高中数学 函数的概念公开课教案教学设计

《函数的概念》的教学设计
一、教学内容解析
本节课是上海市教育出版社高 一《数学》第三章《函数的基本性质》的第一节
课，本章内容总共16课时，《函数的概念》安排为1课 时。
学生在初中已经初识了函数的概念，但当时的学习是在具体函数的基础上，将重
点放在了 两个变量的“依赖关系”上；高中阶段再一次介绍函数的概念，则把重点从
“依赖关系”向“对应关系、 性质、结构”转变，用集合与对应的语言刻画函数。高
一数学的起始两个章节“集合和命题”与“不等式 ”已为函数概念的进一步学习做好
了准备。
函数是高中数学的核心内容之一，函数的思想和方 法贯穿于整个高中数学的教与
学之中。这节课，我尝试运用丰富的材料使学生能抽象出建立在对应观点上 的函数概
念、并能用准确的数学语言进行刻画；从多角度来认识函数，并发现其本质都是对应
关 系；进一步用集合语言表示定义域、值域，进一步理解符号
f
的意义。这一节概念
课将 为接下来从具体到抽象研究函数的性质做准备，也为学生函数的思想和方法的建
立打下基础。
二、 教学目标设置
1.在初中函数概念的基础上，通过观察、辨析几个实际的例子，逐步抽 象出“函数的
概念”，并用准确的数学语言进行刻画。
2.理解并掌握函数的三种表示方法： 解析法、图像法与列表法，并揭示出三种方法背
后的本质即“对应关系”。
3.通过多个具体函数的例子，理解函数的三要素，掌握确定一个函数的方法。
教学重点：
1.准确理解函数概念中的“对应关系”，通过比较体会用“集合- 对应”来定义函数概
念的优点。
2.理解并掌握函数的三种表示方法。
教学难点：
准确理解函数概念中的“对应关系”，通过比较体会用“集合-对应”来定义函数概
念的优点。
三、学生学情分析
我这节课是借班上课，学生是上海市浦东新区洋泾中学高一（7）班的学生 。洋泾
中学是一所市实验性示范性学校。在上这节课之前，我与学生们有过一次20分钟的接
触 ，彼此有了初步的认识。
通过上教版八年级数学教材的学习，学生们已经掌握了基于“变量说”的函数 概
念。与高中用“集合-对应”来定义函数不同，初中的概念侧重于两个变量的依赖关
系，还未 引进集合的概念，也不提对应关系。“变量-依赖关系”形象生动，以此定义
函数符合学生在八年级时的 认知能力与需要，但其中描述性的语言损失了数学的严谨
性，也限制了函数的应用，所以有了进一步研究 函数概念的必要。

学生对函数概念的理解有四个特点：
1．已熟悉具体的一 次函数、反比例函数、二次函数、常值函数，生活中大量的函
数现象也使学生对函数的概念不缺乏感性认 识；但对抽象的函数概念较生疏，难以用
自己的语言进行叙述、解释。
2．已熟悉求函数定义 域的原则，对于“自变量”“因变量”“定义域”“值域”等
数学术语和符号“
f(x)
”也不陌生；但没有用“集合- 对应”的语言来表达，这些零
碎的函数知识也未能抽象成整体的知识框架。
3．虽然八年级数 学教材《函数的概念》第一节课就用到“图像法”和“列表法”
来表示函数，但由于种种原因，学生对函 数的理解不全面，往往错误地将“函数”等
价于“函数解析式”，而学生学习的难点也正是要摆脱“解析 法”的表象，发现函数关
系的本质即“对应关系”。
4．由于“确定的依赖关系”没有明确指 出因变量被自变量“唯一确定”，学生易
将“函数”与“二元方程”混淆。
四、教学策略分析
依据这节课的教学内容与要求，并针对学生的认知能力和特点，我对本节课的教
学做了如下设计 ：
1．在教学内容的结构上，注重初高中函数概念的“辩证与统一”，概念理解兼顾
“具体与 抽象”，教学安排选择“主要与次要”。
“辩证与统一”： 本节课伊始即通过回顾初中函数的概念， 指出概念有进一步精
细化的必要，让学生能带着目标进入这节“似曾相识”的概念课；当函数概念被建立
起来后，再次通过对照两个概念来揭示函数的本质即“对应关系”，使初高中知识得以
衔接，并 形成知识框架，能以更高的观点来引领后续的学习。
“具体与抽象”：函数在生活中应用众多、学生对 函数关系的感性体验也很丰富，
这些教学资源被充分地应用在本节课的前二十分钟里，透过不同的实例， 逐步将学生
的注意力引导到函数共同的特征上，用恰当的方式抽象出函数的概念，并对概念的关
键字词进行深入辨析。最后再回到具体的例题中，应用概念来做判断与辨析，使理解
更深刻、准确。
“主要与次要”： 《上海市中小学数学课程标准》中明确要求“准确理解函数的
概念，掌握求 函数定义域的方法”，因此将教学的重点放在函数概念的理解上，突出主
线，给予学生足够的时间来真正 形成“集合-对应”的函数概念；而将定义域的求法融
入到整节课的例题里面，包括实际问题中的限制条 件（三个实例）和满足表达式有意
义的条件（例题部分），并且将“分段函数”的概念也设计在例题中， 拓宽学生对函数
解析法的应用，使例题有效且高效。这样的设计着重在概念的形成，又涵盖了其它的知识点，达到本节课的教学目标。
2．在引导学生逐步由“具体到抽象”的概念形成过程中，采用 了“启发式”的教
学方法，让学生“多角度”地体验，将重点与难点“有步骤”地突破，使概念“图式< br>化”地呈现，最后达到让学生抽象概括函数概念的目的。

