i、
2
2< br>∴x+y=1且2x=-1,解得x=-
22
§3、2复数代数形式得四则运算
§3、2、1复数代数形式得加减运算及几何意义
教学目标:
知识与技能:掌握复数得加法运算及意义
过程与方法:理解并掌握实数进行四则运算得规律,了解复数加减法运算得几何意义
情感、态度与价值观:理解并掌握复数得有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解
并掌握复数相等得有关概念;画图得到得结论,不能代替论证,然而通过对图形得观察,往往能起到 启迪
解题思路得作用
教学重点:复数加法运算,复数与从原点出发得向量得对应关系.
教学难点:复数加法运算得运算率,复数加减法运算得几何意义。
教具准备:多媒体、实物投影仪 。
教学设想:复数有复平面内惟一得一个点与它对应;反过 来,复平面内得每一个点,有惟一得一个复数与
它对应。复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对 (a,b)就是一一对应关系这就是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、
b∈R),由复数相等得 定义可知,可以由一个有序实数对(a,b)惟一确定、
教学过程:
学生探究过程:
1、虚数单位
i
:(1)它得平方等于-1,即
i??1
; (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,
原有加、乘运算律仍然成立
2、
i
与-1得关系:
i
就就是-1得一个平方根,即方程x
2
=-1得一个根,方程x
2
=-1得另一个根就
是-
i

3、
i
得周期性:
i
4n+1
=i,
i
4n+2
=-1,
i
4n+3
=-i,
i
4n
=1
2
4、复数得定义:形如
a?bi(a,b? R)
得数叫复数,
a
叫复数得实部,
b
叫复数得虚部全体复数所成< br>得集合叫做复数集,用字母C表示*
3、 复数得代数形式: 复数通常用字母z表示,即< br>z?a?bi(a,b?R)
,把复数表示成a+bi得形式,
叫做复数得代数形式
4、 复数与实数、虚数、纯虚数及0得关系:对于复数
a?bi(a,b?R)
,当 且仅当b=0时,复数a+bi(a、
b∈R)就是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数; 当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0
时,z就就是实数0、
5、复数集与其它数集之间得关系:NZQRC、
6、 两个复数相等得定义:如果两个复数 得实部与虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等即:
如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c +di
?
a=c,b=d
一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小 、如果两个复数都就是实数,就可以比较大


小 只有当两个复数不全就是实数时才不能比较大小
7、 复平面、实轴、虚轴:
y
点Z得横坐标就是a,纵坐标就是b,复数z=a+bi(a、
b
Z(a,b)表示,这个建立 了直角坐标系来表示复数得平面
也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴
实轴上得点都表示实数
对于虚轴上得点要除原点外,因为原点对应得有序
0), 它所确定得复数就是z=0+0i=0表示就是实数、故
o
虚轴上得点都表示纯虚数
复数集C与复平面内所有得点所成得集合就是一一对应关系,即
Z(a,b)
b∈R )可用点
叫做复平面,
a
x
实数对为(0,
除了原点外,
?
复平面内得点
Z(a,b)
复数
z?a?bi
????
这 就是因为,每一个复数有复平面内惟一得一个点与它对应;反过来,复平面内得每一个点,有惟一
得一个 复数与它对应、
这就就是复数得一种几何意义、也就就是复数得另一种表示方法,即几何表示方法 < br>一一对应
uuur
8、若
A(x,y)

O(0,0)
,则
OA?
?
x,y
?

9、 若
a?(x1
,y
1
)

b?(x
2
,y
2)
,则
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

两个向量与与差得坐标分别等于这两个向量相应坐标得与与差
10、 若
A(x1
,y
1
)

B(x
2
,y
2
)
,则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?

