高中数学 《子集、全集、补集》教案(1)讲解学习

高中
集、
学 《子集
补集》教案
全
1)
数、
(

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子集、全集、补集
教学目标：理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判 断简
单集合的相等关系.
教学重点：子集的概念，真子集的概念.
教学难点：元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算.
课 型：新授课
教学手段：讲、议结合法
教学过程：
一、创设情境
在研究 数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小于）关
系，而对于集合而言，类似的关系 就是“包含”与“相等”关系

二、活动尝试
1．回答概念：集合、元素、有限集、无限集、空集、列举法、描述法、文氏图
2．用列举法表示下列集合：
32
①
{x|x?2x?x?2?0}
{-1，1，2}
②数字和为5的两位数} {14，23，32，41，50}
11111
{1,,,,}{x|x?,n?N
*
且n?5}
n
3．用描述法表示集合：
2345

4． 用列举法表示：“与2相差3的所有整数所组成的集合”
{x?Z||x?2|?3}
={-1 ，5}
5．问题：观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）
（1）A={-1，1}，B={-1，0，1，2}
（2）A=N，B=R
（3）A={
xx
为北京人}，B= {
xx
为中国人}
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(4)A＝
?
，B＝{0}
（集合A中的任何一个元素都是集合B的元素）
三、师生探究
通过观察上述集合间具有如下特殊性
(1)集合A的元素-1，1同时是集合B的元素.
(2)集合A中所有元素，都是集合B的元素.
(3)集合A中所有元素都是集合B的元素.
(4)A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素.
由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论.
四、数学理论
1.子集
定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何
一个元素都是集 合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合
A.记作A
?
B（或B
?
A），这时我们也说集合A是集合B的子集.
请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.
2．真子集：对于两 个集合A与B，如果
A?B
，并且
A?B
，我们就说集合A是
集合B 的真子集，记作：AB或BA, 读作A真包含于B或B真包含A

这应理解为：若A
?
B，且存在b∈B，但b
?
A，称A是B的真子
集.
注意：子集与真子集符号的方向

3．当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB（或BA）.
如：A＝{2，4}，B＝{3，5，7}，则AB.
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4．说明
（1）空集是任何集合的子集Φ
?
A
（2）空集是任何非空集合的真子集ΦA 若A≠Φ，则ΦA
（3）任何一个集合是它本身的子集
A?A

（4）易混符号
①“
?
”与“
?
”：元素与集合之间是属于关系；
集合与 集合之间是包含关系如
1?N,?1?N,N?R,
Φ
?
R，{1}
?
{1，2，3}
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素
N
的
Z
集合

Q
R
如 Φ
?
{0}
不能写成Φ={0}，Φ∈{0}
五、巩固运用
例1（1） 写出N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示

（2）判断下列写法是否正确
①Φ
?
A ②ΦA ③
A?A
④AA
解（1）：N
?
Z
?
Q
?
R
（2）①正确；②错误，因为A可能是空集；③正确；④错误；
思考1：
A?B
与
B?A
能否同时成立？
结论：如果A
?
B，同时B
?
A，那么A＝B.
如：{a ，b，c，d}与{b，c，d，a}相等；{2，3，4}与{3，4，2}相等；{2，3}与
{3 ，2}相等.
问：A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}.（A=B）
稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨.
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思考2：若AB，BC，则AC？
真子集关系也具有传递性若AB，BC，则AC.
例2写出{a、b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.
分析：寻求子集、真子集主要依据是定义.
解：依定义：{a，b}的所有子集是
?
、{a}、{b}、{a，b}，其中真子集有
?
、
{a}、{b}.
变式：写出集合{1，2，3}的所有子集
解：Φ、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}
4
猜想：(1)集合{a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？(
2?16
) < br>（2）集合
?
a
1
,a
2
?,a
n
?
的所有子集的个数是多少？(
2
n
)
注：如果一个集合的元素有n个，那么这个集合的子集有2n个，真子集有2n－1
个.
六、回顾反思
1．概念：子集、集合相等、真子集
2．性质：（1）空集是任何集合的子集
Φ
?
A
（2）空集是任何非空集合的真子集ΦA （A≠Φ）
（3）任何一个集合是它本身的子集
A?A

