高中数学定积分教案

高中数学定积分教案


【篇一：《定积分》教学设计与反思】

《定积分》教学设计与反思

学习目标

2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法．

教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学
生直观了解微积分基本定理 的含义，并能正确运用基本定理计算简
单的定积分． 教学难点：了解微积分基本定理的含义．

一、自主学习：

1．定积分的定义：，

2．定积分记号：

思想与步骤

几何意义．

3．用微积分基本定理求定积分 二、 新知探究

新知1：微积分基本定理：

背景：我们讲过用定积分定义计算定积分,但如果要计算 ， 其计算
过程比较复杂，所以不 是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算
定积分的新方法，也是比较一般的方法。

探究问题1：变速直线运动中位置函数s(t)与速度函数v(t)之间的联
系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位移为s(t),速
度为v(t)（ ），

则物体在时间间隔 内经过的位移记为 ，则

一方面：用速度函数v(t)在时间间隔 求积分，可把位移 =

另一方面：通过位移函数s（t）在 的图像看这段位移 还可以表示为
探究问题2：

位移函数s(t)与某一时刻速度函数v(t)之间的关系式为

上述两个方面中所得的位移 可表达为

上面的过程给了我们启示

上式给我们的启示：我们找到了用 的原函数（即满足 ）的数值差
来计算 在 上的定积分的方法。

定理 如果函数 是 上的连续函数 的任意一个原函数，则

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连
续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的

问题，是微分 学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定
积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法。

例1．计算下列定积分：

新知2：用定积分几何意义求下列各式定积分：

若 求

新知3：用定积分求平面图形的面积

1、计算函数 在区间 的积分

2、计算函数 在区间 的积分

3、求 与 在区间 围成的图形的面积

通过此题的计算你发现了什么？

教学反思

本课的教学设 计，是在新课程标准理念指导下，根据本班学生实际
情况进行设计的。从实施情况来看，整堂课学生情绪 高涨、兴趣盎
然。在教学中，教师一改往日应用题教学的枯燥、抽象之面貌，而
是借用学生已有 的知识经验和生活实际，有效地理解了微积分的基
本定理，具体反思如下：

1、改变定理的表述形式，丰富信息的呈现方式。

根据高中学生的认知特点，我在教学过程 中，出示例题、习题时，
呈现形式力求多样、新颖，让学生多种感官一起参与，以吸引学生
的注 意力，培养对数学的兴趣。本课的教学中，我大胆地改变了教
材中实例分析顺序，重组和创设了这样一个 情境，从而引入速度关
于时间的定积分背景，即切合学生的生活实际，又让学生发现了定
理的实 际意义，理解了定理的本质，激发了学生学习的兴趣。并更
好地为下一环节的自主探索、主动发展作好充 分的准备。

2、突出数学应用价值，培养学生的应用意识和创新能力

《数学课程标准》中指出，要让学生能够“初步学会运用数学的思维
方式去观察、分析现实社会，去解决 日常生活中和其他学科学习中
的问题，增强应用数学的意识。”本课的设计充分体现了这一理念，
例题中涉及路程和速度，让学生感受到数学与生活的密切联系，通
过自己的探究，运用数学的思维方式 解决问题，又能运用掌握的知
识去研究解决生活的其它数学问题，，培养了学生的应用意识。

同时，例题的教学注重让学生自主学习，合作探究，充分发挥了学
生的学习主动性，也培养了学 生的创新能力。

3、创设民主氛围，鼓励解决问题策略的多样化。

民主、自由、开放的学习氛围是学生主动参与、敢于发表自己独特
见解的前提 条件。学生卸下了包袱、教师思维的束缚，大胆设想、
讨论，从实际效果来看，不同的学生就有不同的思 考方式和解决方
法，使学生的个性学习发挥的淋漓尽致。更培养了学生自己收集已
有知识，解决 实际问题的能力。因此，我觉得在教学中应对学生多
一份“放手”的信任，少一点“关爱”的指导，大胆 地让学生在学习的
海浪中自由搏击，让学生自己寻找问题解决的策略、学习的方法，
有头脑、有 个性、有能力的学生才能应运而生。

败笔之处 ：

1、有些题目说的太快，部分学生没有跟上，没有让不会的学生先说
出存在的问题。

2、没有掌握好时间，整节课前松后紧。

3、没有很好的发挥组内合作探究作用。

4、指导太多，有些地方没有大胆的交给学生。

5、没有充分调动了学生的积极性。课堂气氛有些沉闷。

【篇二：高中数学人教版选修2-2教学设计：1.5.3《定
积分的概念》教案】


1.5.3 定积分的概念

教学目标：

1. 了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.

2. 理解定积分及几何意义.

3. 掌握定积分的基本性质及其计算

教学重点与难点：

1. 定积分的概念及几何意义

2. 定积分的基本性质及运算

教学过程：

1. 定积分的定义：

2. 怎样用定积分表示：

x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？

t=0，t=1，v=0及v=-t2-1所围成图形的面积？

111115s1??f(x)dx??x2dx? s2??v(t)dt??(?t2?2)dt? 000033

3. 你能说说定积分的几何意义吗？例如

b?baf(x)dx的几何意义是什么?

