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人教版高中数学《导数》全部教案课程

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 13:30
tags:高中数学教案

高中数学系-高中数学立体几何的思维导图


导数的背景
(5月4日)
教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义
教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本
教学难点 极限思想
教学过程
一、导入新课
1. 瞬时速度
问题1:一个小球自由下落,它在下落3秒时的速度是多少?
析:大家知道,自由落体的运动 公式是
s?
1
2
gt
(其中g是重力加速度).
2
当时间增量
?t
很小时,从3秒到(3+
?t
)秒这段时间内,小球下落的 快慢变化不大. 因此,
可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.
从3秒到(3+
?t
)秒这段时间内位移的增量:
?s
?29.4?4.9?t
.
?t
?s?s
从上式可以 看出,
?t
越小,越接近29.4米秒;当
?t
无限趋近于0时,无限趋近于 29.4
?t?t
?s
米秒. 此时我们说,当
?t
趋向于0时,的极限是29.4.
?t
?s

?t
趋向于0时,平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度,也叫做瞬时速度.
? t
从而,
v?
??
一般地,设物体的运动规律是s=s(t),则物体在t到 (t+
?t
)这段时间内的平均速度为
?ss(t??t)?s(t)?s
. 如果
?t
无限趋近于0时,无限趋近于某个常数a,就说当
?t
趋向于0时,
?
?t?t?t
?s
的极限为a,这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.
?t
2. 切线的斜率
问题2:P(1,1)是曲线
y?x
2上的一点,Q是曲线上点P附近的一个点,当点Q沿曲线逐渐向点
P趋近时割线PQ的斜率的变化情 况.
析:设点Q的横坐标为1+
?x
,则点Q的纵坐标为(1+
?x

2
,点Q对于点P的纵坐标的增量
(即函数的增量)
?y?(1??x)
2
?1?2?x?(?x)
2

所以,割线PQ的斜率
k
PQ
?y2?x?(?x)
2
???2??x
.
?x?x


由此可知,当点Q沿曲线逐渐向点P接近时,
?x
变得越来越小,k
PQ
越来越接近2;当点Q
无限接近于点P时,即
?x
无限趋 近于0时,
k
PQ
无限趋近于2. 这表明,割线PQ无限趋近于过点
P且斜率为2的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线. 由点斜式,这条切线的方程为:
y?2x?1
.
一般地,已知函数
y?f( x)
的图象是曲线C,P(
x
0
,y
0
),Q(
x
0
??x,y
0
??y
)是曲线C上
的两点,当点Q沿曲线 逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P转动. 当点Q沿着曲线无限接近
点P,即
?x
趋向于0时,如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在点
P处的切线. 此 时,割线PQ的斜率
k
PQ
?
向于0时,割线PQ的斜率
k
PQ
?
3. 边际成本
问题3:设成本为C,产量为q,成本与产量的函数关系式为
C(q)?3q
2
?10
,我们来研究当q=50
时,产量变化?q
对成本的影响.在本问题中,成本的增量为:
?C?C(50??q)?C(50)? 3(50??q)
2
?10?(3?50
2
?10)?300?q?3(?q )
2
.
?y
无限趋近于切线PT的斜率k,也就是说,当
?x
?x
?y
的极限为k.
?x
产量变化
?q
对成本的影响可用:
?C?C
?300?3?q
来刻划,
?q
越小, 越接近300;当
?q
无限趋
?q?q
近于0时,
?C?C
无限趋近于300,我们就说当
?q
趋向于0时,的极限是300.
?q?q
?C
的极限300叫做当q=50时
C(q)?3q
2
?10
的边 际成本.
?q
我们把
一般地,设C是成本,q是产量,成本与产量的函数关系式 为C=C(q),当产量为
q
0
时,
产量变化
?q
对成本的 影响可用增量比
?C
C(q
0
??q)?C(q
0
)
?
刻划. 如果
?q
无限趋近于0时,
?q?q
?C
无限 趋近于常数A,经济学上称A为边际成本. 它表明当产量为
q
0
时,增加单位产量需 付出
?q
成本A(这是实际付出成本的一个近似值).
二、小结
瞬时 速度是平均速度
斜率
?s

?t
趋近于0时的极限;切线是割线的极 限位置,切线的斜率是割线
?t
?C
?y

?x
趋近于0时 的极限;边际成本是平均成本当
?q
趋近于0时的极限.
?q
?x


三、练习与作业:
1. 某物体的运动方程为s(t)?5t
2
(位移单位:m,时间单位:s)求它在t=2s时的速度.
2. 判断曲线
y?2x
2
在点P(1,2)处是否有切线,如果有,求出切线的方程.
3. 已知成本C与产量q的函数关系式为
C?2q
2
?5
,求当产 量q=80时的边际成本.
4. 一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离h(单位:m)与时 间t(单位:s)之间的函
数关系为
h?t
2
,求t=4s时此球在垂直方向 的瞬时速度.
5. 判断曲线
y?
1
2
1
x
在( 1,)处是否有切线,如果有,求出切线的方程.
22
6. 已知成本C与产量q的函数关系 为
C?4q
2
?7
,求当产量q=30时的边际成本.
导数的概念
(5月4日)
教学目标与要求:理解导数的概念并会运用概念求导数。
教学重点:导数的概念以及求导数
教学难点:导数的概念
教学过程:
一、导入新课:
上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同 ,但从函数角度来看,却是相同的,
都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面 导数的概念。
二、新授课:
1.设函数
y?f(x)

x?x< br>0
处附近有定义,当自变量在
x?x
0
处有增量
?x
时,则函数
Y?f(x)
相应地有增量
?y?f(x
0
??x)?f (x
0
)
,如果
?x?0
时,
?y

