高中数学选修4-2教案

系列1系列2
3
2
1
0
-4-3-2-1
- 1
012
-2

2．伸压变换——能否用矩阵来表示下列图形的变换？ 系列1系列2
6
4
2
0
-1.5-1-0.5
-2-4
-6
00.511.5
1.5
1
0.5
0
-12-8-4
-0.5
-1
-1.5
04812

例1已知曲线y＝sinx经过变换T作用后变为新的曲线y＝sin2x，画出相关的图象，并求出
变换T对应的矩阵M。
?
1 0
?
对应的伸压变换下变为一椭圆，并求出此椭例2 验证圆C：x
2
＋
y
2
＝1在矩阵A＝
??
?
0 2
?
圆的方程。
3．反射变换

系列1系列2
32
1
0
-4-3-2-1
-1
012
-2
-3

系列1系列2
3
2
1
0
-4-3-2-1
-1
-2
01234

系列1系列2
3
2
10
-4-3-2-1
-1
-2
-3
01234

系列1系列2
3
2
1
0
-4-3-2-1
-1
-2
-3
-4
0123

0 1
??
例3 求直线y＝4x在矩阵
??
作用下变换所得的图形。
?
1 0
?
一般地：二阶非零矩阵对应的变换将直线变换为直线。 在矩阵M作用下，直线?
1
?
＋
?
2
?变成直线?1
M?
＋
?
2
M?，通常称这种变换为线性变换。




4．旋转变换
系列1系列2
4
3
2
1
0
-4-3-2-1
-1
-2
-3
-4
01234

例4 已知A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（ 0，1），求矩形ABCD绕原点逆时针旋转
90?后得到的图形，并求出其顶点的坐标。



















5．投影变换
系列1系列2
3
2
1
0
-4-3-2-1
-1012
-2

系列1系列23
2
1
0
-4-3-2-1
-1
012
-2< br>-3
-4


6．切变变换
例5 已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形A?B?C?D?，试求变换对应的矩阵M。
系列1系列 2
3
2
1
0
-6-5-4-3-2-1
-1
-2< br>01234

例6 已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形A?B?C?D?，试求变换对应的矩阵M。

系列1系列2
8
7
6
5
4
3
2
10
-4-3-2-1
-1
012
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8



2.3.1矩阵的乘法
一、问题：已知△ABC，A（0，0），B（2，0），C（1，2），对它先作M＝
??
1
?
0
变换，再作N＝
?
?
1

0
?
?
02
?
对应的变换，
?
（1）试研究两次变换后的结果。
（2）两次变换能否用一个变换矩阵表示。
二、二阶矩阵的乘法规则及几何意义
三、n次变换的表示方式——M
n

例1计算：
① A＝
?
?
1
?
2
< br>1
-1
?
?
?
，B＝
?
?
1
?
2

1
0
?
?
?

②A=
?
?
1

0
?
?
，B＝
?
1

0
?，C＝
?
10
?
?
00
?
?
?
01
?
?
?
?
0

2
?
?

解：
① AB=
?
?
1-1
??
?
10
?
?
21
?
??21
?
?
=
?
?
1?1?(-1)?2
?
2?1?1?2

1
2
?
?
0
0
?
?
(-1)
1?1
?1
?
?
?
=
?
?
-1-1
?< br>?
41
?
?

BA=
?
?
1
2

1
0
??< br>?
?
?
?
1
?
2

1
- 1
?
?
?
=
?
?
1?1?0?2
?
2?1?1?2

1
2
?
?
(
(
?< br>?
1)
1)
?
?
0
1?
?
1
1
?
?
?
=
?
?
1
?
4

-
-
1
1
?
?
?

0
?
-1
?
对应的
?

∵
?
-1-1
??
1-1
?

≠
结论：矩阵乘法不满足交换律。
414-1
????
?? ??
1
?
?
2
3、计算：
-1
??
10
??
10
?
） < br>1
?
?
?
?
21
?
?
?
?
21
?
?
1-11010
②X =
?

?
（
?

??

