高中数学复习教案大全46-73

课题：算术平均数与几何平均数
一．复习目标：
1．掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用；
2．利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”．
二．知识要点：
1．算术平均数： ；
几何平均数： ．
2．定理： ．
3．推论： ．
三．课前预习：
1a?b
1．若
a?b?1
，
P?l galgb
，
Q?(lga?lgb)
，
R?lg
，则（ ）
22
(A)R?P?Q

(B)P?Q?R

(C)Q?P?R

(D)P?R?Q

2．若
a
是正实数，
2a
2
?3b
2
，则
a2?b
2
的最大值是 ．
3．要使不等式
x?y?kx? y
对所有正数
x,y
都成立，试问
k
的最小值
是 ．
四．例题分析：
ab
例1．已知
a,b,x,y?R
?
（
a,b
为常数），
??1
，求
x?y
的最小值．
xy


例2．已知
x,y?R
?
，且
2x?8y?xy?0
，求
x?y
的最小值．

< br>例3．当
n?2
时，求证：
log
n
(n?1)log
n
(n?1)?1
．


例4． 在某两个正数
x,y
之间插入一个正数
a
，使
x,a,y
成等比数列；若另外插
入两个正数
b,c
，使
x,b,c,y
成等差数列，求证：
(a?1 )
2
?(b?1)(c?1)
．


五．课后作业：
1．设
x,y?R
?
，且
xy?(x?y)?1
，则 （ ）

(A)
x?y?2(2?1)

(B)
xy?2?1

(C)
x?y?(2?1)
2

(D)
xy?2(2?1)

2．下列函数中，
y
的最小值为
4
的是 （ ）
44
2(x
2
?3)
(0?x?
?
)
< br>(A)
y?x?
(B)
y?
(C)
y?e
x
?4e
?x
(D)
y?sinx?
2
xsinx
x?23．若
a?0,b?0
，且
2a?b?1
，则
s?2ab?4a
2
?b
2
的最大值是 （ ）
2?1

(D)
2?1

2
1
1
4．若
0?a?b
且
a?b?1
，则四个数
,b,2ab,a
2
?b
2
中最大的是 ．
2
2
(A)
2?1

(B)
2
2?1

(C)
5．关于
x
的方程
9
x
?(a?4)3
x
?4?0
有解，则实 数
a
的取值范围是 ．
ab
6．已知
a,b,x,y? R
?
（
a,b
为常数），
a?b?10
，
??1< br>，求
x?y
的最小值为
18
，
xy
求
a,b
的值．



7．生产某种商品
x
吨，所需费用 是
(1000?5x?
每吨价格为
p
元，这里
p?a?
1< br>2
x)
元，当出售这种商品时，
10
x
（
a,b为常数），
b
（1）为了使这种商品的每吨平均生产费用最小，那么这种商品的产量为多少吨？
（2）如果生产出来的产品是
150
吨，并且能全部卖完，那么每吨价格是
40
元时
利润最大，求
a,b
的值．



8．某 单位决定投资
3200
元建一长方体状仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不
花钱，正 面用铁珊，每米造价
40
元，两侧墙砌砖，每米造价
45
元，顶部每平方米造价
20
元，计算：（1）仓库面积
S
的最大允许值是多少？（2）为 了使仓库面
积
S
达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面用铁珊应设计为多长？

课题：不等式的证明（一）
一．复习目标：
1．掌握并灵活运用分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
二．知识要点：
1．不等式证明的几种常见方法： ．
2．综合法常常用到如下公式：
（1）
a?b?2ab(ab?R)
； （2）
22
a?bba
?
（3）
??2(a,b?R)
；
?ab(a,b?R
?
)
；
2ab
a
2
? b
2
a?b
2
a?b?c
3
?()(a,b?R)
；
（
4）（5）
?abc(a,b,c?R
?
)
．
22
3
三．课前预习：
1．设
0?2a?1,M?1?a
2
,N?1?a
2
,
P?
11
那么 （ ）
,Q?
1?a1?a
(A)Q?P?M?N

(B)M?N?Q?P

(C)Q?M?N?P

(D)M?Q?P?N

2．已知
x?y?0
，则
x?
四．例题分析：
1
的最小值 ．
(x?y)y
例1．（1 ）若
a?b?1
,求证：
a?
11
?b??2
；
22
（2）已知
a,b,c
为不相等的正数，且
abc?1
，求证：
a?b?c?



111

??
．abc
1
例2．设实数
x,y
满足
y?x
2
? 0,0?a?1
，求证：
log
a
(a
x
?a
y< br>)?log
a
2?
．
8



例 3．设
a?0,b?0,2c?a?b
，求证：
c?c
2
?ab?a ?c?c
2
?ab
．



例4．已知
f(x)
是定义在
R
上的增函数，
F(x)?f(x)?f(1?x)
，

（1）设
f(x)?x
,若数列
{a
n
}
满足
a
1
?3
,
a
n
?F(a
n
?1
)
,试写出数列
{a
n
}
的通项公
式；
（2）求⑴中数列
{a
n
}
的前
n
项和< br>S
n
；
（3）证明：若
F(x
1
)?F(x
2
)?0
，则
x
1
?x
2
?1
．



五．课后作业：
a?ba
2
?b
2
2ab
1．设
a
和
b
是不相等的正数，则的大小关系,ab,,
22a?b
是 ．

2．已知：
a
1
?a
2
?
求证:
a
1
x
1
?a
2
x
2
?



3．若
a?3
,求证：
a?a?1?a?2?a?3
．



4．已知
a,b,c
是
?ABC
的三边,求证：
ab?bc?ac?a?b?c?2(ab?bc?ac)
．
22
?an
?1,x
1
?x
2
?
?a
n
xn
?1
．
222
?x
n
?1,n?N
．
2


(a?b)
2
a?b(a?b)
2
??ab?
5．已知
a?b?0
,求证：．
8a28b

6．若
a,b,c?R
?
，
a?b?c?1
,
1 11
求证：（1）
a?b?c?3
；（2）
(?1)(?1)(?1)?8< br>．
abc

课题：不等式的证明（二）
一．复习目标：
1．了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式．
二．知识要点：
1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；
2．换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性；
3．放缩法：要注 意放缩的适度，常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分
子或分母放大（或缩小）．
三．课前预习：
1．设实数
x,y
满足
x
2
?( y?1)
2
?1
，当
x?y?c?0
时，
c
的取值 范围是 （ ）
(A)
[2?1,??)

(B)
(??,2?1]

(C)
[2?1,??)

(D)
(??,2?1]

2．
A?1?
11
??
23
?
1
与
n(n?N
?
)
的大小关系是 ．
n
四．例题分析：
例1．已知
x
3
?y
3< br>?2
，求证：
x?y?2
．


例2．设正有理数
a
1
是
3
的一个近似值，令
a
2
?1?< br>（1）证明：
3
介于
a
1
与a
2
之间；


（2）证明：a
2
比
a
1
更接近于
3
；


（3）分析研分上述结论，提出一种求
3
的有理近似值的方法．


例3．在数列
?
a
n
?
中，
a
n
?
m?n
，求证：
a
m
?a
n
?
2
，
1?a
1
sin
?
sin2
?
sin3
?
???
23
222
?
sinn
?
，对正整数
m,n
且
n
2
1
．
2
n

1
例4．设
a?b?c?1
，
a
2
?b
2
?c
2?1
，
a?b?c
，求证：
??c?0
．
3


五．课后作业：
1．下列三个式子
a
2
?2c
，
b
2
?2a
，
c
2
?2b(a,b,c?R)< br>中 （ ）
(A)
至少有一式小于
?1

(B)
都小于
?1

(C)
都大于等于
?1

(D)
至少有一式大于等于
?1

2设
x?0,y?0,A ?
x?yxy
,B??
，则
A,B
的大小关系是 ． < br>1?x?y1?x1?y
3．
x,y?R,
x
?x?y
，则< br>x
的取值范围是 ．
y
4．已知x
2
?y
2
?1
，求证：
?1?a
2
?y?ax?1?a
2
．



5．证明：
1?



6．设
a,b,c
为三角形的三边，求证：




7．已知
a,b?R,a
2
?b
2
?4
，求证|3a
2
?8ab?3b
2
|?20
．







11
?
2
?
2
23
?
1
?2
．
2
n
abc
???3
．
b?c?aa?c?ba?b?c

课题：不等式的解法
一．复习目标：
在掌握一元一次不等式、一元二次不等式、简单的高次不等式、分式不等式的 解
法的基础上，掌握某些简单的不等式的解法．
二．知识要点：
1．同解变形是解 不等式应遵循的主要原则，高中阶段所解的不等式最后都要转
化为一元一次或一元二次不等式，因此，等 价转化是解不等式的主要思路；
2．不等式组的解是本组各不等式解集的交集，取交集时，一定要将各 不等式的
解集在同一数轴上标出来，不同不等式解集的示意线最好在高度上有所区别．
三．课前预习：
2
1．不等式
?x?1
的解集是 （ ）
x?2
(A)(?3,?2)(0,??)

(B)(??,?3)(?2,0)

(C)(?3,0)

(D)(??,?3)(0,??)

2．关于
x
的不等式
(2a?b)x?a?5b?0
的解集是
(??,
10
)
，则关于< br>x
的不等式
7
ax?b
的解集是 （ ）
3333
(A)
(,??)

(B)
(??,)

(C)
(?,??)

(D)
(??,?)

5555
?
2
?x
?1, x?0
?
3．设函数
f(x)?
?
1
，若
f(x
0
)?1
，则
x
0
的取值范围是 （ ）
2
?
?
x, x?0
(A)(?1,1)

(B)(?1,??)

(C)(??,?2)(0,??)

(D)(??,?1)(1,??)

1
2
4．不等式
()
x?8
?3
?2x
的解集是 ．
3
1
5．已知不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集是(?,2)
，对于
a,b,c
有以下结论：
2
①
a? 0
；②
b?0
；③
c?0
；④
a?b?c?0
；⑤
a?b?c?0
．其中正确的
有 ．
6．已知不等式①
x
2
?4x?3?0
；②
x
2
?6x?8?0；③
2x
2
?9x?m?0
，要使同时
满足①②的
x< br>也满足③，则
m
的取值范围是 ．
四．例题分析：
例1．设全集
I?R
，集合
A?{x|x
2
?(2a?1)x?a
2
?a?0}
，
B?{x|x
2
?5x?4?0}
，且
A
?
?
B
，求
a
的取值范围．


例2．已知关于
x
的不等式
ax?5
?0
的解集为
M
，
2
x?a

（1）当
a?4
时，求集合
M
；（2）若
3?M,5?M
，求实数
a
的取值范围．



例3．解不等式
log
a
[a
2x
?2
x
(a
x
?2< br>x?1
)?1]?0
，其中
a?1
，



例4．已知函数
f(x)
在
R
上是增函数，
a,b?R，
（1）求证：若
a?b?0
，则
f(a)?f(b)?f(?a)? f(?b)
；
（2）判断（1）中命题的逆命题是否成立？并证明你的结论；
1? x1?x
（3）解不等式
f(lg)?f(2)?f(lg)?f(?2)
．
1?x1?x



五．课后作业：
1．不等式
(x?3)(10?x)
?0
的解集是 （ ）
2
(x?1)x
(A)(??,0)(1,3][10,??)

