高中数学竞赛与几何不等式-高中数学几何作图
二项式定理(第1课时)
一、内容和内容解析
内容:二项式定理的发现与证明.
内容解析:本节是高中数学人教A版选修2-3第一章第3
节的内容.二项式定理是多
项式乘法的特例,是初中所学多项式乘法的延伸,此内容安排在组合计数模型
之后,随机变
量及其分布之前,既是组合计数模型的一个应用,也是为学习二项分布作准备.
由于二项式定理的发现,可以通过从特殊到一般进行归纳概括,在归纳概括过程中还可
以用到组合计数模
型,因此,这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽
略的价值.教学中应当引起充分
重视.
二、目标和目标解析
目标:
(1)能通过多项式乘法,归纳概括出二项式定理内容,并会用组合计数模型证明二项
式定理.
(2)能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律,并能通过特例体会二项式
定理的简
单应用.
(3)通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养,以及用二项式定理这个模
型培养学生数学建模素养.
目标解析:
(1)二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊
形式,因此从多项式乘法出发去发现二
项式定理符合学生的认知规律.但归纳概括的结论,如果不加以严
格的证明不符合数学的基
本要求.因此,在归纳概括的过程中,用好组合模型不仅可以更自然地得到结论
,还能为证
明二项式定理提供方法.
(2)由于二项展开式是一个复杂的多项式.如果不把
其看成一个数列的和,引进数列
的通项帮助理解与应用,学生很难短期内对定理有深入的认识.因此,通
过一些特例,建立
二项式展开式与数列及数列和的联系,是达成教学目标的一个重要途径.
(
3)数学核心素养是数学教学的重要目标,但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机
会去落实.在二项式
定理的教学中,从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开
式的规律是进行数学抽象教学的很
好机会;同时利用组合计数模型证明二项式定理,以及利
用二项式定理这个模型解决问题,也是进行数学
建模教学的好机会.
基于上述分析,本节课的教学重点定为:发现并证明二项式定理.
三、教学问题诊断分析
1.教学问题一:现在的学生字母运算能力普遍偏弱,多个多项式的乘
法对运算要求又
较高,而本节课又需要进行多个多项式的乘法去观察展开式的特征,因此,解决运算问题
是
本节课的第一个教学问题.解决方案:运用图形计算器的代数运算功能,可以让学生快速得
到
正确结果,让学生把主要精力用在观察、发现规律上.
2.教学问题二:怎样发现二项式展开式的规律
是本节课的第二个教学问题.这不仅是
本节课的重点,也是教学难点.解决方案:通过比较多项式
(a
1
?b
1
)(a
2
?b
2
)(a<
br>3
?b
3
)
展开
式中项与项的异同点,得出
(a?b
)
n
的展开式的项的规律,从而得到二项式定理的内容.
3.教学问题三:如何证明
二项式定理是第三个教学问题.学生很容易把发现二项式展
开式的过程就当成二项式定理的证明过程.二
项式定理的证明可以用数学归纳法,但难度较
大.较为恰当的选择是把发现二项式定理过程中用到的组合
计数模型来证明.解决方案:通
过对
(a?b)
3
的展开式项的分析,并用组
合数进行刻画,由此用组合数对一般的展开式进行
刻画.
基于上述情况,本节课的教学难点定为:发现及归纳二项式展开式系数的规律.
四、教学策略分析
本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生
通过观察、
归纳得到二项式定理,应该为学生创造积极探究的平台.因此,在教学过程中使用TI-图形
计算器.既可以解决多项式乘法的复杂计算问题,也可以让学生从被动学习状态转到主动学
习状
态中来.
在教学设计中,采取问题引导方式来组织课堂教学.问题的设置给学生留有充分的思
考空间,让学生围绕问题主线,通过自主探究达到突出教学重点,突破教学难点.
在教学过程中,重视
二项式定理的发现与证明,让学生体会到从特殊到一般是数学抽
象的基本过程,同时,定理的证明与定理
的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范.因
此,本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素
养教学有机结合的尝试.
五、教学过程与设计
教
学
环
节
问题或任务 师生活动
教师1:
提出问题1.
学生1:学生思考.
教师2:提出问题2.
学生2:学生思考.
