高中数学教案函数的性质

函数的性质（二）
一、知识网络（略）
二、高考考点（略）
三、知识要点
3、周期性
(1)定义：对于函数f（x），如果存在 一个非零常数T，使变量X取定义域内的每一个
值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x） 就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函
数的周期。
认知：
(Ⅰ)设f (x)定义域为I，则存在非零常数T，使对任意x∈I都有f(x+T)=f(x)f(x)为周
期函 数，T为f(x)的一个周期.
(Ⅱ)对于定义在R上的函数f(x)，若T是f(x)的一个周 期，则kT(k∈Z且k≠0)也是
f(x)的周期.
(2)延伸：设f(x)定义域为I.
(Ⅰ)若存在非零常数T，使对任意x∈I都有f(x+T) =－f(x)，则f(x)为周期函数，且2T
为f(x)的一个周期.
(Ⅱ)存在非零常 数a，b(a≠b)，使对任意x∈I都有f(x+a)=f(x+b)（x+a与x+b的差为
a-b ） f(x)为周期函数，且是f(x)的一个正周期.
4、反函数
(1)定义：设函数y=f(x)的定义域为A，值域为C. 根据函数y=f(x)中的x，y的关系，
导出x=（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一的值和
它对应 ，那么，函数x=（y）(y∈C)叫做y=f(x)(x∈A)的反函数. 记作x=
在函数x= 中，y表示自变量，x表示函数，出于习惯和研究的方便，我们常常对调函
数x= 中字母x，y的位置，将它改写成y= ，并且约定:今后凡不特别说明，函数y= 的反
函数均指这种改写过的形式(矫形反函数).
(2)定义的推论 由y=f(x)的反函数y= 的引出过程可知
(1)两域互换:y=f(x)与y= 的定义域和值域互换
(2)等价反解:当f(x)存在反函数时，y=f(x)(x∈A，y∈C) x= (x∈A，y∈C)
(3)相消性质:注意到两式中x，y的同一性，运用代入手段解
， y∈C (C为反函数 的定义域) ， x∈A (A为反函数 的值域)
(3)求反函数的三部曲:
(ⅰ)确定f(x)值域；(ⅱ)“反解”函数式:y=f(x) x= ；(ⅲ)改写并注明定义域: y=（定
义域为y=f(x)的值域）.
(4)反函数的性质
反函数除去具有定义推论中的性质之外，还有以下主要性质.
(ⅰ)函数y=f(x)的图像与它的反函数y= 的图像关于直线y=x对称.
这一性质诠释:点(a，b)在y=f(x)图像上点(b，a)在y= 图像上 即b=f(a) a= (a∈
A，b∈C)
(ⅱ)若y=f(x)(x∈I)单调，则y=f(x) (x∈I)有反函数，并且正反函数具有同一单调性.
提醒：单调函数必有反函数，但反之不一定成立.即y=f(x) (x∈I)的反函数存在时，
y=f (x)在区间I上不一定是单调的，比如，f(x)=(x≠0)的反函数存在，且它的反函数就是

自身，但是f(x)=在区间(-∞，0)∪(0，+ ∞)上不单调.
(5)深入探索
(ⅰ)函数的反函数为自身的充要条件:f(x)= y=f(x)图象自身关于直线y=x对称.
(ⅱ)反函数的奇偶性: ①若f(x)为奇函数且存在反函数，则其反函数 亦为奇函数；
②若f(x)为非奇非偶函数且存在反函数，则其反函数 亦为非奇
非偶函数；
③若f(x)为偶函数，则在定义域是非单元素集合的情况下f(x)
不存在反函数.