(B)(??,0)(0,1)[3,10]

(C)(0,1)(3,10)

(D)[0,1)(3,10)
< br>2．已知不等式
x
2
?2x?3?0
的解集为
A
，不 等式
x
2
?x?6?0
的解集为
B
，不等
式
x
2
?ax?b?0
的解集为
AB
，则
a?b
等 于 （ ）
(A)
?3

(B)
1

(C)
?1

(D)
3

3．设函数f(x),g(x)
都上定义在
R
上的奇函数，不等式
f(x)?0的解集为
(m,n)
，
不等式
g(x)?0
的解集为
(
mn
,)
，其中
0?2m?n
，则不等式
f(x)?g(x )?0
的解集是
22
（ ）
mnmnnmnn
(A)
(,)

(B)
(,)(?,?)

(C)(?n,?m)

(D)
(m,)(?,?m)

22222222
1
x2
?2ax
?()
x?1
对一切实数
x
恒成立，则实数
a
的取值范围4．若不等式
3
3
是 ．

5．已知
ax
2
?bx?c?0
的解集为
{ x|0?
?
?x?
?
}
，则不等式
cx
2
?bx?a?0
的解
集是 ．
(x?a )(x?b)
6．已知关于
x
的不等式
?0
的解为
?1?x ?2
或
x?3
，则不等式
x?c
x?c
?0
的解集 为 ．
(x?a)(x?b)
7．解不等式< br>3
x?1
?18?3
?x
?29
．



8．解不等式：（1）
(x?2)(x?1)
2
(x?1)(x? 2)?0
；（2）




9．已知
a?0
且
a?1
，关于
x
的不等式
a
x
?1
的 解集是
(??,0)
，求关于
x
的不等
x?2
?0
．
3?2x?x
2
1
式
log
a
(x?)?0< br>的解集．
x





10．若不等式< br>2x?1?m(x
2
?1)
对满足
|m|?2
的所有
m
都成立，求
x
的取值范围．





11．设集合
M?{x|ax
2
?2(a?1)x?1?0}，已知
M?
?
，
M
?
R
?
，求
a
的取值范
围．

课题：含绝对值的不等式
一．复习目标：
1．理解含绝对值的不等式的性质，及其中等号成立的条件，能运用性质论证一
些问题；
2．会解一些简单的含绝对值的不等式．
二．知识要点：
1．含绝对值的不等式的性质：
①
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|
，当 时，左边等号成立；当
ab?0
时，右
边等号成立．②
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|
，当 时，左边等号成立；当
时，右边等号成立．③进而可得：
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|
．
2．绝对值不等式的解法：
①
a?0
时，
|f(x)|?a?f( x)?a
或
f(x)??a
；
|f(x)|?a??a?f(x)?a
；
②去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法；
③根据绝对值的几何意义，通过数形结合解绝对值不等式．
三．课前预习：
1．不等式
|x?lgx|?|x|?|lgx|
的解集为 （ ）
(A)(0,??)

(B)(0,1)

(C)(1,??)

(D)(1,10)

2．不等式
1?|2x?1|?2
的解集为 （ ）
1313
(A)
(?,0)[1,)

(B)
{??x?0
且
1?x?}

2222
1313
(C)
(?,0][1,)

(D)
{??x?0且1?x?}

2222
3．
f(x)
为
R
上的增函数，
y?f(x)
的图象过点
A(0,?1)
和下面哪一点时，能确定
不等式
|f(x?1)|?1
的解集为
{x |1?x?4}
（ ）
(A)(3,1)

(B)(4,1)

(C)(3,0)

(D)(4,0)

4．已知集合
A?{x||x?1|?a}
，< br>B?{x||x?3|?4}
，且
AB?
?
，则
a
的 取值范围
是 ．
5．设有两个命题：①不等式
|x|?|x?1| ?m
的解集是
R
；②函数
f(x)??(7?3m)
x
是减 函数，如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数
m
的取值范围
是 ．

四．例题分析：
例1．已知
0?x?1
，
0? a?1
，试比较
|log
a
(1?x)|
和
|log
a
(1?x)|
的大小．
例2．求证：
|a?b||a||b|
??
．
1?|a?b|1? |a|1?|b|
例3．设
a,b,c?R
，已知二次函数
f(x)?ax< br>2
?bx?c
，
g(x)?cx
2
?bx?a
，且当
（1）求证：
|g(1)|?2
；（2）求证：
|x|?1
时，|g(x)|?4
．
|x|?1
时，
|f(x)|?2
，

例4．设
m
等于
|a|
、
|b|
和
1
中最大的一个，当
|x|?m
时，求证：
|


五．课后作业：
1．若
a,b?R
，且
|a?c|?|b|
，则 （ ）
(A)|a|?|b|?|c|

(B)|a|?|b|?|c|

(C)
a?b?c

(D)
a?b?c

ab
?
2
|?2
．
xx
2．若
m?0
，则
|x?a|?m
且
|y?a |?m
是
|x?y|?2m
的 （ ）
(A)
充分不必要条件
(B)
必要不充分条件
(C)
充要条件
(D)
既不充分也不必要
条件
3．已知 函数
f(x)
、
g(x)
，设不等式
|f(x)|?|g(x)|? a(a?0)
的解集是
M
，不等
式
|f(x)?g(x)|?a(a ?0)
的解集是
N
，则集合
M
、
N
的关系是 （ ）
?
N

(D)
M
?
(A)
N
?
?
M

(B)
M?N

(C)
M
?
N

4．不等式
|
xx
的解集是 ．
|?
2?x2?x
5．不等式
|x?4|?|x?3|?a
的解集不是空集，则< br>a
的取值范围是 ．
6．若实数
a,b
满 足
ab?0
，则①
|a?b|?|a|
；②
|a?b|?|b|；③
|a?b|?|a?b|
；
④
|a?b|?|a?b|
．这 四个式子中，正确的是 ．
7．解关于
x
的不等式< br>|x
2
?a|?a
（
a?R
）．
8．解不等式：（ 1）
|x
2
?11x?21|?x
；（2）
|x?3|?|2x?1 |?
9．设有关于
x
的不等式
lg(|x?3|?|x?7|)?a
，
x
?1
．
2

（1）当
a?1
时，解这个不等式；（2）当
a
为何值时，这个不等式的解集为
R
．
10．设二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c
对一切
x?[?1 ,1]
，都有
|f(x)|?1
，
求证：（1）
|a?c|?1< br>；（2）对一切
x?[?1,1]
，都有
|2ax?b|?4
．

课题：不等式的应用
一．复习目标：
1．不等式的运用已渗透到函 数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容中，
体现了不等式内容的重要性、思想方法的独特性，要熟 悉这方面问题的类型
和思考方法；
2．应用题中有一类是寻找最优化结果，通常是把问题转化为不等式模型，再求
出极值．
二．知识要点：
1．利用均值不等式求最值：
a?ba
2
?b< br>2
?ab??
常用公式：
a?b?2ab
，，你知道这些公式的使11
22
?
ab
22
2
用条件吗？等号成立的条件呢？ 使用
三相等”．
a?b
?ab
求最值时要满足“一正、二定、
2< br>2．关于有关函数、不等式的实际应用问题：
这些问题大致分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立目标函数求最大、
最小值．
三．课前预习：
1．数列
{a
n
}
的通项公式是
a
n
?
n
，数列
{a
n
}
中最大的项是 （ ）
2
n?90
(A)
第9项
(B)
第10项
(C)
第8项和第9项
(D)
第9项和第10项
2．已知x,y,z?R
?
，且满足
xyz(x?y?z)?1
，则
(x ?y)(y?z)
的最小值为（ ）
(A)
2
(B)
3
(C)
4
(D)
1
3．若实数
m,n,x,y< br>满足
m
2
?n
2
?a,x
2
?y
2
?b
(a?b)
，则
mx?ny
的最大值是（ ）
a?b

(B)
ab

(C)(A)
2
ab
a
2
?b
2

(D)

a?b
2
4．设
a,b,c?R
，
ab?2
且
c?a
2
?b
2
恒成立，则
c
的最大值为 ．
11
5．若
lgx?lgy?2
，则
?
的最小值是 ．
xy
6．若正数
a,b
满足
ab?a?b?3
，则< br>ab
的取值范围是 ．
四．例题分析：
例1．（ 1）若
a,b
是正实数，且
a?b?3
，求
1?a?1?b
的最大值；

（2）若
a
是正实数，且
2a
2
?3b
2
?10
，求
a2?b
2
的最大值及相应的实数< br>a,b
的
值．





例2． 商店经销某商品，年销售量为
D
件，每件商品库存费用为
I
元，每批进货量为
Q
件，每次进货所需的费用为
S
元，现假定商店在卖完该货物时立即 进货，
使库存存量平均为
0.5Q
，问每批进货量
Q
为多大时，整个 费用最省？





例3．已知
a?0且
a?1
，数列
{a
n
}
是首项为
a
，公比也为
a
的等比数列，令
b
n
?a
n
lga< br>n

(n?N
*
)
，问是否存在实数
a
，对 任意正整数
n
，数列
{b
n
}
中的每一项总小于它
后面的项？证明你的结论．







五．课后作业：
1．设
x,y?R
，
x
2
?y< br>2
?1
，
m?(1?xy)(1?xy)
，则
m
的取 值范围是 （ ）
133
(A)
[,1]

(B)(0,1]

(C)
[,1]

(D)
[,2]

244
2．设
a?b?c?0
，
x?a
2
?(b?c)
2
，
y?b
2
?( a?c)
2
，
z?c
2
?(a?b)
2
，则
xy,yz,zx,x
2
,y
2
,z
2
中最小的是 （
C
）
(A)
xy

(B)
yz

(C)
x
2

(D)
z
2

3．若设
x,y?R
?
，且
x
2
?y
2
?4
，
S?x?y?4(x?y)?1 0
，那么
S
的最值情况为（
A
）

(A)
有最大值2，最小值
2(2?2)
2

(B)
有最大值2，最小值0
(C)
有最大值10，最小值
2(2?2)
2

(D)
最值不存在
4．已知
a,b
是大于0的常数，则当
x?R
?
时，函数
f(x)?
为 ．
(x?a)(x ?b)
的最小值
x
5．周长为
2?1
的直角三角形面积的最大值为 ．
6．光线每通过一块玻璃板，其强度要减少10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，
1能使通过它们的光线强度在原强度的以下．
(lg3?0.477)

3




1
7．
k
为何实数时，方程
x2
?kx?k?2?0
的两根都大于．
2





8．某种汽车，购买是费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费9千元 ，
汽车的维修费第一年为2千元，第二年为4前元，第三年为6千元……，依等差
数列逐年递增 ．问：这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时年平均费
用最少）？





9．设二次函数
f(x)?x
2
?bx?c
（
b,c?R
），已知不论
?
,
?
为何实数，恒有
（1）求证：
b?c??1
；（2）求证：
c?3
；（3）
f(sin
?
)?0
，且
f(2?cos
?
)?0
，
若函数
f(sin
?
)
的最大值为8，求
b,c
的值．

