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高中数学教案 正态分布(二)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 13:26
tags:高中数学教案

高中数学必修四知识点公式总结-2018高中数学奥林匹克竞赛试题


课 题:
1.5正态分布(二)
教学目的:
1利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内取值的概率
2.掌握正态分布与标准正态分布的转换
3.了解正态总体的分布情况,简化正态总体的研究问题
教学重点:利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内取值的概率
教学难点:非标准 正态总体在某区间内取值的概率及总体在(-∞,a)
(a?0)
的概率求法
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
1.标准正态分布是正态分布研究的重点,各式各样的正态分布可以通 过
F(x)??(
x?
?
?
)
转换成标准正态曲线,转换后 正态分布的各项性质保持不变,
而标准正态分布的概率又可以通过查表求得,因而标准正态分布表的使用 是本
节课的重点之一
2.介绍《标准正态分布表》的查法 表中每一项有三个相关的量:x 、y、
P,x是正态曲线横轴的取值,y是曲线的高度,P是阴影部分的面积 即
?(x
0
)?P(x?x
0
)

3.标准正态曲线关于y轴对称 因为当
x
0
?0
时,
?( x
0
)?P(x?x
0
)

而当
x
0?0
时,根据正态曲线的性质可得:
?(x
0
)?1??(?x
0
)
,并且可以求
得在任一区间
(x
1
,x
2)
内取值的概率:
P(x
1
?x?x
2
)??(x2
)??(x
1
)

4.由例讲授,对于任一正态总体
N(
?
,
?
)
都可以通过
F(x)??(
2x?
?
?
)
,求
得其在某一区间内取值的概率
5. 从下列三组数据不难看出,正态总体在(μ-3σ,μ+3σ)以外的概率只有
万分之二十六,这是一个 很小的概率 这样,就简化了正态总体中研究的问题

F(μ-σ,μ+σ)≈0.683,
F(μ-2σ,μ+2σ)≈0.954,
F(μ-3σ,μ+3σ)≈0.997
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教学过程:
一、复习引入:
1.总体密度曲 线:样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于
总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无 限增大,分组的组距无限缩小,
那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密 度曲
线.
频率组距
总体密度曲线
单位
O
a
b

它反 映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线,可求出总体在区
间(
a

b
)内取值的概率等于总体密度曲线,直线
x
=
a

x=
b

x
轴所围图形的面
积.
2.正态分布密度函数:
?
1
f(x)?e
2
??
(x?
?
)
2
2
?
2
(σ>0)
,x?(?? ,??)

其中π是圆周率;e是自然对数的底;x是随机变量的取值;μ为正态分布的均值;σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为
N(
?
,
?
)< br>
2
2.正态分布
N(
?
,
?
)
)是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布
2

3.正态曲线的性质:
(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交
(2)曲线关于直线x=μ对称
(3)当x=μ时,曲线位于最高点
(4)当x<μ时,曲线上升(增函数);当x>μ时,曲线下降(减函数)
并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近
第 2页(共7页)


(5)μ一定时,曲线的形状由σ确定
σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;
σ越小.曲线越“瘦高”.总体分布越集中:
五条性质中前三条学生较易掌握,后两条较难理解,因此在讲授时应运用
数形结合的原则,采用 对比教学
4.标准正态曲线:当μ=0、σ=l时,正态总体称为标准正态总体,其相应
的 函数表示式是
f(x)?
1
2
?
e
?
x
2
2
,(-∞<x<+∞)
其相应的曲线称为标准正态曲线
标准正态总体N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分
布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题
二、讲解新课:
1.标准正态总体的概率问题:
y
x

对于标准正态总体N(0 ,1),
?(x
0
)
是总体取值小于
x
0
的概率,

?(x
0
)?P(x?x
0
)

其中
x
0
?0
,图中阴影部分的面积表示为概率
P(x?x
0
)< br> 只要有标准正态分布
表即可查表解决.从图中不难发现:当
x
0
?0
时,
?(x
0
)?1??(?x
0
)
;而当
x
0
?0
时,Φ(0)=0.5
2.标准正态分布表
标准正 态总体
N(0,1)
在正态总体的研究中有非常重要的地位,为此
专门制作了“标准正 态分布表”.在这个表中,对应于
x
0
的值
?(x
0
)
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指总体取值小于
x
0
的概率,即
?(x
0
)?P(x?x
0
)

