高中数学教案—点到直线的距离(免费)

教 案
课题：点到直线的距离

教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（上）
第七章第3节
教案目标：

(1) 至少掌握点到直线的距离公式的一种推导方法，能用公式来求点到
直线距离。
(2) 培养学生探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。
(3) 认识事物（知识）之间相互联系、互相 转化的辩证法思想，培养学
生转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。
(4) 培养学生团队合作精神，培养学生个性品质，培养学生勇于探究的
科学精神。
教案重点：点到直线的距离公式推导及公式的应用

教案难点：点到直线的距离公式的推导
教案方法：启发引导法、讨论法

学习方法：任务驱动下的研究性学习

教案时间：45分钟

教案过程：

1 .教师提出问题，引发认知冲突（约5分钟）

问题：假定在直角坐标系上，已知一个定点P（x
0
,y
0
）和一条定直线l：
Ax+By+C=0，那么如何求点P到直线l的距离d？请学生思考并回答。
学生1：先过 点P作直线l的垂线，垂足为Q，则|PQ|就是点P到直线l
的距离d；然后用点斜式写出垂线方程， 并与原直线方程联立方程组，此方程
组的解就是点Q的坐标；最后利用两点间距离公式求出|PQ|。
接着，教师用投影出示下列5道题(尝试性题组)，请5位学生上黑板练习
（第（4）题请一位 运算能力强的同学，其余学生在下面自己练习，每做完一题
立即讲评）：
(1)求P（1

,2）到直线l：x=3的距离d。（答案：d=2）
(2)求P（x
0
,y
0
）到直线l：By+C=0（B≠0）的 距离d；（答案：
d?y
0
?
C
）
B
(3) 求P（x
0
,y
0
）到直线l：Ax+C=0（A≠0）的距离d；（答案 ：
d?x
0
?
C
）
A
(4) 求P（6

,7）到直线l：3x-4y+5=0的距离d；（答案：d=1）
(5) 求P（x
0
,y
0
）到直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）的距离d。
第（1） 容易、（2）和（3）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较
特殊，学生不难得出正确结论；第（ 4）题虽然运算量较大，但按照刚才学生1
回答的方法与步骤，也能顺利解出正确答案；第（5）题虽然 思路清晰，但由于
字母参数过多、运算量太大行不通。学生们陷入了困境。
1 5

2．教师启发引导，学生走出困境（约8分钟）

教师：根据以上5位学生的运算结果，你能得到什么启示？
学生2：当直线的位置比较特殊（ 水平或竖直）时，点到直线的距离容易
求得，而当直线是倾斜位置时则较难；含有多个字母时虽然想起来 思路很自
然，但具体操作起来因计算量很大而无法得出结果。
教师：那么，练习（5）有没有 运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根
据刚才的第（2）、（3）的启示，借助水平、竖直情形和平 面几何知识来解决
y
倾斜即一般情况呢？请同学们思考。
学生3：能！如图1，过点P作x、y 轴的垂线分别交
直线l于S、R，则由三角形面积公式可得
P(x
0
,y
0
)
|PQ|=（|PR|·|PS|）|RS|
R
d
教师：|PR|怎么求？|PS|又怎么求？
Q
学生3：设R（x
1
,y
0
），则由Ax
1
+By
0
+C=0，
x
O
S
得x
1
= —（By
0
+C）／A，
∴|PR|=| x
0
- x
1
|=|Ax
0
+By
0
+C|／|A|；
同理：|PS|=|Ax
0
+By
0
+C|／|B|。
教师：|RS|怎么求？
学生3：|RS|=
PR?PS
22
图1
l
=（
A
2
?B
2
|AB|）·|Ax
0
+By
0
+C|。
教师：|PQ|结果是什么？
学生3：|PQ |=
Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B
2
。
教师：公式的这种推导方法是否需要作补充说明？
学生4：当A=0或B=0时，ΔPRS不存在，故应说明公式当A=0或B=0
时是否适用？
由（2）、（3）检验可知公式依然成立，即公式对任意直线都适用。
3 .教师提出问题，学生分组讨论（约10分钟）

教师：推导点到直线的距离公式的方法不少。 前面我们学了函数、三角函
数、向量、不等式等数学知识，你能用所学过的知识从不同角度、采用不同方
法来推导这个公式吗？请同学们先独立思考，然后在小组上进行讨论交流，由
组长负责记录。1 0分钟后每组推选一名代表对本组找到的最好的一种推导方法
通过实物投影进行“成果”交流。
学生们积极探讨；教师来回巡视，回答各研究小组的询问……
4.学生交流“成果”，教师点评小结（约16分钟）

经过约十分钟的研讨，各小组 都找到了新的推导方法。于是教师请4名代
表依次上讲台（让准备成熟的先讲），借助实物投影介绍本组 的“成果”。由
于时间关系，每组只要求讲一种方法，用时不超过4分钟，且各组的方法不能
重 复。
学生5：我们用的是“设而不求，整体代换”的数学思想。请看投影屏
幕：
2 5

