高一数学：指数(教案)

高中数学新课程标准教材

数 学 教 案

( 2019 — 2020学年度第二学期 )



学 校：
年 级：
任 课 教 师：




数学教案 高中数学 高一数学教案
编订：XX文讯教育机构

高中数学教案

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指数(教案)

教材简介:本教材主要用途为通 过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、
理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力 ，本教学设计资料适用于高中高一数学科
目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材 的内容进行的编写，可以
放心修改调整或直接进行教学使用。

教学目标
1.理解分数指数的概念,把握有理指数幂的运算性质.
(1) 理解n次方根,n次根式的概念及其性质,能根据性质进行相应的根式计算.
(2) 能熟悉到分 数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广,了解它是根式的一种新
的写法,能正确进行根式与分数指 数幂的互化.
(3) 能利用有理指数运算性质简化根式运算.
2.通过指数范围 的扩大,使学生能理解运算的本质,熟悉到知识之间的联系和转化,熟悉
到符号化思想的重要性,在抽象 的符号或字母的运算中提高运算能力.
3.通过对根式与分数指数幂的关系的熟悉,使学生能学会透过表面去认清事物的本质.
教学建议
教材分析
(1)本节的教学重点是分数指数幂的概念及其运算性质.教学难点是根式的概念和分数指

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数幂的概念.
(2)由于分数指数幂的概念是借助 次方根给出的,而 次根式, 次方 根又是学生刚刚接触
到的概念,也是比较生疏的.以此为基础去学习熟悉新知识自然是比较困难的.且 次方根,分
数指数幂的定义都是用抽象字母和符号的形式给出的,学生在接受理解上也是比较困难的.基
于以上原因,根式和分数指数幂的概念成为本节应突破的难点.
(3)学习本节主要目的 是将指数从整数指数推广到有理数指数,为指数函数的研究作好预
备.且有理指数幂具备的运算性质还可 以推广到无理指数幂,也就是说在运算上已将指数范围
推广到了实数范围,为对数运算的出现作好了预备 ,而使这些成为可能的就是分数指数幂的引
入.
教法建议
(1)根式概念 的引入是本节教学的关键.为了让学生感到根式的学习是很自然也很必要的,
不妨在设计时可以考虑以下 几点:
①先以具体数字为例,复习正整数幂,介绍各部分的名称及运算的本质是乘方,让它与学< br>生熟悉的运算联系起来,树立起转化的观点.
②当复习负指数幂时,由于与乘除共同有关, 所以出现了分式,这样为分数指数幂的运算
与根式相关作好预备.

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③在引入根式时可先由学生知道的平方根和立方根入手,再大胆写出 即谁的四次方根等
于16.指出2和2是它的四次方根后再把指数换成 ,写成 即谁的 次方等于 ,在语言描述的
同时,也把数学的符号语言自然的给出.
(2)在 次方根的定义中并没有将 次方根符号化原因是结论的多样性,不能乱表示,所以
需要先研究规律,再把 它符号化.按这样的研究思路学生对 次方根的熟悉逐层递进,直至找出
运算上的规律.
教学设计示例
课题 根式
教学目标:
1.理解 次方根和 次根式的概念及其性质,能根据性质进行简单的根式计算.
2.通过对根式的学习,使学生能进一步认清各种运算间的联系,提高归纳,概括的能力.
3.通过对根式的化简,使学生了解由非凡到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想.
教学重点难点:
重点是 次方根的概念及其取值规律.
难点是 次方根的概念及其运算根据的研究.
教学用具:投影仪

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教学方法:启发探索式.
教学过程:
一. 复习引入
今天我们将学 习新的一节指数.指数与其说它是一个概念,不如说它是一种重要的运算,
且这种运算在初中曾经学习过 ,今天只不过把它进一步向前发展.
下面从我们熟悉的指数的复习开始.能举一个具体的指数运算的例子吗?
以 为例,是指数运算要求学生指明各部分的名称,其中2称为底数,4为指数, 称为幂.
教师还可 引导学生回顾指数运算的由来,是从乘方而来,因此最初指数只能是正整数,同
时引出正整数指数幂的定 义. .然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义,分别
写出 及 ,同时追问这里 的由来.最后将三条放在一起,用投影仪打出整数指数幂的概念
2.5指数(板书)
1. 关于整数指数幂的复习
(1) 概念
既然是一种运算,除了定义之外,自然 要给出它的运算规律,再往返顾一下关于整数指数
幂的运算性质.可以找一个学生说出相应的运算性质, 教师用投影仪依次打出:
(2) 运算性质: .

