人教版高中数学必修3全套教案

（2）n=5,
?
x
i?1
5
i
=545,
x
=109,
5
?
y
i?1
5
i
=116,
y
=23.2,
?
x
i?1
5
2
i
=60 952,
?
xy
i
i?1
i
=12 952,
b =
5?12952?545?116
≈0.199,a=23.2-0.199×109≈1. 509,
2
5?60952?545
所以,线性回归方程为y=0.199x+1.509．
拓展提升
某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（X
i
）与公司所获得利润（Y
i
）的统计资料如下表：
科研费用支出（X
i
）与利润（Y
i
）统计表 单位：万元
年份
1998
1999
2000
2001
2002
2003
合计
^^
科研费用支出
5
11
4
5
3
2
30
^
利润
31
40
30
34
25
20
180
要求估计利润（Y
i
）对科研费用支出（X
i
）的线性回归模型.
解：设线性回归模型直线方程为：
Y
i
?
?
0
?
?
1
X
i
,
X
?
因为：
x?
n< br>i
30
?
=5,
Y?
6
Y
i

31
40
30
34
25
20
180
?
Y
n
i
?
180
=30,
6
X
i
2

25
121
16
25
9
4
200
X
i
-
X

0
6
-1
0
-2
-3
0
Y
i
-
Y

1
10
0
4
-5
-10
0
(X
i
-
X
)
2
(X
i
-
X
)(Y
i
-
Y
)
0 0
36 60
1 0
0 0
4 10
9 30
50 100
根据资料列表计算如下表：
年份
1998
1999
2000
2001
2002
2003
合计
X
i

5
11
4
5
3
2
30
X
i
Y
i

155
440
120
170
75
40
1 000
现求解参数β
0
、β
1
的估计值：
方法一：
?
1
?
^^
^
n
?
X< br>i
2
?(
?
X
i
)
2
n
?
X
i
Y
i
?
?
Y
i
?
6 ?1000?30?1806000?5400600
=2,
??
1200?900 300
6?200?30
2
?
0
?Y?
?
1
x
=30-2×5=20.
方法二：
?
1
^^
^
XY?nxY
?
?
?
X?n(x)
ii
2
i2
?
1000?6?5?30100
=2，
?
50
2 00?6?5
2
?
0
?Y?
?
1
x
=30 -2×5=20.

方法三：
?
1
?
^^
^
?
(X?x)(Y?Y)
?
100
=2，
50
?
(X?x)
ii
2
i
?
0
?Y?
?
1
x
=30-2×5=20.
所以利润（Y
i
）对科研费用支出 （X
i
）的线性回归模型直线方程为：
Y
i
=20+2X
i
.
课堂小结
1．求线性回归方程的步骤：
（1）计算平均数
x,y
；
(2)计算x
i
与y
i
的积，求∑x
i
y
i
;
(3)计算∑x
i
2
,∑y
i
2
，
n< br>?
(x
i
?x)(y
i
?y)
?
?
i?1
?
?
?
b?
n
(4)将上述有关结果代入公式
?
(x
i
?x)
2
?
?
i?1
?
?
?
a?y?bx
^
?
xy
i
i?1
n
n
i
?nxy
,
?nx
2

?
x
i?1
2
i
求b,a,写出回归直线方程．
2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
作业
习题2.3A组3、4,B组1、2.
设计感想
本节课在上节课的基础上,利用实例分析了散点图的分布规律,推导出了线 性回归直线的方程的求法,并
利用回归直线的方程估计可能的结果,本节课讲得较为详细,实例较多,便 于同学们分析比较.思路1和思路2
的例题对知识进行了巩固和加强,另外，本节课通过选取一些学生特 别关心的身边事例,对学生进行思想情
操教育、意志教育和增强学生的自信心,养成良好的学习态度,树 立时间观,培养勤奋、刻苦的精神.

第二章 统计
本章教材分析
现代社会是信息化的社会，数字信息随处可见，因此专门研究如何收集、整理、分析数据的科学——
统计 学就备受重视．统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据．在
客 观世界中，需要认识的现象无穷无尽．要认识某现象的第一步就是通过观察或试验取得观测资料，然后
通 过分析这些资料来认识此现象．如何取得有代表性的观测资料并能够正确地加以分析，是正确地认识未
知 现象的基础，也是统计所研究的基本问题．本章主要介绍最基本的获取样本数据的方法，以及几种从样
本 数据中提取信息的统计方法，其中包括用样本估计总体分布、数字特征和线性回归等内容．
从 义务教育阶段来看，统计知识的教学从小学到初中分为三个阶段，在每个阶段都要学习收集、整理、
描述 和分析数据等处理数据的基本方法，教学目标随着学段的升高逐渐提高．在义务教育阶段的统计与概
率知 识的基础上，《课程标准》要求通过实际问题及情境，进一步介绍随机抽样、样本估计总体、线性回
归的 基本方法，了解用样本估计总体及其特征的思想，体会统计思维与确定性思维的差异；通过实习作业，
较 为系统地经历数据收集与处理的全过程，进一步体会统计思维与确定性思维的差异．
本章教学时间约需7课时，具体分配如下（仅供参考）：
2.1.1
2.1.2
简单随机抽样
系统抽样
约1课时
约1课时

2.1.3
2.2.1
2.2.2
2.3

分层抽样
用样本的频率分布估计总体分布
用样本的数字特征估计总体的数字特征
变量间的相关关系
本章复习
约1课时
约1课时
约1课时
约1课时
约1课时
2.1 随机抽样
2.1.1 简单随机抽样
整体设计
教学分析
教材是以探究一批小包装饼干的卫生是否达标为问题导 向，逐步引入简单随机抽样概念．并通过实例
介绍了两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法．
值得注意的是为了使学生获得简单随机抽样的经验，教学中要注意增加学生实践的机会．例如， 用抽
签法决定班里参加某项活动的代表人选，用随机数法从全年级同学中抽取样本计算平均身高等等．
三维目标
1．能从现实生活或其他学科中推出具有一定价值的统计问题，提高学生分析问题的能力.
2．理解随机抽样的必要性和重要性，提高学生学习数学的兴趣.
3．学会用抽签法和随机数法抽取样本，培养学生的应用能力．
重点难点
教学重点：理解随机抽样的必要性和重要性，用抽签法和随机数法抽取样本．
教学难点：抽签法和随机数法的实施步骤．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
抽样的方法很多，某个抽样方法都有各自的优越性与局 限性，针对不同的问题应当选择适当的抽样方
法．教师点出课题：简单随机抽样．
推进新课
新知探究
提出问题
(1)在1936年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志(Literary Digest)的工作人员做了 一次民意测验.调
查兰顿()(当时任堪萨斯州州长)和罗斯福(elt)(当时的总统)中谁将当选下 一届总统.为了
了解公众意向,调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了调查表(注意在 1936年电话和汽车
只有少数富人拥有).通过分析收回的调查表,显示兰顿非常受欢迎,于是此杂志 预测兰顿将在选举中获胜.
实际选举结果正好相反,最后罗斯福在选举中获胜,其数据如下:
候选人
Roosevelt
Landon
预测结果%
43
57
选举结果%
62
38
你认为预测结果出错的原因是什么？由此可以总结出什么教训？
（2）假设你作为一名食品卫生工作人 员，要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验，你准备
怎样做？显然，你只能从中抽取一定数 量的饼干作为检验的样本．那么，应当怎样获取样本呢？
（3）请总结简单随机抽样的定义.
讨论结果：
(1)预测结果出错的原因是：在民意测验的过程中，即抽取样本时，抽取的样本 不具有代表性．1936年拥
有电话和汽车的美国人只是一小部分，那时大部分人还很穷．其调查的结果 只是富人的意见，不能代表穷
人的意见．

由此可以看出，抽取样本时，要使抽取出的样本具有代表性，否则调查的结果与实际相差较大．
(2) 要对这批小包装饼干进行卫生达标检查，只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本，用样本的卫生
情 况来估计这批饼干的卫生情况．如果对这批饼干全部检验，那么费时费力，等检查完了，这批饼干可能
就 超过保质期了，再就是会破坏这批饼干的质量，导致无法出售．
获取样本的方法是：将这批小 包装饼干，放入一个不透明的袋子中，搅拌均匀，然后不放回地摸取（这
样可以保证每一袋饼干被抽到的 可能性相等），这样就可以得到一个样本．通过检验样本来估计这批饼干
的卫生情况．这种抽样方法称为 简单随机抽样．
(3)一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本( n≤N)，如果每次抽取时
总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样 ．最常用的简单随机抽样方
法有两种：抽签法和随机数法．
提出问题
(1 )抽签法是大家最熟悉的，也许同学们在做某种游戏，或者选派一部分人参加某项活动时就用过抽签
法. 例如,高一(2)班有45名学生,现要从中抽出8名学生去参加一个座谈会,每名学生的机会均等.我们可以把
45名学生的学号写在小纸片上,揉成小球,放到一个不透明袋子中,充分搅拌后,再从中逐个抽出8个 号签,从
而抽出8名参加座谈会的学生.
请归纳抽签法的定义.总结抽签法的步骤.
(2)你认为抽签法有什么优点和缺点？当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？
(3) 随机数法是利用随机数表或随机骰子或计算机产生的随机数进行抽样．我们仅学习随机数表法即利用随
机 数表产生的随机数进行简单随机抽样的方法．
怎样利用随机数表产生样本呢?下面通过例子来说明.
假设我们要考察某公司生产的500克 袋装牛奶的质量是否达标,现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验.
利用随机数表抽取样本时,可以按 照下面的步骤进行.
第一步,先将800袋牛奶编号,可以编为000,001,…,799.
第二步,在随机数 表中任选一个数.例如选出第8行第7列的数7(为了便于说明,下面摘取了附表1的第
6行至第10行 .)
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
第三步, 从选定的数7开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等),得到一个三位数785,由于
7 85<799,说明号码785在总体内,将它取出;继续向右读,得到916,由于916>799,将它去掉 .按照这种方法继续
向右读,又取出567,199,507,…,依次下去,直到样本的60个号码全 部取出.这样我们就得到一个容量为60的
样本.
请归纳随机数表法的步骤. (4)当N＝100时，分别以0，3，6为起点对总体编号，再利用随机数表抽取10个号码．你能说出从 0开始
对总体编号的好处吗？
(5)请归纳随机数表法的优点和缺点．
讨论结果：
(1)一般地,抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌 均匀后,
每次从中抽取一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本.
抽签法的步骤是：
1°将总体中个体从1—N编号；
2°将所有编号1—N写在形状、大小相同的号签上；
3°将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀；
4°从容器中每次抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取n次；

5°从总体中将与抽取到的签的编号相一致的个体取出．
(2)抽签法的优点 是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，如果标号的签搅拌得不均匀，
会导致抽样不公 平．因此说当总体中的个体数很多时，用抽签法不方便．这时用随机数法．
(3)随机数表法的步骤：
1°将总体中个体编号；
2°在随机数表中任选一个数作为开始；
3°规定从选定的数读取数字的方向；
4°开始读取数字，若不在编号中，则跳过，若在编号中则取出，依次取下去，直到取满为止；
5°根据选定的号码抽取样本．
(4)从0开始编号时，号码是00，01，02，…，99 ；从3开始编号时，号码是003，004，…，102；从6开
始编号时，号码是006，007，… ，105．所以以3，6为起点对总体编号时，所编的号码是三位，而从0开
始编号时，所编的号码是两 位，在随机数表中读数时，读取两位比读取三位要省时，所以从0开始对总体
编号较好．
(5 )综上所述可知，简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的.但是，
如果总体中的个体数很多时，对个体编号的工作量太大，即使用随机数表法操作也并不方便快捷.另外，要
想“搅拌均匀”也非常困难，这就容易导致样本的代表性差.
应用示例
例1 某车间工 人加工一种轴共100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，
如何采用简 单随机抽样的方法抽取样本？
分析：简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数表法，所以有两种思路．
解法一（抽签法）：
①将100件轴编号为1，2，…，100；
②做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个号码；
③将这些号签放在一个不透明的容器内，搅拌均匀；
④逐个抽取10个号签；
⑤然后测量这10个号签对应的轴的直径的样本．
解法二（随机数表法）：
①将100件轴编号为00，01，…99；
②在随机数表中选定一个起始位置，如取第22行第1个数开始(见教材附录1:随机数表)；
③规定读数的方向，如向右读;
④依次选取10个为
68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，
则这10个号签相应的个体即为所要抽取的样本．
点评：本题主要考查简单随机抽样的步骤． 抽签法的关键是为了保证每个个体被抽到的可能性相等而必须
搅拌均匀，当总体中的个体无差异，并且总 体容量较小时，用抽签法；用随机数表法读数时，所编的号码
是几位，读数时相应地取连续的几个数字， 当总体中的个体无差异，并且总体容量较多时，用抽签法．
变式训练
1.下列抽样的方式属于简单随机抽样的有____________．
（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本．
（2）从1 000个个体中一次性抽取50个个体作为样本．
（3）将1 000个个体编号，把号签放在一个足 够大的不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个个体
作为样本．
（4）箱子里共有10 0个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件
进行质量检验后， 再把它放回箱子．
（5）福利彩票用摇奖机摇奖．
解析：（1）中，很明显简单随机抽样是 从有限多个个体中抽取，所以（1）不属于；（2）中，简单随机抽

样是逐个抽取，不能 是一次性抽取，所以（2）不属于；很明显（3）属于简单随机抽样；（4）中，抽样是
放回抽样，但是 简单随机抽样是不放回抽样，所以（4）不属于；很明显（5）属于简单随机抽样．
答案：（3）（5）
2.要从某厂生产的30台机器中随机抽取3台进行测试，写出用抽签法抽样样本的过程．
分析：由于总体容量和样本容量都较小，所以用抽签法．
解：抽签法，步骤：
第一步，将30台机器编号，号码是01，02，…，30.
第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签.
第三步，将得到的号签放入不透明的袋子中，并充分搅匀.
第四步，从袋子中依次抽取3个号签，并记录上面的编号.
第五步，所得号码对应的3台机器就是要抽取的样本．
例2 人们打桥牌时，将洗好的扑克 牌随机确定一张为起始牌，这时按次序搬牌时，对任何一家来说，都
是从52张牌中抽取13张牌，问这 种抽样方法是否是简单随机抽样？
解：简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只 是随机确定了起始张，其他各张牌虽
然是逐张起牌，但是各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样 ．
点评：判断简单随机抽样时，要紧扣简单随机抽样的特征：逐个、不放回抽取且保证每个个体被抽到 的可
能性相等．
变式训练
现在有一种“够级”游戏，其用具为四副扑克， 包括大小鬼（又称为花）在内共216张牌，参与人数为
6人并坐成一圈．“够级”开始时，从这6人中 随机指定一人从已经洗好的扑克牌中随机抽取一张牌（这叫
开牌），然后按逆时针方向，根据这张牌上的 数字来确定谁先抓牌，这6人依次从216张牌中抓取36张牌，
问这种抓牌方法是否是简单随机抽样？
解：在这里只有抽取的第一张扑克牌是随机抽取的，其他215张牌已经确定，即这215张扑克牌被抽 取的
可能性与第一张扑克牌可能性不相同，所以不是简单随机抽样．
知能训练
1．为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是（ ）
A.总体是240 B.个体 C.样本是40名学生 D.样本容量是40
答案：D
2．为了了解所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零 件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是
（ ）
A.总体 B.个体 C.总体的一个样本 D.样本容量
答案：C
3．一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定 个体
被抽到的可能性是____________．
答案：
1

1 0
4．为了检验某种产品的质量，决定从40件产品中抽取10件进行检查，如何用简单随机抽样抽取样 本？
解：方法一（抽签法）：
①将这40件产品编号为1，2，…，40；
②做好大小、形状相同的号签，分别写上这40个号码；
③将这些号签放在一个不透明的容器内，搅拌均匀；
④连续抽取10个号签；
⑤然后对这10个号签对应的产品检验．
方法二（随机数表法）：
①将40件产品编号，可以编为00,01,02，…，38,39；
②在随机数表中任选一个数作为开始，例如从第8行第9列的数5开始，；

