北师大版高中数学1教案

第一讲 常用逻辑用语（一）
§1 命 题
1.了解命题的概念.(重点)
2.掌握四种命题的结构形式.会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题.(难点)
3.熟练判断命题的真假性.(易混点)

(1)定义：可以判断 ，用文字或符号表述的语句叫命题．
?
?
真命题：判断为 的语句.
(2)分类
?

?
假命题：判断为 的语句.
?

(3)形式：通常把命题表示为“若p则q”的形式，其中p是 ，q是 ．
1.四种命题
互逆命题
互否命题
互为逆否命题
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 和
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的
和
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的
和
2.四种命题之间的关系
互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题都是说的两个命题之间的关系．


考点一 命题及其真假判断
例1．命题：“两对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )
A．逆命题 B．否命题 C．逆否命题 D．等价命题

例2.将下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断相应命题的 真假．
(1)正数a的平方根不等于0；
(2)两条对角线不相等的平行四边形不是矩形．

练习1.命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的条件为________，结论为_ _______．
练习2.①x
2
－5x＋6＝0.
②函数f(x)＝x
2
是偶数．
③若ac＞bc则b＞c.
④证 明x∈R，方程x
2
＋x＋1＝0无实数根．以上语句是命题的为________．

练习3.分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：
(1)若a
2
＋b
2
＝0，则a，b都为0；
(2)两个奇数的和是偶数．

名师指津
1． 当一个命题不是“若p，则q”的形式时，要先将命题改写成“若p，则q”的形式，明确条件是什么，结论是什么，然后结合四种命题的关系写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题．
2．“都是”的否定是“不都是”；“全是”的否定是“不全是”．



考点二 四种命题的真假判断
例3.设命题为“若m＞0，则关于x的方程x
2＋x－m＝0有实数根”试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，
并分别判断它们的真假．




名师指津
对一个原命题来说，其逆命题和否命题 、原命题和逆否命题同真同假．在进行真假判断时，应抓住四个命题
之间的关系，在二者之间选择较简单 的命题进行判断．

练习1.设命题为：“若q＜1，则方程x
2
＋2x＋ q＝0有实根”．试写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断
它们的真假．

练习 2.将命题“当a＞0时，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大，”写成“若p，则q”的形式，并写出其否
命题．


练习3.写出命题“已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2”的逆命题．



基础通关
一、选择题

1.下列语句不是命题的有( )
①《非常学案》是最畅销的教辅材料吗？ ②2x－1＞3.
③7＋6＝14. ④两直线平行内错角相等.
A.①② B.①③ C.②④ D.①②③
2.若命题p的逆命题是假命题，则下列判断一定正确的是( )
A.命题p是真命题 B.命题p的否命题是假命题
C.命题p的逆否命题是假命题 D.命题p的否命题是真命题
3.(2016·烟台高二检测)命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A.这个四边形的对角线互相平分 B.这个四边形的对角线互相垂直
C.这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D.这个四边形是平行四边形
4.(2016·大理高二检测)在下列命题中，真命题是( )
A.“x＝2时，x
2
－3x＋2＝0”的否命题 B.“若b＝3，则b
2
＝9”的逆命题
C.若x∈R，则x
2
＋3＜0 D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题

5.(2016·湖北黄冈调研)给出命 题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限.在它的逆命
题、否命题、 逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0

二、填空题
6.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的________命题. < br>7.把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数f(x)＝3＋log
2
x的图像与g(x)的图像关于________
对称，则函数g(x)＝________.(填上你 认为可以成为真命题的一种情况既可)
8.给定下列命题：
①“若k＞0，则方程x
2
＋2x－k＝0”有实数根； ②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；
③对角线相等的四边形是矩形； ④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.
其中真命题的序号是________.
三、解答题
9.(2016·苏州高二检测)将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假.
(1)偶数能被2整除；
(2)奇函数的图像关于原点对称.
10.分别写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断这四个命题的真假：
(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除；
(2)四条边相等的四边形是正方形.


[能力提升]
1.有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x
2
＋2x＋q＝0有实根”的逆命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.
其中真命题的序号为( )
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
2.(2016·长春高二检测)若命题p的逆否命题是q，q的逆命题是r，则p与r是( )
A.互逆命题 B.互否命题 C.互逆否命题 D.不确定
3.(2016·唐山高二检测)下列说法正确的是________.
①“若x
2
＋y
2
＝0，则x，y全为零”的否命题为“若x
2
＋y
2
≠0，则x，y全不为零”.
②“正多边形都相似”的逆命题是真命题.
1
③“若x－3是有理数，则x是无理数”的逆否命题是真命题.
2
14.若方程x
2
＋2px－q＝0(p，q是实数)没有实数根，则p＋q<
.
4
(1)判断上述命题的真假，并说明理由.
(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由.

§2 充分条件与必要条件
1.理解充分条件、必要条件的概念.(重点)
2.掌握充分条件、必要条件的判断.(难点)
命题
真假
推出关系
条件关系
“若p，则q”为真命题
p q
p是q的 条件
q是p的 条件
“若p，则q”为假命题
p

q
p不是q的 条件
q不是p的 条件
定理关系
判定定理给出了 的充分条件
性质定理给出了 的必要条件

考点三 充分条件的判断
例1.（1）下列各题中，p是q的充分条件的是________.
①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
②p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
③p：m＜－2，q：方程x
2
－x－m＝0无实根
(2)“a＞b，b＞2”是“a＋b＞4，ab＞4”的________条件.
(3)设命题甲为0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的________条件.
名师指津
1.判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p?q问题.
2.除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B， A?B，
则p是q的充分条件.

考点四 必要条件的判断
例2.

在以下各题中，分析p与q的关系：
(1)p：x＞2且y＞3，q：x＋y＞5；
(2)p：y＝x
2
，q：函数是偶函数；
(3)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形.

名师指津
1.判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；
若p?q为真，则p是q的充分条件，若q?p为真，则p是q的必要条件.
2.也可利用集 合的关系判断，如果条件甲“x∈A”.条件乙“x∈B”.若A?B，则甲是乙的必要条件.

练习1.

分析下列各项中p与q的关系.
π1
(1)p：α＝
3
，q：cos α＝
2
；
(2)p：(x＋1)(x－2)＝0，q：x＋1＝0.

考点五 充分条件与必要条件的应用
例3.

是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x< br>2
－x－2＞0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；若不存
在，请说明理由.

名师指津
1.涉及求参数的取值范围与充分必要条件有关的问题，常借助集合的观点来处理.
2.此类 题的步骤为首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的关系，然后构建满足条件的不
等式 组，再进行求解.
例4.“0＜x＜5”的一个必要条件是( )
A.x＞5 B.x
2
－5x＞0 C.0＜x＜4 D.x＜5
练习1.使不等式2x
2
－5x－3≥0成立的一个充分条件是( )
1
A.x＜0 B.x≥0 C.x∈{－1,3,5} D.x≤－
2
或x≥2
练习2.(2016·广州高二检测)已知：p：x＞1；q：x＞2；则p是q的( )
A.充分条件 B.必要条件 C.即不充分也不必要条件 D.以上答案均不正确

基础达标
一、选择题
1.“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的( )
A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
2.a＜0，b＜0的一个必要条件为( )
aa
A.a＋b＜0 B.a－b＞0 C.
＞1 D.＜－1
bb
3.“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的( )
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.一元二次方程ax
2
＋2x＋1＝0(a≠0)有一 个正根和一个负根的充分条件是（ ）
A.a≤0 B.a＞0 C.a＜－1 D.a＜1
二、填空题
1
5.满足sin α＝
的一个充分条件是α＝____(填一角即可).
2
3
6(2016· 赤峰高二检测)已知“x＞k”是“
＜1”的充分条件，则k的取值范围是________.
x＋1
7.已知p：x∈A＝{x|x
2
－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝ {x|x
2
－2mx＋m
2
－4≤0，x∈R，m∈R}.若p是﹁q的充分条件，则实数m的取值范围是________.
能力提升
1
1.不等式1－
＞0成立的充分条件是( )
x
A.x＞1 B.x＞－1 C.x＜－1或0＜x＜1 D.x＜0或x＞1
2.(2016·天津高二检测)设a，b为向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 < br>3.(2016·长春高二检测)如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题， 则A是B的
________条件.
4.已知p：x
2
－2x－3＜0，若 －a＜x－1＜a是p的一个必要条件但不是充分条件，求使a＞b恒成立的实数b
的取值范围.

2.4 充要条件
1.理解充要条件的意义.(难点)
2.掌握充分、必要、充要条件的应用.(重点、难点)
3.区分充分不必要条件、必要不充分条件.(易混点)

知识点
1.充要条件
如果 ，且 ，那么称p是q的充分必要条件，简称 ，记作
2.常见的四种条件
(1)充分不必要条件，即
(2)必要不充分条件，即 .
(3)充要条件，即
(4)既不充分也不必要条件，即

考点六 充要条件的判断
例1 (1)“b
2
－4ac＜0”是“一元二次不等式ax
2
＋b x＋c＞0的解集为R”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

(2)条件甲：“a＞1”是条件乙：“a＞a”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

(3)已知p：－1＜2x－3＜1，q：x(x－3)＜0，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
名师指津
对充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不 充分也不必要条件的判断要搞清楚它们的定义实质；
①若p?q，但q p，则p是q的充分不必要条件；②若q?p，但p
q，且q
q，则p是q的必要不充分条件 ；
③若p?q，且q?p，则p是q的充要条件；④若p p，则p既不是q的充分条件，也不是q
的必要条件.

考点七 充要条件的证明
例2.求证：“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数”的充要条件是“f(0)＝0”.





名师指津
1.首先分清条件和结论.本例中条件 是“f(0)＝0”，结论是“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数”.“p是q的……条件”，p是条
件，q是结论；“p成立的……是q”，q是条件，p是结论.
2.充要条件的证明分两步证明：证 明充分性时把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已
知去推证条件的正确性.
练习1.求证：“f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数”的充要条件是“|f(0)|＝1”.

例3.已知数列{a
n
} 的前n项和S
n
＝p
n
＋q(p≠0，p≠1)，求数列{a
n}是等比数列的充要条件.





名师指津 < br>本题以等比数列的判定为主线，根据数列前n项和通项之间的递推关系，严格利用等比数列定义判定.证明
充要条件的命题，体现了思维的严谨性.
练习1.求ax
2
＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.


基础达标
一、选择题
1.(2015·安徽高考)设p：x<3，q：－1A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.(2015·湖南高考)设x∈R，则“x>1”是“x
3
>1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.(2015·湖北高考)l
1
，l
2
表示空间中的 两条直线，若p：l
1
，l
2
是异面直线，q：l
1
，l< br>2
不相交，则( )
A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

4.(2015·湖北武汉期 中)设集合M＝{1,2}，N＝{a
2
}，则“a＝1”是“N?M”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
11
5.(2016·重庆月考)已知a，b为实数，命题甲：a b＞b
2
，命题乙：
b
＜
a
＜0，则甲是乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题
6.(2016·南昌高二检测)若p：x
2
－1＞0，q：(x＋1)(x－2)＞0，则﹁p是﹁q的________条件(填“充分不必要 ”、
“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”其中一个).
7.关于x的不等式a x
2
＋bx＋c＞0的解集为R的充要条件是________.
8.若命题“若p，则q”为真，则下列说法正确的是________.
①p是q的充分条件；②p是q的必要条件；③q是p的充分条件；④q是p的必要条件.
[能力提升]
＋
1.(2016·山东潍坊调研)“若a，b∈R，a
2
＋ b
2
＜1”是“ab＋1＞a＋b”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

2.( 2016·河南郑州联考)已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)
2
为偶函 数”是“a⊥b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

x－1
3.(2016·陕西榆林一模)已知命题p ：实数x满足－2≤1－
3
≤2；命题q：实数x满足x
2
－2x＋(1－m
2
)≤0(m＞
0).若﹁p是﹁q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是___ _____.

第二讲 常用逻辑用语（二）
§3 全称量词与存在量词
1.理解全称量词和存在量词的意义.(重点)
2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(难点)
3.能判断含一个量词的命题的真假.(易混点)
知识点
“所有”“每一个”“ 任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的
词叫作全称量词，含有 全称量词的命题，叫作全称命题.

考点一 全称命题、特称命题及其真假判断
例1.指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假.
①对任意实数x，都有x
2
＋1＞0 ； ②存在一个自然数小于1；
5
③菱形的对角线相等； ④至少有一个实数x，使sin x＋cos x＝
.
3
名师指津
1.判断一个命题是全称命题还是特称命题，关键是看 命题中含有的量词是全称量词还是存在量词.需要注意的
是有些全称命题的全称量词可以省略不写. < br>2.要判断全称命题“对任意x∈M，p(x)成立”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x )成立.但要判
断该命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x
0
，使p(x< br>0
)不成立即可.
3.要判断特称命题“存在x∈M，使p(x)成立”是真命题，只 要在集合M中能找到一个x＝x
0
，使p(x
0
)成立，
否则，这一 命题就是假命题.

考点二 全称命题与特称命题的否定
例2.写出下列命题的否定：
(1)对任意实数x，都有x
3
＞x
2
；
(2)至少有一个二次函数没有零点.

名师指津
1.弄清是全称命题还是特称命题，是正确写出含有一个量词的命题否定的前提.
2.全(特)称命题的否定是将其全称量词(存在量词)改为存在量词(全称量词)，并把判断词否定.
练习1.写出下列命题的否定：
(1)所有的菱形都是平行四边形；
(2)存在x∈R，使x
2
＋2x＋3≤0.

考点三 含量词的命题的应用
例3.已知命题p：存在x∈R，使x
2
＋2ax＋a≤0，若 命题p是假命题，试求实数a的取值范围.