设计意图
[问题1]有人说
(1?x)
70
的展开式中
有
x
47
项,你认为对
吗?若有,它的系数是
多少?
[问题2]
为了解决问
题1,需要用到
(a?b)
n的展开,你认为这个展
开式式会怎样呢?
回
顾
前
知
引
出
猜
想
问题引入.
教师3:观察
(a?b)
1<
br>、
(a?b)
2
、
(a?b)
3
、
(a?b)
4
、
(a?b)
5
的展开式,你能得
到哪些规
律?
学生3:利用图形计算器CAS的expand()函数,提出问题.
得出
(a?b)
3
、
(a?b)
4
、
(a?b)
5<
br>的展开式.
引导学生通
过对特殊情
形的观察,
归纳猜想一
般情形的基
本特征.
教师4:根据你所计算的结果,填对应表格. 教师引导,
学生根据所
得具体的展开式,从展
开式中的项
数、项的次
数、项的系
数等角度进行归纳,并
根据归纳所
得猜想一般
学生4:发现项数、项的次数、项的系数并猜<
br>的展开式的
结果.
想:
学生体会由
特殊到一般
(a?b)
n
?
?
0
a
n
?
?
1
a
n?1
b?????
?
k
a
n?k
b
k<
br>?????
?
n
b
n
的归纳猜想
的过程.
[问题3]
猜想一:
探
寻
规
律
获
得
结
论
(a?b)
n
?
?
0
a
n<
br>?
?
1
a
n?1
b
?????
?
k
a
n?k
b
k
?????
?
n
b
n
33223
在
(a?b)?
?
0
a
?
?
1
ab?
?
2
ab?
?
3
b
一般问题回
中的
?
k
?
?
到特殊情形
中
,为什么“
?
0
?1
,
?
1
?3
,
?
2
?3
,
进行研究.
?
3
?1
”?
学生6:展开式计算,寻找答案.
教师7:提出问题:
把问题回到
(a?b)
3
与
(a<
br>1
?b
1
)(a
2
?b
2
)(a
3
?b
3
)
是什么
已知的结构
关系? 进行处理.
学生6:当
a
1
?a
2
?a
3
?a
,
b
1
?b
2
?b
3
?b
3
时,
(a
1
?b
1
)(a
2
?
b
2
)(a
3
?b
3
)?(a?b)
.
教师7:提出问题:
探究
(a
1
?b
1)(a
2
?b
2
)(a
3
?b
3
)<
br>展开式的特
点.
学生通过计
学生7:利用图形计算器的CAS功能中算器得到计
算结果.
expan
d()函数,得出
(a
1
?b
1
)(a
2
?b2
)(a
3
?b
3
)
的
展开式.
教
师通过引
教师8:引导学生分析
(a
1
?b
1
)(a
2
?b
2
)(a
3
?b
3
)
导学生对展
展开式的各项,并提出问题在展开式中为什么开式各项构
成的观察,
没有
a<
br>1
b
1
a
2
项,
a
1
a
2
等项?
得到项的构
学生8: 学生根据所得的计算结果,观察得到
成.
展开式的项的特点:展开式中的每一项是由每
个括号中“取且只取”一个字母相乘得到的.
教师5:提出问题3.
学生5:引起思考,并提出想法.
教师6:提出问题:
教师9:通过表格呈现特殊
(a?b)
3
与
(a
1
?b
1
)(a
2
?b
2
)(a
3?b
3
)
的展开式的
并提出问题:
(a?b)
3
?
?
0
a
3
?
?
1
a
2
b?
?
2
ab
2
?
?
3
b
3
中,
为什么
?
1
?3
?
学生9:
(a?b)
3
展开式中的项
3a
2
b
是由
(a
1
?b
1
)(a
2
?b
2
)(a
3
?b
3
)
展开式中的项
a
1a
2
b
3
,
通过特殊与
一般的项的
a
1
b
2
a
3
,
b
1
a
2
a
3
去掉足码得到
aab
,
aba
,
baa关系对比,
得到对系数
后合并同类项得到.从三个括号中的一个括号
意义的理选择“
b
”剩余两个括号选择“
a
”构成的,
解.
