球(2)-高一数学教案

【课 题】球(2)
【教学目标】
1、了解经度、纬度的概念
2、了解球面距离的概念，熟练掌握求两点的球面距离的方法.

【教学重点】

【教学难点】

【教学过程】
一、 复习引入
1、球的定义；
2、球的截面的性质；
二、 讲解新课
（一）经度与纬度
当我们把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆，赤 道是一个大
圆，其余的纬线都是小圆。
90°
60°
40°
20°
30°
0°
20°
40°
60°
90°
南回归线< br>66.5°

66.5° 北极圈
23.5°
北回归线
60 °
90°
120°150°
赤道
23.5° 南回归线
经度：某点的 经度是指经过这点的经线与地轴确定的半平面与0°经线和地轴确定的半
平面所成的二面角度数.
纬度：某点的纬度是指经过这点的球半径与赤道面所成角的度数.

如图（1）中P点的经度是∠AOB的度数或
?
AB
的度数。
?
的度数. 如图（2）中P点的纬度是∠POA的度数或
PA
北极
地轴
0
0
经线
P
北极
地轴
O
A
B
赤道
A
O
赤道
(1)
二、球面距离
(2)

以线段AB为弦作出若干圆，观察这些图中AB弦所对的劣弧的长，就会发现较大的圆
中AB弦所对的劣弧的长较小.

AB


球面距离： 在球面上，两点之间的最短距离是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长
度。这条弧长叫做两点间的球 面距离.
球面距离的计算：若设球面上两点之间的球心角为α弧度，球半径为R，则球面上两点
间的距离为|α|·R.

B
A
R
α
O
R

三、求球面上两点间的距离的几种类型与方法：
（1）两点的经度相同但纬度不同；
求法：将纬度差的绝对值乘以地球半径。
（2）两点的纬度相同但经度不同；
求法 ：先求纬度圈（小圆）中的弦长，再在大圆中求出这两点的球心角，化为弧度，再
利用l=|α|·r可 求得。
（3）两点的经度不同，纬度也不同。
求法：利用异面直线上两点间的距离公式求出 弦长，再求出这两点的球心角，化为弧度，
再利用l=|α|·r可求得。
求两点球面距离的关键是：先求出过此两点的大圆的劣弧所对的圆心角（球心角）。
三、 例题讲解
??
【例1】 我国首都靠近北纬
40
纬线，求北纬
40
纬线的长度等于多少
km
？（地球半径大
约为
6370km
）
解：如图，
A
是北纬
40
上一点，
AK
是它的 半径，
∴
OK?AK
，
设
C
是北纬
40
的纬线长，
∵
?AOB??OAK?40
，
?
?
?

< br>∴
C?2
?
?AK?2
?
?OA?cos?OAK?2
?
?OA?cos40

?
?2?3.14?6370?0.7660?3 .066?10
4
(km)

答：北纬
40
纬线长约等于
3.066?10km
．
【例2】 在北纬
45
圈上有
A,B
两点，设该纬度圈上
A ,B
两点的劣弧长为
地球半径），求
A,B
两点间的球面距离
?< br>4
?
2
?
R
（
R
为
4
B< br>R
O'
A
2
解：设北纬
45
圈的半径为
r< br>，则
r?R
，
4
?
O
设
O
?为北纬
45
圈的圆心，
?AOB
?
?
?
， < br>?
∴
?
r?
∴
?
?
22
2
R
?
?
?
R
，
?
R
，∴
24< br>4
，∴
AB?
?
2
2r?R
，
∴
?ABC
中，
?AOB?
?
3
，
所以，
A,B
两点的球面距离等于
?
3
R
． 说明：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求
出这两点 的球面距离
【例3】 A地在东经140
0
北纬60
0
，B地在东 经20
0
北纬30
0
，求A、B两地的球面距离（地
球的半径为R） 。
O
2
B
H
O
解：在RtΔOO
1
A中，
R
3
O
1
A=R
cos30
0
?R
OO
1
?

2
2
R
3
在RtΔOO2
B中，
O
2
B?Rcos60?
，
OO
2< br>?R

2
2
0
O
1
A
作BH垂直平 面圆O
1
于H点，则BH=O
1
O
2
=
O
1
H?O
2
B?
R

2
3?1
R

2
在直角三角形AHO
1
中，由余弦定理得：
AH
2?O
1
A
2
?O
1
H
2
?2O
1
A?O
1
Hcos(140
0
?20
0
)?( 1?
3
2
)R

4

AB
2
?AH
2
?BH
2
?(2?
3
2
)R

4
33
R
。 ，所以，AB两点的距离为
arccos
88
在三角形AOB中，
cosAOB?
四、 课堂练习
1、球
O直径为
4
，
A,B
为球面上的两点且
AB?23
，则< br>A,B
两点的球面距离
为
?
4
?
．
3
2、北纬
60
圈上
M,N
两地，它们在纬度圈上的弧长是
的球面距离为 ．
?
?
R
2
（
R
为地球半径），则这两地间
?

3
??
3、北纬
45
圈上有
A,B
两地，
A在东径
120
，
B
在西径
150
，设地球半径为
R
，
A,B
两
地球面距离为 ；
?
?
3
R

4、一个球夹在
120
二面 角内，两切点在球面上最短距离为
?
cm
，则球半径为 ；
3cm

5、设地球的半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度相差 90°，那么这两点间
的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．
解：连结
AB
．设地球球心为
O
，北纬45°圈中心为
O< br>1
，则
O
1
O
⊥
O
1
A
，
O
1
O
⊥
O
1
B
．
∴
?O
1
AO??O
1
BO??AOC?45
．
∴
O
1
A
＝
O
1
B
＝
O
1
O
＝
OA?cos45
＝
?
?
2
R．
2
∴ 两点间的纬线的长为：
?
2
?
22
R?R
．
24
∵
A
、
B
两点的经度相差90°，
∴
?AO
1
B?90
．
在
Rt△AO
1
B
中，
AB?
?
2AO
1
?R
，
∴
OA?AB?OB
，
?AOB?
∴ 两点间的球面距离是：

?
3
．
?
3
R
．

五、

小结
六、 课外练习
22
，求A，B两地的球面距
3
1、在北纬30°圈上两地A，B的经度差为锐角β，若
sin
?
?
离。
解：在直角三角形ABO
1
中，O
1
A=Rcos30
0
=
3
R
2
O
1
A
O
B?
3
3
Rsin=
3R
=R,
3
2
2
?
R
故∠AOB=60
0
，∴AB的距离为
3
∴AB=2
2、纬度为α的纬度圈上有A，B两点，这两点在纬度圈上的弧长为πRcosα（R为地球 半
径），求这两点间的球面距离。（π－2α）R
解：如上图，O
1
A=Rcosα故AB弧=∠AOB·Rcosα.
从而∠AOB=π，即AB为圆O的直径，故∠AOB=2π－α。