高中数学新课程创新教学设计案例(共50课时)

在这个问题中，“x
2
＞0”是“条件”，“x＞0”是“结论”；已知x＞0 x
2
＞0表示若“结论”成立，
则“条件”一定成立，说明“结论”蕴涵“条件”，即 若“条件”成立，则“结论”不一定成立，说明“结
论”是“条件”的必要条件．
2. 师生共同参与，给出充分条件、必要条件的定义
如果已知p
3. 充要条件
问题：记p：三角形的三条边相等，q：三角形的三个角相等．问：p是q的什么条件？
解：（1）p
（2）q
q，即p是q的充分条件．
q，那么，p是q的充分条件，q是p的必要条件．
p，即p是q的必要条件．
综合（1）（2），我们就说p是q的充要条件．
如果pq，且qp，记作pq，这时，p既 是q的充分条件，又是q的必要条件，那么
就说p是q的充分必要条件，简称充要条件．
4. 提出问题，组织学生讨论
如何判断充要条件？
（1）分清谁是条件p，谁是结论q．
（2）进行两次推理或判断，即判断p
（3）根据（2）写出结论．
q是否成立，qp是否成立．
三、解释应用
［例 题］
1. 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．
（1）p：x＞0；q：x
2
＞0．
（p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件）
（2）p：x＝y；q：x
2
＝y
2
．
（p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件）

（3）p：两三角形面积相等；q：两三角形全等．
（p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件）
（4）p：两直线平行；q：内错角相等．
（p是q的充要条件，q是p的充要条件）
（5）p：x＝y；q：x
2
＋y
2
＝1．
（p是q的既不充分又不必要条件，q是p的既不充分又不必要条件）
2. 指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
（1）p：（x－2）（x－3）＝0；q：x＝3．
（2）p：四边形对角线相等；q：四边形是矩形．
（3）p：a≠0；q：a·b≠0．
（4）p：a＋5是无理数；q：a是无理数．
（5）p：x≤5；q：x≤3．
［练 习］
1. 下列各组命题中的p是q的什么条件？
（1）p：x
2
＋y
2
＝0，q：x·y＝0．
（2）p：m＞0；q：x
2
＋x－m＝0有实数根．
（3）p：a＞b；q：a
2
＞b
2
．
（4）p：x
2
＝3x＋4；q：x＝
（5）p：x＞-1；q：x＞1．

（6）p：a，b都是偶数；q：a＋b是偶数．
2. （1）如果原命题若p则q为真而逆命题为假，那么p是q的条件．
（2）如果原命题若p则q为假而逆命题为真，那么p是q的条件．
（3）如果原命题若p则q与其逆命题都为真，那么p是q的条件．

（4）如果原命题若p则q与其逆命题都为假，那么p是q的条件．
四、拓展延伸
1. 已知p，q都是r的必要条件，S是r的充分条件，q是S的充分条件，那么，
（1）S是q的什么条件？
（2）r是q的什么条件？
（3）p是q的什么条件？
2. “关于x的方程ax
2
＋2x＋1＝0至少有一个负的实根”的充要条件是什么？
3. “3x
2
－10x＋k＝0有两个同号且不相等实根”的充要条件是什么？
点 评
这篇案例注重新、旧知识的内在联系，以旧引新，过渡自然．首先，复习已学过的知识 “四
种命题”和判断命题的真假，并以此巧妙地引出了推断符号pq，pq．其次，在此基础
上 ，通过实例，创设问题情境，引出课题p是q的什么条件．最后，明确充要条件，并给出
判断充要条件的 方法和步骤．环环相扣，层层深入，重点突出，抓住了关键．例题与练习由
浅入深，符合学生的认知规律 ．拓展延伸富有新意，有利于培养学生的探索能力和创新意识，
有利于培养学生的思维能力和思维品质， 整个设计圆满地完成了教学任务．

6 函 数 的 概 念
教材分析
与传统课程内容相比，这节内容的最大变化就是函数概念的处理方式．事实上，“先讲映射
后讲函数”比 “先讲函数后讲映射”，有利于学生更好地理解函数概念的本质．第一，在初中
函数学习基础上继续深入 学习函数，衔接自然，利于学生在原有认知基础上提升对函数概念
的理解；第二，直接进入函数概念的学 习更有利于学生将注意力放在理解函数概念的学习上，
而不必花大量精力学习映射，使其认识映射与函数 的关系后才能理解函数的概念．
函数概念是中学数学中最重要的概念之一．函数概念、思想贯穿于整个 中学教材之中．通过
实例，引导学生通过自己的观察、分析、归纳和概括，获得用集合与对应语言刻画的 函数概
念．

对函数概念本质的理解，首先应通过与初中定义的比较、与其他知 识的联系以及不断地应用
等，初步理解用集合与对应语言刻画的函数概念．其次在后续的学习中通过基本 初等函数，
引导学生以具体函数为依托、反复地、螺旋式上升地理解函数的本质．教学重点是函数的概< br>念，难点是对函数概念的本质的理解．
教学目标
1. 通过丰富实例，进一步体会函 数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．在此基础
上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对 应关系在刻画函数概念中的作用．
2. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．
3. 了解映射的概念．
任务分析
学生在初中对函数概念有了初步的认识．这节课 的任务是在学生原认知水平的基础上，用集
合与对应的观点认识函数，了解构成函数定义的三要素，认识 映射与函数是一般与特殊的关
系．
教学设计
一、问题情景
1. 一枚炮 弹发射后，经过60s落到地面击中目标．炮弹的射高为4410m，且炮弹距地面的
高度h随时间t的 变化规律是h＝294t－4.9t
2
，（0≤t≤60，0≤h≤4410）．
2. 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．下图中的曲线显
示 了南极上空臭氧层空洞的面积从1979年到2001年的变化情况．

3. 国际上常用恩 格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量
越高．下表中恩格尔系数随时间 （年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的
生活质量发生了显著变化．