③ 从选定的数5开始向右读下去，得到一个两位数字号码59，由于59＞39，将它去掉；继续向右读，得
到16，将它取出；继续下去，又得到19,10,12,07,39,38,33,21，随后的两位数字号 码是12，由于它在前面
已经取出，将它去掉，再继续下去，得到34．至此，10个样本号码已经取满 ，于是，所要抽取的样本号
码是16,19,10,12,07,39,38,33,21,34．
拓展提升
现有一批编号为10，11，…，99，100，…，600的元件，打算 从中抽取一个容量为6的样本进行质
量检验．如何用随机数法设计抽样方案？
分析：重新编号，使每个号码的位数相同．
解：方法一：
第一步，将元件的编号调整为010，011，012，…，099，100，…，600.
第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第6行第7个数“9”,向右读.
第三步,从数“9”开始，向右读，每次读取三位，凡不在010—600中的数跳过去不读 ，前面已经读过的也跳
过去不读，依次可得到544，354，378，520，384，263.
第四步,以上这6个号码所对应的6个元件就是所要抽取的对象．
方法二:
第一 步,将每个元件的编号加100，重新编号为110，111，112，…，199，200，…，700. < br>第二步,在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第8行第1个数“6”,向 右读.
第三步,从数“6”开始，向右读，每次读取三位，凡不在110—700中的数跳过去不读， 前面已经读过的也跳
过去不读，依次可得到630，163，567，199，507，175. 第四步,这6个号码分别对应原来的530，63，467，99，407，75．这些号码对应的6个元件 就是要抽取的
对象．
课堂小结
1．简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法 ，简单随机抽样有两种选取个体的方法：放回和不放
回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样，常用的简 单随机抽样方法有抽签法和随机数法．
2．抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时， 费时、费力，又不方便，如果标号的签搅
拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法的优点与抽签法相 同，缺点是当总体容量较大时，仍然不是
很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较 小的抽样类型．
3．简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为
n
，但是这里 一定要将每个个体入样的可能性、第
N
n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到 的可能性这三种情况区分开来，避免在解题中出
现错误．
作业
课本本节练习2、3．
设计感想
本节教学设计以课程标准的要求为指导，重视引导 学生参与到教学中，体现了学生的主体地位．同时，
根据高考的要求，适当拓展了教材，做到了用教材， 而不是教教材．

2.1.2 系统抽样
整体设计
教学分析
教材通过探究“学生对教师教学的意见”过程，介绍了一种最简单的系统抽 样——等距抽样，并给出实
施等距抽样的步骤．
值得注意的是在教学过程中，适当介绍当
N
不是整数时，应如何实施系统抽样．
n
三维目标
1．理解系统抽样，会用系统抽样从总体中抽取样本，了解系统抽样在实 际生活中的应用，提高学生学习
数学的兴趣.
2．通过自学课后“阅读与思考”，让学生进一 步了解虚假广告是淡化总体和抽样方法、强化统计结果来夸大
产品的有效性，以提高学生理论联系实际的 能力．
重点难点
教学重点：实施系统抽样的步骤．
教学难点：当
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1
上一节我们学习了简单随机抽样，那么简单随机抽样的特点是什么？简单随机 抽样是最简单和最基本
的抽样方法，当总体中的个体较少时，常采用简单随机抽样．但是如果总体中的个 体较多时，怎样抽取样
本呢？教师点出课题：系统抽样．
思路2
某中学有5 000名学生，打算抽取200名学生，调查他们对奥运会的看法，采用简单随机抽样时，无
论是抽签法还是随机数法，实施过程很复杂，需要大量的人力和物力，那么有没有更为方便可行的抽样方
法呢？这就是今天我们学习的内容：系统抽样．
推进新课
新知探究
提出问题
（1）某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级500名学生中抽取50名进行 调查，
除了用简单随机抽样获取样本外，你能否设计其他抽取样本的方法？
（2）请归纳系统抽样的定义和步骤.
(3)系统抽样有什么特点？
讨论结果：
(1)可以将这500名学生随机编号1—500，分成50组，每组10人，第1组是1—10，第二 组11—20，依次
分下去，然后用简单随机抽样在第1组抽取1人,比如号码是2，然后每隔10个号 抽取一个，得到2，12，
22，…，492．
这样就得到一个容量为50的样本．
这种抽样方法称为系统抽样．
(2)一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可 将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制
定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本， 这种抽样的方法叫做系统抽样.
其步骤是：
1°采用随机抽样的方法将总体中的N个个体编号;
N
不是整数，如何实施系统抽样．
n

2°将整体按编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N,l≤k);
3°在第1段用简单随机抽样确定起始个体的编号l（l∈N,l≤k）;
4°按照一定的规 则抽取样本.通常是将起始编号l加上间隔k得到第2个个体编号(l+k)，再加上k得到第3
个个体 编号(l+2k)，这样继续下去，直到获取整个样本．
说明：从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样 是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简
单化，体现了数学转化思想．
(3)系统抽样的特点是：
1°当总体容量N较大时，采用系统抽样；
2°将总体 分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，
这时间隔 一般为k＝［
N
］．
n
3°预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随 机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分
段间隔的整倍数即为抽样编号．
应用示例
例1 为了了解参加某种知识竞赛的1 000名学生的成绩，应采用什么抽样方法较恰当？简述抽样过程．
解：适宜选用系统抽样，抽样过程如下：
（1）随机地将这1 000名学生编号为1，2 ，3，…，1000．
（2）将总体按编号顺序均分成50部分，每部分包括20个个体．
（3）在第一部分的个体编号1，2，3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如18．
（4）以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：18，38，5 8，…，978，
998．
点评：系统抽样与简单随机抽样一样，每个个体被抽到的概率都相 等,从而说明系统抽样是等概率抽样，它
是公平的．系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，当将 总体均分后对每一部分进行抽样时，采用
的是简单随机抽样．
变式训练
1．下列抽样不是系统抽样的是（ ）
A.从标有1—15号的15个小球中任选3个 作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i,以后为i+5,
i+10(超过15则从1再数起)号入样
B.工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验
C.搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止
D.电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈
分析：C中，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样,所以不是系统抽样.
答案：C
2.某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，…，295，为了了解学生 的学习情况，要按1∶5的比例
抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．
分析：按1∶5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，关键是确定第1段的编号．
解：抽样过程是：
（1）按照1∶5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5=59，我们 把259名同学分成59组，每组5人，第
一组是编号为1—5的5名学生，第2组是编号为6—10的 5名学生，依次下去，59组是编号为291—295
的5名学生；
（2）采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l(l≤5)； < br>（3）按照一定的规则抽取样本．抽取的学生编号为l+5k(k=0,1,2,…，58)，得到59个 个体作为样本，如当
k=3时的样本编号为3，8，13，…，288，293．
例2 为了了解参加某种知识竞赛的1 003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为50的样本．
分析：由于
1003
不是整数，所以先从总体中随机剔除3个个体．
50

步骤：
（1）随机地将这1003个个体编号为1，2，3，…，1003．
（2）利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体（可利用随机数表），剩下的个体数1 000能被样本
容量50整除，然后再重新编号为1，2，3，…，1000．
（3）确定分段间隔．
1000
=20，则将这1 000名学生分成50组，每组2 0人，第1组是1，2，3，…，20；
50
第2组是21，22，23，…，40；依次下去 ，第50组是981，982，…，1000．
（4）在第1组用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤20).
（5）按照一定的规则抽取样本．抽取的学生编号为l+20k (k=0,1,2,…，19)，得到 50个个体作为样本，如
当k=2时的样本编号为2，22，42，…，982．
点评：如果 遇到
N
不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能n
被样本容量整除．
变式训练
1.某校高中三年级有1 242名学生，为了了解他们的身体状况，准备按1∶40的比例抽取一个样本，那么
（ ）
A.剔除指定的4名学生 B.剔除指定的2名学生
C.随机剔除4名学生 D.随机剔除2名学生
分析：为了 保证每名学生被抽到的可能性相等，必须是随机剔除学生，由于
1242
的余数是2，所以要剔
40
除2名学生.
答案：D
2.从2 005个编号中抽取20个号码，采用系统抽样的方法，则抽样的分段间隔为（ ）
A.99 B.99.5 C.100 D.100.5
答案：C
例3 从已编号为1—50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来 进行发射实验，若采用每部
分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（ ）
A.5，10，15，20，25 B.3，13，23，33，43
C.1，2，3，4，5 D.2，4，6，16，32
分析：用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为k,k+d,k+2d ,k+3d,k+4d,其中d=505=10,k是1到10中用
简单随机抽样方法得到的数，因此只 有选项B满足要求.
答案：B
点评：利用系统抽样抽取的样本的个体编号按从小到大的顺序 排起来，从第2个号码开始，每一个号码与
前一个号码的差都等于同一个常数，这个常数就是分段间隔．
变式训练
某小礼堂有25排座位，每排20个座位，一次心理学讲座，礼堂中坐满了 学生，会后为了了解有关情
况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是_____ ____抽样方法．
答案：系统
知能训练
1．从学号为0—50的高一某班50 名学生中随机选取5名同学参加数学竞赛，采用系统抽样的方法，则所
选5名学生的学号不可能是（ ）
A.1，2，3，4，5 B.5，15，25，35，45
C.2, 12, 22, 32, 42 D.9，19，29，39，49
答案：A
2．采用系统抽样从个体数为83的总体中抽取 一个样本容量为10的样本，那么每个个体入样的可能性为
（ ）

A.
111
B. C. D.不相等
838010
答案：A
3．某单位的 在岗工人为624人，为了调查工作上班时从家到单位的路上平均所用的时间，决定抽取10%
的工人调 查这一情况，如何采用系统抽样的方法完成这一抽样？
答案：先随机剔除4人，再按系统抽样抽取样本．
4．某学校有学生3 000人，现在要抽取100人组成夏令营，怎样抽取样本？
分析：由于总体人数较多，且无差异，所以按系统抽样的步骤来进行抽样．
解：按系统抽样抽取样本，其步骤是：
①将3 000名学生随机编号1，2，…，3000；
②确定分段间隔k＝
3000
=30 ，将整体按编号进行分100组，第1组1—30，第2组31—60，依次分下去，
100
第 100组2971—3000；
③在第1段用简单随机抽样确定起始个体的编号l（l∈N,0≤l≤30）；
④按照一定的 规则抽取样本，通常是将起始编号l加上间隔30得到第2个个体编号l+30，再加上30，得
到第3 个个体编号l+60，这样继续下去，直到获取整个样本．比如l＝15，则抽取的编号为：15，45，75， …，
2985．
这些号码对应的学生组成样本．
拓展提升
将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下000，001，002，…，999，打算从中抽取一个容量为5 0的
样本，按系统抽样方法分成50个部分，第一组编号为000，002，…，019，如果在第一组 随机抽取的一个
号码为015，则抽取的第40个号码为_____________．
分析 ：利用系统抽样抽取样本，在第一组抽取号码为l＝015，分段间隔为k＝
1000
=20， 则在第i组中抽
50
取的号码为015+20(i－1)．则抽取的第40个号码为015＋( 40-1)×20=795．
答案：795
课堂小结
通过本节的学习，应明确什么是系统抽样，系统抽样的适用范围，如何用系统抽样获取样本．
作业
习题2.1A组3．

2.1.3 分层抽样
整体设计
教学分析
教材从“了解某地区中小学生的近视情况及其形成原因 ”的探究中引入的概念．在探究过程中，应该引
导学生体会：调查者是利用事先掌握的各种信息对总体进 行分层，这可以保证每一层一定有个体被抽到，
从而使得样本具有更好的代表性．为了达到此目的，教材 利用右栏问题“你认为哪些因素可能影响到学生
的视力？设计抽样方法时，需要考虑这些因素吗？”来引 导学生思考，在教学中要充分注意这一点．
教材在探究初中和小学的抽样个数时，在右栏提出 问题“想一想，为什么要这样取各个学段的个体数？”
用意是向学生强调：含有个体多的层，在样本中的 代表也应该多，即样本在该层的个体数也应该多．这样
的样本才具有更好的代表性．
三维目标
1．理解分层抽样的概念，掌握其实施步骤，培养学生发现问题和解决问题的能力；
2．掌握 分层抽样与简单随机抽样和系统抽样的区别与联系，提高学生的总结和归纳能力，让学生领会到
客观世界 的普遍联系性．
重点难点
教学重点：分层抽样的概念及其步骤．
教学难点：确定各层的入样个体数目，以及根据实际情况选择正确的抽样方法．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1
中国共产 党第十七次代表大会的代表名额原则上是按各选举单位的党组织数、党员人数进行分配的，
并适当考虑前 几次代表大会代表名额数等因素．按照这一分配办法，各选举单位的代表名额，比十六大时
都有增加．另 外，按惯例，中央将确定一部分已经退出领导岗位的老党员作为特邀代表出席大会．这种产
生代表的方法 是简单随机抽样还是系统抽样？教师点出课题：分层抽样．
思路2
我们已经学习了两种抽样方法：简单随机抽样和系统抽样，本节课我们学习分层抽样．
推进新课
新知探究
提出问题
(1)假设某地区有高中生2 400人，初中生10 900人，小学生11 000人，此地教育部门为了了解本地区中小
学的近视情况及其形成原因，要从 本地区的小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？
(2)想一想为什么这样取各个学段的个体数？
(3)请归纳分层抽样的定义.
(4)请归纳分层抽样的步骤.
(5)分层抽样时如何分层？其适用于什么样的总体？
讨论结果：(1)分别利用系统抽样在高中生中抽取2 400×1%=24人，在初中生中抽取10 900×1%=109人，
在小学生中抽取11 000×1%=110人．这种抽样方法称为分层抽样．
(2)含有个体多的层，在样本中的代表也应 该多，即样本从该层中抽取的个体数也应该多．这样的样本才有
更好的代表性．
(3)一般地 ，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个
体，将各 层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样．
(4)分层抽样的步骤：
①分层：按某种特征将总体分成若干部分（层）；

②按抽样比确定每层抽取个体的个数；
③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；
④综合每层抽样，组成样本．
(5)分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：
①分层时将相似的个体归入一 类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏
的原则，即保证样本结构与总 体结构一致性．
②分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本 数量与每层个体数
量的比与这层个体数量与总体容量的比相等．
③当总体个体差异明显时，采用分层抽样．
应用示例
例1 一个单位有职工50 0人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁以上的有95
人，为了了解 这个单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这
项指标有关 ，应该怎样抽取？
分析：由于职工年龄与这项指标有关，所以应选取分层抽样来抽取样本.
解：用分层抽样来抽取样本,步骤是:
(1)分层：按年龄将150名职工分成三层：不到3 5岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁以上的职工.
1001
1
?
， 则在不到35岁的职工中抽125×=25人；在35岁至
5
5005
11
4 9岁的职工中抽280×=56人；在50岁以上的职工中抽95×=19人．
55
(2)确 定每层抽取个体的个数．抽样比为
(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本.
(4)综合每层抽样，组成样本．
点评：本题主要考查分层抽样及其实施步骤．如果总体中的 个体有差异时，那么就用分层抽样抽取样本．用
分层抽样抽取样本时，要把性质、结构相同的个体组成一 层．
变式训练
1.某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之 比为2∶3∶5，现要从所有学生中抽
取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写 出抽样过程．
分析：由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层抽样来抽取样本．在 3个区分别抽取
的学生人数之比也是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是200×
200×
23
=40；200×=60；
2?3?52?3?5
5
=100．
2?3?5
解：用分层抽样来抽取样本，步骤是：
(1)分层：按区将20 000名高中生分成三层.
(2)确定每层抽取个体的个数．在这3个区抽取的学生数目分别是40、60、100．
(3)在各层分别按随机数表法抽取样本.
(4)综合每层抽样，组成样本．
2. 某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为
36的样本，最适合抽取样本的方法是（ ）
A.简单随机抽样 B.系统抽样
C.分层抽样 D.先从老年人中剔除1人，再用分层抽样
分析：总人数为28+54+81=163．样本容量为3 6，由于总体由差异明显的三部分组成，考虑用分层抽样.若
按36∶163取样，无法得到整解，故考 虑先剔除1人，抽取比例变为36∶162=2∶9，则中年人取12人，
青年人取18人，先从老年人 中剔除1人，老年人取6人，组成36的样本.
答案：D
例2 某商场有四类食 品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30