课题：不等式的小结
一．复习目标：
1．进一步巩固不等式的解法、证明不等式的一般方法、利用不等式求最值的方
法；
2．能熟练运用不等式的思想方法解决有关应用问题．
二．课前预习：
1．已知
c?d
，
a?b?0
，下列不等式中必成立的一个是 （ ）
ab
(A)
a?c?b?d

(B)
a?c?b?d

(C)
ad?bc

(D)
?

cd
2．设
x,y
满足
2x? y?20
的正数，则
lgx?lgy
的最大值是 （ ）
(A)
50

(B)
2

(C)1?lg5

(D)
1

3．设
x, y?R
，
x
2
?y
2
?1
，
m?(1?x y)(1?xy)
，则
m
的取值范围是 （ ）
133
(A)
[,1]

(B)(0,1]

(C)
[,1]

(D)
[,1)

244< br>18
4．设
x?
，则函数
y?x?
的最小值是 ，此时
x?
．
22x?1
5．关于
x
的不 等式
x
2
?ax?6a?0
的解集不是空集，且区间长度不超过5，则实数
a
的取值范围是 ．
6．使
log
2
(?x)?x?1
成立的
x
的取值范围是 ．
7．锐角三角形
ABC
中，已知边
a?1,b?2
，则边
c
的取值范围是 ．
三．例题分析：
x
2
?y
2
例1．（1）已知
x?y?0
，且
xy?1
，求的最小值 及相应的
x,y
的值；
x?y
（2）已知
x?y?0
且< br>3x?4y?12
，求
lgx?lgy
的最大值及相应的
x,y
的值．





例2．设绝对值小于
1的全体实数的集合为
S
，在
S
中定义一种运算
*
，使得
a?b
，
a*b?
1?ab
求证：如果
a
与b
属于
S
，那么
a*b
也属于
S
．

例3．证明：
2(n?1?1)?1?



例4．某种商 品原来定价每件
p
元，每月将卖出
n
件．若定价上涨
x
成（ 注：
x
成
11
??
23
?
1
?2n
(n?N
*
)
．
n
x
，
0?x?10
），每月卖出数量将减少
y
成，而售货金额变成原来的
z
倍．
10
1
（1）若
y?ax
，其中
a
是满足
?a?1的常数，用
a
来表示当售货金额最大时的
3
x
值；
2
（2）若
y?x
，求使售货金额比原来有所增加的
x
的取值范围．
3





四．课后作业：
1
1．已知
a?0,b?0
，则不等式
?b??a
等价于 （ ）
x
1111
(A)
x??
或
x?

(B)
x??
或
x?

abba
1111
(C)
??x?0
或
0?x?

(D)
??x?0
或
0?x?

abba
2．一批货物随17列火车从
A
市以
v kmh
的 速度匀速直达
B
市，已知两地铁路
v
线长为
400km
，为 了安全，两列货车的距离不得小于
()
2
km
（货车的长度忽略
2 0
不计），那么这批货物全部运到
B
市，最快需要 （ ）
即
(A)
6h

(B)
8h

(C)
10h

(D)
12h

3．若a,b
是实数，且
a?b
，则在下面三个不等式：①
aa?1
?
；②
(a?b)
2
?(b?1)
2
；
bb?1③
(a?1)
2
?(b?1)
2
，其中不成立的有 个．

4．设
a,b
都是 大于0的常数，则当
x?0
时，函数
f(x)?
是 ．


(x?a)(x?b)
的最小值
x
5．已知
f (x)?ax?2a?1
，当
x?[?1,1]
时，
f(x)
的值有 正有负，则
a
的取值范围
为 ．


6．已知
x,y?R
，且
x
2
?2xy?2y
2
?2
，则
|x?y|
的最大值是 ．



7．设
f(x)?x
2
?x?13
，实数
a
满足< br>|x?a|?1
，求证：
|f(x)?f(a)|?2(|a|?1)
．




8．已知
a,b,c
都是正数，求证：
111111
．
?????
2a2b2cb?cc?aa?b





9．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购
入
x
台
(x?N
*
)
，且每批均需付运费400元，贮存 购入的电视机全年所付保管费
与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则 全年需
用运输和保管费用总计43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔
费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？求出结论，并说明理
由

课题：直线的方程
一．复习目标：
1．深化理解倾斜角、斜率的概念，熟练掌握斜率公式；
2．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能熟练写出
直线方程．
二．知识要点：
1．过两点
P
1
(x
1
,y1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
) (x
1
?x
2
)
的直线斜率公式： ．
2．直线方程的几种形式：点斜式： ；斜截式： ；
两点式： ；截距式： ；一般式： ．
三．课前预习：
1．设
?
?(,
?
)
，则直 线
xcos
?
?ysin
?
?1?0
的倾斜角
?< br>为 （ ）
2
(A)
?
?
?
?
2

(B)
?

(C)
?
?
?
2

(D)
?
?
?

2．已知
a,b?N
，则 过不同三点
(a,0)
，
(0,b)
，
(1,3)
的直线的 条数为（ ）
(A)
1

(B)
2

(C)
3

(D)
多于
3

3．已知
?ABC
的顶点
A(?1,2)
,
B(3,6)
，重心
G(0,2)
，则
A C
边所在直线方程
为 ；经过点
A(?2,2)
且 与
x
轴、
y
轴围成的三角形面积是
1
的直线
方程是 ；过点
(2,1)
，且它的倾斜角等于已知直线
y?
斜角的一半的直线
l
的方程是 .
4．若直线
l
的方向向量是a?(3,1)
,则直线
l
的倾斜角是 ；若点
M(2,?3 )
，
N(?3,?2)
，直线
l
过点
P(11)
且 与线段
MN
相交，则直线
l
的斜率k的取值范围
3
x?2< br>的倾
4
为 .

四．例题分析：
例1．已知直 线
l
1
的方程为
y?2x
，过点
A(2,?1)
作 直线
l
2
，交
y
轴于点
C
，交
l
1
于点
B
，且
|BC|?


例2．⑴已知
P
1
(1,3)P
2
(7,2)
，试求
P
1P
2
被直线
2x?5y?7?0
所分成的比λ；
⑵已知
P
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2< br>(x
2
,y
2
)
，若直线
Ax?By?C?0
与直线
P
1
P
2
相交于点
P
，
P
???
1
|AB|
，求
l
2
的方程.
2

不与
P
2
重合，求证：点
P
分
P
1
P
2
的比
?
??


???
Ax
1
?By
1
?C
.
Ax2
?By
2
?C
例3．过点
P(1,4)
引一条直线< br>l
，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们
的和最小，求直线
l
的方程.


例4．
?ABC
的一个顶点
A(2,3)< br>，两条高所在直线方程为
x?2y?3?0
和
x?y?4?0
，求三边 所在直线方程．


五．课后作业：
11
1．若
ab? 0
，则过点
P(0,?)
与
Q(,0)
的直线
PQ
的倾斜角的取值范围是（ ）
ba
(A)
(0,)

(B)
(,
?
)

(C)
(?
?
,?)

(D)
(?,0)

2222
2．以原点为中心，对角线在坐标轴上 ，边长为
1
的正方形的四条边的方程为（ ）
?
?
?
?
(A)
|x|?|y|?
22

(B)|x|?|y|?1

(C)
|x?y|?

(D)|x?y|?1

22
3．已知三点
A(a,2)
，
B(5,1)
，
C(?4,2a)
在同一直线上，则
a
的值 为 ．
4．过点
P(6,3)
的直线
l
与
x轴、
y
轴分别交于
A
、
B
两点，点
P
分有向线段
AB
1
所成的比为，则直线
l
的斜率为 ，直线
l
的倾斜角为 .
2
5．设
A(m,m?1)< br>，
B(2,m?1)
，则直线
AB
的倾斜角
?
为 ．
6．不论
m
为何实数，直线
(m?1)x?y?1?0
恒过定点 ．
7．设过点
P(2,1)
作直线
l
交
x
轴的正 半轴、
y
轴的正半轴于
A
、
B
两点，
（1）当
|PA|?|PB|
取得最小值时，求直线
l
的方程．
（2）当
|OA|?|OB|
取得最小值时，求直线
l
的方程．


8．对直线
l
上任意一点
(x,y)
，点(4x?2y,x?3y)
也在直线
l
上，求直线
l
的方程．
???

9．求过点
P
(0，1)的直线
l
，使它包含在两已知直线
l
1
：2
x
＋
y
－8＝0和
l
2
：
x
－3
y
＋10＝0 间的线段被点
P
所平分．


10．设同在一个平面上的动点P
、
Q
的坐标分别是
(x,y)
、
(X,Y)
，并且坐标间
存在关系
X?3x?2y?1
，
Y?3x?2y?1
， 当动点
P
在不平行于坐标轴的直线
l
上
移动时，动点
Q在与直线
l
垂直且通过
(2,1)
的直线上移动，求直线
l的方程．

课题：直线与直线的位置关系（1）
【复习目标】
1、掌握两条直线平行与垂直的条件，能根据直线方程判断两条直线的位置关系；
2、会求两条相交直线的夹角和交点；
3、掌握点到直线的距离公式。
【知识内容】

1、两条直线的平行与垂直：
（1）平行：
设 直线l
1
和l
2
的斜率为k
1
和k
2
，它 们的方程分别是
l
1
：y=k
1
x+b
1
,l< br>2
：y=k
2
x+b
2
,则l
1
∥l
2
?
k
1
=k
2
(b
1
?b
2
)
.
若两条平行直线中的一条直线的斜率不存在，
则另一条直线的斜率也不存在；反之亦然。
（2）垂直：
设直线l
1和l
2
的斜率为k
1
和k
2
，
它们的方程分别是
l
1
：y=k
1
x+b
1,l
2
：y=k
2
x+b
2
, 则
l
1
?l
2
?k
1
??
1
(或k
1
?k
2
??1)
。
k
2
若两条互相垂直直线中的一条直线 的斜率不存在或为零，则另一条直线的斜
率必为零或不存在；反之亦然。

2、两条直线所成的角：
（1）“到角”：两条直线l
1
和l
2< br>相交，我们把直线l
1
依逆时针方向旋转到与
l
2
重合时所 转的角，叫做l
l
到l
2
的角，“到角”的取值范围是
（0°，180°）。
已知直线的方程分别是
l
1
：y=k1
x+b
1
,l
2
：y=k
2
x+b
2
, l
l
到l
2
的角为
?
，
tg
?
?
k
2
?k
1
。
1?k
2
k
1
（2）“夹角”：两条相交直线所成的锐角和直角就是两条直线所成的角。已知直
线的方程分别是l
1
：y=k
1
x+b
1
,l
2< br>：y=k
2
x+b
2
, 它们的夹角为
?
，
tg
?
?
k
2
?k
1
1?k
2
k
1
。
3、两条直线的交点：
（1）交点的求法：
?
?< br>A
1
x?B
1
y?C
1
?0
。
A x?By?C?0
22
?
2
（2）根据方程组的解的情形讨论两条直线的位置 关系：
若
A
1
B
1
，则两条直线相交，有且只有一个交点； ?
A
2
B
2

若
若
A
1
B
1
C
1
，则两条直线平行，没有公共点；
??
A
2
B
2
C
2
A
1
B
1
C
1
，则两条直线重合，有无数个公共点。
??
A
2
B
2
C
2
4、点到直线的距离：
已知点P(x
0
,y
0
)和直线l:Ax+By+C=0，则点 < br>P到直线l的距离为：
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
.
（2）点P(x
0
,y
0
)到直线l:x=a的距离d=|x
0
-a|；
到直线l:y=b的距离d=|y
0
-b|.
两条平行直线l
1< br>:Ax+By+C
1
=0和l
2
:Ax+By+C
2
=0
之间的距离
d?
|C
1
?C
2
|
A ?B
22
.