表6-1 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
时间（年）
恩格尔系数（%）
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
问 题：分析以上三个实例，对任一个给定的ｔ，射高ｈ、臭氧层空洞面积Ｓ、恩格尔系数是
否有值与之对应 ？若有，有几个？
二、建立模型
1. 在学生充分分析和讨论的基础上，总结归纳以上三个实例的共同特点
在三个实例中，变量之间的关系都 可以描述成两个集合间的一种对应关系：对于数集Ａ中的
任一个ｘ，按照某个对应关系，在数集Ｂ中都有 唯一确定的值与之对应．
2. 教师明晰
通过学生的讨论归纳出函数的定义：
设 A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任一个x，在
集合B中都有唯 一确定的数f（x）与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一
个函数，记作：y＝f（x ），x∈A．其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义
域，与x的值相对应的y叫作函数值 ，函数值的集合：｛y｜y＝f（x），x∈A｝叫作函数
的值域．
注意：（1）从函数的定 义可以看出：函数由定义域、对应法则、值域三部分组成，它们称
为函数定义的三要素．其中，y＝f（ x）的意义是：对任一x∈A，按照对应法则f有唯一y
与之对应．
（2）在函数定义的三个 要素中，核心是定义域和对应法则，因此，只有当函数的对应关系
和定义域相同时，我们才认为这两个函 数相同．
思考：函数f（x）＝与g（x）＝是同一函数吗？
三、解释应用
［例 题］
1. 指出下列函数的定义域、值域、对应法则各是什么？如何用集合与对应的观点描述它们？
（1）y＝1，（x∈R）． （2）y＝ax＋b，（a≠0）．

（3）y＝ax
2
＋bx＋c，（a＞0）． （4）y＝kx，（k≠0）．
解：（3）定义域：｛x｜x∈R｝，值域：｛y｜y≥
量）
2
＋b·（自变量）＋c，即：f：x→ax
2
＋bx＋c
（1），（2），（4）略．
｝对应法则f：自变量→a（自变
2. 已知：函数f（x）＝
（1）求函数的定义域．

（2）求f（－3），f（）的值．
（3）当a＞0时，求f（a），f（a－1）的值．
目的：深化对函数概念的理解．
3. 求下列函数的值域．
（1）f（x）＝2x． （2）f（x）＝1－x＋x
2
，（x∈R）．
（3）y＝3－x，（x∈N）．
解：（1）｛y｜y≠0｝． （2）｛y｜y≥｝． （3）｛3，2，1，0，－1，－2，…｝．
4. （1）已知：f（x）＝x
2
，求f（x－1）．
（2）已知：f（x－1）＝x
2
，求f（x）．
目的：深化对函数符号的理解．
解：（1）f（x－1）＝（x－1）
2
．
（2）f（x－1）＝x
2
＝［（x－1）＋1］
2
＝（x－1）2 ＋2（x－1）＋1．
∴f（x）＝x
2
＋2x＋1．
［练 习］
1. 求下列函数的定义域．

2. 已知二次函数f（x）＝x
2
＋a的值域是［－2，＋∞），求a的值．
3. 函数f（x）＝［x］，［x］表示不超过x的最大整数，求：
（1）f（3.5），（2）f（－3.5）．
四、拓展延伸
在函数定义中，将数集推广到任意集合时，就可以得到映射的概念．
集合A＝｛a
1
，a
2
｝到集合B＝｛b
1
，b
2
｝的映射有哪几 个？
解：共有4个不同的映射．

思考：集合A＝｛a
1
，a< br>2
，a
3
｝到B＝｛b
1
，b
2
，b
3
｝的映射有多少个？
点 评
这篇案例设计完整，条理清楚．案例从三个方面（ 实际是函数的三种表示方法，为后续内容
埋下伏笔）各举一个具体事例，从中概括出函数的本质特征，得 出函数概念，体现了由具体
到抽象的认知规律，有利于学生理解函数概念，更好地体现了数学从实践中来 ．例题、练习
由浅入深，完整，全面．映射的概念作为函数概念的推广，处理方式有新意．“拓展延伸”
的设计为学生加深对概念的理解，提供了素材．
在“问题情景”中的三个事例中，第一个例子 中的“对应关系”比较明显，后两个例子则不太明
显．如果能在教学设计中加以细致对比说明，效果会更 好．

7 函数的表示方法
教材分析
函数的表示方法是 对函数概念的深化与延伸．解析法、图像法和列表法从三个不同的角度刻
画了自变量与函数值的对应关系 ．这三种表示方法既可以独立的表示函数，又可以相互转化；
既各有侧重和优势，又各有劣势和不足；既 相互补充，又使函数随自变量的变化而变化的规
律直观和具体．这节内容，是初中有关内容的深化、延伸 与提高．教材在复习初中三种表示
方法定义的基础上，分三个层次对三种表示方法进行了比较．第一个层 次：回顾与比较；第
二个层次：选择与比较；第三个层次：转化与比较．
教学重点：画简单函数的图像；教学难点：分段函数的解析式求法及其图像的作法．
教学目标
1. 在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示
函数．
2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并解简单应用．
3. 能根据简单的实际问题，建立函数关系式，画出它们的图像，进一步理解、体会函数的
意义．
任务分析
学生在初中已经对这节内容有了初步的认识．这节的教学任务是在学生原认知水平的 基础
上，用对应的观点认识函数，会根据不同需要选择恰当的方法表示函数，明确三种表示方法
各有优劣，在一定条件下可以相互转化．为突出根据简单的实际问题建立函数关系式，画出
它们的图像这 个重点，除学习教材中的实际问题外，又增加了练习．为突破分段函数这个难
点增加了高斯函数作为练习 ．
教学设计
一、问题情景
1. 复习引入
（1）复习初中三种函数的表示方法．
（2）学生回答函数三种表示方法的定义．

2. 方法探究
（1）复习与比较
例：某种笔记本的单价是5元， 买x（x∈｛1，2，3，4，5｝）个笔记本需要y元．试用三
种表示方法表示函数y＝f（x）．
（2）引导学生分析讨论
①三种表示方法的各自的特点是什么？所有的函数都能用解析法表示吗？
②函数图像上的点满足什么条件？满足函数关系式y＝f（x）的点（x，y）在什么地方？
二、建立模型
1. 教师明晰
函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
采用解析法的条件：变量间的对应法则明确；
采用图像法的条件：函数的变化规律清晰；
采用列表法的条件：函数值的对应清楚．
函数图像上的点满足函数关系式y＝f（x），满足 函数关系式y＝f（x）的点（x，y）在函
数图像上，故函数图像即为点集p＝｛（x，y）｜y＝f （x），x∈A｝．
2. 比较与分析
例：下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分：
表7-1

