高中数学 抛物线教案

抛物线的几何性质教案
一、要点归纳
1.抛物线的概念
平面内与 一定点F和一条定直线l(l
不经过点
F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线 的焦点，定直线l
叫做抛物线的准线。
2.抛物线的性质:抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：
标准
方程
y
2
?2px
l

(p?0)
y



o

F






y
2
??2px
(p?0)
y


l


x
2
?2py
(p?0)
y



x
2
??2py
(p?0)

图形
x

F

o

x

F

l
o

x


焦点
坐标
准线
方程
范围
对称
性
顶点
离心
率
焦半
径
焦点
弦公
式
p
(,0)

2
p
x??

2
x?0

(?
p
,0)

2
p
x?

2
x?0

p
(0,)

2
p
y??

2
p
(0,?)

2
p
y?

2
y?0

y
轴
y?0

y
轴
x
轴
(0,0)

e?1

PF?
p
?x
0

2
x
轴
(0,0)

e?1

PF?
p
?x
0

2
(0,0)

e?1

PF?
p
?y
0

2
(0,0)

e?1

PF?
p
?y
0

2
AB?p?(x
1
?x
2
)

AB?p?(x
1
?x
2
)

AB?p?(y
1
?y
2
)

AB?p?(y
1
?y
2
)

3.通径：过抛物线 的焦点且垂直于对称轴的弦H
1
H
2
称为通径；通径：|H
1
H
2
|=2P
4．焦点弦：过抛物线
y
2
?2px(p?0)
焦点
F
的弦
AB
，若
A(x
1,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，
p
p
2
2
则(1)
|AF|?
x
1
+，（定 义） (2)
x
1
x
2
?
，
y
1
y
2
?
－p．（韦达定理）
2
4
(3) 弦长
A B?p?(x
1
?x
2
)
,
x
1
?x2
?2x
1
x
2
?p
,即当x
1
=x
2
时,弦长最短为2p，此时弦即为通径。
(4) 若AB的倾斜角为θ，则
AB
=
2p
（焦点弦公式与韦达定理）
2
sin
?
2
5. 直线与抛物线相交所得弦长公式
|AB |?1?k|x
1
?x
2
|?1?
2
6.点P(x
0
,y
0
)和抛物线
y?2px
(p?0)
的位置关系
2
2
(1)点P(x
0
,y
0
)在抛物线y?2px
(p?0)
内
?
y
0
<2px
0
1
|y
1
?y
2
|

2
k

2
(2)点P(x
0
,y
0
)在抛物线
y
2
?2px
(p?0)
上
?
y
0
=2px
0
2
(3)点P(x
0
,y
0
)在抛物线
y
2
?2px
(p?0)
外
?
y
0
>2px
0
7.直线与圆锥曲线的位置关系
直线 与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于
一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．
这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：



注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．
二、例题分析
[例1] 给定抛物线
解：设
∴
∵ ，
时，
时，
，此时当
，此时当
时，
时，
。

（
，设A（
）（
）（），P是抛物线上的一点，且


，试求的最小值。
） 则
∴（1）当
（2）当
[例2] 过抛物线
解：当
的焦点作倾斜角为的直线，设交抛物线于A、B两点，求
时 ，直线AB的方程为
由
当
得A（）、B（，） ∴


时，直线AB的方程为
由
设A（
∴
）、B（
得
），则



[例3] 过抛物线的 准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段
MN为直径的圆经 过抛物线的焦点？
解：抛物线的准线与对称轴的交点为（），设直线MN的方程为

由 得
∵ 直线与抛物线交于M、N两点 ∴
即，，
设M（，），N（），抛物线焦点为F（1，0）
∵ 以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点
∴ MF⊥NF ∴
又
∴
即直线的倾斜角为
解得
或
，
即
，
∴
且、

同号
时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点。
[例4] 过抛物线
解：如图所示，设A（
的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点 ，求
）、B（），AB的方程为
的值。
由
又 ∵
得
， ∴
∴


∴ ∴ 又


[例5] 如图，已知直线：交抛物线
的面积最大，并求这个最大面积。

于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使
解：由
AB的方程为
设P（
解得A（4，4）、B（1，

