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高一数学教案函数的基本性质

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 13:22
tags:高中数学教案

湖南高中数学教材教学顺序-全国高中数学联赛贵州省预赛



第一课时:1.3.1单调性与最大(小)值 (一)
教学要求:理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念,掌握增(减)函数的证明和判别,
学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
教学重点:掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。
教学难点:理解概念。
教学过程:
一、复习准备:
1.引言:函数是描述事物运动变化规律的数学模型,那么能否发现变化中保持不变的特征呢?
2. 观察下列各个函数的图象,并探讨下列变化
①随
x
的增大,
y
的值有什么变化?
②能否看出函数的最大、最小值?
③函数图象是否具有某种对称性?
3. 画出函数f(x)= x+2、f(x)= x
2
的图像。(小结描点法的步骤:列表→描点→连线)
二、讲授新课:
1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念:
①根据f(x)=3x+2、 f(x)=x
2
(x>0)的图象进行讨论:
随x的增大,函数值怎样变化? 当x
1
>x
2
时,f(x
1
)与f(x
2
)的大小关系怎样?
②.一次函数、二次函数和反比例函数,在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质?
③定义 增函数:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个
自变量x< br>1
,x
2
,当x
1
2
时,都有f(x< br>1
)2
),那么就说f(x)在区间D上是增函数(increasi ng
function)
④探讨:仿照增函数的定义说出减函数的定义;→ 区间局部性、取值任意性
⑤定义:如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数,就说f(x) 在这一区间上具有(严格
的)单调性,区间D叫f(x)的单调区间。
⑥讨论:图像如何表示单调增、单调减?
所有函数是不是都具有单调性?单调性与单调区间有什么关系?
y=x
2
的单调区间怎样?
③练习(口答):如图,定义在[-4,4]上的f(x),根据图像说出单调区间及单调性。
2.教学增函数、减函数的证明:
①出示例1:指出函数f(x)=-3x+2、f(x)=的单调区间及单调性,并给出证明。
(由图像指出单调性→示例f(x)=-3x+2的证明格式→练习完成。)
1
x
规律:



②出示例2:物理学中的玻意耳定律
p?
k

k
为正常数),告诉我们对于一定量的气体,当其
V
体积
V
增大时,压强
p
如何变化?试用单调性定义证明.
(学生口答→ 演练证明)
③小结:比较函数值的大小问题,运用比较法而变成判别代数式的符号。
判断单调性的步 骤:设x
1
、x
2
∈给定区间,且x
1
2; →计算f(x
1
)-f(x
2
)至最简→判断
差的符号→下结论。
三、巩固练习:1.求证f(x)=x+的(0,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数。
2.判断f(x)=|x|、y=x
3
的单调性并证明。
3.讨论f(x)=x
2
-2x的单调性。 推广:二次函数的单调性
4.课堂作业:书P43 1、2、3题。
第二课时: 1.3.1单调性与最大(小)值 (二)
教学要求:更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判 别方法,理解函数的最大(小)值
及其几何意义.
教学重点:熟练求函数的最大(小)值。
教学难点:理解函数的最大(小)值,能利用单调性求函数的最大(小)值。
教学过程:
一、复习准备:
1.指出函数f(x)=ax
2
+bx+c (a>0)的单调区间及单调性,并进行证明。
2. f(x)=ax
2
+bx+c的最小值的情况是怎样的?
3.知识回顾:增函数、减函数的定义。
二、讲授新课:
1.教学函数最大(小)值的概念:
① 指出下列函数图象的最高点或最低点,→ 能体现函数值有什么特征?
f(x)??2x?3

f(x)??2x?3

x?[?1,2]

f(x)?x
2
?2x?1

f(x)?x
2
?2x?1

x?[?2,2]