5、直线系方程：
（1）共点直线系：例：过点P(a,b)的直线系方程为x=a或y-b=k(x-a).
（2）平行直线系：例：和直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+C
1
=0 .
（3）过两直线交点的直线系：
经过两条直线l
1
:A
1x+B
1
y+C
1
=0和l
2
:A
2
x+B
2
y+C
2
=0的交点的直线系方程是：
A
1x+B
1
y+C
1
+λ(A
2
x+B
2
y+C
2
)=0（不包括直线两条平行直线l
2
）.

基础练习：
1、两条直线l
1
:x?3y?2?0与l
2
:4x?2y?1?0的夹角等于 .
2、若
0?k?
1
,则直线kx?y?k?1与ky?x?2k
的交点在第 象限.
2
3、已知三条直线
x?2y?1,2x?my?3?0,3mx?4y?5
相交于一点，求m 的值.
4、求经过点P(1，2)，且与A(2，3)、B(4，-5)两点的距离相等的直线l的方程. < br>5、三角形ABC的三个顶点是A(2，2)、B(-5，1)、C(3，-5)，则它的垂心坐标
是 ；外心坐标是 .
6、过点（1，2）且与直线2x+y-1=0平行的直线方程是 ；（垂直呢？）
7、已知直线ax+3y+1=0与x+(a-2)y+a=0，当a为何值时两直线 平行、重合、相
交、垂直？
8、已知正方形的中心坐标是(1,1)，一边所在的直线方程是 3x-4y-5=0，求其余
三边所在的直线方程.
9、若直线l经过两直线l
1< br>:3x+y-7=0和l
2
:2x-3y-1=0的交点，并且在x轴上的
截距 是5，求l的方程.
10、求平行于直线x-y-2=0且与它的距离为
22
的方程.
典型例题：
1、求经过点P（3，-2）且与原点距离等于3的直线l的方程.

2、已知直线l经过两条直线
l
1
:x ?2y?0与l
2
:3x?4y?10?0
的交点，且与直
线
l3
:5x?2y?3?0的夹角为
?
，求直线l的方程.
4


3、已知两条直线
l
1
:x?ysin
?
?1? 0,l
2
:2xsin
?
?y?1?0

（1）求当
l
1
l
2
时
?
的值 （2）求当
l
1
?l
2
时
?
的值


4、已知一条直线包含在第一象限内的线段长为它到原点的距离的2倍，而且与
坐标 轴所构成的三角形面积为4.5，求此直线的方程.



5、求证不论m 取什么实数，直线（2m-1）x+（m+3）y-（m-11）=0都经过一个
定点，并求出这个定点 .



6、在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1 =0，∠A的平分线所在直
线的方程为y=0，若点B(1,2)，求边BC的长.



7、已知直线l经过A(2,3)且被两平行直线
l
1
:3x?4y?7?0与l
2
:3x?4y?8?0
所截得的线段长为
32< br>，求直线l的方
程.

课题：直线与直线的位置关系（2）
一．复习目标：
1．掌握两直线平行与垂直的条件，两直线的夹角和点到直线的距离公式．
2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
二．知识要点：
1．已知两条 直线
l
1
与
l
2
：（1）
l
1
l
2
?
．
（2）
l
1
?l
2
?
；（3）
l
1
与
l
2
重合
?
．
2．直线
l
1
到
l
2
的角公式： ；直线
l
1
与
l
2
的夹角公式： ．
3．点到直线的距离公式： ；两平行直线间的距离公式： ．
三．课前预习：
1．
?ABC
中，
a,b,c
是内角A,B,C
的对边，且
lgsinA,lgsinB,lgsinC
成等差数列，
则直线
l
1
:(sin
2
A)x?(sinA)y?a?0
与
l
2
:(sin
2
B)x?(sinC)y?c?0的位置关系
（ ）
(A)
重合
(B)
相交不垂直
(C)
垂直
(D)
平行
2．点
(1,1)
到直线
xcos
?
?ysin
?
?1
的距离为
f(
?
)
的最 大值是 （ ）
(A)
2

(B)
3

(C)
2?1

(D)
2?1

3．设直线l
1
：
(m?1)x? (m?2)y?3?0
与直线
l
2
：
(m?2)x?(5m?1)y ?2?0
.
①若互相垂直，则
m
的值为 ；②若没有公共点，则
m
的值为 .
4．已知三角形的三个顶点为
A(3,3)
、
B(2,?2)
、
C(?7,1)
．
（1）
?A?
；（2）
?A
的平分线
AD
所在的直线方程为 .
5．点
P(?7,1)
关于直线
l:2x?y?5?0
的对称点
Q< br>的坐标为 ．
四．例题分析：
例1．光线从点
A( ?2,4)
射出，经直线
l
：
2x?y?7?0
反射，反射光线过点
B(5,8)
．
（1）求入射光线所在直线方程；
（2）求光线从
A
到
B
经过的路程
S
.

例2．已知
?ABC
的顶点
A(3?1)
，过点
B
的内角平分线的方程是
x?4y?10?0
，
过点
C
的中线方程为< br>6x?10y?59?0
，求顶点
B
的坐标和直线
BC
的方程 ．

例3．求过点
A(2,3)
且被两直线
l1
：
3x?4y?7?0
，
l
2
:
3x?4y ?8?0
所截得的
线段长
32
的直线的方程.
五．课后作业： < br>1．过点
P(1,2)
引直线，使它与两点
A(2,3)
、
B (4,?5)
距离相等，则此直线方程为
（ ）
(A)2x?3y?7?0
或
x?4y?6?0

(B)4x?y?6?0

(C)3x?2y?7?0
或
4x?y?6?0

(D)x?4y?6

2．把直线
y?
3
x
绕原点 逆时针方向转动，使它与圆
x
2
?y
2
?23x?2y?3?0相
3
切，则直线转动的最小正角是 （ ）
25
??
(A)

(B)

(C)
?

(D)
?

3 6
32
3．等腰三角形底边所在的直线
l
1
的方程为
x?y ?1?0
,一腰所在的直线
l
2
的方程
为
x?2y?2?0
,点
(?2,0)
在另一腰上,则此腰所在的直线
l
3
的方 程
为 .
4．已知
O
为坐标原点，点
A
的坐标为
(4,2)
，
P
为线段
OA
垂直平分 线上的一点，
若
?OPA
为锐角，则点
P
的横坐标
x
的取值范围是 ．
5．△
ABC
中，顶点
A( 9,1)
、
B(3,4)
、内心
I(4,1)
，则顶点
C< br>的坐标为 ．
6．已知直线
l
1
：
x?y?1?0
，
l
2
：
2x?y?3?0
，求直线
l
2
关于直线
l
1
对称的直
线
l
的方程.
7 ．已知三条直线
l
1
：
mx?y?m?0
，
l
2< br>：
x?my?m(m?1)?0
，
l
3
：
(m?1) x?y?(m?1)?0
，它们围成
?ABC
.
（1）求证：不论
m
取何值时，
?ABC
中总有一个顶点为定点；
（2）当
m
取何值时，
?ABC
的面积取最大值、最小值？并求出最 大值、最小值.

8．已知正方形的中心为直线
2x?y?2?0
和
x?y?1?0
的交点，正方形一边所
在直线的方程为
x?3y?5?0
， 求其它三边所在的直线方程．

课题：简单的线性规划
一．复习目标：
1．了解用二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应
用；
2．通过以线性规划为内容的研究课题与实习作业，提高解决实际问题的能力．
二．知识要点：
已知直线
Ax?By?C?0
，坐标平面内的点
P (x
0
,y
0
)
．
1．①若
B?0
，< br>Ax
0
?By
0
?C?0
，则点
P(x
0< br>,y
0
)
在直线的 方；
②若
B?0
，< br>Ax
0
?By
0
?C?0
，则点
P(x
0< br>,y
0
)
在直线的 方．
2．①若
B?0
，
Ax?By?C?0
表示直线
Ax?By?C?0
方的区域；
②若
B?0
，
Ax?By?C?0
表示直线
Ax?By?C ?0
方的区域．
三．课前预习：
1．不等式
2x?y?4?0
表示的平面区域在直线
2x?y?4?0
的（ ）
(A)
左上方
(B)
右上方
(C)
左下方
(D)
右下方
2．表示图中阴影部分的二元一次不等式组是（ ）
?
2x?y?2?0
?
2x?y?2?0
??

( A)
?
x?1?0
(B)
?
x?1?0
?
y?2< br>?
0?y?2
??
?
2x?y?2?0
?
2x?y? 2?0
??

(C)
?
x?1?0
(D)
?
x?1?0
?
0?y?2
?
0?y?2
??
-1
y
2
O
1
x
3．给出平面区域（包括边界）如图所示，若使目标函数
z?ax?y(a?0)
取得最
y

C(1,
22
)

大值的最优解有无穷多个，则
a
的值为（ ）
5
135
(A)

(B)

(C)
4

(D)

A(5,2)

453


4．原点和点
(1,1)
在直线
x?y?a?0
的两侧，
则
a
的取值范围是 ．
5.由
y?|x ?1|?1
及
y??|x|?1
表示平面区域的面积是 .
四．例题分析：
O

B(1,1)

x

例1．某人上午
7
时乘船出发，以匀速
v
海里时（
4?v?20
）从
A
港到相距
50
海
里的
B
港去，然后乘汽车以
?
千米时（
30?
?
?100
）自< br>B
港到相距
300
千米的
C
市去，计划在当天下午
4
至
9
时到达
C
市.设乘船和汽车的时间分别为
x
和
y
小
时，如果已知所要的经费（单位：元）
P?100?3?(5?x)?( 8?y)
，那么
v
，
?
分
别是多少时所需费用最少？此时需 要花费多少元？




例2．某运输公司有
10
辆载重量为
6
吨的
A
型卡车与载重量为
8
吨的
B
型卡车，
有
11
名驾驶员.在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬 运
480
吨沥青
的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为
A
型卡车< br>8
次，
B
型卡车
7
次；每辆卡车
每天的成本费
A
型车
350
元，B型车
400
元.问每天派出
A
型车与
B
型车各多少
辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？




