高中数学优秀教案 4.3学案设计

第四章 圆与方程

4.3 空间直角坐标系


学习目标

1.掌握空间直角坐标系的有关概念;会根据坐标找相应的点,会写一些简 单几何体的有关
坐标.
2.掌握空间中两点的距离公式.
学习过程

一、设计问题,创设情境
在房间(立体空间)内如何确定一个空间的物体所在位置?在学生思 考讨论的基础上,教师
明确:确定点在直线上,通过数轴需要一个数;确定点在平面内,通过平面直角坐 标系需要两个
数.那么,要确定点在空间内,应该需要几个数呢?
借助平面直角坐标系,我们 就可以用坐标表示平面上任意一点的位置,那么空间的点如何
表示呢?
二、学生探索,尝试解决

图1

借助平面直角坐标系,我们就可 以用坐标表示平面上任意一点的位置,那么空间的点如何
表示呢?
1.在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的点怎样表
示?
2.在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定平面直角坐标
系的 因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示?
3.我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出
来呢?
4.观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立.
5.观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢?
三、信息交流,揭示规律
1.在平面直角坐标系的基础上,通过原点再增加一根 ,就成了空间直角坐标系.
2.如无特别说明,本书建立的坐标系都是 直角坐标系.
3.空间直角坐标系像平面直角坐标系一样,有“三要素”: .

图2

4.在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy= ∠xOz=135°,∠yOz=90°,且使y轴和
z轴的单位长度相同,x轴上的单位长度为y轴( 或z轴)的单位长度的一半,即用斜二测法画.
已知M为空间一点,过点M作三个平面分别垂直于x轴 、y轴和z轴,它们与x轴、y轴
和z轴的交点分别为P,Q,R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标 分别为x,y,z.于是空间的一点
M就 确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z为点
M的 .坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).
5.反过来,一个有序数组x,y,z,我 们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点
Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P, Q与R分别作 的垂直平面.这三个垂直平
面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数 x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z
为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示)
坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了< br>空间的点M和有序数组x,y,z之间的 关系.
注意:坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.
6.如果点M在yOz平面上,则 ;同样,zOx面上的点 面上的
点,z=0;如果点M在x轴上,则 ;如果点M在y轴上,则 如果点M在
轴上,则x=y=0;如果M是原点,则x=y=z=0.
空间点的位置可以由空间直角坐 标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间
为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生 活空间应该是四度空间,应加上时间变量t.即
(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是 (x,y,z).
7.你能用空间两点的坐标表示这两点间的距离吗?类比平面两点间距离公式的推导 ,猜想
空间两点P
1
(x
1
,y
1
,z
1
),P
2
(x
2
,y
2
,z
2
) 间的距离公式 .
四、运用规律,解决问题

8.如图,长方体OABC —D'A'B'C'中,|OA|=3,|OC|=4,|OD'|=2,写出D',C,A',B'四点的坐标 .


总结规律:(试总结如何根据题设条件写出点的坐标?)
9.在z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等.
总结规律:(试总结坐标轴上点的特征及空间中两点间的距离公式是什么?)

10.如图,在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,E,F分别是BB
1
和D
1
B
1
的中点,棱长为1,求E,F
点的坐标.
总结规律:(试总结空间直角坐标系中中点坐标公式?)


五、变练演编,深化提高
11.在上题中求B
1
(1,1,1)点关于平面xOy对称的点的坐标.
12.在上题中求B
1
(1,1,1)点关于z轴对称的点的坐标.
13.在上题中求B
1
(1,1,1)点关于原点D对称的点的坐标.
六、信息交流,教学相长
类比平面直角坐标系,你能很好地掌握空间直角坐标系中中点的坐标吗?



七、反思小结,观点提炼
空间直角坐标系中的坐标——对于空间任一点M,作出M 点在三条坐标轴Ox轴、Oy
轴、Oz轴上的射影,若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z,则把 有序实数对(x,y,z)叫做
M点在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z),其中x叫做 点M的横坐标,y叫做点M的
纵坐标,z叫做点M的竖坐标.
(设计意图:通过反思小结掌握 本节课所学的主要内容和思想方法,掌握空间直角坐标系
中点的坐标的特征和空间两点间的距离.)
布置作业

课本P
138
习题4.3 A组第1,2,3题,B组第1,2题.
参考答案

三、1.竖轴
2.右手
3.原点、坐标轴方向、单位长度
4.唯一,横坐标、纵坐标和竖坐标
5.x轴、y轴和z轴,一一对应
6.x=0,y=0,xOy,y=z=0,x=z=0,z
7.|P
1
P
2
|=



-





-





-




四、8.D'在z 轴上,而|OD'|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D'的坐标是(0,0,2).
同理C的坐标为(0,4,0).A'在xOz平面上,纵坐标为0,A'的横坐标就是|OA|=3,A'的竖 坐标就是
|OD'|=2,所以A'的坐标就是(3,0,2).点B'在xOy平面上的射影是点B, 因此它的横坐标x与纵坐
标y同点B的横坐标x与纵坐标y相同,在xOy平面上,点B的横坐标x=3 ,纵坐标y=4;点B'
在z轴上的射影是点D',它的竖坐标与D'的竖坐标相同,点D'的竖坐标z =2,所以点B'的坐标是
(3,4,2).
9.设M(0,0,z),由题意

-

-

-



-

- -

-

,
解得z=-3,所以M(0,0,-3)
10.解:方法一:从图中可以看出E 点在xOy平面上的射影为B,而B点的坐标为(1,1,0),E
点的竖坐标为

,所以E点的坐标为(1,1,

);F点在xOy平面上的射影为G,而G点的坐标为

(



,0),F点的竖坐标为1,所以F点的坐标为(



,1).
方法二:从图中条件可以得到B
1
(1,1,1),D
1
(0,0,1),B(1,1,0).E为BB
1
的中点,F为D
1
B
1
的中
点,由中点坐标公式得E点的坐标为(


)=(1,1,),F点的坐标为(

)=(

,1).














11.解:设所求的点为B
0
(x
0
,y
0
,z< br>0
),由于B为B
0
B
1
的中点,所以


解之,得



.




-







所以B
0
(1,1,-1).








12.解:设所求的点为P(x
0
, y
0
,z
0
),由于D
1
为PB
1
的中点 ,因为D
1
(0,0,1),所以


解之,






.





-
得


-
所以P(-1,-1,1).


.








13.解:设所求的点为M(x
0
,y
0
,z
0
),由于D为MB
1
的中点,因为D (0,0,0),所以


解之,得






.




-



-
所以M(-1,-1,- 1



- .