?x
的比
?y?y
(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近
?x?x
于某个常数,我们把这个极限值叫做函数
y?f(x)

x?x
0
处 的导数,记作
注:1.函数应在点
x
0
的附近有定义,否则导数不存在。
y

x?x
0
,即
2.在定义导数的极限式中,
? x
趋近于0可正、可负、但不为0,而
?y
可能为0。
3.
?y< br>是函数
y?f(x)
对自变量
x

?x
范围内的平均 变化率,它的几何意义是过曲线
y?f(x)
上点
?x

x
0
,f(x
0
)
)及点
(x
0
??x,f(x0
??x)
)的割线斜率。

4.导数
f(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)是函数
y?f(x)
在点
x
0
的处瞬时变化率,它反映的函数< br>y?f(x)
?x
在点
x
0
处变化的快慢程度,它的几何意义 是曲线
y?f(x)
上点(
x
0
,f(x
0
))处的切线的斜率。因此,如果
y?f(x)
在点
x
0
可导,则 曲线
y?f(x)
在点(
x
0
,f(x
0
)
)处的切线方程为
y?f(x
0
)?f

(x
0
) (x?x
0
)

5.导数是一个局部概念,它只与函数
y?f(x )

x
0
及其附近的函数值有关,与
?x
无关。


6.在定义式中,设
x?x
0
??x
,则
?x?x? x
0
,当
?x
趋近于0时,
x
趋近于
x
0
,因此,导数的定义式可写成
f

(x
0
)?lim
?x?o
f(x
0
??x)?f(x
0
)f(x)?f(x
0
)
?lim

x?x
0
?xx?x
0
7.若极限
lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0< br>)
不存在,则称函数
y?f(x)
在点
x
0
处不可导 。
?x
8.若
f(x)

x
0
可导,则曲线y?f(x)
在点(
x
0
,f(x
0
)
)有切 线存在。反之不然,若曲线
y?f(x)
在点(
x
0
,f(x
0
)

有切线,函数
y?f(x)

x
0
不一定可导,并且,若函数
y?f(x)

x
0
不可导,曲线在点 (
x
0
,f(x
0
)
)也可能
有切线。
一般地,
?x?0
lim(a?b?x)?a
,其中
a,b
为常数。
a?a
。 特别地,
lim
?x?0
如果函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
内的每点处都有导数,此时对于每一个
x?(a,b)< br>,都对应着一个确定的导数
f

(x)
,从而构成了一个新的函数
f

(x)
。称这个函数
f

(x)
为函数
y?f(x)
在开区间内的导函数,简称导数,也
可记作
y
,即
< br>f

(x)

y


lim
?yf(x ??x)?f(x)

?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
函数
y?f(x)

x
0
处的导数
数值,即
y

x?x
0
就是函数
y?f(x)
在开区间
(a ,b)(x?(a,b))
上导数
f(x)

x
0
处的函< br>

y

x?x
0

f(x
0
)
。所以函数
y?f(x)

x
0
处的导数也记作
f (x
0
)


注:1.如果函数
y?f(x)
在开 区间
(a,b)
内每一点都有导数,则称函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
内可导。
2.导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是 求导函数;求一个函数在给定点的导数,就
是求导函数值。它们之间的关系是函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数就是导函数
f(x)
在点
x0
的函数值。
3.求导函数时,只需将求导数式中的
x
0
换成
x
就可,即
f(x)

4.由导数的定义可知,求函数
y? f(x)
的导数的一般方法是:
(1).求函数的改变量
?y?f(x??x)?f(x)



?x?0
lim
f(x??x)?f(x)

?x
?yf(x??x)?f(x)
?

?x?x
?y< br>
(3).取极限,得导数
y

lim

?x?0< br>?x
(2).求平均变化率
例1.求
y?2x?1

x
=-3处的导数。
例2.已知函数
y?x?x

2
2


(1)求
y

(2)求函数
y?x?x

x
=2处的导数。
小结:理解导数的概念并会运用概念求导数。
练习与作业:
1.求下列函数的导数:
(1)
y?3x?4
; (2)
y?1?2x

(3)
y?3x?12x
(3)
y?5?x

2.求函数
y?x?1
在-1,0,1处导数。
3.求下列函数在指定点处的导数:
(1)
y?x,x
0
?2
; (2)
2
2

2
23
2
y?
1
2
x,x
0
?0

3
2
(3)
y?(x?2),x
0
?1
(4)
y?x?x,x
0
??1
.
4.求下列函数的导数:
(1)
y?4x?1;
(2)
y?10?x
2

32
(3)
y?2x?3x;
(4)
y?2x?7

5.求函数
y?x?2x
在-2,0,2处的导数。
2
导数的概念习题课
(5月6日)
教学目标 理解导数的有关概念,掌握导数的运算法则
教学重点 导数的概念及求导法则
教学难点 导数的概念
一、课前预习
1.
f(x)
在点
x
0
处的导数是函数值的改变量___________与相应自变量的改变量__的商当______
_ _______
2.若
f(x)
在开区间(a,b)内每一点都有导数
f< br>
(x)
,称
f

(x)
为函数
f(x)
的导函数;求一个函数的导数,就是求
_____;求一个函数在给定点的导数,就是求_____. 函数
f(x)
在点
x
0
处的导数就是__________
___.
(x)?_____(n?N)
3.常数函数和幂函数的求导公式:
(c)?___   
4.导数运算法则:若________________,则:
二、举例
例1.设函数
f(x)?x?1
,求:
(1)当自变量x由1变到1.1时,自变量的增量
?x

(2)当自变量x由1变到1.1时,函数的增量
?y

2
n*


(3)当自变量x由1变到1.1时,函数的平均变化率;
(4)函数在x=1处的变化率.
例2.生产某种产品q个单位时成本函数为
C(q)?200?0.05q
,求
(1)生产90个单位该产品时的平均成本;
(2)生产90个到100个单位该产品时,成本的平均变化率;
(3)生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少.
例3.已知函数
f (x)?x
,由定义求
f(x)
,并求
f(4)
.
例4. 已知函数
f(x)?(ax?b)
(a,b为常数),求
f(x)
.
例5.曲线
2
2
2
y?
3
2
x
上哪一点 的切线与直线
y?3x?1
平行?
2
3
三、巩固练习
1.若函数
f(x)?x
,则
[f(?2)]
=______
2.如果函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数分别为:
(1)
f(x
0
)?0
(2)
f(x
0
)?1

(3)
f(x
0
)??1
(4)
f(x
0
)?2

试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角.
3.已知函数
f(x)?x?2x,求
f(0)