名师指津
1.若函数 f(x)存在最大值与最小值，则对任意x∈A，f(x)≥M?f(x)
min
≥M；存在x ∈A，f(x)≥M?f(x)
max
≥M.
2.当已知的命题是假命题时，可先求出其否定，利用其否定为真命题求解.
例4.已知函数f(x)＝x
2
－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；
(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)＞0成立，求实数m的取值范围.


a
x＋
－2
?
，若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0，试确 定a的取值范围. 练习1.已知函数f(x)＝lg
?
?
x
?
2< br>练习2.(2016·唐山一模)已知命题p：?x
0
∈N，x
3
0< br>＜x
0
；命题q：?a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log
a
(x－
1)的图像过点(2,0)，则( )
A.p假q真 B.p真q假 C.p假q假 D.p真q真
练习3.命题：“对任意k＞0，方程x
2
＋x－k＝0有实根”的否定是( )
A.存在k≤0，使方程x
2
＋x－k＝0无实根 B.对任意k≤0，方程x
2
＋x－k＝0无实根
C.存在k＞0，使方程x
2
＋x－k＝0无实根 D.存在k＞0，使方程x
2
＋x－k＝0有实根

[基础达标]
一、选择题
1.(2016·宁波高二检测)将“a
2
＋b
2＋2ab＝(a＋b)
2
”改写成全称命题是( )
22
A.存在a
0
，b
0
∈R，使a
2
0
＋b
0
＋2a
0
b
0
＝(a
0
＋b
0
)

22
B.存在a
0
＜0，b
0
＞0，使a
2
0
＋b
0
＋2a
0
b
0
＝(a
0
＋b
0
)

22
C.存在a
0
＞0，b
0
＞0，有a
2
0
＋b
0
＋2a
0
b0
＝(a
0
＋b
0
)

D.对所有a，b∈R ，有a
2
＋b
2
＋2ab＝(a＋b)
2

2.下列命题中的真命题是( )
A.存在x
0
∈N，使4x
0
<－3 B.存在x
0
∈Z，使2x
0
－1＝0
C.对任意x∈R,2
x
＞x
2
D.对任意x∈R，x
2
＋2＞0
1
3.已知命题p：?x
0
∈R，sin x
0
＜x
0
，则﹁p为( )
2
11
A.?x
0
∈R，sin x
0
＝x
0
B.?x∈R，sin x＜x
22
1
C.?x
0
∈R，sin x
0
≥x
0

2
1
D.?x∈R，sin x≥x
2
4.非空集合A、B满足AB，下面四个命题中正确的个数是( )
①对任意x∈A，都有x∈B；②存在x
0
?A，使x
0
∈B；
③存在x
0
?B，使x
0
∈A；④对任意x?B，都有x?A.
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(2016·广东梅州一模)下列命题中的假命题是( )
A.对任意x∈R,2
x
1
＞0 B.对任意x∈N
*
，(x－1)
2
＞0 C.存在x∈R，lg x＜1 D.存在x∈R，tan x＝2
－

二、填空题
6.下列命题，是全称命题的是________；是特称命题的是________.
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数.
7.“所有的自然数都大于零”的否定是________.
8.若命题“存在x
0
∈R，x
2
0
＋mx
0
＋2m－3＜0”为假命题，则实数 m的取值范围是________.
三、解答题
9.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假.
(1)对任意的实数a、b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；
13
(2)存在实数x，使得
2
＝
.
x
－2x＋3
4





10.写出下列全称命题或特称命题的否定：
(1)所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)每一个四边形的四个顶点共圆；
(3)有的三角形是等边三角形.


[能力提升]
1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A.每一个锐角三角形的内角都是锐角 B.至少有一个实数x，使x
2
≤0
1
C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x
0
，使
＞2
x
0
2.“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )
A.存在x∈R，使得f(x)＞0成立 B.存在x∈R，使得f(x)≤0成立
C.对任意x∈R，使得f(x)＞0成立 D.对任意x∈R，f(x)≤0成立

3.命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________.

4.已知 对任意x∈(－∞，1]，不等式(a－a
2
)4
x
＋2
x
＋1＞0恒成立.求a的取值范围.

§4 逻辑联结词“且”“或”“非”
1.通过数学实例，了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.(重点)
2.会判断含逻辑联结词的命题的真假.(难点)

知识点
用“且”联结 两个命题p和q，构成一个新命题“p且q”.当两个命题p和q都是真命题时，新命题“p且q”是真
命题；在两个命题p和q之中，只要有一个命题是假命题，新命题“p且q”就是假命题.

考点四 用逻辑联结词构造新命题
例1(1)(2016·兰州高二检测)命题“1不是素数 且不是合数”中使用的逻辑联结词是________，所以此命题是
________形式命题.

(2)命题“5≥3”中使用的逻辑联结词是________，所以此命题是_____ ___形式命题.

(3)命题p“方程x
2
＋5＝0没有实数根”，则﹁p为________.
名师指津
1.本例主要训练学生对逻辑联结词“或”“且”“非”的应用，加深对逻辑联结 词的理解.所以在解题过程中，不但
要注意从结构上组成“p或q”与“p且q”形式的复合命题，同时 还应从字面上对语句的表达加以适当地调整.
2.命题的否定与命题的否命题的区别：
命题
若p，则q
命题的否定
若p，则﹁q
命题的否命题
若﹁p，则﹁q

考点五 含逻辑联结词的命题的真假判断
例2.分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题的真假.
(1)p：3＞3，q：3＝3；
(2)p：A?A，q：A∩A＝A；
(3)p：函数 y＝x
2
＋3x＋4的图像与x轴有交点，q：方程x
2
＋3x－4＝0没有 实根.

名师指津
1.含有逻辑联结词的命题真假的判定步骤：
(1)确定它的构成形式；
(2)判断其中简单命题的真假；
(3)根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假.
2.“p且q”、“p或q”、“非p ”形式的命题的真假判断可分别对应概括为三句话：“p且q中有假则假”、“p或q
中有真则真”“p 与﹁p真假相反”.

考点六 逻辑联结词的应用
例3.已知命题p：对任意x∈ [1,2]，x
2
－a≥0，命题q：存在x∈R，使x
2
＋2ax＋2－a ＝0，若命题“p且q”是真
命题，求实数a的取值范围.

名师指津
1 .正确理解“且”“或”“非”的含义是解此题的关键.由p且q为假知p，q中至少一假，由p或q为真知p， q至
少一真.
2.充分利用集合的“交、并、补”与“且、或、非”的对应关系理解题意，特 别注意“p假”时，可利用补集思想，
求“p真”时a的集合的补集.

练习1.命题“若a＞b且b＞c，则a＞c”的否定是( )
A.若a＞b且b＞c，则a≤ c B .若a＞b且b＞c，则a＜c
C.若a≤b或b≤c，则a≤c D.若a≤b或b≤c，则a＜c
练习2.分别用“p且q”“p或q”“非p”填空：
(1)命题“15能被3与5整除”是________形式；
(2)命题“16的平方根不是－4”是________形式；
(3)命题“李强要么是学习委员，要么是体育委员”是________形式.

基础达标
一、选择题
1.已知原命题是“若r，则p或q”，则这一命题的否命题是( )
A.若﹁r，则p且q B.若﹁r，则﹁p或﹁q
C.若﹁r，则﹁p且﹁q D.若﹁r，则﹁p且q
2.命题p：点A在直线y＝2x－3上，q：点A在抛物线y＝－x
2
上，则使“p且q”为真命题的一个点A(x，y)
是( )
A.(0，－3) B.(1,2) C.(1，－1) D.(－1,1)
3.对于p：x∈A∩B，则﹁p( )
A.x∈A且x?B B.x?A或x∈B C.x?A或x?B D.x∈A∪B
1
4.(2016·四川成都一模)已知命题p：对任 意a∈R，且a＞0，a＋
a
≥2，命题q：存在x
0
∈R，sin x
0
＋cos x
0
＝3，
则下列判断正确的是( )
A.p是假命题 B.q是真命题 C.p且(﹁q)是真命题 D.(﹁p)且q是真命题
5.(2016·贵州贵阳期末)命题p：函数y＝log
a(ax＋2a)(a＞0且a≠1)的图像必过定点(－1,1)；命题q：如果函数
y＝f(x) 的图像关于(3,0)对称，那么函数y＝f(x－3)的图像关于原点对称，则有( )
A.“p且q”为真 B.“p或q”为假 C.p真q假 D.p假q真
二、填空题
6.命题p：“相似三角形的面积相等”则﹁p为________，否命题为________. < br>11
7.已知命题p：若实数x，y满足x
2
＋y
2
＝0，则 x，y全为零.命题q：若a＞b，则
a
＜
b
.给出下列四个命题：
①p且q；②p或q；③非p；④非q
其中真命题是________.
8.(2 016·湖南浏阳月考)已知命题p：函数f(x)＝lg(x
2
－4x＋a
2
)的定义域为R；命题q：当m∈[－1,1]时，不等
式a
2
－5a－3≥m2
＋8恒成立，如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是____________.

[能力提升]
1.在一次跳伞训练中，甲、乙 两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，
则命题“至少有一 位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A.(﹁p)或(﹁q) B.p或(﹁q) C.(﹁p)且(﹁q) D.p或q
2.(2016·长春高二检测)已知：p：|x－1|≥2， q：x∈Z，若p且q，﹁q同时为假命题，则满足条件的x的集合
为( )
A.{x|x≤－1或x≥3，x?Z} B.{x|－1≤x≤3，x?Z}
C.{x|x＜－1或x∈Z} D.{x|－1＜x＜3，x∈Z}

3.已知p：函数f(x)＝x
2
＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函 数，若﹁p是假命题，则a的取值范围是
____________.
4.已知命题p：c
2
＜c和命题q：对任意x∈R，x
2
＋4cx＋1＞0恒成立，已知p或q 为真，p且q为假，求实
数c的取值范围.

第三讲 空间向量及运算

1．了解空间向量的有关概念，会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律．(重点)
2．理解直线的方向向量和平面的法向量．会利用两个空间向量共线的充要条件解决有关问题(难点)
3．会求简单空间向量的夹角，能够利用空间向量的数量积的定义求两个向量的数量积(易混点)
知识点一 空间向量的概念
定义 在空间中，既有大小又有方向的量，叫作空间向量
→
①用有向线段AB表示，A叫作向量的起点，B叫作向量的终点
表示方法

自由向量 数学中所讨论的向量与向量的起点无关，称之为自由向量
→→
与平面向量一样，空间向量AB或a的大小也叫作向量的长度或模，用|AB
|或|a|表
示
→→
如图，两非零向量a，b，过空间中任意一点O，作向量a，b的相等向量OA和OB，< br>定义
则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉
长度或模
夹角

范围
向量垂直
向量平行
规定0≤〈a，b〉≤π
π
当〈a，b〉＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b
2
当〈a，b〉＝0或π时，向量a与b平行，记作a∥b

知识点二 空间向量的运算

空间
向量
的加
减法
加法
运算 定义(或法则) 运算律
减法
设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b 的相
→→
等向量OA和OB，根据平面向量加法的平行四边形法
①结合
→则，平行四边形的对角线OC对应的向量OC就是a
律：(a＋
b)＋c＝a
与b 的和，记作a＋b，如图所示
＋(b＋c)；
②交换
律：a＋b
＝b＋a

与平面向量类似，a与b的差定义为a＋(－b)，记作
a－b，其中－b是b的相反向量

空间向量a与一个实数λ的乘积是一个向量，
记作λa，满足：
空间向量 ①|λa|＝|λ||a|
的数乘 ②当λ＞0时，λa与a方向相同；
当λ＜0时，λa与a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0
空间向量 空间两个向量a和b的数量积是一个数，等
的数量积 于|a||b|cos〈a，b〉，记作a·b
与数量积
①|a|＝a·a
有关的
②a⊥b?a·b＝0
a·b
结论
③cos〈a，b〉＝
(a≠0，b≠0)
|a||b|
①λa＝aλ(λ∈R)
②λ(a＋b)＝λa＋λb
(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ∈R，μ∈R)
③(λμ)a＝λ(μa)(λ∈R，μ∈R)．

①交换律：a·b＝b·a
②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c
③λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)

考点一 空间向量的有关概念
→
例1(1)(2016·成都高二检测) 在如图2?1?1所示的平行六面体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，与向量AA
1
相等的向量有
→
________ 个(不含AA
1
)．

(2)下列说法中，正确的是( )
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
→→
B．若非零向量AB
和CD是共线向量，则A，B，C，D四点共线
C．若a
∥
b，b
∥
c，则a
∥
c
D．零向量与任意向量平行
→→
(3)在长方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，以顶点为起止点的向量中，与向量AB< br>平行的向量为________，与AB相
反的向量为________．

【名师指津】
1．在空间中，向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全一样．
2．注意区别向量、向量的模、线段、线段的长度等概念．

考点二直线的方向向量与平面的法向量
例2 如图 ，正方体ABCD?A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，
(1)以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有哪些？
(2)在所有棱所在的向量中，写出平面ABCD的所有法向量．

【名师指津】
1．直线的方向向量就是与直线平行的非零向量对模没有限制，注意起点和终点都在直线上的向量也是符 合
题意的．
2．找平面的法向量要注意几何体中的垂直关系，特别是成面面垂直关系．

练习1．根据本例的条件，写出平面BCC
1
B
1
的所有法向量．




考点三 空间的线性运算
→→→→
例3 (1)(2016·合肥高二检测)已知空间四边形ABCD中，AB＝a，CB＝b，AD＝c，则CD等于( )
A．a＋b－c B．－a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
→→→→
(2)化简(AB
－CD
)－(AC
－BD
)＝________.
→
(3)如图所示，在正方体ABCD?A
1
B
1
C1
D
1
中，下列各式中运算的结果为AC
1
的共有( )

→→→→→→→→→→→→
①(AB＋BC
)＋CC
1
； ②(AA
1
＋A
1
D
1
)＋D
1
C
1
；③(AB＋BB
1
)＋B
1
C
1
；④(AA
1
＋A
1
B
1
)＋B
1
C
1.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【名师指津】
1．在运算时，要注意运算律的应用，在例题中，利用向量加法的结 合律以及数乘向量的分配律简化了计算．
2．对向量式的化简，要结合图形，充分利用图形的性质．

考点四 空间向量的共线定理的应用
例4如图2?2? 3四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判
→→
断CE与MN是否共线？


【名师指津】
1．判定向量a与b 共线就是要找到实数λ，使得a＝λb成立．要充分运用空间向量的运算法则，同时结合
空间图形，化简 得a＝λb，从而判定a与b共线．
2．向量共线定理是证明三点共线，线线平行问题的重要依据，有 关空间和平面几何中的线线平行问题均可
转化为向量的共线问题．