“启发式”教学是以学 生为教学的本体，充分调动学生的知、情、意、行等方面
的积极性，让学生有机会经历各个抽象阶段，从 表现形式不同的数学材料中分析它们
的共同点，形成新的数学概念。为此我舍弃了教材中一些学生较难以 入手的函数例子
（如喷泉水滴的高度与时刻的函数模型，出租车计价模型），选择了一些与学生学习、< br>生活密切相关的实例来激发他们的学习兴趣，用一个个问题把他们带进数学课堂的探
索之中。比如 ，第一个例子是学生们在初中就已经掌握的物理问题：自由落体运动；
第二个例子是手机移动数据流量余 额问题；第三个例子是麦当劳点餐问题，后两个例
子源于我们的日常生活，同学们都有感性的体验，就不 难参与到之后理性的分析之
中。以“如何用恰当的方式表示两个变量的关系？”引出“函数”的课题，再 用一个
个具体的问题将概念抽丝剥茧，引导学生去发现并探究出精细的函数概念。
“多角度” 地观察、比较概念帮助学生拓宽对“函数”的理解，修正狭隘的“函
数即函数解析式”的偏见；也帮助了 学生挖掘出函数概念的本质。函数的表示方法是
这节课的教学目标之一，我从他们最熟悉的“解析法”引 入，并用了另外两个难以写
出解析式的实例来说明函数还有其它表示方法：如“图像法”和“列表法”。 通过比
较，使学生体会各个方法的特点：“解析法”运算方便，“图像法”趋势明显，“列表
法 ”对应清晰，从而丰富了他们对函数表示方法的认识；通过归纳，使学生概括三种
表示方法的共同点：“ 解析法”通过运算得到函数值，“图像法”通过横坐标找到对应
点的纵坐标，“列表法”的每一列就是一 个对应关系，从而提炼出函数的本质就是“唯
一确定的对应关系”，即使用其它的表示方法（如：文字叙 述）只要能得到“唯一确定
的对应关系”就是函数了。
“有步骤”地实现教学目标与重点，突 破教学难点也是本节概念课所采取的教学
策略。高中函数的概念与初中概念是统一的，但用了更数学化、 更抽象的“集合-对
应”语言来定义，所以我分以下三个步骤：（1）规定用集合来表示定义域、值域；
（2）抽象出对应关系的意义；（3）强调“唯一确定”的对应关系，运用几个实例来逐
步实现 它们。特别是“唯一确定”这一概念中的关键词，我通过三个正例来强化，一
个反例来辨析，让学生能正 确理解、判断。在课堂中“集合-对应”的函数概念被逐步
完整、逐步抽象，最终水到渠成。
“图式化”是本节课板书设计的特点。虽然几个实例的背景不同，但通过图式的
方法进行整理，将定义域 ，对应法则及值域抽象出来，简洁有效地展现出几个函数的
共性，使学生能透过函数的不同表示方法（解 析法、图像法或列表法）、不同的变量名
称（x和y，或t和s）、不同的对应符号（
f
、
g
或
h
）看到函数的本质就是对应关
系，达到最终能用较准确的 数学语言叙述、解释的目的。

五、 教学过程
（一）概念的温故
在我 们身边充满了变化的量，我们该怎样来描述它们呢？数学中我们用“变量”
来描述可以取不同数值的量。 那么又该如何来描述两个变量之间的关系呢？让我们来
看一个具体的例子：
实例1：自由落体实验