4.求下列函数的导数
(1)
2



1
f

()
,.
4
y?
1
2
11
x?3x?2
(2)
y?x
3
?x
2
?5x?1

243
322
(3)
y?x(x?4)
(4)
y?(2x?1)(3x?2)

四、作业
1.若
lim< br>x?0
f(x)
存在,则
[limf(x)]

=_____
x?0
2
2.若
f(x)?x
,则
lim
3.求下 列函数的导数:
x?1
f(x)?f(1)
=______________ x?1
y?3?2x?4x
2
?5x
3
?
23
(1)
y?2x?20x?40x?1
(2)
32
42
1
4
x

6
(3)
y?(2x?1)(3x?x)
(4)
y?(x?2)(x?1)

4.某工厂每日产品的总成本C是日产量x的函数 ,即
C(x)?1000?7x?5x
,试求:
(1)当日产量为100时的平均成本;
(2)当日产量由100增加到125时,增加部分的平均成本;
(3)当日产量为100时的边际成本.
5.设电量与时间的函数关系为
Q?2t?3t?1
,求t=3s时的电流强度. < br>2
2


6.设质点的运动方程是
s?3t?2t?1
,计 算从t=2到t=2+
?t
之间的平均速度,并计算当
?t
=0.1时的平均 速度,
再计算t=2时的瞬时速度.
7.若曲线
2
y?
3
2
x?1
的切线垂直于直线
2x?6y?3?0
,试求这条切线的方程.
2
2
8.在抛物线
y?2?x?x
上,哪一点的切线处于下述位置?
(1)与x轴平行
(2)平行于第一象限角的平分线.
(3)与x轴相交成45°角
9.已知曲线
y?2x?x
上有两点A(2,0),B(1,1),求:
(1)割线AB的斜率
k
AB
; (2)过点A的切线的斜率
k
AT

(3)点A处的切线的方程.
10.在抛物线
y?x
上依次取M(1,1),N(3,9)两点,作过这两点的割线,问: 抛物线上哪一点处的切线平行于这
条割线?并求这条切线的方程.
11.已知一气球的半径以 10cms的速度增长,求半径为10cm时,该气球的体积与表面积的增长速度.
12.一长方形两 边长分别用x与y表示,如果x以0.01ms的速度减小,y边以0.02ms的速度增加,求在x=20m, y
=15m时,长方形面积的变化率.
13.(选做)证明:过曲线
xy?a
上的任何一点(
x
0
,y
0
)(
x
0
? 0
)的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个
常数.(提示:
(
2
2
2
1

1
)??
2

x
x
导数的应用习题课
(5月8日)
教学目标 掌握导数的几何意义,会求多项式函数的单调区间、极值、最值
教学重点 多项式函数的单调区间、极值、最值的求法
教学难点 多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用
一、课前预习
1.设函数
y?f (x)
在某个区间内有导数,如果在这个区间内____,则
y?f(x)
是这个区间 内的_____;如
果在这个区间内___,则
y?f(x)
是这个区间内的____ _.
2.设函数
y?f(x)

x?x
0
及其附近有定义 ,如果
f(x
0
)
的值比
x
0
附近所有各点的值都 大(小),则称
f(x
0
)
是函

y?f(x)
的 一个______.
3.如果
y?f(x)
在某个区间内有导数,则可以这样求它的极值:
(1)求导数_____; (2)求方程________的根(可能极值点);
(3)如果在根的左侧附近为_,右侧附近为_,则函数
y?f(x)
在这个根处取得极_值 ;如果在根的左侧附近为_,
右侧附近为_,则函数
y?f(x)
在这个根处取得极_ 值.
4.设
y?f(x)
是定义在[a,b]上的函数,
y?f(x)在(a,b)内有导数,可以这样求最值:


(1)求出函数在(a,b)内的可能 极值点(即方程
f(x)?0
在(a,b)内的根
x
1
,x
2
,?,x
n
);
(2)比较函数值
f(a)

f(b)

f(x
1
),f(x
2
),?,f(x
n
)
,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
二、举例
例1.确定函数
f(x)?2x?9x?12x?3
的单调区间.
例2.设一质点的运动速度是
v(t)
样?
32

?
3
4
t?7t
3
?15t
2
?3
,问:从t=0 到t=10这段时间内,运动速度的改变情况怎
4
1
3
x?9x?4
的极值.
3
1
3
1
2
例4.设函数
f(x)?a x?bx?x

x
1
=1与
x
2
=2处取得极值, 试确定a和b的值,并问此时函数在
x
1

x
2

32
例3.求函数
f(x)?
是取极大值还是极小值?
例5.求函数
f(x)?3x?9x?5
在[-2,2]上的最大值和最小值. 例6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例,要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,断 面的宽和
高应为多少?
例7.求内接于抛物线
y?1?x
与x轴所围图形内的最大矩形的面积.
例 8.某种产品的总成本C(单位:万元)是产量x(单位:万件)的函数:
C(x)?100?6x?0 .04x?0.02x
,试
问:当生产水平为x=10万件时,从降低单位成本角度看,继续提 高产量是否得当?
三、巩固练习
1.若函数
2.曲线
y
232
3
f(x)
在区间[a,b]内恒有
f

(x)?0< br>,则此函数在[a,b]上的最小值是____
?
1
4
1
3
1
2
x?x?x?x?1
的极值点是______________
432
32
3.设函数
f(x)?ax?(ax)?ax?a
在x=1处取 得极大值-2,则a=____.
4.求下列函数的单调区间:
(1)
y?2x?3x?12x?1
(2)
y?(x?1)(x?2)

5.求下列函数的极值:
(1)
y?x?4x?6
, (2)
y?x?3x?9x?5
,[-4,4]
6.求下列函数的最值:
(1)
y?x?4x?6
,[-3,10] (2)
y?x?3x
,[-1,4]
7.设某企业每季度生产某个产品q个单位时, 总成本函数为
C(q)?aq?bq?cq
,(其中a>0,b>0,c>0),
求: (1)使平均成本最小的产量(2)最小平均成本及相应的边际成本.
8.一个企业生产某种产品,每 批生产q单位时的总成本为
C(q)?3?q
(单位:百元),可得的总收入为
R(q )?6q?q
(单位:百元),问:每批生产该产品多少单位时,能使利润最大?最大利润是多少? < br>2
32
232
232
322