一个向量得坐标等于表示此向量得有向线段得终点坐标减去始点得坐标

AB
=
OB
?
OA
=( x
2,
y
2
) ? (x
1
,y
1
)= (x
2
? x
1
, y
2
? y
1
)
讲解新课:
一.复数代数形式得加减运算
1.复数z
1
与z2
得与得定义:z
1
+z
2
=(a+bi)+(c+di)=( a+c)+(b+d)i、
2、 复数z
1
与z
2
得差得定义: z
1
-z
2
=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i、
3、 复数得加法运算满足交换律: z
1
+z
2
=z
2
+z
1

证 明:设z
1
=a
1
+b
1
i,z
2
=a< br>2
+b
2
i(a
1
,b
1
,a
2< br>,b
2
∈R)、
∵z
1
+z
2
=(a1
+b
1
i)+(a
2
+b
2
i)=(a1
+a
2
)+(b
1
+b
2
)i、
z
2
+z
1
=(a
2
+b
2
i)+(a< br>1
+b
1
i)=(a
2
+a
1
)+(b2
+b
1
)i、
又∵a
1
+a
2
= a
2
+a
1
,b
1
+b
2
=b
2
+b
1

∴z
1
+z
2
=z
2
+z
1
、即复数得加法运算满足交换律、
4、 复数得加法运算满足结合律: (z
1
+z
2
)+z
3
=z
1
+(z
2
+z
3
)
证明:设z
1=a
1
+b
1
i、z
2
=a
2
+b< br>2
i,z
3
=a
3
+b
3
i(a
1
,a
2
,a
3
,b
1
,b
2
,b
3
∈R)、
∵(z
1
+z
2
)+z
3< br>=[(a
1
+b
1
i)+(a
2
+b
2i)]+(a
3
+b
3
i)
=[(a
1
+a
2
)+(b
1
+b
2
)i]+(a
3
+b
3
)i
=[(a
1
+a
2
)+a
3]+[(b
1
+b
2
)+b
3
]i
=(a< br>1
+a
2
+a
3
)+(b
1
+b
2
+b
3
)i、
z
1
+(z
2
+z
3
)=(a
1
+b
1
i)+[(a
2
+b
2
i)+(a
3
+b
3
i)]
=(a
1
+b
1
i)+[(a
2
+a
3
)+(b
2
+b
3
)i]
=[a
1
+(a
2
+a
3
)]+[b
1
+(b
2
+b
3
)]i


=(a
1
+a
2
+a
3
)+(b
1
+b
2
+b
3
)i
∵(a
1
+a
2
)+a
3
=a
1
+(a
2
+a
3),(b
1
+b
2
)+b
3
=b
1
+ (b
2
+b
3
)、
∴(z
1
+z
2)+z
3
=z
1
+(z
2
+z
3
)、 即复数得加法运算满足结合律
讲解范例:
例1计算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
解:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4) i=-11 i
例2计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2002+ 2003i)+(2003-2004i)
解法一:原式=(1-2+3-4+…-2002+200 3)+(-2+3-4+5+…+2003-2004i)=(2003-1001)+(1001-
2 004)i=1002-1003i、
解法二:∵(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,
(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,
……
(2001-2002i)+(-2002+2003)i=-1+i、
相加得(共有1001个式子):
原式=1001(-1+i)+(2003-2004i)
=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i
二、复数代数形式得加减运算得几何意义
复数得加(减)法 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i、
与多项式加(减)法就是类似得、就就是把复数得实部与实部,虚部与虚部分别相加(减)、
uuur
?
平面向量
OZ
1.复平面内得点
Z(a,b)
????
一一对应
uuur
?
平面向量
OZ
2、 复数
z?a?bi
????
一一对应
3、复数加法得几何意义:
设 复数z
1
=a+bi,z
2
=c+di,在复平面上所对应得向量为
OZ
1

OZ
2
,即
OZ
1

O Z
2
得坐标形式为
OZ
1
=(a,b),
OZ
2< br>=(c,d)以
OZ
1

OZ
2
为邻边
作平 行四边
形OZ
1
ZZ
2
,则对角线OZ对应得向量就是
OZ


OZ
=
OZ
1
+
OZ
2
=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i
4、 复数减 法得几何意义:复数减法就是加法得逆运算,设z=(a-c)+(b-d)i,所以z-z
1
=z
2
,z
2
+z
1
=z,
由复数加法几何意义, 以
OZ
为一条对角线,
OZ
1
为一条边画平行四边形,那么这个平行 四边形得另一边
uuuuruuur
OZ
2
所表示得向量
OZ
2
就与复数z-z
1
得差(a-c)+(b-d)i对应由于
OZ
2
?Z
1
Z
,所以,两个复数得差z
-z
1
与连接 这两个向量终点并指向被减数得向量对应、
例3已知复数z
1
=2+i,z
2
=1+2i在复平面内对应得点分别为A、B,求
AB
对应得复数z,z在平面内所
对应得点在第几象限?
解:z=z
2
-z
1
=(1+2i)-(2+i)=-1+i,
∵z得实部a=-1<0,虚部b=1>0,
∴复数z在复平面内对应得点在第二象限内、
点评:任何向量所对应得复数,总就是这个向量得终点所对应得复数减去始点所对应得复数所得得差、

