高一数学：集合教学设计

新修订高中阶段原创精品配套教材

集合

教材定制 提高课堂效率 内容可修改

set

教师：风老师
风顺第二中学

编订：FoonShion教育

原创教学设计
Excellent Teaching Design
集合
教材说明：本教学设计资料适用于高中高一数学科目 ，主要用途为训练 学生的思维，
帮助学生用数字去了解日常生活中的现象，分析和解决生产、生活中的实际问题，
使得在能严谨地思考，并有更多良好的解决方法，进而促进全面发展和提高。内容
已根据教材主题进行配 套式编写，可直接修改调整或者打印成为纸质版本进行教学
使用。

一、知识结构
本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手,引
出集合与集合的元素 的概念,并且结合实例对集合的概念作
了说明.然后,介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述< br>法,还给出了画图表示集合的例子.
二、重点难点分析
这一节的重点是集合 的基本概念和表示方法,难点是运
用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合.这一
节 的特点是概念多、符号多,正确理解概念和准确使用符号是
学好本节的关键.为此,在教学时可以配备一 些需要辨析概念、
判定符号表示正误的题目,以帮助学生提高判定能力,加深理
解集合的概念和 表示方法.
1.关于牵头图和引言分析
章头图是一组跳伞队员编成的图案,引言给 出了一个实
际问题,其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解
决这个实际间题,必须用 到集合和逻辑的知识,也就是把它数
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学化.一方面提高用数学的意识,一方面说明集合和简易逻辑
知识是高中数学重要的基础.
2.关于集合的概念分析
点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念,
集合则是集合论中原始的、不加定义的概念.
初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”;
初中几何中也知道中垂线是“ 到两定点距离相等的点的集合”
等等.在开始接触集合的概念时,主要还是通过实例,对概念有
一个初步熟悉.教科书给出的“一般地,某些指定的对象集在一
起就成为一个集合,也简称集.”这句话 ,只是对集合概念的描
述性说明.
我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这< br>个概念,从而阐明集合概念如同其他数学概念一样,不是人们
凭空想象出来的,而是来自现实世界 .
3.关于自然数集的分析
教科书中给出的常用数集的记法,是新的国家标准,与原
教科书不尽相同,应该注重.
新 的国家标准定义自然数集n含元素0,这样做一方面是
为了推行国际标准化组织(iso)制定的国际标 准,以便早日与
之接轨,另一方面,0还是十进位数{0,1,2,…,9}中最小的数,有了
0,减法运算 仍属于自然数,其中 .因此要注重几下几点:
(1)自然数集合与非负整数集合是相同的集合,也就是说
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自然数集包含0;
(2)自然数集内排除0的集,表示成 或 ,其他数集{如整数
集z、有理数集q、实数集r}内排除0的集,也可类似表示 , ,
(3)原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的
符号如 , , …不再适用.
4.关于集合中的元素的三个特性分析
集合中的每个对象叫做这个集合的元素.例如 “中国的直
辖市”这一集合的元素是:北京、上海、天津、重庆。
集合中的元素常用小写的拉丁字母 ,…表示.假如a是集
合a的元素,就说a属于集合a,记作 ;否则,就说a不属于a,记
作
要正确熟悉集合中元素的特性:
(l)确定性: 和 ,二者必居其一.
集合中的元素必须是确定的.这就是说,给定一个集合, 任
何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.例如,给出集
合{地球上的四大洋},它的元 素是:太平洋、大西洋、印度洋、
北冰洋.其他对象都不用于这个集合.假如说“由接近 的数组
成的集合”,这里“接近 的数”是没有严格标准、比较模糊的概
念,它不能构成集合.
(2)互异性:若 , ,则
集合中的元素是互异的.这就是说,集合中的元素是不 能
重复的,集合中相同的元素只能算是一个.例如方程 有两个
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重根 ,其解集只能记为{1},而不能记为{1,1}.
(3)无序性:{a,b}和{b,a}表示同一个集合.
集合中的元素是不分顺序的.集合和点的坐标是不同的
概念,在平面直角坐标系中,点(
l,0)和点(0,l)表示不同的两个点,而集合{1,0}和{0,1}表示同
一个集合.
5.要辩证理解集合和元素这两个概念
(1)集合和元素是两个不同的概念,符号和 是表示元素和
集合之间关系的,不能用来表示集合之间的关系.例如 的写
法就是错误的,而 的写法就是正确的.
(2)一些对象一旦组成了集合,那么这个集合的元素就是
这些对象 的全体,而非个别现象.例如对于集合 ,就是指所有