?
）
?< br>?
21
?
?
?
?
21
?
?
?
?
21
?
?
1-11010-1-110-3-1
解：① X =（
?

??

?
）
?

?
=
?

??

?
=
?

?

?
?
21
?
?
?
?
21
?
?
?
?
21?
?
?
?
41
?
?
?
?
21
?
?
?
?
61
?
?
1-110101-1 10-3-1
②X =
?

?
（
?

??

?
）=
?

??

?
=
?

?

1
???
?21
?
?
?
?
21
?
?
?
?
21
?
??
21
?
?
?
?
41< br>?
?
?
?
6
?
① X =（
?

可以验证结论：矩阵乘法满足结合律。
4．已知△ABC，A（0，0），B（2，0），C （1，2），对它先作关于x轴的反射的变换，再将
图形绕原点顺时针旋转90?。
（1）求两次连续的变换对应的变换矩阵M；（2）求A，B，C在变换作用下所得到的结果。
1x
?
3
?
1
1
?
= ，试求x的值。
?
?
01
?
?
?
?
0
1
?
?
1x
?
3
?
1x
??
1x
? ?
1x
??
12x
??
1x
??
1
3x< br>?
?
1
1
?
解：
?
=== =
?
?
01
?
?
?
?
01
?
?< br>?
?
01
?
?
?
?
01
?
?
?
?
01
?
?
?
?
01
??
?
?
0
1
?
?
0
1
??
?
?
1
∴3x=1 ∴ x =
3
5．若
?

6．A＝
?
n
?
n
??
cos
?
-si
?
?
cos
?-si
?
23n
，B＝ ，求AB，A，A，A
???
s
?
s
?
?
sin
?
co
?
?< br>sin
?
co
?
四、初等变换及初等变换矩阵

2.3.2矩阵乘法的简单性质
乘法的运算律：
（1）交换律
例1已知 正方形ABCD，A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）变换T
1
对应矩 阵为
M＝
?

?
0
?
1
-1
? ?
1
0
?
，变换T对应矩阵为N＝
2
?
0

0.5
?
对应的变换，计算MN，NM，比较它们
0
?
?< br>?
?
是否相同，并从几何变换的角度解释。

1.5
1
0.5
0
-1.5-1-0.500.511.5
-0.5
-1系列1系列2系列3

1.5
1
0.5
0
-1.5-1 -0.500.51
系列3
1.5
-0.5
系列2系列1
-1

（2）结合律（AB）C＝A（BC）
（3）消去律
例2 已知：A=
?

?
，B＝
?

?
，C＝
?

?
1
?
0
0?
0
?
?
1
?
0
0
?
1?
?
1
?
0
0
?
，计算AB，AC。
?
2
?


2.4.1逆矩阵与逆变换
一、引入
例1 对于下列给出的变换矩阵A，是否存在变换矩阵B，使得连续进行两次变换（先
T
A
后T
B
）的结果与恒等变换的结果相同？
（1）以x为反射轴的反射变换；
（2）绕原点逆时针旋转60?作旋转变换；
（3）横坐标不变，沿y轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换；
（4）沿y轴方向，向x轴作投影变换；
（5）纵坐标y不变，横坐标依纵坐标的比例增加， 且满足（x，y）?（x
＋
2y，y）
二、逆变换与逆矩阵
若逆矩阵存在，则可以证明其具有唯一性。

三、用几何变换的观点求解逆矩阵
?
1
0
??
01
??
0-1
?
?
1
A=
?

?
，B＝
?
2

?
，C＝
?

?
，D＝
?

?
1
??
10
??
1
0
?
?
1< br>?
0
四、用代数方法求解逆矩阵
0
?

?
0
?
?
5
1
?
?
1-1
?
A＝< br>?

?
B＝
?

?

?
7
3
?
?
2-4
?
五、从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵
－－－
若二阶矩阵A，B均可逆，则AB 也可逆，且(AB)
1
＝B
1
A
1

例4 （1）A＝
?

?
1
?
0
0
??
0-1
?
，B＝
?
1

0
?

