人教版高中数学《导数》全部教案课程

6.在定义式中，设
x?x
0
??x
，则
?x?x? x
0
，当
?x
趋近于0时，
x
趋近于
x
0
，因此，导数的定义式可写成
f

(x
0
)?lim
?x?o
f(x
0
??x)?f(x
0
)f(x)?f(x
0
)
?lim
。
x?x
0
?xx?x
0
7.若极限
lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0< br>)
不存在，则称函数
y?f(x)
在点
x
0
处不可导 。
?x
8.若
f(x)
在
x
0
可导，则曲线y?f(x)
在点（
x
0
,f(x
0
)
）有切 线存在。反之不然，若曲线
y?f(x)
在点（
x
0
,f(x
0
)
）
有切线，函数
y?f(x)
在
x
0
不一定可导，并且，若函数
y?f(x)
在
x
0
不可导，曲线在点 （
x
0
,f(x
0
)
）也可能
有切线。
一般地，
?x?0
lim(a?b?x)?a
，其中
a,b
为常数。
a?a
。 特别地，
lim
?x?0
如果函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
内的每点处都有导数，此时对于每一个
x?(a,b)< br>，都对应着一个确定的导数
f

(x)
，从而构成了一个新的函数
f

(x)
。称这个函数
f

(x)
为函数
y?f(x)
在开区间内的导函数，简称导数，也
可记作
y
，即
< br>f

(x)
＝
y

＝
lim
?yf(x ??x)?f(x)

?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
函数
y?f(x)
在
x
0
处的导数
数值，即
y

x?x
0
就是函数
y?f(x)
在开区间
(a ,b)(x?(a,b))
上导数
f(x)
在
x
0
处的函< br>

y

x?x
0
＝
f(x
0
)
。所以函数
y?f(x)
在
x
0
处的导数也记作
f (x
0
)
。

注：1.如果函数
y?f(x)
在开 区间
(a,b)
内每一点都有导数，则称函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
内可导。
2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是 求导函数；求一个函数在给定点的导数，就
是求导函数值。它们之间的关系是函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数就是导函数
f(x)
在点
x0
的函数值。
3.求导函数时，只需将求导数式中的
x
0
换成
x
就可，即
f(x)
＝
4.由导数的定义可知，求函数
y? f(x)
的导数的一般方法是：
（1）.求函数的改变量
?y?f(x??x)?f(x)
。


?x?0
lim
f(x??x)?f(x)

?x
?yf(x??x)?f(x)
?
。
?x?x
?y< br>
（3）.取极限，得导数
y
＝
lim
。
?x?0< br>?x
（2）.求平均变化率
例1.求
y?2x?1
在
x
＝－3处的导数。
例2.已知函数
y?x?x

2
2

（1）求
y
。
（2）求函数
y?x?x
在
x
＝2处的导数。
小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。
练习与作业：
1.求下列函数的导数：
（1）
y?3x?4
； （2）
y?1?2x

(3)
y?3x?12x
(3)
y?5?x

2.求函数
y?x?1
在－1,0，1处导数。
3.求下列函数在指定点处的导数：
（1）
y?x,x
0
?2
； （2）
2
2

2
23
2
y?
1
2
x,x
0
?0
；
3
2
（3）
y?(x?2),x
0
?1
（4）
y?x?x,x
0
??1
.
4.求下列函数的导数：
（1）
y?4x?1;
（2）
y?10?x
2
；
32
（3）
y?2x?3x;
（4）
y?2x?7
。
5.求函数
y?x?2x
在－2,0，2处的导数。
2
导数的概念习题课
（5月6日）
教学目标 理解导数的有关概念，掌握导数的运算法则
教学重点 导数的概念及求导法则
教学难点 导数的概念
一、课前预习
1.
f(x)
在点
x
0
处的导数是函数值的改变量＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿与相应自变量的改变量＿＿的商当＿＿＿＿＿＿
＿ ＿＿＿＿＿＿＿
2.若
f(x)
在开区间（a，b）内每一点都有导数
f< br>
(x)
，称
f

(x)
为函数
f(x)
的导函数；求一个函数的导数，就是求
＿＿＿＿＿；求一个函数在给定点的导数，就是求＿＿＿＿＿. 函数
f(x)
在点
x
0
处的导数就是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＿＿＿.
(x)?_____(n?N)
3.常数函数和幂函数的求导公式：
(c)?___　　　
4.导数运算法则：若＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，则：
二、举例
例1.设函数
f(x)?x?1
，求：
（1）当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量
?x
；
（2）当自变量x由1变到1.1时，函数的增量
?y
；
2
n*

（3）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；
（4）函数在x＝1处的变化率.
例2.生产某种产品q个单位时成本函数为
C(q)?200?0.05q
，求
（1）生产90个单位该产品时的平均成本；
（2）生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率；
（3）生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少.
例3.已知函数
f (x)?x
，由定义求
f(x)
，并求
f(4)
.
例4. 已知函数
f(x)?(ax?b)
(a,b为常数)，求
f(x)
.
例5.曲线
2
2
2
y?
3
2
x
上哪一点 的切线与直线
y?3x?1
平行？
2
3
三、巩固练习
1.若函数
f(x)?x
，则
[f(?2)]
＝＿＿＿＿＿＿
2.如果函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数分别为：
（1）
f(x
0
)?0
（2）
f(x
0
)?1