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复习后直接提出新课题,今天在此基础上把指数从整数范围推广到分数范围.在刚才的复
习我们已经看到 当指数在整数范围内时,运算最多也就是与分式有关,假如指数推广到分指数
会与什么有关呢?应与根式 有关.初中时虽然也学过一点根式,但不够用,因此有必要先从根式
说起.
2. 根式(板书)
我们知道根式来源于开方,开方是乘方的逆运算,所以谈根式还是先从大家熟悉的乘方说
起.
如
假如给出了4和2进行运算,那就是乘方运算.假如是知道了16和2,求4即 ,求?
问题也就是: 谁的平方是16 ,大家都能回答是4和4,这就是开方运算,且4和4 有个名
字叫16的平方根.
再如
知3和8,问题就是谁的立方是8?这就 是开方运算,大家也知道结果为2,同时指出2叫做
8的立方根.
(根据情况教师可再适当举几个例子,如 ,要求学生用语言描述式子的含义,i再说出结果
分别为 和2,同时指出它们分别称为9的四次方根和8的立方根)

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在以上几个式子会解释的基础上,提出 即一个数的 次方等于 ,求这个数,即开 次方,那
么这个数叫做 的 次方根.
(1) 次方根的定义:假如一个数的 次方等于 ( ,那么这个数叫做 的 次方根.
(板书)
对定义理解的第一步就是能把上述语言用数学符号表示,请同学们试试看.
由学生翻译为:若 ( ,则 叫做 的 次方根.(把它补在定义的后面)
翻译后教师在此基础上再次提出翻译的不够彻底,如结论中的 的 次方根就没有用符号
表示,原因是什 么?(假如学生不知从何入手,可引导学生回到刚才的几个例子,在符号表示上
存在的问题,并一起研究 解决的办法)最终把问题引向对 的 次方根的取值规律的研究.
(2) 的 次方根的取值规律: (板书)
先让学生看到 的 次方根的个数是由 的奇偶性决定的,所以应对 分奇偶情况讨论
当 为奇数时,再问学生 的 次方根是个什么样的数,与谁有关,再提出对 的正负的讨论,
从而明确分类讨论的标准,按 的正负分为三种情况.
ⅰ当 为奇数时
, 的 次方根为一个正数;
, 的 次方根为一个负数;

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, 的 次方根为零. (板书)
当奇数情况讨论完之后,再用几个具体例子辅助说明 为偶数时的结论,再由学生总结归
纳
ⅱ当 为偶数时
, 的 次方根为两个互为相反数的数;
, 的 次方根不存在;
, 的 次方根为零.
对于这个规律的总结,还可以先看 的正负,再分 的奇偶,换个角度加深理解.
有了这个规律之后,就可以用准确的数学符号去描述 次方根了.
(3) 的 次方根的符号表示 (板书)
可由学生试说一说,若学生说不好,教师可与学生一起总结,当 为奇数时,由于无论 为何
值, 次方根都只有一个值,可用统一的符号 表示,此时要求学生解释符号的含义: 为正数,则
为一个确定的正数, 为负数, 则 为一个确定的负数, 为零,则 为零.
当 为偶数时, 为正数时,有两个值,而 只能表示其中一个且应表示是正的,另一个应与
它互为相反数,故只需在前面放一个负号,写成 ,其含义为 为偶数时,正数的 次方根有两个
分别为 和 .

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为了加深对符号的熟悉,还可以提出这样的问题: 一定表示一个正数吗? 中的 一定是正
数或非负数吗?让学生往返答,在回答中进一步认清符号的含义,再从另一个角度进行总结 .
对于符号 ,当 为偶数是,它有意义的条件是 当 为奇数时,它有意义的条件时 .
把 称为根式,其中 为根指数, 叫做被开方数.(板书)
(4) 根式运算的依据 (板书)
由于 是个数值,数值自然要进行运算,运算就要有根据,因此下面有必要进一步研究根式
运算的依据.但我们并不过分展开,只研究一些最基本的最简单的依据.
如 应该得什么?有学生讲出理由,根据 次方根的定义,可得ⅰ = .(板书)
再问: 应该得什么?也得 吗?
若学生想不清楚,可用具体例子提示学生,如 吗? 吗?让学生能发现结果与 有关,从而得
到ⅱ = .(板书)
为进一步熟悉这个运算依据,下面通过练习来体会一下.
三.巩固练习
例1. 求值
(1) . (2) .
(3) . (4) .

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(5) .(
要求学生口答,并说出简要步骤.
四.小结
1. 次方根与 次根式的概念
2.二者的区别
3.运算依据
五.作业 略
六.板书设计
2.5指数 (2)取值规律 (4)运算依据
1. 复习
2. 根式 (3)符号表示 例1
(1)定义

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