练习1．如图2 ?2?4，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上
→
2
→→
2
→
的点，且CF＝
CB
，CG＝
CD.求证：四边形EFGH是梯形
33



思考
问题1 空间向量与平面向量有什么关系？
问题2 直线的方向向量与平面的法向量只有一个吗？
问题3 如何求两个空间向量的夹角？向量角与平面角有什么区别？
问题1 如何正确地理解空间向量的数量积？
问题2 在应用空间向量数量积的运算律时要注意什么？
问题3 如何灵活地应用空间向量的数量积公式？

例3在正方体ABCD?A1
B
1
C
1
D
1
中，E，F分别是AB，BC 的中点，求：
→→→→
(1)〈EF
，A
1
C
1
〉，〈A
1
C
1
，FE〉；
→→→→
(2)〈AB
，BC〉，〈A
1
B
1
，AD
1
〉．

【名师指津】
1．求空间向量夹 角的关键是平移向量，使它们的起点相同．在平移的过程中，要充分利用已知图形的特点，
寻找线线平行 ，找出所求的角，这一过程可简单总结为：(1)通过平移找角，(2)在三角形中求角．
π
0，
?
，而向量夹角的范围是[0，
2．在利用平面角求向量角时，要注意两种角的取 值范围，线线角的范围是
?
?
2
?
π]，比如〈a，b〉与〈－a， b〉两个角互补，而它们对应的线线角却是相等的．
练习2．在正四面体ABCD中，
→→
(1)向量AB
与BA的夹角为________；
→→
(2)向量AB
与CD的夹角为________．


课堂练习
1．下列有关空间向量的说法中，正确的是( )
A．如果两个向量的模相等，那么这两个向量相等
B．如果两个向量方向相同，那么这两个向量相等
C．如果两个向量平行且它们的模相等，那么这两个向量相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
2．已知向量a
0
，b
0
是分别与a，b同方向的单位向量，那么下列式子正确的是( )
A．a
0
＝b
0
B．a
0
＝1 C．a
0
，b
0
共线 D．|a
0
|＝|b
0
|
3．下列说法中不正确的是( )
A．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量

4．设a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|＝________.
→
1
→→→→→→
5．在平行六面体ABCD?A
1
B1
C
1
D
1
中，AM
＝
MC
，A1
N
＝2ND
.设AB
＝a，AD＝b，AA
1
＝c， 试用a，b，c表
2
→
示MN
.

[基础达标]
一、选择题
1．若空间任意两个非零向量a，b，则|a|＝|b|，且a∥b是a＝b的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件
2．下列命题中正确的个数是( )
①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；
②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；
③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；
④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知e
1
、e
2
互相垂直，|e
1
|＝2，|e
2
|＝2， a＝λe
1
＋e
2
，b＝e
1
－2e
2
， 且a、b互相垂直，则实数λ的值为( )
11
A. B． C．1 D．2
24
1
4．设向量a，b满足|a|＝|b |＝1，a·b＝－
，则|a＋2b|＝( )
2
A.2 B．3 C.5 D．7
→→
π
5.如图 所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AO C＝
，则cos〈OA，BC〉的值为( )
3
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

121
A.
B．
C．－ D．0
222
二、填空题
→→
6．正四面 体S?ABC中，E，F分别为SB，AB中点，则〈EF
，AC〉＝________.

7.如图，在45°的二面角α?l?β的棱上有两点A、B，点C、D分别在α、β内，且AC⊥AB ，∠ABD＝45°，AC
＝BD＝AB＝1，则CD的长度为________．

8．如图2?2?11所示，已知空间四边形ABCD每条边和对角线都等于 1，点E，F分别是CD，AD的中点，
→→
则AB
·EF
＝_______ _.

三、解答题
9．在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC ，且OA＝OB＝OC.M、N分别是OA、BC的中点，G
是MN的中点，求证：OG⊥BC.



10．如图2?2?12，点E，F，G，H分别是空间四边形ABC D的边AB，BC，CD，DA上的点，其中E，H是
→→
中点，F，G是三等分点，且CF＝ 2FB，CG＝2GD.求证：EH与FG为共线向量．



[能力提升]
1．(2016·福州高二检测)空间两向量a，b互为相反向量，已知向量| b|＝3，则下列结论正确的是( )
A．a＝b
C．a与b方向相同
B．a＋b为实数0
D．|a|＝3
→→→→→
2．(2016·天津高 二检测)在平行六面体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，下列四对向量：①AB
与C
1
D
1
；②AC
1
与BD
1
；③AD
1
→→→
与C
1
B< br>；④A
1
D
与B
1
C.其中互为相反向量的有n对，则n＝( )
A．1
C．3
B．2
D．4

3．如图2?1 ?8所示，四棱锥D
1
?ABCD中，AD＝DD
1
＝CD，底面ABCD是 正方形，DD
1
⊥面ABCD，E是
→→
AD
1
的中点，求 〈AC
，DE〉．

4．如图 ，四棱锥V?ABCD，底面ABC D为正方形，VA⊥平面ABCD，以这五个顶点为起点和终点的向量中，
求：

(1)直线AB的方向向量；
(2)求证：BD⊥平面VAC，并确定平面VAC的法向量．

4．设a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|＝_ _______.
→
1
→→→→→→
5．在平行六面体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，AM
＝
M C
，A
1
N
＝2ND
.设AB
＝a，AD＝b，AA
1
＝c，试用a，b，c表
2
→
示MN
.
→→
6．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则AE·AF
的值
为________．
7．如图2?2?14，正方形ABCD与正方形ABE F边长均为1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，
点N在BF上移动，若CM＝BN ＝a(0＜a＜2)．

(1)求MN的长度；
(2)当a为何值时，MN的长最小．

第四讲 向量的坐标表示和空间向量基本定理

1．了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示．(重点)
2．掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，会求向量的坐标．(重点)
3．理解空间中 的任何一个向量都可以用三个不共面的向量来表示，能够在具体问题中适当地选取基底．能
够利用空间向 量的坐标运算求空间向量的长度与夹角。(难点)
知识点一 空间向量的标准正交分解与坐标表示 < br>在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量 a，
存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk.我们把a＝xi＋yj＋ zk叫作a的标准正交分解，把
i，j，k叫作标准正交基．(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，记 作a＝(x，y，z)，a＝(x，y，z)叫作向量a的
→
坐标表示．在空间直角坐标系中， 点P的坐标为(x，y，z)，向量OP的坐标也是(x，y，z)．
知识点二 投影
( 1)一般地，若b
0
为b的单位向量，称a·b
0
＝|a|cos〈a，b〉 为向量a在向量b上的投影．如图所示，向量a
在向量b上的投影为OM＝|a|cos〈a，b〉．

(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．

知识点三 空间向量基本定理
(1)如果向量e
1
、e
2
、e
3< br>是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ
1
、λ
2
、λ
3
，
使得a＝λ
1
e
1
＋λ
2
e
2
＋λ
3
e
3
.
(2)空间中不 共面的三个向量e
1
、e
2
、e
3
叫作这个空间的一个基底 ，a＝λ
1
e
1
＋λ
2
e
2
＋λ
3
e
3
表示向量a关于基底
e
1
、e
2
、 e
3
的分解，e
1
、e
2
、e
3
都叫作基 向量．
(3)当向量e
1
、e
2
、e
3
两两垂直 时，就得到这个向量的一个正交分解，当e
1
＝i，e
2
＝j，e
3
＝k时，a＝λ
1
e
1
＋λ
2
e
2
＋λ
3
e
3
叫作a的标准正交分解．
知识点四 空间向量运算的坐标表示
1．空间向量运算的坐标表示
设a＝(x
1
，y
1
，z
1
)，b＝(x
2
，y
2
，z2
)，则：
(1)a＋b＝(x
1
＋x
2
，y
1
＋y
2
，z
1
＋z
2
)，即，空间两个向量和 的坐标等于它们对应坐标的和．
(2)a－b＝(x
1
－x
2
，y
1
－y
2
，z
1
－z
2
)，即，空间两个 向量差的坐标等于它们对应坐标的差．
(3)λa＝(λx
1
，λy
1，λz
1
)(λ∈R)，即，实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积．
(4)设a＝(x
1
，y
1
，z
1
)，b＝(x< br>2
，y
2
，z
2
)，则a·b＝x
1
x2
＋y
1
y
2
＋z
1
z
2
. 即，空间两个向量的数量积等于它们对应坐
标的乘积之和．
→
2．空间向量的坐标与 起点和终点坐标的关系：若A(x
1
，y
1
，z
1
)，B( x
2
，y
2
，z
2
)，则AB
＝(x
2< br>－x
1
，y
2
－y
1
，z
2
－z< br>1
)．

知识点五 空间向量平行、垂直、长度、夹角的表示
设a＝(x
1
，y
1
，z
1
)，b＝(x
2
，y
2
，z
2
)，则
(1)若b≠0，则a∥b?a＝λ b? x
1
＝λx
2
，y
1
＝λy
2
，z
1
＝λz
2
(λ∈R)；
(2)a⊥b?a·b＝0?x
1x
2
＋y
1
y
2
＋z
1
z
2
＝0.
22
|a|＝a
2
＝x
2
1
＋y
1
＋z
1
.
x
1
x
2
＋y1
y
2
＋z
1
z
2
a·b
cos〈a ，b〉＝
＝
222222
.(a≠0，b≠0)
|a||b|
x< br>1
＋y
1
＋z
1
x
2
＋y
2
＋z
2

考点一 空间向量的坐标表示
例1 (1)设i，j，k分别是 x，y，z轴正方向上的单位向量，若a＝(3,7，－2)则a关于i，j，k的分解式为________．
(2)(2016·高昌高二检测)设{i，j，k}是空间向量的一个单位的正交基底，a＝2i－ 4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则
向量a，b的坐标分别是________．
(3) 已知在如图2?3?3所示的棱长为1的正方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，E，F分别为D
1
C
1
，B
1
C
1
的中点，若以
→→→→→→
{AB
，AD，AA1
}为基底，则向量AE
的坐标为________，向量AF的坐标为________ ，向量AC
1
的坐标为________．


【名师指津】 < br>1．建立空间直角坐标系需根据图形性质，寻找三条两两垂直的直线．建系时，通常建立右手直角坐标系．
2．空间向量的坐标与其在标准正交基下的线性表示的关系是a＝xi＋yj＋zk?a＝(x，y，z )

考点二 空间向量的投影
例2如图 所示，已知单位正方体ABCD?A′B′C′D′，

→→
(1)求向量CA′
在CD上的投影；
→→
(2)求向量CA′
在DC上的投影．

【名师指津】
求向量a在向量b上的投影，通常有两种方法：
a·b
1．利用投影的计算公式求，a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉，亦为. |b|
2．利用投影的几何意义求，如图，a在b上的投影为有向线段OM的数量，正方向为向量b 的方向．

→→→
例3.如图 ，四棱锥P?OABC的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC，设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E，F分别是
→→→→
PC和PB的中点，试用 a，b，c表示BF
，BE，AE，EF
.



【名师指津】
对于基底e
1
，e
2
，e
3
除了知道它们不共面外，还应明确：
(1)用基底表示向量，要表示彻底，结果中只能含有e
1
，e
2
，e
3
不能含有其他形式的向量；
(2)用e
1
，e
2
，e
3
表示向量，需要根据三角形法则，及平行四 边形法则，结合相等向量的代换，向量的运算进
行变形，化简；
(3)基底一旦确定，所有向量的表示就唯一确定了．
→→→
练习1..如图2?3 ?6，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设OA＝a，OB＝b，OC＝
→→
c，试用向量a，b，c表示向量OG
和GH
.


考点三 空间向量的坐标运算
例3(1)已知a＝(2，－1,3)，b＝(1,2，－1) ，则a＋b＝________，2a－b________.
(2)(2016·南宁高二检测) 已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值为________．
(3)已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－2,2)，c＝(－2,3，－1)，则a－b＋2c ＝________.

考点四 数量积的坐标运算
例4已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，
求(1)a·b；
(2)(2a－b)·(3a＋b)．


【名师指津】
空间向量数量积即将对应坐标乘积的求和，牢记运算公式是正确计算的关键．
练习1本例条件不变，求(a＋b)·(a－b)．



考点五 利用坐标运算解决长度和夹角问题
例5已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1 ，－1,5)，求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．




【名师指津】
1．空间中的距离和夹角问题可转化为向量的模与夹角问题求解．这体现了向量 的工具作用．引入坐标运算，
可使解题过程程序化．
2．平行四边形面积的计算公式：S
?
ABCD
＝

练习2．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)．
(1)求cos∠BAC；
(2)求△ABC中BC边上中线的长度．



考点六 坐标形式下的平行与垂直问题
→→
例6已知空间三点A(－2 ,0,2)、B(－1,1,2)、C(－3,0,4)．设a＝AB，b＝AC
.
→
(1)设|c|＝3，c∥BC
，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.




→→→→
2
?|AB
||AC|?
－?AB
·AC
?2
.

【名师指津】
向量平行与垂直问题主要有以下两种类型： 一是判断平行与垂直；一是利用平行与垂直求参数或其他问题．解
决这种问题时要注意：①适当引入参数 参与运算；②建立关于参数的方程；③准确运算．

练习3．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.




课堂练习
1．在以下3个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a ，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则a，b，c构成空间的一个基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若向量a、b、c是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，那么可以与m、n构成空间的 另一个基底
的向量是( )
A．a B．b C．c D．2a
→→→
3．O，A，B，C为空间四边形的四个 顶点，点M，N分别是边OA，BC的中点，且OA
＝a，OB＝b，OC＝c，
→
用 a，b，c表示向量MN为( )
1111
A.(c＋b－a) B．(a＋b－c) C.(a－b＋c) D．(a＋b＋c)
2222
4．已知a＝(2，－1,2)，b＝(0，－1,4)，则a ＋b＝________.3b＝________，a·b＝________.
2
－2，t，－
?
且a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
5．已知a＝(5,3,1)，b＝
?
5
??