（3）
f(x
0
)??1
（4）
f(x
0
)?2
，
试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角.
3.已知函数
f(x)?x?2x，求
f(0)
，
4.求下列函数的导数
（1）
2



1
f

()
，.
4
y?
1
2
11
x?3x?2
（2）
y?x
3
?x
2
?5x?1

243
322
（3）
y?x(x?4)
（4）
y?(2x?1)(3x?2)

四、作业
1.若
lim< br>x?0
f(x)
存在，则
[limf(x)]

＝＿＿＿＿＿
x?0
2
2.若
f(x)?x
，则
lim
3.求下 列函数的导数：
x?1
f(x)?f(1)
＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ x?1
y?3?2x?4x
2
?5x
3
?
23
（1）
y?2x?20x?40x?1
（2）
32
42
1
4
x

6
（3）
y?(2x?1)(3x?x)
（4）
y?(x?2)(x?1)

4.某工厂每日产品的总成本C是日产量x的函数 ，即
C(x)?1000?7x?5x
，试求：
（1）当日产量为100时的平均成本；
（2）当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本；
（3）当日产量为100时的边际成本.
5.设电量与时间的函数关系为
Q?2t?3t?1
，求t＝3s时的电流强度. < br>2
2

6.设质点的运动方程是
s?3t?2t?1
，计 算从t＝2到t＝2＋
?t
之间的平均速度，并计算当
?t
＝0.1时的平均 速度，
再计算t＝2时的瞬时速度.
7.若曲线
2
y?
3
2
x?1
的切线垂直于直线
2x?6y?3?0
，试求这条切线的方程.
2
2
8.在抛物线
y?2?x?x
上，哪一点的切线处于下述位置？
（1）与x轴平行
（2）平行于第一象限角的平分线.
（3）与x轴相交成45°角
9.已知曲线
y?2x?x
上有两点A（2,0），B（1,1），求：
（1）割线AB的斜率
k
AB
； （2）过点A的切线的斜率
k
AT
；
（3）点A处的切线的方程.
10.在抛物线
y?x
上依次取M（1,1），N（3,9）两点，作过这两点的割线，问： 抛物线上哪一点处的切线平行于这
条割线？并求这条切线的方程.
11.已知一气球的半径以 10cms的速度增长，求半径为10cm时，该气球的体积与表面积的增长速度.
12.一长方形两 边长分别用x与y表示，如果x以0.01ms的速度减小，y边以0.02ms的速度增加，求在x＝20m， y
＝15m时，长方形面积的变化率.
13.（选做）证明：过曲线
xy?a
上的任何一点（
x
0
,y
0
）（
x
0
? 0
）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个
常数.（提示：
(
2
2
2
1

1
)??
2
）
x
x
导数的应用习题课
（5月8日）
教学目标 掌握导数的几何意义，会求多项式函数的单调区间、极值、最值
教学重点 多项式函数的单调区间、极值、最值的求法
教学难点 多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用
一、课前预习
1.设函数
y?f (x)
在某个区间内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则
y?f(x)
是这个区间 内的＿＿＿＿＿；如
果在这个区间内＿＿＿，则
y?f(x)
是这个区间内的＿＿＿＿ ＿.
2.设函数
y?f(x)
在
x?x
0
及其附近有定义 ，如果
f(x
0
)
的值比
x
0
附近所有各点的值都 大（小），则称
f(x
0
)
是函
数
y?f(x)
的 一个＿＿＿＿＿＿.
3.如果
y?f(x)
在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值：
（1）求导数＿＿＿＿＿； （2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（可能极值点）；
（3）如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数
y?f(x)
在这个根处取得极＿值 ；如果在根的左侧附近为＿，
右侧附近为＿，则函数
y?f(x)
在这个根处取得极＿ 值.
4.设
y?f(x)
是定义在[a，b]上的函数，
y?f(x)在(a，b)内有导数，可以这样求最值：

（1）求出函数在(a，b)内的可能 极值点（即方程
f(x)?0
在(a，b)内的根
x
1
,x
2
,?,x
n
）；
（2）比较函数值
f(a)
，
f(b)
与
f(x
1
),f(x
2
),?,f(x
n
)
，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
二、举例
例1.确定函数
f(x)?2x?9x?12x?3
的单调区间.
例2.设一质点的运动速度是
v(t)
样？
32