五．课后作业：
1．三个点
P(1,1)
、
Q(2,2)
、
R(0,?1)
中，在由方程
|x?1|?|y? 1|?1
确定的曲线所
围成区域中的个数有 （ ）
(A)
3
个
(B)
2
个
(C)
1
个
(D)
0
个
2．已知集 合
A?{(x,y)|x|?|y|?1}
，集合
B?{(x,y)|(y?x)(y ?x)}?0
，
M?AB
，则
M
的面积是 ．
?
x?4y?3?0
?
3．已知整点
P(a,3)
在不 等式组
?
3x?5y?25?0
表示的平面区域内，则
a
?
x?1
?
为 ．
4．某人有楼房一幢，室内面积共180
m
2
，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大
房间每间面积为18
m
2
，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间
每间面积为15
m
2
，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每
间需1000元，装修小房间每 间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且
游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多 少间，能获得最大收益？

< br>5．已知三种食物
P
、
Q
、
R
的维生素含量与成本如 下表所示.
食物
P

食物
Q

600
食物
R

400 维生素
A
（单位400

kg
）
维生素
B
（单位800

kg
）
成本（元
kg
）
6
200 400
5 4
现在将
xkg
的食物
P
和
ykg
的食物
Q
及
zkg
的食物
R
混合，制成100kg
的混合物.
如果这100
kg
的混合物中至少含维生素
A< br>44000单位与维生素
B
48000单位，那
么
x,y,z
为何值时，混合物的成本最小？









6．设函数
f(x)?ax
2
?c(a,c?R,a? 0)
，又
?4?f(?1)?1
，
?1?f(2)?5
，求
f(3)
的最小值、最大值以及取得最小值、最大值时
a,c
的值．

课题：曲线方程 < br>一．复习目标：了解解析几何的基本思想，了解坐标法研究几何问题的方法；掌
握用定义法和直接 法求曲线的方程的方法和步骤。
二．主要知识：
1．曲线的方程与方程的曲线的概念； 2．用直接法求曲线的方程的方法和步骤。
三．主要方法：
1．掌握“方程曲线”的充要关系；
2．求轨迹方程的常用方法：直接法、代入法、交轨法和参数法．；
四．基础训练：
1．设方程
f(x,y)?0
的解集非空，如果命题“坐标满足方程
f(x,y)? 0
的点都在
曲线
C
上”是不正确的，则下列命题中正确的是 （ ）
(A)
坐标满足方程
f(x,y)?0
的点都不在曲线
C
上；
(B)曲线
C
上的点的坐标都不满足方程
f(x,y)?0
；
(C)
坐标满足方程
f(x,y)?0
的点有些在曲线
C
上，有些不在曲线
C
上；
(D)
一定有不在曲线
C
上的点，其坐标满足f(x,y)?0
；
55
2．已知两点
M(1,),N(?4,?)< br>，给出下列曲线方程：（1）
4x?2y?1?0
，（2）
44
x2
2
x
2
2
x?y?3
，（3）
?y?1，（4）
?y?1
曲线上存在点
P
满足
|MP|?|NP|的所有
22
22
曲线方程是（ ）
(A)
(1)(2)(3)
(B)
(2)(4)
(C)
(1)(3)
(D)
(2)(3)(4)
3．方程
xy
2
?x
2
y?2x
所表示的曲线是 （ ）
(A)
关于
y
轴对称
(B)
关于
x?y?0
对称
(C)
关于原点对称
(D)
关于
x?y?0
对称
4．若直线
2x?y?k?0
与曲线
y?2x
2
?x?1
没有公共点，则
k
的取 值范围
是 。
5．若两直线
x?y?5a?0
与
x?y?a?0
交点在曲线
y?x
2
?a
上，则
a ?
。
五．例题分析：
例1．过点
P(1,3)
作两条相互垂直的直线
l
1
,l
2
，
l
1
交
x
轴于
A
点，
l
2
交
y
轴于
B
点，
求线段
AB
的中点
M
的轨迹方程。

例2．已知点
A(?a,0),B(a,0)(a?0)
，
(1)若动点< br>M
与
A,B
是一个直角三角形的三个顶点，求直角顶点
M
的轨 迹方程；
(2)若动点
M
满足条件：
?MBA?2?MAB
，求点
M
的轨迹方程．



例3．设
0?
?
?
?
2
（1）求
?
的范围；（2）证明：这四个交点共圆， 并求该圆半径的取值范围。



六．课后作业：
1．已知坐标满足方程
F(x,y)?0
的点都在曲线
C
上，那么 （ ）
(A)
C
上的点的坐标都适合方程
F(x,y)?0
；
(B)
凡坐标不适合
F(x,y)?0
的点都不在
C
上；
(C)
不在
C
上的点的坐标必不适合
F(x,y)?0
；
(D)
不在
C
上的点的坐标有些适合
F(x,y)?0
；
，曲线
x
2
sin
?
?y
2
cos
?
?1
和
x
2
cos
?
?y
2
sin
?
?1
有四个交点，
2．设曲线
C
是到两坐标轴距离相等点的轨迹，那么
C
的方程是 （ ）
(A)x?y?0(B)
x?y?0
(C)|x|?|y|?0(D)y? |x|
和
x?|y|

3．已知
x
2
?y
2
?1
点
A(1,0)
，
?ABC
内接于圆，且
? BAC?60
，当
B,C
在圆上运
动时，
BC
中点的轨迹方 程是 （ ）
11
1111
(A)
x
2
?y
2
?

(B)
x
2
?y
2
?

(C)
x
2
?y
2
?(x?)

(D)
x
2
?y
2
?(x?)

242244
4．若曲线
y
2
?xy?2x?k?0
通过点
(a,?a)(a?R)
，则
k
的取值范围是 。
5．两动直线分别 过
O(0,0),A(0,2)
，且方向向量分别是
(1,
?
),(
?
,?1)
，则它们交点
的轨迹方程是 。


B

A


l
1

M
l
2

N

6．如图直线
l
1
与
l
2
相交于点
M
，
l
1
?l
2
，点
N?l
1
，以
A,B
为端点的 曲线
C
上的
任意一点到
l
2
的距离与到点
N
的距离相等，若
?AMN
是锐角三角形，
|AM|?17,|AN|?3,|BN| ?6
，建立适当的坐标系，求曲线
C
的方程。







7．直线
x?2y?3?0
与曲线
x
2
?y
2
?x?6y?m?0
相交与
P,Q
两 点，若
OP?OQ
（
O
为坐标原点），求
m
的值。










8．
A
为定点，线段
BC
在定直线
l
上滑动，已知
|BC|?4
，
A
到
l
的距离为3，求
?ABC< br>的外心的轨迹方程。

课题：直线与圆的位置关系
一．复习目标：
1．掌握圆 的标准方程及一般式方程，理解圆的参数方程及参数
?
的意义，能根
据圆的方程熟练地 求出圆的圆心和半径；能熟练地对圆的方程的各种形式进
行相互转化。
2．掌握直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程，公共弦方程及等有关直线与
圆的问题。
3．渗透数形结合的数学思想方法，充分利用圆的几何性质优化解题过程。
二．主要知识：
1．圆的标准方程： ；
圆的一般方程： ；
圆的参数方程： 。
2．直线与圆的位置关系判断的两种方法：
代数方法： ；几何方法： ；
3．弦长的计算方法：代数方法： ；几何方法： ；
三．基础训练：
1．方程
x
2
?y
2
?ax?2ay?2a
2
?a?1?0
表示圆，则< br>a
的取值范围是（ ）
22
(A)
a??2

(B)
??a?0

(C)
?2?a?0

(D)
?2?a?

33
2．直线
y??x?m
与 圆
x
2
?y
2
?1
在第一象限内有两个不同交点，则
m
的取值范围是
（ ）
(A)
0?m?2

(B)
1?m?2

(C)
1?m?2

(D)
?2?m?2

3．圆
x
2
?y
2
?2x?6y?9?0
关于直线
2x?y?5?0
对称的圆的方程是（ ）
(A)
(x?7)
2
?(y?1)
2
?1

(B)
(x?7)
2
?(y?2)
2
?1

(C)
(x?6)
2
?(y?2)
2
?1

(D)
(x?6)
2
?(y?2)
2
?1

4．设M是圆
(x?5)
2
?(y?3)
2
?9
上的点， 则M点到直线
3x?4y?2?0
的最短距离
是 。
5．若 曲线
y?1?4?x
2
(?2?x?2)
与直线
y?k(x?2)? 4
有两个交点时，则实数
k
的取值
范围是____ __。
四．例题分析：
例1．求满足下列各条件圆的方程：
（1）以
A(4,9 )
，
B(6,3)
为直径的圆；（2）与
x,y
轴均相切且过点(1,8)
的圆；

（3）求经过
A(5,2)
，
B(3,?2)
两点，圆心在直线
2x?y?3
上的圆的方程。

例2．已知直线
L:2mx?y?8m?3?0
和圆
C:x
2
?y
2
?6x?12y?20?0
；
（1）
m?R
时，证明
L
与
C
总相交。
（2）
m
取何值时，
L
被
C
截得弦长最短，求此弦长。 < br>例3．已知圆
C
1
:x
2
?y
2
?2x?2 y?8?0
与
C
2
:x
2
?y
2
?2x? 10y?24?0
相交于
（1）求公共弦
AB
所在的直线方程；
A ,B
两点，
（2）求圆心在直线
y??x
上，且经过
A,B
两点的圆的方程；
（3）求经过
A,B
两点且面积最小的圆的方程。
五．课后作业：
1．已知曲线
x
2
?y
2
?Dx ?Ey?F?0(D
2
?E
2
?4F?0)
关于直线
x?y ?0
对称，
则（ ）
(A)
D?E?0

(B)
D?E?0

(C)
D?F?0

(D)
D?E?F?0

2．两圆为：
(x?2)
2
?y
2
?16;(x?1)
2
?(y?4)
2
?1
，则 （ ）
(A)
两圆的公共弦所在的直线方程为
3x?4y?14?0

(B)
两圆的内公切线方程为
3x?4y?14?0

(C)
两圆的外公切线方程为
3x?4y?14?0

(D)
以上都不对
3．已知点
M(a,b)(ab?0)
是圆C:x
2
?y
2
?r
2
内一点，直线
l
是以
M
为中点的弦
所在的直线，直线
m
的方程是
ax?b y?r
2
，那么 （ ）
(A)
lm
且
m
与圆
C
相切
(B)
l?m
且
m
与圆
C
相切
(C)
lm
且
m
与圆
C
相离
(D)
l?m
且
m
与圆
C
相离
4．若半 径为1的动圆与圆
x
2
?y
2
?4
相切，则动圆圆心的轨迹 方程是 。
5．圆
x
2
?y
2
?2x ?4y?3?0
上到直线
x?y?1?0
的距离为
2
的点共有 个。
6．已知曲线
C:x
2
?y
2
?2kx?(4k?10)y ?10k?20?0
，其中
k??1
；

（1）求证：曲线
C
都是圆，并且圆心在同一条直线上；
（ 2）证明：曲线
C
过定点；（3）若曲线
C
与
x
轴相切，求
k
的值；
7．设圆上的点
A(2,3)
关于直线
x?2 y?0
的对称点仍在圆上，且与直线
x?y?y?0
相交的弦长为
22
，求圆的方程。
8．过点
P(?2,?3)
作圆
C:(x?4)
2
?(y?2)
2
?9
的两条切线，切点分别为
A,B
；求 ：
（1）经过圆心
C
，切点
A,B
这三点圆的方程；（2）直线AB
的方程；（3）线段
AB
的长。

