高中数学教案——组合 第一课时

课 题：
10．3组合 (一)
教学目的：
1理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；
2. 能正确认识组合与排列的联系与区别
教学重点：组合的概念和组合数公式
教学难点：组合的概念和组合数公式
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，
并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与
顺序有关的是排列问题 ，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求
解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是 简单的，但在具体求解过程中
学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.
三人行，必有我师

指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺 序.教的秘诀
在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.
能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.
学生易于辨别组合、全排列 问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解
排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按 以下两步思考：首先
要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进
行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如
果不需要，是组合问题； 否则是排列问题.
排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路< br>通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、
组合题就是从生活 经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，
抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔 者观察，有些同学之所以学习中感
到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做 事、考
虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常
理或常规的 做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情
况，怎么做事就怎么分析，若能借助 适当的工具，模拟做事的过程，则更能说
明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.
教学过程：
一、复习引入：
1 分类计数原理：做一件事情，完成它 可以有n类办法，在第一类办法
中有
m
1
种不同的方法，在第二类办法中有< br>m
2
种不同的方法，……，在第n类
办法中有
m
n
种 不同的方法那么完成这件事共有
N?m
1
?m
2
?
?m< br>n
种不
同的方法
2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤， 做第一步有
m
1
种不同的方法，做第二步有
m
2
种不同的方 法，……，做第n步有
m
n
种不同的
方法，那么完成这件事有
N?m
1
?m
2
??
m
n
种不同的方法
3 ．排列的概念：从
n
个不同元素中，任取
m
（
m?n
）个元 素（这里的被
取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个
．．．．．
元素的一个排列
．．．．

4．排 列数的定义：从
n
个不同元素中，任取
m
（
m?n
）个元素 的所有排
m
列的个数叫做从
n
个元素中取出
m
元素的排列数 ，用符号
A
n
表示
三人行，必有我师

m
5．排列数公式：
A
n
?n(n?1)(n?2)(n?m?1)
（
m,n?N
?
,m?n
）
6 阶乘：
n!
表示正整数1到
n
的连乘积，叫做
n
的阶乘规定
0!?1
．
m
7．排列数的另一个计算公式：
A
n
=
n!

(n?m)!
8.提出问题：
示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某 天的一项活动，其中1
名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不
同的选法？
引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排
列”，而示例2只要求选出2 名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．
．．
二、讲解新课：
1 组合的概念： 一般地，从
n
个不同元素中取出
m
?
m?n
?
个元 素并成一组，
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
2．组合数的概念： 从
n
个不同元素中取出
m
?
m?n
?
个元素的所有 组合的个数，
m
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的组合数．用符号表示．
C
n
．．．
3．组合数公式的推导：
（1）从4个不同元素
a,b,c,d
中取出3个元素的组合数
C
4
是多少呢？
启发： 由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数
A
4
．．．．． ．．．．
可以求得，故我们可以考察一下
C
4
和
A
4
的关系，如下：
组 合 排列
abc?abc,bac,cab,

abd?abd,bad,dab ,
acd?acd,cad,dac,
bcd?bcd,cbd,dbc,
acb,< br>adb,
adc,
bdc,
bca,
bda,
cda,
cdb,
cba
dba

dca
dcb
33
3< br>3
由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素
中取出3个 元素的排列数
A
4
，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取
出3个元素的组合，共有
C
4
个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，
三人行，必有我师
3
3

< br>各有
A
3
3
种方法．由分步计数原理得：
A
3
4
＝
C?
A
3
4
3
3
，所以，
3
A
4
C?
3
．
A
3
3
4m
（2）推广：一般地，求从
n
个不同元素中取出
m
个元素的排 列数
A
n
，可以分
m
如下两步：① 先求从
n
个不 同元素中取出
m
个元素的组合数
C
n
；② 求每一
mmm< br>m
个组合中
m
个元素全排列数
A
m
，根据分步计数原 理得：
A
n
＝
C
n
．
?A
m
（3）组合数的公式：
n!
A
n
m
n(n?1)(n?2)(n?m?1)
m
或
C
n
?
(n ,m?N
?
,且m?n)