?
3
4
t?7t
3
?15t
2
?3
，问：从t＝0 到t＝10这段时间内，运动速度的改变情况怎
4
1
3
x?9x?4
的极值.
3
1
3
1
2
例4.设函数
f(x)?a x?bx?x
在
x
1
＝1与
x
2
＝2处取得极值， 试确定a和b的值，并问此时函数在
x
1
与
x
2
处
32
例3.求函数
f(x)?
是取极大值还是极小值？
例5.求函数
f(x)?3x?9x?5
在[－2,2]上的最大值和最小值. 例6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断 面的宽和
高应为多少？
例7.求内接于抛物线
y?1?x
与x轴所围图形内的最大矩形的面积.
例 8.某种产品的总成本C（单位：万元）是产量x（单位：万件）的函数：
C(x)?100?6x?0 .04x?0.02x
，试
问：当生产水平为x＝10万件时，从降低单位成本角度看，继续提 高产量是否得当？
三、巩固练习
1.若函数
2.曲线
y
232
3
f(x)
在区间[a，b]内恒有
f

(x)?0< br>，则此函数在[a，b]上的最小值是＿＿＿＿
?
1
4
1
3
1
2
x?x?x?x?1
的极值点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
432
32
3.设函数
f(x)?ax?(ax)?ax?a
在x＝1处取 得极大值－2，则a＝＿＿＿＿.
4.求下列函数的单调区间：
（1）
y?2x?3x?12x?1
（2）
y?(x?1)(x?2)

5.求下列函数的极值：
（1）
y?x?4x?6
， （2）
y?x?3x?9x?5
，[－4,4]
6.求下列函数的最值：
（1）
y?x?4x?6
，[－3,10] （2）
y?x?3x
，[－1,4]
7.设某企业每季度生产某个产品q个单位时， 总成本函数为
C(q)?aq?bq?cq
，（其中a＞0，b＞0，c＞0），
求： （1）使平均成本最小的产量（2）最小平均成本及相应的边际成本.
8.一个企业生产某种产品，每 批生产q单位时的总成本为
C(q)?3?q
（单位：百元），可得的总收入为
R(q )?6q?q
（单位：百元），问：每批生产该产品多少单位时，能使利润最大？最大利润是多少？ < br>2
32
232
232
322

9.在曲线
y?1?x(x?0,y?0)
上找一点（
x
0
,y
0
） ，过此点作一切线，与x轴、y轴构成一个三角形，问：
x
0
为
何值时，此三 角形面积最小？
10.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为
C(q)?2.2?10q? 8?10
，通过市场调查，可以预计这种彩电的年需
求量为
q?3.1?10?50p
，其中p（单位：元）是彩电售价，q（单位：台）是需求量. 试求使利润最大的销
售量和销售价格.
5
37
2
多项式函数的导数
（5月6日）
教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数
教学重点：导数运算法则的应用
教学难点：多项式函数的求导
一、复习引入
1、已知函数
f(x)?x
，由定义求
f(x)，并求f(4)

2、根据导数的定义求下列函数的导数：
（1）常数函数
y?C
（2）函数
y?x(n?N)

二、新课讲授
1、两个常用函数的导数：
2、导数的
运算法则
：
如果函数
f(x)、g(x)
有导数，那么
也就是说，
两个函数的和或差的 导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的
n*
2导数
.
例1：求下列函数的导数：
（1）
y?7x
（2）
y??3x
（3）
y?4x?3x

（4）
y?(x?1)(x?2)
（5）
f(x)?(ax?b)(a、b
为常数)
例2：已知曲线
223453
y?
1
3
8
x
上一点
P(2，)，求：
33
（1）过点P的切线的斜率； （2）过点P的切线方程.
三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用
四、课堂练习：1、求下列函数的导数：
（1）
y?8x
（2）
y?2x?1
（3）
y?2x?x
（4）
y?3x?4x

（5）
y?(2x?1)(3x?2)
（6）
y?x(x?4)

2、已知曲线
y?4x?x
上有两点A（4，0），B（2，4），求：
（ 1）割线AB的斜率
k
AB
；（2）过点A处的切线的斜率
k
AT< br>；（3）点A处的切线的方程.
3、求曲线
y?3x?4x?2
在点M（2，6）处的切线方程.
五、课堂作业
1、求下列函数的导数：
（1）
y?5x?4x?1
（2）
y??5x?3x?7
（3）
y?7x?13x?10

（4）
y?3?x?3x
（5）
y?2x?3x?5x?4
（6）
43
332
2222
2
23
223
f(x)?(2?x)(3?x)

2
（7）
f(x)?3x?23x?40x?10
（8）
f(x)?(x?2)?x

（9）
f(x)?(2x?1)(3x?x)
（10）
y?3(2x?1)?4x

322

2、求曲线y?2x?x
在
x??1
处的切线的斜率。
3、求抛物线
3< br>y?
3
1
2
x
在
x?2
处及
x?? 2
处的切线的方程。
4
2
4、求曲线
y?x?3x?1
在 点P（2，－3）处的切线的方程。
函数的单调性与极值
（5月10日）
教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
掌握利用导数判断函数单调性的方法；
教学重点：利用导数判断函数单调性；
教学难点：利用导数判断函数单调性
教学过程：
一 引入：
以前，我们 用定义来判断函数的单调性.在假设x
1
2
的前提下，比较f(x
1
)2
)与的大小，在函数y=f(x)比较复
杂的情况下，比较 f(x
1
)与f(x
2
)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调 性就比较简单.
二 新课讲授
1 函数单调性
我们已经知道，曲线y= f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数
y?x?4x?3
的图像可以看到 ：在区间
（2，
??
）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增 大，即
y
>0时，函数y=f(x) 在区间（2，
??
）