【基础达标】
一、选择题
1．给出下列命题：
①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；
②已知向量a∥b，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底；
→→→
③A、 B、M、N是空间四点，若BA、BM、BN不能构成空间的一个基底，那么A、B、M、N共面；
④ 已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．

其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若a＝e
1
＋e
2
＋e
3
，b＝e
1
＋e
2
－e
3
，c＝e
1
－e
2
＋e
3
，d＝e
1
＋2e
2
＋3e
3
，d＝α a＋β b＋γ c，则α、β、γ分别为
( )
51515151
A.
，－1，－
B．
，1，
C．－
，1，－ D．，1，－
22222222
3．已知i，j，k为标准正交基底，a＝i＋2j＋3k， 则a在i方向上的投影为( )
A．1 B．－1 C.14 D．－14
1
4．若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－ 1,2)，且a与b的夹角的余弦为
，则|a|＝( )
9
9103
A. B． C. D．6
422
→→
5．(2016·黄山高二检测)已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)， 则AB
与CA的夹角θ的大小是( )
A．60° B．120° C．30°

D．150°

二、填空题
6．e
1
，e
2< br>，e
3
是空间一组基底，a＝e
1
－2e
2
＋e3
，b＝－2e
1
＋4e
2
－2e
3
，则a与 b的关系为________．
7．(2016·金华高二检测)已知点A在基底{a，b，c}下的 坐标为(2,1,3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－
j，则点A在基底{i，j ，k}下的坐标为________．
8．设向量a＝(1，－2,2)，b＝(－3，x,4)，已 知a在b上的投影为1，则x＝________.

三、解答题
9．已知a＝( 2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(－2a)·b，(a＋b)·(a－ b)．





10．如图2?3?11，在空间四边 形OABC中，|OA|＝8，|AB|＝6，|AC|＝4，|BC|＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝6 0°，
→→
求OA在BC上的投影．

[能力提升]
→→→→
1．设O?ABC是四面体，G
1
是△ABC的重心，G是OG
1
上的一点，且OG＝3GG
1，若OG
＝xOA＋yOB＋zOC，
则(x，y，z)为( )
111
?
333111222
，，
B．
?
，，
?
C.
?
，，
?
D．
?
，，
?

A.
?
?
444
??
444
??
333
??
333
?
2．已知a＋ 3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.




3．(2016·启东高二检测)与a＝(2，－1,2)共线且满足 a·x＝－18的向量x＝________.









4．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2,3) ，B(2，－1，5)，C(3,2，－5)．
(1)求△ABC的面积．
(2)求△ABC中AB边上的高．

第五讲 空间向量夹角的计算
1．能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题．(重点)
2．体会向量方法在研究立体几何问题中的作用．(难点)

知识点一 直线间的夹角
设直线l
1
与l
2
的方向向量分别为s
1< br>，s
2
.

知识点二 平面间的夹角
(1)平面间夹角的概念
如图，平面π
1
和π
2
相交于直线l，点 R为直线l上任意一点，过点R，在平面π
1
上作直线l
1
⊥l，在平面π< br>2
上作直线l
2
⊥l，则l
1
∩l
2
＝R， 我们把直线l
1
和l
2
的夹角叫作平面π
1
与π
2
的夹角．

(2)平面间夹角的求法
设平面π
1
与π
2
的法向量分别为n
1
与n
2
.
π
当0 ≤〈n
1
，n
2
〉≤
时，平面π
1
与π
2
的夹角等于〈n
1
，n
2
〉；
2
π
当＜ 〈n
1
，n
2
〉≤π时，平面π
1
与π
2
的夹角等于π－〈n
1
，n
2
〉．
2
事实上，设平面π
1
与平面π
2
的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n
1
，n
2
〉|.
知识点三 直线与平面的夹角
设直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，直线l与平面α的夹角为θ.

考点一 直线间的夹角
例1.如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面AB CD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，
AD＝2a，且PA⊥底面AB CD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足．
(1)求证：BE⊥PD；
(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值．






【名师指津】
1．建立恰当的空间直角坐标系，准确求出相关点的坐标是解决这类题的关键．
π
0，
?
，所以若求得余弦值为负数，则线线夹角为其补角．
2．求线线夹角时，应注意线线夹角范围为
?
?
2
?
练习1．(2016·天津高二检测)已知正四棱柱ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
＝2AB，E是AA
1
的中点，则异面直线
D
1
C与BE所成角的余弦值为( )
1310103
A.
B．
C. D．

510105

考点二 平面间的夹角
例2如图 ，直四棱柱ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
，底面ABCD是菱形，AD＝AA
1
，∠DAB＝60° ，F为棱AA
1
的中点．求
平面BFD
1
与平面ABCD所成的二面 角的大小．

【名师指津】
求两平面的夹角有两种方法：
(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线 ，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可
转化为求与两面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注 意其异同．
?
π
??
(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n
1
，n
2
，则两平面的夹角为〈n
1
，n
2
〉?
当〈n
1
，n
2
〉∈
0，
时或
??
2
??
?
π
??
π－〈n
1
，n
2
〉
?
当〈n
1
，n
2
〉∈
，π
时.
??
2
??

练习2.如图 所示，在底面为直角梯形的四棱 锥S?ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC
1
＝1，AD ＝，求平面SCD与平面SAB所成二面角α的正切值．
2

考点三 直线与平面的夹角
例3正三棱柱ABC?A
1
B
1
C
1< br>的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC
1
与侧面ABB
1
A
1
所成的角．




【名师指津】
计算直线l与平面α的夹角为θ的方法有：
(1)利用法向量计算θ的步骤如下：

(2)利用定义计算θ的步骤如下：

练习3．把本例条件改为“侧 棱与底面边长相等”，求AB
1
与侧面ACC
1
A
1
所成角 的正弦值．






例4如图，在四棱锥P ?ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且
P A＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．求BD与平面ADMN的夹角θ.







[基础达标]
一、选择题
1.如图，在长方体ABCD?A
1
B
1
C< br>1
D
1
中，M，N分别是棱BB
1
，B
1
C
1
的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD
1
与DM的夹角为( )

A．30° B．45° C．60° D．90°
2.如图，在正四面体A?BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( )

A.
321
B．
C.

232
D．
3

3
3． 过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则平面ABC与平面PCD所成锐二面角的
度数为( )
A．75° B．60° C．45° D．30°

4．如图所示，已知点P为菱形ABC D所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中
点，则平面CBF与平面 DBF夹角的正切值为( )

A.
33323
B． C. D．

6433
5．P是二面角α?AB?β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝ 45°，∠MPN
＝60°，那么α与β的夹角大小为( )
A．60° B．70° C．80° D．90°
二、填空题
6．若平面α的一个法向量为m＝(3,3,0)，直线l的一个方向向量为b＝(1,1,1)，则l 与α所成角的余弦值为
________．
7．正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所 在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值
是________．
8．如图 所示，在正方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，A
1
C与AB夹角的余弦值为________，A
1< br>C
1
与平面BB
1
C
1
C夹
角为_____ ___，平面A
1
BCD
1
与平面ABCD的夹角为________．

三、解答题
9.如图，在三棱锥S?ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝ 90°，AC＝2，BC＝13，SB＝29.
(1)求证：SC⊥BC；
(2)求SC与AB所成角的余弦值．

10．如图2?5?12，在三棱柱ABO ?A
1
B
1
O
1
中，OA⊥OB，且OB＝3，OA＝4， BB
1
＝4，D为A
1
B
1
的中点．P
为BB1
上一点，且OP⊥BD.
求直线OP与底面AOB的夹角的正弦值．

[能力提升]
1．平面α的一个法向量为n
1
＝(4,3 ,0)，平面β的一个法向量为n
2
＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余
弦值为( )
997
A．－ B． C. D．以上都不对
252525
1
2．已知四棱锥P?A BCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝
，
2
AB＝1，则AC与PB所成的角的余弦值为
( )
A.
5101525
B． C. D．

5555
3．正四棱锥S?ABCD中，O为 顶点在底面上的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面
PAC的夹角是____ ____．
4．(2014·天津高考)如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD ⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，
AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F?AB?P的余弦值．

第六讲 距离的计算
1．理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(难点)
2．掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．(重点)
3．通过转化，会利用空间向量解决距离问题，从而培养准确的运算能力．(难点)

知识点一 点到直线的距离
利用向量求点A到直线l的距离步骤：
→
s
(1)找到直线l的方向向量s，并求s
0
＝
； (2)在直线l上任取一点P；(3)计算点P到点A的距离|PA
|；
|s|
→→
(4)计算PA
在向量s上的投影PA
·s
0
；(5)计算点A到直 线l的距离d＝

知识点二 点到平面的距离
利用向量求点A到平面π的距离步骤：
(1)找到平面π的法向量n； (2)在平面π内任取一点P；
→→→
(3)计算PA
在向量n上的投影PA
·n
0
； (4)计算点A到平面π的距离d＝|PA·n
0
|.

考点一 点到点、点到线、线到线的距离
例1 (1)(2016·临汾高二检测)如图 ，在60°的二面角 α?AB?β内，AC?β，BD?α，AC⊥AB于A，BD⊥AB于
B，且AC＝AB＝BD＝1， 则CD的长为________．
→→
2
|PA|
－|PA
·s< br>0
|
2
.

(2)单位正方体ABCD?A
1< br>B
1
C
1
D
1
中，点B
1
到直线A C的距离为________．

(3)已知四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为正方 形，SD⊥面ABCD，且SD＝AD＝1，则异面直线SB与AC
的距离为________．

【名师指津】
→
1．求A、B两点间的距离一般用|AB|＝
→→
AB·AB

2．用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点：
①点P可以在直线l上任意选取，因此可选取易求得坐标的特殊点．
②直线l的方向向量可任意选取．
③点到直线的距离公式中s
0
是单位向量 ，在求得直线l的方向向量s后，要将其单位化．
3．异面直线间的距离
如图，设n与异面 直线a，b都垂直，A是直线a上任一点，B是直线b上任一点，则异面直线a，b的距离
→
| n·AB|
d＝.
|n|

练习1．线段AB在平面α内，AC⊥α.BD ⊥AB，且BD与α所成角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、
D间的距离．



考点二 点到平面的距离
例2在正四棱柱ABCD?A′B′C′D′ 中，底面边长为22，侧棱长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点，
求点D′到平面B′EF的距离 ．




【名师指津】
求一个点到平面的距离，可以 分以下几步完成：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发与平面的任
一条斜线段对应的向量；③ 求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求
n
出点到平面的 距离．由于＝n
0
可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向< br>|n|
→
量与从该点出发的平面的斜线段对应的向量的数量积的绝对值，即d＝|PA< br>·n
0
|.
练习2．本例条件不变，求点A到平面B′EF的距离．

考点三 线面、面面距离
例3如图 所示，在已知直四棱柱ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，
C D＝3，BC＝2，AA
1
＝2，E是CC
1
的中点．求A
1
B
1
与平面ABE的距离．




【名师指津】
1．求直线与平面的距离，在直线与平面平行的条件下，往往转化为点到平面的 距离求解，且这个点可适当
选取，以求解最为简单为准则，因线面距可用点面距求解，反之，求点到平面 的距离时也可用直线到平面的
距离过渡．
2．两平行平面间的距离可转化为一个平面内的一点到另一个平面的距离，即转化为点到平面的距离．
练习3．正方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，求平面A
1
BD与平面B
1
CD
1
间的距离．




例4 在四棱锥P?ABCD中，底面AB CD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，以AC为直径的球
面交PD于点M，交 PC于点N，求点N到平面ACM的距离．








例5如图所示，四棱锥P?ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD是直角 梯形，∠BAD＝∠ABC＝90°，PA＝
AD＝2，AB＝BC＝1，试问在线段PA上是否存在一 点M，到平面PCD的距离为
的位置；若不存在，请说明理由．
3
？若存在，试确定M点
3

课堂练习
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
→
(1)平面α外一点A到平面α的 距离，就是点A与平面内一点B所成向量AB
的长度．( )
(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．( )
(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内 某
点到平面β的距离．( )
2．已知向量n＝(1,0，－1)与直线l垂直，且l经过 点A(2，3,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为( )
3232
A.
B．
C.2 D．

222
3．如图2 ?6?4，正方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1< br>的棱长为1，O是底面A
1
B
1
C
1
D
1< br>的中心，则O到平面ABC
1
D
1
的距
离是( )

图2?6?4
1223
A.
B．
C. D．

2422

4．在坐标平面xOz内，与 三点A(0,1,2)、B(2,0,1)、C(1,2,0)距离相等的点的坐标为________． 5．已知正方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，点E是AD
1
的中点，求点E到直线BD的距离．

[基础达标]
一、选择题
→→
1
→→
1．正方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为a，点M在AC
1
上且AM＝
MC
1
，N为B
1
B的中点，则|MN|为( )
2
A.
2161515
a B．a C.a D．a
6663
10
2．已知平面α的法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(x ,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为
，
3
则x＝( )
A．－1 B．－11 C．－1或－11 D．－21
3．(2016·南宁高二检测)已知正方 体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长是 1，则直线DA
1
与AC间的距离为( )
1233
A. B． C. D．

3334

4．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC边上的高BD等于( )
A．5 B．41 C．4 D．25
5．在长方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A
1
到截面AB
1
D
1
的距离为( )
8343
A. B． C. D．

3834
二、填空题
6．如图 所示，在直二面角D?AB?E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直 角三角形，其
中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为________．
7．设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面A BC的距离为________．
8．如图2?6?7所示，正方体的棱长为1，E，F，M，N分别 是棱的中点，则平面A
1
EF与平面B
1
NMD
1
的距离为________．

图2?6?7

三、解答题
9．如图，在长方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝4，BC＝3，CC
1< br>＝2.
(1)求证：直线CD
1
∥平面A
1
BC
1
；
(2)求直线CD
1
与平面A
1
BC
1
间的距离．





10．如图，已知△ABC是以∠B为直角的直 角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分
别是SC，AB，BC的中点 ，求点A到平面SND的距离．





【能力提升】
1．若正四棱柱ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的底面边长为1，AB
1
与底面ABCD成60°角，则A
1
C
1
到底面ABCD的距离
为( )
A.
3
B．1 C.2 D．3
3
2．如图 ，P?ABCD是正四棱锥，ABCD?A
1
B
1
C
1
D< br>1
是正方体，其中AB＝2，PA＝6，则B
1
到平面PAD的距
离为 ( )

A．6 B．




356532
C. D．

552

3.如图所示，已知边长为42的正三角形ABC中，E ，F分别为BC和AC的中点，PA⊥平面ABC，且PA＝
2，设平面α过PF且与AE平行，则AE 与平面α间的距离为________．







4．(2016·石家庄高二检测)已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，
BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．

第七讲 章末分层突破

考点一 空间向量及其运算
空间 向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算
法则、 运算律与平面向量基本一致．主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体
几何 问题的基础．
→→→
例1.沿着正四面体O?ABC的三条棱OA、OB、OC的方向有大小 等于1、2和3的三个力f
1
、f
2
、f
3
.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦值．







练习1．如图2?1，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是边长 为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等
→→→→→→→→→→→→→→
于2.给出以下 结论：①SA＋SB＋SC＋SD＝0；②SA＋SB－SC－SD＝0；③SA－SB＋SC－SD＝0；④S A
·SB
＝
→→→→
SC·SD
；⑤SA
·SC
＝ 0，其中正确结论的序号是________．

图2?1

考点二 利用空间向量证明垂直与平行
向量作为工具来研究几何，真正把几何 的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极
大的便利，利用空间向量可以方便地论证 空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、
面面垂直等．用空间向量判断空间中的 位置关系的常用方法如下．
(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
(2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则a⊥b?a·b＝0.
(3)线面平行：用向量证明线面平行的方法主要有：
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；
③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量线性表示直线的方向向量．
(4)线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主要有：
①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
(5)面面平行
①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；
②转化为线面平行、线线平行问题．
(6)面面垂直
①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题．
例2如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝
1.
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.