-1
?
??
?
?
1
（2）A＝
?

?
0
?
1
1
?
0
?
?

?
，B＝
2
?
?
2
?
?
1?
?
?
0
六、研究：二阶矩阵满足消去律的条件
反例：书P46习题2


2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组
一、消元法二求解元一次方程组
md－bn
x＝
?
?
ax
＋
by＝m
ad－bc
?
?
当ad－bc≠0时，方程组的 解为
?

an－cm
cx
＋
dy＝n
?
?
?
y＝
ad－bc
二、二阶行列式
定义：det(A) ＝
ab
＝ad－bc
cd
mb
d
b
d
m
n
b
d
?
n
?
x＝
a
?
c
因此方程组的解为
?
a
?
y＝
c
?
a< br>?
c

abmba
记：D＝，D
x
＝ ，D
y
＝
cd
ndc
例1 求下列行列式的值
⑴
D
x
x＝
m
D
，所以，方程组的解为
D
y
n
y＝
D
?
?
?
131
-3
- 10ac
⑵ ⑶ ⑷ 2
242
4
24bd
131
-3
=1×4-2×3=-2 ⑵
242
4
=1×4-2×（-3）=10
- 10ac
=-1×4-2×0=-4 ⑷2 =2（ad-bc）
24bd
con
?
sin
?
2
（
?
?
R） 试求f(x)=x+2x-3 的最值。
sin
?
con
?
解：⑴
⑶
例2 若x=
解：∵x=
2
con
?
sin
?
22
=con
?
-sin
?
=con2
?
∴-1≤x≤1
sin
?
con
?
2
∵f(x)=x+2x-3=(x+1 )-4
∴当x=-1时f(x) 取得最小值 -4； 当x=1时f(x)取得最大值0
例3 利用行列式求解二元一次方程组
?
?

例4 利用行列式求解A＝
?

应用：
3x?2y?4

?< br>3x?y?7
3
?
?
3
-2
?
的逆矩阵
1
?
?
3x?2y?4
的解
?
3x?y?74
3-2x
解：已知方程组可以写为：
?

???
=
??

?
?
7
?
??
31
?
?
?
?
y
?
?
?< br>3
-23-2
令M=
?

?
其行列式 =3×1-3×（-2）=9≠0
3
311
??
??
一、用逆矩阵 方法求二元一次方程组
?
?
2
?
2
?
2
? ?
1
?
1
?
1
?
?????
42
x
-1-1
4
∴M =
?
9

9
?
=
?
9

9
?
∴
??
= M
??
=
?
9

9
?
??
=
??

??
-3
3- 11
?
7
?
?
-11
?
?
7
?< br>?
?
?
1
?
?
?
y
?
?< br>?
?????
9
?
3
?
3
?
?9
?
3
?
3
x?2
即方程组的解为：
?
?
y?1

?
二、用几何变换的观点讨论方程的解
?
?
x
＋
1
y＝3
2
（1）
?

?
y＝2
?
?
1
0
?
?
2?
（2）AX＝B，其中A＝
?

?
，B＝
??

?
1
0
?
?
2
?

2.5特征值与特征向量

变换的不变量
（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。
（2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。
引例：根据下列条件试判断M
?
是否与
?
共线：
30
x
⑴M=
?

?
，非零向量
?
=
??

??
?
03
?
?
?
y
?
?
-123
⑵ M=
?

?
，非零向量
?
=
??

??
?
23
?
??
-2
?
?
?
1
0
?
?
1
??
0
?
⑶M＝
?< br>
1
?
，非零向量?＝
??
，
??

?
?
?
0
??
1
?
?
0
2?< br>?
30
x
3x
x
解：⑴ M
?
=
?

?
??
=
??
=3
??
，所以M
?
与
?
共线。
?
?
03
?
?
?
?
3y
?
?
?
?< br>y
?
?
?
?
y
?
?
-123-7- 73
⑵ M
?
=
?

?

