高中数学教案：连续型随机变量

连续型随机变量
课程目标
知识点
连续型随机变量
连续型随机变量的概念
正态分布
考试要求
A
A
A
具体要求
了解连续型随机变量的概念，了解
正态分布的概念．
了解连续型随机变量的概念．
通过实际问题，借助直观（如实际
问题的直方图），认 识正态分布曲
线的特点及曲线所表示的意义．
考察频率
少考
少考
少考
知识提要
连续型随机变量
若随机变量 的分布函数 可表示成一个非负可积函数 的积分，则称 为连续随机变量．
连续型随机变量的概念

若随机变量 的分布函数 可表示成一个非负可积函数 的积分，则称 为连续型随
机变量， 称为 的概率密度函数（分布密度函数）．
正态分布
? 正态曲线的定义
如果随机变量 的概率密度函数为























其中实数 和 （ ）为参数．我们称




的图象为正态分布密度曲线，简称正
态曲线．

当 ， 时，函数表达式是






相应的曲线称为标准正态曲线．















? 正态分布
（1）正态分布的定义：
一般地，如果对于任何实数 ， ，随机变量 满足













则称随机变量 服从正态分布（normal distribution）．正态分布完全由参数 和 确定，
因此正态分布常记作




．如果随机变量 服从正态分布，则记为




．

（2）正态分布的特点：
① 曲线位于 轴上方，与 轴不相交，并且曲线是单峰的；
② 它关于直线 对称；
③ 曲线在 处达到峰值
高，两边低”的形式；
④ 曲线与 轴之间的面积为 ；
⑤ 当 一定时，曲线的位置是由 确定，曲线随着 的变化而沿 轴平移；
⑥ 当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越 “瘦高”，表示总体的分布越集中；
越大，曲线越 “矮胖”，表示总体的分布越分散．
（3）正态分布的 原则：
若



，则对于任何实数 ，











为如下图阴
影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大．这说明 越小， 落
在区间



的概率越大，即 集中在 周围的概率越大．






，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间

特别地，有






由



，知正态总体几乎总取值于区间



之
内．而在此区间以外取值的概率只有 ，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发
生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布




的随机变量 只取


之间的值，并简称之为 原则．
精选例题
连续型随机变量
1. 某班同学共有 人，数学测验的分数服从正态分布，其平均分是 分，标准差是 ．则
该班同学中成绩在 分之间的约有 人．

【答案】

2. 设随机变量



，



．其中

．


【答案】











，则


【分析】











，所以





，所以





．

3. 若随机变量



，且



，则





【答案】

【分析】 因为随机变量



，所以正态曲线关于 对称，
因为



，所以







．

4. 正态曲线具有以下特点：
（1）曲线在 轴上方，与 轴 ．
（2）曲线是单峰的，它关于直线 对称．

（3）曲线在 处达到峰值 ．
（4）曲线与 轴之间的面积为 ．
（5）当 一定时，曲线随着 的变化沿 轴 ．
（6）当 一定时，曲线形状由 确定， 越小，曲线越 ．


【答案】 不相交； ；

； ；平移；瘦高


5. 已知随机变量 服从正态分布




，若



，则



．

【答案】

6. 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布



．已
知成绩在 分以上(含 分)的学生有 人．
(1)问此次参赛学生的总数约为多少？

【解】 设参赛学生的成绩为 ，因为



．
所以 ．则
































所以 ．因此，此次参赛学生的总数约为 ．
(2)若成绩在 分以上(含 分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？

【解】 由
































得 ．
因此，此次竞赛成绩为优的学生约为 人．

7. 某县农民年均收人服从 元， 元的正态分布．求此县农民年均收人在
元间人数的百分比．

【解】 此县农民年均收人




，
所以







，
根据正态曲线的对称性，



．

8. 给出下列三个正态总体的概率密度函数表达式，请找出其均值 和标准差 ．
(1)












，



．

【解】 ．
(2)















，



．

【解】 ．


(3)