(x
0
? 0)


x
0
?0
,则
?(x
0
)?1??(?x
0
)

利用标准正态分布表,可以求出标准正态总体在 任意区间
(x
1
,x
2
)

取值的概率,即直线< br>x?x
1

x?x
2
与正态曲线、
x
轴所围 成的曲边梯形
的面积
P(x

1
?x?x
2
)? ?(x
2
)??(x
1
)
3.非标准正态总体在某区间内取 值的概率:可以通过
F(x)??(
x?
?
?
)

化成标准正态总体,然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首
先要掌握正态总体的均值和标准差,然后进行相应的转化
4.小概率事件的含义
发生概率一般不超过5%的事件,即事件在一次试验中几乎不可能发生
假 设检验方法的基本思想:首先,假设总体应是或近似为正态总体,然后,
依照小概率事件几乎不可能在一 次试验中发生的原理对试验结果进行分析
假设检验方法的操作程序,即“三步曲”
一是提出统计假设,教科书中的统计假设总体是正态总体;
二是确定一次试验中的a值是否落入(μ-3σ,μ+3σ);
三是作出判断
三、讲解范例:
例1求标准正态总体在(-1,2)内取值的概率.
解:利用等式
p??(x
2
)??(x
1
)
有 < br>p??(2)??(?1)??(2)?
?
1??
?
?
??1
?
?
?

=
?(2)??(1)?1
=0.9772+0.8413-1=0.8151.
例2. 若
x

N
(0,1),求(l)
P
(-2 .32<
x
<1.2);(2)
P
(
x
>2).
解:(1)
P
(-2.32<
x
<1.2)=?(1.2)-?(-2.32 )
=?(1.2)-[1-?(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.
(2)
P
(
x
>2)=1-
P
(
x
<2) =1-?(2)=l-0.9772=0.0228.
例3.利用标准正态分布表,求标准正态总体在下面区间取值的概率:
(1)在N(1,4)下,求
F(3)

(2)在N(μ,σ)下,求F(μ-σ,μ+σ);
2
第 4页(共7页)


F(μ-1.84σ,μ+1.84σ);F(μ-2σ,μ+2σ);
F(μ-3σ,μ+3σ)
解:(1)
F(3)

?(
3 ?1
)
=Φ(1)=0.8413
2
?
?
?
?< br>?
)
=Φ(1)=0.8413 (2)F(μ+σ)=
?(
?
F(μ-σ)=
?(
?
?
?
?
?
)
=Φ (-1)=1-Φ(1)=1-0.8413=0.1587
?
F(μ-σ,μ+σ)=F( μ+σ)-F(μ-σ)=0.8413-0.1587=0.6826
F(μ-1.84σ,μ+1 .84σ)=F(μ+1.84σ)-F(μ-1.84σ)=0.9342
F(μ-2σ,μ+2σ)=F(μ+2σ)-F(μ-2σ)=0.954
F(μ-3σ,μ+3σ)=F(μ+3σ)-F(μ-3σ)=0.997
对于正态总体< br>N(
?
,
?
2
)
取值的概率:
68.3%
x
95.4%
x
99.7%
x


6 σ

在区间(μ-σ,μ+σ)、(μ-2σ,μ+2σ)、(μ-3σ,μ+3σ)内取值< br>的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间(μ-3σ,μ+3
σ)内研究正态总体分布情况,而忽略其中很小的一部分
例4.某正态总体函数的概率密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为
1
2
?
,求总体落入区间(-1.2,0.2)之间的概率
解:正态分布的概率密度函数是f(x)?
1
2
??
e
?
(x?
?
)
2
2
?
2
,x?(??,??)
,它
是偶函数,说 明μ=0,
f(x)
的最大值为
f(
?
)

正态分 布就是标准正态分布
1
2
??
,所以σ=1,这个
P(?1.2 ?x?0.2)??(0.2)??(?1.2)??(0.2)?[1??(1.2)]??(0.2)??( 1.2)?1

