高中数学教案点到直线的距离

3.3.3 点到直线的距离
（一）教学目标
1．知识与技能
理解 点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式.
2．过程和方法
会用点到直线距离公式 求解两平行线距离.
3．情感和价值
认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.
（二）教学重点、难点
教学重点：点到直线的距离公式.
教学难点：点到直线距离公式 的理解与应用.
（三）教学方法
学导式
教学环
节
教学内容 师生互动
用POWERPOINT打出平面直角
坐标系中两直线，进行移动，使学生回
顾两直线的位置关系，且在直线上取两
点，让学生指出两点间的距离公式，复
习前面所学.要 求学生思考点到直线的
距离的计算？能否用两点间距离公式
进行推导？
设计意图 < br>前面几节课，我们一起
研究学习了两直线的平行或
垂直的充要条件，两直线的
夹 角公式，两直线的交点问
题，两点间的距离公式。逐
复习引入
步熟悉了利用代数方法 研究
几何问题的思想方法.这一
节，我们将研究怎样由点的
坐标和直线的方程求点P到
直线l的距离.
1．点到直线距离公式
点P (x
0
，y
0
)到直线l：
Ax + By + C = 0的距离为
设置情境
导入新课
（1）教师提出问题
已知P (x
0
，y
0
)，直线l：Ax + By +
C = 0，怎样 用点的坐标和直线方程直
|Ax
0
?By
0
?C|
接求点P 到直线l的距离呢？
d?
A
2
?B
2
学生自由讨论
推导过程（2）数形结合，分析问题，提出
方案一：解决方案.
设点P到直线l的垂线把点到直 线l的距离转化为点P
概念形成 段为PQ，垂足为Q，由PQ到l的垂线段的长，即点到点的距离.< br>⊥l可知，直线PQ的斜率为画出图形，分析任务，理清思路，
B
解决问题. 寻找最佳 方案，附方案二.
(A≠0)，根据点斜式写出
A
方案二：设A≠0，B≠0，这时l
直线PQ的方程，并由l与与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的
PQ的方程求出点Q的坐标： 平行线，交l于点R (x
1
，y
0
)；作y轴的
由此根据两点距离 公式求出平行线，交l于点S (x
0
，y
2
)，
|PQ|，得到点 P到直线l的距
离为d.
通过这
种转化，培
养学生“化
归”的思想< br>方法.

1

由
?
?
A
1
x
1
?By
0
?C?0
?
Ax
0
?By
2
?C?0
得
x
1
?
?By
0?C?Ax
0
?C
,y
2
?
AB
所以
|PR|?|x
0
?x
1
|?|
Ax
0
?By0
?C
|
A
此方法虽思路自然，但运算
较繁，下面我们探讨另一 种
方法.
|PS|?|y
0
?y
2
|?|
Ax< br>0
?By
0
?C
|
B
|RS|?PR
2?PS
2
?
A
2
?B
2
?|Ax
0< br>?By
0
?C|
由三角形面
|AB|
积公式可知d·|RS| =|PR|·|PS|.
所以
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
可证明，当A = 0时仍适用.
这个过程比较繁琐，但 同时也使
学生在知识、能力、意志品质等方面得
到了提高.

2

例1 求点P = (–1，2 )到直
线3x = 2的距离.
学生分析求解，老师板书
解：
d?
|3?(?1)?2|
3?0
22
?
5
3
例2 已知点A (1，3)，B (3，
1)，C(–1，0)，求三角形ABC
的面积.
例2 解：设AB边 上的高为h，则
1
S
VABC
?|AB|?h
2
|AB|? (3?1)
2
?(1?3)
2
?22
AB边上的高h就是点C到AB
的距离.
AB边所在直线方程为
y?3
x?1
?
1?33? 1
应用举例
即x + y – 4 = 0.
点C到x + y – 4 = 0的 距离为h
|?1?0?4|
5
，
h??
2
1?1
2
15
因此，
SABC??22??5

2
2
通过< br>这两道简
单的例题，
使学生能
够进一步
对点到直
线的距离理解应用，
能逐步体
会用代数
运算解决
几何问题
的优越性.
2．两平行线间的距离d
已知l
1
：Ax + By + C
1
=
0
l
2
：Ax + By + C
2
= 0
d?
|C
1
?C
2
|
A?B
22

证明：设P
0
(x
0
，y
0
)是直
教师提问：
线Ax + By + C
2
= 0上任一
能不能把两平行直线间距离转化
点，则点P
0
到直线Ax + By +
概念深化
C
1
= 0的距离为
为点到直线的距离呢？ < br>|Ax
0
?By
0
?C
1
|
学生交流后回答 .
.
d?
A
2
?B
2
再写出推理过程
又Ax
0
+ By
0
+ C
2
= 0
即Ax
0
+ By
0
= –C
2
，
∴
d?
|C
1
?C
2
|
A?B
22
进一
步培养学
生化归转
化的思想.