王 伟
张 城
赵 磊
班级平均分
第一次
98
90
68
88.2
第二次
87
76
65
78.3
第三次
91
88
73
85.4
第四次
92
75
72
80.3
第五次
88
86
75
75.7
第六次
95
80
82
82.6
请你对这三名同学在高一学年度的数学学习情况进行分析．
学生分析讨论：本例是用何种方法 表示函数的？要分析“成绩”与“测试次数”之间的变化规
律，用何种方法表示函数？

注意：在这里选择何种表示方法，要根据问题的具体情况和三种表示方法的长处来确定．
3. 教师进一步明晰
将“成绩”与“测试次数”之间的函数关系用函数图像表示出来，就能 比较直观地看到成绩的变
化情况．
4. 转化与比较
例：画出函数y＝｜x｜的图像．
5. 教师归纳、整理
初中作函数图像的基本方 法是列表、描点和连线，但这个方法比较烦琐．我们可以把初中学
过的一次函数、反比例函数、二次函数 的图像作为基本图像，把要作的函数的图像转化为基
本函数的图像来解决．
y＝｜x｜，若不 含“｜｜”号，则是我们初中学过的y＝x，现在含绝对值号，故去绝对值号，
得分段函数而分段函数的 图像只要分段作出即可．
三、解释应用
［练习一］
1. 作出y＝｜x－1｜的图像，与函数y＝｜x｜的图像比较，并说出你发现了什么．
2. 作出y＝x
2
＋2｜x｜＋1的图像．
3. 若x
2
＋2｜x｜＋1＝m，当m为何值时，关于x的方程有四个解？三个解？两个解？无解？
［例 题］
某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）乘坐汽车不超过5km，票价2元．
（2）超过5km，每增加5km，票价增加1元．（不足5km的按5km计算）
已知两个 相邻的公共汽车站间相距约为1km，如果沿途（包括起点站和终点站）有21个汽
车站，请根据题意写 出票价与路程之间的函数解析式，并画出函数的图像．
学生分析讨论：函数定义域是什么？值域是什么？图像如何作？

教师引导学生写出如下解答过程．
解：设票价为y元，路程为xkm． 如果某空调汽车运行路线中设21个汽车站，那么汽车行驶的路程约为20km，故自变量x
的取值 范围是x∈（0，20］，且x∈N，函数y的取值范围是y∈｛2，3，4，5｝．
由空调汽车票价的规定，可得到以下函数解析式：

根据这个函数解析式，可画出函数的图像

函数图像共有20个点构成．
像例3、例4这样的函数称为分段函数，分段函数的图像应分段作．
［练习二］
1. 下图都是函数的图像吗？为什么？
目的：进一步深化对函数概念和函数图像的理解．
（D）

2. 某人从甲镇去乙村，一开始沿公路乘车，后 来沿小路步行，图中横轴表示运动的时间，
纵轴表示此人与乙村的距离，则较符合该人走法的图像是（ ）．

（D）
3. 小明从甲地去乙地，先以每小时5km的速度行进1h，然后 休息10min，最后以每小时4km
的速度行进了30min到达乙地．
（1）试写出速度v（km／h）关于出发时间t（h）的函数关系式，并画出图像．
（2）试写出小明离开甲地s（km）关于出发时间t（h）的函数关系，并画出图像．

四、拓展延伸
1. 设x是任意的一个函数，y是不超过x的最大整数，记作：y＝［x］， 问：x与y之间是
否存在函数关系？如果存在，写出这个函数的解析式，并画出这个函数的图像．
答案：存在函数关系，是著名的高斯函数．现只写出 x∈［－1，1］的函数关系：y＝
图像略．
2. 某家庭2004年1月份、2月份和3月份煤气用量和支付费用如下表所示：
表7-2
月 份
1月份
用气量
4m
2

煤气费
4元

2月份
3月份
25m
2

35m
2

14元
19元
该市煤气的收费方法是：煤气费＝基本费＋超额费＋保险费．
若每月量不超过最低限度Am< br>3
，则只付基本费3元和每月每户的定额保险C元；若用气量
超过Am
3
，超过部分每立方米付B元，又知保险费C不超过5元．根据上面的表格，求A，
B，C．
分析：可设每月用气量xm
3
，支付费用y元，建立函数解析式解之．
解：设每月用气xm
3
，支付费用y元，则

由0＜C≤5，得3＋C≤8．
由第2和3月份的费用都大于8，得

两式相减，得B＝0.5，∴A＝2C＋3．
再分析1月份的用气量是否超过最低限度．
不妨令A＜4，将x＝4代入3＋B（x－A）＋C，得3＋0.5［4－（3＋2C）］＋C＝4，
由此推出3.5＝4，矛盾，
∴A≥4，1月份付款方式为3＋C．
∴3＋C＝4．∴C＝1．∴A＝5．
∴A＝5，B＝0.5，C＝1．
点 评
这篇案例分三个层次对三种表示方法进行了比较：
第一层次：用一个简单的例子对函数的三种表示方法进行了复习和比较；

第二层次：对函数的三种表示方法进行了比较，选择了适当的方法表示函数；
第三层次：三种表示函数的方法的相互转化．
三个层次，层层深入，并对三种表示方法的优、 劣进了比较，重点突出．拓展延伸通过高斯
函数，加深了学生对抽象函数、分段函数的认识．在注重三种 表示方法的同时，加强了学生
应用意识的培养．

8 函数的单调性
教材分析
函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定 性地联
系在一起．在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初
中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某
个区间上是 增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说
的．教材中判断函数的增减性 ，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻
辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起 来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推
理证明猜想的体系．这节内容的重点是理解函数单调性的 概念以及利用函数的单调性的概念
证明函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念．
教学目标
1. 通过对增函数、减函数概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念的产生和形成 过程，培
养学生从特殊到一般的抽象概括能力．
2. 掌握增函数、减函数等函数单调性的概 念，理解函数增减性的几何意义，并能初步运用
所学知识判断或证明一些简单函数的单调性，培养学生对 数学的理解能力和逻辑推理能力．
3. 通过对函数单调性的学习，初步体会知识发生、发展、运用的过程，培养学生形成科学
的思维．
任务分析
这节内容学生在初中已有了较为粗略的认识，即主要根据观察图像得出结论．这节函 数增减
性的定义，是运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，学生接受起来可能比较
困难．在引入定义时，要始终结合具体函数的图像来进行，以增强直观性，采用由具体到抽
象，再由抽 象到具体的思维方法，便于学生理解．对于定义，要注意对区间上所取两点x
1
，
x< br>2
的“任意性”的理解，多给学生操作与思考的时间和空间．