种、2 0种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽
取的 植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
分析：抽样比为
20
11
=，则抽取的植物油类种数是10×=2，则抽取的果蔬类食品种数是
5
40?10?30?2 0
5
20×=4，所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是2＋4＝6.
答案：C
点评：如果A、B、C三层含有的个体数目分别是x、y、z,在A、B、C三层应 抽取的个体数目分别是m、
n、p,那么有x∶y∶z=m∶n∶p；如果总体有N个个体,所抽取的样 本容量为n,某层所含个体数目为a,在该
层抽取的样本数目为b,那么有
1
5
nb
?
．
Na
变式训练
1.（2007浙江高考，文13）某校有学生2 000人，其中高三学生500人．为了解学生的身 体素质情况，采
用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高三学生的 人数为
______________．
分析：抽样比为
20011
?
，样本中高三学生的人数为500×=50.
20001010
答案：50
2.甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划
采用分层抽样法，抽取一 个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（ ）
A.30人，30人，30人 B.30人，45人，15人
C.20人，30人，10人 D.30人，50人，10人
分析：抽样比是
400=45人，
90111
，则应在这三校分别抽取学生：×3 600=30人，×5
?
120120
3600?5400?1800120
1
×1 800=15人.
120
答案：B
知能训练
1．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000家，其中农民家庭1 800户，工人家庭10 0户．现要从
中抽取容量为40的样本，调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方 法（ ）
①简单随机抽样 ②系统抽样 ③分层抽样
A.②③ B.①③ C.③ D.①②③
分析：由 于各家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三类家庭中
抽出若干 户，即36户、2户、2户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；
而工人 、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样法．故整个抽样过程要用到①②③三种抽样法.
答案：D
2．某地区有300家商店，其中大型商店有30家 ，中型商店有75家，小型商 店有195家．为了掌握各商
店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法 ，抽取的中型商店数是
______________．
答案：5
3．某校500 名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为了研
究血 型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本．怎样抽取样本？
分析：由于研究血型与色弱的关 系，按血型分层，用分层抽样抽取样本．利用抽样比确定抽取各种血型的
人数．
解：用分层抽样抽取样本．

2022
，即抽样比为.
?
5005050
222
∴200×=8，125×=5，50×=2.
505050
∵
故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人.
抽样步骤：
①确定抽样比
2
；
50
②按比例分配各层所 要抽取的个体数，O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人;
③用简单随机抽样分别在各种血型中抽取样本，直至取出容量为20的样本.
拓展提升
某高级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽 取10人参
加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分 层抽样时，
将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一 随机编号1，2，…，
270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270.
关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）
A.②③都不能为系统抽样 B.②④都不能为分层抽样
C.①④都可能为系统抽样 D.①③都可能为分层抽样
分析：如果按分层抽样时，在一年级抽取108×
1010
=4人，在二、三年级各抽取81×=3人，则在号码
270270
段1，2，…，108抽 取4个号码，在号码段109，110，…，189抽取3个号码，在号码段190，191，…，
27 0抽取3个号码，①②③符合，所以①②③可能是分层抽样，④不符合，所以④不可能是分层抽样；如
果 按系统抽样时，抽取出的号码应该是“等距”的，①③符合，②④不符合，所以①③都可能为系统抽样，
②④都不能为系统抽样.
答案：D
点评：根据样本的号码判断抽样方法时，要紧扣三类抽样 方法的特征．利用简单随机抽样抽取出的样本号
码没有规律性；利用分层抽样抽取出的样本号码有规律性 ，即在每一层抽取的号码个数m等于该层所含个
体数目与抽样比的积，并且应该恰有m个号码在该层的号 码段内；利用系统抽样取出的样本号码也有规律
性，其号码按从小到大的顺序排列，则所抽取的号码是： l,l+k,l+2k,…,l+(n－1)k．其中，n为样本容量，l
是第一组中的号码，k为分段 间隔＝总体容量／样本容量．
课堂小结
本节课学习了分层抽样的定义及其实施步骤．
作业
习题2.1A组5.
设计感想
本节课重视从学生的生活经验和已有知识中学习数学和理解数学.首先为教 材内容选择生活背景，让学
生体验数学问题来源于生活实际;其次，大胆调用学生熟知的生活经验，使数 学学习变得易于理解掌握；第
三，善于联系生活实际有机改编教材习题，让学生在实践活动中理解掌握知 识，变“学了做”为“做中学”.

2.2 用样本估计总体
2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布
整体设计

教学分析
教科 书通过探究栏目引导学生思考居民生活用水定额管理问题,引出总体分布的估计问题,该案例贯穿
于本节 始终.通过对该问题的探究,使学生学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率分布折线图.教科书
在 这里主要介绍有关频率分布的列表和画图的方法,而关于频率分布的随机性和规律性方面则给教师留下
了 较大的发挥空间.教师可以通过初中有关随机事件的知识,也可以利用计算机多媒体技术,引导学生进一步
体会由样本确定的频率分布表和频率分布直方图的随机性；通过初中有关频率与概率之间的关系,了解频率分布直方图的规律性,即频率分布与总体分布之间的关系,进一步体会用样本估计总体的思想.
由于样本频率分布直方图可以估计总体分布,因此可以用样本频率分布特征来估计相应的总体分布特
征, 这就提供了估计总体特征的另一种途径,其意义在于：在没有原始数据而仅有频率分布的情况下,此方法
可以估计总体的分布特征.
三维目标
1.通过实例体会分布的意义和作用,通过对现实生活的探究,感知应用数学知识解决问题的方法. < br>2.在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图,理解数形结 合的
数学思想和逻辑推理的数学方法.
3.通过对样本分析和总体估计的过程,感受数学对实 际生活的需要,通过实例体会频率分布直方图、频率折线
图、茎叶图的各自特征,从而恰当地选择上述方 法分析样本的分布,准确地作出总体估计,认识到数学知识源
于生活并指导生活的事实,体会数学知识与 现实世界的联系.
重点难点
教学重点：会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.
教学难点:能通过样本的频率分布估计总佒的分布.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1
在NBA的2006赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕
甲运动员得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50
乙运动员得分：8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33
请问从上面的数据中你能否看出甲、乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？
如 何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率
分布估 计总体分布（板书课题）.
思路2
如下样本是随机抽取近年来北京地区7月25日至8月24日的日最高气温.
7月25
日至8
月10日
8月8日
至8月
24日
41．9
32．5
28．6
32．8
37．5
34．6
31．5
29．8
35．7
33．0
28．8
25．6
35．4
30．8
33．2
24．7
37．2
31．0
32．5
30．0
38．1
28．6
30．3
30．1
34．7
31．5
30．2
29．5
33．7
28．8
29．8
30．3
33．3

33．1

怎样通过上表中的数据,分析比较两时间段内的高温（≥33 ℃）状况？这就是我们这堂课要研究、学习
的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布.
思路3
讨论：我们要了解我校学生每月零花钱的情况,应该怎样进行抽样？
提问：学习了哪些抽样方法？一般在什么时候选取什么样的抽样方法呢?
讨论：通过抽样方法收集数据的目的是什么？（从中寻找所包含的信息,用样本去估计总体）
指出两种估计手段：一是用样本的频率分布估计总体的分布,二是用样本的数字特征（平均数、标准差等）

估计总体的数字特征.这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总 体分布.
推进新课
新知探究
提出问题
（1）我国是世界上严重缺水的 国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了节约生活用水,计划在本市试
行居民生活用水定额管理 ,即确定一个居民月用水量标准a,用水量不超过a的部分按平价收费,超出a的部分
按议价收费.如果 希望大部分居民的日常生活不受影响,那么标准a定为多少比较合理呢？你认为,为了较合
理地确定出这 个标准,需要做哪些工作？（让学生展开讨论）
（2）什么是频率分布？
（3）画频率分布直方图有哪些步骤？
（4）频率分布直方图的特征是什么？
讨论结果：
（1）为了制定一个较为合理的标准a,必须先了解全市居民日常用水量的分布情 况,比如月均用水量在哪个
范围的居民最多,他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式 ,通过分析样本数据来估计全市
居民用水量的分布情况.
分析数据的一种基本方法是 用图将它们画出来,或者用紧凑的表格改变数据的排列方式,作图可以达到
两个目的,一是从数据中提取 信息,二是利用图形传递信息.表格则是通过改变数据的构成形式,为我们提供
解释数据的新方式.
下面我们学习的频率分布表和频率分布图,则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角 度,来
表示数据分布的规律.可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况.
（2） 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小；一般用频率分布直方图反映样本的频
率分布 .
（3）其一般步骤为：
①计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差；
②决定组距与组数；
③将数据分组；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图.
（4）频率分布直方图的特征：
①从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势.
②从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.
同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图和形状也会不同.不同的形状 给人以不同
的印象,这种印象有时会影响我们对总体的判断,分别以0.1和1为组距重新作图,然后谈 谈你对图的印象.
提出问题
（1）什么是频率分布折线图？
（2）什么是总体密度曲线？
（3）对于任何一个总体，它的密度曲线是否一定存在？是否可以被非常准确地画出来？
（4）什么叫茎叶图？画茎叶图的步骤有哪些？
（5）茎叶图有什么特征？
讨论结果：
（1）连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.
（2）在样本频率分布直方图中,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲 线为
总体密度曲线.它能够精确地反映总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们提供更加精细的信息 .
（3）实际上,尽管有些总体密度曲线是客观存在的,但一般很难像函数图象那样准确地画出来,我 们只能用样
本的频率分布对它进行估计,一般来说,样本容量越大,这种估计就越精确．
（4 ）当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即第

二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样 的图叫做茎叶
图.
画茎叶图的步骤如下：
①将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分,在此例中,茎为十位上的数字,叶为个位上的数字;
②将最小茎和最大茎之间的数按大小次序排成一列,写在左(右)侧;
③将各个数据的叶按大小次序写在其茎右(左)侧.
（5）①用茎叶图表示数据有两个优点： 一是从统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从
茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可 以随时记录,随时添加,方便记录与表示.
②茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方 便记录两组的数据,两个以上的数据虽然能够记
录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰.
茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的.茎叶图由所有样本数据构成,
没有损失任何样本信息,可以在抽样的过程中随时记录(这对于教练员发现运动员现场状态特别有用);而频< br>率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息,必须在完成抽样后才能制作.
正确利用三 种分布的描述方法，都能得到一些有关分布的主要特点(如分布是否具有单峰性、是否具有对称
性、样本 点落在各分组中的频率等),这些主要特点受样本的随机性的影响比较小,更接近于总体分布的相应
的特 点.
频率分布表和频率分布直方图之间的密切关系是显然的,它们只不过是相同的数据的两种不同的表 达方式,
茎叶图和频率分布表极为类似,事实上,茎相当于频率分布表中的分组;茎上叶的数目相当于频 率分布表中指
定区间组的频数.
应用示例
思路1
例1 有100名学 生,每人只能参加一个运动队,其中参加足球队的有30人,参加篮球队的有27人,参加排球
队的有2 3人,参加乒乓球队的有20人.
(1)列出学生参加运动队的频率分布表.
(2)画出频率分布条形图.
解：(1)参加足球队记为1,参加篮球队记为2,参加排球队 记为3,参加乒乓球队记为4,得频率分布表如下：
试验结果
参加足球队（记为1）
参加篮球队（记为2）
参加排球队（记为3）
参加乒乓球队（记为4）
合 计
(2)由上表可知频率分布条形图如下：
频数
30
27
23
20
100
频率
0.30
0.27
0.23
0.20
1.00

例2 为 了了解中学生的身体发育情况,对某中学17岁的60名女生的身高进行了测量,结果如下：（单位：
c m）
154 159 166 169 159 156 166 162 158
156 166 160 164 160 157 151 157 161
158 153 158 164 158 163 158 153 157

162 159 154 165 166 157 151 146 151
160 165 158 163 163 162 161 154 165
162 159 157 159 149 164 168 159 153
列出样本的频率分布表；绘出频率分布直方图.
解：第一步,求极差：上述60个数据中最大为169,最小为146.
故极差为：169－146＝23 cm.
第二步,确定组距和组数,可取组距为3 cm,则组数为
232
?7
,可将全部数据分为8组.
33
第三步 ,确定组限：［145.5,148.5),［148.5,151.5),［151.5,154.5),［1 54.5,157.5),［157.5,160.5),［160.5,163.5),
［163.5 ,166.5),［166.5,169.5).
第四步,列频率分布表：
分组
［145.5,148.5)
［148.5,151.5)
［151.5,154.5)
［154.5,157.5)
［157.5,160.5)
［160.5,163.5)
［163.5,166.5)
［166.5,169.5)
合计



个数累计





频数
1
3
6
8
18
11
10
3
60
频率
0.017
0.050
0.100
0.133
0.300
0.183
0.167
0.050
1.000
第五步,根据上述数据绘制频率分布直方图如下图：

以上例1和例2两种情况的不同之处在于,前者的频率分布表列出的是几个不同数值的频率,相 应的条
形图是用其高度表示取各个值的频率；后者的频率分布表列出的是在不同区间内取值的频率,相应 的直方图
是用图表面积的大小来表示在各个区间内取值的频率.
我们在处理一个数理 问题时可以采用样本的频率分布估计总体分布的方法,这是因为,频率分布随着样
本容量的增大更加接近 于总体分布,当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时,频率分布的直方图就演
变成一条光滑的曲线 ——总体密度曲线.这条曲线是客观存在的,但是我们却很难将它准确地画出,我们只能
用样本的频率分 布去对它进行估计.基于频率分布与相应的总体分布有这种关系,再加上我们通常并不知道
一个总体的分 布,我们往往是从一个总体中抽取一个样本,用样本的频率去估计相应的总体分布.一般说来,
样本的容 量越大,这种估计就越精确.
例3 从某校高一年级的1 002名新生中用系统抽样的方法抽取一 个容量为100的身高样本,如下（单位：
cm）．作出该样本的频率分布表，并估计身高不小于170 (cm)的同学所占的百分率．
168
165
170
160
180
165
170
155
170
174
171
168
166
168
173
167
169
158
164
159
170
171
155
174
163
165
166
160
170
172
170
164
160
165
167
152
155
164
179
160
175
164
156
163
164
174
158
162
172
169

151
177
178
167
161
168
158
165
163
165
158
175
158
164
174
168
165
170
158
156
176
169
169
168
167
155
151
159
167
166
165
163
155
161
162
165
166
163
162
161
169
163
153
167
164
162
167
155
168
166
解：（1）在全部数据中找出最大值180与最小值151,它们相差（极差）29,决定组距为3；
（2）将区间［150.5,180.5］分成10组；分别是［150.5,153.5),［153 .5,156.5),…,［177.5,180.5)；
（3）从第一组［150.5,153.5 )开始分别统计各组的频数,再计算各组的频率,列频率分布表：
分组
［150.5,153.5)
［153.5,156.5)
［156.5,159.5)
［159.5,162.5)
［162.5,165.5)
［165.5,168.5)
［168.5,171.5)
［171.5,174.5)
［174.5,177.5)
［177.5,180.5)
合计
频数累计
4
12
20
31
53
72
86
93
97
100

频数
4
8
8
11
22
19
14
7
4
3
100
频率
0．04
0．08
0．08
0．11
0．22
0．19
0．14
0．07
0．04
0．03
1
根据频率分布表可以估计,估计身高不小于170的同学所占的百分率为：
［0.14×
17 1.5?170
+0.07+0.04+0.03］×100%=21%．
171.5?168.5
点评：一般地，编制频率分布表的步骤如下：
（1）求极差,决定组数和组距；
（2）分组,通常对组内的数值所在的区间取左闭右开区间；
（3）登记频数,计算频率,列出频率分布表．
思路2
例1 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm).
区间界限
人数
区间界限
人数
［122,126)
5
［142,146)
11
［126,130)
8
［146,150)
6
［130,134)
10
［150,154)
5
［134,138)
22
［154,158)
20
［138,142)
33


(1)列出样本频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比.
分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题.
解：（1）样本频率分布表如下：
分组
［122,126)
［126,130)
［130,134)
［134,138)
［138,142)
［142,146)
频数
5
8
10
22
33
20
频率
0.04
0.07
0.08
0.18
0.28
0.17

［146,150)
［150,154)
［154,158)
合计
（2）其频率分布直方图如下：
11
6
5
120
0.09
0.05
0.04
1

（3）由样本频率分布表可知身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19,所以我们估计身高
小于134 cm的人数占总人数的19%.
例2 为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟 跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出
频率分布直方图(如下图),图中从左到右各小长方形面积之比 为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110次）为达标,试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？

分析：在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,小长方形的高与频数成 正比,各组频数
之和等于样本容量,频率之和等于1.
解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小,
因此第二小组的频率为：
4
=0.08；
2?4?17?15?9?3
又因为频率=
第二小组频数
，
样本容量
第二小组频数12
?
=150.
第二小组频率0.08< br>所以样本容量=
（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为
17?15?9?3×100%=88%.
2?4?17?15?9?3
例3 甲、乙两篮球运动员在上赛季每场比赛的得分如下,试比较这两位运动员的得分水平．
甲：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50;