内为增函数；在区间（
??
，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而 减小，即
y
?
0时，函数y=f(x)

2
在区间（
??
，2）内为减函数.
定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内
y
>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增
函数；，如果在这个区间内
y
<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。
例1 确定函数
y?x?2x?4
在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。
例2 确定函数
y?2x?6x?7
的单调区间。
y
32
2


2
0
x

2 极大值与极小值
观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们 说f(0)是函数的一个极大
值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0 )是函数的一个极小值。
一般地，设函数y=f(x)在
x?x
0
及其附近 有定义，如果
f(x
0
)
的值比
x
0
附近所有各点 的函数值都大，我们说f(
x
0
)
是函数y=f(x)的一个极大值；如果< br>f(x
0
)
的值比
x
0
附近所有各点的函数值都小， 我们说f(
x
0
)是函数y=f(x)的一个极
小值。极大值与极小值统称极 值。
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： < br>（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并 不意味
着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

（ⅱ）函数的极值不是唯一 的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
（ⅲ）极大值与极小值之间无确 定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，
x
1
是极大值y
f(x
4
)
>
f(x
1
)
。 点 ，
x
4
是极小值点，而
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端 点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能
在区间的内部，也可能在区间的端点。 由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有
f
?
(x)?0
。但反过来不一定。
如函数
y?x
，在
x
3
?0
处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附 近的
点的函数值小。假设
x
0
使
f
?
(x
0
)?0
，那么
x
0
在什么情况下是的极值点呢？

y
o
a
X
1
X
2
y
X
3
X
4
b
x
如上左图所示，若
x
0
是
f(x)
的极大值点，则
x
0
两侧附近点的 函数值必须小于
f(x
0
)
。因此，
x
0
的左侧附 近
f(x)
只
能是增函数，即
f
?
(x)?0
。< br>x
0
的右侧附近
f(x)
只能是减函数，即
f
?(x)?0
，同理，如上右图所示，若
x
0
是极小值点，
f?
(x)?0
，在
x
0
的右侧附近
f(x)
只 能是增函数，即
f
?
(x)?0
，从而我们
o
a
X
0
则在
x
0
的左侧附近
f(x)
只能是减函数，即
a
)
x
0
满足
X
f
0
?
(x
0
b
得出结论：若
o
?
b < br>x
是
0
，且在
x
0
的两侧
f(x)
的导数异号，则
0
x
f(x)
的极值点，
f(x
0
)
是极值，并且
x
如果
f
?
(x)
在
x
0
两侧满足“左正右 负”，则
x
0
是
f(x)
的极大值点，
f(x
0< br>)
是极大值；如果
f
?
(x)
在
x
0
两侧满足“左
负右正”，则
x
0
是
f(x)
的极小值点，
f(x
0
)
是极小值。
例3 求函数
三 小结
1求极值常按如下步骤：
① 确定函数的定义域；
② 求导数；
③ 求方程
y
=0的根，这些根也称为可能极值点；
o
④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法)
四 巩固练习
1 确定下列函数的单调区间：
（1）
y?2x?5x?7
（2）
y?3x?x

2 求下列函数的极值
（1）
y?x?7x?6
（2）
y??2x?5x

（3）
y?x?27x
（4）
y?3x?x

五 课堂作业
1 确定下列函数的单调区间： < br>（1）
323
22
23
y?
1
3
x?4x? 4
的极值。
3
y

x
y??4x?2
（2）
y?(x?1)
2

（3）
y??x?2x?5
（4）
y?x?x?x

2 求下列函数的极值
（1）
y?x?4x?10
（2）
y??2x?4x?7

（3）
y?x?3x?1
（4）
y?6?12x?x

（5）
y?4x?3x?6x
（6）
y?2x?x

3224
323
22
232
函数的极限
（4月29日）
教学目标：1、使学生掌握当
x?x
0
时函数的极限；
2、了解：
limf(x)?A
的充分必要条件是
lim
?
f(x) ?lim
?
f(x)?A

x?x
0
x?x
0x?x
0
教学重点：掌握当
x?x
0
时函数的极限
教 学难点：对“
x?x
0
时，当
x?x
0
时函数的极限的概念 ”的理解。
教学过程：
一、复习：
（1）
limq
n
?
＿＿＿＿＿q?1;（2）
lim
n??
1
?
?____ ___.(k?N)

x??
x
k
（3）
limx
2
??

x?2
二、新课
就问题（3）展开讨论：函数
y?x
当
x
无限趋近于2时的变化趋势
当
x
从左侧趋近于2时 （
x?2
）

y=x

y=x
2
2

2
?
1.1 1.3
1.21

1.5

1.7

1.9

1.99 1.999 1.9999









2

当
x
从右侧趋近于2时
（
x?2
）
发现
?