9.在曲线
y?1?x(x?0,y?0)
上找一点(
x
0
,y
0
) ,过此点作一切线,与x轴、y轴构成一个三角形,问:
x
0

何值时,此三 角形面积最小?
10.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为
C(q)?2.2?10q? 8?10
,通过市场调查,可以预计这种彩电的年需
求量为
q?3.1?10?50p
,其中p(单位:元)是彩电售价,q(单位:台)是需求量. 试求使利润最大的销
售量和销售价格.
5
37
2
多项式函数的导数
(5月6日)
教学目的:会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数
教学重点:导数运算法则的应用
教学难点:多项式函数的求导
一、复习引入
1、已知函数
f(x)?x
,由定义求
f(x),并求f(4)

2、根据导数的定义求下列函数的导数:
(1)常数函数
y?C
(2)函数
y?x(n?N)

二、新课讲授
1、两个常用函数的导数:
2、导数的
运算法则

如果函数
f(x)、g(x)
有导数,那么
也就是说,
两个函数的和或差的 导数,等于这两个函数的导数的和或差;常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的
n*
2导数
.
例1:求下列函数的导数:
(1)
y?7x
(2)
y??3x
(3)
y?4x?3x

(4)
y?(x?1)(x?2)
(5)
f(x)?(ax?b)(a、b
为常数)
例2:已知曲线
223453
y?
1
3
8
x
上一点
P(2,),求:
33
(1)过点P的切线的斜率; (2)过点P的切线方程.
三、课堂小结:多项式函数求导法则的应用
四、课堂练习:1、求下列函数的导数:
(1)
y?8x
(2)
y?2x?1
(3)
y?2x?x
(4)
y?3x?4x

(5)
y?(2x?1)(3x?2)
(6)
y?x(x?4)

2、已知曲线
y?4x?x
上有两点A(4,0),B(2,4),求:
( 1)割线AB的斜率
k
AB
;(2)过点A处的切线的斜率
k
AT< br>;(3)点A处的切线的方程.
3、求曲线
y?3x?4x?2
在点M(2,6)处的切线方程.
五、课堂作业
1、求下列函数的导数:
(1)
y?5x?4x?1
(2)
y??5x?3x?7
(3)
y?7x?13x?10

(4)
y?3?x?3x
(5)
y?2x?3x?5x?4
(6)
43
332
2222
2
23
223
f(x)?(2?x)(3?x)

2
(7)
f(x)?3x?23x?40x?10
(8)
f(x)?(x?2)?x

(9)
f(x)?(2x?1)(3x?x)
(10)
y?3(2x?1)?4x

322


2、求曲线y?2x?x

x??1
处的切线的斜率。
3、求抛物线
3< br>y?
3
1
2
x

x?2
处及
x?? 2
处的切线的方程。
4
2
4、求曲线
y?x?3x?1
在 点P(2,-3)处的切线的方程。
函数的单调性与极值
(5月10日)
教学目标:正确理解利用导数判断函数的单调性的原理;
掌握利用导数判断函数单调性的方法;
教学重点:利用导数判断函数单调性;
教学难点:利用导数判断函数单调性
教学过程:
一 引入:
以前,我们 用定义来判断函数的单调性.在假设x
1
2
的前提下,比较f(x
1
)2
)与的大小,在函数y=f(x)比较复
杂的情况下,比较 f(x
1
)与f(x
2
)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调 性就比较简单.
二 新课讲授
1 函数单调性
我们已经知道,曲线y= f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数
y?x?4x?3
的图像可以看到 :在区间
(2,
??
)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大而增 大,即
y
>0时,函数y=f(x) 在区间(2,
??


内为增函数;在区间(
??
,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而 减小,即
y
?
0时,函数y=f(x)

2
在区间(
??
,2)内为减函数.
定义:一般地,设函数y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内
y
>0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增
函数;,如果在这个区间内
y
<0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。
例1 确定函数
y?x?2x?4
在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数。
例2 确定函数
y?2x?6x?7
的单调区间。
y
32
2


2
0
x

2 极大值与极小值
观察例2的图可以看出,函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大,我们 说f(0)是函数的一个极大
值;函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小,我们说f(0 )是函数的一个极小值。
一般地,设函数y=f(x)在
x?x
0
及其附近 有定义,如果
f(x
0
)
的值比
x
0
附近所有各点 的函数值都大,我们说f(
x
0
)
是函数y=f(x)的一个极大值;如果< br>f(x
0
)
的值比
x
0
附近所有各点的函数值都小, 我们说f(
x
0
)是函数y=f(x)的一个极
小值。极大值与极小值统称极 值。
在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意以下几点: < br>(ⅰ)极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并 不意味
着它在函数的整个的定义域内最大或最小。


(ⅱ)函数的极值不是唯一 的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
(ⅲ)极大值与极小值之间无确 定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,
x
1
是极大值y
f(x
4
)
>
f(x
1
)
。 点 ,
x
4
是极小值点,而
(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端 点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能
在区间的内部,也可能在区间的端点。 由上图可以看出,在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有
f
?
(x)?0
。但反过来不一定。
如函数
y?x
,在
x
3
?0
处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附 近的
点的函数值小。假设
x
0
使
f
?
(x
0
)?0
,那么
x
0
在什么情况下是的极值点呢?

y
o
a
X
1
X
2
y
X
3
X
4
b
x
如上左图所示,若
x
0

f(x)
的极大值点,则
x
0
两侧附近点的 函数值必须小于
f(x
0
)
。因此,
x
0
的左侧附 近
f(x)

能是增函数,即
f
?
(x)?0
。< br>x
0
的右侧附近
f(x)
只能是减函数,即
f
?(x)?0
,同理,如上右图所示,若
x
0
是极小值点,
f?
(x)?0
,在
x
0
的右侧附近
f(x)
只 能是增函数,即
f
?
(x)?0
,从而我们
o
a
X
0
则在
x
0
的左侧附近
f(x)
只能是减函数,即
a
)
x
0
满足
X
f
0
?
(x
0
b
得出结论:若
o
?
b < br>x