不小于0的实数,而不是指“ 可以在不小于0的实数范围内取
值”,不是指“ 是不小于0的一个实数或某些实数,”也不是指
“ 是不小于0的任一实数值”……
(3 )集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是
它的元素;只要是它的元素就必须符合条件.
6.表示集合的方法所依据的国家标准
本小节列举法与描述法所使用的集合的记法,依据的是
新国家标准如下的规定.
符号
应用
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意义或读法
备注及示例
诸元素 构成的集
也可用 ,这里的i表示指标集
使命题 为真的a中诸元素之集
例: ,假如从前后关系来看,集a已很明确,则可使用 来表
示,例如
此外, 有时也可写成 或
7.集合的表示方法分析
集合有三种表示方法:列举法、描述法、图示法.它们 各有
优点.用什么方法来表示集合,要具体问题具体分析.
(l)有的集合可以分别用三种方法表示.例如“小于 的自
然数组成的集合”就可以表为:
①列举法:
②描述法:
③图示法:如图1。
(2)有的集合不宜用列举法表示.例如“由小于 的正实数
组成的集合”就不宜用列举法表示,因为不 能将这个集合中的
元素—一列举出来,但这个集合可以这样表示:
①描述法:
②图示法:如图2.
(3)用描述法表示集合,要非凡注重这个集合中的元素是
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什么,它应该符合什么条件,从而准确理解集合的意义.例如:
①集合 中的元素是 ,它表示函数 中自变量 的取值范
围,即
②集合 中的元素是 ,它表示函数值。的取值范围,即
③集合 中的元素是点 ,它表示方程 的解组成的集合,
或者理解为表示曲线 上的点组成的集合;
④集合 中的元素只有一个,就是方程 ,它是用列举法表
示的单元素集合.
实际上,这是四个完全不同的集合.
列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用
哪种表示法.要注重,一般无限集,不宜采用列举法,因为不能
将无限集中的元素—一列举出来,而没 有列举出来的元素往
往难以确定.
8.集合的分类
含有有限个元素的集合叫做有限集,如图1所示.
含有无限个元素的集合叫做无限集,如图2所示.
9.关于空集分析
不含任何元素的集合叫做空集,记作 .空集是个非凡的
集合,除了它本身的实际意义外,在研究集合、 集合的运算时,
必须予以单独考虑.
教学设计方案
集合
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知识目标:
(1)使学生初步理解集合的概念,知道常用数集的概念及
其记法
(2)使学生初步了解“属于”关系的意义
(3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义
能力目标:
(1)重视基础知识的教学、基本技能的练习和能力的培养;
(2)启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学
会分析问题和创造地解决问题;
(3)通过教师指导发现知识结论,培养学生抽象概括能力
和逻辑思维能力;
德育目标:
激发学生学习数学的爱好和积极性,陶冶学生的情操,培
养学生坚忍不拔的意志,实事求是 的科学学习态度和勇于创
新的精神。
教学重点:集合的基本概念及表示方法
教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与
描述法,正确表示一些简单的集合
授课类型:新授课
课时安排:2课时
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
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一、复习引入:
1.简介数集的发展,复习最大公约数和最小公倍数,质数
与和数;
2.教材中的章头引言;
3.集合论的创始人——康托尔(德国数学家);
4.“物以类聚”,“人以群分”;
5.教材中例子(p4)。
二、讲解新课:
阅读教材第一部分,问题如下:
(1)有那些概念?是如何定义的?
(2)有那些符号?是如何表示的?
(3)集合中元素的特性是什么?
(一)集合的有关概念(例子见书):
1、集合的概念
(1)集合:某些指定的对象集在一起就形成一个集合。
(2)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素。
2、常用数集及记法
(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合。记作n
(2)正整数集:非负整数集内排除0的集。记作n*或n
(3)整数集:全体整数的集合。记作z
(4)有理数集:全体有理数的集合。记作q
(5)实数集:全体实数的集合。记作r
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注:
(1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集
包括数0。
(2)非负整数集内排除0的集。记作n*或n 、q、z、r等
其它数集内排除0的集,也是这样表示 ,例如,整数集内排除0
的集,表示成z*
3、元素对于集合的隶属关系
(1)属于:假如a是集合a的元素,就说a属于a,记作a∈a;