AB
所表示得复数就是z
B
-z
A

,而
BA
所表示得复数就是z
A
-z
B
,故切不可把被减数 与减数搞错尽管


向量
AB
得位置可以不同,只要它们得终点与始点所对 应得复数得差相同,那么向量
AB
所对应得复数就
是惟一得,因此我们将复平面上得向 量称之自由向量,即它只与其方向与长度有关,而与位置无关
例4 复数z
1
=1+ 2i,z
2
=-2+i,z
3
=-1-2i,它们在复平面上得对应点就是一 个正方形得三个顶点,求
这个正方形得第四个顶点对应得复数、
分析一:利用
AD?BC
,求点D得对应复数、
解法一:设复数z
1
、z
2
、z
3
所对应得点为A、B、C,正方形得第四个顶点D对 应得复数为x+yi(x,y∈
R),就是:
AD?OD?OA
=(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i;
BC?OC?OB
=(-1-2i)-(-2+i)=1-3i、

AD?BC
,即(x-1)+(y-2)i=1-3i,
例2图
?
x?1?1,
?
x?2,

?
解得
?

y?2??3,y??1.
??
故点D对应得复数为2-i、
分析二:利用原点O正好就是正方形ABCD得中心来解、
解法二:因为点A与点C关于原点对称,所以原点O为正方形得中心,于就是(-2+i)+
(x+yi)=0,∴x=2,y=-1、
故点D对应得复数为2-i、
点评:根 据题意画图得到得结论,不能代替论证,然而通过对图形得观察,往往能起到启迪解题思路
得作用
巩固练习:
1、已知复数z
1
=2+i,z
2
=1+2i ,则复数z=z
2
-z
1
在复平面内所表示得点位于
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
2、在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2 +i所对应得点分别就是A、B、C,则平行四边形ABCD得对角线
BD所对应得复数就是
A、5-9i B、-5-3i C、7-11i D、-7+11i
3、已知 复平面上△AOB得顶点A所对应得复数为1+2i,其重心G所对应得复数为1+i,则以OA、OB
为邻边得平行四边形得对角线长为
A、3
2
B、2
2
C、2 D、
5

4、复平面上三点A、B、C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A、B、C所构成得三角形就是
A、直角三角形 B、等腰三角形 C、锐角三角形 D、钝角三角形
5、一个实数与一个虚数得差( )
A、不可能就是纯虚数 B、可能就是实数
C、不可能就是实数 D、无法确定就是实数还就是虚数
6、计算(-
2?3i)?(3?2i)?[(3?2)? (3?2)i]
=____、
7、计算:(2x+3yi)-(3x-2yi)+(y-2x i)-3xi=________(x、y∈R)、
8、计算(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-…-(2002-2003i)、
9 、已知复数z
1
=a
2
-3+(a+5)i,z
2
=a-1 +(a
2
+2a-1)i(a∈R)分别对应向量
OZ
1

OZ
2
(O为原点),若向



Z
1
Z
2
对应得复数为纯虚数,求a得值、
解:
Z
1
Z
2对应得复数为z
2
-z
1
,则
z
2
-z1
=a-1+(a
2
+2a-1)i-[a
2
-3+(a+5) i]=(a-a
2
+2)+(a
2
+a-6)i
∵z
2
-z
1
就是纯虚数
2
?
?
a?a?2?0

?
解得a=-1、
2
?
?
a?a?6?0
10.已知复平面上正方形得三个顶点就是A (1,2)、B(-2,1)、C(-1,-2),求它得第四个顶
点D对应得复数、
解:设D(x,y),则
AD?OD?OA
对应得复数为(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i
BC?OC?OB
对应得复数为:(-1-2i)-(-2+i)=1-3i

AD?BC
∴(x-1)+(y-2)i=1-3i

??
x?1?1
?
x?2
,解得
?