0
,且在
x
0
的两侧
f(x)
的导数异号,则
0
x
f(x)
的极值点,
f(x
0
)
是极值,并且
x
如果
f
?
(x)

x
0
两侧满足“左正右 负”,则
x
0

f(x)
的极大值点,
f(x
0< br>)
是极大值;如果
f
?
(x)

x
0
两侧满足“左
负右正”,则
x
0

f(x)
的极小值点,
f(x
0
)
是极小值。
例3 求函数
三 小结
1求极值常按如下步骤:
① 确定函数的定义域;
② 求导数;
③ 求方程
y
=0的根,这些根也称为可能极值点;
o
④ 检查在方程的根的左右两侧的符号,确定极值点。(最好通过列表法)
四 巩固练习
1 确定下列函数的单调区间:
(1)
y?2x?5x?7
(2)
y?3x?x

2 求下列函数的极值
(1)
y?x?7x?6
(2)
y??2x?5x

(3)
y?x?27x
(4)
y?3x?x

五 课堂作业
1 确定下列函数的单调区间: < br>(1)
323
22
23
y?
1
3
x?4x? 4
的极值。
3
y

x
y??4x?2
(2)
y?(x?1)
2


(3)
y??x?2x?5
(4)
y?x?x?x

2 求下列函数的极值
(1)
y?x?4x?10
(2)
y??2x?4x?7

(3)
y?x?3x?1
(4)
y?6?12x?x

(5)
y?4x?3x?6x
(6)
y?2x?x

3224
323
22
232
函数的极限
(4月29日)
教学目标:1、使学生掌握当
x?x
0
时函数的极限;
2、了解:
limf(x)?A
的充分必要条件是
lim
?
f(x) ?lim
?
f(x)?A

x?x
0
x?x
0x?x
0
教学重点:掌握当
x?x
0
时函数的极限
教 学难点:对“
x?x
0
时,当
x?x
0
时函数的极限的概念 ”的理解。
教学过程:
一、复习:
(1)
limq
n
?
_____q?1;(2)
lim
n??
1
?
?____ ___.(k?N)

x??
x
k
(3)
limx
2
??

x?2
二、新课
就问题(3)展开讨论:函数
y?x

x
无限趋近于2时的变化趋势

x
从左侧趋近于2时 (
x?2


y=x

y=x
2
2

2
?
1.1 1.3
1.21

1.5

1.7

1.9

1.99 1.999 1.9999









2


x
从右侧趋近于2时

x?2

发现
?

2.9 2.7 2.5
8.41. 7.29

x
2
?1
y?

x?1
2.3

2.1

2.01 2.001 2.0001

2

limx
2
?_______

x?2
我们
Y
再继续看
2
1

1
X

x
无限趋近于1(
x?1
)时的变化趋势;
函数的极限有概念:当自变量
x
无限趋近于
x
0

x?x
0
)时,如果函数
y?f(x)
无限
常数A,就说当
x趋向
x
0
时,函数
y?f(x)
的极限是A,记作
li m
特别地,
lim
O
趋近于一个
x?x
0
f(x)?A

x?x
0
C?C

limx?x
0

x?x
0
三、例题

求下列函数在X=0处的极限
x
x
2
?1
(1)
lim

(2)
lim

(3)
f(x)?

0,x?0

x?0
x
x?0
2x
2
?x ?1
1?x
2
,x?0
四、小结:函数极限存在的条件;如何求函数的极限。
2
x
,x?0


五、练习及作业:
1、对于函数y?2x?1
填写下表,并画出函数的图象,观察当
x
无限趋近于1时的变化趋势 ,说出当
x?1
时函数
y?2x?1
的极限



y=2X+1
y=2X+1

1.5
0.1
1.1
0.9




1.01
0.99
1.001
0.999
1.0001
0.9999
1.00001
0.99999












1
1


2、对于函数
y?x?1
填写下表,
并画出函数的图象 ,观察当
x
无限趋近
于3时的变化趋势,说出当
x?3

2
函数
y?x
2
?1
的极限



2
y=X
y=X
2


1
1

3.1
2.9
3.01
2.99
3.001
2.999
3.0001
2.9999
3.00001
2.99999
3.000001
2.999999
















3
3


x
2
?1
3
?

lim
2

x?1
2x?x?1
(x?1)
3
?(1?3x)
2
lim

lim2(sinx?cosx?x)

23
?
x?0
x?2x
x?
2
lim
1?2x?3
x?2
x?4

lim
x?0
a
2
?x?a
1
a?0

lim

x?0
x
x
函数的最大与最小值
(5月8日)
教学目标: 1、使学生掌握可导函数
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上所 有点(包括端点
a,b
)处的函数中的最大(或
最小)值;
2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学重点:掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学难点:提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力
一、复习:
1、?
x
?
n

?___________
;2、
?
C?f(x)?g(x)
?

?_____________

3、求y=x
3
—27x的 极值。
二、新课
在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小
观察下面一个定义在区间
a,b
上的函数
y?f(x)
的图象 发现图中____________是极小值,_________是极大值,在区间

y ?f(x)

的最大值是______,最小值是_______
在区间
a,b
上求函数
y?f(x)
的最大值与最小值 的步骤:
??
y
?
a,b
?
上的函
??
1、函数 导数 ;
y?f(x)

(a,b)
内有
....
2、求函数
y?f(x)

(a,b)
内的极值
a x
1
o
X
2

X
3
b
x
3、 将函数
y?f(x)

(a,b)
内的极值与
f(a),f(b)< br>比较,其中最大的一个为最大值 ,最小的一个为最小值

三、例1、求函数
y?x?2x?5
在区间
?2,2
上的最大值与最小值。
解:先求导数,得
y?4x?4x


y
=0即
4 x?4x?0
解得
x
1
??1,x
2
?0,x
3< br>?1

导数
y
的正负以及
f(?2)

f(2)
如下表
X
y

y
-2

13
(-2,-1)
42
??
3

3

-1
0
4
(-1,0)

0
0
5
(0,1)

1
0
4
(1,2)

