高一数学教案：集合的概念3

第一章 集合与简易逻辑
第一课时：§1.1集合的概念
教学 目的：①知识目标：掌握集合、子集、全集、空集的概念，熟练运用集合的各种表示方
法及集合与集合、 元素与集合的关系符号．
②能力目标：能够将两集合间的关系和方程与不等式相互转化，求解相关问题；
③情感目标： 能正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化；学会集合中的分类
思想，学会有条理的分析问 题。
教学重点、难点及其突破：集合是高中数学中最基本的概念，也是历年高考的必考点。本节
复习的重点是：(1)集合中元素的确定性、互异性和无序性；(2)表示集合的列举法、描述法和图
示法；(3)集合语言与集合思想的运用。解答集合问题，要正确理解集合的有关概念，对于用描
述法组 出的集合
xx?P
，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P．熟练掌握
集合的图形表示(即韦恩图或称文氏图)、数轴表示等基本方法，并树立借助韦恩图、数轴解决集
合问 题的意识——属于“画图意识”或“数形结合意识”这一大意识．明确集合元素的确定性、
互异性和无序 性，并注意此性质在解题中的应用。
教学方法：讲练结合法。
高考要求及学法指导：高考对 集合概念考查有两种主要方式：一是直接考查集合概念；二是
以集合为工具考查集合语言和集合思想的运 用，小题目综合化是这部分内容的一种命题趋势。解
决的关键是抓住集合中元素的三个特性，明确元素的 本身属性，正确进行“集合语言”和普通“数
学语言”的相互转化．
知识网络
??

教学过程：
一、知识点复习：
1、集合的概念：由一些确 定对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做这个集合的
元素；含有限个元素的集合叫做有限集， 含有无限个元素的集合叫做无限集．如果a是集合A的
元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不 是集合A的元素，就说a不属于A，记作
a?A
。
2、集合的表示法：
2
①列举法：如方程
x?1?0
的解集表示为{－1，1}．
2
②描述法：如方程
x?1?0
的解集表示为
xx?1?0

?
2
?
3、集合的特性：
(1)确定性 对于集合A和某一对象x，有一个明确的判断标准是x ∈A，还是
x?A
，二者
必居其一，不会模棱两可．
2
(2)互异性 集合中的相同元素只算是一个，如方程
x?2x?1?0
的两个等根
x
1
?x
2
?1
，
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用集合记为{1}，而不写为{1，1}．
(3)无序性 集合 中的元素是不排序的如集合{1，2}与{2，1}是同一个集合，（但实际上书写
时还是按一定顺序写 ，如{－l，0，1，2}而不写成{0，1，－1，2}这样写不方便）其更深刻的含
义是揭示了集合 元素的“平等地位”．
思考：{(1，2)}与{(2，1)}表示同一集合吗?
4、子集、交集、并集和补集：
(1)子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元 素都是集合B的元素，那么集合A
叫做集合B的子集，记作A
?
B(或B
?< br>A)，显然A
?
A．规这空集是任何集合的子集．即
?
?
A
如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A B(或B A)．
(2)集合相等：若A
?
B 且 B
?
A，则 A=B
(3)交集：由所有属于集合A，且属于集合B的元素组成的集合，叫做A、B的交集，记作A ∩
B ={
xx?A
且
x?B
}
(4)并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A、B的并集，记作A ∪
B，即A∩B＝{
xx?A
或
x?B
}
(5)补集：集合 A是集合U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A
的补集，记作①
C
u

A，即：
C
u

A={x│x
∈U
，且x
?
A
}
二、例题选讲：

（一）基础知识扫描
1、集合中元素具有_______ ______性、____________性、___________ 性，集合的表示方法
有__ _________、____________、____________ ，元素与集合用_______ ____________联结，集
合与集合用_____________联结，
2、已知 A=
xx?2n?1,n?Z
，B=
xx?4n?1,n?Z
，则下列结论不 正确的是( )
A.A
?
B B.B
?
A C.A=B
3、已知集合
?
x?Z
????
?
?
?
6
?N
*
?
，用另一种方法表示为 _______________________。
5?m
?
4、若
P?yy?x,x?R
，
Q?(x,y)y?x,x?R
，则( )
A.P∩Q＝
?
C.P = Q D.P
5、下列命题中真命题的个数是( )
①0 ∈
?
；②
?
∈{
?
}；③0∈{0}；④
?
?
{a}
A．1 B．2 C．3 D．4
6、集合{1，2，3}的子集共有( )
A．7个 B．8个 C．6个 D．5个
（二）典型例题分析：
第2页 共5页
?
2
??
2
?
Q