乙：8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51.
解：画出两人得分的茎叶图如下：

从这个茎叶图可以看出甲运动员的得分大致对称 ,平均得分及中位数、众数都是30多分；乙运动员的得分
除一个51外,也大致对称,平均得分及中位 数、众数都是20多分,因此甲运动员发挥比较稳定,总体得分情况
比乙好．
知能训练
1.下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,据下图可知（ ）

A.甲运动员的成绩好于乙运动员 B.乙运动员的成绩好于甲运动员
C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异 D.甲运动员的最低得分为0分
答案：A
2.有一个容量为45的样本数据,分组后各组的 频数如下：(12.5,15.5］,3;(15.5,18.5］,
8;(18.5,21.5］, 9;(21.5,24.5］,11;(24.5,27.5］,10;(27.5,30.5］,4.由此估计 ,不大于27.5的数据约为总体的（ ）
A.91% B.92% C.95% D.30%
答案：A
3.一个容量为20的样本数据,数据的分组及各组的频数如下：
（10 ,20）,2；（20,30）,3；（30,40）,4；（40,50）,5；（50,60）,4；（60 ,70）,2.
则样本在区间（10,50）上的频率为（ ）
A.0.5 B.0.7 C.0.25 D.0.05
答案：B
4.一个高中研究性学习小组对本地区2000年至2002年快餐 公司发展情况进行了调查,制成了该地区快餐公
司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情 况条形图（如下图）,根据图中提供的信息可以得
出这三年中该地区每年平均销售盒饭________ ____万盒．

快餐公司个数情况图 快餐公司盒饭年销售量的平均数情况图
答案：85
拓展提升
为了了解一大片经济林生长情况,随机测量其中的100株的底部周长,得到如下数据表（单位：cm）.
135
125
98
97
102
117
110
113
99
110
121
92
110
102
96
109
100
104
103
112

109
105
129
111
129
99
102
123
124
123
126
89
99
101
108
119
87
111
97
110
90
116
117
98
131
103
100
121
99
97
99
121
97
105
115
80
121
102
118
101
102
92
111
120
123
108
106
113
123
114
106
121
107
101
119
102
104
108
117
104
111
95
97
103
104
104
104
108
91
107
126
104
128
102
109
118
100
101
108
108
（1）编制频率分布表；（2）绘制频率分布直方图；（3）估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树木约
占多少？周长不小于120 cm的树木约占多少？
解：（1）这组数据的最大值为135,最小值为80, 极差为55,可将其分为11组,组距为5．
频率分布表如下：
分组
［80,85)
［85,90)
［90,95)
［95,100)
［100,105)
［105,110)
［110,115)
［115,120)
［120,125)
［125,130)
［130,135］
合计
（2）直方图如下图：
频数
1
2
4
14
24
15
12
9
11
6
2
100
频率
0.01
0.02
0.04
0.14
0.24
0.15
0.12
0.09
0.11
0.06
0.02
1
频率组距
0.002
0.004
0.008
0.028
0.048
0.030
0.024
0.018
0.022
0.012
0.004
0.2

（3）从频率分布表得,样本中小于100的频率为0.01+0.02+ 0.04+0.14=0.21,样本中不小于120的频率为
0.11+0.06+0.02=0.1 9,估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树木约占21%,周长不小于120 cm的树木约
占19%．
课堂小结
总体分布指的是总体取值的频率分布规 律,由于总体分布不易知道,因此我们往往用样本的频率分布去
估计总体的分布.
总 体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时,用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值
较多 时,将样本数据恰当分组,用各组的频率分布描述总体的分布,方法是用频率分布表或频率分布直方图.
作业
习题2.2A组1、2.
设计感想
本节课是高一 新课程必修三第二章《统计》中的第二节《用样本估计总体》的第一节课,尽管用样本估
计总体是一种实 用性很强,操作烦琐、麻烦的工作,但却是统计学中常用的方法,在生产、生活中应用非常广

泛.用样本估计总体,其实就是一种“以偏概全”“以部分代替全部”的思想.虽然有贬义的成分,但我们还 是要认
真去教好学好,而且,这也是平时考试和高考中的重点内容之一.
本节要解决 的问题就是:为何要用样本估计总体——社会生产、生活的实际需要(必要性),如比赛、竞技
中预测结 果,评判质量谁好谁差,水平谁高谁低经常要用到.如何去用样本估计总体——用样本的频率分布去
估计 总体的频率分布；怎样用样本估计总体——作出样本频率分布表或频率分布直方图，懂得用 “数据”
语言说话.
另外,本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例,对学生进 行思想情操教育、意志教育并增强学生
的自信心,使学生养成良好的学习态度.

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
整体设计
教学分析
教科书结合实例展示了频率分布的众数、中位数和平均数.对于众数、中位数和平均数的概念, 重点放
在比较它们的特点,以及它们的适用场合上,使学生能够发现,在日常生活中某些人通过混用这些 （描述平均
位置的）统计术语进行误导.另一方面,教科书通过思考栏目让学生注意到,直接通过样本计 算所得到的中位
数与通过频率直方图估计得到的中位数不同.在得到这个结论后,教师可以举一反三,使 学生思考对于众数和
平均数,是否也有类似的结论.进一步,可以解释对总体众数、总体中位数和总体平 均数的两种不同估计方法
的特点.在知道样本数据的具体数值时,通常通过样本计算中位数、平均值和众 数,并用它们估计总体的中位
数、均值和众数.但有时我们得到的数据是整理过的数据,比如在媒体中见 到的频数表或频率表,用教科书中
的方法也可以得到总体的中位数、均值和众数的估计.
教科书通过几个现实生活的例子,引导学生认识到：只描述平均位置的特征是不够的,还需要描述样本
数 据离散程度的特征.通过对如何描述数据离散程度的探索,使学生体验创造性思维的过程.教科书通过例题
向学生展示如何用样本数字特征解决实际问题,通过阅读与思考栏目“生产过程中的质量控制图”,让学生进< br>一步体会分布的数字特征在实际中的应用.
三维目标
1.能利用频率分布直方图估计 总体的众数、中位数、平均数；能用样本的众数、中位数、平均数估计总体
的众数、中位数、平均数,并 结合实际,对问题作出合理判断,制定解决问题的有效方法；初步体会、领悟“用
数据说话”的统计思想 方法；通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断，培养学生“实事求是”的科学态度
和严谨的工作作风 .
2.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差；能根据实际问题的需要合理地 选取样本,
从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差）,并作出合理的解释；会用样本的基 本数字特征估
计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.
3.在解决 统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数
学方法 ；会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认识统计的作用,能够辨证
地理 解数学知识与现实世界的联系.
重点难点
教学重点：根据实际问题对样本数据中提取基本的 数据特征并作出合理解释,估计总体的基本数字特征；体
会样本数字特征具有随机性.
教学难点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差；能应用相关知识解决简单的实际问题.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时 众数、中位数、平均数
导入新课
思路1
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕

甲运动员:7,8,6,8,6,5,8,10,7,4；
乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
观察上述样本数据,你能判 断哪个运动员发挥得更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律,我
们要通过样本的数据对总体的 数字特征进行研究.——用样本的数字特征估计总体的数字特征.(板书课题)
思路2
在日常生活中,我们往往并不需要了解总体的分布形态,而是更关心总体的某一数字特征,例如：买灯泡
时,我们希望知道灯泡的平均使用寿命,我们怎样了解灯泡的使用寿命呢？当然不能把所有灯泡一一测试,因为测试后灯泡则报废了.于是,需要通过随机抽样,把这批灯泡的寿命看作总体,从中随机取出若干个个体作
为样本,算出样本的数字特征,用样本的数字特征来估计总体的数字特征.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)什么是众数、中位数、平均数？
(1)如何绘制频率分布直方图？
(3)如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？
活动:那么学生回忆初中所学的一些统计知识,思考后展开讨论,教师提示引导.
讨论结果：
(1)初中我们曾经学过众数（在一组数据中,出现次数最多的数称为众数）、中位数（在按大小顺序排 列的一
组数据中,居于中间的数称为中位数）、平均数（一般是一组数据和的算术平均数）等各种数字特 征,应当说,
这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.
(2)画频率分布直方图 的一般步骤为：计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差；决定组距与组数；
将数据分组；列频率 分布表；画频率分布直方图.
(3)教材前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中,从这些 样本数据的频率分布直方图可以看出,月
均用水量的众数是2.25 t（最高的矩形的中点）,它告诉我们,该市的月均用水量为2.25 t的居民数比月均用
水量为其他值的居民数多,但它并没有告诉我们到底多多少.
请大家翻回到课本看看原来抽样的数据,有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义,2.25怎么会是众数
呢？为什么？（请大家思考作答）
分析 ：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了,而2.25是由样本数据的频率分布
直方图得来的,所以存在一些偏差.

提问：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？
分析：在样本数据中,有50%的个体小 于或等于中位数,也有50%的个体大于或等于中位数.因此,在频率分布
直方图中,矩形的面积大小正 好表示频率的大小,即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.由此可以估
计出中位数的值为2.0 2.
思考：2.02这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,你能解释其中的原因吗？ （原因同上：样本
数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）
课本显示,大部分居民的月均用水量在中部（2.02 t左右）,但是也有少数居民的月均用水量特别高,显然 ,
对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的.
思考：中位数不受少数几个极端值的影响, 这在某些情况下是一个优点,但是它对极端值的不敏感有时也会
成为缺点,你能举例说明吗？（让学生讨 论,并举例）
对极端值不敏感有利的例子：考察课本中表21中的数据,如果把最后一个数据 错写成22,并不会对样本

中位数产生影响.也就是说对极端数据不敏感的方法能够有效 地预防错误数据的影响,而在实际应用中,人为
操作的失误经常造成错误数据.
对极 端值不敏感有弊的例子:某人具有初级计算机专业技术水平,想找一份收入好的工作,这时如果采用
各个 公司计算机专业技术人员收入的中位数作为选择工作的参考指标就会冒这样的风险:很可能所选择公
司的 初级计算机专业技术水平人员的收入很低,其原因是中位数对极小的数据不敏感.这里更好的方法是同
时 用平均工资和中位数来作为参考指标,选择平均工资较高且中位数较大的公司就业.对极端值不敏感的方
法,不能反映数据中的极端情况.
同样的,可以从频率分布直方图中估计平均数,上图就显示 了居民用水的平均数,它等于频率分布直方图
中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.由 估计可知,居民的月均用水量的平均值为2.02 t.
显示了居民月均用水量的平均数,它 是频率分布直方图的“重心”.由于平均数与每一个样本数据有关,所
以,任何一个样本数据的改变都会 引起平均数的改变.这是中位数、众数都不具有的性质.也正因为这个原因,
与众数、中位数比较起来, 平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息.从图上可以看出,用水量最多
的几个居民对平均数影 响较大,这是因为他们的月均用水量与平均数相差太多了.
利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：
估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点）
估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.
估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
总之, 众数、中位数、平均数都是对数据中心位置的描述,可以作为总体相应特征的估计.样本众数易计算,但
只能表达样本数据中的很少一部分信息,不一定唯一；中位数仅利用了数据中排在中间数据的信息,与数据
的排列位置有关；平均数受样本中的每一个数据的影响,绝对值越大的数据,对平均数的影响也越大．三者相比,平均数代表了数据更多的信息,描述了数据的平均水平,是一组数据的“重心”.
应用示例
思路1
例1 （1）若M个数的平均数是X,N个数的平均数是Y,则这M+N个数的平均数是___________； < br>（2）如果两组数x
1
,x
2
,…,x
n
和y
1
,y
2
,…,y
n
的样本平均数分别是x和y,那么一组数x< br>1
+y
1
,x
2
+y
2
,…,x
n
+y
n
的平
均数是___________．
活动：学生思考或交流,教师提示,根据平均数的定义得到结论.
MX?NY
；
M?N
x?y
（2）.
2
解：（1）
例2 某校高一 年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成绩如下（总分：150分）,试确定这次
考试中,哪 个班的语文成绩更好一些．
甲班：
112 86 106 84 100 105 98 102 94 107
87 112 94 94 99 90 120 98 95 119
108 100 96 115 111 104 95 108 111 105
104 107 119 107 93 102 98 112 112 99
92 102 93 84 94 94 100 90 84 114
乙班：
116 95 109 96 106 98 108 99 110 103
94 98 105 101 115 104 112 101 113 96
108 100 110 98 107 87 108 106 103 97
107 106 111 121 97 107 114 122 101 107
107 111 114 106 104 104 95 111 111 110
分析：我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的集中水平,因此 ,分别求出甲、乙两个班的平均分即可．

解：用计算器分别求出甲班的平均分为101 .1,乙班的平均分为105.4,故这次考试乙班成绩要好于甲班．
思路2
例1 下面是某校学生日睡眠时间抽样频率分布表(单位：h),试估计该校学生的日平均睡眠时间．
睡眠时间
［6,6.5)
［6.5,7)
［7,7.5)
［7.5,8)
［8,8.5)
［8.5,9)
合计
人数
5
17
33
37
6
2
100
频率
0．05
0．17
0．33
0．37
0．06
0．02
1
分析：要确定这100名学生的平均睡眠时间,就 必须计算其总睡眠时间,由于每组中的个体睡眠时间只是一
个范围,可以用各组区间的组中值近似地表示 ．
解法一：总睡眠时间约为
6.25×5+6.75×17+7.25×33+7.75× 37+8.25×6+8.75×2=739（h）,
故平均睡眠时间约为7.39 h．
解法二：求组中值与对应频率之积的和
6.25×0.05+6.75×0.17+7.25 ×0.33+7.75×0.37+8.25×0.06+8.75×0.02=7.39（h）.
答：估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h．
例2 某单位年收入在10 000到15 000、15 000到20 000、20 000到25 000、25 000到30 000、30 000到
35 000、35 000到40 000及40 000到50 000元 之间的职工所占的比分别为10%,15%,20%,25%,15%,10%和
5%,试估计该单位职 工的平均年收入．
分析：上述百分比就是各组的频率．
解：估计该单位职工的平均年收入为
12 500×10%+17 500×15%+22 500×20%+27 500×25%+32 500×15%+37 500×10%+45 000×5%=26 125(元).
答：估计该单位人均年收入约为26 125元．
知能训练
从甲、乙两个公司各随机抽取50名员工月工资：
甲公司：
800 800 800 800 800 1 000 1 000 1 000 1 000
1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 2001 2001 200
1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200
1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 500
1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 2 000 2 000 2 000
2 000 2 000 2 500 2 500 2 500
乙公司：
700 700 700 700 700 700 700 700 700
700 700 700 700 700 700 1 000 1 000 1 000
1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000
1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000
1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000
1 000 1 000 6 000 8 000 10 000
试计算这两个公司50名员工月工资平均数、众数、中位数,并估计这两个企业员工平均工资.
答案：甲公司：员工月工资平均数1 240,众数1 200,中位数1 200；
乙公司：员工月工资平均数1 330,众数1 000,中位数1 000；从总体上看乙公司员工月 工资比甲公司少,原因
是乙公司有几个收入特高的员工影响了工资平均数.