3

例3 求两平行线
l
1
：2x + 3y – 8 = 0
l
2
：2x + 3y – 10 =0的距离.
解法一：在直线l< br>1
上取
一点P(4,0)，因为l
1
∥l
2
，所以P到l
2
的距离等于l
1
与l
2
的距离，于是 d?
|2?4?3?0?10|
2
2
?3
2
?
2
开拓学生
13
13
在教师的引导下，学生分析思路，思维，培养
应用举例
解法二：直接由公式
d?< br>|?8?(?10)|
2
2
?3
2
?
213

13
再由学生上台板书. 学生解题
能力.
课堂练习：已知一直线
被两平行线3x + 4y – 7 = 0
与3x + 4y + 8 = 0所截线段
长为3，且该直线过点(2，3)，
求该直线方程.
小结：点到直线距离公式
的推导过程，点到直线的距
归纳总结 离公式，能把求两平行线的
距离转化为点到直线的距离
公式.
课后作业
布置作业
见习案3.3的第三课时
培养学生
归纳、概括
能力，构建
知识网络.
巩固深化
老师和学生共同总结——交流—
—完善
独立完成
备选例题
例1 求过点M(–2，1)且与A(–1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程.
解法一：当直线斜率不存在时，直线为x = –2，它到A、B两点距离不相等.
所以可设直线方程为：y – 1 = k(x + 2)即kx – y + 2k + 1 = 0.
由
|?k?2?2k?1|
k?1
2
?
1
2
|3k?2k?1|
k?1
2
，
解得k = 0或
k??
.
故所求的直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0.
解法二：由平面几何知识：l∥AB或l过AB的中点.
若l
∥
AB且k
AB
??
1
，则l的方程为x + 2y = 0.
2
若l过AB的中点N(1，1)则直线的方程为y = 1.
所以所求直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0.
例2 （1）求直线2x + 11y + 16 = 0关于点P(0，1)对称的直线方程.
（2）两平行直线3x + 4y – 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l对称，求l的方程.
【解析】（1）当所求直线与直线2x + 11y + 16 = 0平行时，可设直线方程为2x + 11y +
C=0
由P点到两直线的距离相等，即

4

11?16
2?11
22
?
|11?C|
2?11
22
，所以C = –38.
所求直线的方程为2x + 11y – 38 = 0.
（2）依题可知直线l的方程为：6x + 8y + C = 0.
则它到直线6x + 8y – 2 = 0的距离
d
1
?
到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为
d
2
?
所以d
1
= d
2
即
|C?2|
6
2
?8
2
?
|C?3|
6< br>2
?8
2
1
?0
.
2
|C?2|
22
，
6?8
|C?3|
6?8
22

1
.
2
，所以
C?
即l的方程为：
6x?8y?
例3 等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x + 3y – 6 = 0上，顶点A
的坐标是(1，–2).求边AB、AC所在直线方程.
2
【解析】已知BC的斜率为
?
，因为BC⊥AC
3
所以直线AC的斜率为，从而方程
y?2?(x?1)

即3x – 2y – 7 = 0
又点A(1，–2)到直线BC：2x + 3y – 6 = 0的距离 为
|AC|?
且
|AC|?|BC|?
10
13
10
13
3
2
3
2
，
.
2
由于点B在直线2x + 3y – 6 = 0上，可设
B(a,2?a)
，
3
2
|3a?2(2?a)?7|
10
3
且点B到直线AC的距离为
?
22
13
3 ?(?2)
|
13
a?11|?10

3
1313633
或
a?11?10
或
a?11??10
，所以
a?
33
1313
6316324
,?)
或
B(,)

13131313
?
24
?2
13
(x?1)
< br>3
?1
13
所以
所以
B(
16
?2
13
所以直线AB的方程为
y?2?(x?1)
或
y?2?
63?1
13
即x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0
所以AC的直线方程为：3x – 2y – 7 = 0
AB的直线方程为：x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0.




5