教学设计
一、问题情境
1. 如图为某市一天内的气温变化图：

（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．
（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？
2. 分别作出下列函数的图像：
（1）y＝2x． （2）y＝－x＋2． （3）y＝x
2
．
根据三个函数图像，分别指出当x∈（－∞，＋∞）时，图像的变化趋势？
二、建立模型
1. 首先引导学生对问题2进行探讨———观察分析
观察函数y＝2x，y＝－x＋2，y ＝x
2
图像，可以发现：y＝2x在（－∞，＋∞）上、y＝x
2
在
（０，＋∞）上的图像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在（－∞，＋∞）上、y＝x
2
在（ －
∞，０）上的图像由左向右都是下降的．函数图像的“上升”或“下降”反映了函数的一个基本
性质———单调性．那么，如何描述函数图像“上升”或“下降”这个图像特征呢？
以函数y＝x< br>2
，x∈（－∞，０）为例，图像由左向右下降，意味着“随着x的增大，相应的
函数值 y＝f（x）反而减小”，如何量化呢？取自变量的两个不同的值，如x
1
＝－5，x
2
＝－3，
这时有x
1
＜x
2
，f（x
1
）＞f（x
2
），但是这种量化并不精确．因此，x
1
，x
2
应具有“任意性”．所
以，在区间（－∞，0）上，任取两个x
1
，x
2< br>得到f（x
1
）＝，f（x
2
）＝．当x
1
＜x2
时，
都有f（x
1
）＞f（x
2
）．这时，我们就说 f（x）＝x
2
在区间（－∞，0）上是减函数．

注意：在这里，要 提示学生如何由直观图像的变化规律，转化为数学语言，即自变量ｘ变化
时对函数值y的影响．必要时， 对x，y可举出具体数值，进行引导、归纳和总结．这里的“都
有”是对应于“任意”的．
2. 在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上，教师明晰———抽象概括
设函数f（x）的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x< br>1
，x
2
，当x
1
＜x
2
时，都有f（x< br>1
）
＜f（x
2
），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是增函数［ 如图8-2（1）］．
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x
1
，x
2
，当x
1
＜x
2
时，都有f（x
1
）
＞f（x
2
），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是减函数［如图8-2（2） ］．

如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数y＝f（x） 在这一区
间具有（严格的）单调性，区间D叫作y＝f（x）的单调区间．
3. 提出问题，组织学生讨论
（1）定义在R上的函数f（x），满足f（2）＞f（1），能否判断函数f（x）在R是增函数？
（2）定义在R上函数f（x）在区间（－∞，0］上是增函数，在区间（0，＋∞）上也是增
函数，判断函数f（s）在R上是否为增函数．
（3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出 函数的单调区间，以及在每一单调区
间上，它是增函数还是减函数．
强调：定义中x
1
，x
2
是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言
的．
三、解释应用
［例 题］
1. 证明函数f（x）＝2x＋1，在（－∞，＋∞）是增函数．

注：要规范解题格式．
2. 证明函数f（x）＝，在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数．
思考：能否说，函数f（x）＝在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数？
3. 设 函数y＝f（x）在区间D上保号（恒正或恒负），且f（x）在区间D上为增函数，求
证：f（x）＝ 在区间D上为减函数．
证明：设x
1
，x
2
∈Ｄ，且x
1
＜x
2
，

∵f（x）在区间D上保号，∴f（x
1
）f（x
2
）＞0． 又f（x）在区间D上为增函数，∴f（x
1
）－f（x
2
）＜0，从而 g（x
1
）－g（x
2
）＞0，∴g
（x）在D上为减函数．
［练 习］
1. 证明：（1）函数f（x）＝在（0，＋∞）上是增函数．
（2）函数f（x）＝x
2
－x在（－∞，］上是减函数．
2. 判断函数的单调性，并写出相应的单调区间．

3. 如果函数y＝f（x）是R上的增函数，判断g（x）＝kf（x），（k≠0）在R上的单调性．
四、拓展延伸
1. 根据图像，简要说明近150年来人类消耗能源的结构变化情况，并对未 来100年能源结
构的变化趋势作出预测．

2. 判断二次函数f（x）＝ax
2
＋bx＋c，（a≠0）的单调性，并用定义加以证明．
3. 如果自变量的改变量Δx＝x
2
－x
1
＜0，函数值的改变量 Δy＝f（x
2
）－f（x
1
）＞0，那么函
数f（x）在区间D上 是增函数还是减函数？
4. 函数值的改变量与自变量的改变量的比
均变化率．
叫 作函数f（x）在x
1
，x
2
之间的平
（1）根据函数的平均变化率 判断y＝f（x）在区间D上是增函数还是减函数．
（2）比值的大小与函数值增长的快慢有什么关系？
点 评
这篇案例设计完整，思 路清晰．案例首先通过实例阐述了函数单调性产生的背景，归纳、抽
象概括出了增函数、减函数的定义， 充分体现了数学教学的本质是数学思维过程的教学，符
合新课程标准的精神．例题与练习由浅入深，完整 ，全面．“拓展延伸”的设计有新意，有深
度，为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台．
这篇案例的突出特点，体现在如下几个方面：
1. 强调对基本概念和基本思想的理解和掌握
由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉．在数学中要引导学生经历从具体
实例 抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质．
2. 注重联系，提高对数学整体的认识
数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力．在高中数学的教学中，要注重数学的不同分
支和 不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系．例如，通过研
讨本节课“拓展延 伸”中的第1个问题，可以大大提高了学生学习的积极性和主动性．

3. 注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力
在数学教学中，应注重发展学生的应用意识； 通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用
数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会 数学的应用价值，帮助学生认识
到：数学与我有关，与实际生活有关；数学是有用的，我要用数学，我能 用数学．