拓展提升
“用数据说话”, 这是我们经常可以听到的一句话.但是 ,数据有时也会被利用,从而产生误导.例如,一个企
业中,绝大多数是一线工人,他们的年收入可能是 一万元左右,另有一些经理层次的人,年收入可以达到几十
万元.这时,年收入的平均数会比中位数大得 多.尽管这时中位数比平均数更合理些,但是这个企业的老板到
人力市场去招聘工人时,也许更可能用平 均数来回答有关工资待遇方面的提问.
你认为“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话应当怎么解释?
这句话的目的是谨防利用 人们对统计术语的模糊认识进行误导(蒙骗).使学生能够正确理解在日常生
活中像“我们单位的收入水 平比别的单位高”这类话的模糊性,这里的“收入水平”是指员工收入数据的某个
中心点,即可以是中位 数、平均数或众数,不同的解释有不同的含义.
在这里应该注意以下几点:
1.样 本众数通常用来表示分类变量的中心值,容易计算,但是它只能表达样本数据中的很少一部分信息,通常
用于描述分类变量的中心位置.
2.中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或排序靠后的数据)的 影响,容易计算,它仅利用了数据中排在
中间数据的信息.当样本数据质量比较差,即存在一些错误数据 (如数据的录入错误、测量错误等)时,应该用
抗极端数据强的中位数表示数据的中心值,可以利用计算 机模拟样本,向学生展示错误数据对样本中位数的
影响程度.
3.平均数受样本中的每一个数 据的影响,“越离群”的数据,对平均数的影响也越大.与众数和中位数相比,平均
数代表了数据更多的 信息.当样本数据质量比较差时,使用平均数描述数据的中心位置可能与实际情况产生
较大的误差.可以 利用计算机模拟样本,向学生展示错误数据对样本平均数的影响程度.在体育、文艺等各种
比赛的评分中 ,使用的是平均数.计分过程中采用“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的方法,就是为了防止个
别裁 判的人为因素而给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响,从而降低误差,尽量保证公平
性.
4.如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在许多较大的极端值;反之,说明数据中存在许多较 小的极
端值.在实际应用中,如果同时知道样本中位数和样本平均数,可以使我们了解样本数据中极端数 据的信息,
帮助我们作出决策.
5.使用者常根据自己的利益去选取使用中位数或平均数来描 述数据的中心位置,从而产生一些误导作用.
课堂小结
1．能根据实际问题的需要合理地选 取样本,从样本数据中提取基本的数字特征（平均数）,会用样本的基本
数字特征估计总体的基本数字特 征；
2．平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平；
3．形成对数据处理过程进行初步评价的意识．
作业
习题2.2A组3.
设计感想
本堂课在初中学习的众数、中位数、平均数的基础上,学习了利用频率分布 直方图估计众数、中位数、
平均数,这是一种近似估计,但都能说明总体的分布特征,各有优缺点,讲解 时紧扣课本内容,讲清讲透,使学生
活学活用,会画频率分布直方图,会利用频率分布直方图估计众数、 中位数、平均数,对总体作出正确的估计.
(设计者:路 波)
第2课时 标准差
导入新课
思路1
平均数为我们提供了样本数据的重要信息,但是,有时平 均数也会使我们作出对总体的片面判断.某地区
的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176 cm ,给我们的印象是该地区的中学生生长发育好,身高较高.
但是,假如这个平均数是从五十万名中学生抽 出的五十名身高较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就
不能代表该地区所有中学生的身体素质. 因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态.所以我们学习从另
外的角度来考察样本数据的统计量— —标准差.(教师板书课题)

思路2
在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕
甲运动员:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4；
乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
观察上述样本数据,你能判断哪个运 动员发挥得更稳定些吗？如果你是教练,选哪位选手去参加正式比
赛？
我们知道,x
甲
=7，x
乙
=7.两个人射击的平均成绩是一样的.那么,是否两个人就没 有水平差距呢？

从上图直观上看,还是有差异的.很明显,甲的成绩比较分散,乙 的成绩相对集中,因此我们从另外的角度
来考察这两组数据——标准差.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)如何通过频率分布直方图估计数字特征（中位数、众数、平均数）？
(2)有甲、乙两 种钢筋,现从中各抽取一个标本（如下表）检查它们的抗拉强度（单位：kgmm
2
）,通过计 算
发现,两个样本的平均数均为125.
甲
乙
110
115
120
100
130
125
125
130
120
115
125
125
135
125
125
145
135
125
125
145
哪种钢筋的质量较好？
(3)某种子公司为了在当地推行两种新水稻品种,对甲、乙 两种水稻进行了连续7年的种植对比实验,年亩产
量分别如下:(千克)
甲：600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773)
乙：800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787)
请你用所学统计学的知识,说明选择哪种品种推广更好?
(4)全面建设小康社会是我们党和 政府的工作重心,某市按当地物价水平计算,人均年收入达到1.5万元的家
庭即达到小康生活水平.民 政局对该市100户家庭进行调查统计,它们的人均收入达到了1.6万元,民政局即
宣布该市民生活水 平已达到小康水平,你认为这样的结论是否符合实际?
(5)如何考查样本数据的分散程度的大小呢? 把数据在坐标系中刻画出来,是否能直观地判断数据的离散程
度?
讨论结果：
(1)利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：
估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点）
估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.
估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
(2)

由上图可以看出,乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110 ,乙样本的最大值145高于甲样本的最大
值135,这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.
我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range）.由上图可以看出,乙的极差较 大,数据点较分
散；甲的极差小,数据点较集中,这说明甲比乙稳定.运用极差对两组数据进行比较,操 作简单方便,但如果两组
数据的集中程度差异不大时,就不容易得出结论.
(3)选择的依据应该是,产量高且稳产的品种,所以选择乙更为合理.
(4)不符合实际.
样本太小,没有代表性.若样本里有个别高收入者与多数低收入者差别太大.在统计学里,对统 计数据的
分析,需要结合实际,侧重于考察总体的相关数据特征.比如,市民平均收入问题,都是考察数 据的分散程度.
(5)把问题(3)中的数据在坐标系中刻画出来.我们可以很直观地知道,乙组数据 比甲组数据更集中在平均数的
附近,即乙的分散程度小, 如何用数字去刻画这种分散程度呢? 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的
统计量是方差和标准差.
标准差：
考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差(standard deviation).标准差是样本数据到平
均数的一种平均距离,一般用s表示.
所谓“平均距离”,其含义可作如下理解:
假设样本数据是x
1
,x
2
,…,x
n
,
x
表示这组数据的平均数.x
i
到
x
的距离是|x
i
-
x
|(i=1,2,…,n). < br>于是,样本数据x
1
,x
2
,…,x
n
到
x
的“平均距离”是S=
|x
1
?x|?|x
2
?x|??? |x
n
?x|
.
n
由于上式含有绝对值,运算不太方便,因此,通常改用如下公式来计算标准差:
s =
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)< br>2
???(x
n
?x)
2
]
.
n
意义：标准差用来表示稳定性,标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不稳定.标准差越小,数据的离散程
度就越小,也就越稳定.从标准差的定义可以看出,标准差s≥0,当s=0时,意味着所有的样本数据 都等于样本平
均数.
标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释.例如,
在关于 居民月均用水量的例子中,平均数
x
=1.973，标准差s=0.868，所以
x
+s=2.841,
x
+2s=3.709；
x
-s=1.105,
x
-2s=0.237.
这100 个数据中，在区间［
x
-2s,
x
+2s］=［0.237,3.709］外 的只有4个，也就是说，［
x
-2s,
x
+2s］
几乎包含了所有样本数据.
从数学的角度考虑，人们有 时用标准差的平方s
2
——方差来代替标准差，作为测量样本数据分散程度
的工具：
s
2
=
1
［(x
1
-
x
)
2
+(x
2
-
x
)
2
+…+(x
n-
x
)
2
］.
n
显然，在刻画样本数据的离散程度上 ，方差与标准差是一样的.但在解决实际问题时，一般多采用标准差.
需要指出的是,现实中 的总体所包含的个体数往往是很多的,总体的平均数与标准差是不知道的.如何求
得总体的平均数和标准 差呢?通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前
面用样本的频率分布 来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接
受的.
两者都是描述一组数据围绕平均数波动的大小,实际应用中比较广泛的是标准差.如导入中的运 动员成
绩的标准差的计算器计算.
用计算器计算运动员甲的成绩的标准差的过程如下：

即s
甲
=2.
用类似的方法，可得s
乙
≈1.095.
由s
甲
>s
乙
可以知道,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小 .由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定.
应用示例
思路1
例1 画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点.
(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；
(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；
(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；
(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.
分析：先画出数据的条形图,根据样本数据算 出样本数据的平均数,利用标准差的计算公式即可算出每一组
数据的标准差.
解：四组样本数据的条形图如下：

四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是：0.00,0.82,1.49,2.83.
它们有相同的平均数,但它们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的.
例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm):
甲
25.46 25.32 25.45 25.39 25.36
25.34 25.42 25.45 25.38 25.42
25.39 25.43 25.39 25.40 25.44
25.40 25.42 25.35 25.41 25.39
乙
25.40 25.43 25.44 25.48 25.48
25.47 25.49 25.49 25.36 25.34
25.33 25.43 25.43 25.32 25.47
25.31 25.32 25.32 25.32 25.48
从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高?
分析:每一个工人生产的所有零件的内径尺 寸组成一个总体.由于零件的生产标准已经给出(内径25.40 mm),

生产质量可 以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数与内径标准尺寸25.40 mm的差异大
时 质量低,差异小时质量高;当总体的平均数与标准尺寸很接近时,总体的标准差小的时候质量高,标准差大
的时候质量低.这样,比较两人的生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数< br>与标准差的大小即可.但是,这两个总体的平均数与标准差都是不知道的,根据用样本估计总体的思想,我 们
可以通过抽样分别获得相应的样本数据,然后比较这两个样本的平均数、标准差,以此作为两个总体之 间差
异的估计值.
解：用计算器计算可得
x
甲
≈25.401，
x
乙
≈25.406;
s
甲
≈0.037,s
乙
≈0.068.
从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40 mm),但是差异很小;从样 本标准差看,由于
s
甲
乙
,因此甲生产的零件内径比乙的稳定程 度高得多.于是,可以作出判断,甲生产的零件的质量比乙的高一
些.
点评：从上述例子我们 可以看到,对一名工人生产的零件内径(总体)的质量判断,与所抽取的零件内径(样本
数据)直接相关 .显然,我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本.这样,尽管总体是同一个,但由于样本
不同, 相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样
本 的代表性差,那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表性时,对总体作出错误估计的可能性就
非常大.这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作中,为了减少错误的发生,
条件许可时,通常采取适当增加样本容量的方法.当然,关键还是要改进抽样方法,提高样本的代表性.
变式训练
某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试,为了估计学生 的成绩,从不同学校的不同程度
的学生中抽取了100名学生的成绩如下：
100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.
请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率（60或60分以上均属合格）.
解：运用计算器计算得：
100?12?90?30?80?18?70?24?60?12?50?4
=79.40,
100
(12+30+18+24+12)÷100=96%,
所以样本的平均分是79.40分,合格率是96%,由此来估计总体3 000名学生的平均分是79.40分,合格率是
96%.
思路2
例1 甲、乙 两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：thm
2
）,试根据这组数据估计 哪
一种水稻品种的产量比较稳定.
品种
甲
乙
第1年
9.8
9.4
第2年
9.9
10.3
第3年
10.1
10.8
第4年
10
9.7
第5年
10.2
9.8
解：甲品种的样本平均数为10,样本方差为
［（9.8-10）
2
+（9.9-10）
2
+（10.1-10 ）
2
+（10-10）
2
+（10.2-10）
2
］÷5= 0.02.
乙品种的样本平均数也为10,样本方差为
［（9.4-10）
2+（10.3-10）
2
+（10.8-10）
2
+（9.7-10）< br>2
+（9.8-10）
2
］÷5=0.24.
因为0.24>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.
例2 为 了保护学生的视力,教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必
须 换掉前的使用天数如下,试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差.
天数
灯泡数
151—18
0
1
181—21
0
11
211—24
0
18
241—27
0
20
271—30
0
25
301—33
0
16
331—36
0
7
361—39
0
2

分析：用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命,再求平均寿命.
解 ：各组中值分别为165,195,225,255，285,315,345,375,由此算得平均数约为1 65×1%+195
×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16% +345×7%+375×2%=267.9≈268(天).
这些组中值的方差为
1
×［1×(165-268)
2
+11×(195-268)
2
+18×( 225-268)
2
+20×(255-268)
2
+
10025×(285-268)
2
+16×(315-268)
2
+7×(3 45-268)
2
+2×(375-268)
2
］=2 128.60(天
2
).
故所求的标准差约
2128.6
≈46（天）.
答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天.
知能训练
（1）在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9. 4,9.7,去掉一个最高分和一
个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为___________ _.
（2）若给定一组数据x
1
,x
2
,…,x
n
,方差为s
2
,则ax
1
,ax
2
,…,ax
n
的方差是____________.
(3)在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了 6次测试,测得他们的最大速度(单位：ms)的数据如下：
甲
乙
27
33
38
29
30
38
37
34
35
28
31
36
试判断选谁参加某项重大比赛更合适？
答案：（1）9.5,0.016 （2）a
2
s
2

(3)
x
甲
＝33，
x
乙
＝33,
s
甲
?
2
4737
2
,
?s
乙
?
33
乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适.
拓展提升
某养鱼专业户在一个养鱼池放入一批鱼苗,一年以后准备出售,为了在出售 以前估计卖掉鱼后有多少收
入,这个专业户已经了解到市场的销售价是每千克15元,请问,这个专业户 还应该了解什么？怎样去了解？
请你为他设计一个方案.
解：这个专业户应了解鱼的总重量, 可以先捕出一些鱼（设有x条）,作上标记后放回鱼塘,过一段时间再捕
出一些鱼（设有a条）,观察其 中带有标记的鱼的条数,作为一个样本来估计总体,则

a条鱼中带有标记的条数鱼塘中所有带有标记的鱼的条数(x)
?

a鱼塘中鱼的总条数
这样就可以求得总条数,同时把第二次捕出的鱼的平均重量求出来 ,就可以估计鱼塘中的平均重量,进而
估计全部鱼的重量,最后估计出收入.
课堂小结
1.用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：
用样本平均数估计总体平均数,平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平.
用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大,估计就越精确,标准差描述一组数据围绕平均数波动的大
小,反映了一组数据变化的幅度.
2.用样本估计总体的两个手段（用样本的频率分布估计总体的分布 ；用样本的数字特征估计总体的数字特
征）,需要从总体中抽取一个质量较高的样本,才能不会产生较大 的估计偏差,且样本容量越大,估计的结果也
就越精确.
作业
习题2.2A组4、5、6、7,B组1、2.
设计感想
统计学科,最大的特点就 是与现实生活的密切联系,也是新教材的亮点.仅仅想借助“死记硬背一些概念

及公式, 简单模仿课本例题”来学习,是绝对不行的.用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可
以反映总体的信息,但从样本得到的信息会有偏差,其原因在于样本的随机性.这种偏差是不可避免的.虽然我们从样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正分布、均值和标准差,而只是总体的一个估计,
但这种估计是合理的,特别是当样本的容量很大时,它们确实反映了总体的信息.教师建议：亲身经历“ 提出问
题,收集数据,分析数据,并作出合理决策”过程,在此过程中不仅可以加深对概念等知识的深刻 理解,更重要的
是发展了思维,培养了分析及解决问题能力,同时在情感、意志等领域也得到了协调发展 ,这才是学校学习的
科学而全面的目标,习题设置有层次,尽量源于教材,又高于教材,这也是高考命题 原则.

2.3 变量间的相关关系
2.3.1 变量之间的相关关系
2.3.2 两个变量的线性相关
整体设计
教学分析
变量之 间的关系是人们感兴趣的问题.教科书通过思考栏目“物理成绩与数学成绩之间的关系”,引导学
生考察 变量之间的关系.在教师的引导下,可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关
系, 从而体会研究变量之间的相关关系的重要性.随后,通过探究人体脂肪百分比和年龄之间的关系,引入描
述两个变量之间关系的线性回归方程（模型）.教科书在探索用多种方法确定线性回归直线的过程中,向学
生展示创造性思维的过程,帮助学生理解最小二乘法的思想.通过气温与饮料销售量的例子及随后的思考,使< br>学生了解利用线性回归方程解决实际问题的全过程,体会线性回归方程作出的预测结果的随机性,并且可能
犯的错误.进一步,教师可以利用计算机模拟和多媒体技术,直观形象地展示预测结果的随机性和规律性 .
三维目标
1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系. 2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关
系,并利用散点图直观体会这种相关关系.
3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的 过程．知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程
的系数公式建立线性回归方程．
重点难点
教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系； 利用散点图直观认识
两个变量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．
教学难点：变量之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关；理解最小二乘法的思
想.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1
在学校里,老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩 好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”
按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在 着一种相关关系.这种说法有没有根据呢?
请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ）:

你的数学成绩
你的物理成绩
好


中


差


学生讨论：我们可以发现自己的数学 成绩和物理成绩存在某种关系.（似乎就是数学好的,物理也好；
数学差的,物理也差,但又不全对.） 物理成绩和数学成绩是两个变量,从经验看,由于物理学习要用到比较多的

数学知识和数 学方法.数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的.但决非唯一因素,还有其他因素,
如是否喜 欢物理,用在物理学习上的时间等等.（总结：不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他
的物理 成绩能达到多少.但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.如何通过数学成绩
的 结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义.）为很好地说明上述问题,我们开始学习变量之间
的相关关系和两个变量的线性相关.(教师板书课题)
思路2
某地区的环境条件适 合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅
多，那么这个村庄的婴儿 出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率低，于是，他就得出一个结论：天鹅能
够带来孩子.你认为这样 得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？
推进新课
新知探究
提出问题
（1）粮食产量与施肥量有关系吗？“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.教 师的水
平与学生的水平有什么关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？
（2）两个变量间的相关关系是什么？有几种？
（3）两个变量间的相关关系的判断.
讨论结果：
（1）粮食产量与施肥量有关系,一般是在标准范围内,施肥越多,粮食产量越高 ；教师的水平与学生的水平是
相关的,如水滴石穿,三人行必有我师等.
我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的问题.例如:
商品销售收入与广告支出经费 之间的关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系,但商品销售
收入不仅与广告支出多少有关, 还与商品质量、居民收入等因素有关.
粮食产量与施肥量之间的关系.在一定范围内,施肥量 越大,粮食产量就越高.但是,施肥量并不是决定粮
食产量的唯一因素.因为粮食产量还要受到土壤质量 、降雨量、田间管理水平等因素的影响.
人体内的脂肪含量与年龄之间的关系.在一定年龄段 内,随着年龄的增长,人体内的脂肪含量会增加,但
人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有关, 可能还与个人的先天体质有关.
应当说,对于上述各种问题中的两个变量之间的相关关系,我 们都可以根据自己的生活、学习经验作出
相应的判断,因为“经验当中有规律”.但是,不管你的经验多 么丰富,如果只凭经验办事,还是很容易出错的.因
此,在分析两个变量之间的相关关系时,我们需要一 些有说服力的方法.
在寻找变量之间相关关系的过程中,统计同样发挥着非常重要的作用.因 为上面提到的这种关系,并不像
匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的,而是带有不确定性 .这就需要通过收集大量的数据(有
时通过调查,有时通过实验),在对数据进行统计分析的基础上,发 现其中的规律,才能对它们之间的关系作出
判断.
(2)相关关系的概念：自变量取值一定时 ,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关
系.两个变量之间的关系分两类：
①确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；
②带有随机性的变量间 的相关关系,例如“身高者,体重也重”,我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系.
相关关系是一 种非确定性关系.
如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.（还与商品质量、居民收入、生活环境等有关）
(3)两个变量间的相关关系的判断：①散点图.②根据散点图中变量的对应点的离散程度,可以准确地判断两< br>个变量是否具有相关关系.③正相关、负相关的概念.
①教学散点图
出示例题：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据：
年龄
脂肪
年龄
23
9.5
53
27
17.8
54
38
21.2
56
41
25.9
57
45
27.5
58
49
26.3
60
50
28.2
61

脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
分析数据：大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加.我们可以作散点图来 进一步分
析.
②散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个 变量的一组数据的图形,这
样的图形叫做散点图，如下图.