1
x
② 定义最大值:设函数y=f(x)的定义域为
I
,如果存在 实数
M
满足:对于任意的x∈
I
,都有
f(x)≤M;存在x
0

I
,使得f(x
0
) =
M
. 那么,称
M
是函数y=f(x)的最大值(Maximum Value)
③ 探讨:仿照最大值定义,给出最小值(Minimum Value)的定义.
→ 一些什么方法可以求最大(小)值?(配方法、图象法、单调法) → 试举例说明方法.
2.教学例题:
① 出示例1:一枚炮弹发射,炮弹距地面高度
h
(米)与 时间
t
(秒)的变化规律是
h?130t?5t
2



那么什么时刻距离达到最高?射高是多少?
(学生讨论方法 → 师生共练:配方、分析结果 → 探究:经过多少秒落地?)
② 练习:一段竹篱笆长20米,围成一面靠墙的矩形菜地,如何设计使菜地面积最大?
(引导:审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值; →小结:数学建模)
③ 出示例2:求函数
y?
分析:函数
y?
3
在区间[3,6]上的最大值和最小值.
x?2
3
,x?[3,6]
的图象 → 方法:单调性求最大值和最小值.
x?2
→ 板演 → 小结步骤:先按定义证明单调性,再应用单调性得到最大(小)值.
→ 变式练习:
y?
④ 探究:
y?
3?x
,x?[3,6]

x?2
33
的图象与
y?
的关系?
x?2x
⑤ 练习:求函数
y?2x?x?1
的最小值. (解法一:单调法; 解法二:换元法)
3. 看书P34 例题 → 口答P36练习 →小结:最大(小)值定义 ;三种求法.
三、巩固练习:
1. 求下列函数的最大值和最小值:
(1)
y?3?2x?x
2
,x?[?,]
; (2)
y?|x?1|?|x?2|

房价(元) 住房率(%)
160
140
120
100
55
65
75
85
2.一个星级旅馆有150个标准房,经过一段时间的经营,经理得到
一些定价 和住房率的数据如右:
欲使每天的的营业额最高,应如何定价?
(分析变化规律→建立函数模型→求解最大值)
3. 课堂作业:书P43 A组5题;B组1、2题.
第三课时:1.3.2 奇偶性
教学要求:理解奇函数、偶函数的概念及几何意义,能熟练判别函数的奇偶性。
教学重点:熟练判别函数的奇偶性。
教学难点:理解奇偶性。
教学过程:
一、复习准备:
1.提问:什么叫增函数、减函数?
2.指出f(x)=2x
2
-1的单调区间及单调性。 →变题:|2x
2
-1|的单调区间
3.对于f(x)=x、f(x)=x
2
、f(x)=x
3
、f(x)=x
4
,分别比较f(x)与f(- x)。
二、讲授新课:
53
22



1.教学奇函数、偶函数的概念:
1
①给出两组图象:
f(x)?x

f(x)?

f(x)?x
3

f(x)?x
2

f(x)?|x|
.
x
发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数值方面的特征
② 定义偶函数:一般地,对于函数
f(x)
定 义域内的任意一个
x
,都有
f(?x)?f(x)
,那么函数
f(x )
叫偶函数(even function).
③ 探究:仿照偶函数的定义给出奇函数(odd function)的定义.
(如果对于函数定义域内 的任意一个
x
,都有
f(?x)??f(x)
),那么函数
f(x)
叫奇函数。
④ 讨论:定义域特点?与单调性定义的区别?图象特点?(定义域关于原点对称;整体性)
⑤ 练习:已知f(x)是偶函数,它在y轴左边的图像如图所示,画出它右边的图像。
(假如f(x)是奇函数呢?)
2.教学奇偶性判别:
① 出示例:判别下列函数的奇偶性 :f(x)=
3
x
4
、f(x)=
4
x
3
、f(x)=-4x
6
+5x
2
、f(x)=
3
x