2

13








从上表知,当
x??2
时,函数有最大值13,当
x ??1
时,函数有最小值4


在日常生活中,常常会遇到什么条件下可以使材料 最省,时间最少,效率最高等问题,这往往可以归
结为求函数的最大值或最小值问题。
例2 用边长为60CM的正方形铁皮做一个无盖的水箱,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把
四边翻转 90°角,再焊接而成,问水箱底边的长取多少时,水箱容积最大,最大容积是多少?
例3、已知某商 品生产成本C与产量P的函数关系为C=100+4P,价格R与产量P的函数关系为R
=25-0.1 25P,求产量P为何值时,利润L最大。
四、小结:
1、闭区间
a,b
上的连续函数一定有最值;开区间
(a,b)
内的可导函数
不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值。
2、函数在其定义区间上的最大 值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个。
3、在解决实际应用问题中 ,关键在于建立数学模型和目标函数;如果函数在区间内只有一个极值点,那么
根据实际意义判断是最大 值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较。
五、练习及作业::
1、函数
y?x?5x?4
在区间
?1,1
上的最大值与最小值 < br>2、求函数
y?3x?x
在区间
?
42
3
2
??
??
?
3,3
上的最大值与最小值。
?
3、求函数< br>y?x?2x?5
在区间
?2,2
上的最大值与最小值。
4、求函数
y?x?5x?5x?1
在区间
?1,4
上的最大值与最小值。
5、给出下面四个命题
(1)函数
y?x?5x?4
在区间
?1, 1
上的最大值为10,最小值为-
2
2
543
??
????
9

4
(2)函数
y?2x?4x?1
(2<X< 4)上的最大值为17,最小值为1
(3)函数
y?x?12x
(-3<X<3)上的最大值为16 , 最小值为-16
(4)函数
y?x?12x
(-2<X<2)上 无 最大值 也无 最小值。
其中正确的命题有____________
6、把长度为L CM的线段分成四段,围成一个矩形,问怎样分法,所围成矩形的面积最大。
7、把长度为L CM的线段分成二段,围成一个正方形,问怎样分法,所围成正方形的面积最小。
8、某商品一件的成 本为30元,在某段时间内,若以每件X元出售,可以卖出(200-X)件,应该如何定价才能使利润L
最大?
9、在曲线Y=1—X
2
(X
?
0,Y
?
0)上找一点了(
x
0
,y
0
),过此点作一切线,与X、Y轴构 成一个三角形,问X
0
为何
值时,此三角形面积最小?
10、要设计一个容 积为V的圆柱形水池,已知底的单位面积造价是侧面的单位面积造价的一半,问:如何设计水池的
33
1
?
1
?
底半径和高,才能使总造价最少?(提示:
??
??
2
)
x
?
x
?

函数极限的运算法则
(4月30日)
教学目标:掌握函数极限的运算法则,并会求简单的函数的极限
教学重点:运用函数极限的运算法则求极限
教学难点:函数极限法则的运用
教学过程:
一、引入:
一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限,如
l im
1
?0,limx?x
o
.若求极限的函数比较复杂,就要分析已知x??
x
x?x
o
函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的,已 知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系,这样就能把
复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限 的计算.


二 、新课讲授
对于函数极限有如下的
运算法则

如果
lim
x?x
o< br>f(x)?A,limg(x)?B
,那么
x?x
o
也就是说,如果 两个函数都有极限,那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限,分别等于这两个函数的
极限的和 、差、积、商(作为除数的函数的极限不能为0).
说明
:当C是常数,n是正整数时,lim[Cf(x)]?Climf(x)

x?x
o
x?x
o
这些法则对于
x??
的情况仍然适用.
三 典例剖析
例1 求
lim(x
x?2
2
?3x)

2x
3
?x
2
?1
例2 求
lim

x?1
x?1
x
2
?16
例3 求
lim

x?4
x?4
x
2
?16
分析:当
x?4
时,分母的极限是0,不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数
y?
在定义域
x? 4
内,
x?4
可以将分子、分母约去公因式
x?4
后变成
x ?4
,由此即可求出函数的极限.
3x
2
?x?3
例4 求
lim

x??
x
2
?1
分析:当
x? ?
时,分子、分母都没有极限,不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以
x
,所
得到的分子、分母都有极限,就可以用商的极限运用法则计算。
总结:
lim
x?x
o
k
C?C,limx
k
?x
o< br>(k?N
*
),

x?x
o
2
2x
2
?x?4
例5 求
lim

x??
3x
3
?x
2
?1分析:同例4一样,不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以
x
,就可以运用法则计算了。
四 课堂练习(利用函数的极限法则求下列函数极限)
(1)
lim(2x?3)
; (2)
lim(2x
1
x?
2
3
2
x?2
?3x?1)

2x
2
?1
(3)
lim[(2x?1)(x?3)]
; (4)
lim

x?1
3x
2
?4x?1
x?4< br>x
2
?1x
2
?5x?6
(5)
lim
(6)
lim

x??1
x?1
x?3
x
2
?9
2x
2
?x?2
2y
2
?y
(7)
lim
(8)
lim

x??
3x
3
?3x
2
?1
y??
y3
?5
五 小结
1 有限个函数的和(或积)的极限等于这些函数的和(或积);


2 函数的运算法则成 立的前提条件是函数
f(x),g(x)?
的极限存在,在进行极限运算时,要特别注意这一点 .
3 两个(或几个)函数的极限至少有一个不存在时,他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.
4 在求几个函数的和(或积)的极限时,一般要化简,再求极限.
六 作业(求下列极限)
x
2
?5
2x
(1)
lim(2x?3x?4)
(2)
lim
2
(3)
lim
2
x?2
x?3
x??1
x?1
x?x?1
3
x
2
?3x?1x
2
?33x
3
?x
2
?1)
(5)
lim
4
(4)
lim(
(6)
lim
5

x?0x?0
x?3x
4
?2x
2
x?3
x?x
2
?1
x?4
x
3
?3x
2
?2x
x?2x?1
(7)
lim
2
(8)
lim
2
(9)
lim