9 函数的奇偶性
教材分析
函数的奇偶性是函数的重要性质 ，是对函数概念的深化．它把自变量取相反数时函数值间的
关系定量地联系在一起，反映在图像上为：偶 函数的图像关于ｙ轴对称，奇函数的图像关于
坐标原点成中心对称．这样，就从数、形两个角度对函数的 奇偶性进行了定量和定性的分
析．教材首先通过对具体函数的图像及函数值对应表归纳和抽象，概括出了 函数奇偶性的准
确定义．然后，为深化对概念的理解，举出了奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数的 函
数和非奇非偶函数的实例．最后，为加强前后联系，从各个角度研究函数的性质，讲清了奇
偶 性和单调性的联系．这节课的重点是函数奇偶性的定义，难点是根据定义判断函数的奇偶
性．
教学目标
1. 通过具体函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论，体验数学概念的建立 过程，培
养其抽象的概括能力．
2. 理解、掌握函数奇偶性的定义，奇函数和偶函数图像的 特征，并能初步应用定义判断一
些简单函数的奇偶性．
3. 在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、抽象概括能力，体验数学既是抽象的又是具
体的．
任务分析
这节内容学生在初中虽没学过，但已经学习过具有奇偶性的具体的函数：正比例函数 y＝kx，
反比例函数，（k≠0），二次函数y＝ax
2
，（a≠0），故可在此基 础上，引入奇、偶
函数的概念，以便于学生理解．在引入概念时始终结合具体函数的图像，以增加直观性 ，这
样更符合学生的认知规律，同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔．对于概念可从代
数特征与几何特征两个角度去分析，让学生理解：奇函数、偶函数的定义域是关于原点对称
的非空数集； 对于在有定义的奇函数y＝f（x），一定有f（0）＝0；既是奇函数，又是偶

函数的 函数有f（x）＝0，x∈R．在此基础上，让学生了解：奇函数、偶函数的矛盾概念———
非奇非偶函 数．关于单调性与奇偶性关系，引导学生拓展延伸，可以取得理想效果．
教学设计
一、问题情景
1. 观察如下两图，思考并讨论以下问题：
（1）这两个函数图像有什么共同特征？
（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？

可以看到两个函数的图像 都关于y轴对称．从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相
反数时，相应的两个函数值相同． < br>对于函数f（x）＝x
2
，有f（－3）＝9＝f（3），f（－2）＝4＝f（2）， f（－1）＝1＝f（1）．事
实上，对于R内任意的一个x，都有f（－x）＝（－x）
2< br>＝x
2
＝f（x）．此时，称函数y＝
x
2
为偶函数．
2. 观察函数f（x）＝x和f（x）＝
这两个函数有什么共同特征．
的图像，并完成下面的两个函数值对应表，然后说出

可以看到两个函 数的图像都关于原点对称．函数图像的这个特征，反映在解析式上就是：当
自变量ｘ取一对相反数时，相 应的函数值f（x）也是一对相反数，即对任一x∈R都有f（－
x）＝－f（x）．此时，称函数y＝ f（x）为奇函数．
二、建立模型
由上面的分析讨论引导学生建立奇函数、偶函数的定义
1. 奇、偶函数的定义
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－ f（x），那么函数f（x）就
叫作奇函数．
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x， 都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫
作偶函数．
2. 提出问题，组织学生讨论
（1）如果定义在R上的函数f（x）满足f（－2）＝f（2），那么f（x）是偶函数吗？
（f（x）不一定是偶函数）
（2）奇、偶函数的图像有什么特征？
（奇、偶函数的图像分别关于原点、y轴对称）
（3）奇、偶函数的定义域有什么特征？
（奇、偶函数的定义域关于原点对称）

三、解释应用
［例 题］
1. 判断下列函数的奇偶性．

注：①规范解题格式；②对于（5）要注意定义域x∈（－1，1］．
2. 已知：定义在R 上的函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（1＋x），求f（x）
的表达式．
解：（1）任取x＜0，则－x＞0，∴f（－x）＝－x（1－x），
而f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）．∴f（x）＝x（1－x）．
（2）当x＝0时，f（－0）＝－f（0），∴f（0）＝－f（0），故f（0）＝0．

3. 已知：函数f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上是减函数，判断f（x）在（0，＋∞）上< br>是增函数，还是减函数，并证明你的结论．
解：先结合图像特征：偶函数的图像关于y轴对称， 猜想f（x）在（0，＋∞）上是增函数，
证明如下：
任取x
1
＞x
2
＞0，则－x
1
＜－x
2
＜0．
∵f（x）在（－∞ ，0）上是减函数，∴f（－x
1
）＞f（－x
2
）．
又f（x）是偶函数，∴f（x
1
）＞f（x
2
）．
∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．
思考：奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系？
［练 习］

1. 已知：函数f（x）是奇函数，在［a，b］上是增函数（b＞a＞0），问f（ x）在［－b，
－a］上的单调性如何．
2. f（x）＝－x
3
｜x｜的大致图像可能是（ ）

3. 函数f（x） ＝ax
2
＋bx＋c，（a，b，c∈R），当a，b，c满足什么条件时，（1）函数f（x）是偶函数．（2）函数f（x）是奇函数．
4. 设f（x），g（x）分别是R上的奇函 数和偶函数，并且f（x）＋g（x）＝x（x＋1），
求f（x），g（x）的解析式．
四、拓展延伸
1. 有既是奇函数，又是偶函数的函数吗？若有，有多少个？
2. 设f（x），g（x）分别是R上的奇函数，偶函数，试研究：
（1）F（x）＝f（x）·g（x）的奇偶性．
（2）G（x）＝｜f（x）｜＋g（x）的奇偶性．
3. 已知a∈R，f（x）＝a－，试确定a的值，使f（x）是奇函数．
4. 一个定义在Ｒ上的函数，是否都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和的形式？
点 评
这 篇案例设计由浅入深，由具体的函数图像及对应值表，抽象概括出了奇、偶函数的定义，
符合学生的认知 规律，有利于学生理解和掌握．应用深化的设计层层递进，深化了学生对奇、
偶函数概念的理解和应用． 拓展延伸为学生思维能力、创新能力的培养提供了平台．