课题：《直线与圆的方程》小结
一．基础训练：
1．点
P
在直线
x?y?4?0
上，
O
为原点，则
|OP|
的最小值是 （ ）
(A)
2
(B)
6

(C)
22

(D)
10

2．过点
A(1,4)
，且横纵截距的绝对值相等的直线共有 （ ）
(A)
1条
(B)
2条

(C)
3条
(D)
4条
3．圆
x
2
?y
2
?4x?2y?c?0
与
y
轴 交于
A,B
两点，圆心为
P
，若
?APB?90
，则
c?
（ ）
(A)
?3


(B)
3

(C)
22

(D)
8
4．若圆
(x?3)
2
?(y?5)
2
?r
2
(r?0)
上有且只有两个点到直线
4x?3y?2?0距离
等于
1
，则半径
r
取值范围是 （ ）
(A)(4,6)

(B)

[4,6)

(C)(4,6]

(D)[4,6]

5．直线
ax?by?c?0
与直线
dx?ey?c?0
的交点为
(3,?2)
，则过点
(a,b),(d,e)
的
直线方程是___________________。
?
3x?8y? 15?0
?
6．已知
x,y
满足
?
5x?3y?6?0，则
x?y
的最大值为____，最小值为___。
?
2x?5y?10?0
?
二．例题分析：
例1．过点
P (2,1)
作直线
l
交
x
轴，
y
轴的正向于
A,B
两点；（
O
为坐标原点）
(1)当
?AOB
面积 为
9
个平方单位时，求直线
l
的方程；
2
(2)当
?AOB
面积最小时，求直线
l
的方程； (3)当
PA?PB
最小时，求直线
l
的
方程。





例2．设圆满足：①截
y
轴所得弦长为2 ；②被
x
轴分成两段圆弧，其弧长的比
为
3:1
，在满足条件①、② 的所有圆中，求圆心到直线
l:x?2y?0
的距离最小的

圆的方程。





例3．设正方形
ABCD
（< br>A,B,C,D
顺时针排列）的外接圆方程为
1
x
2
?y2
?6x?a?0(a?9)
，
C,D
点所在直线
l
的 斜率为；
3
（1）求外接圆圆心
M
点的坐标及正方形对角线
AC, BD
的斜率；
（2）如果在
x
轴上方的
A,B
两点在一条 以原点为顶点，以
x
轴为对称轴的抛物
线上，求此抛物线的方程及直线
l的方程；
（3）如果
ABCD
的外接圆半径为
25
，在
x
轴上方的
A,B
两点在一条以
x
轴为
对称轴的抛物线上 ，求此抛物线的方程及直线
l
的方程。





三．课后作业：
1．若方程
(6a
2
?a?2)x?(3a
2
?5a?2)y?a?1?0
表示平行于
y
轴的直线，则
a?< br>（ ）
22
(A)
1
或
(B)

(C)
1
(D)
不存在
33
2．将直线
2x?3y?6?0
绕着它 与
y
轴的交点逆时针旋转
45
的角后，在
x
轴上的截
距是（ ）
4245
(A)
?

(B)
?

(C)
?

(D)

5554
3．若
(a,b)
在曲线
F(x ,y)
上，则点
(?b,?a)
也在曲线
F(x,y)?0a,b
是 任意的实数，
上，那么曲线
F(x,y)?0
的几何特征是 （ ）
(A)
关于
x
轴对称
(B)
关于
y
轴对称
(C)
关于原点对称
(D)
关于
x?y?0
对
称
4．过点
A(3,1 )
任意的作一直线与已知直线
3x?5y?15?0
相交于点
B
，设 点
P
是
有向线段
AB
的内分点，且
|AP|:|PB|?1 :2
，则点
P
的轨迹方程是（ ）

(A)
9x?5y?13?0

(B)
9x?15y?13?0

(C)
9x?15y?13?0

(D)
9x?15y?13?0

5．如果实数
x,y
满足 不等式
(x?2)
2
?y
2
?3
，那么
(A)33
1

(B)

(C)
3

(D)

32
2
y
的最大值是 （ ）
x
6．过点
P(?2,0)
作直线
l
交圆
x
2
?y
2
?1
于
A,B
两点，则
PA?PB?
。
7．已知直线
l
过点
P(?4,?3)
，且被圆
(x?1)
2
?(y?2)
2
?25
截得的弦长为8，则
l
的
方程是 。

8．甲、乙两地生产某种产品。 甲地可调出300吨，乙地可调出750吨，A、B、C
三地需要该种产品分别为200吨、450吨和 400吨。每吨运费如下表（单位：元）：
A B C
甲地 6 3 5
乙地 5 9 6
问怎样调运，才能使总运费最省？




9．已知直角坐标平面上点
Q(2,0)
和圆
C:x
2
?y
2
?1
，动点
M
到圆
C
的切线的长
与
|M Q|
的比等于常数
?
(
?
?0)
，求动点
M
的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

课题：椭圆
一．复习目标：熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方
程．
二．知识要点：
1．椭圆的定义（1）第一定义： ．
（2）第二定义： ．
2．标准方程： ．
3．几何性质： ．
4．参数方程 ．
三．课前预习：
1．设一动点
P
到直线
x?3
的距离与它 到点
A(1,0)
的距离之比为
3
，则动点
P
的轨迹方程是 （ ）
x
2
y
2
x
2
y
2
(x?1)
2
y
2
x
2
y
2
??1

(B)

??1

(C)
??1

(D)
??1

(A)
32323223
x
2y
2
x
2
y
2
??1
与曲线
??1( k?9)
之间具有的等量关系 2．曲线（ ）
25?k9?k
259
(A)
有相等的长、短轴
(B)
有相等的焦距
(C)
有相等的离心率
(D)
有相同的准线
3．已知椭圆的长轴长是短轴长的
3
倍，长、短轴都在坐标轴上，
过点
A(3,0)
，则椭圆的方程是 ．
4．底面直径为
12cm
的圆柱被与底面成
30
的平面所截，截 口是一个椭圆，
该椭圆的长轴长 ，短轴长 ，离心率为 ．
x
2
y
2
3
5．已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率为，若将这个椭圆绕着它的右
ab
5
16
?
焦点按逆时针方向旋转后，所得新椭圆的一条准线方程是
y?
，则原 来
3
2
的椭圆方程是 ；新椭圆方程是 ．
四．例题分析：
例1．设
A,B
是两个定点，且
|AB|?2
，动点
M
到
A
点的距离是
4
，线段
MB< br>的垂直平分线
l
交
MA
于点
P
，求动点
P< br>的轨迹方程．

x
2
y
2
例2．已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
，
P
为椭圆上除长轴端点外的任 一点，
ab
F
1
,F
2
为椭圆的两个焦点，（1）若
?PF
1
F
2
?
?
，
?PF
1
F
2
?
?
，求证：离心率

2
；
?
?
?
cos
2
（2）若
?F
1
PF
2
?2
?
，求证：
?F
1
PF
2
的面积 为
b
2
?tan
?
．
e?
x
2
?y
2
?1
的两个焦点是
F
1
(?c,0),F
2
(c,0)(c?0)
，且椭圆上存例3．设椭圆
m?1
在点
P，使得直线
PF
1
与直线
PF
2
垂直．（1）求实数< br>m
的取值范围；（2）设
l
|QF
2
|
?2?3，求直是相应于焦点
F
2
的准线，直线
PF
2
与
l
相交于点
Q
，若
|PF
2
|
cos
?
?
?
线
PF
2
的方程．
五．课后作业：
x
2
y
2
?1
上的一点，
F
1
和
F
2
是焦点，1．若
?F
1
PF
2
?30
，则
?F
1
PF
2
P
是椭圆
?
54的面积等于 （ ）
163

(B)
4(2?3)

(C)
16(2?3)

(D)
16

(A)
3
x
2
y
2
2．已知椭圆
2
?< br>2
?1(a?b?0)
的左焦点为
F
，
A(?a,0),B (0,b)
为椭圆的
ab
b
两个顶点，若
F
到
AB
的距离等于，则椭圆的离心率为 （ ）
7
7?77?7
14

(B)

(C)

(D)

77
25
(x?3)
2
(y?2)
2
??1
，关于直线
x?y?0
对称 ，则椭圆
C
3． 椭圆
C
与椭圆
94
的方程是___________________． < br>4．到两定点
F
1
(3,0),F
2
(9,0)
的距 离和等于
10
的点的轨迹方程是 ．
(A)
x
2< br>y
2
1
??1
的离心率
e?
，则
a
的值等于 ． 5．已知椭圆
a?89
2
1
6．如 图，
?PMN
中，
tan?PMN?
,
tan?PNM??2
,
?PMN
面积为1，建
2
立适当的坐标系，求以
M
、< br>N
为焦点，经过点
P
的椭圆方程．

P




M

N

x
2
y
2
7．
AB
是椭圆
2
?
2
?1(a? b?0)
中不平行于对称轴的一条弦，
M
是
AB
的
ab中点，
O
是椭圆的中心，求证：
k
AB
?k
OM
为定值．






x
2
y
2
??1
，8．已知椭圆能否在此椭圆位于
y
轴左侧的部分上找到 一点
M
，
43
使它到左准线的距离为它到两焦点
F
1
,F
2
距离的等比中项，若能找到，求出
该点的坐标，若不能找到，请说明理由．< br>

课题：双曲线
一．复习目标：熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．
二．知识要点：
1．双曲线的定义（1）第一定义： ．
（2）第二定义： ．
x
2
y
2
2．标准方程： ；与
2
?
2
?1
共渐进线的双曲线方程 ．
ab
3．性质： ．
4．共轭双曲线方程： ．
三．课前预习：
1．平面内有两个定点F
1
,F
2
和 一动点
M
，设命题甲，||MF
1
|?|MF
2
||是定值 ，
命题乙：点
M
的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 （ ）
(A)
充分但不必要条件
(B)
必要不充分条件
(C)
充要条件
(D)
既不充分也不必要条件
2．双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为
e
1
,e
2
，则
e
1
,e
2
应满 足的关系是
（ ）
1111
2222
(A)
e
1
?e
2
?1

(B)
e
1
?e
2
?1

(C)
2
?
2
?1

(D)
2
?
2
?1

e
1
e2
e
1
e
2
3．直线
y?ax
与双曲线
(x?1)(y?1)?2(x?0)
有公共点时，
a
的取值范围是
（ ）
(A)
?3?22?a?0