C?
m
?
m!(n?m )!
A
m
m!
m
n
三、讲解范例：
7
4
例1．计算：（1）
C
7
； （2）
C
10
；
7?6?5?4
＝35；
4 !
10?9?8?7?6?5?4
7
（2）解法1：
C
10
?
＝120．
7!
10!10?9?8
7
?
解法2：
C
10
?
＝120．
7!3!3!
m?1
m?1m
?C
n
． 例2．求证：
C
n
?
n?m
（1）解：
C
7?
4
证明：∵
C
n
?
m
n!

m!(n?m)!
m?1n!
?

n?m(m?1)!(n?m?1)!
m?1n!
?

(m?1)!(n?m)(n?m?1)!
n!

m!(n?m)!
m?1
?C
n?m
m?1
n
?
＝
＝
∴C
n
?
m
m?1
m?1
?C
n

n?m
三人行，必有我师

x?12x?3
例3．设
x?N
?
,
求
C
2x?3
?C
x?1
的值
2x?3?x?1
解：由题意可得：
?
，解得
2?x?4
，
?
?
x?1?2x?3
∵
x?N
?
， ∴
x?2
或
x?3
或
x?4
，
当
x?2
时原式值为7；当
x?3
时原式值为7；当
x?4
时原式值为11．
∴所求值为4或7或11．
例4．（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同
的分法？ < br>222
解：
C
6
?C
4
?C
2
?9 0
．
（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2
名男 生和1名女生参加，有多少种选法？
解：问题可以分成2类：
22
第一类 2名男生和2名女生参加，有
C
5
C
4
?60
中选法；
31
第二类 3名男生和1名女生参加，有
C
5
C
4
?40
中选法
依据分类计数原理，共有100种选法
211
错解：
C
5
C
4
C
6
?240
种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多
例5．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问
组成方法共有 多少种？
解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有
C< br>4
，
2112
，
C
4
，
C
4?C
6
?C
6
2112
所以，一共有
C
4+
C
4
+
C
4
＝100种方法．
?C
6
?C
6
33
解法二：（间接法）
C
10
?C< br>6
?100

3
3
四、课堂练习：
1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：
（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？
（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不
同的方法？
三人行，必有我师

2．
7
名同学进行乒乓球擂台赛，决出新 的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ）
A
．
42

B
．
21

C
．
7

D
．
6

3．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直
线有（ ）

A
．
15
对
B
．
25
对
C
．
30
对
D
．
20
对
4．设全集
U?
?
a,b, c,d
?
，集合
A
、
B
是
U
的子集，若< br>A
有
3
个元素，
B
有
2
个元素，且
AB?
?
a
?
，求集合
A
、
B
，则本题的 解的个数为 （ ）

A
．
42

B
．
21

C
．
7

D
．
3

5．从
6
位候选人中选出
2
人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法
6．从
6
位同学中选出
2
人去参加座谈会，有 种不同的选法
7．圆上有10个点：
（1）过每2个点画一条弦，一共可画 条弦；
（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形
8．（1）凸五边形有 条对角线；（2）凸
n
五边形有 条对角线
33
9．计算：（1）
C
15
；（2）
C
6
?C
8
4
．
10．
A,B,C,D,E
5
个足 球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若
各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共 有多少种？
11．空间有10个点，其中任何4点不共面，（1）过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面
体？
12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？
13．写出从< br>a,b,c,d,e
这
5
个元素中每次取出
4
个的所有不同的 组合
答案：1. （1）组合, （2）排列 2. B 3. A 4. D 5. 30 6. 15
7. （1）45 （2） 120 8. （1）5（2）
n(n?3)2

9. ⑴455； ⑵
2
10. ⑴10； ⑵20
7
34
11. ⑴
C
10
?120
； ⑵
C
10
?210

12.
C
4
?C< br>4
?C
4
?C
4
?2?1?15

12344
13.
a,b,c,d
；
a,b,c,e
；
a,b,d,e
；
a,c,d,e
；
b,c,d,e

三人行，必有我师

五、小结 ：组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有
关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：
三人行，必有我师