四、经典例题.
例1.(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f( )=-f(x)，又f(2)=1，f(1)=a，
则a=________。
(2 )已知函数f(x)的最小正周期为2T，且f(T+x)=f(T-x)对一切实数x都成立，则
对f (x)的奇偶性的判定是?
分析: (1)由f()=-f(x)知f(x)是周期函数，且 3是f(x)的一个周期，又f(x)为偶
函数f(-x)=f(x)(xR)
在此基础上，寻觅已知条件中的f(2)与f(1)的联系: f(2)=f(-2)=f[(-2)+3]=f(1)
而f(1)=a，f(2)=1， ∴a=1
(2)由f(x)的最小正周期为2T得f(x+2T)=f(x) ① 又这里f(x+T)=f(T-x) ②
为了靠拢①，在②中以(x+T)替代x的位置得 f(x+2T)=f[T-(x+T)]=f(-x) ③
∴由①， ③得f(-x)=f(x) ∴f(x)为偶函数.
点评:我们从上面的分析中看到，解决比 较复杂的问题，当已知条件中有两个(或两个以
上)的等式时，要注意利用其它条件寻觅这两个(或其中 两个)等式的内在联系.有关已知等量
关系的联系一旦导出，难点便得以突破.
例2. 设定义在R上的偶函数f(x)是周期为4的周期函数，且当x [-2，0]时f(x)为增函
数，若f(-2)≥0，求证:当x[4，6]时， 为减函数.
分析:鉴于f(x)的抽象性，考虑运用函数的单调性定义证明.注意到目标函数为 ，故在推理
过程中要格外关注f(x)的符号.
证明: 设 ， 为[4，6]上任意两值，且 ，即 4≤≤6，则-6≤-＜-≤-4∴-2≤4－＜4
－≤0
∵偶函数f(x)在[-2，0]上为增函数，∴f(4－)＞f(4－)≥f(-2) 即f( -4)＞f(－4)
≥0 ①
∵f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x±4)=f(x) ∴由①得 f()>f()≥0 ②
∴由②得 ∴ 在[4，6]上为减函数.
点评:从设 ， 为[4，6]上任意两值且 切入，刻意构造关于 ， 的连号不等式，并且在
利用函数单调性的过程中一并判定函数值的符号，这一箭双雕的策略或手法值 得借鉴.
例3. (1)若f(x-1)=-2x+3 (x≤0)，则 =________
(2)若f(x+1)= (x≤0)，则 =________
(3)若f(x)为一次函数，且=25x-30，则f(x)=________
(4)若f(x)= ( ， )的反函数为自身，则a=________
分析: (1)先求f(x): 由x≤0得 x-1≤-1 ① 又f(x-1)= +2 ② ∴由①
②得 f(x)= +2 (x≤-1)
循着求反函数的”三部曲” 令y=f(x)，则y= +2 (x≤-1且y≥3) 反解得x=-