从散点图我们 可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定
的关系,这个图 支持了我们从数据表中得出的结论.
（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描 述变量之间的关系,即变量之间具有函数关
系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之 间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一
直线附近,变量之间就有线性相关关系）
③正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图
中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（注：散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个< br>变量之间不具有相关关系）
应用示例
思路1
例1 下列关系中,带有随机性相关关系的是_____________.
①正方形的边长与面积之间的关系
②水稻产量与施肥量之间的关系
③人的身高与年龄之间的关系
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系
解析：两变 量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系.①正方形的边长与面积之间的关系是
函数关系 .②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.③人的
身高 与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变
化 了,因而他们不具备相关关系.④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系,因此填②④.
答案：②④
例2 有关法律规定,香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语.吸烟是否 一定会引起健康问题?你认为
“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法对吗?
分析：学生思考,然后讨论交流,教师及时评价.
解：从已经掌握的知识来看,吸烟会损害身 体的健康,但是除了吸烟之外,还有许多其他的随机因素影响身体
健康,人体健康是很多因素共同作用的 结果.我们可以找到长寿的吸烟者,也更容易发现由于吸烟而引发的患
病者,所以吸烟不一定引起健康问 题.但吸烟引起健康问题的可能性大.因此“健康问题不一定是由吸烟引起
的,所以可以吸烟”的说法是 不对的.
点评：在探究研究的过程中,如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义 的,由此可以
进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系,从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么.本 题的意义在于引
导学生重视对统计结果的解释,从中发现进一步研究的问题.
思路2
例1 有时候,一些东西吃起来口味越好,对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食品的数 据.第二
列表示此种食品所含热量的百分比,第三列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口 味的评价:

品牌
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
所含热量的百分比
25
34
20
19
26
20
19
24
19
13
口味记录
89
89
80
78
75
71
65
62
60
52
（1）作出这些数据的散点图.
(2)关于两个变量之间的关系,你能得出什么结论?
解：(1)散点图如下：

(2)基本成正相关关系,即食品所含热量越高,口味越好.
例2 案例分析：
一般说来,一个人的身高越高,他的右手一拃长就越长,因此,人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系.< br>为了对这个问题进行调查,我们收集了北京市某中学2003年高三年级96名学生的身高与右手一拃长的 数据
如下表.
性别
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
身高cm
152
156
158
160
160
160
160
161
162
163
164
164
165
165
166
167
右手一拃长cm
18.5
16.0
17.3
15.0
17.5
19.0
19.0
16.1
18.2
20.0
17.0
19.0
15.0
17.5
19.0
19.0
性别
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
女
身高cm
153
157
159
160
160
160
160
161
162
163
164
164
165
165
167
168
右手一拃长cm
16.0
20.0
20.0
16.0
17.5
19.0
19.5
18.0
18.5
21.5
18.5
20.0
16.0
19.5
19.0
16.0

女
女
女
女
女
女
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
168
170
170
171
172
173
164
168
169
170
170
171
171
172
173
173
174
175
175
175
176
176
177
178
178
179
180
181
182
182
185
191
19.0
21.0
21.0
20.0
18.5
22.0
19.0
18.0
17.0
20.0
21.5
21.5
22.3
23.0
20.0
20.0
22.0
16.0
21.0
22.0
19.0
22.0
21.0
21.0
24.0
21.5
22.5
21.5
18.5
24.0
25.0
21.0
女
女
女
女
女
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
男
168
170
171
171
173
162
165
168
169
170
170
171
172
173
173
173
174
175
175
176
176
176
178
178
179
179
181
181
182
183
186
191
19.5
21.0
19.0
21.5
18.0
19.0
21.0
19.0
20.0
21.0
22.0
21.5
21.5
20.0
20.0
21.0
22.0
20.0
21.2
16.0
20.0
22.0
21.0
22.5
21.5
23.0
21.1
23.0
21.5
21.2
22.0
23.0
（1）根据上表中的数据,制成散点图.你能从散点图中发现身高与右手一拃长之间的近似关系吗？
（2）如果近似成线性关系,请画出一条直线来近似地表示这种线性关系.
（3）如果一个学生的身高是188 cm,你能估计他的一拃大概有多长吗？
解：根据上表中的数据,制成的散点图如下.

从散点图上可以发现,身高 与右手一拃长之间的总体趋势是成一直线,也就是说,它们之间是线性相关的.
那么,怎样确定这条直线 呢？
同学1：选择能反映直线变化的两个点,例如（153,16）,（191,23）两点确定一条直线.

同学2：在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.
同 学3：多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直
线的斜率、截距.
同学4：从左端点开始,取两条直线,如下图.再取这两条直线的“中间位置”作一条直线.

同学5：先求出相同身高同学右手一拃长的平均值,画出散点图,如下图,再画出近似的直线,使得在直 线两侧
的点数尽可能一样多.

同学6：先将所有的点分成两部分,一部分是身高在170 cm以下的,一部分是身高在170 cm 以上的；然后,
每部分的点求一个“平均点”——身高的平均值作为平均身高、右手一拃的平均值作为平 均右手一拃长,即
（164,19）,（177,21）；最后,将这两点连接成一条直线.
同学7：先将所有的点按从小到大的顺序进行排列,尽可能地平均分成三等份；每部分的点按照同学3的方
法求一个“平均点”,最小的点为（161.3,18.2）,中间的点为（170.5,20.1）,最大的 点为（179.2,21.3）.求出这
三个点的“平均点”为（170.3,19.9）.我再用直尺 连接最大点与最小点,然后平行地推,画出过点（170.3,19.9）
的直线.

同学8：取一条直线,使得在它附近的点比较多.
在这里需要强调的是,身高和右手一拃长之 间没有函数关系.我们得到的直线方程,只是对其变化趋势的一个
近似描述.对一个给定身高的人,人们 可以用这个方程来估计这个人的右手一拃长，这是十分有意义的.
知能训练
一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,收集数据如下：
零件数x（个）
加工时间y(min)
10
62
20
68
30
75
40
81
50
89
60
95
70
102
80
108
90
115
100
122
画出散点图；
关于加工零件的个数与加工时间,你能得出什么结论？
答案：（1）散点图如下：

（2）加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系．
拓展提升
以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积（m
2
）
销售价格（万元）
115
24.8
110
21.6
80
18.4
135
29.2
105
22
（1）画出数据对应的散点图；
（2）指出是正相关还是负相关;
（3）关于销售价格y和房屋的面积x,你能得出什么结论？
解：（1）数据对应的散点图如下图所示：

（2）散点图中的点散分布在从左下角到右上角的区域内,所以是正相关.
（3）关于销售价格y和房屋的面积x,房屋的面积越大,价格越高,它们呈正线性相关的关系.
课堂小结
通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系.
作业
习题2.3A组3、4(1).
设计感想
本节课 学习了变量之间的相关关系和两个变量的线性相关的部分内容,通过身边的具体实例说明了两
个变量的相 关关系,并学会了利用散点图及其分布来说明两个变量的相关关系的种类,为下一节课作了铺垫,
思路1 和思路2的例题对知识进行了巩固和加强,另外,本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例,对学
生 进行思想情操教育、意志教育和增强学生的自信心,养成良好的学习态度和学习方法,树立时间观,培养勤
奋、刻苦耐劳的精神.

第三章 概率
3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率
教学目标：
1.通过在抛硬币等试验获取数据,了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念.
2.通过 获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,正确理解事件A出现的频率的意义，真正做到在探索
中学习, 在探索中提高.
3.通过数学活动,即自己动手、动脑和亲身试验来理解概率的概念,明确事件A发生 的频率f
n
（A）与
事件A发生的概率P（A）的区别与联系,体会数学知识与现实世 界的联系.
教学重点：
理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.
教学难点：
理解频率与概率的关系.
教学方法：
讲授法
课时安排
1课时
教学过程
一、导入新课：
在第二次 世界大战中,美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力.这句话有一个非同
寻常的来历 .（故事略）
在自然界和实际生活中,我们会遇到各种各样的现象.如果从结果能否预知的角 度来看,可以分为两大
类：一类现象的结果总是确定的,即在一定的条件下,它所出现的结果是可以预知 的,这类现象称为确定性
现象；另一类现象的结果是无法预知的,即在一定的条件下,出现那种结果是无 法预先确定的,这类现象称
为随机现象.随机现象是我们研究概率的基础,为此我们学习随机事件的概率 .
二、新课讲解：
1、提出问题
（1）什么是必然事件？请举例说明.
（2）什么是不可能事件？请举例说明.
（3）什么是确定事件？请举例说明.
注：以上3问初中已经学习了.
（4）什么是随机事件？请举例说明.
（5）什么是事件A的频数与频率？什么是事件A的概率？
（6）频率与概率的区别与联系有哪些?
观察：
（１）掷一枚硬币,出现正面；
（２）某人射击一次,中靶；
（３）从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签；
这三个事件在一定的条件下是或者发生或不一定发生的,是模棱两可的.
２、活动
做抛掷一枚硬币的试验,观察它落地时哪一个面朝上.通过学生亲自动手试验,突破学生理解的难点：
“ 随机事件发生的随机性和随机性中的规律性”.通过试验,观察随机事件发生的频率,可以发现随着实验
次数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后再给出概率的定义.在这个过程中,重视了掌握知识的过程,体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法
具体如下：

第一步每个人各取一枚硬币,做10次掷硬币试验,记录正面向上的次数和比例,填在下表：
姓名

试验次数

正面朝上总次数

正面朝上的比例

思考：
试验结果与其他同学比较,你的结果和他们一致吗？为什么？
第二步 由组长把本小组同学的试验结果统计一下,填入下表.
组次

试验总次数

正面朝上总次数

正面朝上的比例

思考：
与其他小组试验结果比较,正面朝上的比例一致吗？为什么？
通过学生的实验,比较他们实验结果,让他们发现每个人实验的结果、组与组之间实验的结果不完全相
同 ,从而说明实验结果的随机性,但组与组之间的差别会比学生与学生之间的差别小,小组的结果一般会比
学生的结果更接近0.5.
第三步 用横轴为实验结果,仅取两个值：1（正面）和0（反 面）,纵轴为实验结果出现的频率,画出
你个人和所在小组的条形图,并进行比较,发现什么？
第四步 把全班实验结果收集起来,也用条形图表示.
思考：
这个条形图有什么特点？
引导学生在每组实验结果的基础上统计全班的实验结果,一般情况下 ,班级的结果应比多数小组的结
果更接近0.5,从而让学生体会随着实验次数的增加,频率会稳定在0 .5附近.并把实验结果用条形图表示,
这样既直观易懂,又可以与第二章统计的内容相呼应,达到温故 而知新的目的.
第五步 请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性.
思考：
如果同学们重复一次上面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？为什么？
出现正面朝上的规律性：随着实验次数的增加,正面朝上的频率稳定在0.5附近.
由特殊事 件转到一般事件,得出下面一般化的结论：随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,
但是在大量 重复实验后,随着次数的增加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上.从
而得 出频率、概率的定义,以及它们的关系.
3、讨论结果：（1）必然事件:在条件S下,一定会发生的 事件,叫相对于条件S的必然事件（certain event）,
简称必然事件.
（2） 不可能事件：在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件（impossible event）,
简称不可能事件.
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件.
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件（random event）,
简称随机事件；确定事件和随机事件统称为事件,用A,B,C,…表示.
（ 5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现
的次数n
a
为事件A出现的频数（frequency）；称事件A出现的比例f
n< br>(A)=
n
A
为事件A出现的频率（relative
n
f requency）;对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率f
n
(A)稳定在某个常数上,
把这个常数记作P（A）,称为事件A的概率（probability） .
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率,指此事件发生的次数
n
A与试验总次数n的比值
n
A
,它
n
具有一定的稳定性,总在某个 常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小.我们把
这个常数叫做随机事件的概 率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验

的前提下可 以近似地作为这个事件的概率.
频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接 近概率.在实际问题中,通常事件的概率
未知,常用频率作为它的估计值.
频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同.
概率是一个确 定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正
面朝上的概率 就是0.5,与做多少次实验无关.
三、课堂练习：
教材113页练习：1、2、3
四、课堂小结：
本节研究的是那些在相同条件下,可以进行 大量重复试验的随机事件,它们都具有频率稳定性,即随机
事件A在每次试验中是否发生是不能预知的, 但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的
频率逐渐稳定在区间［0,1］内的某个常 数上（即事件A的概率）,这个常数越接近于1,事件A发生的概率
就越大,也就是事件A发生的可能性 就越大.反之,概率越接近于0,事件A发生的可能性就越小.因此说,概
率就是用来度量某事件发生的 可能性大小的量.
五、课后作业：
全优设计


板书设计：



3.1.1 随机事件的概率


1、必然事件、不可能事件、随机事件


2、频率与概率的区别与联系：


教学反思：

3.1.2 概率的意义
教学目标：
1.正确理解概率的意义；利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.
2.通过对现实生 活中的“掷币”、“游戏的公平性”、“彩票中奖”等问题的探究,感知应用数学知
识解决数学问题的方 法,理解逻辑推理的数学方法.
3.通过对概率的实际意义的理解,体会知识来源于实践并应用于实践 的辩证唯物主义观,进而体会数
学与现实世界的联系.
教学重点：
理解概率的意义.
教学难点：
用概率的知识解释现实生活中的具体问题.
教学方法：
讲授法
课时安排
1课时
教学过程：
一、导入新课：
生活中,我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为9 0%,结果根本一点雨都没下,天气预
报也太不准确了.”这是真的吗？为此我们必须学习概率的意义.
二、新课讲解：
1、提出问题：
（1）有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面向上的 概率为0.5,那么连续抛掷一枚硬币两次,一定是一次正面
朝上,一次反面朝上,你认为这种想法正确 吗？
（2）如果某种彩票中奖的概率为
1
,那么买1 000张彩票一定能中奖吗？
1000
（3）在乒乓球比赛中,裁判员有时也用数名运动员伸出手指数的和的单数与双数来决 定谁先发球,其具体
规则是：让两名运动员背对背站立,规定一名运动员得单数胜,另一名运动员得双数 胜,然后裁判员让两名
运动员同时伸出一只手的手指,两个人的手指数的和为单数,则指定单数的运动员 得到先发球权,若两个人
的手指数的和为双数,则指定双数胜的运动员得到先发球权,你认为这个规则公 平吗？
（4）“天气预报说昨天降水概率为90%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了. ”学了概率后,
你能给出解释吗？
（5）阅读课本的内容了解孟德尔与遗传学.
(6)如果连续10次掷一枚骰子,结果都是出现1点.你认为这枚骰子的质地均匀吗?为什么?
2、讨论结果：
（1）这种想法显然是错误的,通过具体的试验可以发现有三种可能的结果： “两次正面朝上”“两次反面
朝上”“一次正面朝上,一次反面朝上”,而且其概率分别为0.25,0 .25,0.5.
（2）不一定能中奖,因为买1 000张彩票相当于做1 000次试验,因为每次试验的结果都是随机的,即每张
彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1 000张彩票中可能没有一张中奖,也可能有一张、两张乃至多张中奖.
（3）规则是公平的. （4）天气预报的“降水”是一个随机事件,因此,“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%” 的
天气预报是错误的.
（5）奥地利遗传学家（,1822—1884）用豌豆进行杂交试验 ,下表为试验结果（其中F
1
为第一子
代,F
2
为第二子代）：
性状
种子的形状
F
1
的表现
全部圆粒 圆粒5 474
F
2
的表现
皱粒1 850 圆粒∶皱粒≈2.96∶1

