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高中数学排列组合教案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 13:34
tags:高中数学教案

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高中数学排列组合教案


【篇一:高中数学教案:排列与组合】

排列与组合

一、知识网络

二、高考考点

1、两个计数原理的掌握与应用;

2、关于排列与组合的定义的理解;关于排列与组合数公 式的掌握;
关于组合数两个性质的掌握;

3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题(多为排列与
组合的混合问题)

三、知识要点

一.分类计数原理与分步计算原理

1 分类计算原理(加法原理):

完成一件事,有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方 法,
在第二类办法中有m2种不同的方法,??,在第n类办法中有mn
种不同的方法,那么完 成这件事共有n= m1+ m2+?+ mn种不同的
方法。

2 分步计数原理(乘法原理):

3、认知:

上述两个原理都是研究完成 一件事有多少种不同方法的计数依据,
它们的区别在于,加法原理的要害是分类:将完成一件事的方法分
成若干类,并且各类办法以及各类办法中的各种方法相互独立,运
用任何一类办法的任何一种方 法均可独立完成这件事;乘法原理的
要害是分步:将完成一件事分为若干步骤进行,各个步骤不可缺少,
只有当各个步骤依次完成后这件事才告完成(在这里,完成某一步
的任何一种方法只能完成这一 个步骤,而不能独立完成这件事)。

二.排列

1 定义

(1)从n个不同元素中取出m(

素中取出m个元素的一排列。

(2)从n个不同元素中取出m(

m个元素的排列数,记为 . )个元素的所有排列的个数,叫做从n
个不同元素中取出 )个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n
个不同元


2 排列数的公式与性质

(1)排列数的公式:

规定:0!=1

(2)排列数的性质: =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)=特例:当
m=n时, =n!

(Ⅰ) = (排列数上标、下标同时减1(或加1)后与原排列数的
联系)(Ⅱ) (排列数上标加1或下标减1后与原排列数的联系)
(Ⅲ)

三.组合 (分解或合并的依据)

1 定义 (1)从n个不同元素中取出

个元素的一个组合

(2)从n个不同元素中取出

个元素的组合数,用符号 表示。 个元素并成一组,叫做从n个不
同元素中取出m 个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中
取出m 2 组合数的公式与性质

(1)组合数公式: (乘积表示)

(阶乘表示) 特例:

(2)组合数的主要性质:

(Ⅰ) (上标变换公式)

(Ⅱ)

四、经典例题 (杨辉恒等式)

例1、某人计划使用不超过 500元的资金购买单价分别为60、70元
的单片软件和盒装磁盘,要求软件至少买3片,磁盘至少买 2盒,
则不同的选购方式是( )

a .5种 b.6种 c. 7种 d. 8种

例2、已知集合m={-1,0,1},n={2,3,4,5},映射

为奇数,则这样的映射

,当x∈m时, 的个数是() a.20 b.18 c.32 d.24

例3、在中有4个编号为1,2,3,4的小三角形, 要在每一个小三
角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种,使有相邻边的
小三角形颜色 不同,共有多少种不同的涂法?

例4、将字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的 四个方格里,每
格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()
a.6种 b.9种 c.11种 d.23种


例5、用数字0,1,2,3,4 ,5组成无重复数字4位数,其中,
必含数字2和3,并且2和3不相邻的四位数有多少个?

例6、某人在打靶时射击8枪,命中4枪,若命中的4枪有且只有
3枪是连续命中的,那么 该人射击的8枪,按“命中”与“不命中”报告
结果,不同的结果有()

a.720种 b.480种 c.24种 d.20种

例8、用红、黄、绿3种 颜色的纸做了3套卡片,每套卡片有写上
a、b、c、d、e字母的卡片各一张,若从这15张卡片中, 每次取出
5张,则字母不同,且3种颜色齐全的取法有多少种?

例9、 (1)从5双不同的袜子中任取4只,则至少有2只袜子配
成一双的可能取法种数是多少?

(2)设有编号为1,2,3,4,5的五个小球和编号为1,2,3,4,
5的五个盒子, 将五个小球放入五个盒子中(每个盒子中放一个小
球),则至少有两个小球和盒子编号相同的放法有多少 种?

(3)将四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,则
恰有一 个空盒的放法共多少种?

(4)某产品共有4只次品和6只正品,每只产品均不相同,现在 每
次取出一只产品测试,直到4只次品全部测出为止,则最后一只次
品恰好在第五次测试时被发 现的不同情况有多少种?