，



．


【解】 ．





， 9. 已知连续型随机变量 的概率密度函数













(1)求常数 的值；

【解】 因为 所在区间上的概率总和为 ，即



与 轴所围图形面积为 ．

所以








，解得

．
(2)求



．



【解】 即求在区间


内，曲线与 轴所围图形的面积














．



10. 灯泡厂生产的灯泡寿命 (单位：小时)服从正态分布 ，已知




，要使灯
泡的最低寿命为 小时的概率为 ，问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？

【解】 因为灯泡寿命






故 在 内取值的概率为 ，
即在



内取值的概率为 ．
故灯泡的最低使用寿命应该控制在 小时以上．

正态分布
1. 设



，且







，则



的值是 （用
表示）．

【答案】


2. 在某项测量中，测量结果 服从正态分布






，若 在



内取值的概率为
，则 在



内取值的概率为 ．

【答案】

3. 如图是当 取三个不同值

，

，

时的三种正态曲线




的图象，那么

，

，


的大小关系是 ．



【答案】







4. 已知正态分布


的密度曲线函数是




四个命题：
①对任意



都有







成立；
②如果随机变量




，且







，那么



是 上的增函数；
③如果随机变量 服从



，那么 的期望是 ，标准差是 ；
④ 随机变量 服从




，




，



，则



．















，



，给出以下
其中，真命题的序号是 ．（写出所有真命题序号）

【答案】 ①②④

5. 某班学生的数学考试成绩




，则 的学生比例是 ．

【答案】

【分析】 ， ，



．
















．

6. 设在一次数学考试中，某班学生的分数




，且知满分 分，这个班的学生
共 人．求这个班在这次数学考试中及格（不小于 分）的人数和 分以上的人数．

【解】 因为




，
所以 ， ，




．

所以 的概率为




．
所以 的概率为 ．
所以及格的人数为 （人）．
分以上的人数为 （人）．

7. 已知某车间正常生产的某种零件的尺寸满足正态分布




，质量检验员随机抽
查了 个零件，测量得它们的尺寸如下：
， ， ， ，
， ， ， ，
请你根据正态分布的小概率事件，帮助质量检验员确定哪些 应该判定为非正常状态下生产的零
件．

【解】 根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的思想，我们对落在区间




之外的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常状态下生产的假设，有尺
寸为 和 的两个零件不符合落在区间