题型1：集合的基本概念．
此类问题主要有两类，一是元素和集合之间的关系问题；二是集合 与集合之间的关系问题．关
键在于化简给定的集合，确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性．然 后依据集合的有关
概念，特别是集合中元素的三个性质；对于用描述法给出的集合
x?AP(x )
，竖线前方的x是
代表元素．该集合是使命题p(x)为真的A中诸元素之集合．
例1 选择题：(1)已知集合
P?y?x?1
，Q=
yy?x?1，R=
xy?x?1
，M=
??
?
2
?
?2
??
2
?
?
(x,y)y?x
2
?1
?
，N=
?
xx?1
?
，则( )
A.P=M B.Q=R C.R=M D.Q=N
(2)定义差集
M?N?xx?M且x?N
，若A={1，2，3，4， 5}，B={2，3，6}，则B－A
等于( )
A．A B．B C．{6} D．{1，4，5}
解析 (1)集合P是 用列举法表示，只含有一个元素，即函数
y?x?1
，集合Q,R,N中的
元素全是数 ，即这三个集合都是数集．集合Q是函数
y?x?1
的值域
?
1,???
；集合N是不等
2
2
??
式的解集
?
1,? ?
?
；而集合M的元素是平面上的点，此集合是函数
y?x?1
图象上所有点组成
2
的集合．∴应选D．
(2)理解M －N属于M但不属于N的元素组成的，所以B－A的元素应属于B，但不属于A，所
以答案为C．
点评 解集合问题时，对集合元素的准确识别十分重要，不允许有丰点差错，否则将导致解
题的失败．
明确集合中元素的本身属性是解决集合问题的钥匙．
2
例2 已知
A? a?2,
?
a?0
?
,a?3a?3
，若1∈A，求实数a的值．
2
??
分析：∵1∈A．则a＋2，
?
a?1
?
，
a
2
?3a?3
都可能为1，则需分类讨论解决，且必须验
2
证。
解：①若a + 2 = 1，则a = －1，此时A = {1，0，1}与集合中元素的互异性矛盾，（舍去）
②若
?
a?1
?
＝1，则a=0或a = - 2.
2
当a=0时，A={2，1，3}，满足题意；
当a=－2时，A={0，1，1 }与集合中元素的互异性矛盾，(舍去)．
2
③若
a?3a?3
＝1，则a＝－1 或a＝－2 (舍去)．
综上所述a = 0．
点评 本例考查了集合中元素的互异性和分类讨论的思想，在解决集合的元素问题时，互异
性至关重要．
题型2：集合中元素的性质．
集合中元素具有三个特性：确定性、互异性、无序性，其中互异 性考查最多，而且考查具有
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隐蔽性．
例3 设集合
A?
?
x?y,x?y,xy
?
,B < br>x?y,x?y,0
，且A=B，求实数x和y的值
2222
??
及集 合A,B.
分析 因为集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，解此题时应注意集合的元素满足 这
三个性质．由已知条件A=B，可知0∈A，然后由此讨论求解．
解：∵A＝B，0∈B，∴0∈A
若x＋y＝0 或x－y＝0．则
x?y?0，这样集合B中有重复元素，根据集合元素，与互
异性相抵触，故x＋y≠0 ，x－y≠0 22
?
xy?0
?
xy?0
??
2222
∴< br>?
x?y?x?y
① 或
?
x?y?x?y
②
?
x?y?x
2
?y
2
?
x?y?x
2< br>?y
2
??
由①得
?
?
x?0
?
x ?0
?
x?1
?
x?0
?
x?0
?
x?1
或
?
或
?
；由②得
?
或
?
或?