因为从三个括号中的一个括号选择“
b
”,一旦
确定哪个括号选“
b
”,剩余两个括号选择也就
确定了,因为“
b
”有三种选择,所以对应同
类项的个数就为3
,即“
a
2
b
”的系数为
3
.
根据展开式
教师10:能否用计数模型进行解释?
系数即同类
学生10:“
a
2
b
”可以看成是从三个括号中选
项的个数这
择一个括号
选“
b
” ,剩余两个括号选择“
a
”,
一结论,引
完成这
件事的所有可能,要做这件是,我们可
导同学们通
分成两步来完成:第一、从三个括号中选择一
过一般到特
1
个括号选“
b
”,有
C
3
种
选择;第二、剩余两
殊,用组合
计数模型对
2
?1
种选法,故有各项系数进
个括号选择“
a
”就
C
2
行研究.
111
C
3
?1?C
3
种选法,所以,
?
1?C
3
.依此可以
得到其它系数的组合数形式:
1233
(a?b)
3
?C
3
0
a
3?C
3
ab?C
3
2
ab
2
?C
3<
br>b
.
教师11:根据所得
(
a?b)
3
展开式的规律,你
能否得猜想
(a?b)
n
的展
开式中
得到展开式
系数的猜
想.
?
0
,
?
1
,???,
?
k
,???,
?
n
的值?
学生11:
0n1n?1
(a?b)
n
?C
n
a
?C
n
ab?????C
n
k
a
n?k
b
k
nn
?????C
n
b
[问题3]
你能证明
(a?b)
n
?
0n1n?1
C
n
a?
C
n
ab????
nn
?C
n
k
a
n?k
b
k
?????C
n
b
(n?N
?
)
吗?
证
明
定
理
明
晰
概
念
由归纳猜想
到理论证
学生12:提出想法.
明.
教师13:你认为证明问题3,关键是几步?
引导提炼学
生提炼证明
学生13:(1)项的结构;(2)项的系数.
要点.
教师14:证明:
(a?b)
n
是
n<
br>个
(a?b)
相乘,
强调规范表
根据多项式的乘法,展开式每一项都满
足
达.
.
a
n?k
b
k
(
k?{0,1,???,n}
)
对项
a
n?k
b
k
(
k?{0,1,???,n}
)看成问题:
从
n
个括号中选择
k
个括号选“
b
”
,剩余括
号选择“
a
”,相乘而成.可这样设计计数模型,
要做这件事,可分成两步来完成:
第一、从
n
个括号
中选择
k
个括号选“
b
”,有
C
n
k
种选择;
n?k
第二、剩余
括号选择“
a
”就
C
n?k
?1
种选法,
k
?1?C
n
k
种选法.
根据分步计数原理有
C
n
k
所以,项
a
n?k
b
k
的同类项有
C
n
,故
a
n?
k
b
k
的
k
系数为
C
n
(
k?{0,1,???,n}
).
kn?kk
所以,
(a?b)
n
展开式每一项
满足
C
n
ab
(
k?{0,1,???,n}
).
教师12:提出问题3.
明晰概念.
教师15:上述公式叫二项式定理,展开式共有
k
n?1
项,其中各项的系数
C
n
(
k?{0,1,???,
n}
)
[问题4]
从数列的角
叫做二项式系数.
学生从数列
度看二项式展开式,你
教师16:提出问题4.
的角度获得
能获得什么认识?
学生14:
二项展开式可以看成是一个数列的对二项式展
开式的再认
kn?kk
ab
,
表示数列第和,数列的通项公式是
C
n
识.
k?1
项.
教师17:二项式展开式的通项是展开式中第
kn?kk
k
?1
项:
T
k?1
?C
n
ab
.
让学生体会
[问题5]你能
根据
利用二项式
(a?b)
n
的展开式得出学生15:
根据
二
项式定理,把
(a?b)
n
化成
定理模型进
行计算,感
(a
?b)
n
的展开式吗?
[a?(?b)]
n
的形式,把此式子中的
“
?b
”看成
受数学模型
二项式定理中的“
b
”即可得到结论(写出具
的在数学应
用中的价
体展开式).
值.
[课堂练习
[课堂练习1]
1]
(1)求
(1?x)
n
的展开
教师18:布置课堂练习1、2.
