集合 高中数学 打比方-高中数学写教案比赛任务书
课 题：
10．3组合 (二)
教学目的：
1掌握组合数的两个性质，并能运用组合数的性质进行化简；
2. 进一步理解排列与组合的
区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式，并
且能够运用公式解决一些简单的应用问题
教学重点：组合数的性质
教学难点：组合数的性质
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第
一类办法
中有
m
1
种不同的方法，在第二类办法中有
m
2<
br>种不同的方法，……，在第n类
三人行，必有我师
办法中有
m
n
种不同的方法那么完成这件事共有
N
?m
1
?m
2
?
?m
n
种不
同的方法 <
br>2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有
m
1
种
不同的方法，做第二步有
m
2
种不同的方法，……，做第n步有
m
n
种不同的
方法，那么完成这件事有
N?m
1
?m
2
??
m
n
种不同的方法
3．排列的概念：从
n
个不同
元素中，任取
m
（
m?n
）个元素（这里的被
取元素各不相同）按照
一定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个
．．．．．<
br>元素的一个排列
．．．．
4．排列数的定义：从
n
个不同元
素中，任取
m
（
m?n
）个元素的所有排
m
列的个数叫做从
n
个元素中取出
m
元素的排列数，用符号
A
n
表示
m
5．排列数公式：
A
n
?n(n?1)(n?2)(n?m?1)
（
m,n?N
?
,m?n
）
6 阶乘：
n!表示正整数1到
n
的连乘积，叫做
n
的阶乘规定
0!?1
．
m
7．排列数的另一个计算公式：
A
n
=
n!
(n?m)!
8 组合的概念：一般地，从
n
个不同元素中取出
m<
br>?
m?n
?
个元素并成一
组，叫做从
n
个不同元素中
取出
m
个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
9．组合数的概念：
从
n
个不同元素中取出
m
?
m?n
?
个元素的所有
组合的
m
个数，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的组合数．用符号
C
n
表示．
．．．
A
n
m
n(n?1)(n?2)(n?m?1)
10．组合数
公式：
C?
m
?
A
m
m!
m
n
或
C
n
?
m
n!
(n,m?N
?
,且m?n)
m!(n?m)!
二、讲解新课：
1
组合数的性质1：
C
n
?C
n
mn?m
．
三人行，必有我师
一般地，从
n
个不同元素中取出
m
个元素后，剩下
n?m
个元素．因为从
n
个不同元素中取出
m
个元素的每一个组合，与剩下的
n
?
m
个元素的每一个组合一一对应，所以从
n
个不同元素中取出
m
个元素的组合数，等于从这
n
个
．．．．
mn?m
元素中取出
n
?
m
个元素的组合数，即：
C
n
．在这里，主要体现：“取
?Cn
法”与“剩法”是“一一对应”的思想
n?m
证明：∵
C
n
?
n!n!
?
(n?m)![n?(n?m)]!m!(n?m)!
m
又
C<
br>n
?
mn?m
n!
，∴
C
n
?C
n
m!(n?m)!
0
说明：①规定：
C
n
?1
；
②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；
n
m
n?m
③
此性质作用：当
m?
时，计算
C
n
可变为计算
C
n
，能够使运算简化.
2
20012002?2001
1
例如
C
2002
＝
C
2002
＝
C
2002
=2002；
x
④
C
n
?C
n
y
?x?y
或
x?y?n
．
m
mm?1
2．组合数的性质2：
C
n
．
?1<
br>＝
C
n
+
C
n
一般地，从
a
1,a
2
,?,a
n?1
这
n
+1个不同元素中取出m
个元素的组合数是
m
C
n?1
，这些组合可以分为两类：一类
含有元素
a
1
，一类不含有
a
1
．含有
a
1
的
m?1
组合是从
a
2
,a
3
,?,a
n?1
这
n
个元素中取出
m
?1个元素与
a1
组成的，共有
C
n
个；不含有
a
1
的组合是
从
a
2
,a
3
,?,a
n?1
这
n
个元素中取出
m
个元素组成的，
m
共有
C
n
个．
根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主
要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与
不含其元素”的分类思想．
n!n!
mm?1
证明：
C
n
?
n!(n?m?1)?n!m
?C
n
??
m!(n?m)!(m?1)![n?(m?1)]!
m!(n?m?1)!
m
(n?
1)!
?
(n?m?1?m)n!