）为抛物线AOB这条曲线上一点，
），知，所以直线
为P点到直线AB的距离
∵
∴ ∴

从而当时，
时，

因此，当点P坐标为
[例6] 已知直线与曲线在第一象限有公共点，求的取值范围。
解：如图，易知抛物线与轴交于A（0，1）、B（0，3）
直线恒过C（），由图象及抛物线的延伸趋势可知
时满足题意 当大于零且小于BC的斜率
而，故。
[例7] 设抛物线的焦点为F，经过点F的直径交抛 物线于A、B两点，点C
在抛物线的准线上，且BC轴，证明：直线AC经过原点O。
证：因 为抛物线
所以经过点F的直线AB的方程为
代入抛物线方程得
设A（）、B（），则< br>0

上 ∴ 点C的坐标为
的焦点坐标为F（

）
∵ BC轴，且点C在准线
故直线OC的斜率为
即也是OA的斜率，所以直线AC经过原点O
[例8] 如果抛物线
解：设抛物线
上总有关于直线
上关于

对称的相异两点，试求的范围。
对称的相异两点坐标为A（）、B（）
∵ 两点都在抛物线上 ∴
（1）－（2），得
（3）代入（2），得
∵
∴

三、课堂练习
，且
∴ 的取值范围是（
∵

相异 ∴
）

（A、B两点相异）∴ （3）

x
2
y
2
??1(mn?0)
的离心率为2，有 一个焦点与抛物线
y
2
?4x
的焦点重合，则mn的值为 （ ） 1．双曲线
mn
A．316 B．38 C．163 D．83
2．已知双曲线的 中心在原点，离心率为
3
．若它的一条准线与抛物线
y
2
?4x的准线重合，则该双曲线与抛物线
y
2
?4x
的交点到原点的距离是 （ ）

A．
23?6
B．
21
C．
18?122
D．
21



4．抛物线
y?4x
2
上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A．1716 B．1516 C．78 D．0
5．过抛物线
y
2
?4x
的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 有 条.
6．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）.
①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形
7．抛物线以
y
轴为准线，且过点
M(a,b) (a?0)
，证明：不论
M
点在坐标平面内的位置如何变化，抛物线顶点的轨
迹的离心率是定值．
8. 已知抛物线
y?2px(p?0)
，过动点
M( a,0)
且斜率为
1
的直线
l
与该抛物线交于不同两点
A, B
，
|AB|?2p
，
（1）求
a
取值范围； （2 ）若线段
AB
垂直平分线交
x
轴于点
N
，求
?NA B
面积的最大值
2
练习答案：
1. A 2. B 3. D 4. B 5. 有且仅有两条 6. ②③⑤
7. 设抛物线的焦点
F
的坐标为
(x
0
,y
0
)
，根据抛物线的定义可知，点M(a,b)
到点
F(x
0
,y
0
)
的距离等 于点
M
到
y
轴
的距离，则
(x
0
?a)< br>2
?(y
0
?b)
2
?a
2
①
又设抛物线顶点
A
的坐标为
(x,y)
，∵
A
为线段
OF
的中点，则
x
0
?2x,y
0
?y
,


a
(x?)
2
(y?b)
2
222< br>2
代入①得
(2x?a)?(y?b)?a
， 即抛物线的顶点的轨迹方程为：
??1
，
2
2
a
a
4
|a|
∵
a?0
，∴抛物线顶点的轨迹是椭圆，其中长半轴长为
|a|
，短半轴长为，
2
3
a
|a|
2
3
3
2
2
?
则半焦距
c?|a|?(
为定值.
)?|a|
，所以它的离心率
e?
|a|2
22
8. （1 ）由题知
l
的方程为
y?x?a
，设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，






?
y
2
?2px
2由
?
，得
y?2py?2ap?0
，
?
y?x?a< br>p
2
∴
??4p?8ap?0
，得
a??
， ∵y
1
?y
2
?2p,y
1
y
2
??2 ap
，
2
1
2
22
∴
(y
1
? y
2
)?4p?8ap
，
|AB|?1?
2
|y
1
?y
2
|?22(p?2ap)?2p
，
k
ppp
得
a??
，∴
a
取值范围
{a|??a??}
．
424
（2）
AB
的中点
(p?a,p)
，∴线段
AB< br>垂直平分线方程：
y??x?2p?a
， ∴
N(2p?a,0)
，
1p
S
?NAB
?MN|y
1
?y
2
|? 2pp
2
?2ap?2p
2
，当
a??
时
?NAB
面积的最大值
2p
2
．
24