2x??2
x?2
x?4
x??1
x?1
x?x?6
(x ?m)
2
?m
2
x
2
?1
11
(10)< br>lim
(11)
lim(2??
2
)
(12)
lim

x?0x??
2x
2
?2x?1
x??
x
x
x
x
3
?x2x
3
?1
2
3x
2
?11x?6
)
(15)
lim
(13)
lim
4
(14)
lim(
3

x??
x?3x
2
?1x?2
3x?2
x?1
2x
2
?5x?3
3x
2
?11x?6x?x
2
?6x
3
x?x
2
?6x
3
(16)
lim
(17)
lim
(18)
lim

x??
2x
2
?5x?3
x?0
2x?5x
2
?3x
3
x??
2x?5x
2
?3x
3
极 限 的 概 念
(4月27日)
教学目的:理解数列和函数极限的概念;
教学重点:会判断一些简单数列和函数的极限;
教学难点:数列和函数极限的理解
教学过程:
一、实例引入:
例:战国 时代哲学家庄周所着的《庄子·天下篇》引用过一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”也就是
说 一根长为一尺的木棒,每天截去一半,这样的过程可以无限制地进行下去。(1)求第
n
天剩余 的木棒长度
a
n
(尺),
并分析变化趋势;(2)求前
n
天 截下的木棒的总长度
b
n
(尺),并分析变化趋势。
观察以上两个数列都具 有这样的特点:当项数
n
无限增大时,数列的项
a
n
无限趋近于某个 常数A(即
到我们所希望的那么近。”即“动点
a
n
到A的距离
二、 新课讲授
1、数列极限的定义:
一般地,如果当项数
n
无限增大时 ,无穷数列
{a
n
}
的项
a
n
无限趋近于某个常数 A(即
.....
那么就说数列
{a
n
}
的极限是A,记作
注:①上式读作“当
n
趋向于无穷大时,
a
n
的极限等于A ”。“
n
?
∞”表示“
n
趋向于无穷大”,即
n
无 限增大
的意思。
lima
n
n??
a
n
?A

限趋近于0)。
a
n
无限趋近于常数A,意指“
a
n< br>可以任意地靠近A,希望它有多近就有多近,只要
n
充分大,就能达
a
n
?A
可以任意小。
a
n
?A
无限趋近于0),
?A
有时也记作当
n
?
∞时,
a
n
?
A
②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________,______ ______________
③思考:是否所有的无穷数列都有极限?
例1:判断下列数列是否有极限,若有,写出极限;若没有,说明理由
(1)1,
111123n
,,…,,… ;(2),,,…,,…;
23n234 n?1


(3)-2,-2,-2,…,-2,…;(4)-0.1,0.01,-0.0 01,…,
(?0.1)
,…;
(5)-1,1,-1,…,
(?1)
,…;
注:几个重要极限:
(1)
lim
n
n
1
?0
(2)
limC?C
(C是常数)
n??
n
n??
n
(3)无穷等比数列
{q}

2、当
x??
时函数的极限
q?1
)的极限是0,即 :
limq
n
?0(q?1)

n??
1
的图像,观察当自变量
x
取正值且无限增大时,函数值的变 化情况:函数值无限趋近于0,
x
1
y
这时就说,当
x
趋向于正无穷大时,函数
y?

x
1
的极限是0,记作:
lim?0

x???
x
一般地,当自变量
x
取正值且无限增大时,如果函数
x
(1) 画出函数
y?
O
y?f(x)
的值无限趋近于一个常数A,就说当
x
趋向于正无穷大时,函数
记作:
x???
y?f(x)
的极限是A ,
limf(x)?A

也可以记作,当
x
???
时,
f(x)?A

x< br>无限增大时,函数
y?
1
的值无限趋近于0,这时就说,当
x

x
(2)从图中还可以看出,当自变量
x
取负值而
向于负无 穷大时,函数
y?
11
的极限是0,记作:
lim?0

x ???
xx
一般地,当自变量
x
取负值而
x
无限增大时,如 果函数
y?f(x)
的值无限趋近于一个常数A,就说当
x
趋向于
x ???
负无穷大时,函数
y?f(x)
的极限是A,记作:
也可以记作,当< br>x
???
时,
f(x)?A

limf(x)?A

1
的值都无限趋近于0,这时就说,当
x
x
(3)从上面的讨 论可以知道,当自变量
x
的绝对值无限增大时,函数
趋向于无穷大时,函数
y ?
y?
11
的极限是0,记作
lim?0

x??
xx
一般地,当自变量
x
的绝对值无限增大时,如果函数
y?f(x)
的值无限趋近于一个常数A,就说当
x
趋向于无
穷大时,函数
y?f(x)
的极限是A,记作:
lim
也可以记作,当
x??
时,
f( x)?A

特例:对于函数
f(x)?C

C
是常数),当 自变量
x
的绝对值无限增大时,函数
f(x)?C
的值保持不变,所以

x
趋向于无穷大时,函数
f(x)?C
的极限就是
C
, 即
例2:判断下列函数的极限:
x??
f(x)?A

1
lim()
x
(2)
lim10
x

x???
x???
2
1
(3)
lim
2
(4)
lim4

x??
x
x??
(1)
三、课堂小结
1、数列的极限


2、当
x??
时函数的极限
四、练习与作业
1、判断下列数列是否有极限,若有,写出极限
(1)1,
1
4

1
9
,…,
1
n
2
,… ;(2)7,7,7,…,7,…;
(3)
?
1
2
,
1
4
,?
1
8
,?,
(?1)
n
2
n
,?

(4)2,4,6,8,…,2n,…;
(5)0.1,0.01,0.001,…,
1
10
n
,…;
(6)0,
?
1
2
,?
2
3
,
…,
1
n
?1
,…;
(7)
111
n?1
1< br>2
,?
3
,
4
,
…,
(?1)
n? 1
,…;
(8)
149
n
2
5
,
5
,
5
,
…,
5
,…;
(9)-2, 0,-2,…,
(?1)
n
?1
,…,
2、判断下列函数的极限:
(1)
x
lim
???
0.4
x
(2)
lim1.2
x
x???