排列组合练习题

1、三个同学必须从四种不同的选修课中选一种自己想学的课程,共
有种不同的选

法。

2、8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有种。

3、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛,3
名主力队员要安排在第一、

三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同
的出场安排共有_____ ____种。

4、从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益
活动,每人一天,要求星

期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方
法共有。

5、有8本不同的书,从中取出6本,奖给5位数学优胜者,规定第
一名(仅一人)得2本,

其它每人一本,则共有种不同的奖法。


6、有3位老师、4名学生排成一排照相,其中老师必须在一起的排
法共有种。

7、有8本不同的书,其中数学书3本,外文书2本,其他书3本,
若将这些书排成一列放在

书架上,则数学书恰好排在一起,外文书也恰好排在一起的排法共
有___________ _种。

8、五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排,任两台电视机
不靠在一起,有 种

陈列方法。

9、有6名同学站成一排:甲、乙、丙不相邻有种不同的排法。

10、五个人排成一排,要求甲、乙不相邻,且甲、丙也不相邻的不
同排法的种数是 11、6名男生6名女生排成一排,要求男女相间的
排法有 种。

12、4名男生和3名女生排成一排,要求男女相间的排法有种。

13、有4男4女排成一排,要求女的互不相邻有种排法;要求男女
相间有 种

排法。

14、一排有8个座位,3人去坐,要求每人左右两边都有空位的坐
法有 种。

15、三个人坐在一排7个座位上,若3个人中间没有空位,有种坐
法。若4个

空位中恰有3个空位连在一起,有种坐法。

16、由1、2、3、4、5组成一个无重复数 字的5位数,其中2、3
必须排在一起,4、5不能排在

一起, 则不同的5位数共有 个。

17、有4名学生和3位老师排成一排照相,规定两端不排老师且老
师顺序固定不变,那么不

同的排法有 种。

18、从6名短跑运动员中选4人参加4 100米的接力赛,如果其中
甲不能跑第一棒,乙不能

跑第四棒,共有种参赛方案。

19、现有6名同学站成一排:甲不站排头也不站排尾有 种不同的排
法 甲不站排

头,且乙不站排尾有 种不同的排法


20、有2位老师和6名学生排成一排,使两位老师之间有三名学生,
这样的排法共有种。

21、以正方体的顶点为顶点的四面体共有个。

22、由1、2、3、4、5、 6组成没有重复数字的六位数,其中个位
数字小于十位数字,十位数

字小于百位数字,则这样的数共有 个。

23、a,b,c,d,e五人站一排,b必须站a右边,则不同的排法
有 种。

24、晚会原定的5个节目已排成节目单,开演前又加了2个节目,
若将这2 个节目插入原节

目单中,则不同的插法有 种。

25、书架上放有6本书,现在要再插入3本书,保持原有书的相对
顺序不变,则不同的放法

有 种。

【篇二:排列组合教案】


1.分类加法原理——(或)——不重不漏

2.分步乘法原理——(且)——步骤完整

3.排列(arrangement):

例1. 用0~9十个数字,可以组成多少个没有重复的数字的三位数?

有三种思路:



② 分三类

③ 逆向思维

4.组合(combination):

由此

例2. 要从十七人中选出十一人组建足球队

(1)有多少种可能

(2)要是要选出一人出任守门员,有多少种不同的可能

两种方法

组合的性质:1.

2.

计算器:

(排列的另外一种理解) (也即是大除法,去序)

5.

二项式:


n个(a+b)相乘,不合并同类项,总共有多少项?

基础练习:

1.设有99本不同的书

(1) 分给甲、乙、丙3人,甲得96本,乙得2本,丙得1本,共
有多少种不同的分法?

(2) 分给甲、乙、丙3人,甲得93本,乙、丙各得3本,共有多
少种不同的分法?

(3) 平均分给甲、乙、丙3人,共有多少种不同的分法?

(4) 分给甲、乙、丙3人,一人得96本,一人得2本,一人得1
本,共有多少种不同的

分法?

(5) 分给甲、乙、丙3人,一人得93本,另两人各得3本,共有
多少种不同的分法?

(6) 分成3份,一份96本,一份2本,一份1本,共有多少种不
同的分法?

(7) 平均分成3份,共有多少种不同的分法?

(8) 分成三份,一份93本,另两份各3本,共有多少种不同的分
法?

2某科研小组有工作人员8人。

(1)现有五个项目需要研发,其中a项目必须由4人共同 完成,余
下的四个项目每个项目都由1人独立完成,有多少种不同的安排方
法?

(2)现有三个研究课题,完成每个课题至少需要2人,有多少种不
同的安排方法?

3.将5名新转入的同学分配到高二年级的三个班学习,每班至少1名,
最多2名,不同的分配 方案有多少种?

4.某高校有14名志愿者参加接待工作,若每天早、中、晚三班,每班4人,没人每天最多值一班,则一天不同的排版种数为多少?

5.将3名司机和 6名乘务员分配到3辆不同的公共汽车上,没量公
共汽车分配1名司机和2名乘务员,不同的分配方法共 有多少种?