?
y?2??3
?
y??1
∴D点对应得复数为2-i。
答案:1、B 2、C 3、A 4、A 5、C 6、-2
2
i 7、(y-x)+5(y-x)i
8、解:原式=(1-2+3-4+…+2001-2002)+( -2+3-4+…-2002+2003)i
=-1001+1001i
课后作业:课本第112页 习题3、2 1 , 2 , 3
教学反思:
如果两个复数得实部与虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等即:如果a,b,c,d∈R,那么
a+bi=c+di
?
a=c,b=d
一般地,两个复数只能说相等或不相等,而 不能比较大小、如果两个复数都就是实数,就可以比较大
小 只有当两个复数不全就是实数时才不能比较大小
复数得加法法则:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a,b,c,d∈R)、 复数得加法,可模仿多项式得加法法
则计算,不必死记公式。
复数加法得几何意义:如果复数 z
1
,z
2
分别对应于向量
OP
1

OP
2
,那么,以OP
1
、OP
2
为两边作平
行四边形 OP
1
SP
2
,对角线OS表示得向量
OS
就就是z
1
+z
2
得与所对应得向量 复数减法得几何意义:两
个复数得差z- z
1
与连接这两个向量终点并指向被减数得向量对应、

§3、2、2复数代数形式得乘除运算
教学目标:
知识与技能:理解并掌握复数得 代数形式得乘法与除法运算法则,深刻理解它就是乘法运算得逆运算

过程与方法:理解并掌握复数得除法运算实质就是分母实数化类问题
情感、态度与价值观:复 数得几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学
时,我们采用讲解或体验已学 过得数集得扩充得,让学生体会到这就是生产实践得需要从而让学生积极主


动地建构知识 体系。
教学重点:复数代数形式得除法运算。
教学难点:对复数除法法则得运用。
教具准备:多媒体、实物投影仪。
教学设想:如果两个复数得实部与虚部分别相等,那么我们 就说这两个复数相等即:如果a,b,c,d∈R,
那么a+bi=c+di
?
a=c ,b=d,只有当两个复数不全就是实数时才不能比较大小
教学过程:
学生探究过程:
1、虚数单位
i
:(1)它得平方等于-1,即
i??1
; (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,
原有加、乘运算律仍然成立
2、
i
与-1得关系:
i
就就是-1得一个平方根,即方程x
2
=-1得一个根,方程x
2
=-1得另一个根就
是-
i

3、
i
得周期性:
i
4n+1
=i,
i
4n+2
=-1,
i
4n+3
=-i,
i
4n
=1
2
4、复数得定义:形如
a?bi(a,b? R)
得数叫复数,
a
叫复数得实部,
b
叫复数得虚部全体复数所成< br>得集合叫做复数集,用字母C表示*
3、 复数得代数形式: 复数通常用字母z表示,即< br>z?a?bi(a,b?R)
,把复数表示成a+bi得形式,
叫做复数得代数形式
4、 复数与实数、虚数、纯虚数及0得关系:对于复数
a?bi(a,b?R)
,当 且仅当b=0时,复数a+bi(a、
b∈R)就是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数; 当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0
时,z就就是实数0、
5、复数集与其它数集之间得关系:NZQRC、
6、 两个复数相等得定义:如果两个复数 得实部与虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等即:
如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c +di
?
a=c,b=d
一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小 、如果两个复数都就是实数,就可以比较大
小 只有当两个复数不全就是实数时才不能比较大小
7、 复平面、实轴、虚轴:
点Z得横坐标就是a,纵坐标就是b,复数z=a+bi(a、 b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐
标系来表示复数得平面叫做复平面,也叫高斯平面 ,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴实轴上得点都表示实数
对于虚轴上得点要除原点外,因为原点对应得有序实数对为(0,0), 它所确定得复数就是z=0+0i=0
表示就是实数、故除了原点外,虚轴上得点都表示纯虚数
8.复数z
1
与z
2
得与得定义:z
1
+z
2< br>=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i、
9、 复数z
1与z
2
得差得定义:z
1
-z
2
=(a+bi)-(c +di)=(a-c)+(b-d)i、
10、 复数得加法运算满足交换律: z
1
+z
2
=z
2
+z
1