从10米的高处让一个小球自由落下，已知重力加速度 为9.8
m
s
2
，若空气阻力忽
略不计，试用恰当的方式表示小球在 下落过程中经过的距离
y
（米）与时间
x
（秒）
的关系。
y?4.9x
2

初中学习的函数概念：
在某个变化过程中有两个 变量
x
和
y
，如果在变量
x
的允许取值范围内，变量
y
随着
x
的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量
y
叫做变量
x
的函
数，
x
叫做自变量，
y
叫做因变 量。
初中的函数概念虽然形象生动，却有一些模糊的表述，如：“
y
随着
x
的变化而变
化”，“确定的依赖关系”等。今天，我们将再一次研究“函数”这一核心数学概念 ，
用更高的观点来理解它，用更数学化的语言来刻画它。
（二）概念的深化
实例1：自由落体实验
2
解析式
y?4.9x
很好地表达了
y
与
x
的依赖关系：将自变量先平方，再乘以4.9
得到函数值。如此，是 否由“2”对应得到“19.6”呢？此题中，
x
允许取值的范围是
什么呢？
x
允许取值的范围就是函数的定义域，我们用集合来表示，并简记为
D
。当取遍定义域内的每一个值，通过“先平方，再乘以4.9”的法则得到的函数值所组成的集
合就是函数的 值域。定义域和值域是同学们曾接触过的概念，但今后我们必须用集合
（区间）来表示它们；“先平方， 后乘以4.9”的法则称为函数的对应法则，记为
f
。
学生在理解函数概念时，往往 只注意函数的表达式而忽略函数的定义域，割裂了
函数的三要素。在这个同学们熟悉的“自由落体实验” 中，通过一个反例：“2对应得
到19.6”首先让学生注意到定义域是函数不可缺少的要素。接下来规 定用集合表示函
数的定义域和值域，重温了符号“
f
”，并第一次提出“对应法则”的 概念。最后利用
图式，淡化了函数解析式，抽象概括出函数的三要素。但未纠正“对应法则”即“解析式”的误区。正真理解“对应法则”还需再看实例2。
实例2：10月手机流量走势图
y
50
（MB）
小明每个月手机移动
10月手机移动数据流量余额走势图< br>数据总流量为50MB，10
月份他的剩余流量
y
(MB)
与时间x
(天)之间的关系
可以用以下图像来描述.
这个图中的两个变量：时
间
x
与手机流量余额
y
是
“函数关系”吗？为什
么？ < br>40
30
20
10
0
8293031
x
（天 ）

当
x
取一个确定的值时，通过横坐标可以找到图像上相应点的纵坐标 。如此，函
数的对应关系就被确定了。这里我们虽然难以写出函数解析式，但图像上已经凸显了
流量余额与时间的对应关系，不妨用字母“
g
”来代表此图中的对应法则，那么当我
们 取定义域内的一个确定的值
a
时，就得到唯一确定的函数值
g(a)
。

在设计实例2时，有两方面的考虑：一是要贴近学生的生活，使同学们发现数学
的概 念就在身边；二是想找到一个难以用解析式来拟合的函数图像，排除“函数解析
式”这个看似不可或缺， 实则与“函数概念”无关的表示方法，强化“函数概念”中
“对应关系”的实质。“手机流量走势图”< br>正满足了上述的设计意图。再者，这里将对
应法则记为“
g
”，温习了
g(a)
的意义，也
提示同学们记为“
f
”或“
g
”是无关 的，
重要的是符号背后的“对应法则”。最后，
对比了“解析法”与“图像法”各自的特
点，并提出是否还有其它表示方法的问题。
实例3：麦当劳点餐



一位外国人走进麦当劳餐厅，他想买一
个汉堡包，可他看不懂中文菜单，想一想他该 怎样来点餐呢？如果他指出所选择汉堡
包的编号，那么营业员就能奉上他想要的汉堡包，他所需支付的价 格也被唯一确定
了。这里有两个变量：编号和价格，它们也是函数关系吗？思考一个合理的表示方法使编号与价格的关系一目了然。

列表法：
编号
价格
1
15.5
2
17
3
17
4
19
5
15.5
6
16
7
9
8
9
9
7
如果反过来，编号是价格的函数吗？
价格
编号
15.5
1
17
2
17
3
19
4
15．5
5
16
6
9
7
9
8
7
9
实际情景中，如果顾客付17元，一 定能拿到想要的汉堡吗？由于不确定，这样点
单会乱套的。同样，由于存在一个价格对应两个不同编号的 情况，编号并不是价格的
函数。函数关系不仅强调了存在对应的函数值，更要求通过对应法则存在“唯一 确
定”的函数值。