(3)
lim(?1)
(4)
lim
1
x??
x??
x
4

(5)
x
lim
???
(
1
10
)
x (6)
5
x
x
li m
???
(
4
)

(7)
lim
1
x??
x
2
?1
(8)
lim
x??
5

补充:3、如图,在四棱锥P-ABCD中 ,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点。(
求证:MN⊥AB;
P
(2)若平面PCD与平面ABCD所成的二面角为θ,
能否确定θ,使得MN是异面直线AB与PC的公垂线?
若可以确定,试求θ的值;若不能,说明理由。
N
数列极限的运算法则(5月3日)
A
D
M
教学目标:掌握数列极限的运算法则,并会求简单的数列极限的
极限。
B
C
教学重点:运用数列极限的运算法则求极限
教学难点:数列极限法则的运用
教学过程:
一、复习引入:
函数极限的 运算法则:如果
lim
x?x
f(x)?A,lim
?x
g(x)? B,

lim
x
?
f(x)?g(x)
?
?
___
0
x
0
x?
0
)
x
lim?x
?
f(x).g(x)
?
?
____,
x
lim
f(x
0
?x
0
g(x)
?
____(B< br>?0

二、新授课:
数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似: < br>如果
lim
??
a
n
?A,lim
n??
b
n
?B,
那么
n
1)


推广:上面法则可以 推广到有限多个数列的情况。例如,若
?
a
n
..
?
?
b
n
?

?
c
n
?
有极限 ,则:
lim(a
n
?b
n
?c
n
)?lima< br>n
?limb
n
?limc
n

n??n??n??n??
特别地,如果C是常数,那么
二.例题:
例1 .已知
lima
n
?5,
n??
lim(C.a
n
)?
n
?CA

n??n??n??
limb
n
? 3
,求
lim(3a
n
?4b
n
).

n??n??
例2.求下列极限:
(1)
lim(5?
n??
41
)
; (2)
lim(?1)
2

n??
nn
例3.求下列有限:
2n?1n
(2)
lim
2

n??
3n?1
n??
n?1
分析:(1)(2)当
n
无 限增大时,分式的分子、分母都无限增大,分子、分母都没有极限,上面的极限运算法则不
(1)
lim
能直接运用。
例4.求下列极限:
(1)
lim(
n??
3572n?1
?????)

2222< br>n?1n?1n?1n?1
1?2?4???2
n?1
)
(2)lim(
n??
1?3?9???3
n?1
说明:1.数列极限的运算法 则成立的前提的条件是:数列的极限都是存在,在进行极限运算时,要特别注意这一点。 当
n
无限增大时,分式的分子、分母都无限增大,分子、分母都没有极限,上面的极限运算法则不能直接运用。
2.有限个数列的和(积)的极限等于这些数列的极限的和(积)。
3.两个(或几个)函数 (或数列)的极限至少有一个不存在,但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。
小结:在数列的 极限都是存在的前提下,才能运用数列极限的运算法则进行计算;数列极限的运算法则是对有限的数
列是 成立的。
练习与作业:
1.已知
lima
n
?2,
li mb
n
??
n??
n??
1
,求下列极限
3
a
n
?b
n

n??
a
n(1)
lim(2a
n
?3b
n
)
; (2)
lim
n??
2.求下列极限:
(1)
lim(4?
n??
1
)
; (2)
lim
n??
n
2
3
?5?
n

3.求下列极限
(1)
lim
n?1n
; (2)
lim

n??n??
3n?2n
5n?2n
2
3n?2
(3)
lim
; (4)
lim

n??
3n
2
?1
n??
1?n
2
4.求下列极限
已知
lima
n
?3,lim b
n
?5,
求下列极限:
n??n??
(1).
lim(3a
n
?4b
n
).
(2).
lim
n??
a
n
?b
n

n??
a?b
nn


5.求下列极限:
21
);
(2).
lim(
2
?5)

n??n??
n
n
1
?1
13
(3).
lim(?4)
(4).
lim
n

n??
nn
n??
1
?1
n
1?2?3???n7?5n
(5).
lim
(6).
lim
2
n??n??
6n?11
2n
(1).
lim(7?
21?4n
2
n?1
(7).
lim
2
(8)
lim(?)
< br>2
n??
n?9
1?n
n??
n
111
?? ??
n
24
2
(10).已知
lima?2,

lim
n?a
n
(9)
lim
n
n??
n?a
n??
n??
111
n
1?????
n
39
3
1?
无穷等比数列各项的和(5月4日)
教学目的:掌握无穷等比数列各项的和公式;
教学重点:无穷等比数列各项的和公式的应用
教学过程:
一、复习引入
1、等比数列的前n项和公式是____________________________________ _____________
2、设AB是长为1的一条线段,等分AB得到分点A
1
,再等分线段A
1
B得到分点A
2
,如此无限继续下去,线段AA
1

A
1
A
2
,…,A
n

1< br>A
n
,…的长度构成数列

1111
,,,?,
n
,?

248
2
可以看到,随着分点的增多,点A
n
越来越接近点B, 由此可以猜想,当n无穷大时,AA
1
+A
1
A
2
+…+ A
n

1
A
n
的极限是
________.下面来验证猜想的正确性,并加以推广
二、新课讲授
1、无穷等比数列各项的和:公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和当n无限增大时的极限,叫 做这个无穷
等比数列各项的和. 设无穷等比数列
a
1
,a
1
q,a
1
q,?,a
1
q
例1、求无穷等比数列
0.3, 0.03, 0.003,…
各项的和.
例2、将无限循环小数
0.29
化为分数.
三、课堂小结:
1、无穷等比数列各项的和公式;2、化循环小数为分数的方法
四、练习与作业
1、求下列无穷等比数列各项的和:
(1)
。。
2n?1
,?的公比
q
的绝对值小于1,则其各项的和S为
82132144
,?,,?,?;1,,,?
(2)
6,
9328331575
(3)
3?1
3?1
。。
,1,
3?1
3?1
,?x,x
2
,?x
3
,?,(x?1)

,?
(4)
1
2、化循环小数为分数:
(1)
0.27
(2)
0.306

。。


(3)
1.328
(4)
?0.4023

3、如图,等边三角形ABC的面积等于1,连结这个三角形 各边的中点得到一个小三角形,又连结这个小三角形各边
的中点得到一个更小的三角形,如此无限继续下 去,求所有这些三角形的面积的
和.
4、如图,三角形的一条底边是a ,这条边上的高是h
(1)过高的5等分点分别作底边的平行线,并作出相应的4个矩形,求这
些矩形面积的和
(2)把高n等分,同样作出n-1个矩形,求这些矩形面积的和;
(3)求证:当n无限增大时,这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积ah2
B
C
A
。。。

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