1
x
3
、f(x)=2x
?4
+3。
分析判别方法(先看定义域是否关于原点对称,再计算f(-x)并与f(x)进行比较)
→ 板演个例 → 学生完成其它
② 练习:判别下列函数的奇偶性: f(x)=|x+1|+|x-1|
f(x)=
3
x
2
、f(x)=x+、 f(x)=
1
x
x
、f(x)=x
2
,x∈[-2,3]
2
1?x
③ 小结奇偶性判别方法:先考察定义域是否关于原点对称,再用比较法、计 算和差、比商法判
别f(x)与f(-x)的关系。 →思考:f(x)=0的奇偶性?
3.教学奇偶性与单调性综合的问题:
①出示例:已知f(x)是奇函数,且在(0,+∞) 上是减函数,问f(x)的(-∞,0)上的单调性。
②找一例子说明判别结果(特例法) → 按定义求单调性,注意利用奇偶性和已知单调区间上
的单调性。 (小结:设→转化→单调应用→奇偶应用→结论)
③变题:已知f(x)是偶函数,且在[a,b]上 是减函数,试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性,并给
出证明。
三、巩固练习: 1.设f(x)=ax
7
+bx+5,已知f(-7)=-17,求f(7)的值。
2.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)-g(x)=
1
,求f(x)、g (x)。
x?1
3.已知函数f(x),对任意实数x、y,都有f(x+y)=f(x)+ f(y),试判别f(x)的奇偶性。(特值
代入)



4.已知f( x)是奇函数,且在[3,7]是增函数且最大值为4,那么f(x)在[-7,-3]上是( )
函数,且最 值是 。
5.课堂作业:书P40 1、2题
第四课时:函数的基本性质(练习)
教学要求:掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小 值、奇偶性),能应用函数的基本性质
解决一些问题。
教学重点:掌握函数的基本性质。
教学难点:应用性质解决问题。
教学过程:
一、复习准备:
1.讨论:如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值?
2.提问:如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义?
二、教学典型习例:
1.函数性质综合题型:
①出示例1:作出函数y=x
2
-2|x|-3的图像,指出单调区间和单调性。
分析作法:利用偶函数性质,先作y轴右边的,再对称作。→学生作 →口答
→ 思考:y=|x
2
-2x-3|的图像的图像如何作?→
②讨论推广:如何由
f(x)
的图象,得到
f(|x|)

|f(x)|
的图象? < br>③出示例2:已知f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,证明:f(x)在(-∞,0)上也是 增
函数
分析证法 → 教师板演 → 变式训练
④讨论推广:奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系?
(偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致)
2. 教学函数性质的应用:
①出示例 :求函数f(x)=x+
1
(x>0)的值域。
x
分析:单调性怎样?值域呢?→小结:应用单调性求值域。 → 探究:计算机作图与结论推
广
②出示例:某产品单价是120元,可销售80万件。市场调查 后发现规律为降价x元后可多销售
2x万件,写出销售金额y(万元)与x的函数关系式,并求当降价多 少个元时,销售金额最大?
最大是多少?
分析:此题的数量关系是怎样的?函数呢?如何求函数的最大值?



小结:利用函数的单调性(主要是二次函数)解决有关最大值和最大值问题。
2.基本练习题:
2
?
?
?x?x(x?0)
①判别下列 函数的奇偶性:y=
1?x

1?x
、 y=
?
2

?
x?x(x?0)
?
(变式训练: f(x)偶函数,当x>0时,f(x)=….,则x<0时,f(x)=? )
②求函数y=x+
2x?1
的值域。
③判断函数y=
x?2cx?d
单调区间并证明。 (定义法、图象法; 推广: 的单调性)
x?1
ax?b
④讨论y=
1?x
2
在[-1 ,1]上的单调性。 (思路:先计算差,再讨论符号情况。)
三、巩固练习:
ax
2
?b
1.求函数y=为奇函数的时,a、b、c所满足的条件。 (c=0)
x?c
2.已知函数f(x)=ax
2
+bx+3a+b为偶函 数,其定义域为[a-1,2a],求函数值域。
3. f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,如何f(2-a)-f(a-3)<0。求a的范围。
4. 求二次函数f(x)=x
2
-2ax+2在[2,4]上的最大值与最小值。
5. 课堂作业: P43 A组6题, B组2、3题。

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