“列表法”表示函数对应清晰，通过实例1和实例2，学生已能 顺利地判断两变
量之间是否为函数关系，正确确定自变量与因变量，用集合表示出定义域，并通过表

格找到对应法则。此例的设计意图不仅在于抛开解析式，突出函数的对应法则，还在
于通过反例使学生明确对应法则必须“唯一确定”： 可以是“多对一”或者“一对
一”，但不能是“一对多”。为接下来抽象出精确的函数概念做准备。
（三）概念的抽象
函数
y?f(x)
既表示定义域中元素
x
按照对应法则
f
与值域中元素
y
对应的“过
程”，又表示由定义域
D
，对应法则
f
和值域
A
所构成的“对象”。通过之前的几 个实
际例子，相信学生已经充分体会到函数概念的本质，教师抓住时机引导学生从“过
程”的角 度、用自己的语言归纳出函数即变量间唯一确定的对应关系；而教师则从
“对象”的角度抽象出函数即函 数三要素所组成的整体；“过程”与“对象”的统一从
而得到函数概念的新认识：
函数的概念
在某个变化过程中有两个变量
x
和
y
，如果对于
x
在某个实数集合
D
内的每一个
确定的值，按照某个对应法则
f
，y
都有唯一确定的实数值与它对应，那么
y
就是
x
的函数，记作
y?f(x)
，
x?D
.
x
叫做自变量，
y
叫做因变量，
x
的取值范围
D
叫做
函数的定义域,和
x< br>的值相对应的
y
的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.

得到概念后，教师归纳出什么是函数概念的关键（定义域，对应法则和值域），而
什么与函数的本质无关 （如表示方法），并指出概念中的限制条件，如：“每一个……
都有……”、“唯一确定”等，使学生能 准确地理解概念。当然，函数概念中还有其它
的限制条件，如变量的个数是两个，定义域与值域是实数集 合等，但由于在高等数学
中，学生将学到“多元函数”、“复函数”以及“定义在任意非空集合上的函数 ”，所以
此处并不强调这些“人为”的限制条件，只讲概念的实质属性。
当学生能准确把握“集合-对应”语言所定义的函数概念后，再对比初高中函数的
概念，发现新 的概念在表达上更准确、便于应用，但它们实际上是统一的，从而将初
高中函数的知识整合起来。
（四）概念的应用
例题1、请指出下列图中哪一个不是函数的图像.
(A)

(B)



(C)
例题2、若
y
2
?x
，请判断
y
是否是< br>x
的函数？如果不是，请说明理由；如果是，请
指出这个函数的定义域和值域.

例题3、下列各组所表示的函数是否相同？请同学们判断并说明理由.
（1）
f(x)?x
，
g(x)?
（2）
f(x)?x
，
g(x)?
x
?
x
?
;
2
x
2
;
t
3
5t
（3）
f( x)?2,x?
?
0,1,2,3
?
，
g(t)???1,t??
0,1,2,3
?
.
66
通过这三个层层深入的例子来应用 函数概念，使同学们的理解更精致化。例题1
与例题2从图像和算式两个角度来辨析函数的概念，由于学 生较好地掌握了“唯一确
定”这一限制条件，能快速得出正确的判断与理由。例题3讨论了如何来确定一 个函
数。两个反例的判断并不困难，但第三小问需要学生理解函数的本质不是变量的名
称，也不 是函数解析式，而是定义域、对应法则和由此被确定的值域，难度较大。回
答的同学能做成正确判断，并 在教师的引导下给出正确的解释。
三个例子也都有变式教学，让学生不断回到概念中去，并且都涉及到 求函数定义
域的问题；例题1还结合了分段函数的概念教学，总体来说，例题的设计还是高效
的 。
（五）小结与作业：
本节课我们一起建立了对函数概念的新认识：对应法则
f< br>作用在非空实数集
D
上，从而确定了非空实数集
A
。
D
（定义域）、
f
（对应法则）和
A
（值域）是组成
函数的三个要素 。对应法则
f
可以用解析法、图像法或列表法来表示，因为这三种方
法都能使定义域中 的每一个确定的值通过对应法则
f
得到唯一确定的函数值。这种对
应关系可以是“多对 一”或者“一对一”，但不能是“一对多”。最后，在函数关系中
一旦定义域和对应法则确定了，值域就 被确定了，函数也就被唯一确定了。
函数在生活当中的应用是广泛的，函数也是高中数学的核心概念；今天我们从
“集合-对应”的 角度来定义函数的概念，本质上与初中的函数概念是一致的，但它更
具有一般性、也将在后续的学习中有 更多的应用。
课后作业：数学练习部分 习题3.1函数的概念