2.9 2.7 2.5
8.41. 7.29

x
2
?1
y?

x?1
2.3

2.1

2.01 2.001 2.0001

2

limx
2
?_______

x?2
我们
Y
再继续看
2
1
。
1
X
当
x
无限趋近于1（
x?1
）时的变化趋势；
函数的极限有概念：当自变量
x
无限趋近于
x
0
（
x?x
0
）时，如果函数
y?f(x)
无限
常数A，就说当
x趋向
x
0
时，函数
y?f(x)
的极限是A，记作
li m
特别地，
lim
O
趋近于一个
x?x
0
f(x)?A
。
x?x
0
C?C
；
limx?x
0

x?x
0
三、例题

求下列函数在X＝0处的极限
x
x
2
?1
（1）
lim

（2）
lim

（3）
f(x)?

0,x?0

x?0
x
x?0
2x
2
?x ?1
1?x
2
,x?0
四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。
2
x
,x?0

五、练习及作业：
1、对于函数y?2x?1
填写下表，并画出函数的图象，观察当
x
无限趋近于1时的变化趋势 ，说出当
x?1
时函数
y?2x?1
的极限



y=2X＋1
y=2X＋1

1.5
0.1
1.1
0.9




1.01
0.99
1.001
0.999
1.0001
0.9999
1.00001
0.99999












1
1


2、对于函数
y?x?1
填写下表，
并画出函数的图象 ，观察当
x
无限趋近
于3时的变化趋势，说出当
x?3
时
2
函数
y?x
2
?1
的极限



2
y=X
y=X
2
－
－
1
1

3.1
2.9
3.01
2.99
3.001
2.999
3.0001
2.9999
3.00001
2.99999
3.000001
2.999999
















3
3


x
2
?1
3
?

lim
2

x?1
2x?x?1
(x?1)
3
?(1?3x)
2
lim

lim2(sinx?cosx?x)

23
?
x?0
x?2x
x?
2
lim
1?2x?3
x?2
x?4

lim
x?0
a
2
?x?a
1（
a?0
）
lim

x?0
x
x
函数的最大与最小值
（5月8日）
教学目标： 1、使学生掌握可导函数
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上所 有点（包括端点
a,b
）处的函数中的最大（或
最小）值；
2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法
教学难点：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力
一、复习：
1、?
x
?
n

?___________
；2、
?
C?f(x)?g(x)
?

?_____________

3、求y=x
3
—27x的 极值。
二、新课
在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小
观察下面一个定义在区间
a,b
上的函数
y?f(x)
的图象 发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间
数
y ?f(x)

的最大值是______，最小值是_______
在区间
a,b
上求函数
y?f(x)
的最大值与最小值 的步骤：
??
y
?
a,b
?
上的函
??
1、函数 导数 ；
y?f(x)
在
(a,b)
内有
．．．．
2、求函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值
a x
1
o
X
2

X
3
b
x
3、 将函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值与
f(a),f(b)< br>比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值
．
三、例1、求函数
y?x?2x?5
在区间
?2,2
上的最大值与最小值。
解：先求导数，得
y?4x?4x

令
y
＝0即
4 x?4x?0
解得
x
1
??1,x
2
?0,x
3< br>?1

导数
y
的正负以及
f(?2)
，
f(2)
如下表
X
y

y
－2

13
（－2，－1）
42
??
3

3

－1
0
4
（－1，0）

0
0
5
（0，1）

1
0
4
（1，2）

2

13


＋

－

＋

从上表知，当
x??2
时，函数有最大值13，当
x ??1
时，函数有最小值4

在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料 最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归
结为求函数的最大值或最小值问题。
例2 用边长为60CM的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把
四边翻转 90°角，再焊接而成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？
例3、已知某商 品生产成本C与产量P的函数关系为C＝100＋4P，价格R与产量P的函数关系为R
＝25－0.1 25P，求产量P为何值时，利润L最大。
四、小结：
1、闭区间
a,b
上的连续函数一定有最值；开区间
(a,b)
内的可导函数
不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。
2、函数在其定义区间上的最大 值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。
3、在解决实际应用问题中 ，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内只有一个极值点，那么
根据实际意义判断是最大 值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。
五、练习及作业：：
1、函数
y?x?5x?4
在区间
?1,1
上的最大值与最小值 < br>2、求函数
y?3x?x
在区间
?
42
3
2
??
??
?
3,3
上的最大值与最小值。
?
3、求函数< br>y?x?2x?5
在区间
?2,2
上的最大值与最小值。
4、求函数
y?x?5x?5x?1
在区间
?1,4
上的最大值与最小值。
5、给出下面四个命题
（1）函数
y?x?5x?4
在区间
?1, 1
上的最大值为10，最小值为－
2
2
543
??
????
9

4
（2）函数
y?2x?4x?1
（2＜X＜ 4）上的最大值为17，最小值为1
（3）函数
y?x?12x
（－3＜X＜3）上的最大值为16 ， 最小值为－16
（4）函数
y?x?12x
（－2＜X＜2）上 无 最大值 也无 最小值。
其中正确的命题有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
6、把长度为L CM的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形的面积最大。
7、把长度为L CM的线段分成二段，围成一个正方形，问怎样分法，所围成正方形的面积最小。
8、某商品一件的成 本为30元，在某段时间内，若以每件X元出售，可以卖出(200-X)件，应该如何定价才能使利润L
最大？
9、在曲线Y=1—X
2
(X
?
0，Y
?
0)上找一点了(
x
0
,y
0
)，过此点作一切线，与X、Y轴构 成一个三角形，问X
0
为何
值时，此三角形面积最小？
10、要设计一个容 积为V的圆柱形水池，已知底的单位面积造价是侧面的单位面积造价的一半，问：如何设计水池的
33
1
?
1
?
底半径和高，才能使总造价最少？(提示：
??
??
2
)
x
?
x
?