(B)
a??3?22

(C)
?3?22?a??3?22

(D)
以上都不正确
2
|PF|
2
4．已知
A( 2,1),F(2,0)
，当
|PA|?
P
是曲线
x
2?y
2
?1(x?0)
上一点，
取最小值时，
P
的坐标 是 ，
|PA|?
2
|PF|
最小值是 ．
2
x
2
y
2
??1
的左、右焦点，
AB< br>是双曲线左支上5．如果
F
1
,F
2
分别是双曲线
1 69
过点
F
1
的弦，且
|AB|?6
，则
?ABF
2
的周长是 ．
四．例题分析：
x
2
y
2
?1
的左右焦点分别为
F
1
,F
2
，左准线为
l
，能否在例1．已知双曲线
?
25144< br>双曲线的左支上求一点
P
，使
|PF
1
|
是
P
到
l
的距离
d
与
|PF
2
|
的 等比中项？
若能，求出
P
的坐标，若不能，说明理由．

x
2
y
2
例2．过双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的右焦点
F
作双曲线在第一、第三象< br>ab
限的渐近线的垂线
l
，垂足为
P
，
l
与双曲线的左、右支的交点分别为
A,B
．
（1）求证：
P
在双曲线的右准线上；（2）求双曲线离心率的取值范围．
例3．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存
在，说明理由．
（1）渐近线方程为
x?2y?0,x?2y?0
；
（2）点
A( 5,0)
到双曲线上动点
P
的距离最小值为
6
．



五．课后作业：
1
1．双曲线的渐进线方程为
y??x
，且焦距为10，则双曲线方程为（ ）
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
??1

(B)
??1
或
??1

(A)
20552020 5
x
2
y
2
x
2
y
2
??1
(D)
|?|?1

(C)
520205
x
2
y
2
??1
的离心率
e?(1, 2)
，则
k
的取值范围是（ ） 2．双曲线
4k
(A)(??,0)

(B)(?3,0)

(C)(?12,0)

(D)(?60,?12)

x
2
y
2
??1
上一点
P
的两条焦半径夹角为
60
，
F
1
,F
2
为焦点，则3．双曲线
251 6
?PF
1
F
2
的面积为 ．
4．与圆
(x?3)
2
?y
2
?1
及圆
( x?3)
2
?y
2
?9
都外切的圆的圆心轨迹方程
为 ．
x
2
y
2
??1
有且只有一个公共点，5．过点
(0,3)
作直线
l
，如果它与双曲线
43
则直线
l的条数是____________________．
x
2
y
26．双曲线
2
?
2
?1
的一条准线被它的两条渐进线所截得的线 段长度恰好
ab
等于它的一个焦点到一条渐进线的距离，则该双曲线的离心率
为 ．
7．过双曲线的一个焦点
F
1
且垂直于实轴的弦
PQ
， 若
F
2
为另一个焦点，且

有
?PF
2
Q?90
?
，则此双曲线的离心率为 ．
8． 一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为
213
，一双曲线和
这椭圆有公共 焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离
心率与椭圆的离心率之比为7:3，求椭 圆和双曲线的方程．



x
2
y
2
9 ．设双曲线
2
?
2
?1
两焦点
F
1
(?c ,0),F
2
(c,0)
，点
P
为双曲线右支上除顶
ab< br>??
c?a
点外的任一点，
?PF
1
F
2
?
?
,?PF
2
F
1
?
?
，求证：
tan?cot?
．
22c?a




10． 已知双曲线
C
的两个焦点为
F
1
,F
2
，实半轴长 与虚半轴长的乘积为
3
，
21
，直线
l
与线段
F< br>1
F
2
的
2
垂直平分线的交点为
P
，线段P F
2
与双曲线的交点为
Q
，且
PQ?2QF
2
，求
双曲线方程．
直线
l
过点
F
2
，且与线段
F
1
F
2
的夹角为
?
，
tan
?
?

课题：抛物线
一．复习目标：掌握抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质．
二．知识要点：
1．定义： ．
2．标准方程： ．
3．几何性质：
4．焦点弦长：过抛物线
y
2
?2px
(p?0)
焦点F
的弦
AB
，若
A(x
1
,y
1
), B(x
2
,y
2
)
，
则
|AF|?
，
|AB|?
，
x
1
x
2
?
，
y
1
y
2
?
．
5．抛物线x
2
?2py(p?0)
的焦点为
F
，
AB
是 过焦点
F
且倾斜角为
?
的弦，
若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
x< br>1
x
2
?
；
y
1
y
2
?
；
|AB|?
．
三．课前预习：
11
1．已知点
F(?,0)
，直线
l
：
x?
，点
B
是直线
l
上的动点，若过
B
垂直于
y
轴
44
的直线与线段
BF
的垂直平分线 交于点
M
，则点
M
所在曲线是（ ）
(A)
圆
(B)
椭圆
(C)
双曲线
(D)
抛物线
9
2．设抛物线
y
2
?2x
的焦点为
F
，以
P(,0)
为圆心，
PF
长为半径作一圆 ，与抛
2
物线在
x
轴上方交于
M,N
，则
|MF| ?|NF|
的值为 （ ）
(A)
8
(B)
18
(C)
22

(D)
4
3．过点
(?3,?1)
的抛物线的标准方程是 ．
焦点在
x?y?1?0
上的抛物线的标准方程是 ．
4．抛物线
y
2
?8x
的焦点为
F
，
A(4,?2)
为一定点，在抛物线上找一点
M
，当
|MA|?|MF|为最小时，则
M
点的坐标 ，当
||MA|?|MF||
为最大时，
则
M
点的坐标 ．
四．例题分析：
例1．抛物线以
y
轴为准线，且过点
M(a, b)(a?0)
，证明：不论
M
点在坐标平面
内的位置如何变化，抛物线顶点 的轨迹的离心率是定值．

例2．已知抛物线
y
2
?2px(p?0)
，过动点
M(a,0)
且斜率为
1
的直线
l
与该抛物线
交于不同两点
A,B
，
|AB |?2p
，
（1）求
a
取值范围；（2）若线段
AB
垂直 平分线交
x
轴于点
N
，求
?NAB
面积的
最大值．



例3． 已知抛物线
x
2
?4y
与 圆
x
2
?y
2
?32
相交于
A,B
两点， 圆与
y
轴正半轴交
于
C
点，直线
l
是圆的切线，交 抛物线与
M,N
，并且切点在
ACB
上．
（1）求
A,B ,C
三点的坐标．（2）当
M,N
两点到抛物线焦点距离和最大时，求直线
l
的方程．


五．课后作业：
1．方程
x
2< br>sin
?
?y
2
cos
?
?1
表示的曲线不 可能是（ ）
(A)
直线
(B)
抛物线
(C)
圆
(D)
双曲线
2．以抛物线
y
2
?2px(p?0)
的焦半径
|PF|
为直径的圆与
y
轴位置关系是（ ）
(A)
相交
(B)
相切
(C)
相离
(D)
以上三种均有可能
3．抛物线
mx?ny
2
?0(m?n?0)
的顶点坐标是 ，焦点坐标是 ，准线
方程是 ，离心率是 ，通径长 ．
4．过定点
P(0,2)
，作直线
l
与曲线
y
2
?4x
有且仅有1个公共点，则这样的直线
l
共有 条． < br>5．设抛物线
y
2
?4x
的过焦点的弦的两个端点为Ａ、Ｂ，它们的坐 标为
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，若
x
1
?x
2
?6
，那么
| AB|?
．
6．抛物线
y
2
?2px(p?0)
的动弦
AB
长为
a(a?2p)
,则弦
AB
的中点
M
到
y
轴的
最小距离为 ．
7．抛物线
C
的顶点在坐标原点，对称轴为
y
轴，
C< br>上动点
P
到直线
l:3x?4y?12?0
的最短距离为1，求抛物线
C
的方程．

8．
A,B
是抛 物线
y
2
?2px(p?0)
上的两点，且
OA?OB
，
（1）求
A,B
两点的横坐标之积和纵坐标之积；
（2）求证：直线
AB
过定点；
（3）求弦
AB
中点
P
的轨迹方程；
（4）求
?AOB
面积的最小值；
（5）
O
在
AB
上的射影
M
轨迹方程．

课题：直线与圆锥的位置关系（1）
一．复习目标：
1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线 的
位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；
2．会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的 方程组消去一个变量，将交点问题问
题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问 题．
二．知识要点：
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：
?
f (x,y)?0
直线
l
：
f(x,y)?0
和曲线
C:g( x,y)?0
的公共点坐标是方程组
?
的解，
?
g(x,y)?0< br>l
和
C
的公共点的个数等于方程组不同解的个数．这样就将
l
和
C
的交点问题转
化为方程组的解问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二 次项系数和
判别式
?
，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便．
2 ．弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫
“点差法”）．
三．课前预习：
1．直线
y?x?b
与抛物线
y
2
?2x
，当
b?
时，有且只有一个公共点；当
b?
时，
有两个不同的公共点；当
b?
时，无公共点．
x
2< br>y
2
??1
恒有公共点，则实数
m
的取值范围2．若直线y?kx?1
和椭圆
25m
为 ．
3．抛物线y?ax
2
与直线
y?kx?b(k?0)
交于
A,B
两点，且此两点的横坐标分别
为
x
1
，
x
2
，直线 与
x
轴的交点的横坐标是
x
3
，则恒有（ ）
(A)
x
3
?x
1
?x
2
(B)
x
1< br>x
2
?x
1
x
3
?x
2
x
3
(C)
x
3
?x
1
?x
2
?0
(D)
x
1
x
2
?x
1
x
3
?x
2
x
3
?0

4．椭圆
mx
2
? ny
2
?1
与直线
x?y?1
交于
M,N
两点，< br>MN
的中点为
P
，且
OP
的
斜率为
2
m
，则的值为（ ）
2
n
(A)
23
2292
2

(B)

(C)

(D)

227
32
2
y
2
?1
，过点
P(1, 1)
作直线
l
，使
l
与
C
有且只有一个公共5．已 知双曲线
C:x?
4
点，则满足上述条件的直线
l
共有（ ）

(A)
1
条
(B)
2
条
(C)
3
条
(D)
4
条
四．例题分析：
9
例1．过点
(?1,?6)
的直线
l< br>与抛物线
y
2
?4x
交于
A,B
两点，若
P (,0)
，
|AP|?|BP|
，
2
求
l
的斜率．
例2．直线
l:y?kx?1
与双曲线
C:2x
2
?y2
?1
的右支交于不同的两点
A,B
，
（I）求实数
k
的取值范围；（II）是否存在实数
k
，使得以线段
AB
为直径的 圆
经过双曲线
C
的右焦点
F
？若存在，求出
k
的值 ；若不存在，说明理由．
例3．已知直线
l
和圆
M
：
x< br>2
?y
2
?2x?0
相切于点
T
，且与双曲线
C:x
2
?y
2
?1
相交于
A,B
两点，若T
是
AB
的中点，求直线
l
的方程．
五．课后作业：
1．以点
(1,?1)
为中点的抛物线
y
2
?8x
的弦所在的直线方程为（ ）
(A)x?4y?3?0

(B)x?4y?3?0

(C)4x?y?3?0

(D)

4x?y?3?0

x
2
y
2< br>2．斜率为
3
的直线交椭圆
??1
于
A,B
两点，则 线段
AB
的中点
M
的坐标满
259
足方程（ ）
(A)
y?
332525
x

(B)
y??x

(C)
y?x

(D)
y??x

252533
3．过点
(0,1)
与抛物线
y
2
?2px(p?0)
只有一个公共点的直线的条数是（ ）
(A)
0

(B)