( y≥3)
改写得y=- (x≥3) ∴所求 (x≥3)
(2)由已知得f(x+1)= -2(x+1)+1 (x+1≤1) ∴f(x)= (x≤1)
令 =a，则f(a)=1 故得 =1(a≤1) 由此解得a=0，即 =0.
点评: 在可知f(x)解析式的条件下求 ，一般不用去求 ，而是利用 =u =f(u)转化求解.
(3)注意到当f(x)为一次函数时，其反函数 也为一次函数，
令 =ax+b(a≠0)，则 =a +b=a(ax+b)+b= x+ab+b
∴由已知得 x+(a+1)b=25x-30 比较两边的关系为 解得 或
∴ =5x-5 或 =-5x+ ∴f(x)= +1(x∈R) 或 f(x)=- + (x∈R)
提醒:此题常见错解为f(x)=25x-30，想一想，错在哪里?
(4)解法一(着眼于利用点的对称)由已知得点(- ，0)在y=f(x)的图象上， ∴点(0， )
也在y=f(x)的图像上，
∴f(0)= - 由此得a=-2. 思考:此解法可靠性如何?
解法二(立足于求 ): 令y= ，解得x= (y≠2) ∴ = (x≠2)
∴由f(x)= 得(a+2) +( -4)x-(a+2)=0 求解 a=-2
解法三(利用f(x)的两域的特殊性)f(x)的定义域为(-∞，-a)∪(-a，+ ∞)， ①
又f(x)的值域为(-∞，2)∪(2，+ ∞) ② 又 =f(x) ∴f(x)的定义域和值域
相同 ③
∴由①②③得 a=-2.
例4. 已知函数f(x)= ，y=g(x)的图象与y= 的图象关于直线y=x对称，求g()的值.
典型错解: 由题设知g(x)与 互为反函数 ① ∴ = ②
∴g(x)=f(x+1) ③ 由此得g()=f()=-
错因分析: 上面①②正确， 由②导出③出现错误.在这里的反函数是g(x)，但的反函
数却不是f(x+1).认知:由求反函数 的“三部曲”易知y=f(x+1)的反函数不是y= ，而是y=
-1；y= 的反函数不是y=f(x+1)，而是y=f(x)-1.
正确解法: (着力于寻求 的解析式):由已知得 = (x≠-2)∴ =- (x≠-3)
又由题设知g(x)的反函数为 ， ∴ = ∴ =- ①
令g()=b，则 = ② ∴由①②得- = ，解得b=-1， ∴g()=-1.
解法二: (利用正反函数值的转化) 令g()=b，则 = ① 又由题设知g(x)的反函
数为 ，
∴ = ② ∴由①②得 = ∴f()=b+1 ∴b+1=0，即b=-1 故得g()=-1.
解法三: (运用对复合函数的反函数的认知) 由题设知 的反函数g(x)
又 的反函数为f(x)-1 ∴g(x)=f(x)-1 ∴g()=f()-1=0-1=-1.
点评: 从本例的求解可看到解决反函数问题的“三玩 ”：一玩“解析式”；二玩“函
数值”；三玩“深沉”：对有关复合函数的反函数的认知.当然，面对所 给问题还要具体情
况具体分析，力求选择适合自己的最好方法.

例5. 设函数f(x)= (a>0，a≠1)
(1)求f(x)的反函数f ； (2)讨论f 的单调性； (3)若不等式1< f <2的解集为(-2，
0)，求a的值.
分析: 从f(x)的定义域切入，求f(x)的值域(即f的定义域)，(2)的讨论与(3)的求
解均要立足 于f的定义域.
解: (1)由f(x)有意义得

∴f(x)的定义域为[1，+∞). ∴当a>1时，由x≥1得 x+ ≥1
∴f(x)≥0
当0 令y=f(x)，即y= 则有 =
由此解得x=
∴当a>1时有x= (y≥0)改写为f = (x≥0)
当0 (2)(f ) = ( )=( )
(ⅰ)a>1时，有x≥0， ∴(f )≥0(等号当且仅当x=0时取值) ∴f在定义域[0，
+ ∞)上为增函数；
(ⅱ)当0∴f 在定义域(- ∞，0]上为减函数.
(3)由题设知x<0，∴0与x=-2处有定义.
∴f < f 由①②得 f =2 =4 (f =1恒成立)
.
∴所求a的值为a= .
点评: 由(1)引出的a>1或0 例6. 已 知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x-1)=f(x+1)=f(1-x)，当x∈[2，3]
时，f(x)=-2(x-3)+4.
(1)求当x∈[1，2]时f(x)的表达式；
(2)若矩形ABCD的两个顶点A，B在X轴上，C，D在函数y=f(x)(0≤x≤2)的图 像上，
求此矩形面积S的最大值.
分析:从认知f(x)的特性入手，随着对函数f(x )的周期性，奇偶性或函数图象对称性的
逐一认识，解题思维便会逐渐明朗.
解: 由f(x-1)=f(x+1)得f(x)=f(x+2) ∴f(x)是周期函数，且2是f(x)的一个周期.
① 由f(x-1)=f(1-x)得f(-x)=f(x)
∴f(x)是偶函数.② 由f(x+1)=f(1-x)知f(x)的图象关于直线x=1对称 ③
(1)当x∈[1，2]时，4-x∈[2，3]. ∴由已知得，f(4-x)=-2[(4-x)-3] +4=-2(x-1) +4
又由①②得f(4-x)=f(x-4)=f(x) ∴f(x)= -2(x-1) +4 即当x∈[1，2]时，
f(x)= -2(x-1) +4.
(2)注意到当x∈[0，1]时，2+x∈[2，3] ∴由已知得f(2+x)= -2(x-1) +4， 即f(x)=
-2(x-1) +4
∴利用(1)的结果得，当x∈[0，2]时，f(x)= -2(x-1) +4，
设矩形ABCD的边长AB=2t(00)，矩形的高CB=f(1+t)= -2t +4
又此时4-2t >0， ∴S=2t(-2t +4) = ≤= = (当且仅当4t =4-2t t= 时等号成立)
∴ (当且仅当AB= 时取值)