函数极限的运算法则
（4月30日）
教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限
教学重点：运用函数极限的运算法则求极限
教学难点：函数极限法则的运用
教学过程：
一、引入：
一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如
l im
1
?0,limx?x
o
.若求极限的函数比较复杂，就要分析已知x??
x
x?x
o
函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已 知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把
复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限 的计算.

二 、新课讲授
对于函数极限有如下的
运算法则
：
如果
lim
x?x
o< br>f(x)?A,limg(x)?B
，那么
x?x
o
也就是说，如果 两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的
极限的和 、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.
说明
：当C是常数，n是正整数时，lim[Cf(x)]?Climf(x)

x?x
o
x?x
o
这些法则对于
x??
的情况仍然适用.
三 典例剖析
例1 求
lim(x
x?2
2
?3x)

2x
3
?x
2
?1
例2 求
lim

x?1
x?1
x
2
?16
例3 求
lim

x?4
x?4
x
2
?16
分析：当
x?4
时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数
y?
在定义域
x? 4
内，
x?4
可以将分子、分母约去公因式
x?4
后变成
x ?4
，由此即可求出函数的极限.
3x
2
?x?3
例4 求
lim

x??
x
2
?1
分析：当
x? ?
时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以
x
，所
得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。
总结：
lim
x?x
o
k
C?C,limx
k
?x
o< br>(k?N
*
),

x?x
o
2
2x
2
?x?4
例5 求
lim

x??
3x
3
?x
2
?1分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以
x
，就可以运用法则计算了。
四 课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）
（1）
lim(2x?3)
； （2）
lim(2x
1
x?
2
3
2
x?2
?3x?1)

2x
2
?1
（3）
lim[(2x?1)(x?3)]
； （4）
lim

x?1
3x
2
?4x?1
x?4< br>x
2
?1x
2
?5x?6
（5）
lim
（6）
lim

x??1
x?1
x?3
x
2
?9
2x
2
?x?2
2y
2
?y
（7）
lim
（8）
lim

x??
3x
3
?3x
2
?1
y??
y3
?5
五 小结
1 有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；

2 函数的运算法则成 立的前提条件是函数
f(x),g(x)?
的极限存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点 .
3 两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.
4 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限.
六 作业（求下列极限）
x
2
?5
2x
（1）
lim(2x?3x?4)
（2）
lim
2
（3）
lim
2
x?2
x?3
x??1
x?1
x?x?1
3
x
2
?3x?1x
2
?33x
3
?x
2
?1)
（5）
lim
4
（4）
lim(
（6）
lim
5

x?0x?0
x?3x
4
?2x
2
x?3
x?x
2
?1
x?4
x
3
?3x
2
?2x
x?2x?1
（7）
lim
2
（8）
lim
2
（9）
lim

2x??2
x?2
x?4
x??1
x?1
x?x?6
(x ?m)
2
?m
2
x
2
?1
11
（10）< br>lim
（11）
lim(2??
2
)
（12）
lim

x?0x??
2x
2
?2x?1
x??
x
x
x
x
3
?x2x
3
?1
2
3x
2
?11x?6
)
（15）
lim
（13）
lim
4
（14）
lim(
3

x??
x?3x
2
?1x?2
3x?2
x?1
2x
2
?5x?3
3x
2
?11x?6x?x
2
?6x
3
x?x
2
?6x
3
（16）
lim
（17）
lim
（18）
lim

x??
2x
2
?5x?3
x?0
2x?5x
2
?3x
3
x??
2x?5x
2
?3x
3
极 限 的 概 念
（4月27日）
教学目的：理解数列和函数极限的概念；
教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；
教学难点：数列和函数极限的理解
教学过程：
一、实例引入：
例：战国 时代哲学家庄周所着的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是
说 一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第
n
天剩余 的木棒长度
a
n
(尺)，
并分析变化趋势；（2）求前
n
天 截下的木棒的总长度
b
n
(尺)，并分析变化趋势。
观察以上两个数列都具 有这样的特点：当项数
n
无限增大时，数列的项
a
n
无限趋近于某个 常数A（即
到我们所希望的那么近。”即“动点
a
n
到A的距离
二、 新课讲授
1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数
n
无限增大时 ，无穷数列
{a
n
}
的项
a
n
无限趋近于某个常数 A（即
．．．．．
那么就说数列
{a
n
}
的极限是A，记作
注：①上式读作“当
n
趋向于无穷大时，
a
n
的极限等于A ”。“
n
?
∞”表示“
n
趋向于无穷大”，即
n
无 限增大
的意思。
lima
n
n??
a
n
?A
无
限趋近于0）。
a
n
无限趋近于常数A，意指“
a
n< br>可以任意地靠近A，希望它有多近就有多近，只要
n
充分大，就能达
a
n
?A
可以任意小。
a
n
?A
无限趋近于0），
?A
有时也记作当
n
?
∞时，
a
n
?
A
②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，______ ______________
③思考：是否所有的无穷数列都有极限？
例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由
（1）1，
111123n
，，…，，… ；（2），，，…，，…；
23n234 n?1