茎的高度
子叶的颜色
豆荚的形状
全部高茎
全部黄色
全部饱满
高茎787
黄色6 022
饱满882
矮茎277
绿色2 001
不饱满299
高茎∶矮茎≈2.84∶1
黄色∶绿色≈3.01∶1
饱满∶不饱满≈2.95∶1
孟德尔发现第一 子代对于一种性状为必然事件,其可能性为100%,另一种性状的可能性为0,而第二子
代对于前一种 性状的可能性约为75%,后一种性状的可能性约为25%,通过进一步研究,他发现了生物遗传的
基本 规律.实际上,孟德尔是从某种性状发生的频率作出估计的.
(6)利用刚学过的概率知识我们可以进 行推断,如果它是均匀的,通过试验和观察,可以发现出现各个面的
可能性都应该是
11
10
,从而连续10次出现1点的概率为()≈0.000 000 001 653 8,这在一次 试验(即连续
66
10次投掷一枚骰子)中是几乎不可能发生的.而当骰子不均匀时,特别是当 6点的那面比较重时(例如灌了铅
或水银),会使出现1点的概率最大,更有可能连续10次出现1点.
现在我们面临两种可能的决策:一种是这枚骰子的质地均匀,另一种是这枚骰子的质地不均匀. 当连续
10次投掷这枚骰子,结果都是出现1点,这时我们更愿意接受第二种情况:这枚骰子靠近6点的 那面比较重.
原因是在第二种假设下,更有可能出现10个1点.
如果我们面临的是 从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务,那么“使得样本出现的可能性最大”
可以作为决策的准则, 例如对上述思考题所作的推断.这种判断问题的方法称为极大似然法.极大似然法是
统计中重要的统计思 想方法之一.
如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大,那么判断正确的可能性也 最大.这种判断问题
的方法称为似然法.似然法是统计中重要的统计思想方法之一.

三、例题讲解：
例1 为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法,先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给
每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水< br>库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.
试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.
分析：学生先思考,然后交流讨论,教师指导,这实际上是概率问题,即2 000尾鱼在水库中占所有 鱼的百分
比,特别是500尾中带记号的有40尾,就说明捕出一定数量的鱼中带记号的概率为
解：设水库中鱼的尾数为n,A={带有记号的鱼},则有P(A)=
因P(A)≈
40
,问题可解.
500
2000
. ①
n
40
， ②
500
200040
由①②得,解得n≈25 000.
?
n500
所以估计水库中约有鱼25 000尾.

四、课堂练习：
教材第118页练习：1、2、3、
五、课堂小结：
概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学,正确理解概率的意义是认识、理解现实生活
中有 关概率的实例的关键,学习过程中应有意识形成概率意识,并用这种意识来理解现实世界,主动参与对
事 件发生的概率的感受和探索.通过以上例题与练习可以感到,数学特别是概率正越来越多地应用到我们
的 生活当中.它们已经不是数学家手中的抽象理论,而成为我们认识世界的工具.从彩票中奖,到证券分析;
从基因工程,到法律诉讼；从市场调查,到经济宏观调控;概率无处不在.
六、课后作业：
习题3.1A组2、3.

板书设计：









教学反思：
3.1.2 概率的意义
1、提出问题：
2、讨论结果：

3.1.3 概率的基本性质
教学目标：
（1）正确理解事件的 包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念；通过事件的关
系、运算与集合的关 系、运算进行类比学习,培养学生的类比与归纳的数学思想.
（2）概率的几个基本性质：①必然事件 概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1；②当事件A与B
互斥时,满足加法公式：P( A∪B)=P(A)+P(B)；③若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以
P(A∪B) =P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1-P(B).
（3）正确理解和事件与积事件,以及 互斥事件与对立事件的区别与联系,通过数学活动,了解数学与实际生
活的密切联系,感受数学知识应用 于现实世界的具体情境,从而激发学习数学的情趣.
教学重点：
概率的加法公式及其应用.
教学难点：
事件的关系与运算.
教学方法：
讲授法
课时安排
1课时
教学过程
一、导入新课：
全运会中某省派两名 女乒乓球运动员参加单打比赛,她们夺取冠军的概率分别是27和15,则该省夺
取该次冠军的概率是2 7+15,对吗？为什么？为解决这个问题,我们学习概率的基本性质.
二、新课讲解：
Ⅰ、事件的关系与运算
１、提出问题
在掷骰子试验中,可以定义许多事件 如：C
1
={出现1点},C
2
={出现2点},C
3
={ 出现3点},C
4
={出现4
点},C
5
={出现5点},C
6
={出现6点},D
1
={出现的点数不大于1},D
2
={出 现的点数大于3},D
3
={出现的点数小于
5},E={出现的点数小于7},F= {出现的点数大于6},G={出现的点数为偶数},H={出现的点数为奇数},……
类比集合与集合的关系、运算说明这些事件的关系和运算,并定义一些新的事件.
(1)如果事件C
1
发生,则一定发生的事件有哪些？反之,成立吗？
(2 )如果事件C
2
发生或C
4
发生或C
6
发生,就意味着哪个 事件发生？
(3)如果事件D
2
与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生？
(4)事件D
3
与事件F能同时发生吗？
(5)事件G与事件H能同时发生吗？它们两个事件有什么关系？
２、活动：学生思考或交流,教师提示点拨,事件与事件的关系要判断准确．
３、讨论结果：
(1)如果事件C
1
发生,则一定发生的事件有D
1
,E,D
3
,H,反之,如果事件D
1
,E,D
3
,H分别成立,能推出事 件C
1
发
生的只有D
1
.
(2)如果事件C
2< br>发生或C
4
发生或C
6
发生,就意味着事件G发生.
(3)如果事件D
2
与事件H同时发生,就意味着C
5
事件发生.
(4)事件D
3
与事件F不能同时发生.
(5)事件G与事件H不能同时发生,但必有一个发生.
４、总结：由此我们得到事件A,B的关系和运算如下：
①如果事件A发生,则事件B一定发 生,这时我们说事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）,记为B
?
A
（或A?
B）,不可能事件记为
?
,任何事件都包含不可能事件.
②如果事件 A发生,则事件B一定发生,反之也成立,（若B
?
A同时A
?
B）,我们说 这两个事件相等,即A=B.
如C
1
=D
1
.

③如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与B的并事件（或和事件）,记< br>为A∪B或A+B.
④如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A 与B的交事件（或积事件）,记
为A∩B或AB.
⑤如果A∩B为不可能事件（A∩B=?
）,那么称事件A与事件B互斥,即事件A与事件B在任何一次试验中
不会同时发生.
⑥如果A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件 B在一
次试验中有且仅有一个发生.
Ⅱ、概率的几个基本性质
１、提出以下问题:
（1）概率的取值范围是多少?
（2）必然事件的概率是多少?
（3）不可能事件的概率是多少?
（4）互斥事件的概率应怎样计算?
（5）对立事件的概率应怎样计算?
２、活动：
学生根据试验的结果,结合自己对各种事件的理解,教师引导学生,根据概率的意义:
（1） 由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以,频率在0—1之间,因而概率的取值范围也在0—1
之间.
（2）必然事件是在试验中一定要发生的事件,所以频率为1,因而概率是1.
（3）不可能事件是在试验中一定不发生的事件,所以频率为0,因而概率是0.
（4）当事 件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥
事件的概 率等于互斥事件分别发生的概率之和.
（5）事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A ∪B为必然事件,则A∪B的频率为1,因而概率
是1,由（4）可知事件B的概率是1与事件A发生的 概率的差.
３、讨论结果：
（1）概率的取值范围是0—1之间,即0≤P(A)≤1.
（2）必然事件的概率是1.如在掷骰子试验中,E={出现的点数小于7},因此P(E)=1.
（3）不可能事件的概率是0,如在掷骰子试验中,F={出现的点数大于6},因此P(F)=0.
（4）当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互 斥事
件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是概率的 加法公式.也称互斥事
件的概率的加法公式.
（5）事件A与事件B互为对立事件,A∩B为 不可能事件,A∪B为必然事件,P(A∪B)=1.所以
1=P(A)+P(B),P(B)=1-P (A),P(A)=1-P(B).如在掷骰子试验中,事件G={出现的点数为偶数}与H={出现的点
数为奇数}互为对立事件,因此P(G)=1-P(H).
三、例题讲解：
例： 如果从 不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心（事件A）的概率是
（事件B）的概率是< br>1
,取到方块
4
1
,问：
4
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
活动：学生先思考或交流,教师及时指导提示, 事件C是事件A与事件B的并,且A与B互斥,因此可用互斥
事件的概率和公式求解,事件C与事件D是 对立事件,因此P(D)=1-P(C).
解：（1）因为C=A∪B,且A与B不会同时发生,所以 事件A与事件B互斥,根据概率的加法公式得

P(C)=P(A)+P(B)=
1
.
2
1
.
2
（2）事件C与事件D互斥,且C∪D为 必然事件,因此事件C与事件D是对立事件,P(D)=1-P(C)=
四、课堂练习：
教材第１２１页练习：１、２、３、４、５
五、课堂小结：
1.概率的基本性质是 学习概率的基础.不可能事件一定不出现,因此其概率为0,必然事件一定发生,因此其
概率为1.当事 件A与事件B互斥时,A∪B发生的概率等于A发生的概率与B发生的概率的和,从而有公式P
（A∪B ）=P（A）+P（B）；对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生.
2.在利用概率的性质时 ,一定要注意互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A与事件B在一
次试验中不会同时发 生,其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发
生且事件B发生 ；（3）事件A与事件B同时不发生,而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生,其
包括两种情 形:①事件A发生B不发生；②事件B发生事件A不发生,对立事件是互斥事件的特殊情形.
六、课后作业：
习题3.1A组5,B组1、2.
预习教材３.２.１
板书设计

3.1.3 概率的基本性质


Ⅰ、事件的关系与运算


Ⅱ、概率的几个基本性质

3.2.1 古典概型
教学目标：
1.根 据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限
性和每一 个试验结果出现的等可能性,观察类比各个试验,正确理解古典概型的两大特点；树立从具体到抽
象、从 特殊到一般的辩证唯物主义观点,培养学生用随机的观点来理性地理解世界,使得学生在体会概率意
义
2.鼓励学生通过观察、类比,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力,归纳总结出古典概型的概率
计算公式,掌握古典概型的概率计算公式；注意公式：P（A）=
A包含的基本事件个数
的使用条件——
总的基本事件个数
古典概型,体现了化归的重要思想.掌握列举法,学会运用 分类讨论的思想解决概率的计算问题,增强学生
数学思维情趣.
教学重点：
理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率.
教学难点：
如何判断一 个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验
中基本事件的总 数.
教学方法：
讲授法
课时安排：
1课时
教学过程：
一、导入新课：
(1)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有2个,即“正面朝上”或“反面朝上”,它们都是随机事件.
(2)一个盒子中有10个完全相同的球,分别标以号码1,2,3,…,10,从中任取一球,只有1 0种不同的结果,
即标号为1,2,3，…,10.
思考讨论根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点？
二、新课讲解：
1、提出问题：
试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币,分别记录“正面朝上”和“反面朝上” 的次数,要求每个数学小组至
少完成20次（最好是整十数）,最后由学科代表汇总；
试验二 ：抛掷一枚质地均匀的骰子,分别记录“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”的次数,
要求每个数学小组至少完成60次（最好是整十数）,最后由学科代表汇总.
（1）用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好？为什么？
（2）根据以前的学习,上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点？
（3）什么是基本事件？基本事件具有什么特点？
（4）什么是古典概型？它具有什么特点？
（5）对于古典概型,应怎样计算事件的概率？
2、活动：学生展示模拟试验的操作方法和试 验结果,并与同学交流活动感受,讨论可能出现的情况,师生共
同汇总方法、结果和感受.
3 、讨论结果：（1）用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率不好,因为需要进行大量的试验,同时我们
只是把随机事件出现的频率近似地认为随机事件的概率,存在一定的误差.
（2）上述试验一的两个 结果是“正面朝上”和“反面朝上”,它们都是随机事件,出现的概率是相等的,都
是0.5.上述试验 二的6个结果是“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”,它们也都是随机事
件,出现的 概率是相等的,都是
1
.
6

（3）根据以前的学习,上述试 验一的两个结果“正面朝上”和“反面朝上”,它们都是随机事件；上述试
验二的6个结果“1点”“2 点”“3点”“4点”“5点”和“6点”,它们都是随机事件,像这类随机事
件我们称为基本事件（e lementary event）；它是试验的每一个可能结果.
基本事件具有如下的两个特点：
①任何两个基本事件是互斥的；
②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.
（4）在一个试验中如果
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）
②每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classical models of probability）,简称古典概
型.
向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在 圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗?为什
么？

因为试验 的所有可能结果是圆面内所有的点,试验的所有可能结果数是无限的,虽然每一个试验结果
出现的“可能 性相同”,但这个试验不满足古典概型的第一个条件.
如下图,某同学随机地向一靶心进行射 击,这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命
中5环和不中环.你认为这是古典概型吗 ？为什么？

不是古典概型,因为试验的所有可能结果只有7个,而命中10环、命 中9环……命中5环和不中环的
出现不是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件.
（5）古典概型,随机事件的概率计算
对于实验一中,出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等,即
P（“正面朝上”）=P（“反面朝上”）
由概率的加法公式,得
P（“正面朝上”）+P（“反面朝上”）=P（必然事件）=1.
因此P（“正面朝上”）=P（“反面朝上”）=
1
.
2
即P（“出现正面朝上”)=
1出现正面朝上所包含的基本事件的个数
?
.
2基本事件的总数
试验二中,出现各个点的概率相等,即
P（“1点”）=P（“2点”）=P（“3点”）=P（“4点”）=P（“5点”）=P（“6点”）.
反复利用概率的加法公式,我们有P（“1点”）+P（“2点”）+P（“3点”）+P（“ 4点”）+P（“5

点”）+P（“6点”）=P（必然事件）=1.
所以P（“1点”）=P（“2点”）=P（“3点”）=P（“4点”）=P（“5点”）=P（“6点”）=
进一步地,利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率,例如,
P（“出现偶数点”）=P（“2点”）+P（“4点”）+P（“6点”）=
1
.
6
11131
++==.
66662
即P（“出现偶数点”）=
3出现偶数点所包含的基本事件的个数
?
.
6基 本事件的总数
因此根据上述两则模拟试验,可以概括总结出,古典概型计算任何事件的概率计算公式为：
P（A）=
A所包含的基本事件的个数
.
基本事件的总数
在使用古典概型的概率公式时,应该注意：
①要判断该概率模型是不是古典概型；
②要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.
三、例题讲解：
例1 从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件？
活动：师生交流或讨论,我们可以按照字典排序的顺序,把所有可能的结果都列出来.