(2)不属于:假如a不是集合a的元素,就说a不属于a,记
作 .
4、集合中元素的特性
(1)确定性:
按照明确的判定标准给定一个元素或者在这个集合里,
或者不在,不能模棱两可。
(2)互异性:
集合中的元素没有重复。
(3)无序性:
集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)
注:
1、集合通常用大写的拉丁字母表示,如a、b、c、p、q……
元素通常用小写的拉丁字母表示,如a、b、c、p、q……
2、“∈”的开口方向,不能把a∈a颠倒过来写。
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练习题
1、教材p5练习
2、下列各组对象能确定一个集合吗?
(1)所有很大的实数。 (不确定)
(2)好心的人。 (不确定)
(3)1,2,2,3,4,5.(有重复)
阅读教材第二部分,问题如下:
1.集合的表示方法有几种?分别是如何定义的?
2.有限集、无限集、空集的概念是什么?试各举一例。
(二)集合的表示方法
1、列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内
表示集合的方法。
例如,由方程 的所有解组成的集合,可以表示为{1,1}.
注:(1)有些集合亦可如下表示:
从51到100的所有整数组成的集合:{51,52,53,…,100}
所有正奇数组成的集合:{1,3,5,7,…}
(2)a与{a}不同:a表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合
只有一个元素。
描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,
并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
格式:{x∈a| p(x)}
含义:在集合a中满足条件p(x)的x的集合。
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例如,不等式 的解集可以表示为: 或
所有直角三角形的集合可以表示为:
注:(1)在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分。
如: {直角三角形};{大于104的实数}
(2)错误表示法:{实数集};{全体实数}
3、文氏图:用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的
方法。
注:何时用列举法?何时用描述法?
(1) 有些集合的公共属性不明显,难以概括,不便用描述
法表示,只能用列举法。
如:集合
(2) 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来,或者不
便于、不需要一一列举出来,常用描述法。
如:集合 集合{1000以内的质数}
注:集合 与集合 是同一个集合吗?
答:不是。
集合 是点集,集合 = 是数集。
(三) 有限集与无限集
1、 有限集:含有有限个元素的集合。
2、 无限集:含有无限个元素的集合。
3、 空集:不含任何元素的集合。记作φ,如:
练习题:
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1、p6练习
2、用描述法表示下列集合
①{1,4,7,10,13}
②{2,4,6,8,10}
3、用列举法表示下列集合
①{x∈n|x是15的约数} {1,3,5,15}
②{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}} {(1,1),(1,2),(2,1)(2,2)}
注:防止把{(1,2)}写成{1,2}或{x=1,y=2}
③
④ {1,1}
⑤ {(0,8)(2,5),(4,2)}
⑥
{ (1,1),(1,2),(1,4)(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4, 4)}
三、小 结:
本节课学习了以下内容:
1.集合的有关概念:(集合、元素、属于、不属于、有限集、
无限集、空集)
2.集合的表示方法:(列举法、描述法、文氏图共3种)
3.常用数集的定义及记法
四、课后作业:教材p7习题1.1
五、板书设计:
课题
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一、知识点
(一)
(二)
例题:
1.
2.
六、课后反思:
本节课在教学时主要教会学生学习集合的表示方法,在
熟悉集合时,应从两方面入手:
(1)元素是什么?
(2)确定集合的表示方法是什么?表示集合时,与采用字母
名称无关。
探究活动
题目数集a满足条件:若 ,则 ( )
(1)若 ,试求出a中其他所有元素;
(2)自己设计一个数属于a,然后求出a中其他所有元素;
(3)从上面两小题的解答过程中,你能悟出什么道理?并大
胆证实你发现的这个“道理”.
参考答案
(1)其他所有元素为-1, .
(2)略
(3)a中只能有3个元素,它们分别是 , , 且三个数的乘积
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为-1.
FoonShion教育研究中心编制
Prepared by foonshion Education Research Center
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