6.将9件不同的玩具放入三个相同的盒子里,每个盒子里放3件,
则不同的放法有多少种?(异球同盒)

8.9名反恐战士中,有3名中国籍战士和6名其 他国籍战士。再一
次反恐演习中,9名战士以抽签的方式进行分组。

(1)分成甲、乙、丙3组,每组3名战士。


①3名中国籍战士分别被分在甲、乙、丙三组,共有多少种不同的
分法?

②至少有2名中国籍战士被分在同一组,共有多少种不同的分法?

(2)平均分成3组,每组3名战士。

①3个组中,各有1名中国籍战士,共有多少种不同的分法?

②恰有2名或3名中国籍战士被分在同一组,共有多少种不同的分
法?

【篇三:高中数学-排列组合和概率-人教版全部教案】


两个基本原理

一、教学目标

1、知识传授目标:正确理解和掌握加法原理和乘法原理

2、能力培养目标:能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题

3、思想教育目标:发展学生的思维能力,培养学生分析问题和解决
问题的能力

二、教材分析

1.重点:加法原理,乘法原理。解决方法:利用简单的举例得到一
般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法
比较它们的异同.

三、活动设计

1.活动:思考,讨论,对比,练习.

2.教具:多媒体课件.

四、教学过程正

1.新课导入

随着社会发展,先进技术,使得各种问题解决方法多样化,高标准
严要求,使得商品生产工序 复杂化,解决一件事常常有多种方法完
成,或几个过程才能完成。

排列组合这一章 都是讨论简单的计数问题,而排列、组合的基础就
是基本原理,用好基本原理是排列组合的关键.

2.新课

我们先看下面两个问题.

(l)从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船.一
天中,火车有4班,汽车有 2班,轮船有 3班,问一天中乘坐这些
交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 板书:图


因为一天中乘火车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有3种
走法,每一种走法都可以从甲地到达乙地,因此,一天中乘坐这些
交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法.

一般地,有如下原理:

加法原理:做 一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有
m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的 方法,??,在第
n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有n=m1十
m2十?十 mn种不同的方法.

(2) 我们再看下面的问题:

由a村去b村 的道路有3条,由b村去c村的道路有2条.从a村
经b村去c村,共有多少种不同的走法?

板书:图

这里,从a村到b村有3种不同的走法,按这3种走法中的每一种走法到达b村后,再从b村到c村又有2种不同的走法.因此,从
a村经b村去c村共有 3x2=6种不同的走法. 一般地,有如下原理:

乘法原理:做一件事,完成它需要分 成n个步骤,做第一步有m1
种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,??,做第n步有
mn种不同的方法.那么完成这件事共有n=m1 m2?mn种不同的
方法.

例1 书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书.

1)从中任取一本,有多少种不同的取法?

2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少的取法?

解:(1)从书架上任取一本书,有两 类办法:第一类办法是从上层
取数学书,可以从6本书中任取一本,有6种方法;第二类办法是
从下层取语文书,可以从5本书中任取一本,有5种方法.根据加
法原理,得到不同的取法的种数是6十 5=11.

答:从书架l任取一本书,有11种不同的取法.

(2) 从书架上任取数学书与语文书各一本,可以分成两个步骤完成:
第一步取一本数学书,有6种方法;第二 步取一本语文书,有5种
方法.根据乘法原理,得到不同的取法的种数是 n=6x5=30.

答:从书架上取数学书与语文书各一本,有30种不同的方法.

练习: 一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币

1)从中任取一枚,有多少种不同取法?2)从中任取明清古币各一
枚,有多少种不同取法?

例2(1)由数字l,2,3,4,5可以组成多少个数字允许重复三位数?


(2)由数字l,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数?

(3)由数字0,l,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位
数?

解:要组成一个三位数可以分成三个步骤完成:第一步确定百位上
的数字,从5个数字中任选 一个数字,共有5种选法;第二步确定
十位上的数字,由于数字允许重复,

这仍有 5种选法,第三步确定个位上的数字,同理,它也有5种选
法.根据乘法原理,得到可以组成的三位数的 个数是n=5x5x5=125.

答:可以组成125个三位数.

练习:

1、从甲地到乙地有2条陆路可走,从乙地到丙地有3条陆路可走,
又从甲 地不经过乙地到丙地有2条水路可走.

(1)从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法?

(2)从甲地到丙地共有多少种不同的走法?

2.一名儿童做加法游戏.在一个红口袋中装 着2o张分别标有数1、
2、?、19、20的红卡片,从中任抽一张,把上面的数作为被加数;
在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、?、9、1o的黄卡片,
从中任抽一张,把上面的数 作为加数.这名儿童一共可以列出多少
个加法式子?