内这一条
件，判定它们就是在非正常状态下生产的．

8. 如图，面积为 的正方形 中有一个不规则的图形 ，可按下面方法估计 的面积：
在正方形 中随机投掷 个点，若 个点中有 个点落入 中，则 的面积的估计值
为

，假设正方形 的边长为 ， 的面积为 ，并向正方形 中随机投掷
个点，以 表示落入 中的点的数目．


附表：

(1)求 的均值 ；


【解】 根据题意知，每个点落在 内的概率是相同的为 ，
故


，根据二项分布期望公式知：




(2)求用以上方法估计 的面积时， 的面积的估计值与实际值之差在区间



内
的概率．


【解】 依题意所求概率为


，







































所以 的面积估计值和实际值之差在区间



内的概率为 ．

9. 在某次数学考试中，考生的成绩 满足



．
(1)试求考试成绩 位于区间



上的概率是多少？

【解】 由已知



，得 ， ，
因为正态变量在区间



内取值的概率是 ，
对于变量 ， ， ，
所以考试成绩 位于区间



上的概率是 ．
(2)若这次考试共有 名考生，试估计考试成绩在



间的考生大约有多少人？

【解】 因为正态变量在区间



内取值的概率是 ，
对于变量 ， ， ，
所以考试成绩 位于区间



上的概率是 ．

因为这次考试共有 名考生，
所以考试成绩在



间的考生大约有 人．

10. 设



，求



．

【解】 由已知得 ， ．
因为



，




，所以









如图，



由正态曲线的对称性可得：
所以
















．
课后练习
1. 正态曲线是偶函数，当且仅当它所对应的正态总体的期望值等于 ．
2. 已知随机变量




，若



，则



．
3. 已知某电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布




，那么该电子元件
的使用寿命超过 小时的概率为
4. 正态变量在



内取值的概率为 ，正态变量在



内取值
的概率为 ，正态变量在



内取值的概率为 ．
5. 在标准正态总体



中 ，若







，则该总体在



内的概率
为 ．
6. 已知随机变量 服从正态分布




，



，则



．
7. 设在某次英语考试中，考生的分数




，则得分在 分 分的学生约占总
人数的 ．
8. 抽样调查表明，某校高三学生成绩（总分 分）近似服从正态分布，已知一次考试的平
均成绩为 分，



，则



．

9. 商场经营的某种包装大米的质量（单位： ）服从正态分布




，任选一袋这
种大米，质量在 的概率是 ．
10. 已知 服从正态分布




，且



，则



．
11. 某城市从南区某地乘公共汽车前往北区火车站有两条线路可走，第一条线路穿过市区，路
线较短，但交通拥挤，所需时间（单位： ）服从正态分布




；第二条线路沿环城
公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布




．
(1)若只有 可用，问应走哪条路线？
(2)若只有 可用，问应走哪条路线？
12. 正态总体



的概率密度函数是




(1)求证：



是偶函数；
(2)求



的最大值；
(3)利用指数函数的性质说明



的增减性．
13. 工厂制造的某机械零件尺寸 服从正态分布



，问在一次正常的试验中，取 个
零件时，不属于区间



这个尺寸范围的零件大约有多少个？
14. 一台机床生产一种尺寸为 的零件，现在从中抽测 个，它们的尺寸分别如下(单
位： )： ，如果机床生产零件的尺寸 服从正
态分布，求正态分布的概率密度函数表达式．
15. 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为
的概率密度函数的解析式．
16. 在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布



，已知成
绩在 分以上的学生有 人．
(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？
(2)若计划奖励竞赛成绩排在前 名的学生，问受奖学生的分数线是多少？
17. 一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为 小时、标准差为 小时的正态分布，
随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于 小时的概率是多少？
18. 是否存在常数



使得随机变量 服从正态分布




，且同时满足








；若不存在，说明理由；若存在，试求


的值．
19. 设在一次数学考试中，某班学生的分数




，且知试卷满分 分，这个班的
学生共 人，求这个班在这次数学考试中及格（即 分以上）的人数和 分以上的人数．













， ．
．求该正态分布

20. 在标准正态总体



下，定义




表示随机变量 取值小于

的概率，即










（

）．某正态随机变量 的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为



，试用



，



表示随机变量 落入区间



之间的概率．

连续型随机变量-出门考
姓名 成绩

1. 设随机变量




，则


．
2. 一个随机变量如果是 、 、 偶然因素作用之和，它就服从或近似
服从正态分布．
3. 某种零件的尺寸服从正态分布




，则不属于区间



范围的零件约占总数
的 ．
4. 设随机变量 服从正态分布



，则下列结论正确的是 ．
①












②








③








④








5. 设随机变量 服从正态分布



，记







，给出下列结论：
①



；
②







；
③







．
则正确结论的序号是 ．
6. 随机变量 服从正态分布



，若



，则



．
7. 已知随机变量




，若




，则



．



8. 已知 服从正态分布



，则 服从 ．
9. 设随机变量 满足正态分布




，若



，则


．
10. 设随机变量 服从正态分布



，若







，则 ．
11. 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布



．已知
成绩在 分以上（含 分）的学生有 名．
(1)试问此次参赛学生总数约为多少人？
(2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前 名的学生，试问设得奖的分数线约为多少分？
附：标准正态分布表

12. 设随机变量 具有概率密度



求 的值及



．

13. 某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布




，如果规定低于 分为不及
格，求：
(1)成绩不及格的人数占多少？
(2)成绩在 内的学生占多少？
14. 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布



．已知
成绩在 分以上（含 分）的学生有 名．
(1)试问此次参赛的学生总数约为多少人？
(2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前 名的学生，试问设奖的分数约为多少分？
可供查阅的（部分）标准正态分布表











































：











































15. 某校高中二年级期末考试的物理成绩 服从正态分布




．
(1)若参加考试的学生有 人，学生甲得分为 分，求学生甲的物理成绩排名；
(2)若及格（ 分及其以上）的学生有 人，求第 名的物理成绩．已知标准正态分布
表



．
16. 设正态总体落在区间



和区间



内的概率相等，落在区间



内的概
率为 ，求该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标．
17. 对于正态曲线













与标准的正态曲线












解答下列问题：
(1)求两个正态总体的均值与方差．
(2)



的图象可由



的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
18. 如果随机变量




，求



的值．
19. 美军轰炸机向巴格达某铁路控制枢纽投弹，炸弹落弹点与铁路控制枢纽的距离 的密度函

数为







，若炸弹落在目标 米以内时，将导致该铁路枢纽破坏，

已知投弹 颗，求巴格达铁路控制枢纽被破坏的概率．

20. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 个零件，
并测量其尺寸（单位： ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零
件的尺寸服从正态分布

．
(1)假设生产状态正常，记 表示一天内抽取的 个零件中其尺寸在 之外
的零件数，求 及 的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外 的零件，就认为这条生产线
在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ii）下面是检验员在一天内抽取的 个零件的尺寸：






经计算得






，














，其中




为抽取的第 个零件的尺寸， ．
用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 作为 的估计值 ，利用估计值判断是
否需对当天的生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计 和
（精确到 ）．
附：若随机变量 服从正态分布

，则 – ，


，

．