（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.0 01，…，
(?0.1)
，…；
（5）－1,1，－1，…，
(?1)
，…；
注：几个重要极限：
（1）
lim
n
n
1
?0
（2）
limC?C
（C是常数）
n??
n
n??
n
（3）无穷等比数列
{q}
（
2、当
x??
时函数的极限
q?1
）的极限是0，即 ：
limq
n
?0(q?1)

n??
1
的图像，观察当自变量
x
取正值且无限增大时，函数值的变 化情况：函数值无限趋近于0，
x
1
y
这时就说，当
x
趋向于正无穷大时，函数
y?

x
1
的极限是0，记作：
lim?0

x???
x
一般地，当自变量
x
取正值且无限增大时，如果函数
x
（1） 画出函数
y?
O
y?f(x)
的值无限趋近于一个常数A，就说当
x
趋向于正无穷大时，函数
记作：
x???
y?f(x)
的极限是A ，
limf(x)?A

也可以记作，当
x
???
时，
f(x)?A

x< br>无限增大时，函数
y?
1
的值无限趋近于0，这时就说，当
x
趋
x
（2）从图中还可以看出，当自变量
x
取负值而
向于负无 穷大时，函数
y?
11
的极限是0，记作：
lim?0

x ???
xx
一般地，当自变量
x
取负值而
x
无限增大时，如 果函数
y?f(x)
的值无限趋近于一个常数A，就说当
x
趋向于
x ???
负无穷大时，函数
y?f(x)
的极限是A，记作：
也可以记作，当< br>x
???
时，
f(x)?A

limf(x)?A

1
的值都无限趋近于0，这时就说，当
x
x
（3）从上面的讨 论可以知道，当自变量
x
的绝对值无限增大时，函数
趋向于无穷大时，函数
y ?
y?
11
的极限是0，记作
lim?0

x??
xx
一般地，当自变量
x
的绝对值无限增大时，如果函数
y?f(x)
的值无限趋近于一个常数A，就说当
x
趋向于无
穷大时，函数
y?f(x)
的极限是A，记作：
lim
也可以记作，当
x??
时，
f( x)?A

特例：对于函数
f(x)?C
（
C
是常数），当 自变量
x
的绝对值无限增大时，函数
f(x)?C
的值保持不变，所以
当
x
趋向于无穷大时，函数
f(x)?C
的极限就是
C
， 即
例2：判断下列函数的极限：
x??
f(x)?A

1
lim()
x
（2）
lim10
x

x???
x???
2
1
（3）
lim
2
（4）
lim4

x??
x
x??
（1）
三、课堂小结
1、数列的极限

2、当
x??
时函数的极限
四、练习与作业
1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限
（1）1，
1
4
，
1
9
，…，
1
n
2
，… ；（2）7，7，7，…，7，…；
（3）
?
1
2
,
1
4
,?
1
8
,?,
(?1)
n
2
n
,?
；
（4）2，4，6，8，…，2n，…；
（5）0.1，0.01，0.001，…，
1
10
n
，…；
（6）0，
?
1
2
,?
2
3
,
…，
1
n
?1
，…；
（7）
111
n?1
1< br>2
,?
3
,
4
,
…，
(?1)
n? 1
，…；
（8）
149
n
2
5
,
5
,
5
,
…，
5
，…；
（9）－2, 0，－2，…，
(?1)
n
?1
,…，
2、判断下列函数的极限：
（1）
x
lim
???
0.4
x
（2）
lim1.2
x
x???

（3）
lim(?1)
（4）
lim
1
x??
x??
x
4

（5）
x
lim
???
(
1
10
)
x （6）
5
x
x
li m
???
(
4
)

（7）
lim
1
x??
x
2
?1
（8）
lim
x??
5

补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD中 ，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点。（
求证：MN⊥AB；
P
（2）若平面PCD与平面ABCD所成的二面角为θ，
能否确定θ，使得MN是异面直线AB与PC的公垂线？
若可以确定，试求θ的值；若不能，说明理由。
N
数列极限的运算法则（5月3日）
A
D
M
教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的
极限。
B
C
教学重点：运用数列极限的运算法则求极限
教学难点：数列极限法则的运用
教学过程：
一、复习引入：
函数极限的 运算法则：如果
lim
x?x
f(x)?A,lim
?x
g(x)? B,
则
lim
x
?
f(x)?g(x)
?
?
＿＿＿
0
x
0
x?
0
)
x
lim?x
?
f(x).g(x)
?
?
＿＿＿＿，
x
lim
f(x
0
?x
0
g(x)
?
＿＿＿＿（B< br>?0
）
二、新授课：
数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： < br>如果
lim
??
a
n
?A,lim
n??
b
n
?B,
那么
n
1）