??
=
??
，而
??
与
??
不共线。 即此时M
?
与
?
不共线。
3
???
?
2
?
?
?
-2
?
?
?
?
0
?
??
0
?
?
?
?
-2
?
?⑶M
?
与
?
共线。
二、特征向量与特征值
设二阶矩阵A ，对于实数?，存在一个非零向量?，使得A?＝??，那么?称为A的一个
特 征值，而?称为A的属于特征值?的一个特征向量。
几何观点：特征向量的方向经过变换矩阵A的作用 后，保持在同一直线上。?
＞
0方向
不变；?＜0方向相反；?＝0，特征向量就被变 换成零向量。
代数方法：特征多项式
例2 求初等变换矩阵的特征值与特征向量，并作出几何解释。
?
-1
2
?
例3 求矩阵M=
?
5

?
的特征值和特征向量：
?
?
?
2
3
?
?
?1
-2
5
2
解：矩阵M的特征值
?
满 足方程
5
=(
?
+1)(
?
-3)-(-)(-2)=
?
-2
?
-8=0
-
2
?
-3
2
解得，矩阵M的两个特征值
?
1
=4，
?
2
=- 2
x
⑴设属于特征值
?
1
=4的特征向量为
??
，则它满足方程：(
?
1
+1)x+(-2)y=0
?
?
y
?
?
即：(4+1)x+(-2)y=0 也就是 5x-2y=0 ,则可取
??
为属于特征值
?
1
=4的一个特征向量。
?
2
?
?
5
?
x
⑵设属于特征值
?
1
=-2的特征向量为
??
，则它满足方程：(
?
2
+1) x+(-2)y=0
?
?
y
?
?
即：(-2+1)x+(-2)y=0 也就是x+2y=0 则可取
?
-2
?
为属于特征值
?
2< br>=-2的一个特征向量。
?
?
1
?
?
?
- 1
2
?
综上所述：M=
?
5

?
有两个特征值
?
1
=4，
?
2
=-2，
?
?
?
2
3
?

?
2
?
-2
属于
?
1
=4的一个特征向量为
??
，属 于
?
2
=-2的一个特征向量为
??
。
?
?1
?
?
?
5
?
?
-1
2
?< br>1
3
例3 已知：矩阵M=
?
5

?
，向量
?
=
??
求M
?

?
?
16
?
?
?
?
3
?
?
2
1
解：由上题可知
?
1
=
??
,
?
?
?
5
?
?
?
-1
2
?
?
5
-2
?
=
??
是矩阵M= 分别对应特征值
?
1
=4，
?
2
=-2的两
2 < br>?
3
?
2
?
1
?
??
??
11-2
个特征向量，而
?
1
与
?
2
不共线。又< br>?
=
??
=3
??
+
??
=3
?< br>1
+
?
2

?
?
16
?
?
?
?
5
?
?
?
?
1
?
?
∴M
3
1
?
-2
3
+(-2)×
??
?
= M
3
(3
?
1
+
?
2
)=3 M
3
?
1
+ M
3
?
2
=3
?
1
3
?
1
+
?
2
3
?
2
=3×4
3
?
?
5
??
1
?
?? ??
?
?
5
?
?
?
?
1
?
?
?
?
192?5?(-8)?1
?
?
?
?952
?
?
1-2192?1?(-8)?(-2)
??
208
?
=192×
??
-8×
??
=
?
=
例4 已知M ＝
?
?
12
?
?
1
?
50
，?＝ ，试计算M?
?
??
?
21
?
?
7
?
例5 自 然界生物种群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利
用性与竞争、捕食者的 猎杀乃至自然灾害等等。因此，它们和周边环境是一种既相生又相克
的生存关系。但是，如果没有任何限 制，种群也会泛滥成灾。现假设两个互相影响的种群X，
?
?
a
n
＋
1
＝a
n
＋
2b
n
Y随时间段变化的数量分别为{ a
n
}，{b
n
}，并有关系式
?
，其中a
1＝6，b
1
＝4，
?
b
n
＋
1
＝3a
n
＋
2b
n
?
试分析20个时段后这两个种群的数量变化趋 势。