nn
（4）含n个元素 的集合的子集数为
2
；非空子集数为
2?1
；真子集数为
2
n
?1
；非空真子集数为
2
n
?2

七、课外练习
1．下列各题中，指出关系式A
?
B、A
?
B、AB、AB、A＝B 中哪些成立：
(1)A＝{1，3，5，7}，B＝{3，5，7}.
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解：因B中每一个元素都是A的元素，而A中每一个元素不一定都是B的元素，
故A
?
B及AB成立.
(2)A＝{1，2，4，8}，B＝{x｜x是8的约数}.
解：因x是8的约数，则x：1，2，4，8
那么集合A的元素都是集合B的元素，集合B的元素也都是集合A的元素，故A
＝B.
式子A
?
B、A
?
B、A＝B成立.
2．判断下列式子是否正确，并说明理由.
(1)2
?
{x｜x≤10}
解：不正确.因数2不是集合，也就不会是{x｜x≤10}的子集.
(2)2∈{x｜x≤10}
解：正确.因数2是集合{x｜x≤10}中数.故可用“∈”.
(3){2}{x｜x≤10}
解：正确.因{2}是{x｜x≤10}的真子集.
(4)
?
∈{x｜x≤10}
解：不正确.因为
?
是集合，不是集合{x｜x≤10}的元素.
(5)
?
{x｜x≤10}
解：不正确.因为
?
是任何非空集合的真子集.
(6)
?
{x｜x≤10}
解：正确.因为
?
是任何非空集合的真子集.
(7){4，5，6，7}{2，3，5，7，11}
解：正确.因为{4，5，6，7}中4，6不是{2，3，5，7，11}的元素.
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(8){4，5，6，7}{2，3，5，7，11}
解：正确.因为{4，5，6，7}中不含{2，3，5，7，11}中的2，3，11.

3．设集合A={四边形}，B={平行四边形}，C={矩形} D={正方形}，试用Venn图
表示它们之间的关系。
4．已知A＝{x｜x＜－2或x＞ 3}，B＝{x｜4x＋m＜0}，当A
?
B时，求实数m的
取值范围.
分 析：该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间
关系.需用数形结合.

解：将A及B两集合在数轴上表示出来
要使A
?
B，则B中的元素必须都是A中元素
即B中元素必须都位于阴影部分内
m
那么由x＜－2或x＞3及x＜－
4
知
m
－
4
＜－2即m＞8
故实数m取值范围是m＞8
5． 满足
?
解析:由
?
A
?
{a,b,c,d}
的集合
A
有多少个?
A
可知,集合
A
必为非空集合;
又由
A
?
{a,b,c,d}
可知,此题即为求集合
{a,b,c, d}
的所有非空子集。
满足条件的集合
A
有
{a},{b},{ c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c} ,{a,b,d},{a,c,d}
,
{b,c,d},{a,b,c,d}
共十五个 非空子集。
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4
n
此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式
2?1
进行检验，
2?1?15
，正
确。
答案:15
6．已知
A?{x,y}, B?{1,xy}
，若
A?B
，求
x,y
。
解析:
A?B
，即
A.B
两集合的元素相同，有两种可能：
?
x?1
?
x?1
?
x?xy
?
x?R
????
y?xyy?Ry?1
?
解得
?
；
?
解得
?
y?1

∴
x?1
或
y?1
。
答案:
x?1
或
y?1
。
八、教学后记
本节讲子集，先介绍集 合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出子集的
概念，然后，对比集合的“包含”与“相等”关 系，得出真子集的概念以及子集
与真子集的有关性质

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