练习2．正方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是BB
1
、CD的中点，求证：平面AED ⊥平面A
1
FD
1
.

考点三 利用空间向量求空间角
(1)求异面直线的夹角
设两异面直线的方向向量分别为n
1
、n
2
，那么这两条异面直线的夹角为θ＝〈n
1
，n
2
〉或θ＝π－〈 n
1
，n
2
〉，
∴cos θ＝|cos〈n
1
，n
2
〉|.
(2)求面面的夹角
如图，设平面α、β的法向量分别为n
1
、n
2
.因为两平面的法向量的夹角 (或其补角)就等于平面α、β的夹角θ，
所以cos θ＝|cos〈n
1
，n
2
〉|.

(3)求斜线与平面的夹角
如图，设平面α的法向量为n
1
，斜线OA的方向向量为 n
2
，斜线OA与平面的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈n
1
，
n
2
〉|.

例3如图 所示四棱锥P?ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝2，点M，N分别在棱PD，PC上，且PC⊥平面AMN.
(1)求AM与PD所成的角；
(2)求二面角P?AM?N的余弦值；
(3)求直线CD与平面AMN所成角的余弦值．





练习3．如图，正方形ACDE所在的平面与平 面ABC垂直，M是CE与AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线AB与平面EBC的夹角；
(3)求平面EAB与平面EBC的夹角．

考点四 利用空间向量求空间距离
向量法求空间距离的注意点
(1)数形结合：利用向量法求空间距离时，一定要注意结合图形分析，再利用向量求解．
( 2)向量式的共同点：空间两几何元素(点、直线、平面)之间的距离，除两点间距离及点线距外都具有相
同的表达形式．
设平面的法向量为n(求异面直线间的距离时，取与两异面直线都垂直的向量为n) ，求距离的两几何图
→
|AB·n|
形上各取一点A，B，则距离d＝
.
|n|
(3)坐标方法：利用数及其运算来解决问题．
坐标方法经常与向量运算结合．

例4如图2?8，四面体ABCD中，O、E分别 是BD、BC的中点，CA＝BC＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2.
(1)求证：AO⊥平面BCD；
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
(3)求点E到平面ACD的距离．








练习4．如图2?9，在棱长为1的正方体ABCD?A
1
B< br>1
C
1
D
1
中，E，F分别是A
1
B
1
，CD的中点，求点B到截面
AEC
1
F的距离．

图2?9

考点五 转化与化归思想的应用
转化化归的思想方法是本章最主要的思想方法，一方面把空间中的平行、垂直 、夹角、距离等问题转化
为有关的向量计算；另一方面，将异面直线间的距离、平行的直线与平面间的距 离、平行平面间的距离转化
成点到面的距离，这些都是这一思想方法的具体应用．
例5在棱长 为a的正方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中．
(1)求证：平面A
1
BD∥平面CB
1
D
1
；
(2)求平面A
1
BD与平面CB
1
D
1
间的距离 ．












练习5．如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面 ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；
(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

高考链接
1．(2015·天津高考节选)如图 ，在四棱柱ABCD?A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，侧棱A
1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝
1，AC＝AA
1
＝2，AD＝CD＝5 ，且点M和N分别为B
1
C和D
1
D的中点．
求证：MN∥平面ABCD.







2．(2015·全国卷Ⅰ)如图 所示，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E ，F是平面ABCD同一侧的两
点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥ EC.
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．


π
3．(20 15·陕西高考)如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝
，AB＝BC＝1，AD＝ 2，E是
2
AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A
1BE的位置，如图2?13②.
(1)证明：CD⊥平面A
1
OC；
(2)若平面A
1
BE⊥平面BCDE，求平面A
1
BC与平面A
1
CD夹角的余弦值．

4．(2015·全国卷Ⅱ)如图 ，长方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝16，BC＝10，AA
1
＝8，点E，F分别在A
1
B
1
，
D
1
C
1
上，A
1
E＝D
1
F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面 相交，交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值．








5．(2016·全国甲卷)如图2?15，菱形ABCD的对角线A C与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分
5
别在AD，CD上，AE＝CF＝，E F交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝10.
4
(1)证明：D′H⊥平面ABCD；
(2)求二面角B?D′A?C的正弦值．

第八讲 椭圆（一）
1．1 椭圆及其标准方程
1．了解椭圆的实际背景，理解椭圆、焦点、焦距的定义．(重点)
2．掌握、推导椭圆标准方程的过程．(难点)
3．会求简单的椭圆的标准方程．(易混点)
知识点

1.椭圆的定义
平面内到 F
1
，F
2
的 等于常数( |)的点的集合叫作椭圆，这 叫作椭圆的焦点，两
个焦点F
1
，F
2
间的 叫作椭圆的焦距．
2.椭圆的标准方程

标准方程
焦点在x轴上
x
2
y
2
＋＝1(a＞b＞0)
a
2
b
2
焦点在y轴上
y
2
x
2
＋＝1(a＞b＞0)
a
2
b
2
图像

焦点坐标
a，b，c的关系

考点一 椭圆定义及应用
x
2
y< br>2
例1.(1)(2016·福州高二检测)椭圆＋＝1上一点A到焦点F的距离为2，B为AF 的中点，O为坐标原点，
259
则|OB|的值为( )
3
A．8 B．4 C．2 D．

2
(2)平面内 一动点M到两定点F
1
，F
2
的距离之和为常数2a，则点M的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．圆 C．线段 D．椭圆或线段或无轨迹

x
2
y
2
(3)已知椭圆
2
＋< br>2
＝1(a＞b＞0)，F
1
，F
2
是它的焦点，过F
1
的直线AB与椭圆交于A、B两点，则△ABF
2
ab
的周长为____ ____．
【名师指津】
1．到两定点的距离之和是常数且必须大于两定点间的距离的点的 轨迹是椭圆，此时这个常数为2a，两
定点的距离为2c.
2．由椭圆定义可知，椭圆上任一点到椭圆的两个焦点距离之和为定值，所以椭圆定义有以下应用：
(1)实现两个焦点半径之间的相互转化；
(2)将两个焦点半径之和看成一个整体，求解定值问题．

考点二 求椭圆的标准方程

例2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，并且过点(－5，3)；
y
2
x
2
(2)过点(3，－5)，且与椭圆
＋＝1有相同的焦点．
259
【名师指津】
1．椭圆的标准方程在形式上可统一为Ax
2
＋By
2
＝1，其中A、B是不等的正常数．
2．运用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤：
(1)定位：确定椭圆的焦点在x轴还是y轴上，从而设出相应的标准方程的形式．
(2)定 量：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组，求出a
2
、b
2
，从而写 出椭圆的标准方程．

练习1．(1)两个焦点坐标分别是(0，－4)、(0,4)，椭圆 上一点P到两焦点的距离之和等于20，求椭圆的方程．
53
，－
?
，求椭圆的方程．
(2)两个焦点坐标分别是(－2, 0)，(2,0)且过
?
2
??
2


考点三 椭圆标准方程的简单应用
x
2
y
2
例3.(1)已知方程＋＝1表 示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________．
5－2m|m|－1
(2 )已知椭圆方程为kx
2
＋3y
2
－6k＝0，焦距为4，则k的值为___ _____．


【名师指津】
1．判断焦点所在坐标轴其依据是看x< br>2
项，y
2
项的分母哪个大，焦点在分母大的坐标轴上．
x
2
y
2
2．对于方程
＋＝1(m＞0，n＞0)，当m>n>0时，方程表示 焦点在x轴上的椭圆；当n＞m＞0时，方
mn
程表示焦点在y轴上的椭圆．特别地，当n＝m ＞0时，方程表示圆心在原点的圆．
x
2
y
2
练习1.将本例(1 )中的方程改为：“＋＝1”其他不变．
5－2mm－1

考点四 与椭圆有关的轨迹问题
例4.已知圆B：(x＋1)
2
＋y
2
＝1 6及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点
P的轨迹方程．



【名师指津】
求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：
(1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程；
(2) 首先分析几何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后设出对应椭圆的标准方程，求出其中a，
b 的值，得到标准方程．
练习1．已知B、C是两个定点，|BC|＝10，且△ABC的周长等于24，求顶点A的轨迹方程．

例5写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a＋b＝8，c＝4；
(2)经过点A(3，－2)和点B(－23，1)．


x
2< br>y
2
例6.如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在椭圆上，F
1
，F
2
为椭圆的两个焦点，且∠PF
1
F
2
＝120°，
43
求△PF
1
F
2
的面积．



【基础达标】
一、选择题
x
2
y
2
1．椭圆
＋＝1的焦点坐标为( )
16925
A．(5,0)，(－5,0) B．(12,0)，(－12,0) C．(0,12)，(0，－12) D．(13,0)，(－13,0)
2．(2016·齐齐哈尔 高二检测)对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx
2
＋ny
2
＝1的曲 线是椭圆”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
x
2
y
2
3．过点(3，－2)且与椭圆
＋＝1有相同焦点的椭圆的方程是( )
94
x< br>2
y
2
x
2
y
2
x
2
y< br>2
x
2
y
2
A.
＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1
15100225

4． 已知A(0，－1)、B(0,1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是( ) < br>x
2
y
2
y
2
x
2
x
2< br>y
2
y
2
x
2
A.
＋＝1(x≠±2) B．＋＝1(y≠±2) C.＋＝1(x≠0) D．＋＝1(y≠0) 43434343
x
2
y
2
5．若方程
2
＋＝ 1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
a
a＋6
A．a＞3 B．a＜－2 C．a＞3或a＜－2 D．a＞3或－6＜a＜－2
二、填空题
x
2
y
2
6．椭圆
＋＝1的焦距是2 ，则m的值是________．
m4
y
2
x
2
7．若方 程
＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
6－kk－2
sin A＋sin B
5
8．在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(－4,0)，且
＝， 则△ABC的顶点C的轨迹方程为________．
sin C4
三、解答题
9 ．已知椭圆的中心在原点，两焦点F
1
，F
2
在x轴上，且过点A(－4,3 )．若F
1
A⊥F
2
A，求椭圆的标准方程．






10．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝
的值不变，求曲线E的方程．






[能力提升]
x
2
y
2
1．已知曲线C：
＋＝－1，则“4≤k＜5”是“曲线C表示焦点在 y轴上的椭圆”的( )
k－53－k
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
→→
x
2
y
2
2．若点O和点F分别为椭圆
＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP
的最大值为( )
43
A．2 B．3 C．6 D．8
x
2
2
3．(2016·哈尔滨 高二检测)已知椭圆
＋y＝1的焦点为F
1
，F
2
，设P(x
0
，y
0
)为椭圆上一点，当∠F
1
PF
2
为直
5
角时，点P的横坐标x
0
＝________.

2< br>，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|＋|PB|
2

第九 讲 椭圆的简单性质

1．掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短轴、离心率的概念，理解椭圆的范围和对称性．(重点)
2．掌握已知椭圆标准方程时a，b，c，e的几何意义及其相互关系．(重点)
3．用代数 法研究曲线的几何性质，在熟练掌握椭圆的几何性质的过程中，体会数形结合的思想．(难点)

知识点
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形

标准方程
对称性
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
离心率

|F
1
F
2
|＝
c
e＝
(0＜e＜1)
a



短轴长＝ ，长轴长＝

x
2
y
2
＋＝1(a＞b＞0)
a
2
b
2

y
2
x
2
＋＝1(a＞b＞0)
a
2
b
2
对称轴 ，对称中心



考点一 椭圆的几何性质
x
2
y
2
x
2
y
2
例1(1)椭圆＋＝1与＋＝1(0＜k＜9)的( )
259
9－k25－k
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
x
2
y
2
(2)已知椭圆的标准方程为
＋＝1，则椭圆上的点P到椭圆中心|OP|的范围为( )
10064
A．[6,10] B．[6,8] C．[8,10] D．[16,20]

(3)椭圆4x
2
＋9y
2
＝36的长轴长为________．短轴长为________．
【名师指津】
由椭圆方程探究简单性质时，需先看所给方程是否为标准方程，这是依据方程求 参数a，b，c值的关键，
进而可研究椭圆的性质．




考点二 由椭圆简单性质求方程
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
1
(1)焦点在y轴上，a＝2，离心率e＝
2
；
(2)一焦点坐标为(－3,0)，一顶点坐标为(0,5)；
6
(3)过点(3,0)，离心率e＝
3
.