10 二 次 函 数
教材分析
二次函数是重要的基本函数之一，由于它存在最值，因此，其单调性在实际问题 中有广泛的
应用，并且它与前面学过的二次方程有密切联系，又是后面学习解一元二次不等式的基础．二
次函数在初中学生已学过，主要是定义和解析式，这里，在此基础上，接着学习二次函数的
性质 与图像，进而使学生对二次函数有一个比较完整的认识．本节先研究特殊的二次函数y
＝ax
2
，（a≠0）的图像与a值的关系，这可通过a在0的附近取值画图观察得到．然后，通
过一个 实例，如y＝x
2
＋4x＋6，研讨二次函数的性质与图像．最后，总结出一般性结论．这节内容的重点是二次函数的性质，即顶点坐标、对称轴方程、二次函数的单调性及其图像，
难点是用 配方法把y＝ax
2
＋bx＋c的形式转化为y＝a（x－h）
2
＋k的形式 ．
教学目标
1. 通过一个例子研究二次函数的图像和性质，得到一般性结论，培养学生归纳、抽象能力．
2. 掌握二次函数的概念、表达式、图像与性质．会用配方法解决有关问题，能熟练地求二
次函数的最值．
3. 能初步运用二次函数解决一些实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力．
任务分 析学习这节内容时要先复习一下学生初中学过的二次函数的有关问题．为了得到y＝
ax
2，（a≠0）的图像与a的关系以及二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的性质，这里遵循由特 例到一
般的原则，充分利用图像的直观性，以便学生接受．在这一过程中，应讲明配方法的操作过
程．
教学设计
一、复习引申
1. 什么是二次函数？
2. 在同一坐标系中作出下列函数的图像．
（1）y＝－3x
2
． （2）y＝－2x
2
． （3）y＝－x
2
． （4）y＝－0.5x
2
．
（5）ｙ＝0.5x
2
． （6）y＝x
2
．（7）y＝2x
2
． （8）y＝3x
2
．

3. 学生讨论：函数y＝ax
2
中系数a的取值与它的图像形状有何关系？
4. 教师明 晰：在a从－3逐渐变化到＋3的过程中，抛物线开口向下并逐渐变大，当a＝0
时，y＝0，抛物线变 为x轴，然后抛物线开口向上，并逐渐变小．
二、问题情境
已知二次函数f（x）＝x
2
＋4x＋6．
（1）求它与x轴的交点坐标．
（2）问：它有没有最值？若有最大（小）值，最大（小）值是多少？试求出此时对应的自
变量 ｘ的值．
（3）画出它的图像．
（4）它的图像有没有对称轴？如果有，位置如何？
（5）确定函数的单调区间．
1. 先让学生独立解答问题1，然后师生共同确定答案
（1）令y＝0，即
（－2，0）．
x
2
＋4x＋6＝０，解得x
1
＝－6，x
2
＝－2．∴与ｘ轴交于两点（－6，0），
（2）将 原式配方，得f（x）＝x
2
＋4x＋6＝（x
2
＋8x＋12）＝
（x
2
＋8x＋16－16＋12）＝（x＋4）
2
－2．
∵对任意x∈R，都有（x＋4）
2
≥0，

∴f（x）≥－2，当且仅当x＝－4时，取“＝”号．
∴函数有最小值是－2，记作y
min
＝－2，此时x＝－4．
（3）以x＝－4为中间值，取x的一些值列表如下：
表10-1
ｘ
ｙ
…
…
－7

－6
0
－5
－
－4
－2
－3
－
－2
0
－1

…
…
描点，画图．

（4）由上表及图像推测：二 次函数f（x）的图像存在对称轴，并且对称轴过点（－4，－2），
与y轴平行．
（5）观 察图像知：二次函数f（x）在（－∞，－4］上是减函数，在（－4，＋∞）上是增函
数．
2. 相关问题
（1）对称轴与图像（抛物线）的交点叫抛物线的顶点，函数f（x）＝坐标是（－4，－2）．
x
2
＋4x＋6的顶点
（2）如果将过点（x
1
，0）平行于ｙ轴的直线记作x＝x
1
，则函数f（x）＝
对称轴 为x＝－4．
x
2
＋4x＋6的
（3）把f（x）＝x
2
＋4x＋6转化为f（x）＝（x＋4）
2
－2，采用的是“配方法”．
（4）思考：怎样证明函数f（x）＝x
2
＋4x＋6的图像关于直线x＝－4对称？

［提示：证明f（－4＋h）＝f（－4－h）］
（5）类似地，再对二次函数f（x）＝－x
2
－4x＋3研讨上面四个方面的问题．
三、建立模型
对任何二次函数y＝f（x）＝ax
2
＋bx＋c，（a≠0 ）都可以通过配方法化为y＝a（x＋）
2
＋的形式，并且有如下性质：
1. 二次 函数f（x）＝ax
2
＋bx＋c，（a≠0）的图像是一条抛物线，对称轴方程为x＝－，< br>顶点坐标是（－，）．
2. （1）当a＞0时，抛物线开口向上，函数在（－∞，－］上递减 ，在［－，＋∞）
上递增，当x＝－时，［f（x）］
min
＝．
（2）当 a＜0时，抛物线开口向下，函数在（－∞，－］上递增，在［－，＋∞）上
递减，当x＝－时，［f（ x）］
max
＝．
思考：（1）二次函数的图像一定与x轴或y轴相交吗？
（2）函数y＝（x－1）
2
＋2，x∈［2，3］的最小值是2吗？
四、解释应用
［例 题］
1. 求函数y＝3x
2
＋2x＋1的最小值和它的图像的对称轴，并指出它的单调性．
注：可利用上面的性质直接写出答案．

2. 某商品在最近一个月内价格f（ t）与时间t的函数关系式是f（t）＝
t∈N），售量g（t）与时间t的函数关系是g（t）＝－< br>种商品的日销售额的最大值．
解：设该商品的日销售额为S，则
＋22，（0≤t≤30，
，（0≤t≤30，t∈N）．求这


∵t∈N，
∴当t＝10或t＝11时，S
max
＝808.5．
答：这种商品日销额的最大值是808.5．
注：本题是应用题，自变量t∈N，不能使
［练 习］
．
1. 已知函数 f（x）＝x
2
－2x－3，不计算函数值，试比较f（－2）和f（4），f（－3）和f< br>（3）的大小．
2. 二次函数y＝f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且方程f（x ）＝0有两个实根x
1
，x
2
，
求x
1
＋x
2
．
3. 已知函数f（x）＝2x
2
＋（a－1）x＋3在［2，＋∞）上递增，求a的取值范围．
4. 抛物线y＝ax
2
＋bx与直线y＝ax＋b，（ab≠0）的图像（如下图）只可能是（ ）．