?0.5793?0.8848?1?0.4642

四、课堂练习:
1.利用标准正态分布表,求标准正态总体在下面区间取值的概率
第 5页(共7页)


(1)(0,1); (2)(1,3)
解:(1)P=Φ(1)-Φ(0)=0.8413-0.5=0.3413
(2)P=Φ(3)-Φ(1)=0.9887-0.8413=0.1574
2.若
x

N
(0,1),求
P
(
x
<-1).
解:由公式?(-
x
)=1- ?(
x
),得
P
(
x
<-1)=?(-1)=1-?(1 )=1-0.8413=0.1587
3.某县农民年平均收入服从
?
=500元 ,
?
=200元的正态分布 (1)求此县农
民年平均收入在500
?
520元间人数的百分比;(2)如果要使此县农民年平均收
入在(
?
?a,
?
?a
)内的概率不少于0.95,则
a
至少有多大?
解 :设
?
表示此县农民年平均收入,则
?
~N(500,200
2)

520?500500?500
)??()??(0.1)??(0)?0 .5398?0.5?0.0398
200200
aaa
)??(?)?2?()?1 ?0.95
, (2)∵
P(
?
?a?
?
?
??a)??(
200200200
a
??()?0.975

200
a
?1.96?a?392
查表知:
200
P(500?
?
?520)??(
五、小结 :正态 总体N(μ,σ)转化为标准正态总体N(0,1)的等式
2
F(x)??(
x??
?
)
及其应用 通过生产过程的质量控制图,了解假设检验的基
本思想
六、课后作业:
七、板书设计(略)
八、课后记:
小概率事件
正态总体在(μ-3σ,μ+3σ)以外的概率只有千分之三,这是一个很
小的概率 这样我们 在研究问题时可以集中在(μ-3σ,μ+3σ)中研究,
而忽略其中很小的一部分,从而简化了正态正 态中研究的问题
(1)小概率事件通常是指在一次试验中几乎不可能发生的事件 一般情形
下,指发生的概率小于5%的事件 但要注意两点:一是几乎不可能发生的事件
是针对 一次试验来讲的,如果试验次数多了,该事件当然是可能发生的;二是
利用“小概率事件在一次试验中几 乎不可能发生”的思想 来进行推断时,也
有5%的犯错误的可能
(2)正态分布的小概率 事件说明正态总体中的绝大部分的数据99.7%落在
平均值
?
左右各偏3
?
的范围内
1.已知某车间正常生产的某种零件的尺寸满足正态分布N(27.45,0.05),
第 6页(共7页)
2


质量检验员随机抽查了10个零件,测得它们的尺寸为:27.34 、27.49、
27.55、27.23 、27.40、27.46、27.38、 27.58、 27.54、 27.68 请你
根据正态分布的小概率事件,帮助质量检验员确定哪些零件应该判定在非正常
状态下生产的
解:小概率事件是指在一次试验中几乎不可能发生的思想 我们对落在区
间(27.45-3× 0.05,27.45+3×0.05)=(27.3,27.6)之外生产的零件尺
寸做出拒绝接受零 件是正常状态下生产的假设 有两个零件不符合落在区间
(27.3,27.6)之内;
答:尺寸为27.23和尺寸为27.68的两个零件,它们是在非正常状态下生产的
2.灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ(单位:h),已知ξ~N(1000,30),要
使灯泡的平均寿 命为1000h的概率为99.7%,问灯泡的最低使用寿命应控制在
多少小时以上?
2解:因为灯泡寿命ξ~N(1000,30),故ξ在(1000-3×30,1000+3×30)
内取值的概率为99.7%,即在(910,1090)内取值的概率为99.7%,故灯泡
的最低使 用寿命应控制在910h以上
进行假设检验的方法与步骤:
2
(1)提出统计假设,具体问题里的统计假设服从正态分布N(μ,σ);
(2)确定一次试验
a
值是否落入(μ-3σ,μ+3σ);
2
( 3)作出判断:如果
a?(
?
?3
?
,
?
?3?
)
,就接受假设;如果
a?(
?
?3
?
,< br>?
?3
?
)
,由于这是小概率事件,就拒绝假设,说明生产过程中出< br>现了异常情况


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