【名师指津】
已知椭圆的简单性质求标准方程：
(1)先审题，看题目的条件能否 确定焦点所在的坐标轴：在椭圆的性质中，焦点的位置、长轴(或短轴)
的位置、长轴(或短轴)的端点 坐标都可以确定焦点所在的坐标轴；一个顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率
等不能确定焦点所在的坐标 轴，此时需分焦点在x轴上或在y轴上进行讨论．
c
(2)然后依据关系式e＝
，b
2
＝a
2
－c
2
确定a，b(a
2
，b< br>2
)的值，从而求出椭圆的标准方程．
a

练习1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦距为8，离心率为0.8；
(2)长轴是短轴的3倍，且经过点(3,0)．


考点三 求椭圆的离心率
例3.已知F
1
，F
2
是椭圆的两个焦点，过F
1
且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF
2
是正三
角形，求该椭圆的离心率．

【名师指津】
求椭圆的离心率通常有两种方法：
c
(1) 若给定椭圆的方程，则根据焦点位置先求a
2
、b
2
，再求出a、c的值，利 用公式e＝直接求解；
a
(2)若椭圆的方程未知，则根据条件建立a、b、c之间的关系式 ，化为关于a、c的齐次方程，再将方程
两边同除以a的最高次幂，得到e的方程，解方程求得e.

练习1．将本例中条件“过F
1
且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两 点，若△ABF
2
是正三角形”改为
“A为y轴上一点，且AF
1
的 中点B恰好在椭圆上，若△AF
1
F
2
为正三角形”．如何求椭圆的离心率？




x
2
y
2
10
例4.已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则实数k的值为( )
5k5
2515
A．3 B．3或
C.5 D．15或
33

课堂练习
1．椭圆x
2
＋my
2
＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值是( )
11
A.
B．
C．2 D．4
42
x
2
y
2
2．已知椭圆
2
＋
2
＝1(a>b>0)有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )
ab
A．(±3，0)
C．(±5，0)
B．(0，±3)
D．(0，±5)
3．设椭圆的两个焦点分别为F
1
，F
2
，过F
2
作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F
1
PF
2
为等腰直角三角形，
则椭圆的离心率为( )
A.
2－1
2
B．
C．2－2 D．2－1
22
4．已 知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为________．
5．已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e＝
3
，且过P(2,3)，求此椭 圆的标准方程．
2

【基础达标】
一、选择题
x
2
y
21．若点P(a,1)在椭圆
＋＝1的外部，则a的取值范围为( )
23
2323
?
23
??
23
?
A.
?
－ B.
?
－∞，－
∪
，，＋∞

3< br>?
3
??
3
?
3
??
44
，＋∞< br>?
D.
?
－∞，－
?

C.
?
3
??
3
??
x
2
y
2< br>2．(2016·湖南岳阳检测(二))已知椭圆
2
＋
2
＝1(a＞b ＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF
ab
→→
⊥x轴，直线AB 交y轴于点P.若AP＝2PB，则椭圆的离心率是( )
A.
3211
B．
C. D．

2232
3
，且椭圆G上一点到
2
3．(2016·江西西安一模)已知椭圆G的中心在坐标原 点，长轴在x轴上，离心率为
其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为( )
x< br>2
y
2
x
2
y
2
x
2
y< br>2
x
2
y
2
A.
＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1
3699364994
4．椭圆(1－m)x
2
－my
2
＝1的长轴长为( )
21－m2m－12－m
－2－－m
A. B． C．－ D．

m
1－mm－11－m
x
2y
2
5．(2015·福建高考)已知椭圆E：
2
＋
2
＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0
ab
4交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值 范围是( )
5
A.
?
0，
?
33
3
?
3
0，
?
C.
?
，1
?
D．
?
，1
?

B．
?
?4
??
4
?
2
??
2
?
二、填空题
6．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方 程是
______________________．
x
2
y
2
x
2
y
2
7．椭圆
2
＋
2
＝1和
2
＋
2
＝k(k＞0，a＞0，b＞0)具有________．
abab
①相同的顶点；②相同的离心率；③相同的焦点；④相同的长轴和短轴．
4
8．焦点在x轴上的椭圆，焦距|F
1
F
2
|＝8，离心率为
，椭圆上的点M到焦点F
1
的距离2，N为MF
1
的中点，
5则|ON|(O为坐标原点)的值为________．
三、解答题
9．已知椭圆mx
2
＋(m＋3)y
2
＝m(m＋3)(m＞0)的离心率e＝
标、顶 点坐标．
x
2
y
2
3
10．已知椭圆
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
ab2< br>3
，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐
2

(1)求该椭 圆的方程；
→→
(2)若P是该椭圆上的一个动点，F
1
、F
2< br>分别是椭圆的左、右焦点，求PF
1
·PF
2
的最大值与最小值．
【能力提升】
x
2
y
2
1．(2016·北京高二检测 )若直线ax＋by＋4＝0和圆x
＋y＝4没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆＋
9 4
22
＝1的公共点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．需根据a，b的取值来确定
x
2
y
22．(2016·广州二模)设F
1
，F
2
分别是椭圆C：
2< br>＋
2
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF
1
ab
的中点在y轴上，若∠PF
1
F
2
＝30°，则椭圆的离心率为 ( )
113
A. B．
C.
636
D．
3

3
3．如图，椭圆的中心在坐标原点 O，顶点分别是A
1
，A
2
，B
1
，B
2
，焦点分别为 F
1
，F
2
，延长B
1
F
2
与A
2
B
2
交于P点，若∠B
1
PA
2
为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为________．


x
2< br>y
2
4．(2015·重庆高考)如图3?1?3，椭圆
2
＋
2
＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，过F
2
的直线交椭圆于P，
ab
Q两点，且PQ⊥PF
1
.


(1)若|PF
1
|＝2＋2，|PF
2
|＝2－2，求 椭圆的标准方程；
(2)若|PF
1
|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.

第十讲 抛物线（一）

1．理解抛物线的定义及其标准方程的形式．(重点)
2．了解抛物线的焦点、准线．(重点)
3．掌握抛物线标准方程的四种形式，并能说出各自 的特点，从而培养用数形结合的方法处理问题的能力及
分类讨论的数学思想．(难点)

知识点一抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集 合叫作抛物线，定点F叫作抛物线的
焦点，定直线l叫作抛物线的准线．

知识点二 抛物线的标准方程
图形

标准
方程
焦点
坐标
准线
方程

考点一求抛物线的标准方程
例1.求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；
(3)已知抛物线焦点在y轴上，焦点到准线的距离为3.

【名师指津】
求抛物线标准方程的方法有：
(1)定义法，求出焦点到准线的距离p，写出方程．
(2)待定系数法，若已知抛物线的焦 点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点
位置不确定，则要分情况讨论．另 外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y
2
＝ax(a≠0)，焦点在y轴上
的抛 物线方程可统一设成x
2
＝ay(a≠0)．
练习1．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为( )
A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线
2
练习2.已知抛物线的准线方程为y＝
.则抛物线的标准方程为________．
3

考点二 抛物线的焦点坐标和准线
例2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程．
(1)y
2
＝4x； (2)x
2
＝－3y； (3)4x＋5y
2
＝0; (4)x＝ay
2
(a≠0)．



【名师指津】 < br>已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，先看抛物线方程是否是标准方程，若不是，需化方程为标准方< br>程．依据标准方程，(1)由一次项的符号确定抛物线的开口方向，可得焦点和准线的位置；(2)由一次 项的系
p
数确定2p(大于0)的值，求出p，进而得到
.由此可得焦点坐标和准线方 程．
2
练习1．将本例(4)的方程改为“x
2
＝ay(a≠0)”，求其 焦点坐标和准线方程．




考点三 抛物线的实际应用
例3一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽
为a m，求使卡车通过的a的最小整数值．


【名师指津】
1．解答本题的 关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母
等)表达、 分析、解决问题．
2．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴 建立坐标系．这样可使
得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单， 便于应用．

练习1
．
某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米 ，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最
长支柱的长．





思考
问题1 在抛物线的定义中，如果去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？
问题2 抛物线的定义经常被归纳为“一动三定”，其指的是什么？
问题3 抛物线标准方程中的参数P的几何意义是什么？它有什么作用？
问题4 如何记忆抛物线的四种标准方程？



例4.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．




【课堂练习】
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)标准方程y
2
＝2px(p＞0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．( )
(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．( )
(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．( )
2．(2016·长春高二检测)抛物线y＝2x
2
的焦点坐标是( )
A．(1,0) B．
?
?
0，
1
4
?
?
C.
?
1
?
4
，0
?
?
D．
?
1
?
0，
8
?
?

3．( 2015·石家庄调研)若抛物线y
2
＝2px上一点P(2，y
0
)到其准 线的距离为4，则抛物线的标准方程为(
A．y
2
＝4x B．y
2
＝6x C．y
2
＝8x D．y
2
＝10x
4．抛物线y＝ax
2
的准线方程是y＝2，则a的值是________．
5．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
(2)焦点到准线的距离为
5
2
.


)

【基础达标】
一、选择题
1．(2015·陕西高考)已知抛物线 y
2
＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )
A．(－1,0)
C．(0，－1)
B．(1,0)
D．(0,1)
2．(2016·广东广州综合检测)设抛物线C：y
2
＝ 4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的
距离是( )
A．4
C．6
B．5
D．7
3．(2016·湖北模拟)抛物线C：y
2
＝2px(p＞0)的焦点为F，M为抛物线C上一点，若△OFM的外接圆与抛物
线C的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p＝( )
A．2
C．6
B．4
D．8
4．若动圆与圆(x－2)
2＋y
2
＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．y
2
＝8x
C．y
2
＝4x
B．y
2
＝－8x
D．y
2
＝－4x
5．已知 抛物线y
2
＝2px(p＞0)的焦点为F，点P
1
(x
1
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)，P3
(x
3
，y
3
)在抛物线上，且2x
2
＝x
1
＋x
3
，
则有( )
A．|P
1
F|＋|P
2
F|＝|FP
3
| B．|P
1
F|
2
＋|P
2
F|
2
＝ |P
3
F|
2

C．2|P
2
F|＝|P
1
F|＋|P
3
F| < br>D．|P
2
F|
2
＝|P
1
F|·|P
3< br>F|
二、填空题
6．若抛物线y
2
＝2px
x
2
y
2
的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________．
6 2
7．(2016·广州高二检测)已知圆x
2
＋y
2
－6x－7＝ 0与抛物线y
2
＝2px(p＞0)的准线相切，则抛物线的准线方程
为______ __．
8．(2016·河北邢台二模)已知P是抛物线y
2
＝4x上的动点，过P 作抛物线准线的垂线，垂足为点M，N是圆
(x－2)
2
＋(y－5)
2＝1上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值是________．
三、解答题
9． 已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y
2
＝2x上移动，M为AB的中点，求M点到y 轴的最短距
离．

< br>10．如图，已知抛物线y
2
＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4 ，且位于x轴上方的点，A到抛
物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点 为M.
(1)求抛物线方程；
(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．





【能力提升】
→→
1．设O为坐标原点，F 为抛物线y
2
＝4x的焦点，A为抛物线上一 点，若OA
·AF
＝－4，则点A的坐标是( )
A．(2，±22)
C．(1,2)
B．(1，±2)
D．(2,22)
1
2．正 方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长 为1，点M在棱AB上，且AM＝
，点P是平面ABCD上的动点，且点P
3
到直线A
1
D
1
的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则点P的轨迹是( )
A．抛物线
C．直线
B．圆
D．以上都不对

3． 过抛物线y＝4x
2
的焦点作直线交抛物线于A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)两点，若y
1
＋y
2＝5，则线段AB的长为________．
4．河上有座抛物线形拱桥，当水面距离拱桥顶5m 时，水面宽为8m，一条小船宽4m，高2m，载货后船露
出水面上的部分高0.75m，问：水面上涨 到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？

第十一讲 抛物线的简单性质

1．了解抛物线的轴、顶点、离心率、通径的概念．(重点)
2．掌握抛物线上的点的坐标的取值范围、抛物线的对称性、顶点、离心率等简单性质．(重点)
3．会用顶点及通径的端点画抛物线的草图．(难点)

知识点一 抛物线的简单性质

2px
类型
y
2
＝
y
2
＝－2px
x
2
＝2py
x
2
＝－2py
(p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
图形





焦点



准线



范围


对称轴


顶点

性质
离心
率

开口
方向

通径


考点一 抛物线的性质及应用
例1(1)等腰直角△A BO内接于抛物线y
2
＝2px(p＞0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面 积是(
A．8p
2
B．4p
2
C．2p
2
D．p
2



)

(2)(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y
2
＝8x的焦点为 F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个
→→
交点．若FP＝4FQ，则|QF |＝( )
75
A. B．3 C. D．2
22
(3)对称轴是x轴，焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程为________．


【名师指津】
1．求抛物线的标准方程的步骤可用如下框图表示：

2． 需对焦点在直线上、焦点为椭圆的焦点、准线过椭圆的焦点等予以关注，此时，可能有两个焦点或准线
方 程，相应的抛物线的标准方程也就有两个．

练习1．边长为1的等边三角形AOB，O为原 点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y
2
＝

考点二 抛物线焦点弦问题
例2.斜率为1 的直线l经过抛物线y
2
＝4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
3333
x B．y
2
＝－
x C．y
2
＝±
x D．y
2
＝±
x
6663

【名师指津】
p
1．抛物线y
2
＝2px(p>0 )的焦点是F，点A(x
0
，y
0
)是抛物线上任一点，则|AF|＝x0
＋.
2
2．与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时， 需依据抛物线的标准方程，确定
弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点坐标的和还 是交点坐标的差．这是正确解题的
关键．

练习1．过抛物线y
2
＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，如果x
1
＋x
2
＝8，则|AB|的值为( )
A．10 B．8 C．6 D．4

考点三 抛物线中的最值问题
例3.(1)已知P是抛物线y
2
＝4x上一点，F为抛物线的焦点，求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－
1 的距离之和的最小值；
(2)求抛物线y＝4x
2
上一点，使它到直线l：4x－y －5＝0的距离最短，并求此距离．








【名师指津】
(1)若曲线与直线相离，在曲线上求一点到直线的距 离的最小问题，可找与已知直线平行的直线，使其
与曲线相切，则切点为所要求的点．(2)利用抛物线 的定义将问题转化为“两点之间线段最短”或“点到直
线的垂线段最短”来解决，这种方法在解题中有着 广泛的应用，要深刻体会．