3.题2的变形

4.由0-9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?

小结:要 解决某个此类问题,首先要判断是分类,还是分步?分类
时用加法,分步时用乘法其次要注意怎样分类和 分步,以后会进一
步学习

练习

1.(口答)一件工作可以用两种方法完成.有 5人会用第一种方法
完成,另有4人会用第二种方法完 成.选出一个人来完成这件工作,
共有多少种选法?

2.在读书活动中,一个学生要从 2本科技书、 2本政治书、 3本
文艺书里任选一本,共有多少种不同的选法?

3.乘积(a1+a2+a3) (b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展
开后共有多少项?

4.从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲
地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通.从甲地到丙
地共有多少种不同的走法?


5.一个口袋内装有5个小球,另一个口袋内装有4个小球,所有这
些小球的颜色互不相同.

(1)从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法?

(2)从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法?

作业:(略)

排列

【复习基本原理】

1.加法原理做一件事,完成它可以有n类办法,第一类办法中有m1
种不同的方法,第二

办法中有m2种不同的方法??,第n办法中有mn种不同的方法,
那么完成

这件事共有

n=m1+m2+m3+?mn

种不同的方法.

2.乘法原理做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一 步有m1
种不同的方法,做第

二步有m2种不同的方法,??,做第n步有mn种不同的方法,.那
么完成这

件事共有

n=m1?m2?m3???mn

种不同的方法.

3.两个原理的区别:

【练习1】

1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线,需要准备多少种
不同的机票?

2.由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数?请一一列
出.

【基本概念】

1. 什么叫排列?从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素(这里的
被取元素各不相同)

按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的
一个排列 .........

2. 什么叫不同的排列?元素和顺序至少有一个不同.

3. 什么叫相同的排列?元素和顺序都相同的排列.

4. 什么叫一个排列?

【例题与练习】


1. 由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数?

2.已知a、b、c、d四 个元素,①写出每次取出3个元素的所有排
列;②写出每次取出4个元素的所有排列.

【排列数】

1. 定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素的所有排列的个
数叫做从n个元素中

m取出m元素的排列数,用符号pn表示.

用符号表示上述各题中的排列数.

m2. 排列数公式:pn=n(n-1)(n-2)?(n-m+1)

123pn=pn=pn=;4pn=;

242计算:p5 p5p15

【课后检测】

1. 写出:

① 从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的所有排
列;

② 由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.

③ 由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.

2. 计算:

① p

排 列

课题:排列的简单应用(1)

目的:进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公式,
会用排列数公式计算和解决简单的实 际问题.

过程:

一、复习:(引导学生对上节课所学知识进行复习整理)

1.排列的定义,理解排列定义需要注意的几点问题;

2.排列数的定义,排列数的计算公式

mm=an=n(n-1)(n-2) (n-m+1)或an3100 ② p36 ③ p-2p4828④
8p12 7p12n! (其中m≤n m,n∈z) (n-m)!

3.全排列、阶乘的意义;规定 0!=1

4.“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用.

二、新授:

例1:⑴ 7位同学站成一排,共有多少种不同的排法?

7解:问题可以看作:7个元素的全排列——a7=5040

⑵ 7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法?


⑶ 7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的
排法?

6 解:问题可以看作:余下的6个元素的全排列——a6=720

⑷ 7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?

2 解:根据分步计数原理:第一步 甲、乙站在两端有a2种;第二
步 余下的5名

255同学进行全排列有a5种 则共有a2=240种排列方法 a5

⑸ 7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少
种?

解法一(直接法):第一步 从(除去甲、乙)其余的5位同学中选
2位同学站在

2排头和排尾有a5种方法;第二步 从余下的5位同学中选5位进
行排列(全排

525列)有a5种方法 所以一共有a5=2400种排列方法. a5

66 解法二:(排除法)若甲站在排头有a6种方法;若乙站在排尾
有a6种方法;若

5甲站在排头且乙站在排尾则有a5种方法.所以甲不能站在排头,
乙不能排在

765排尾的排法共有a7-2a6+a5=2400种.

小结一:对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法”或“排除法”,
对某些特

殊元素可以优先考虑.

例2 : 7位同学站成一排.

⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?

解:先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个
元素(同学)一

6起进行全排列有a6种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列
有a2种方法.所

6以这样的排法一共有a6a2=1440种. 22

⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?

53 解:方法同上,一共有a5=720种. a3

⑶甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多
少种?

解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有
6个元素,因为


丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元
素放在排头和排

2尾,有a5种方法;将剩下的4个元素进行全排列有a4种方法;
最后将甲、乙两个

2同学“松绑”进行排列有a2种方法.所以这样的排法一共有
a5a4a2=960种方2 424

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