熟悉二项式
学生16:完成课堂练习,并通过计算器核对答定理模型.
式;
案.
1
6
)
的 (2)求
(2x?
x
[课堂练习
展开式.
2]让学生体
会用通项公
[课堂练习2]
式表示展开
1
9
求
(x?)
展开式中
x
3
x
式的简洁
的系数.
性.
[问题6]
你从二项
式定理的发现、证明与
应用的过程中体会到
一些什么?
教师19:提出问题6.
学生17:本节课获取二项式定理
的过程:先由
特殊察
(a?b)
3
、
(a?b)
4
、
(a?b)
5
的展开式猜
想一般
(a?b)
n
的
展开式项的结构,再通过对特
殊形式
(a?b)
3
展开式项的研究得到
(a?b)
n
的
师生共同回
顾总结.引
领学生感悟数学认知的
过程,体会
数学核心素
养.
课
堂
小
结
升
华
认
知
[课后练习]
展开式项的规律,最后进行理论证明;课堂展
示了获取一个一般性结论的过程:首先要通过
特殊到一般进行猜想结论,体现了数学抽象过
程;其次,得到猜想后,要进行理论论证,体
现了数学逻辑推理;最后,得到结论后,要以
此为模型进行应用,体现了数学模型的应用.
学生18:学生课后进行思考,并完成课后练习.
1.写出
(x?1)
6
的展开
课后练习是
对定理巩
式.
固,思考练
1
n
3
2.写出
(x?
3
)
的
习是对本节
2x
知识的一个
展开式的第
r?1
项.
深化认识,
同时也为下
节内容做好
[课后思考]
铺垫.
(a?b?c)
3
的展开式1.
为
.
2.请同学们观察下表
(我国宋朝时期数学
家杨辉所做的一个
表),你有什么发现?
知识落实为明线
核心素养为暗线
——黄文辉老师课例《二项式定理》点评
《二项式定理》是高中数学教学的一个难点.此定理规律的发现与证明很好
的体现了获取一个一般性
的结论的基本过程. 我们知道,学生在学习某一项知识
之前,头脑里并非一片空白。他们通过学习、生
活的各种经历,已经形成了一些
科学的或非科学的概念、经验和一套他们独有的思维方式
。黄文辉老师善于从已
知(“最近发展区”)出发,“采用问题引导”,置疑、思疑和解疑,循循善诱、
化
难为易;他既以学生为主体,将课堂还给学生,又注意“发挥教师引导作用”。
作用→反馈→
再作用→再反馈,在这种反复的信息交互中,学生由表及里、思维
不断优化,教学目标逐步实现;他“注
重知识的发生过程”,与学生共同经历从
个别现象,探索、挖掘、发现普遍规律的心路历程,感受数学之
美,潜移默化的
发展了学生的科学创新能力;他突出重点,强化数学核心素养训练,通过“建构
计数原理模型”,演绎证明猜想,形成定理,提升了学生严谨的科学态度和逻辑
思辨能力.
具体来说,有以下几个特点:
1、现代技术为更好的实现教学目标服务.本节课的主题是探究
规律、发现结
论、证明定理,计算不是本节课的任务,但要完成对规律的探究,又必须借助于
一
些特殊多项式的展开式,故图形计算器在课堂上的使用,能使学生从繁杂的计
算中解放出来,更注重于教
学的核心任务.
2、整个设计充分体现了由特殊到一般的抽象过程。在课堂教学中核心素养
的
培养不是仅仅停留在口头上,本节课的设计很好的诠释了这一点,教师通过问
题引导学生不断的通过多个
特殊形式的展开式的特点引导学生观察、归纳出一般
性的规律,让学生充分感受了数学抽象的过程。 <
br>3、问题的生成是自然的。整节课的问题,教师没有生硬的塞给学生,而是
在学生思考过程中,因
学生的思维需求,自然而然的提出问题,是建立在学生主
动需求的基础上。这样的设计提高了学生思维参
与度。
4、整个教通过学过程中,明线、暗线相伴而成,定理的探究、发现、证明
是明线,让
学生充分体会获取一个结论的思维过程,同时渗透了数学抽象、推理
证明、数学建模的核心素养是暗线。
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