设Q的坐标为（x
1
,y
1
），则直线PQ的斜率k
1
=
k= -
y< br>1
?y
0
，又直线l的斜率
x
1
?x
0A
，于是由PQ⊥ l得, k
1
k= -1即B(x
1
- x
0
)-A(y
1
- y
0
)=0 ①
B
又因为Ax
1
+By
1
+C=0， 即Ax
1
+By
1
=-C
两边同减Ax
0
+By
0
得 A(x
1
-x
0
)+B(y
1
-y
0
)= - (Ax
0
+By
0
+C) ②
于是①
2
+②
2
得, (A
2
+B
2)[(x
1
-x
0
)
2
+(y
1
-y
0
)
2
]= (Ax
0
+By
0
+C)
2
,
即 (A
2
+B
2
) d
2
= (Ax
0
+By
0
+C)
2

所以 d=
Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B
2
。
教师：“设而不求，整体代换”，真是奥妙无穷，这是解读几何减少运算
量 的有效途径，同时也体现了数学的内在美，妙不可言。
学生6：我们小组向大家介绍一种独特的方法——向量法，请看投影屏
幕：
如图2，设T（x
1
,y
1
）为直线l上的任意一点，则
y
Ax
1
+By
1
+C=0，
PT
=（x
1
-x
0
，y
1
-y
0
）
∵PQ⊥直线l ，
∴
PQ
平行于直线l的法向量
n
=（A，B）
O
l
d
P(x
0
,y
0
)
x
Q
T(x
1
,y
1
)
另设
n
与
PT
的夹角为θ，则
n
·
PT
=
nP T
cosθ
图2
即|A(x
1
-x
0
)+ B(y
1
-y
0
)|=
A
2
?B
2
|
PT
|| cosθ|
即|Ax
0
+By
0
+C|=
A
2
?B
2
·d
∴d=
Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B
2
。
教师：向量是数量与图形的有机结合，解读 几何是用代数的方法解决几何
问题，两者都体现了数形结合的思想，第三小组的推导方法证明了这一点， 也
再次说明了向量具有很强的实用性与工具性，用向量法解解读几何题确实行之
有效。
学生7：：我们小组向大家介绍向量的另一
y
种方法，妙用向量数量积的性质．请看投影屏< br>幕：
l
M
如图3，设垂足是点H(m,n)，
HM?
?< br>x
0
?m,y
0
?n
?
与

n
d
H
3 5
Ax+By+C=0
X
O
图3

直线l的法向量
n?
?
A,B
?
共线 ，
?HM?n?HM?n?
?
x
0
?m,y
0
? n
?
?
?
A,B
?
?AX
0
?By
0
?
?
Am?Bn
?
?AX
0
?By
0
?C

?d?HM?
HM?n
n
?
AX
0
?By
0
?C
A?B
22
.
这是相当简单的方法了。
教师：巧妙利用向量数量积的性质来求距离，简直是“巧夺天工”，与其他方法相比，这种方法有绝对优势，我们必须重视对向量工具性的研究和应
用
。
学生8：刚才三个小组的证明方法确实精彩，我们也发现了一种巧妙的方
法，把它称为“柯西不等式法” ，请看投影屏幕：
我们知道，P点到直线l的距离,实质上是点P与直线l上任意一点T的距
离的最小值，于是我们设T（x
1
,y
1
）为直线l上的任一点（如图2） ，则
Ax
1
+By
1
+C=0，
而d=|PT|
min
，于是|PT|=
(x
0
?x
1
)
2
?(y
0
?y
1
)
2

=
(x
0
?x
1
)
2
?(y
0
?y
1
)
2
A
2
?B
2
×
A
2
?B
2
，
Ax
0
?By
0
?C
A
2
利用柯西不等式，便有|PT|≥
?
A(x
0
?x
1
)? B(y
0
?y
1
)
?
2
A?B
22
=
?B
2
，
所以d=
Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B
2
，此时
B(x
0
?x
1
)?A(y
0
?y
1
)
，即PT垂直于直线 l
。

教师：这一证法果然十分巧妙，包含的数学思想十分丰富。由点到直线的
距想到最小值，又由最小值想到不等式，在一步步“转化”中问题得到圆满解
决。同时也体现了不等式 的工具作用。
5.公式应用（学生练习，约3分钟）
（1） 求P（6

,7）到直线l：3x-4y+5=0的距离d.
（直接代公式得答案：d=1，检验尝试性题组第（4）的答案）
（2）求P（-1,1）到直线l：
y?2x?1
的距离d.
（先化直线方程为一般式再代公式得答案：
d?
45
）
5
6.教师小结并布置作业（约1分钟）


这节课我们学习了点到直线的距离公式，在公式的推导中学到了许多重要
4 5