解：基本事件共有6个:
A={a,b},B={a,c},C={a,d},D={b,c },E={b,d},F={c,d}.
点评：一般用列举法列出所有基本事件的结果,画树状图是列举法的基本方法.
例2 ：单选 题是标准化考试中常用的题型,一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握
了 考查的内容,他可以选择唯一正确的答案.假设考生不会做,他随机地选择一个答案,问他答对的概率是
多少？
解：（略）
点评：古典概型解题步骤:
（1）阅读题目,搜集信息；
（2）判断是否是等可能事件,并用字母表示事件；
（3）求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；
（4）用公式P(A)=
m
求出概率并下结论.
n
变式训练
1.抛两枚均匀硬币,求出现两个正面的概率.
2.一次投掷两颗骰子,求出现的点数之和为奇数的概率.
例3 同时掷两个骰子,计算：
(1)一共有多少种不同的结果?
(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种?
(3)向上的点数之和是5的概率是多少?
解：（略）
例4 ： 假设储蓄卡的密 码由4个数字组成,每个数字可以是0,1,2,…,9十个数字中的任意一个.假设一个
人完全忘记了 自己的储蓄卡密码,问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少?
解：（略）
例5 ： 某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格,问质检人员从中随机抽出2听,检测出不合格 产品的

概率有多大?

解：（略）
四、课堂练习：
教材第130页练习：1、2、3
五、课堂小结：
1.古典概型我们将具有
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）
（2）每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）
这样两个特点的概率模型称为古典概率概型,简称古典概型.
2.古典概型计算任何事件的概率计算公式
P（A）=
A所包含的基本事件的个数
.
基本事件的总数
3.求某 个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数的常用方法是列举法（画树状图和列
表）, 应做到不重不漏.
六、课后作业
习题3.2 A组1、2、3、4.

板书设计
3.2.1 古典概型
1.古典概型






高一数学集体备课教案
2、P（A）=
A所包含的基本事件的个数
.
基本事件的总数

3.2.2 （整数值）随机数（random numbers）的产生
教学目标：
1.通过对现实生活中具体的概率问题的探究,感知应 用数学解决问题的方法,了解随机数的概念；体会
数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力. < br>2.通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯.利用计算机产生随< br>机数,并能直接统计出频数与频率.通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主
义观点.
教学重点：
学会利用随机数实验来求简单事件的概率.
教学难点：
学会利用计算器、计算机求随机数的方法.
教学方法：
讲授法
课时安排：
1课时
教学过程：
一、导入新课：
复习上一节课的内容：
（1）古典概型.我们将具有①试 验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）②每个基本事
件出现的可能性相等.（等可能性） 这样两个特点的概率模型称为古典概率概型,简称古典概型.
（2）古典概型计算任何事件的概率计算公式:
P（A）=
A所包含的基本事件的个数
.
基本事件的总数
本节课我们学习（整数值）随机数的产生,教师板书课题.
二、新课讲解：
提出问题
（1）在掷一枚均匀的硬币的试验中,如果没有硬币,你会怎么办？
（2）在掷一枚均匀的骰子的试验中,如果没有骰子,你会怎么办？
（3）随机数的产生有几种方法,请予以说明.
（4）用计算机或计算器（特别是TI图形计算器）如何产生随机数？
活动：学生思考或讨论 ,并与同学交流活动感受,讨论可能出现的情况,师生共同最后汇总方法、结果和感
受.
讨论结果：
（1）我们可以用0表示反面朝上,1表示正面朝上,用计算器做模拟掷硬币试验.
（2）我 们可以分别用数字1、2、3、4、5、6表示出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6
点”,用计算器做模拟掷骰子试验.
（3）可以由试验产生随机数,也可用计算机或计算器来产生随机数.
①由试验产生的随机数 ：例如我们要产生1—10之间的随机数,可以把大小形状均相同的十张纸片的背后
分别标上：1,2, 3,…,8,9,10,然后任意地抽出其中一张,这张纸上的数就是随机数.这种产生随机数的方法
比 较直观,不过当随机数的量比较大时,就不方便,因为速度太慢.
②用计算机或计算器（特别是TI图 形计算器）产生随机数：利用计算机程序算法产生,具有周期性（周
期很长）,具有类似随机数性质,称 为伪随机数.在随机模拟时利用计算机产生随机数比较方便.
（4）介绍各种随机数的产生.
①计算器产生随机数
下面我们介绍一种如何用计算器产生你指定的两个整数之间的取整数值的 随机数.例如,要产生1—25之间

的取整数值的随机数,按键过程如下：

以后反复按键,就可以不断产生你需要的随机数.
同样地,我们可以用0表 示反面朝上,1表示正面朝上,利用计算器不断地产生0,1两个随机数,以代替
掷硬币的试验.按键过 程如下：

②利用TI图形计算器产生随机数的方法
只要输入RAND（N）(其 中N为任意整数,如图：RAND（20）表示1到20的随机数.)利用TI图形计算器产
生随机数的 速度很快而且很方便.

③介绍利用计算机产生随机数（主要利用Excel软件）
先让学生熟悉Excel软件特别是产生随机数的函数,画统计图的功能,以及了解Excel 软件对统计数据
进行处理的功能.
我们也可以用计算机产生随机数,而且可以直接统 计出频数和频率.下面以掷硬币为例给出计算机产
生随机数的方法.
每个具有统计功 能的软件都有随机函数.以Excel软件为例,打开Excel软件,执行下面的步骤：（见教
材13 1页）
同时可以画频率折线图,它更直观地告诉我们:频率在概率附近波动.

上面我们用计算机或计算器模拟了掷硬币的试验,我们称用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模

拟方法或蒙特卡罗(Monte Carlo)方法.
三、例题讲解：（注：例1，变式训练选讲）
例1 利用计算器产生10个1—100之间的取整数值的随机数.
解：具体操作如下：
键入

反复操作10次即可得之.
点评：利用计算器产生随机数,可以做随机模拟试验,在日常生活中有着广泛的应用.
变式训练
利用计算器生产10个1到20之间的取整数值的随机数.
解：具体操作如下：
键入

反复按键10次即可得到.
例2： 天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40%,这三天中恰有两天下雨的概率是多少?
活动：这里试验出现的可能结果是有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能用古典概型求概率
的公式.用计算器或计算机做模拟试验可以模拟下雨出现的概率是40%.
解：（略）
本例题的目的是要让学生体会如何利用模拟的方法估算概率.
解决步骤：（1）建立概率模型 ：模拟每一天下雨的概率为40%,有很多方法,例如用计算机产生0—9的随机
数,可用0,1,2, 3表示下雨,其余表示不下雨（当然,也可以用5,6,7,9表示下雨,其余表示不下雨）,这样
可以 体现下雨的概率为40%.
（2）进行模拟实验,可以用Excel软件模拟的结果（模拟20个）： 可用函数“RANDBETWEEN（1,20）”.
（3）验证统计结果（略）.
注意： 用随机数模拟的方法得到的仅仅是20次的模拟结果,是概率的近似值,而不是概率.随着模拟的数量
不 断地增加（相当于增加样本的容量）,模拟的结果就越接近概率.
关于例2的实际操作,有条件的可以让学生自己上机动手或利用计数器来演算.
点评：掌握产生随机数的方法,特别是用计算机模拟的方法,还要建立适当的模型.
四、课堂练习：
教材133页练习：1、2、3、4
五、课堂小结
随机数具有广泛的应用,可以帮助我们安排和模拟一些试验,这样可以代替我们自己做大量重复试验,
比 如现在很多城市的中考中都采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中.

六、课后作业
习题3.2A组5、6,B组1、2、3.

板书设计









课后反思：
3.2.2 （整数值）随机数（random numbers）的产生
1、由试验产生的随机数
2、用计算机或计算器（特别是TI图形计算器）
产生随机数

3.3.1 几何概型
教学目标：
1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：
P（A）=
构成事件A的区域长度(面积或体积)
,学会应用数学知识来解决问题,体 会数学
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
知识与现实世界的联系,培养逻辑推理 能力.
2.本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何 概型的
区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有 限向无
限探究的意识.
教学重点：
理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.
教学难点：
等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.
教学方法：
讲授法
课时安排：
1课时
教学过程：
一、导入新课：
1、复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等
可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?
2、在概率论发展的早 期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,
还必须考虑有无限多个试 验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个
时刻；往一个方格中 投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限
多个.这就是我们要 学习的几何概型.
二、新课讲授：
提出问题
(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？
(2)试验1.取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？
试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色 ,靶心是金色.金色靶心叫
“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭.假设射箭都能射
中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？
(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?
(4)什么是几何概型?它有什么特点?
(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?
(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?
活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型 的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概
括.
讨论结果：(1)硬币落地 后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种结果
出现的概率 相等,P（正,正）=P（正,反）=P（反,正）=P（反,反）=14.两次出现相同面的概率为
1 11
??
.
442
(2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个 基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意
一点.
第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm的大圆内的任

意一点.
在这两个问题中,基本事件有无限多个, 虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概
型的方法求解.

考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置
处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的
于是事件A发生的概率P(A)=
1
,
3
1
.
3
1
22
×π×122 cm的大圆
4
第二个问题 ,如右图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为
内,而当中靶点落在面积为
1
22
×π×12.2 cm的黄心内时,事件B发生,于是事件B发生的概率
41
?
?
?12.2
2
P(B)=
4
=0.01 .
1
?
?
?122
2
4

(3)硬币落 地后会出现四种结果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,绳子从每一个位置剪
断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一< br>点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的;
即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.
(4)几何概型.
对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的
每一 个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的
点. 这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几
何 概率模型（geometric models of probability）,简称几何概型.
几何概型的基本特点：
a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
b.每个基本事件出现的可能性相等.
(5)几何概型的概率公式：
P（A）=
构成事件A的区域长度(面积或体积)
.
试验的全部结果所构成的区域长 度(面积或体积)
(6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概 型的基本事件是有限
的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.
三、例题讲解：
例1 判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型,还是几何概型.
（1）抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;
（2）如下图所示,图中有一个转盘,甲 、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜,
求甲获胜的概率.

活动：学生紧紧抓住古典概型和几何概型的区别和联系,然后判断.
解：（1 ）抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;
（2 ）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部
分 的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.

点评：本题考查的是 几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验
中出现无限多个结 果,且与事件的区域长度有关.
例2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率.

分析：见教材136页
解：（略）
变式训练
1、某路公共汽车 5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车
到来后每人都能上） .
解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻 为
Ω=(a,a+5),记A
g
={等车时间少于3分钟},则他到站的时刻只能为g =(a+2,a+5)中的任一时刻,故
P(A
g
)=
g的长度3
?
.
?的长度5
点评：通过实例初步体会几何概型的意义.
2、 在 1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油
层面的 概率是多少？
分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看 作构成事件的区
域面积,由几何概型公式可以求得概率.
解：记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=0.004.
答：钻到油层面的概率是0.004.

四、课堂小结：
几何概 型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条
件：每个事 件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.
五、课后作业：
课本习题3.3A组1、2、3.

板书设计








课后反思：
3.3.1 几何概型

1、几何概型的概念
2、几何概型的基本特点

3.3.2 均匀随机数的产生
教学目标：
1.通 过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,了解均匀随机数的概念；掌握利用计算器（计算机）产生
均 匀随机数的方法；自觉养成动手、动脑的良好习惯.
2.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题 ,理解随机模拟的基本思想是用频率估计概率.学习时养
成勤学严谨的学习习惯,培养逻辑思维能力和探 索创新能力.
教学重点：
掌握［0,1］上均匀随机数的产生及［a,b］上均匀随机数的 产生.学会采用适当的随机模拟法去估算
几何概率.
教学难点：
利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中.
教学方法：
讲授法
课时安排
1课时
教学过程：
一、导入新课
1、复习提问：（1）什么是几何概型？（2）几何概型的概率公式是怎样的？（3）几何概型 的特点是
什么？
2、在古典概型中我们可以利用（整数值）随机数来模拟古典概型的问题,那 么在几何概型中我们能不
能通过随机数来模拟试验呢？如果能够我们如何产生随机数？又如何利用随机数 来模拟几何概型的试验
呢？引出本节课题：均匀随机数的产生.
二、新课讲授：
提出问题
(1)请说出古典概型的概念、特点和概率的计算公式？
(2)请说出几何概型的概念、特点和概率的计算公式？
(3)给出一个古典概型的问题,我 们除了用概率的计算公式计算概率外,还可用什么方法得到概率？对于几
何概型我们是否也能有同样的处 理方法呢？
(4)请你根据整数值随机数的产生,用计算器模拟产生［0,1］上的均匀随机数.
(5)请你根据整数值随机数的产生,用计算机模拟产生［0,1］上的均匀随机数.
(6)［a,b］上均匀随机数的产生.
活动：学生回顾所学知识,相互交流,在教师的指导 下,类比前面的试验,一一作出回答,教师及时提示引导.
讨论结果：
(1)在一个试验中如果
a.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）
b.每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classical models of probability）,简称古典概
型.
古典概型计算任何事件的概率计算公式为：P（A）=
A所包含的基本事件的个数
.
基本事件的总数
(2)对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内 随机地取一点,该区域中的每
一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述 区域内的某个指定区域中的点.
这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试 验,称为几何概型.

几何概型的基本特点：
a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
b.每个基本事件出现的可能性相等.
几何概型的概率公式：P（A）=
构成事件A的区域长度(面积或体积)
.
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
(3)我们可以用计算机或计算器模拟试验产生整数值 随机数来近似地得到所求事件的概率,对于几何概型
应当也可.
(4)我们常用的是［0,1 ］上的均匀随机数.可以利用计算器来产生0—1之间的均匀随机数(实数),方法如
下：

试验的结果是区间［0,1］内的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的,因此,就可以用上 面的方
法产生的0—1之间的均匀随机数进行随机模拟.
(5)a.选定A1格,键入“=R AND（）”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机
数.
b.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A 2—A50, B1—B50的数均
为［0,1］之间的均匀随机数.
(6)［a,b］上均匀随机数的产生：
利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数X=RAND,
然后利用伸缩和平移变换 ,X=X*(b-a)+a就可以得到［a,b］上的均匀随机数,试验结果是［a,b］内任何一
实数 ,并且是等可能的.
这样我们就可以通过计算机或计算器产生的均匀随机数,用随机模拟的方法估计事件的概率.
三、例题讲解：
例1 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30—7：30之间 把报纸送到你家,你父亲离开家去工作
的时间在早上7：00—8：00之间,问你父亲在离开家前能得 到报纸（称为事件A）的概率是多少？
活动：用计算机产生随机数模拟试验,我们可以利用计算机产生 0—1之间的均匀随机数,利用计算机产生B
是0—1的均匀随机数,则送报人送报到家的时间为B+6 .5,利用计算机产生A是0—1的均匀随机数,则父亲
离家的时间为A+7,如果A+7＞B+6.5 ,即A＞B-0.5时,事件E={父亲离家前能得到报纸}发生.也可用几何概
率的计算公式计算.
解法一：1.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［ 0,1］之间的均匀
随机数.
2.选定A
1
格,按Ctrl+C快捷键,选 定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A50,B1—B50的数均为
［ 0,1］之间的均匀随机数.用A列的数加7表示父亲离开家的时间,B列的数加6.5表示报纸到达的时间.< br>这样我们相当于做了50次随机试验.

3.如果A+7>B+6.5,即A-B>-0.5,则表示父亲在离开家前能得到报纸.
4 .选定D1格,键入“=A1-B1”；再选定D1,按Ctrl+C,选定D2—D50,按Ctrl+V.

5.选定E1格,键入频数函数“=FREQUENCY（D1：D50,- 0.5）”,按Enter键,此数是统计D列中,比-0.5小
的数的个数,即父亲在离开家前不能得 到报纸的频数.
6.选定F1格,键入“=1-E150”,按Enter键,此数是表示统计50次 试验中,父亲在离开家前能得到报纸的
频率.


解法二：（见教材138页）
例2 在如下图的正方形中随机撒一把豆子,用计算机随机模拟的方法估算圆周率的值.

解法1：（见教材139页）
解法2：（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数a< br>1
=RAND（）,b
1
=RAND（）.
（2）经过平移和伸缩变 换,a=(a
1
-0.5)*2,b=(b
1
-0.5)*2.
（ 3）数出落在圆x+y=1内的点（a,b）的个数N
1
,计算π=
22
4N
1
（N代表落在正方形中的点（a,b）的个
N
数）.
点评：可以 发现,随着试验次数的增加,得到圆周率的近似值的精确度会越来越高,利用几何概型并通过随
机模拟的 方法可以近似计算不规则图形的面积.
2
例3 利用随机模拟方法计算下图中阴影部分（y=1和y=x所围成的部分）的面积.

解：（略）
四、课堂练习：
教材140页练习：1、2
五、课堂小结：
均匀随机数在日常生活中有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数,从 而来
模拟随机试验,其具体方法是：建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有 关,然
后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量.
六、课后作业：
1、课本习题3.3B组题.
2、复习本章
板书设计


3.3.2 均匀随机数的产生


1、利用计算器来产生0—1之间的均匀随机数


2、例题讲解



教学反思：