?
y?0
?
y?1
?
y?0
?< br>y?0
?
y??1
?
y?0
∴ 当x=0，y=0时，x－y=0，故舍去
当x=1，y=0时，x－y=x＋y=1，故也舍去．
?
x?0
?
x?0
∴
?
或
?
∴A =B={0，1，－1 }
y?1y??1
??
点评 两个集合相等则它们的对应元素相等。如果是数集，则它们元素的和与积也相等．
题型3：子集的问题．
此类题以集合为背景，求子集的个数、集合中元素个数等，常用的解法 是：①子集个数公式；
②图示法等．
例4 (1)已知集合A满足{1，2}
?
A{1，2，3，4，5}，则所有满足条件的集合A的个数_____
(2)已知集合M满足{2，5}
?
M {1，2，3，4，5} 则不同的M的个数是____________
(3)设① A
?
{1，2，3，4 ，5，6，7}；②当
a?A
时，必有
8?a?A
，则同时满足条件①，②的非空集合A的个数为___________。
解析 (1)A中必须含有1，2两个元素 ，也可以含有3，4，5中的全部或部分元素，∴满足
条件的A有{1，2}，{1，2，3}，{1， 2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，
4，5}，{1， 2，3，4，5}
(2)记A={1，2},B={1，2，3，4，5},B={1,3,4},则 A∩B=Φ,A∪B=B,．满足条件A
?
M

B
的每一个集合M，对 应着的一个真子集．所以符合题意的集合M的个数等于集合的真子集的
个数．而的真子集共有2－１＝7 个个．所以，满足A
?
M
3
B的集合M共有7个．
4
(3 )将元素配对：(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4)，以这些元素对为元素，共有非空子集
2 ?1?15
个．
点评 ：
一般地含有n个元素的集合，有
2
个子集，
2
－1 个真子集，
2
－1个非空子集，
2
－2
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nnnn

个非空真子集．
例5 已知集合
A?xax?3x?2?0,a?R

(1)若A是空集，求a的取值范围．
(2)若A中只有一个元素，求a的值并把这个元素写出来．
(3)若A中至多有一个元素，求a的范围．
分析 讨论方程
ax
2
?3x?2?0
实数根的情况，从中确定a的取值范围， 由题意，方程
?
2
?
ax
2
?3x?2?0
有一个 实根、两个相等实根或无实根．
解 (1)若A为空集，则方程
ax
2
? 3x?2?0
无实数解，∴
??9?8a?0
，
a?
9

8
29
，符合题意；当a≠0 时，
??9?8a?0
，
a?

38
924
所求实数a=0或
a?
时，A中只有一个元素，为或
833
9
(3 )综合(1)(2)得，若A至多有一个元素，则a=0或
a?

8
(2)当a=0时，
x?
点评 “a=0”这种情况容易被忽视，对于方 程
ax
2
?3x?2?0
有两种情况，一是a=0，它
是一元一次方 程；二是a≠0，它是一元二次方程，只有在这种情况下，才存在判别式△．
题型4：应用性问题
例６ 为配合教育形式，某地一学校组织高一学生对本地农户进行抽样调查，结果如下：
电 冰箱拥有率为49％，电视机拥有率为85％，洗衣机拥有率为44％，至少拥有上述三种电器中
两种以 上的占63％，三种电器齐全的为25％，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为( )
A．10％ B．12％ C．15％ D．27％
分析 这是一个小型应用题．把各种人群看作集合，本题就是已知全集元素个数，求其某 个
子集的元素个数，可借助文氏图解法．
解 不妨设调查了100户农户，U={被调查的 100户农户}，A={100户中拥有电冰箱的农户}，
B={100户中拥有电视机的农户}，C= {100户中拥有洗衣机的农户}，
由右图知。A∪B∪C的元素个
数为49+85+44－63－25＝90．
∴
C
u
（A∪B∪C）的元素个数为100－90＝10．故选A．
三、本节所涉及的数学思想·规律·方法
1、要掌握数集与点集，解题中灵活运用．
2、掌握集合中元素的确定性、互异性、无序性，它是正确解决有关集合问题的重要一环．
3、若集合中含有n个元素，则它的子集有个，真子集有个；讨论子集不要忽略空集．
4、对 于已知某两集合间的关系，求其满足的条件，应将集合化简并转化为方程或不等式的
问题求解．
四、作业：《威州中学数学课时作业》。
五、课后记：

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