11、 复数得加法运算满足结合律: (z
1
+z
2
)+z
3
=z
1
+(z
2
+z
3
)
讲解新课:
1.乘法运算规则:
规定复数得乘法按照以下得法则进行:
设z
1
=a+bi,z
2
=c+di(a、b、c、d∈R)就是任意两个复 数,那么它们得积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i、
其实就就是把两 个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得得结果中把i
2
换成-1,并且把实部与虚
部分别合并、两个复数得积仍然就是一个复数、
2、乘法运算律:
(1)z
1(z
2
z
3
)=(z
1
z
2
)z3


证明:设z
1
=a
1
+b
1
i,z
2
=a
2
+b
2
i,z
3=a
3
+b
3
i(a
1
,a
2
,a< br>3
,b
1
,b
2
,b
3
∈R)、
∵z
1
z
2
=(a
1
+b
1
i)(a2
+b
2
i)=(a
1
a
2
-b
1< br>b
2
)+(b
1
a
2
+a
1
b2
)i,
z
2
z
1
=(a
2
+b< br>2
i)(a
1
+b
1
i)=(a
2
a
1
-b
2
b
1
)+(b
2
a
1
+a
2
b
1
)i、
又a
1
a
2
-b
1
b
2
=a
2
a
1
-b
2< br>b
1
,b
1
a
2
+a
1
b
2
=b
2
a
1
+a
2
b
1

∴z
1
z
2
=z
2
z
1
(2)z
1
(z
2
+z
3
)=z
1
z
2
+z
1
z
3
证明:设z
1
=a
1
+b
1
i,z
2
=a
2
+b
2
i,z
3
=a
3
+b
3
i(a
1
,a< br>2
,a
3
,b
1
,b
2
,b
3∈R)、
∵(z
1
z
2
)z
3
=[(a
1
+b
1
i)(a
2
+b
2
i)](a< br>3
+b
3
i)=[(a
1
a
2
-b
1
b
2
)+(b
1
b
2
+a
1
b
2
)i](a
3
+b
3
i)
=[(a
1
a
2
-b
1
b
2
)a
3
-(b< br>1
a
2
+a
1
b
2
)b
3
]+[(b
1
a
2
+a
1
b
2
)a
3
+(a
1
a
2
-b
1
b
2
) b
3
]i
=(a
1
a
2
a
3
- b
1
b
2
a
3
-b
1
a
2
b
3
-a
1
b
2
b
3
)+(b
1
a
2
a
3
+a
1
b
2
b
3
+a
1
a
2
b
3
-b
1
b< br>2
b
3
)i,
同理可证:
z
1
(z2
z
3
)=(a
1
a
2
a
3
-b
1
b
2
a
3
-b
1
a
2b
3
-a
1
b
2
b
3
)+(b
1
a
2
a
3
+a
1
b
2
a3
+a
1
a
2
b
3
-b
1
b
2
b
3
)i,
∴(z
1
z
2
) z
3
=z
1
(z
2
z
3
)、
( 3)z
1
(z
2
+z
3
)=z
1
z
2
+z
1
z
3

证明:设z
1
=a< br>1
+b
1
i,z
2
=a
2
+b
2< br>i,z
3
=a
3
+b
3
i(a
1
, a
2
,a
3
,b
1
,b
2
,b
3
∈R)、
∵z
1
(z
2
+z
3
)=(a
1
+b
1
i)[(a
2
+b
2
i)+(a
3
+b
3
i)]=(a
1
+b
1
i)[( a
2
+a
3
)+(b
2
+b
3
)i] < br>=[a
1
(a
2
+a
3
)-b
1
( b
2
+b
3
)]+[b
1
(a
2
+a3
)+a
1
(b
2
+b
3
)]i
= (a
1
a
2
+a
1
a
3
-b
1< br>b
2
-b
1
b
3
)+(b
1
a2
+b
1
a
3
+a
1
b
2
+ a
1
b
3
)i、
z
1
z
2
+z
1
z
3
=(a
1
+b
1
i)(a
2
+b
2
i)+(a
1
+b
1
i)(a
3
+b
3
i)
=(a
1
a
2
-b
1
b
2
)+(b
1
a
2
+a
1
b
2
)i+(a
1
a
3
-b
1
b
3
)+(b
1
a
3
+a
1
b
3
)i
=(a
1
a
2
-b
1
b
2
+a< br>1
a
3
-b
1
b
3
)+(b
1a
2
+a
1
b
2
+b
1
a
3
+a
1
b
3
)i
=(a
1
a
2
+a
1
a
3
-b
1
b
2
-b1
b
3
)+(b
1
a
2
+b
1
a
3
+a
1
b
2
+a
1
b
3< br>)i
∴z
1
(z
2
+z
3
)=z
1
z
2
+z
1
z
3