四、拓展延伸
1. 如果已知二次函数的图像（抛物线）的 顶点坐标为（h，k），那么它的解析表达式如何？
如果已知二次函数的图像（抛物线）与x轴的交点坐 标为（x
1
，0），（x
2
，0），它的解析
表达式又如何？
2. 用函数单调性的定义研究f（x）＝ax
2
＋bx＋c，（a＜0）的单调性．
3. 证明函数f（x）＝ax
2
＋bx＋c，（a≠0）的图像关于直线x＝－对称．
点 评
这篇案例讲述了两个方面的知识点，一是特殊的二次函数y＝ax
2
，（a≠0） 的图像随ａ值变
化的规律性，二是二次函数的性质与图像．设计恰当，重点突出，即重点讲解二次函数的 性
质与图像．遵循由特殊到一般、由具体到抽象的原则，使结论便于被学生理解．例题与练习
的 选配难易适中，代表广泛，并有利于巩固本课重点知识．拓展延伸中提出的三个问题都是
二次函数的重要 特征，实用性强，并且所得结论对解决有关问题能起到事半功倍的效果．

11 指 数 函 数
教材分析
指数函数是基本初等函数之一，在数学中占有重要地位，在实际中有着十分广泛 的应用，如
细胞分裂、考古中所用的
14
C的衰减、放射性物质的剩留量等都与指数函 数有关．有理指数
幂及其运算是学习指数函数的基础．
教材首先通过实例引入什么是指数函数 ．然后给出三个具体例子y＝2x，y＝10x，y＝（）
x，用描点法画其图像，并借助图像，观察得 出指数函数的定义域、值域、图像过定点（1，
0）及单调性．最后配备恰当的习题及练习．在知识的形 成过程中，体现图像观察、归纳猜
想的思想．这节内容的重点是指数函数的图像与性质，难点是应用指数 函数的性质解决相关
问题．
教学目标
1. 了解指数函数模型的实际背景．
2. 理解并掌握指数函数的定义、图像及性质．

3. 通过对指数函数的概 念、性质的归纳、抽象和概括，体验数学知识的产生和形成的过程，
培养学生的抽象概括能力．
4. 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的数学模型，培养学生的应用
意识．
任务分析
学生在学习本节内容时，已学过了一些基本函数，如二次函数，并且学过有理指数幂 及其运
算，这均为学生学习这节内容奠定了基础．由应用问题建立指数函数模型是个难点，为此一
定要使学生理解问题的意义，进而由少到多、由浅入深逐步建立起两个变量间的关系．要重
视列表、画 图像的过程，这样才有利于观察、归纳出指数函数的性质．要充分显示出知识的
形成过程．
教学设计
一、问题情境
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4 个分裂成8个……如果1个这样
的细胞分裂x次后，得到细胞的个数为ｙ，试求y关于x的函数关系式．
先由学生独立解答，然后教师明晰细胞分裂的规律是：每次每个细胞分裂为2个．
当x＝0时，y＝1＝2
0
；
当x＝1时，y＝2
0
×2＝2
1
；
当x＝2时，y＝2
1
×2＝2
2
；
当x＝3时，y＝2
2
×2＝2
3
；
……
归纳：分裂x次，得到细胞的个数y＝2
x
，其中x∈N．
二、建立模型
1. 学生讨论
上面得到的函数y＝2
x
有何特点？
（底数为常数，自变量在指数的位置上）

2. 教师明晰
一般地，函数y＝ax，（a＞0且a≠1，x∈R）叫作指数函数．
思考：为什么要限制a＞0且a≠1？
（理由：当a＝0，x≤0时，ax无意义；当a＜0 时，如y＝（－2）无意义；当a＝1时，y
＝1
x
＝1是常数函数．没有研究的必要 ．）
3. 练 习
在同一坐标系内，画出下面三个指数函数的图像．
（1）y＝2x． （2）y＝10x． （3）y＝（
解：列表：
）
x
．

描点，画图：

4. 观察上面的函数的图像，结合列表，归纳总结出指数函数y＝a
x
的性质
（1）定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，＋∞）．

（2）函数图像在x轴的上方且都过定点（0，1）．
（3）当a＞1时，函数在定义域上是增函数，且当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1．
当0＜a＜1时，函数在定义域上是减函数，且当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1．
5. 提出问题，组织学生讨论
（1）函数y＝2
x
与y＝x
2< br>的图像有何关系？试对你的结论加以证明．
（2）试举一个在生活、生产、科技等实际中与指数函数有关的例子．
三、解释应用
［例 题］
1. 利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.7
2.5
与1.7
3
． （2）0.8
-0.1
与0.8
-0.2
．
解：（1）考查指数函数y＝1.7
x
．
∵1.7＞1，∴y＝1.7
x
在（－∞，＋∞）是增函数．
又2.5＜3，∴1.7
2.5
＜1.7
3
．
（2）类似（1），得0.8
-0.1
＜0.8
-0.2
．
思考：怎样比较1.7
0.3
与0.9
3.1
的大小？
2. 某种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%．画出
这种物质的剩留量随时间变化的图像，并根据图像求出经过多少年，剩留量是原来的一
半．（结果保留1 个有效数字）
解：设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则
经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.84
1
；
经过2年，剩留量y＝0.84×0.84＝0.84
2
；
……
经过x年，剩留量y＝0.84
x
．
列表：

表11-3
x 0
y 1
1
0.84
2
0.71
3
0.59
4
0.50
5
0.42
画出指数函数y＝0.84
x
的图像：

由图上看出y＝0.5时，x≈4．
答：约经过4年，剩留量是原来的一半．
说明：为便于观察，两轴上的单位长度可不相等．
3. 说明下列函数的图像与指数函数y＝2
x
的图像的关系，并画出它们的草图．
（1）y＝2
x1
． （2）y＝2
x2
．
＋－< br>解：（1）比较函数y＝2
x
∴函数y＝2
x
＋
1
＋
1
与y＝2
x
的关系，知y＝2
-1+1
与y＝x
0
相等．
中的x＝－1时的y值，与函数y＝2
x
中的x＝0时的y值相等．
又y＝2
0+1
与y＝x
1
相等；
y＝2
3+1
与y＝x
4
相等；
……
∴将指数 函数y＝2
x
的图像向左平行移动1个单位长度，即可得到函数y＝2
x
＋< br>1
的图像．
（2）将指数函数y＝2
x
的图像向右平行移动2个单位 长度，即可得到函数y＝2
x-2
的图像．

