实验班高中数学必修一-高中数学探究教学
高中数学研究性学习教学案例
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关于高一数学中分期付款问题
高一数学教材中的研究性学习是关于分期付款问题,这个问题在
生活中有比较现
实的意义,而且研究好了这个问题,对学习等比数列以及等比数列的求和公式的应
用可以起到巩固的作用。
一、问题的背景
故事背景:一外国老太太与一中国老太太的比较:一外国老太太到了快要死去时
叹了口气说,我终于还够了买房子的钱,而中国老太太到了快要死去时叹了口气说,
我终于攒够了买房子的钱。那么问同学们,你们赞同于哪一种生活方式呢?这个问
题提出来之后,大家讨论的结果是,这个故事反应的是两个国家人们消费观念的
不同,同样的结果是老太太辛苦一辈子挣得一座房子,但两者的生活质量却有着
很大的不同,国外比较早实行分期付款的消费方式,而且信用体系比较完善。
现实背景:据统计现在上海以及一些大城市的年轻人越来越多的“负”翁出现,年
轻
人消费观念正发生着巨大变化,一般的工薪阶层兴起买房热和买车热,他们敢于用
明天的钱享受今天的生活。在我们身边,你们可以调查一下是不是也有很多青年人是
采用分期付款的方式买的房子和汽车呢?那么,如果是你有了一定的经济能力后也采
用分期付款的方式,那么你能不能算一算你每一期将会付多少款呢,会不会影响到
自己的生活质量呢?
通过这个问题的故事背景,使学生对分期付款问题产生了比较浓厚的兴趣,使我们
对问题的展开奠定了良好的基础。
单利与复利
例1、 按单利计算
,如果存入本金a元,每月的利率为0.8%,试分别计算1月后,2
月后,3个月后,……12个月后
的本利和是多少?
解:已知本金为a元, 1月后的本利和为a(1+0.8%)
2月后的本利和为a(1+2*0.8%)
3月后的本利和为a(1+3*0.8%)
……
12月后的本利和为a(1+12*0.8%)
一般的,本金为a元,每
期利率为r,设本利和为y,存期为n,本利和y
随存期n变化的函数式为y=a(1+n*r)。
例2、 按复利计算,如果存入本金a元,每月的利率为0.8%,试分别计算1
月后,2月后
,3个月后,……12个月后的本利和是多少?
解:已知本金为a元,
1月后的本利和为a(1+0.8%)
2月后的本利和为a(1+0.8%)
2
3月后的本利和为a(1+0.8%)
3
……
12月后的本利和为a(1+0.8%)
12
一般的,本金为a元,每期利率
为r,设本利和为y,存期为n,本利和y
n
随存期n变化的函数式为
y?a(1?r
)
3、分期付款
例3、购买一件售价为5000元的商品,采用分期付款的办法,
每期付款数
相同,购买1个月后第1次付款,再过1个月第2次付款,如此下去,共付款5
次后
还清,如果按月利率0.8%,每月利息按复利计算(上月利息要计入下月本
金),那么每期应付款多少
?(精确到1元)
解法1 :设每月应付款x元,
购买1个月后的欠款数为5000·1.008-x,
购买2个月后的欠款数为(
5000·1.008-x)·1.008-x
即
5000·1.008
2
-1.008x-x
购买3个月后的欠款数为(5000·
1.008
2
-1.008x-x)·1.008-x
即 5000·1.008
3
-1.008
2
x-1.008x –x
……
购买5个月后的欠款数为:5000·1
.008
5
-1.008
4
x–1.008
3
x-1.00
8
2
x-1.008x –x
由题意 5000·1.008
5
-
1.008
4
x–1.008
3
x-1.008
2
x-1.
008x –x=0
1.008
5
?1
于是,x??5000?1.008
5
1.008?1
即 x+1.008x+1.008
2
x
+1.008
3
x+1.008
4
x=5000·1.008
5
这就是说,每月应付款1024元 。
解法2 :设每月应付款x元 ,
那么到
最后1次付款时(即商品购买5个月后)付款金额的本利和为:
(x+1.008x+1.008
2
x+1.008
3
x+1.008
4
x)元;
另外,5000元商品在购买后5个月后的本利和为 5000·1.008
5
元。
根据题意, x+1.008x+1.008
2
x+1.008
3
x
+1.008
4
x=5000·1.008
5
解法3:从贷款时(即购买商品时)的角度来看
第1个月偿还的x元,贷款时值 :
x
第2个月偿还的x元,贷款时值:
x
元
元
2
… …
1.008
1.008
第5个月偿还的x元,贷款时值:
贷款5000元购买商品时值5000元。
x
元
5
由此可列出方程:
1.008
xx
xxx
?????5000
2345
1.0081.0081.0081.0081.
008
一般性结论:
(1)设贷款a元,拟m个月
等额将贷款全部付清,月利率为r,每月付款x元,有
23n?1m
x[1?(1?r)?(1
?r)?(1?r)???(?1?r)]?a(1?r)
m
ar(1?r)
得到x?
m
(1?r)?1
(2)设贷款a元,m个月分n次付清,(n是m的约数),月利率
为r,每月付款x元,有
a(1?r)?x?x(1?r)?x(1?r)?????x(1?r)整理得到x?
m
m
n
2m<
br>n
(n?1)
n
a(1?r)([1?r)?1]
m
(1?r
)?1
m
m
n
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