例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)
解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i) (-2+i)= -20+15i、
例2计算:
(1)(3+4i) (3-4i) ; (2)(1+ i)
2

解:(1)(3+4i) (3-4i) =3
2
-(4i)
2
=9-(-16)=25;
(2) (1+ i)
2
=1+2 i+i
2
=1+2 i-1=2 i、
3、共轭 复数:当两个复数得实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等
于0得两个共 轭复数也叫做共轭虚数
通常记复数
z
得共轭复数为
z

4、 复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)得复数x+yi(x,y∈R)叫 复数a+bi除以复数c+di得商,记为:
(a+bi)
?
(c+di)或者
a?bi

c?di
5、除法运算规则:
①设复数a+bi(a,b∈R),除以c+di(c,d∈R),其商为x+yi(x,y∈R),
即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
∵(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i、
∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi、
?
cx?dy?a,
由复数相等定义可知
?

dx?cy? b.
?


ac?bd
?
x?,
22
?
?
c?d
解这个方程组,得
?

?
y?
bc?ad
.
?
c
2
?d
2
?
于就是有:(a+bi )÷(c+di)=
ac?bdbc?ad
?
2
i、
222c?dc?d
②利用(c+di)(c-di)=c
2
+d
2
、 于就是将
a?bi
得分母有理化得:
c?di
原式=
a?bi(a ?bi)(c?di)[ac?bi?(?di)]?(bc?ad)i
??

c?d i(c?di)(c?di)c
2
?d
2
?
(ac?bd)?(bc ?ad)iac?bdbc?ad
?
2
?i

c
2
?d
2
c?d
2
c
2
?d
2
∴(a+b i)÷(c+di)=
ac?bdbc?ad
?
2
i

2 22
c?dc?d
点评:①就是常规方法,②就是利用初中我们学习得化简无理分式时,都就是 采用得分母有理化思想
方法,而复数c+di与复数c-di,相当于我们初中学习得
3?2< br>得对偶式
3?2
,它们之积为1就
是有理数,而(c+di)·(c-di)= c
2
+d
2
就是正实数、所以可以分母实数化、 把这种方法叫做分母实数化法
例3计算
(1?2i)?(3?4i)

解:
(1?2i)?(3?4i)
?
1?2i

3?4i< br>?
(1?2i)(3?4i)3?8?6i?4i?5?10i12
?????i

22
(3?4i)(3?4i)3?42555
例4计算
(1?4i)( 1?i)?2?4i

3?4i
解:
(1?4i)(1?i)?2?4i1?4?3i?2?4i7?i(7?i)(3?4i)

???
22
3 ?4i3?4i3?4
3?4i
?
21?4?3i?28i25?25i
?? 1?i.

2525
例5已知z就是虚数,且z+
1z?1
就是实数 ,求证:就是纯虚数、
zz?1
证明:设z=a+bi(a、b∈R且b≠0),于就是
z+
1
a?biab
1
?a??(b?)i
、 =a+bi +=a+bi+
2
a?b
2
a
2
?b
2
a
2
?b
2
a?bi
z


∵z+
b1
∈R,∴b-
2
=0、
2
a?b
z
∵b≠ 0,∴a
2
+b
2
=1、

z?1(a?1)?bi[(a?1)?bi][(a?1)?bi]
??

z?1(a?1)?bi(a?1)
2
?b
2
a
2
?1?b
2
?[(a?1)b?(a?1)b]i0?2bib
???i.

22
a?b?2a?11?2a?1a?1
b
i
就是纯虚数 ∵b≠0,a、b∈R,∴
a?1
巩固练习:
1、设z=3+i,则
1
等于
z
B、3-i C、A、3+i
2、

31
i?