［练 习］
1. 比较大小：
（1）1.01
-2
与1.01
-3.5
． （2）0.75
-0.1
与0.75
0.1
．
2. 画出下列函数的图像．
（1）y＝3
x
． （2）y＝（
3. 求下列函数的定义域．
）
x
．
（１）y＝． （2）y＝．
4. 已知函数f（x）＝a
x
在［0，1］上的最大值与最小值之和为3，求a的值．
5. 用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，试写出存留污垢y与漂洗次数x的函数关系
式． 如果要使存留的污垢不超过原有的1%，那么至少要漂洗几次？
四、拓展延伸
1. 在例题 2中，函数y＝0.84
x
与函数y＝0.5的图像的交点横坐标是方程0.84
x< br>＝0.5的解吗？
思考：你能判断出方程2
x
＋x
2
－2＝0有几个实数根吗？
2. 以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表：
表11-4
身高／cm
体重／kg
60
6.13
70
7.90
80
9.99
90
12.15
100
15.02
110
17.50

身高／cm
体重／kg
120
20.92
130
26.86
140
31.11
150
38.85
160
47.25
170
55.05
（1）根据表中提供的数据，能否从我 们已经学过的函数y＝ax＋b，y＝ax
2
＋bx＋c，y＝，
y＝a·bx中选择 一种函数使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数
关系？若能，求出这个函数解 析式．
（2）如果体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区 某
中学一男生身高为175cm，体重为78kg，问：他的体重是否正常？
解：（1）以身 高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图如下．根据图，可
考虑用函数y＝ab
x
，反映上述数据之间的对应关系．

把x＝70，y＝7.90和x＝160，y ＝47.25两组数据代入y＝a·b
x
，得

利用计算器计算，得a＝2，b＝1.02．
所以，该地区未成年男性体重关于身高的近似函数式可选为y＝2×1.02
x
． < br>将已知数据代入所得的函数解析式或作出所得函数的图像，可知所求函数能较好地反映该地
区未成 年男性体重与身高的关系．
（2）把x＝175代入y＝2×1.02
x
，得
y＝2×1.02
175
．
利用计算器计算，得y＝63.98．
由于78÷63.98≈1.22＞1.2，

因此，这名男生体型偏胖．
点 评
这节课的中心问题有三个，即指数函数的定义、图像与性质，围绕这三个问题，这篇案 例进
行了精心设计：首先通过实例引入了指数函数的概念，再通过画具体的指数函数的图像归纳
出一般指数函数的性质．这样安排有利于学生理解指数函数的概念，掌握指数函数的性质．选
配的例题难 易适中，具有典型性和代表性．练习由易到难，既可以巩固基础知识，又可以提
高学生的解题技能．“拓 展延伸”对本节中心内容进行了拓展，有用图像法求方程的解，判断
方程根的个数；有函数图像的平移； 还有应用题．这些都是数学中经常遇到的问题，它们的
解决将有利于学生今后的学习．

12 对 数 函 数
教材分析
对数函数是一类重要的函数模型，它与指数函数互 为反函数．教材是在学生学过指数函数、
对数及其运算的基础上引入对数函数的概念的．须要说明的是， 这里与传统的教材有所不同，
即没有先学习反函数，这对学生学习对数函数的概念、图像及性质有较大影 响，使指数函数
的知识点不能直接应用于对数函数的知识点，但从对数的定义中知道：指数式与对数式可 互
化．因此，在某些方面，如在画对数函数y＝log
2
x的图像列表时，可以把画指 数函数y＝2
x
图像时列的表中的x与y的值对调．这节内容的重点是对数函数的概念、图像及 性质，难点
是对数函数与指数函数的关系．
教学目标
1. 通过具体实例，直观了 解对数函数模型刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，并
能画出具体对数函数的图像，掌握对数函 数的图像和性质．
2. 知道指数函数y＝a
x
与对数函数y＝log
a< br>x互为反函数（a＞0且a≠1）．
3. 能应用对数函数的性质解有关问题．
任务分析
首先复习指数函数、对数的定义及对数的性质，这也是学习本节内容的基础．解析式 x＝log
a
y
是函数，叫作对数函数，为了符合习惯，常写成y＝log
a
x．这些内容学生较难理解，教学时
要引起重视．教学中，要注意从实例出发，使学生从感性认 识提高到理性认识；要注意运用

对比的方法；要结合对数函数的图像抽象概括对数函数的 性质．注意：不要求讨论形式化的
函数定义，也不要求求已知函数的反函数，只须知道对数函数与指数函 数互为反函数．
教学设计
一、问题情境
同指数函数中的细胞分裂问题，即：某种 细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，
4个分裂成8个……1个这样的细胞分裂x次后，得 到的细胞的个数为y．
我们已经知道，个数y是分裂次数x的函数，解析式是y＝2
x
．形式上是指数函数（这里的
定义域是N）．
思考：在这个问题中，细胞分裂的次数x是不 是细胞分裂个数y的函数？若是，这个函数的
解析式是什么？
x也是y的函数，由对数的定义 得到这个新函数是x＝log
2
y．其中，细胞的个数y是自变量，
细胞分裂的次数x 是函数．
二、建立模型
1. 学生讨论
（1）函数x＝log
2
y与指数函数y＝2
x
有何关系？
（2）函数ｘ＝log
2
y中的自变量、字母与我们以前所学的函数有何区别？ 结论：问题（1）：两函数中的x表示的都是细胞分裂的次数，y表示的都是细胞分裂的个
数，对应 法则都是以2为底数，一个是取对数，一个是取指数，正好相逆．
注意：这里不能说它们互为反函数，因为还没有学习反函数的概念．
问题（2）：这里的自变 量所用字母是y，以前学习的函数的自变量常用字母x，即这里的用
法不合习惯．
2. 教师明晰
定义：函数x＝long
2
y，（a＞0，且a≠1）叫作对数函数，它的 定义域是（0，＋∞），值域
是（－∞，＋∞）．
由对数函数的定义可知，在指数函数y＝a
x
和对数函数x＝log
a
y中，x，y两个变量之间的关
系是一样 的．不同的只是在指数函数y＝a
x
里，x是自变量，y是因变量，而在对数函数x