?
?C
n?1
m!(
n?m?1)!
m!(n?m?1)!
m
mm?1
∴
C
n<
br>＝+．
C
C
n
?1n
三人行，必有我师
说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下
标多1而上标 与大的相同的一个组合数；
②此性质的作用：恒等变形，简化运算
三、讲解范例：
例1．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
332323
解：（ 1）
C
8
，；（2）
C
7
（3）
C
7?56
,或
C
8
?C
7
?C
7
?21
；
?35
．
3456
例2．（1）计算：
C
7
；
?C
7?C
8
?C
9
nnn?1n?2
（2）求证：
C
m?2
＝
C
m
+
2C
m
+
C
m
．
4565664
解：（1）原式
?C
8
?C
8
?C
9
?C
9
?C
9
?C
10
? C
10
?210
；
nn?1n?1n?2nn?1n
证明：（2） 右边
?(C
m
?C
m
)?(C
m
?C
m< br>)?C
m
?C?C
?1m?1m?2
?
左边
1
3
A
x?3
．
10
解：（1）由原方程得x?1?2x?3
或
x?1?2x?3?13
，∴
x?4
或x?5
，
x?12x?3
例3．解方程：（1）
C
13
；（2）解方程：
C
x?2
?C
x?2
?
?C
1 3
x?2x?3
?
1?x?1?13
?
?
又由
?
1?2x?3?13
得
2?x?8
且
x?N
，∴原方程的解 为
x?4
或
x?5
?
x?N
?
?
上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把
x?4
和
x?5
代入检验,这
样运算量小得多.
（2）原方程可化为
C
x?3
?
x?2
1
3
1
3
(x?3!)(3!)x?
5
A
x?3
，
A
x?3
，
?
即
C
x?3
?
∴，
1010
5(!x2!)?10!?x
∴
11
?
，
120(x?2)!10?x(x?1)?(x?2)!
2
∴
x?x?12?0，解得
x?4
或
x??3
，
经检验：
x?4
是原方程的解
四、课堂练习：
1．方程
C
28
?C
28
的解集为（ ）
三人行，必有我师
x3x?8
A
．
?
4
?
B
．
?
9
?
C
．
?
D
．
?
4,9
?
m?217?m
2．
式子
C
10
（
m?N
）的值的个数为 （ ）
?C
10
?
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
998
3．化简：
C
m
?C
m?1
?C
m
?
；
108n
4．若
C
n
，则
C
20
的值为
；
?C
n
5．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是
；
6．要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同的方法种数是 ；
7．5名工人分别要在3天中选择1天休息，不同方法的种数是 ；
8．集合
A
有
m
个元素，集合
B
有
n
个元素，从两个集合
中各取出1个元素，
不同方法的种数是 ．
,2,3,
9．从
1
,20
这
20
个数中选出2个不同的数，使这两个数的和为偶数，有
_
种不同选法
10．正12边形的对角线的条数是 ．
x?22x
11．已知
C
17
，求
C
8
x
的值；
?C
17
2x2x?156
12．解方程：
C
4
．
?C
4
?C
6
?C
6
13．6人同时被邀请参加一
项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不
同的去法？
14．在所有的三位数中，各位数字从高到低顺次减小的数共有 个
答案：1.
D 2. A 3. 0 4. 190 5. 10 6. 60 7. 243
8.
mn
9. 90 10. 54 11. 28或者56
12. 2 或者
33
14.
A
10
A
3
?120
，可以保证0在最低位
1
13. 63
2
五、小结 ：组合数的两个性质；从特殊到一般
的归纳思想；常用的等式：
0kk?1
C
k
0
?C
k?1<
br>?C
k
?C
k?1
?1
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：
三人行，必有我师
联系高中数学教学实践写反思-德阳高中数学教材顺序
临界值高中数学-高中数学问题教学法案例
人教版高中数学必修2课件-高中数学椭圆的通径是什么
能搜高中数学的软件下载-高中数学教学风格描述
高中数学圆锥曲线定义观课报告-高中数学教研组学期末工作总结
高中数学 讲解视频下载-微课对高中数学概念教学设计
高中数学书必修四人教版-2019高中数学预赛 福建 答案
高中数学必修二空间几何定理-陈国栋高中数学百度云网盘
-
上一篇：人教版高中数学必修五教案-高中数学必修五
下一篇：教师资格证试讲高中数学教案一