练习1．已知抛物线y
2
＝2x的焦点是F， 点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并
求出取最小值时P点 的坐标．




p
?
例4.已知抛物线y2
＝2px(p＞0)，直线l过抛物线焦点F
?
?
2
，0?
与抛物线交于A，B两点．求证：以AB为直
径的圆与抛物线的准线相切．

思考
探究1 怎么快速、准确地画出抛物线的简图？

探究2 抛物线y
2
＝2px(p＞0)是有界曲线吗？
探究3 抛物线上 的点P(x
0
，y
0
)与焦点F之间的线段称为焦半径，记作r＝|PF|. 根据抛物线的定义，你能写
出焦半径公式吗？
探究4 设AB是过抛物线y
2
＝2px(p＞0)的焦点F的弦，其中A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)．你能总结有关焦点弦的
结论吗？
探究5 过抛物线焦点的直线一定会与抛物线相交形成焦点弦吗？
1
探究6 已知抛物线y
2
＝
x，则弦长为定值1的焦点弦有几条？
2

课堂练习
1．过抛物线y
2
＝4x的焦点作一直线与抛物线交于A、B两点 ，且|AB|＝5，则这样的直线( )
A．有且只有一条
C．有无穷多条
B．有且只有两条
D．不存在
2．将两个顶点在抛物线y
2
＝2 px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角个数记为n，则( )
A．n＝0
C．n＝2
B．n＝1
D．n≥3
3．抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其通径的两端与顶点连成的三角形的面积为4，则此抛物线的方
程是( )
A．y
2
＝82x
C．y
2
＝±4x
B．y
2
＝±42x
D．y
2
＝±82x
4． 若点P在抛物线y
2
＝x上，点Q在圆(x－3)
2
＋y
2
＝1上，则|PQ|的最小值为________．

5．定长为3的线段AB的端点A、B 在抛物线y
2
＝x上移动，求AB的中点M到y轴的距离的最小值，并求
出此时AB中 点M的坐标．


【基础达标】
一、选择题
1．(2016· 河南中原联考)过抛物线y＝ax
2
(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，若线 段AF、BF的
mn
长分别为m，n，则等于( )
m＋n
11a
A.
B． C．2a D．
2a4a4

k
2．(2016·全国甲卷 )设F为抛物线C：y
2
＝4x的焦点，曲线y＝
(k＞0)与C交于点P，PF⊥x 轴，则k＝( )
x
13
A.
B．1 C． D．2
22
→
3．设O是坐标原点，F是抛物线y
＝2px(p＞0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60°，
2
则|OA|为( )
21211313
A.p B．p C.p D．p
42636
4．过点P(4,4)与抛物线y
2
＝2x只有一个公共点的直线有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
5．设F为抛物线y
2
＝4x< br>→→→→→→
的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA
|＋|FB|＋|FC|＝( )
A．9 B．6 C．4 D．3
二、填空题
6．已知抛物线的离心率为e，焦点为(0，e)，则抛物线的标准方程为________．
7．已知A(2,0)，点B为抛物线y
2
＝x上的一点，求|AB|的最小值为_____ ___．
→→
8．(2016·长沙高二检测)已知定点A(－3,0)，B(3,0)，动 点P在抛物线y
2
＝2x上移动，则PA
·PB
的最小值等于
___ _____．
三、解答题
x
2
y
2
9．抛物线的顶点在 原点，对称轴是椭圆
＋＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛
49
物线的方程及准线方程．






10． 若抛物线y
2
＝2px(p>0)上有一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求点M的 横坐标．

【能力提升】
1．过抛物线y
2
＝4x的焦点F 的直线交抛物线于A，B两点，点O为原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )
A.


2．如图3?2?2，过抛物线y
2
＝2px(p ＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，
且|AF| ＝3，则此抛物线的方程为( )
232
B．2 C.
D．22
22

A．y
2
＝9x B．y
2
＝6x C．y
2
＝3x D．y
2
＝3x
3．(2 016·山东济南期末考试)已知定点Q(2，－1)，F为抛物线y
2
＝4x的焦点，动点P 为抛物线上任意一点，
当|PQ|＋|PF|取最小值时，P的坐标为________．




4．过抛物线y
2
＝2px(p＞0)的焦点F的直 线交抛物线于A，B两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．求
证：直线AC经过原点O.

第十二讲 双曲线及其标准方程

1．掌握双曲线的定义及其应用．(重点)
2．掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点)
3．会求双曲线的标准方程．(易混点)

知识点一 双曲线的定义
我们把平面内到两定点F
1
、F
2
的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F
1
F
2
|)的 点的集合叫作双曲线．
定点F
1
、F
2
叫作双曲线的焦点，两个焦 点之间的距离叫作双曲线的焦距．
知识点二 双曲线的标准方程

焦点在x轴上
x
2
y
2
－＝1
a
2
b
2
标准方程
(a>0，b>0)
焦点在x轴上
焦点坐标
a，b，c的关系
(－c,0)，(c,0)
焦点在y轴上
y
2
x
2
－＝1
a
2
b
2
(a>0，b>0)
焦点在y轴上
(0，－c)，(0，c)
c
2
＝a
2
＋b
2


考点一双曲线的定义及应用
例1.下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)．
①已知定点 F
1
(－1,0)，F
2
(1,0)，则满足|PF
1
|－ |PF
2
|＝2的点P的轨迹为双曲线；
②已知定点F
1
(－2, 0)，F
2
(2,0)，则满足||PF
1
|－|PF
2
| |＝4的点P的轨迹为两条射线；
③到定点F
1
(－3,0)，F
2
(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线；
④若点P到定点F
1
(－4,0)，F
2
(4,0)的距离的差的绝对值等于点M(1,2)到点N(－3，－1) 的距离，则点P的轨
迹为双曲线．

x
2
y
2
例2如图 ，若F
1
，F
2
是双曲线
－＝1的两个焦点．
916

(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是 双曲线左支上的点，且|PF
1
|·|PF
2
|＝32，试求△F
1
PF
2
的面积．




【名师指津】
1．求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果； 若
已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF
1
|－|PF
2
|| ＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，
且所求距离应该不小于c－a)． 2．在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF
1
|－ |PF
2
||＝2a的应用；其次是
要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知 识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的
应用．
x
2
y2
练习1．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F
1
、F
2
， 若双曲线上一点P使得∠F
1
PF
2
＝60°，求△F
1
P F
2
916
的面积．





考点二 求双曲线的标准方程
例3根据下列条件求双曲线的标准方程．
x
2
y
2
(1)求以椭圆
＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－ 5)的双曲线的标准方程；
169
(2)已知双曲线通过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．

【名师指津】
求双曲线标准方程的常用方法：
(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲 线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程．
(2)用待定系数法，具体步骤如下：

练习2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，经过点(4，－2)和(26，22)；
(2)a＝25，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上．





考点三 求双曲线的轨迹方程
例4已知动圆M与圆C
1
：(x ＋4)
2
＋y
2
＝2外切，与圆C
2
：(x－4)
2
＋y
2
＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．







【名师指津】
1．本题易忽略|MC
1
|－|MC
2
|＝22没有“绝对值”，故忘加“x≥2”这一条件．
2． 求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，
这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，< br>弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，需用变量的范围确定．

1
练习3．在△ABC中，B(4,0)，C(－4,0)，动点A满足sin B－sin C＝
sin A．求点A的轨迹．
2








思考
探究1 双曲线定义中的“的绝对值”能否去掉？
探究2 设点M是双曲线上的任意一点，F
1
，F
2
分别是双曲线的左、右焦点，如何确定|MF
1
|－|MF
2
|的符号？
x
2
y
2
y
2
x
2
探究1 双曲 线的标准方程
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)和
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)有何异同点？
abab
探究2 椭圆、双曲线的定义及标准方程之间有什么区别？

椭圆
到两个定点F
1
，F
2
的距离之
定义 和等于常数(大于|F
1
F
2
|)的点
的轨迹
标准方程
(焦点在
x轴时)
x
2
y
2
＋＝1(a＞b＞0)
a
2
b
2
x
2
y
2
－＝1(a＞0，b＞0)
a
2
b
2
双曲线
到两个定点F
1
，F< br>2
的距离之
差的绝对值为定值(小于|F
1
F
2
|< br>且大于零)的点的轨迹


x
2
y
2
例5 设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，则此双曲线的标
273 6
准方程为________．

x
2
y
2
练习 4．已知某双曲线与－＝1共焦点，且过点(32，2)，则此双曲线的标准方程为________．
164



课堂练习
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )
x
2
y
2
(2)在双曲线标准方程
2
－
2
＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.( )
ab
(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.( )

x
2
y
2
2．(2016·长春高二检测)双曲线
－＝1的焦距为 ( )
97
A.2 B．22 C.4 D．8
x
2
y
2
3．(2016·安庆高二检测)已知点F
1
，F
2
是双曲线
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0 )的左、右焦点，点P是双曲线上的一
ab
→→
点，且PF
1
·PF
2
＝0，则△PF
1
F
2
的面积为( )
1
A．ab B．ab C．b
2
D．a
2

2
4 ．双曲线的焦点在x轴上，且a＋c＝9，b＝3，则双曲线的标准方程为________．


5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)已知焦点F
1
(0，－6)，F
2
(0,6)，双曲线上的一点P到F
1
，F
2< br>的距离差的绝对值等于8；
(2)c＝6，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上．










【基础达标】
一、选择题
1．已知点F
1
(0，－13)，F< br>2
(0,13)，动点P到F
1
与F
2
的距离之差的绝对值为 26，则动点P的轨迹方程为( )
A．y＝0
C．x＝0(|y|≥13)
B．y＝0(|x|≥13)
D．以上都不对
x
2
y
2
2．已知方程
－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )
1＋k1－k
A．－1＜k＜1 B．k＞0 C．k≥0 D．k＞1或k＜－1
x
2
y
2
3．(2015·福建高考)若双 曲线E：
－＝1的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，点P在双曲线E上 ，且|PF
1
|＝3，
916
则|PF
2
|等于( )
A．11 B．9 C．5 D．3
4． 已知F
1
，F
2
为双曲线C：x
2
－y
2
＝2的左、右焦点，点P在双曲线上，|PF
1
|＝2|PF
2
|，则cos ∠F
1
PF
2
＝( )
1334
A. B． C. D．

4545

1
5．已知点F
1
(－2，0)，F
2
(2，0)，动点P 满足|PF
2
|－|PF
1
|＝2，当点P的纵坐标为
时，点P到坐 标原点
2
的距离是( )
36
A.3 B． C. D．2
22
二、填空题 6．若双曲线8kx
2
－ky
2
＝8的一个焦点坐标是(0,3)，则实 数k的值为________．
x
2
y
2
x
2
y
2
7．若椭圆
＋＝1(m＞n＞0)和双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点 F
1
，F
2
，P是它们的一个公共点，
mnab
则|PF< br>1
|·|PF
2
|＝________.
8．(2016·山东济宁 调研)P为双曲线x
2
－
y
2
＝1右支上一点，M、N分别是圆(x ＋4)
2
＋y
2
＝4和圆(x－4)
2
＋y
215
＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．
三、解答题
9.如图 ，已知定圆F
1
：x
2
＋y
2
＋10x ＋24＝0，定圆F
2
：x
2
＋y
2
－10x＋9＝0，动 圆M与定圆F
1
、F
2
都外切，
求动圆圆心M的轨迹方程．







10．已知双曲线过点( 3，－2)且与椭圆4x
2
＋9y
2
＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F
1
、F
2
为左、右焦点，且|MF
1
|＋|MF
2
|＝63，试判别△MF
1
F
2
的形状．

【能力提升】
1．已知F
1
(－3,0)，F
2< br>(3,0)，满足条件|PF
1
|－|PF
2
|＝2m－1的动点P的 轨迹是双曲线的一支．下列数据：
1
①2；②－1；③4；④－3；⑤，则m可以是( )
2
A．①② B．①③ C．①②⑤ D．②④

x
2
y
2
2．已知F
1
，F
2
分别为双曲线
－＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，< br>54
则|AP|＋|AF
2
|的最小值为( )
A.37＋4 B．37－4 C.37－25 D．37＋25

x
2
y
2
3．(2016·黄石高二检测)已知F是双曲线
－＝1的左焦点，A(1,4)，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|
412
＋|PA|的 最小值是________．


4．如图所示，某建筑工地要挖一个横截面为半圆 的柱形土坑，挖出的土能沿AP，BP运到P处，其中|AP|
＝100m，|BP|＝150m，∠A PB＝60°，怎样运土才能最省工？

第十三讲 双曲线的简单性质

1．结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质．(重点)
2．感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想．(难点)

知识点一 双曲线的简单性质
标准方程
x
2
y
2
－＝1(a＞0，b＞0)
a
2
b
2
y
2
x
2
－＝1(a＞0，b＞0)
a
2
b
2
图形





几
何
性
质
范围
对称性
顶点
实虚轴
离心率
渐近线
中心
对称轴
a，b，c的关系

考点一双曲线的简单性质的应用
x
2
y
2
x
2
y
2
例1(1)(2014·广东高考)若实数k满足0＜k＜9，则曲 线－＝1与曲线－＝1的( )
25
9－k25－k
9
A．焦距相等
C．虚半轴长相等
B．实半轴长相等
D．离心率相等
x
2
2
(2)已知双曲线C：
－y＝1，P为双曲线上任意一点， 设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值为________．
4
(3)双曲线4 x
2
－y
2
＝4的顶点坐标为________，离心率为________ ，渐近线方程为________．

【名师指津】
1．由双曲线方程探究简单性 质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，
这是依据方程求参数，a， b，c值的关键．
2．写顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程时，需先由方程确定焦点所在的坐标轴，否 则易出错，需注意双曲
线方程与渐近线方程的对应关系．

考点二 利用双曲线的性质求双曲线的标准方程
例2求适合下列条件的双曲线的标准方程
5
(1)顶点在x轴上，焦距为10，离心率是
；
4
3
(2)焦点在y轴上，一条渐近线为y＝x，实轴长为12；
4
(3)离心率e＝2，且过点(－5,3)．




【名师指津】
1．求双曲线方程，关键是求a，b的值，在解题过程中应熟悉a，b，c，e 等元素的几何意义及它们之
间的联系，并注意方程思想的应用．
2．若已知双曲线的渐近线方 程ax±by＝0，可设双曲线方程为a
2
x
2
－b
2
y< br>2
＝λ.