1

(C)
2

(D)
3

4．已知双曲线
x
2
?y
2< br>?kx?y?9?0
与直线
y?kx?1
的两个交点关于
y
轴 对称，
则这两个交点的坐标为 ．
5．与直线
2x?y?4?0
的平行的抛物线
y?x
2
的切线方程是 ．
6．已知椭圆的中心在原点，离心率为
常数）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设
Q
是椭圆上的一点，且过点
F,Q
的直线
l
与
y< br>轴
交于点
M
，若
|MQ|?2|QF|
，求直线
l< br>的斜率．
7．一个正三角形的三个顶点都在双曲线
x
2
?ay
2
?1
的右支上，其中一个顶点是
1
，一个焦点是
F(?m,0)
（
m
是大于0的
2

双曲线的右顶点，求实数
a
的取值范围．
8．已知直线
y?kx?1
与双曲线
3x
2
?y
2
?1
相交于
A,B
两点．是否存在实数
k
，
使
A,B
两点关于直线
x?2y?0
对称？若存在，求出
k
值，若不存在，说明理由．

课题：直线与圆锥曲线的位置关系（2）
一．复习目标：
1．能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得的弦长的有关问题，会运用 圆
锥曲线的第二定义求焦点弦长；
2．体会“设而不求”、“方程思想”和“待定系数”等方法．
二．知识要点：
1 ．弦长公式
|AB|?1?k
2
|x
1
?x
2
|? 1?
2．焦点弦长：
1
|y
1
?y
2
|
．
k
2
|PF|
?e
（点
P
是圆锥曲线上的任意一点 ，
F
是焦点，
d
是
P
到
d
相应于焦点
F
的准线的距离，
e
是离心率）
三．课前预习：
1．设直线
y?2x?1
交曲线
C
于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
两点，
（1）若
|x
1
?x
2
|?2
，则
|AB|?
．（2）
|y
1
?y
2
|?2
，则
|AB|?
．
2．斜率为
1
的直线 经过抛物线
y
2
?4x
的焦点，与抛物线相交于
A,B
两点 ，则
|AB|?
．
y
2
?1
的右焦点作直线
l
，交双曲线于
A,B
两点，若
|AB|?4
，3．过双曲 线
x?
2
2
则这样的直线
l
有（ ）
(A)
1
条
(B)
2
条
(C)
3
条
(D)
4
条
4．已知椭圆< br>x
2
?2y
2
?4
，则以
(1,1)
为中点 的弦的长度是（ ）
(A)
32

(B)
23

(C)
3036

(D)

32
1
5．中心在原点，焦点在
x
轴上的 椭圆的左焦点为
F
，离心率为
e?
，过
F
作直
3< br>线
l
交椭圆于
A,B
两点，已知线段
AB
的中点到椭 圆左准线的距离是
6
，则
|AB|?
．
四．例题分析：
例1．如图，过抛物线
y
2
?2px(p?0)< br>上一定点
P(x
0
,y
0
)(y
0
?0)< br>，作两条直线分别
交抛物线于
A(x
1
,y
1
),B (x
2
,y
2
)
，（1）求该抛物线上纵坐标为
p
的点到其焦点
F
的距
2

离；（2）当
PA
与
PB
的斜率存在且倾斜角互补时，求
斜率是非零常数．






y
1
?y
2
的值，并证 明直线
AB
的
y
0
例2．椭圆的中心是原点
O
，它 的短轴长为
22
，相应于焦点
F(c,0)(c?0)
的准线
l与
x
轴相交于点
A
，
|OF|?2|FA|
，过点A
的直线与椭圆相交于
P,Q
两点．（I）求
椭圆的方程及离心率；（I I）若
?0,
求直线
PQ
的方程；（III）设
AP?
?< br>AQ(
?
?1)
，过点
P
且平行于准线
l
的 直线与椭圆相交于另一点
M
，证明
FM??
?
FQ
．





|AB|?32
. 例3．已知倾斜角 为
45?
的直线
l
过点
A(1,?2)
和点
B，
B
在第一象限，
x
2
(1) 求点
B
的坐标 ；（2）若直线
l
与双曲线
C:
2
?y
2
?1(a?0)
相交于
E
、
F
两
a
点，且线段EF
的中点坐标为
(4,1)
，求
a
的值；（3）对于平面上任 一点
P
，当点
Q
在线段
AB
上运动时，称
|PQ|
的最小值为
P
与线段
AB
的距离. 已知点
P
在< br>x
轴上运动，写出点
P(t,0)
到线段
AB
的距离
h
关于
t
的函数关系式.




五．课后作业：
x
2
y
2
1．过双曲线
2
?
2
?1
的右焦点
F
2
作垂直于实轴的弦
PQ< br>，
F
1
是左焦点，若
ab

?PFQ?900
，则双曲线的离心率是（ ）
1
(A)
2

(B)
1?2

(C)
2?2

(D)
3?2

2．过抛物线
y?ax
2
(a?0 )
的焦点
F
作一直线交抛物线于
P,Q
两点，若线段
PF< br>与
FQ
的长分别是
p,q
，则
(A)
2a

(B)
11
?
等于（ ）
pq
14

(C)
4a

(D)

2aa
x
2
3．直线
y?x?m
与椭圆
?y
2
?1
交于< br>A
、
B
两点，则
|AB|
的最大值是（ ）
4
(A)
2

(B)
45410
810

(C)

(D)

55
5
4．过抛物线
y
2
?4x
的焦点，作倾斜角为
?
的直线交抛物线于A，B两点，且
AB?
16
则
?
?
．
3
x
2
y
2
3
?
5．若过椭圆
?
2
?1(0?b?2)
右焦点
F
2
且倾斜角为的直线与椭圆相交所
4b
4
得的弦长等于
24
，则
b?
．
7
6．设抛物线
y
2
?2px(p?0)
，
Rt?AOB
内接于抛物线，
O
为坐标原点，
AO?BO,AO
所在的直线方程为
y?2x
，
|AB|?513
，求抛物线方程．




7．已知某椭圆的焦点是
F
1
?
?4,0
?、F
2
?
4,0
?
，过点
F
2
并垂直 于
x
轴的直线与椭圆
的一个交点为
B
，且
F
1B?F
2
B?10
．椭圆上不同的两点
A
?
x
1
,y
1
?
、C
?
x
2
,y
2< br>?
满
足条件：
F
2
A、F
2
B、F
2
C
成等差数列．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦
AC
中点的横坐标；
（Ⅲ）设弦
AC
垂直平分线的方程为
y?kx?m
，求
m
的取值范围．

x
2
8．设双曲线
C:2
?y
2
?1(a?0)
与直线
l:x?y?1
相交于 两个不同的点
A,B
．
a
（1）求双曲线的离心率
e
的取 值范围；（2）设直线
l
与
y
轴的交点为
P
，且
P A?































5
PB
，求
a
的值．
12

课题：轨迹问题（1）
一．复习目标：
1．掌握求轨迹方程的两种基本方法——直接法和定义法；
2．掌握直接法求轨迹方程的基本步骤．
二．知识要点：
1．直接法求轨迹方程的一般步骤：建系—设点—列式—代换—化简—检验
2．用定义法求轨 迹方程的基本思路是：（1）用曲线的定义判断轨迹的形状（定
型）；（2）判断轨迹的位置（定位）（ 3）求曲线的基本量（定量）；（4）写出
轨迹方程．
三．课前预习：
1．已知点
A(?2,0)
、
B(3,0)
，动点
P(x,y)满足PA?PB ?x
2
，则点P的轨迹是（D）
(A)
圆
(B)
椭圆
(C)
双曲线
(D)
抛物线
2． 若
(x?3)
2
?(y?1)
2
?|x?y?3|?0
，则点
M(x,y)
的轨迹是 （
C
）

(A)
圆
(B)
椭圆
(C)
双曲线
(D)
抛物线
3．点
M
与点
F(4,0)
的距离 比它到直线
l:x?5?0
的距离小
1
，则点
M
的轨迹方< br>程是
y
2
?16x

4．一动圆与圆
x
2
?y
2
?1
外切，而与圆
x
2
?y< br>2
?6x?8?0
内切，则动圆圆心的轨
3
2
4y
2
(x?)??1
25
迹方程是 （右支）
x
2
y2
5．已知椭圆
??1
的两个焦点分别是
F
1
，
F
2
，
P
是这个椭圆上的一个动点，
43
延长
F
1
P
到
Q
，使得｜
PQ
｜＝｜
F
2
P
｜，求
Q
的轨迹方程是
(x?1)
2
?y2
?16
．

四．例题分析：
例1．已知
?ABC
中，
|BC|?2,
么图形．
解：以
BC
所在直线为
x
轴，则
B(?1,0),C(1,0)
，
BC
中点
O
为原点建立直角坐标系，
(x?1)
2
?y
2
|AB|
?m
，化简得：
?m
，得：设点
A
的坐标为
(x,y)
，由
22
|AC|
(x?1)?y< br>|AB|
?m
，求点
A
的 轨迹方程，并说明轨迹是什
|AC |

(1?m
2
)x
2
?(1?m
2
)y
2
?(2?2m
2
)x?1?m
2
?0

1?m
2
2
2m
22
)?y?()
当
m ?1
时，轨迹为直线
x?0
；当
m?1
时，配方得：
(x?
1?m
2
1?m
2
（1）
m?0
时，方程为
x
2
?y
2
?2x?1?0
，轨迹为点
(1,0)
；
1?m
2
2m
（2）
m?0
时，轨迹是圆心为（2
,0
），半径为
||
的圆．
m?1
1?m
2

例2．已知抛物线
C:y
2?4x
，若椭圆的左焦点及相应的准线与抛物线
C
的焦点
和准线分别重合 ，求以椭圆短轴端点
B
与焦点
F
为两端点的线段中点
P
的轨 迹方
程．
解：设
P(x,y)
，显然
x?1
，则点
B
的坐标为
y
(1?2x,2y)
，由椭圆的定义，知：
c?| FO
?
|?|OO
?
|?|OF|?2(x?1)
|BF|
?e
，
|BB
?
|
B

，
l
O
F

P

O
1

x
a?|FB|?(2x?2)?(2y),

|BB
?
|?(2x?1)?(?1)?2x
，
22


(2x?2)
2
?(2y)
2
2(x?1)
?
∴
22
2x
(2x?2)?(2y)
化简得：
y
2
? x?1
，∴
P
的轨迹方程为：
y
2
?x?1(x?0)

例3．已知两点
M(?1,0),N(1,0)
，且点
P< br>时
MP?MN,PM?PN,NM?NP
成公差小
于零的等差数列．（1）点< br>P
的轨迹是什么曲线？（2）若点
P
的坐标为
(x
0
,y
0
)
，
记
?
为
PM
与
PN< br>的夹角，求
tan
?
（用点
P
的坐标数值表示）．
解：设
P(x,y)
，∵
M(?1,0),N(1,0)
，∴
PM? ?MP?(?1?x,?y)
，
PN??NP?(1?x,?y)
，
MN? ?NM?(2,0)
，∴
MP?MN?2(x?1)

PM?PN?x
2
?y
2
?1
，
NM?NP?2(1?x)
，则
MP?MN,PM?PN,NM?NP
成公差