1010
D、
31
?i

1010
a?bia?bi
得值就是
?
b?aib?ai
B、i C、-i D、1 A、0
3、已知z
1
=2-i,z
2
=1+3i,则复数
A、1
4、设

i
z
2
?
得虚部为
z
1
5
D、-i B、-1 C、i
x3y
(x∈R,y∈R),则x=___________,y=___________、
??
1?i2?i1?i
39
答案:1、D 2、A 3、A 4、 , -
55
课后作业:课本第112页 习题3、 2 A组4,5,6
B组1,2
教学反思:
复数得乘法法则就是:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i、 复数得代数式相乘,可按多项式类似得办法
进行,不必去记公式、
复数得除法法则就是:a?biac?bdbc?ad
??
i(c+di≠0)、
c?dic
2
?d
2
c
2
?d
2
两个复数相除较简捷得方法就 是把它们得商写成分式得形式,然后把分子与分母都乘以分母得共轭复
数,再把结果化简
高考题选
1.(2007年北京卷)
2
?

(1?i)
2
?i

2
2、 (2007年湖北卷)复 数z=a+bi,a,b∈R,且b≠0,若
z?4bz
就是实数,则有序实数对(a,b)可 以就


是 、(写出一个有序实数对即可)
【答案】:
(2,1)

【分析】:
z?4bz?(a?bi)? 4b(a?bi)?a?4ab?b?2b(a?2b)i
就是实数,所以
a?2b
, 取
2222
(a,b)?(2,1)

【高考考点】:本题主要考查复数得基本概念与运算、
【易错点】:复数得运算公式不能记错。
【高学科网备考提示】:复数得基本概念与运算,就是高考每年必考得内容,应熟练掌握。
3.(2007年福建卷)复数
1
等于( D )
(1?i)
2
C.A.
1

2
B.
?
1

2
1
i

2
D.
?i

1
2
4.(2007年广东卷)若复数(1+bi)(2 +i)就是纯虚数(i就是虚数单位,b为实数),则b=
(A) -2 (B) - (C)
1
2
1
(D) 2
2
答案:B;解析:(1 +bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i,故2b+1=0,故选B;
?
2i
?
5.(2007年湖南卷)复数
??
等于( C )
?
1+i
?
A.
4i
B.
?4i
C.
2i
D.
?2i

2
6.(2007年江西卷)化简
A.
2?i

2?4i
得结果就是( C )
(1?i)
2
C.
2?i
D.
?2?i
B.
?2?i

7.(2007年全国卷I)设
a
就是实数,且
A.
a1?i
就是 实数,则
a?
( B )
?
1?i2
3
D.
2

2
1?2i
8.(2007年全国卷Ⅱ)设复数
z
满足
?i
,则
z?
( C )
z
A.
?2?i
B.
?2?i
C.
2?i
D.
2?i

B.
1
C.
9、(2007年陕西卷)在复平面内,复数z=
1
对应得点位于(D)
2?i
1

2
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第在象限 (D)第四象限
10.(2007年四川卷)复数
(A)0
1?i
3
?i
得值就是( )
1?i
(B)1 (C)
?1
(D)
i

1?i
3
(1?i)< br>2
2i
?i??i
3
??i
3
?i?i?0
. 解析:选A.
1?i(1?i)(1?i)2
本题考查复数得代数运算.
2i
3
?
( C ) 11.(2007年天津卷)
i
就是 虚数单位,
1?i


A.
1?i
B.
?1?i
C.
1?i
D.
?1?i

12 .(2007年浙江卷)已知复数
z
1
?1?i

z
1gz
2
?1?i
,则复数
z
2
?

1

13.(2007年上海卷)已知
2?ai,b?i
就 是实系数一元二次方程
x?px?q?0
得两根,则
p,q
得值为
(A)
A、
p??4,q?5
B、
p?4,q?5
C、
p?4,q??5
D、
p??4,q??5

14.(2007年重庆卷)复数
2
2i4
得虚部为______、
5
2?i
3
2?ai
1?2i
=-
2
I,则a等 于(B) 15.(2007年安徽卷)若a为实数,
(A)
2
(B)-
2
(C)2
2

2
(D)-2
2

16.(2007年山东卷)若
z?co s
?
?isin
?

i
虚数单位),则
z??1< br>使得值可能就是(D)
??
(D)
32
?5?10i17.(2007年宁夏卷)
i
就是虚数单位,(用
a?bi
得形式表示 ,
a,b?R

?

1?2i

3?4i
(A) (B)(C)
?

6
?

4

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