222 2
2
2
2
2
2
2
22
2

< br>
点评: (1)在认知f(x)性质时要注意区别与联系:


(2)在求S的最值时运用了重要不等式 (这里a、b、c∈R ，当且仅当a=b=c时等号成
立.)
五、高考真题
1.函数y= ( x≤0)的反函数是( )
A. y= (x≥-1) B. y=－ (x≥-1)
C. y= (x≥0) D. y=－ (x≥0)
分析: 运用直接法.由x≤0得y≥-1. 又由y= ( x≤0)得x=－ (y≥-1)
∴f =－ (x≥-1) ∴应选B.
2.(2004北京卷)函数f(x)= -2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是( )
A. a∈(-∞，1] B. a∈[2，+∞) C. a∈[1，2] D. a∈(-∞，1]∪[2，+∞]
分析: 二次函数f(x)= -2ax-3的图象开口向上，对称轴方程为x=a，又f(x) = -2ax-3
在[1，2]上存在反函数 f(x)在[1，2]上是单调函数.故以对称轴x=a对于 区间[1，2]的相对
位置为主线展开讨论:
(1)当a≤1时，f(x)在区间[1，2]上递增，故f(x)在[1，2]上存在反函数；
(2)当a≥2时，f(x)在区间[1，2]上递减，故f(x) 在[1，2]上存在反函数；
(3)当1 于是，综合(1)(2)(3)得所求充要条件为a≤1或a≥2，应选D.
3. (2004湖南卷)设f 是函数f(x)= 的反函数，若[1+ f ][1+ f ]=8，则f(a+b)的值为
( )
A. 1 B. 2 C. 3 D.
分析: 从求f 切入，设y= 则x= -1(y∈R) 改写得y= -1(x∈R)
∴f = -1(x∈R) ∴由已知得 =8 a+b=3. ∴f(a+b)=f(3)= =2，应选B.
4. 设函数f(x)的图象关于点(1，2)对称，且存在反函数f，f(4)=0，则f=________
分析: 从点的对称切入 f(4)=0 点(4，0)在函数y=f(x)的图像上. 又点(4，0)
关于点(1，2)的对称点M(-2，4)，
∴由已知得点M在y=f(x)图像上 ∴f(-2)=4，注意到f(x)存在反函数f ，
∴f =-2
5. 已知函数y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)= -1.设f(x)的反函数是y=g(x)，则
g(-8)=________
分析: 从求f(x)的解析式切入 当x<0时，-x>0 ∴由已知得f(-x)= -1. ①
又f(x)为奇函数 f(-x)=-f(x)( x∈R) ② ∴由①②得f(x)=－ +1 ③
令g(－8)=b，即f =b，则有f(b)=－8
∴ －1=－8 (b≥0) 或－ +1=－8(b<0) =－7(b≥0)或 =9(b<0) b=－2 即g(－8)=
－2.
6. 若存在常数p>0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px－)( x∈R)，则f(x)的一个正周期
为________
分析: 对于抽象的复合函数的周期性，常考虑从变量替换切入
设px－ =t，则px=t+ ( t∈R) ∴由题设知f(t+ )=f(t)对任意t∈R都成立 又 >0
+

且 为常数，
∴由函数的周期性定义知，f(t)是周期函数，且 是它的一个正周期. ∴f(x)是周期函
数，且 是f(x)的一个正周期.
∴应填 .