4.4. 定积分?f(x) dx是直线x?a，x?b(a?b)，y?0和曲线y?f(x)所
围成的曲边a

梯形的面积

根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积
吗？

思考：试用定积分的几何意义说明 1.?2

04?x2dx的大小

14?x2所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的，4由
直线x=0，x=2，y= 0及y?

??

2. 204?x2dx??. ?1

?1x3dx?0

5. 例：利用定积分的定义，计算?1

0x3dx?0的值.

6.由定积分的定义可得到哪些性质？ 常数与积分的关
系 ?kf(x)dx?k?abbaf(x)dx 和差的积分 推广到有限个也成立 区间
和的积分等于各段积分和

7练习：计算下列定积分3?[f1(x)?f2(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx
aaacbacbbb?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx(其中a?c?b) 2?(2x?x)dx
1

【篇三：高中数学定积分知识点】


数学选修2-2知识点总结

一、导数

1．函数的平均变化率为

f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f

?? ??x?xx2?x1?x

注1：其中?x是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数y?f(x)在x?x0处的瞬时变化率是lim

f(x0??x)?f(x0)?y

，则?lim

?x?0?x?x?0?x

称函数y?f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做y?f (x)在x0处的
导数，记作f(x0)或

y|x?x0，即f(x0)=lim

f(x0??x)?f(x0)?y

. ?lim

?x?0?x?x?0?x

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何
意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；

6、常见的导数和定积分运算公式:若f?x?，g?x?均可导（可积），
则有：

用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数f(x)

②令f(x)0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令f(x)0,解不等
式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先
看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤：

(1)确定函数的定义域。

(2) 求函数f(x)的导数f(x) (3)求方程f(x)=0的根

(4) 用函 数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区
间，并列成表格，检查f(x)在方程根左右 的值的符号，如果左正右
负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如

果左负右正 ，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符
号，那么f(x)在这个根处无极值

8.利用导数求函数的最值的步骤:求f(x)在?a,b?上的最大值与最小值
的步骤如下： ⑴求f(x)在?a,b?上的极值；

⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较， 其中最大的一个是最大值，最小
的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最< br>值点；

9．求曲边梯形的思想和步骤

（“以直代曲”的思想）

10.定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1

?1dx?b?a

a

ba

b

b

b

b

b

性质5 若f(x)?0,x??a,b?，则?f(x)dx?0

①推广：?[f 1(x)?f2(x)???fm(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx????fm(x)
a

a

a

a

②推广:?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx????f(x)dx

a

a

c1

ck

b

c1c2

b

11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还
可能是0.

( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等
于x轴上方的图形面积；

（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等
于x轴上方图形面积的相反数；

（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯
形面积时，定积分的值为0，且等于x

轴

上方图形的面积减去下方的图形的面积．

12．物理中常用的微积分知识（1）速度的导数为加速度。（2）力
的积分为功。

二、推理与证明知识点

13.归纳推理的定义： 从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的
推理通常称为归纳推理。 ．．．．．．．归纳推理是由部分到整体，
由个别到一般的推理。

14.归纳推理的思维过程大致如图：

15.归纳推理的特点:

①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属
未知的一般现象。

②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经
过逻辑证明和实验检验，因此，它不能 作为数学证明的工具。

③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以< br>作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

16.类比推理的定义：

根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它
们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理
是由特殊到特殊的推理。
17.类比推理的思维过程

18.演绎推理的定义：

演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理
等）按照严格的逻辑法则得到新结论的 推理过程。演绎推理是由一
般到特殊的推理。

19．演绎推理的主要形式：三段论

20.“三段论”可以表示为：①大前题：m是p②小前提：s是m ③结
论：s是p。

其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指
出了一个特殊对象；③是结 论，它是根据一般性原理，对特殊情况
做出的判断。

21.直接证明是从命题的条 件或结论出发，根据已知的定义、公理、
定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。

22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替
前面的条 件，直至推出要证的结论。

23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替 换前面
的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。

要注意叙述的形式：要证a，只要证b，b应是a成立的充分条件.
分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

24反证法：是指从否定的结论 出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证
实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

25.反证法的一般步骤

（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设
出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，即
所求证命题正确。

26

27.反证法的思维方法:正难则反 ．．．．

28.归缪矛盾 （1）与已知条件矛盾: （2）与已有公理、定理、定义
矛盾； （3）自相矛盾．

29有关的数学命题）的步骤 ?

nn?n(1)证明：当n??时命题成立； 00(2)假设当n=k (k∈n*，且
k≥n0)时命题成立，证明当时命题也成立. 由(1)，(2)可知，命题对于
从n0开始的所有正整数n都正确

注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。

三、数系的扩充和复数的概念知识点

30.复数的概念：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a
叫实部， b叫虚部，数．．．．

集c??a?bi|a,b?r?叫做复数集。 规定：a?bi?c?di?a=c且， 强调：
两复数不能比较大小，只有相等或不相等。

?实数 (b?0)?

31．数集的关系：复数z???一般虚数(a?0)

虚数 ()??

??纯虚数(a?0)?

32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

33.复平面：根据复 数相等的定义，任何一个复数z?a?bi，都可以
由一个有序实数对(a,b)唯一确定。

由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数
集与平面直角坐标系 中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了
直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，