练习1．将本例(2)中“焦点在y轴上”去掉，其他不变．

考点三双曲线的离心率
x
2
y
2
例3 (1)(2014·全国卷Ⅰ)已知双曲线
2
－＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝( )
a3
A．2 B．
65
C.
D．1
22
x
2
y
2
(2)(2014·重庆高考)设F
1
，F
2
分别为双曲线
2
－
2
＝1(a＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得
ab
(|PF
1
|－|PF< br>2
|)
2
＝b
2
－3ab，则该双曲线的离心率为( )
A.2 B．15 C．4 D．17

【名师指津】
1．解决本题的关键是探寻a与c的关系．
c
2 ．求双曲线的离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e＝
；二是依据条件提供的信息建立 关
a
于参数a，b，c的等式，进而转化为关于离心率e的方程，再解出e的值．
x
2
y
2
4
练习2．已知双曲线
2
－
2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝
x，则双曲线的离心率为( )
ab3
5453
A. B．
C.
D．

3342
例4求适合下列条件的双曲线标准方程．
3
(1)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.
2
x
2
y
2
(2)经过点M(－3,23)，且与双曲线
－＝1有共同的渐近线．
916





【名师指津】
求解双曲线标准方程的难点是设双曲线方程，常用的技巧如下：
x
2
y2
x
2
y
2
①与双曲线
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)有相同渐近线的双曲线方程可设为
2
－
2
＝λ(λ ≠0)，若λ＞0，则表示焦点
abab
在x轴上的双曲线，若λ＜0，则表示焦点在y轴上的 双曲线．
x
2
y
2
x
2
y
2
y
2
x
2
②与双曲线
2
－
2
＝1(a＞0， b＞0)有相等离心率的双曲线方程可设为
2
－
2
＝λ(λ＞0)或
2
－
2
＝λ(λ＞0)．
ababab
x
2
y< br>2
x
2
y
2
③与双曲线
2
－
2＝1(a＞0，b＞0)有相同焦点的双曲线方程可设为
2
－
2
＝1(－ a
2
＜λ＜b
2
)．
ab
a
＋λ
b－λ
bx
2
y
2
④已知渐近线方程y＝±
x，双曲线方 程可设为
2
－
2
＝λ(λ≠0)，通过求λ确定双曲线方程，而无需考虑其实 、
aab
虚轴的位置．

3
练习3．双曲线的渐近线方程为y＝±
x，则离心率为( )
4
5555515
A.
B．
C.
或
D．
或
423423



思考
问题1 何为双曲线的“虚轴”？
问题2 如何确定双曲线的形状？
问题3 如何用几何图形解释c
2
＝a
2
＋b
2
？a，b，c在双曲线中分别表示哪些线段的长？
问题4 双曲线的渐近线具有什么特点？
问题5 双曲线的渐近线与双曲线的标准方程有什么关系？



课堂练习
y
2
x
2
1．双曲线
－＝1的顶点坐标为( )
49
A．(0,2)(0，－2) B．(3,0)(－3,0) C．(0,2)(0，－2)(3,0)(－3,0)

x
2
y
2
2．如图，双曲线C：
－＝1的左焦点为F
1
，双曲线上的点P
1< br>与P
2
关于y轴对称，则|P
2
F
1
|－|P
1
F
1
|的值
910
是( )
A．3 B．6 C．4 D．8
D．(0,2)(3,0)

3．(2014·全国卷)已知双曲线C的离心率为2 ，焦点为F
1
，F
2
，点A在C上．若|F
1
A|＝2|F
2
A|，则cos ∠AF
2
F
1
＝( )
1122
A. B． C. D．

4343
x
2
y
2
4．设F
1，F
2
分别是双曲线
2
－
2
＝1的左、右焦点，若双曲 线上存在点A，使∠F
1
AF
2
＝90°且|AF
1
|＝3 |AF
2
|，
ab
则双曲线的离心率为________．

x
2
y
2
x
2
y
2
5．(2016·大庆高二检测)已知双曲线
2
－
2
＝1(a＞ 0，b＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心
ab1611
率是椭圆离心率的2倍 ，求双曲线的方程．






【基础达标】
一、选择题
x
2
y
2
1．若点P(2,0)到双曲线2
－
2
＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为( )
ab
A.2 B．3 C．22 D．23
2．(2015·四川高考)过双曲线
点，则|AB|＝( )
43
A. B．23 C．6 D．43
3
3．(2015·安徽高考)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x
2
－
y
2
x
2
2
y< br>2
2
x
2
2
＝1 B．－y＝1 C.－x＝1 D．y－＝1
4444
x
2
－< br>y
2
＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两
3
4．(2015·湖北高考)将离心率为e
1
的双曲线C
1
的实半轴 长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m＞0)个单位长
度，得到离心率为e
2
的 双曲线C
2
，则( )
A．对任意的a，b，e
1
＞e
2

B．当a＞b时，e< br>1
＞e
2
；当a＜b时，e
1
＜e
2

C．对任意的a，b，e
1
＜e
2

D．当a＞b时，e< br>1
＜e
2
；当a＜b时，e
1
＞e
2
5．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双
曲线的离心率为( )
A.2 B．3 C.
二、填空题
x
2
y
2
6．过双曲线
－＝1的 左焦点F
1
的直线交双曲线的左支于M，N两点，F
2
为其右焦点，则|MF
2
|＋|NF
2
|－
43
|MN|的值为________ ．
x
2
y
2
7．(2015·湖南高考)设F是双曲线C：
2
－
2
＝1的一个焦点．若C上存在点P, 使线段PF的中点恰为其虚
ab
轴的一个端点，则C的离心率为__________． 8．若双曲线x
2
－y
2
＝1右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距 离为3，则a＋b＝________.
3＋15＋1
D．

22

三、解答题
9．已知双曲线的方程是16x
2
－9y
2
＝144.
(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F
1
和F2
是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF
1
|·|PF
2< br>|＝32，求∠F
1
PF
2
的大小．





10．已知双曲线的中心在原点，焦点F
1
，F
2在坐标轴上，离心率为2，且过点P(4，－10)．
(1)求双曲线方程；
→→(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF
1
·MF
2
＝0；
(3)在(2)的条件下，求△F
1
MF
2
的面积．





【能力提升】
→→
x
2
y
2
1．(2016·大连双基考试)已知双曲线C：
2
－
2＝1(a＞0，b＞0)的焦点为F
1
，F
2
，且C上的点P满足PF< br>1
·PF
2
ab
→→
＝0，|PF
1
|＝3 ，|PF
2
|＝4，则双曲线C的离心率为( )
A.
105
B．5 C. D．5
22
x
2
y
2
2．(2015·天津高考)已知双曲线
2
－
2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物
ab
线 y
2
＝47x的准线上，则双曲线的方程为( )
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1
2128282134
x
2
y
2
D．－＝1
43
x
2
y
2
y
2
x
2
3．双曲线< br>2
－
2
＝1，
2
－
2
＝1的离心率分别为e
1
，e
2
，则e
1
＋e
2
的最小值为__ ______．
abba
x
2
y
2
410310
?
4．已知双曲线
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点为F
1
、F
2
，点P
?
在双曲线的右支上，且|PF
1
|
ab
?
5
，
5
?
→→
＝3|P F
2
|，PF
1
·PF
2
＝0，求双曲线的标准方程．

第十四讲 圆锥曲线复习

考点一圆锥曲线的定义及应用
圆锥曲 线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定
义解题的 意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如：(1)在求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线
的定 义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三
角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决．
x
2
y2
例1.设F
1
、F
2
是椭圆
＋＝1的两个焦点，P为 椭圆上的一点，已知P、F
1
、F
2
是一个直角三角形的三个
94< br>顶点，且|PF
1
|＞|PF
2
|，求









练习1．已知点M(－3,0)、N (3,0)、B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过点M、N与圆C相切的两直线相
交于点P， 则P点的轨迹方程为( )
A．x
2
－

考点二 圆锥曲线简单性质的应用
有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握 基本公式和概念，并且充分理
解题意，大都可以顺利求解．
x
2
y
2
例2.已知椭圆
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)的左焦点为F
1
(－c,0)，A(－a,0)，B(0，b)是两个顶点，如果F
1
到直线AB< br>ab
的距离为









b
，求椭圆的离心率e.
7
y
2
y
2
y
2
y
2
222
＝1(x＞1) B．x－＝1(x＜－1) C．x＋＝1(x＞0) D．x－＝1(x＞1)
88810
|PF
1
|
的值．
|PF
2
|

x
2
y
2
x
2
y
2练习2．已知椭圆
2
＋
2
＝1和双曲线
2
－
2
＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )
3m5n2m3n
A．x＝±

考点三 直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定：
?
?
f?x，y?＝0，
直线l：f(x，y)＝0和曲线C：g(x，y)＝0的公共点坐标是方程组
?
的解，l和C 的交点的个数等
?
g?x，y?＝0
?
151533
y B．y＝±x C．x＝±y D．y＝±x
2244

于方程组不同解的个数．这样就将l和C的交点问题转化为代数的问题研究 ，对于消元后的一元二次方程，
必须讨论二次项系数和判别式Δ，若能数形结合，借助图形的几何性质则 较为简便，尤其在双曲线中要注意
渐近线的特殊性．
2．弦长公式：
(1)斜率为 k的直线被圆锥曲线截得弦AB，若A、B两点坐标为A(x
1
，y
1
)，B (x
2
，y
2
)，则|AB|＝1＋k
2
|x
1< br>－x
2
|
＝?1＋k
2
?·[?x
1
＋x< br>2
?
2
－4x
1
x
2
]或当k存在且不为零 时，|AB|＝
y
1
y
2
)根据根与系数的关系求得)．
(2)抛物线y
2
＝2px(p＞0)过焦点F的弦长|AB|＝x
1
＋x< br>2
＋p.
x
2
y
2
3
例3.已知椭圆2
＋
2
＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 为4.
ab2
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(－a,0)．
①若|AB|＝
42
，求直线l的倾斜角；
5
1
1＋2
|y
1
－y
2
|，(其中x
1
＋x
2
、x
1
x
2
(或y
1
＋y
2
、
k
→→
②若点Q(0，y
0
)在线段AB的垂直平分线上，且QA· QB
＝4，求y
0
的值．









练习3．在抛物线y
2
＝16x内，通过 点(2,1)且在此点被平分的弦所在的直线的方程是________．

考点四 曲线方程的求法
求曲线方程是解析几何的基本问题之一，其求解的基本方法有：
(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．
(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．
(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些 已知
曲线的方程写出动点的轨迹方程．
(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y )的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t
和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y ＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而
求出动点P(x，y)所 形成的曲线的普通方程，

例4.设直线y＝ax＋b与双曲线3x
2
－y
2
＝1交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点，求P(a，b)的轨迹
方程．











x
2
y
2
3
练习4．已知椭圆
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x
ab3
＋2相切．
(1)求a与b；
(2)设该椭圆的左、右焦点分别为 F
1
和F
2
，直线l
1
过F
2
且与x轴垂 直，动直线l
2
与y轴垂直，l
2
交l
1
于点
P. 求线段PF
1
的垂直平分线与l
2
的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．

考点五 圆锥曲线中的最值与定值问题
1.圆锥曲线中的最值问题
(1)平面几何法：平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．
(2)目标函数法：建立目标函数来解与圆锥曲线有关的最值问题是常规方法，其关键是选取适当变量建立目< br>标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．
(3)判别式法：对二次曲线求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式来求最值．
2．圆锥曲线中的定值问题
圆锥曲线中的定值问题的证明可以运用函数的思想方法解决．其证 明过程可总结为“变量——函数——定
值”，具体操作为：
变量——选择适当的量为变量；函 数——把要证明为定值的量表示成上述变量的函数；定值——把得到的函
数解析式化简，消去变量得到定 值．
例5如图 所示，过抛物线y
2
＝2px的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A、B两点．


(1)证明直线AB过定点；
(2)求△AOB面积的最小值．








x
2
y
2
练习5．已知椭圆
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)，B为椭圆 短轴的一个顶点，过B点作椭圆的弦BM，求弦长的最大值．
ab

考点六 数形结合思想
解析几何的本质是用方程来研究平面几何，故既要考虑曲线的形，又要考虑表示曲线的数 ，利用数来解形的
同时，要关注用形来助数．
x
2
y
2
例6 已知P(x
0
，y
0)是椭圆
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)上的任意一点，F
1
、F
2
是焦点，求证：以PF
2
为直径的圆必和
ab
以椭 圆长轴为直径的圆相内切．







练习 6．曲线
A．1
C．3
高考链接
→→
x
2
2
1．(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x
0
，y
0
) 是双曲线C：
－y＝1上的一点，F
1
，F
2
是C的两个焦点，若M F
1
·MF
2
＜
2
0，则y
0
的取值范围 是( )
A.
?
－
x
2
＋y
2
＝4与 曲线x
2
＋
y
2
＝1的交点个数为( )
9
B．2
D．4
?
33
?
332222
?
2323
?
B．
?
－，
?
C.
?
－
D．
?
－

，，
33
?
3
??
6 6
??
3
?
3
，
3
?
2．(2016·四 川高考)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y
2
＝2px(p>0)上任意一点，M是 线段PF上
的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A.
322
B． C. D．1
332
x
2
y
2
2
3．(2015·江苏 高考)如图 ，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
2
＋
2
＝1(a＞b＞ 0)的离心率为，且右焦
ab2
点F到左准线l的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直 线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，
求直线AB的方程．

x
2
y
2
4．(2015·安徽高考)设 椭圆E的方程为
2
＋
2
＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为 (a,0)，点B的坐
ab
标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|， 直线OM的斜率为
(1)求E的离心率e；
7
(2)设点C的坐标为(0，－b)， N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为
，求E的方程．
2









x
2
2
5．(2016·浙江高考)如图，设椭圆
2
＋y＝1(a>1)．
a
(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
5
.
10