推广：上面法则可以 推广到有限多个数列的情况。例如，若
?
a
n
．．
?
，?
b
n
?
，
?
c
n
?
有极限 ，则：
lim(a
n
?b
n
?c
n
)?lima< br>n
?limb
n
?limc
n

n??n??n??n??
特别地，如果C是常数，那么
二.例题：
例1 .已知
lima
n
?5,
n??
lim(C.a
n
)?
n
?CA

n??n??n??
limb
n
? 3
，求
lim(3a
n
?4b
n
).

n??n??
例2.求下列极限：
（1）
lim(5?
n??
41
)
； （2）
lim(?1)
2

n??
nn
例3.求下列有限：
2n?1n
（2）
lim
2

n??
3n?1
n??
n?1
分析：（1）（2）当
n
无 限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不
（1）
lim
能直接运用。
例4.求下列极限：
（1）
lim(
n??
3572n?1
?????)

2222< br>n?1n?1n?1n?1
1?2?4???2
n?1
)
（2）lim(
n??
1?3?9???3
n?1
说明：1.数列极限的运算法 则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。 当
n
无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。
2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。
3.两个（或几个）函数 （或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。
小结：在数列的 极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数
列是 成立的。
练习与作业：
1.已知
lima
n
?2,
li mb
n
??
n??
n??
1
，求下列极限
3
a
n
?b
n

n??
a
n（1）
lim(2a
n
?3b
n
)
； （2）
lim
n??
2.求下列极限：
（1）
lim(4?
n??
1
)
； （2）
lim
n??
n
2
3
?5?
n
。
3.求下列极限
（1）
lim
n?1n
； （2）
lim
；
n??n??
3n?2n
5n?2n
2
3n?2
（3）
lim
； （4）
lim
。
n??
3n
2
?1
n??
1?n
2
4.求下列极限
已知
lima
n
?3,lim b
n
?5,
求下列极限：
n??n??
（1）.
lim(3a
n
?4b
n
).
（2）.
lim
n??
a
n
?b
n

n??
a?b
nn

5.求下列极限:
21
);
（2）.
lim(
2
?5)

n??n??
n
n
1
?1
13
（3）.
lim(?4)
(4).
lim
n

n??
nn
n??
1
?1
n
1?2?3???n7?5n
(5).
lim
(6).
lim
2
n??n??
6n?11
2n
（1）.
lim(7?
21?4n
2
n?1
(7).
lim
2
（8）
lim(?)
< br>2
n??
n?9
1?n
n??
n
111
?? ??
n
24
2
（10）.已知
lima?2,
求
lim
n?a
n
（9）
lim
n
n??
n?a
n??
n??
111
n
1?????
n
39
3
1?
无穷等比数列各项的和（5月4日）
教学目的：掌握无穷等比数列各项的和公式；
教学重点：无穷等比数列各项的和公式的应用
教学过程：
一、复习引入
1、等比数列的前n项和公式是____________________________________ _____________
2、设AB是长为1的一条线段，等分AB得到分点A
1
，再等分线段A
1
B得到分点A
2
，如此无限继续下去，线段AA
1
，
A
1
A
2
，…，A
n
－
1< br>A
n
，…的长度构成数列

1111
,,,?,
n
,?
①
248
2
可以看到，随着分点的增多，点A
n
越来越接近点B， 由此可以猜想，当n无穷大时，AA
1
+A
1
A
2
+…+ A
n
－
1
A
n
的极限是
________.下面来验证猜想的正确性，并加以推广
二、新课讲授
1、无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和当n无限增大时的极限，叫 做这个无穷
等比数列各项的和. 设无穷等比数列
a
1
,a
1
q,a
1
q,?,a
1
q
例1、求无穷等比数列
0.3， 0.03， 0.003，…
各项的和.
例2、将无限循环小数
0.29
化为分数.
三、课堂小结：
1、无穷等比数列各项的和公式；2、化循环小数为分数的方法
四、练习与作业
1、求下列无穷等比数列各项的和：
（1）
。。
2n?1
,?的公比
q
的绝对值小于1，则其各项的和S为
82132144
,?,,?,?；1，，，?
（2）
6，
9328331575
（3）
3?1
3?1
。。
，1，
3?1
3?1
，?x,x
2
,?x
3
,?,(x?1)

，?
（4）
1
2、化循环小数为分数：
（1）
0.27
（2）
0.306

。。

（3）
1.328
（4）
?0.4023

3、如图，等边三角形ABC的面积等于1，连结这个三角形 各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边
的中点得到一个更小的三角形，如此无限继续下 去，求所有这些三角形的面积的
和.
4、如图，三角形的一条底边是a ,这条边上的高是h
（1）过高的5等分点分别作底边的平行线，并作出相应的4个矩形，求这
些矩形面积的和
（2）把高n等分，同样作出n－1个矩形，求这些矩形面积的和；
（3）求证：当n无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积ah2
B
C
A
。。。